初中数学初试试讲题目——学而思
学而思初二数学秋季班第4讲.全等三角形的经典模型(二).提高班.教师版
1初二秋季·第4讲·提高班·教师版等等…腰漫画释义满分晋级阶梯4全等三角形的 经典模型（二）三角形11级特殊三角形之直角三角形 三角形10级 勾股定理与逆定理 三角形9级全等三角形的经典模型（二）2初二秋季·第4讲·提高班·教师版OFEC B A A F COBEDHABCDO EOGFE CBA“手拉手”数学模型：⑴ ⑵ ⑶【引例】 如图，等边三角形ABE 与等边三角形AFC 共点于A ，连接BF 、CE ，求证：BF =CE 并求出 EOB 的度数. 知识互联网思路导航例题精讲题型一：“手拉手”模型3初二秋季·第4讲·提高班·教师版NMCBABNC【解析】 ∵△ABE 、△AFC 是等边三角形∴AE =AB ，AC =AF ，60∠=∠=︒EAB FAC ∴∠+∠=∠+∠EAB BAC FAC BAC 即∠=∠EAC BAF ∴AEC ABF △≌△∴BF =EC ∠=∠AEC ABF 又∵AGE BGO ∠=∠ ∴60∠=∠=︒BOE EAB ∴60∠=︒EOB【例1】 如图，正方形BAFE 与正方形ACGD 共点于A ，连接BD 、CF ，求证：BD =CF 并求出∠DOH 的度数. 【解析】 同引例，先证明ABD AFC △≌△∴BD =FC ，∠=∠BDA FCA ∵∠=∠DHO CHA ∴90∠=∠=︒DOH CAD【例2】 如图，已知点C 为线段AB 上一点，ACM △、BCN △是等边三角形．⑴ 求证：AN BM =.⑵ 将ACM △绕点C 按逆时针方向旋转180°，使点A 落在CB 上，请你对照原题图在图中画出符合要求的图形；⑶ 在⑵得到的图形中，结论“AN BM =”是否还成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；⑷ 在⑵所得的图形中，设MA 的延长线交BN 于D ，试判断ABD △的形状，并证明你的结论． 【分析】 这是一个固定后运动变化的探索题，且在一定的条件下，探究原结论的存在性（不变性）； 需要画图分析、判断、猜想、推理论证．【解析】 ⑴ ∵ACM △、BCN △是等边三角形∴AC CM =，BC CN =60ACM BCN ∠=∠=°典题精练OHGDF ECBA4初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCMNDNM CBA∴∠=∠ACN MCB 在ACN △和MCB △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC MC ACN MCB CN CB ∴ACN MCB △≌△（SAS ） ∴AN BM =⑵ 将ACM △绕点C 旋转如图：⑶ 在⑵的情况，结论AN BM =仍然成立．证明：∵60BCM NCA ∠=∠=°，CA CM =，CN CB =． ∴CAN CMB △≌△（SAS ），∴AN MB =．⑷ 如图，延长MA 交BN 于D ，则ABD △为等边三角形． 证明：∵60CAM BAD ABD ∠=∠=∠=°． ∴ABD △是等边三角形．【例3】 在ABC △中，90∠=BAC °，⊥AD BC 于D ，BF 平分∠ABC 交AD 于E ，交AC 于F .求证：AE=AF .54321A BCDE F【解析】 90∠=BAC °，390∴∠+∠=DAC °90⊥∴∠=︒AD BC ADC 90∴∠+∠=︒C DAC 3∴∠=∠C43152∠=∠+∠∠=∠+∠C ，BF 是ABC ∠的角平分线 12∴∠=∠典题精练题型二：双垂+角平分线模型5初二秋季·第4讲·提高班·教师版EN MDCBA NMD CBA 45∴∠=∠∴=AE AF【例4】 如图，已知ABC △中，90ACB ∠=°，CD AB ⊥于D ，ABC ∠的角平分线BE 交CD 于G ，交AC 于E ，GF AB ∥交AC 于F ． 求证：AF CG =． 【分析】 要证AF CG =，一般想到证明这两条线段所在的三角形全等，由图形可知，不存在直接全等三角形，因此要想到添加辅助线构造全等三角形．【解析】 作EH AB ⊥于H∵12∠=∠，90ACB ∠=° ∴EC EH =（角平分线定理） 又∵CD AB ⊥ ∴3A ∠=∠∵431∠=∠+∠，52A ∠=∠+∠ ∴45∠=∠ ∴CE CG = ∴CG EH =又∵GF AB ∥，90∠=∠=AHE FGC ° ∴A CFG ∠=∠∴CFG EAH △≌△（AAS ） ∴=CF EA ，∴-=-CF EF EA EF ， ∴CE AF = ∴AF CG =【例5】 已知：正方形ABCD 中，45MAN ∠=︒，MAN ∠绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交线段CB DC 、于点M N 、.求证BM DN MN +=.【解析】 延长ND 到E 使DE BM = 典题精练题型三：半角模型54321HG FEDC BA54321GFE DC BA6初二秋季·第4讲·提高班·教师版DHFECBA∵四边形ABCD 是正方形 ∴AD =AB在ADE △和ABM △ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AD AB ADE B DE BM ∴ADE ABM △≌△∴AM =AE ∠=∠BAM DAE∵45MAN ∠=︒ ∴45∠+∠=︒BAM NAD ∴45∠=∠=︒MAN EAN在AMN △和AEN △中 =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩MA EA MAN EAN AN AN ∴AMN AEN △≌△ ∴MN =EN∴DE +DN =BM +DN=MN【例6】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒=B D AB AD ，，E 、F 分别是线段BC 、CD 上的点，且BE +FD =EF . 求证：12∠=∠EAF BAD .ABCDEF【解析】 延长FD 到H ，使DH =BE ，易证ABE ADH △≌△， 再证AEF AHF △≌△1122∴∠=∠=∠=∠EAF FAH EAH BAD【例7】 在等边三角形ABC 的两边AB 、AC 所在直线上分别有两点M 、N ，D 为三角形ABC 外一点，且︒=∠60MDN ,︒=∠120BDC ,BD=DC . 探究：当M 、N 分别在直线AB 、AC 上移7初二秋季·第4讲·提高班·教师版动时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系．AM N BCDDCBN M A图1 图2⑴如图1，当点M 、N 在边AB 、AC 上，且DM=DN 时，BM 、NC 、MN 之间的数量关系是 ； ⑵如图2，点M 、N 在边AB 、AC 上，且当DM ≠DN 时，猜想⑴问的结论还成立吗？写 出你的猜想并加以证明.【解析】 ⑴如图1， BM 、NC 、MN 之间的数量关系BM +NC=MN ． ⑵猜想：结论仍然成立．证明：如图，延长AC 至E ，使CE=BM ，连接DE ．BD=CD 且120BDC ∠=．∴ 30=∠=∠DCB DBC ．又△ABC 是等边三角形，∴90MBD NCD ECD ∠=∠=∠=． 在MBD △与ECD △中：BM CEMBD ECD BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴MBD △≌ECD △(SAS ) ． ∴DM=DE , BDM CDE ∠=∠ ∴60EDN BDC MDN ∠=∠-∠=在△MDN 与△EDN 中：⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DN DN EDN MDN DE DM ENMDC BA8初二秋季·第4讲·提高班·教师版∴MDN EDN △≌△(SAS) ∴MN NE NC BM ==+第04讲精讲：典型的旋转全等构图：“手拉手”全等模型探究； 【探究一】“手拉手”模型基本构图；如图1，若ABC ∆与ADE ∆旋转全等，则必有ABD ∆与ACE ∆为两个顶角相等的等腰三角形（即相似的等腰三角形）；反之，如图2，若有两个顶角相等的等腰三角形ABD ∆与ACE ∆共顶角顶点，则必有ABC ∆与ADE ∆旋转全等；而图2正是“手拉手”模型的基本构图；图1EDC BA图2EDC BA【探究二】将探究一中的普通等腰三角形换成特殊的图形，例如等边三角形、等腰直角三角形、正方形，然后再探究结论如何变化；图3DCB图4E D CB A FG 图5ED CB A如图3、图4、图5，当两个等边三角形、等腰直角三角形、正方形共顶点时，ABC ∆与ADE ∆仍然旋转全等，并且有两个共同的结论； 结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：BC 与DE 所夹锐角等于两个等腰三角形的顶角；（倒角方法如下图6、图7、图8的八字模型）9初二秋季·第4讲·提高班·教师版图6图7图8【探究三】将探究二中的特殊图形旋转后结论是否仍然成立； 如下图9、图10、图11易得探究二中的两个结论仍然成立；图9E图10图11【探究四】深化探究二中图3的结论； 如图12，可得结论1：ABC ∆≌ADE ∆；DE BC =；结论2：︒=∠=∠=∠=∠60CAE BAD COE BOD ； 结论3：如图12、图13、图14，可得三对三角形全等（ABC ∆≌ADE ∆；AHD ∆≌AGB ∆；AGC ∆≌AHE ∆）图12图13图14结论4：如图15，连接GH ，可得AGH ∆为等边三角形；（由结论3可得AH AG =）图15NM O 图16EDC BA10 初二秋季·第4讲·提高班·教师版结论5：BE GH ∥；（由结论4可得︒=∠=∠60BAD AGH ） 结论6：连接AO ，可得AO 平分BOE ∠；（如图16，分别作BC AM ⊥、DE AN ⊥，AM 与AN 分别是全等三角形ABC ∆与ADE ∆对应边BC 和DE 上的高，故相等）11初二秋季·第4讲·提高班·教师版SFEDCBA MPNMH GFEDCBANM DCBA题型一 手拉手模型 巩固练习【练习1】 如图，DA ⊥AB ，EA ⊥AC ，AD=AB ，AE=AC ，则下列正确 的是（ ）A. ABD ACE △≌△B. ADF AES △≌△C. BMF CMS △≌△D. ADC ABE △≌△【解析】 D【练习2】 如图，正五边形ABDEF 与正五边形ACMHG 共点于A ，连接BG 、CF ，则线段BG 、CF 具有什么样的数量关系并求出∠GNC 的度数． 【解析】 先证ABG AFC △≌△可得BG =CF ，∠=∠ACF AGB ∵∠=∠NPG APC∴108∠=∠=︒GNC GAC题型二 双垂+角平分线模型 巩固练习【练习3】 已知AD 平分∠BAC ，⊥DE AB ，垂足为E ，⊥DF AC , 垂足为F ，且DB =DC ，则EB 与FC 的关系（ ）A. 相等B. EB <FCC. EB >FCD.以上都不对 【解析】 A题型三 半角模型 巩固练习【练习4】 如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC ＝120°．以D 为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则△AMN 的周长为 ． 【解析】 6【练习5】 如图，在四边形ABCD 中，180∠+∠=︒B ADC ，AB AD =，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，且复习巩固F E DCBAFEDC BA12 初二秋季·第4讲·提高班·教师版EHGDCBAFDEGCBA12EAF BAD =∠∠，求证：EF BE FD =-【解析】 证明：在BE 上截取BG ，使BG DF =，连接AG ．∵180B ADC +=︒∠∠，180ADF ADC +=︒∠∠，∴B ADF =∠∠． ∵AB AD =，∴ABG ADF △≌△．∴BAG DAF =∠∠，AG AF =．∴12BAG EAD DAF EAD EAF BAD +=+==∠∠∠∠∠∠．∴GAE EAF =∠∠． ∵AE AE =， ∴AEG AEF △≌△． ∴EG EF =∵EG BE BG =-，∴EF BE FD =-．训练1. 如图，C 为线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在AB 同侧作等边ACD △和等边BCE △，AE 交DC 于G 点，DB 交CE 于H 点，求证：GH AB ∥． 思维拓展训练(选讲)13初二秋季·第4讲·提高班·教师版A B C DH QNM【分析】 本题中，ACD △与BCE △是等边三角形，因此AC CD =，BC CE =，60ACD ECB ∠=∠=°，因为A 、C 、B 在同一条直线上，故60DCE ∠=°．这样可以得到ACE DCB △≌△，AEC DBC ∠=∠，故可以得到CEG CBH △≌△，则GC HC =，60CGH CHG ∠=∠=°，所以60ACG CGH ∠=∠=°，故GH AB ∥．【解析】 ∵ACD △和BCE △是等边三角形（已知）∴AC CD =，BC CE =（等边三角形的各边都相等）60ACD BCE ∠=∠=°（等边三角形的每个角都等于60°）∵180ACD DCE BCE ∠+∠+∠=° ∴60DCE ∠=°，120ACE DCB ∠=∠=°． 在ACE △和DCB △中，=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AC DCACE DCB CE CB∴ACE DCB △≌△（SAS ）∴AEC DBC ∠=∠（全等三角形的对应角相等） 在BCH △和ECG △中，60∠=∠=⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩BCH ECG BC CE CBH CEG °∴BCH ECG △≌△（ASA ）∴CH CG =（全等三角形的对应边相等） ∴CGH CHG ∠=∠（等边对等角）∵180GCH GHC CGH ∠+∠+∠=°（三角形内角和定理） ∴60GHC CGH ∠=∠=°．∴60ACG CGH ∠=∠=°（等量代换） ∴GH AB ∥（内错角相等，两直线平行）训练2. 条件：正方形ABCD ，M 在CB 延长线上，N 在DC 延长线上，45MAN ∠=︒．结论：⑴ MN DN BM =-；⑵ AH AB =.A B M C H ND14 初二秋季·第4讲·提高班·教师版【解析】 ⑴在CD 上取一点Q ，使DQ =BM先证AMB AQD △≌△ 可得AM =AQ再证AMN AQN △≌△∴MN =NQ∴DN DQ DN BM NQ MN -=-==⑵可证△ANH ≌△AND ，∴AH=AD=AB训练3. 如图，在Rt ABC △中，锐角ACB ∠的平分线交对边于E ，又交斜边的高AD 于O ，过O引OF BC ∥，交AB 于F ，请问AE 与BF 相等吗？理由是什么？OO 12ABCD E F FEDCBA21543G O54321G FE DC BA【解析】 相等．理由如下：如图，过E 作EG BC ⊥于G ∵EC 平分ACB ∠，∴12∠=∠ ∵90EAC ∠=°，AD BC ⊥ ∴1490∠+∠=°，2390∠+∠=° ∴34∠=∠ ∵35∠=∠， ∴45∠=∠∴AE AO =∵EC 平分ACB ∠，EA AC ⊥，EG BC ⊥ ∴EA EG =，∴AO EG =，∵FO BC ∥∴AFO B ∠=∠，90BDA FOA ∠=∠=° ∴BEG FAO ∠=∠∴AFO EBG △≌△（AAS ） ∴AF BE =∴AF EF BE EF -=- ∴AE BF =．N M DBA15初二秋季·第4讲·提高班·教师版ABCDO E训练4. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.测试1. 如图，等腰直角△ADB 与等腰直角△AEC 共点于A ，连接BE 、CD ，则线段BE 、CD具有什么样的数量关系和位置关系 【解析】 先证明ABE ADC △≌△∴BE =CD ，再类似例1倒角即可得到BE ⊥CD测试2. 如图，△ABD 为等腰直角三角形，45∠=︒MAN ，求证：以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形. 【解析】 过B 作BD 的垂线并取BQ =ND ，连接AQ 、QM先证∴=AQB AND AQ AN △≌△， 再证∴=AQM ANM MN QM △≌△∴以BM 、MN 、DN 为边的三角形是直角三角形.课后测N M DA初二秋季·第4讲·提高班·教师版第十五种品格：创新学会变通，变则通一天早上，一位贫困的牧师，为了转移哭闹不止的儿子的注意力，将一幅色彩缤纷的世界地图，撕成许多细小的碎片，丢在地上，许诺说：“小约翰，你如果能拼起这些碎片，我就给你二角五分钱。
学而思初一数学春季班第5讲-目标中考满分班-教师版
不等式1级 不等式的概念和性质 不等式2级 含参不等式 方程6级不等式3级 不等式的应用春季班 第七讲暑期班第七讲天平漫画释义满分晋级阶梯5含参不等式编写思路：题型一：让学生掌握解一元一次不等式及一元一次不等式组的解法，认识解集，理解解与解集的区别和联系；题型二：让学生掌握含参不等式（系数含参和不含参两种类型）的解法. 对系数含参的不等式，让学生理解和掌握参数系数的讨论方法，并与含参方程的讨论方法进行比较、认识. 题型三：对于绝对值不等式，通过两种方法让学生理解（1）代数方法：即讨论、去绝对值，变成一元一次不等式，求解集. （2）几何方法：利用绝对值的几何意义求解.定 义示例剖析一元一次不等式：类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的最高次数是1的不等式，叫作一元一次不等式.25x >，340m -<，332307≥y y -+-一元一次不等式标准形式：经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形后，能化为ax b<或ax b >的形式（其中0a ≠）.563x >，37≤x 等都是一元一次不等式的标准形式 不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值叫作不等式的解．4-，2-，0，1，2都是不等式2x ≤的解，当然它的解还有许多．不等式的解集：能使不等式成立的所有未知思路导航知识互联网题型一：不等式（组）的基本解法数的集合，叫作不等式的解集．一般不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的解．不等式的解集可以用数轴来表示．3≥x 是260≥x -的解集； 2x <是2x ->-的解集解一元一次不等式的步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项（化成ax b <或ax b >形式）→系数化为1（化成b x a >或bx a<的形式）．不等式的解与不等式解集的区别与联系：不等式的解与不等式的解集是两个不同的概念，不等式的解是指使这个不等式成立的未知数的某个值，而不等式的解集，是指使这个不等式成立的未知数的所有的值组成的集合；不等式的所有解组成了解集，解集包括了每一个解．定 义示例剖析一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫作一元一次不等式组．1302841x x x ⎧-⎪⎨⎪+<-⎩≥和26061503≥x x x ⎧⎪-⎪-<⎨⎪⎪->⎩ 都是一元一次不等式组； 24x y >⎧⎨<⎩不是一元一次不等式组 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式解集的公共部分，叫作由它们所组成的一元一次不等式组的解集，当几个不等式的解集没有公共部分时，称这个不等式组无解（解集为空集）．解一元一次不等式组的步骤：⑴ 求出这个不等式组中各个不等式的解集；⑵ 利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即求出这个不等式组的解集．由两个一元一次不等式组成的不等式组，经过整理可以归结为下述四种基本类型：（表中a b >）不等式 图示解集 x ax b >⎧⎨>⎩ x a >（同大取大）x ax b <⎧⎨<⎩ x b <（同小取小）x ax b <⎧⎨>⎩ b x a <<（大小交叉中间找）x ax b >⎧⎨<⎩无解（大大小小无解了）【例1】 ⑴解不等式31423x x x +--+≤. 典题精练⑵解不等式组12(1)532122x x x --⎧⎪⎨-<+⎪⎩≤，并在数轴上表示出解集.⑶求不等式组2(2)43251x x x x --⎧⎨--⎩≤＜的整数解．⑷解不等式组32215x x -<-<⑸解不等式组253473x x -<⎧⎪-⎨>⎪⎩（2012年朝阳一模）【解析】⑴135x -≥； ⑵由①得1x -≥由②得3x <∴原不等式组的解集是13x -<≤.⑶由①得 12x -≥；由②得 2x <．∴此不等式组的解集为122x -<≤．∴此不等式组的整数解为0，1．⑷原不等式组等价于不等式组3221215x x x -<-⎧⎨-<⎩解得：1x < ⑸无解【点评】通过此题告知学生不等式组无解的写法.思路导航题型二：含参数的不等式（组）对于含参不等式，未知数的系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax b <，分类情况解集情况 0a >时解集为bx a <．0a <时 解集为bx a >.0a =时若0b >，则解集为任意数； 若0b ≤，则这个不等式无解．【引例】⑴关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩无解集，则a ，b 的大小关系是 ．⑵关于x 的一次不等式组x ax b <⎧⎨<⎩的解集是x b <，则a ，b 的大小关系是 ．⑶关于x 的一次不等式组x ax b >⎧⎨<⎩的解集是a x b <<，则a ，b 的大小关系是 ．⑷关于x 的一次不等式组x ax b ⎧⎨⎩≥≤的解集是a x b ≤≤，则a ，b 的大小关系是 ．【解析】 ⑴a b ≥；⑵b a ≤；⑶a b <；⑷a b ≤.【点评】先根据不等式组解集的情况得到大小关系，再对“是否取等”情况单独分析.【例2】 解关于x 的不等式：⑴+2a x b > ⑵13kx +> ⑶132kx x +>- ⑷36mx nx +<--⑸()212m x +< ⑹()25n x --<典题精练例题精讲【解析】 ⑴ 2b ax ->⑵移项得：2kx >当0k >时，解集为2x k >当0k <时，解集为2x k<当0k =时，不等式变为02x ⋅>，故不等式无解 ⑶移项，合并同类项得：()33k x ->-当30k ->，即3k >时，不等式解集为33x k ->- 当30k -<，即3k <时，不等式解集为33x k -<-当30k -=时，即3k =时，不等式变为03x ⋅>-，故不等式解集为任意数. ⑷不等式变形得：()9m n x +<-，因不知()m n +的正负性，故分类讨论①当0m n +>，即m n >-时，解集为9x m n <-+ ②当0m n +<，即m n <-时，解集为9x m n>-+③当0m n +=，即m n =-时，不等式无解.⑸∵210m +>，∴不等式解集为221x m <+ ⑹20n --<，∴不等式解集52x n >--【点评】第1小题为系数不含参的，第2至第4为系数含参的需要分类讨论，第5,6题都是系数恒正（恒负）的问题不需要分类讨论.【总结】解决系数含参的一元一次不等式步骤：1. 移项合并同类项后得到最简式ax b >或ax b <；2．对系数a 进行分类讨论；（此时注意分析系数有可能是恒正或恒负） 3．对系数为0的情况单独分析，此时不等式解集为任意数或无解.【例3】 ⑴不等式()123x m m ->-的解集与2x >的解集相同，则m 的值是 ．⑵关于x 的不等式2x a -≤-1的解集如图所示，则a 的值为 .⑶关于x 的不等式5ax >的解集为52x <-，则参数a 的值 .⑷ ①若不等式组3x x a >⎧⎨>⎩的解集是x a >，则a 的取值范围是 .②若不等式组3x x a >⎧⎨⎩≥的解集是x a ≥，则a 的取值范围是 .A ．3a ≤B ．3a =C ．3a >D ．3a ≥（北京二中期中考试）⑸已知关于x 的不等式组232x a x a +⎧⎨-⎩≥≤无解，则a 的取值范围是 ．⑹已知关于x 的不等式组>053x a x -⎧⎨-⎩≥无解，则a 的取值范围是 ．【解析】 ⑴由不等式解得62x m >-，即622m -=，则2m =； ⑵由不等式解得12a x -≤，可得112a -=-，1a =-；⑶2a =-⑷ ①D ；②C .⑸当232a a +>-时，不等式组无解，（大于大的，小于小的无解），∴2a <．⑹解不等式组得2x a x >⎧⎨⎩≤，当2a ≥时，不等式组无解（大于大的，小于小的无解），∴2a ≥．【例4】 ⑴ 已知关于x 的不等式组0521≥x a x -⎧⎨->⎩只有四个整数解，则实数a 的取值范围是 ．⑵ 如果关于x 的不等式50x m -≤的正整数解只有4个，那么m 的取值范围是（ ） A ．2025m <≤ B ．2025m <≤ C ．25m < D ．20m ≥（北京五中期中考试）【解析】 ⑴ 32≤a -<-；⑵A .【总结】（供教师参考）对于解决不等式组的整数解个数问题步骤：以例4（1）为例 1.写出不等式组的解集；例如2a x <≤2.根据整数解的个数在数轴上画出简图；可得32a -<<-；3.对于是否取等号单独讨论分析.当3a =-时，解集为32x -<≤此时有五个整数解，不合题意； 当2a =-时，解集为22x -<≤此时有四个整数解，合题意. 综上可得32a -<-≤.【探究对象】以下对于含有字母系数的一元一次不等式组的问题进行变式和拓展，主要针对整数根问题和解含参的不等式组，需要分类讨论.【变式】试确定实数a 的取值范围，使不等式组恰有两个整数解.544(1)331023a x x a x x +⎧+++⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩≥ 【解析】 不等式组的解为225x a -<≤恰有两个整数解，则这两个整数解必为0,1x =则122a <≤，解得112a <≤.【拓展1】如果关于x 不等式组9080.x a x b -⎧⎨-<⎩，≥的整数解仅为1，2，3，则a 的取值范围是 ，b 的取值范围是 ． （2011年西城区期末考试） 【解析】 由原不等式组可得98a bx <≤．因不等式组的整数解仅为1，2，3，于是有019a <≤，348b<≤，由019a <≤得09a <≤，由348b<≤得2432b <≤.【拓展2】解关于x 的不等式组：23262(1)11x a x x x +⎧->⎪⎨⎪+>-⎩ 【解析】原不等式组可化为323x a x >+⎧⎨>⎩，当323a +>，即13a >时，不等式组的解集为32x a >+；当323a +≤，即13a ≤时，不等式组的解集为3x >．【拓展3】已知关于x 的不等式组214(1)3x ax x -<+⎧⎨+>⎩⑴若不等式组无正整数解，求a 的取值范围；⑵是否存在实数a ，使得不等式组的解集中恰含了3个正整数解. 若存在请求出a 的取值范围.【解析】 化简不等式组得()1314a x x ->-⎧⎪⎨>-⎪⎩当1a <时，解集为1341x a --<<-；当113a ≤≤时，解集为14x >-；当13a >时，解集为31x a >--⑴若不等式组无正整数解，显然1a ≥时，均不合题意； 当1a <时，应有311a --≤，得2a -≤， 所以原不等式组无正整数解时，a 的取值范围是2a -≤； ⑵当1a ≥时，不等式组的解集中均有无数个正整数解. 当1a <时，依题意得3341a -<-≤，解得104a <≤. 故当104a <≤时，不等式组的解集中恰含了3个正整数解.定义示例剖析绝对值不等式：不等式中未知数含有一个或几个绝对值的不等式.≤x a ，122≥x x -+-对于复杂的不等式可采用整体思想，例如()()22323x x +-+<，此时不必去括号可直接把2x +看成一个整体去解.【例5】 解下列不等式 ：⑴ >2x ． ⑵ 3x ≤． ⑶ 14≤x -【解析】 ⑴ （法一）零点分类讨论：①02x x ⎧⎨>⎩≥即2x >． ②02x x <⎧⎨->⎩即2x <-．综上得，2x >或2x <-．典题精练思路导航题型三：复杂的不等式（组）（法二 ）应用绝对值的几何意义：2x >或2x <-． ⑵（法一）零点分类讨论：① 03x x ⎧⎨⎩≥≤ 即03x ≤≤．② 03x x <⎧⎨-⎩≤即30x -<≤．综上得，33x -≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：33x -≤≤． ⑶ （法一）零点分类讨论：① 1014≥≤x x -⎧⎨-⎩即51≤≤x ．② 1014≤x x -<⎧⎨-⎩即31x -<≤综上得，35x -≤≤（法二）应用绝对值的几何意义：35x -≤≤【例6】 解不等式⑴ 123≤≤x + ⑵ 235≥x x -++【解析】 ⑴（法一）零点分类讨论：① 20123x x +⎧⎨+⎩≥≤≤ 即11x -≤≤．② 201(2)3x x +<⎧⎨-+⎩≤≤即53x --≤≤．综上得，11x -≤≤或53x --≤≤．（法二）应用绝对值的几何意义：11x -≤≤或53x --≤≤． ⑵ 应用绝对值的几何意义，易得x 为任意数.【总结】绝对值不等式的解法，通常根据绝对值的意义，用讨论的方法，去掉绝对值的符号，将绝对值不等式化为不等式组进行求解.也可根据数轴，利用绝对值的几何意义进行求解.【例7】 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b <≤，求x 的取值范围．【解析】题型一 不等式（组）的基本解法 巩固练习【练习1】 不等式组331482x x x +>⎧⎨--⎩≤的最小整数解是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．－1【解析】A题型二 含参数的一元一次不等式（组） 巩固练习【练习2】 、a b 为参数，解不等式153b ax x -<-+ 【解析】 不等式化简为63b a x ⎛⎫+< ⎪⎝⎭ 当03b a +>时，解集为183x a b<+ 当03b a +<时，解集为183x a b>+ 当03b a +=时，解集为任意数. 【练习3】 ⑴若不等式(2)2a x a -<-的解集在数轴上表示如图所示，则a 的取值范围是 .复习巩固真题赏析312310,216232160,3431421624323x a x a x b x b a b x x x --+=∴=+--=∴=<-⎧⎪⎪∴⎨+⎪>⎪⎩∴-<≤≤≤⑵若不等式组213x x a -<⎧⎨<⎩的解集是2x <，则a 的取值范围是 ．⑶如果关于x 的不等式组230≥≤x x m -⎧⎨⎩无解，则m 的取值范围是 . 【解析】 ⑴2a <；⑵2a ≥； ⑶32m <.【练习4】 ⑴ 关于x 的不等式组1532223x x x x a +⎧>-⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围是（ ）． A.1453a --≤≤ B.1453a -<-≤ C.145<3a --≤ D ．1453a -<<-⑵已知关于x 的不等式组0321≥x a x -⎧⎨->-⎩的整数解有5个，则a 的取值范围是 . 【解析】 ⑴ C. 不等式组可化得2123x x a <⎧⎨>-⎩∴这四个整数只能是17，18，19，20， 故162317a -<≤，即1453a -<-≤． ⑵43≤a -<-.题型三 复杂的不等式（组） 巩固练习【练习5】 解下列不等式：135x <-<【解析】 22x -<<或48x <<第十四种品格：信念朋友的信任公元前4世纪，在意大利，有一个名叫皮斯阿司的年轻人触犯了国王。
学而思初二数学秋季班第1讲.构造轴对称图形.提高班.教师版
1初二秋季·第1讲·提高班·教师版对称的世界图形变换3级中考新题型之折纸与拼图图形变换2级 构造轴对称图形图形变换1级 轴对称初步 满分晋级漫画释义1构造轴对称图形2初二秋季·第1讲·提高班·教师版1 角平分线+垂线，等腰三角形必呈现当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，可利用等腰三角形的三线合一性质证题；2 角分线，分两边；对称全等要记全当题设有角平分线及角平分线一侧的三角形时，可截长补短，利用角平分线，构造轴对称的全等三角形．例题精讲思路导航知识互联网题型一：角平分线的常见辅助线模型（二）3初二秋季·第1讲·提高班·教师版图2N M O B CP A 图1A P CO MN【引例】 如图，在ABC △中，BE 是角平分线，AD BE ⊥，垂足为D ．求证：21C ∠=∠+∠．ABCED12F21DECBA【解析】如图，延长AD 交BC 于F 点．∵ABD FBD ∠=∠，BD BD =，90ADB FDB ∠=∠=︒， ∴Rt Rt ABD FBD △≌△． ∴2DFB ∠=∠． ∵1DFB C ∠=∠+∠， ∴21C ∠=∠+∠．【例1】 如图1所示： OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，AC OP ⊥于C 点．则延长AC 与ON交于B 点（如图2所示），易证AC BC OA OB ==，．进而可知点C 是线段AB 的中点.请根据上面的学习材料，解答下列各题：如图，在ABC △中，90BAC ∠=°，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．求证：12CE BD =．ABCD E123321FED CBA【解析】 延长CE 、BA 相交于F ，典题精练4初二秋季·第1讲·提高班·教师版在BEC △和BEF △中12BE BE BEF BEC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴BEC BEF △≌△（ASA ）∴12CE EF CF ==∵BE CE ⊥，∴190F ∠=-∠° 同理390F ∠=-∠°，∴13∠=∠在ABD △和ACF △中，13AB AC BAD CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABD ACF △≌△（ASA ） ∴BD CF =∴12CE BD =【例2】 阅读下面学习材料：如图1所示：ABC △中，取AB AC 、中点D E 、，连接DE ，则DE 叫ABC △的中位线（如图2所示）．易证DE BC ∥且12DE BC =．图2图1BCAED C BA我们来一起证明一下：证明：过点C 作CF AB ∥交DE 的延长线于F . ∴ADE CFE △≌△∴DE EF =,FC AD DB ==. ∵,FC BD ∥FC BD =∴四边形DBCF 是平行四边形. ∴1122DE BC DF ==,DF BC ∥.若在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的外角ABP ∠、ACQ ∠的角平分线，AM BM ⊥， AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =++AB CMNPQFEQPNMCBA【解析】延长AM 、CB 相交于点E ，延长AN 、BC 相交于点F ，易证()()ASA ASA AMB EMB ANC FNC △≌△，△≌△， FED C BA5初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN EB BC CF AB BC AC =++=++．【例3】 阅读下列学习材料：如图1 所示，OP 平分MON ∠，A 为OM 上一点，C 为OP 上一点.连接AC ,在射线ON 上截取OB OA =，连接BC （如图2），易证AOC BOC △≌△．图1N M OPA C图2CA PBOM N请根据上面的学习材料，解答下列各题： 如图，在四边形ABCD 中，AD BC A ∠∥，的角平分线AE 交DC 于E ，BE 是B ∠的角平分线．求证：⑴AD BC AB +=；⑵AE BE ⊥EDCB AFEDCBA【解析】⑴ 在AB 上截取AF ，使AF AD =，连接EF ，∵在ADE △和AFE △中，DA FA DAE BAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(SAS)ADE AFE △≌△ ∴ADE AFE ∠=∠ ∵AD BC ∥∴180ADE C ∠+∠=︒ ∵180EFB AFE ∠+∠=︒ ∴EFB C ∠=∠∵在EFB △和ECB △中，EBF EBC EFB C BE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴(AAS)EFB ECB △≌△ ∴BF BC =∴AD BC AF BF AB +=+= ⑵ ∵AD BC ∥,∴22180EAB EBA ∠+∠=︒ ∴90EAB EBA ∠+∠=︒ ∴AE BE ⊥.【例4】 已知：如图，在四边形ABCD 中，BC AB >，AD CD =，BD 平 A B CD6初二秋季·第1讲·提高班·教师版分ABC ∠．求证：180A C ∠+∠=°．【分析】 证两个角的和等于180°，使我们联想到证这两角和等于一个平角．由于两个角比较分散，因此根据角的平分线的条件，添加辅助线，把两个角拼成一个平角．【解析】 证法一：（这个模型我们暑期班进行过详细讲解）如图，过点D 作BA 、BC 的垂线，垂足分别为E 、F ．则DE DF =． 在Rt ADE △和Rt CDF △中，AD DC DE DF =⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL ADE CDF △≌△，∴EAD C ∠=∠． ∵180BAD EAD ∠+∠=°,∴180A C ∠+∠=°．FEDCBAA BCDEEDCBA证法二：如图，在BC 上截取BE AB =，连结DE ， 在ABD △和EBD △中AB EB ABD EBD BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()SAS ABD EBD △≌△，∴A BED ∠=∠，AD ED =． ∵AD CD =，∴ED CD =．∴C DEC ∠=∠． ∴180A C BED DEC ∠+∠=∠+∠=°．证法三：如图，延长BA 到E ，BE BC =，连结ED ．在BDE △和BDC △中，BD BD EBD CBD BE BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS BDE BDC △≌△∴E C ∠=∠，ED CD =．∵AD CD =，∴AD ED =∴E DAE ∠=∠，C DAE ∠=∠．∴BAD C ∠+∠180BAD DAE =∠+∠=°．7初二秋季·第1讲·提高班·教师版探索1：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.lBAP′PlBA【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为AB .探索2：如图，在l 上找一点P ，使PA PB +最小.ABlPlB'BA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB +最小值为'AB .【备选1】模型应用：⑴ 如图1，在等边三角形ABC 中，AB =2，点E 是AB 的中点，AD 是高，在AD 上找一点P ，使BP +PE 的值最小； ⑵ 如图2，正方形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，在AC 上找一点P ，使PB +PE 的值最小； ⑶ 如图3，⊙O 的半径为2，点A 、B 、C 在⊙O 上，OA ⊥OB ，∠AOC =60°，P 是OB 上一动点，求P A +PC 的最小值；⑷ 如图4，在四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使∠APB =∠APD ．保留作图痕迹，不必写出作法．思路导航题型二：将军饮马问题探索8初二秋季·第1讲·提高班·教师版图4图3图2图1P DCAOPCBAP E D CB AP E D CBA【解析】 ⑴作点B 关于AD 的对称点，恰好与点C 重合，连接CE 交AD 于一点，则这点就是所求的点P ，故BP +PE 的最小值为223BC BE -=；⑵连接BD ，由正方形对称性可知，B 与D 关于直线AC 对称．连接ED 交AC 于P ，则PB +PE 的最小值是225AD AE +=；⑶作A 关于OB 的对称点A ′，连接A ′C ，交OB 于P ，P A +PC 的最小值即为A ′C 的长，∵∠AOC =60°，∴∠A ′OC =120°，作OD ⊥A ′C 于D ，则∠A ′OD =60°，∵OA ′=OA =2，A ′D =3，∴A ′C =23⑶如图4，首先过点B 作BB ′⊥AC 于O ，且OB =OB ′，连接DB ′并延长交AC 于P ，由AC 是BB ′的垂直平分线，可得∠APB =∠APD ．B'DA'图4图3图2图1P DCB AO P C B AP E DCB AP E D CBA【备注】此题涉及部分勾股定理内容，程度好的班级教师可适当进行拓展，程度一般的班级可跳过计算，会画图即可．探索3：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.ABlAPB P′l【解析】直线AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB .．探索4：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最大.9初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABllB'PBA【解析】做点B 关于直线l 的对称点'B ,直线'AB 与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最大值为AB '.探索5：如图，在l 上找一点P ，使PA PB -最小.All【解析】直线AB 的中垂线与l 的交点即为所求点P ，PA PB -最小值为0.探索6：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PCD△的周长最小.BOB【分析】做点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，12P P 与直线OA 、OB 的交点为所求点C 、D .△PCD 的周长最小值为P 1P 2的长度．【备选2】 已知如图所示，40MON ∠=︒，P 为MON ∠内一点，A 为OM 上一点，B 为ON 上一点，则当PAB △的周长取最小值时，APB ∠的度数为 ．(东城期末)【解析】 分别作点P 关于ON 、OM 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PAB △的周长PA AB PB P B AB P A '''++=++， 由两点间线段最短，故PAB △的最小周长为P P '''，N PB M O AP''P'P B A N OM10 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∵40MON =︒∠，OP OP OP '''==，∴P OP '''△是等腰三角形， 此时∠O P 'P ''=∠O P ''P '=50°∴角∠APB =∠O P 'P ''+∠O P ''P '=100°．探索7：如图，点P 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点D ，在OA 边上求作一点C ，使PD CD +最小.ABPP′PDC OBA【解析】做点P 关于直线OB 的对称点'P 、过'P 向直线OA 作垂线、与OB 的交点为所求点D ，垂足即为点C ．PD +CD 的最小值为P ’C 的长度．【备选3】如图，在锐角三角形ABC 中，BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，试求CM +MN 的最小值．【解析】 过点C 作CE ⊥AB 于点E ，交BD 于点M ′，过点M ′作M ′N ′⊥BC 于N ′，则CE 即为CM +MN的最小值，∵BC =42，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，∴△BCE 是等腰直角三角形，∴CE =4，故CM +MN 的最小值为4．EN'M'ABCD NMMNDCBA探索8：如图，点C 、D 在锐角AOB ∠的内部，在OB 边上求作一点F ，在OA 边上求作一点E ，使四边形CEFD 周长最小.ODC BAC′D′FEODC BA111【解析】如图所示，作C 、D 两点分别关于直线OA 、OB 的对称点C D ''、，连接C D ''、分别交OA 、OB 于E F 、，点E 、F 即为所求．【备选4】在∠MON 的两边上分别找两点P 、Q ，使得AP +PQ +QB 最小．（保留画图痕迹，不要求写作法）A'N NO探索9：如图，直线l 外有两点A 、B ，有一定长线段a ，在直线上找到点M 、N ,使得MN 间的距离等于定长a ，使得四边形AMNB 的周长最小.B'A'aNMBAl【解析】 如图所示，将点A 向右平移a 个长度到点'A ,做点B 关于直线l 的对称点'B ,连接''A B 后交直线l 于点N ,过点A 作''AM A B ∥,交直线l 于点M ，四边形AMNB 即为所求.【备选5】⑴如图1，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC =6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使得△PDE 的周长最小． ①在图1中作出点P ．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法） ②请直接写出△PDE 周长的最小值．⑵如图2在矩形ABCD 中，AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点，若E 、F 为边AB 上的两个动点，点E 在点F 左侧，且EF =1，当四边形CGEF 的周长最小时，请你在图2中确定点E 、F 的位置．（三角板、刻度尺作图，保留作图痕迹，不写作法），并求出四边形CGEF 周长的最小值．aBAl图1图2图1BGCB12 初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】⑴ ①如图1所示：②8；⑵ 如图2，作G 关于AB 的对称点M ，在CD 上截取CH =1，然后连接HM 交AB 于E ， 接着在EB 上截取EF =1，那么E 、F 两点即可满足使四边形CGEF 的周长最小． C CGEF GE EF FC GC MH CG EF =+++=++四边形 ∵AB =4，BC =6，G 为边AD 的中点， ∴DG =AG =AM =3，∴MH=2239310+=，CG=22345+= ∴C 6310CGEF =+四边形．探索10：如图，在一组平行线l 1、l 2两侧各有两点A 、B ，在l 1、l 2间找一条线段MN ,使MN ⊥l 1并且使得AM +MN +NB 之和最短．N'M'A'l 2BN MAl 1N MBA l 2l 1【备选6】如图，荆州古城河在CC ′处直角转弯，河宽均为5米，从A 处到达B 处，须经两座桥：DD ′，EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，A 、B 在东西方向上相距65米，南北方向上相距85米，恰当地架桥可使ADD ′E ′EB 的路程最短，这个最短路程是多少米？CABD D'C'E E'FGE'E C'D'D BA C【解析】 作AF ⊥CD ，且AF =河宽，作BG ⊥CE ，且BG =河宽，连接GF ，与河岸相交于E ′、D ′．作DD ′、EE ′即为桥．13初二秋季·第1讲·提高班·教师版证明：由作图法可知，AF ∥DD ′，AF =DD ′， 则四边形AFD ′D 为平行四边形， 于是AD =FD ′， 同理，BE =GE ′，由两点之间线段最短可知，GF 最小； 即当桥建于如图所示位置时，ADD ′E ′EB 最短． 距离为()()2265-5+85-552110+⨯=米．【例5】 如图，30AOB =︒∠，点P 位于AOB ∠内，3OP =，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，求PMN △的最小周长．NMPBAOP''P'OAB PMN【解析】 分别作点P 关于OA 、OB 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，显然PMN △的周长PM MN PN P M MN P N '''++=++，由两点间线段最短，P M MN P N P P ''''''++≥，故PMN △的最小周长等于P P '''的长， ∵30AOB =︒∠，∴'"60P OP ∠=︒，又∵3OP OP OP '''===， ∴P OP '''△是等边三角形，∴3P P '''=，即PMN △的最小周长为3．【例6】 如图1，OP 是MON ∠的角平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．请你参考构造全等三角形的方法，解答下列问题：⑴ 如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=︒，AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的角平分线，AD CE 、相交于点F ．请你判断写出FE 与FD 之间的数量关系；⑵ 如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而⑴中的其他条件不变，请问，你在⑴中所得结论是否依然成立?若成立请证明；若不成立，请说明理由．（北京中考）典题精练图3图2图1P NMOABCDEFFEDC BA14 初二秋季·第1讲·提高班·教师版4321图4G FE D CBA图5HGABCD E F【解析】 图略．⑴ FE 与FD 之间的数量关系为FE FD = ⑵ ⑴中的结论FE FD =仍然成立．证法一：如图4，在AC 上截取AG AE =，连接FG ． ∵12∠=∠，AF 为公共边，∴AEF AGF △≌△， ∴AFE AFG FE FG ∠=∠=，．∵60B ∠=︒，AD 、CE 分别是BAC BCA ∠∠、的平分线，∴2360∠+∠=︒，∴60AFE CFD AFG ∠=∠=∠=︒，∴60CFG ∠=︒． ∵34∠=∠，且FC 为公共边，可得CFG CFD △≌△， ∴FG FD =，∴FE FD =．证法二：若C A ∠>∠，如图5，过点F 分别作FG AB ⊥于点G ，FH BC ⊥于点H ∵60B ∠=︒，且AD CE 、分别是BAC BCA ∠∠、的平分线， ∴2360∠+∠=︒，FG FH =， ∴601GEF ∠=︒+∠．∵1HDF B ∠=∠+∠，∴GEF HDF ∠=∠，123 4∴EGF DHF．△≌△，∴FE FD初二秋季·第1讲·提高班·教师版1516 初二秋季·第1讲·提高班·教师版训练1. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MABCE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．训练2. 在ABC △中，MB 、NC 分别是三角形的内角ABC ∠、ACB ∠的角平分线，AM BM ⊥，AN CN ⊥垂足分别是M 、N ．求证：MN BC ∥，()12MN AB AC BC =+-NMC B AFENMCB A【解析】延长AM 、BC 相交于点E ，延长AN 、CB 相交于点F ，易证Rt Rt AMB EMB △≌△，Rt Rt ANC FNC △≌△，∴AM EM =，AN FN =，AB EB =，AC FC =∴MN BC ∥，且()()1122MN FB BC CE AB AC BC =++=+-．训练3. 如图所示，AD 是内角平分线，求证：PC PB AC AB -<-图2CP D BA思维拓展训练(选讲)17初二秋季·第1讲·提高班·教师版【解析】 如图，在AC 上取一点E ，使AE AB =，连接PE ，∵AD 平分ABC ∠，∴CAP BAP ∠=∠．∵AE AB AP AP ==，，∴APE APB △≌△，∴PE PB = 在EPC △中，PC PE EC -<，即PC PB AC AE -<-， ∴PC PB AC AB -<-．训练4. 如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且2DM =，N 是AC 上的一动点，求DN MN -的取值范围．NMD CB A【解析】当DN MN =时，DN MN -有最小值为0，此时点N 位于DM 的垂直平分线与AC 的交点处．2DN MN DM -=≤，当点N 与点C 重合时，等号成立，此时有最大值2． ∴02DN MN -≤≤图6EP D CBA18 初二秋季·第1讲·提高班·教师版题型一 角平分线的常见辅助线模型（二） 巩固练习【练习1】 如图所示，在Rt ABC △中，90C ∠=°，BD 是ABC ∠的平分线，交AC 于D 点，若CD n =，AB m =，则ABD △的面积是 ．（北京四中期中）【解析】 2mn（提示：过D 作AB 垂线）【练习2】 在ABC △中，AD 平分BAC ∠，CD AD ⊥，D 为垂足，G 为BC 的中点，求证：DGC B ∠=∠．A CDGBACD EGB【解析】延长CD 交AB 于E ，则得ADC ADE △≌△，所以D 为EC 中点，所以DG AB ∥，所以DGC B ∠=∠【练习3】 ⑴ 如图1所示，在ABC △中，AC AB >，M 为BC 的中点，AD 是BAC ∠的角平分线，若CF AD ⊥且交AD 的延长线于F ，求证:1()2MF AC AB =-.⑵ 如图2所示，将⑴中AD 改成BAC ∠的外角平分线，其它条件不变，则⑴中结论是否依然成立？成立请证明；若不成立，请说明理由．图1BM F D CA图2CBM FDA【解析】 ⑴ 如图3所示，延长AB 、CF 相交于点E ，在AFE △和AFC △中，EAF CAF ∠=∠，复习巩固CDBA19初二秋季·第1讲·提高班·教师版AF AF =，AFE AFC ∠=∠，故AFE AFC △≌△，从而AE AC =，EF FC =.而CM MB =，故MF 是CBE △的中位线， 从而()()111222MF BE AE AB AC AB ==-=-．⑵ 不成立．理由如下：如图4所示，延长CF 交BA 延长于E 点易证AEF ACF △≌△，∴EF CF =，即F 点为CE 中点 ∵M 是BC 中点,∴()()111222MF BE BA AE BA AC ==+=+．【练习4】 如图所示，在ABC △中，100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，BD 是ABC ∠的平分线，延长BD至E ，使DE AD =．求证：BC AB CE =+EDCAF EDCA【解析】 在BC 上取一点F ，使得BF BA =易证得ABD FBD △≌△，∴DF AD =， 又∵DA DE =，∴DF DE =∵100A ∠=︒，40ABC ∠=︒，∴AB AC = ∵BD 平分ABC ∠，∴20ABD ∠=︒ ∴60ADB FDB ∠=∠=︒ ∵60CDE ADB ∠=∠=︒ ∴60FDC EDC ∠=∠=︒， ∴DCF DCE △≌△图3ACD EF M B 图4ADEFM BC20 初二秋季·第1讲·提高班·教师版∴FC EC =，∴BC BF FC AB CE =+=+题型二 将军饮马问题 巩固练习【练习5】 已知ABC △的顶点坐标分别为A (0，2)，B (2-，0)，C (1，0)，O 是坐标原点.试在AB 和AC 边上分别找一点D 、E ，使DOE △的周长最短.画出点D 、E 两点的位置图形，简述作图方法.(清华附中期中考试试题)y C O x B AO 2O 1EDyC O xB A【解析】 作点O 关于线段AB 、AC 的对称点1O 、2O ，连接两点与AB 、AC 的交点为所求点D 、E .21初二秋季·第1讲·提高班·教师版ABOP QR P′P″A B O P Q R P′P″P O B A测试1. 如图AOB ∠内有点P ，试在角的两边上找两点Q 、R (均不同于O 点)，使PQR △的周长最小，画出Q 、R 两点的位置图形，保留作图痕迹.【解析】测试2. 如图，在四边形ABCD 中，AC 平分BAD ∠，过C 作CE AB E ⊥于，并且1()2AE AB AD =+，则ABC ADC ∠+∠等于多少？E DCBAF EDCBA【解析】作CF AD ⊥交AD 的延长线于点F ,可推出DF BE =，易证CEB CFD △≌△，∴ABC ADC ∠+∠180=︒测试3. 如图，已知在ABC △中，3ABC C ∠=∠，12∠=∠，BE AE ⊥．求证：2AC AB BE -=．21ECBA 543MA B CE12【解析】延长BE 交AC 于M ．∵AE BE ⊥，12∠=∠∴34∠=∠，AB AM =，BE EM = ∴AC AB AC AM MC -=-=，2BM BE = 又∵345C ∠=∠=∠+∠，353ABC C ∠=∠+∠=∠∴553C C ∠+∠+∠=∠ ∴5C ∠=∠ ∴MB MC = ∴2AC AB BE -=．课后测22 初二秋季·第1讲·提高班·教师版想像力比知识更重要，因为知识是有限的，而想像力概括着世界的一切，推动着进步，并且是知识进化的源泉。
学而思2015年试讲题目(初中数学竞赛)
8.设n是整数，如果存在整数x，y，z满足n= + + −3，则
称n具有性质P.
(1)试判断1，2，3是否具有性质P；
(2)在1，2，3，… ，2013，2014这2014个连续整数中，不具有性质
P的数有多少个？
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
y 2 x 1 3x 2 4 x 1 5 x 2
初中数学竞赛题目
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
1.已知，为整数，且满足
+ 的可能的值有（
+
+
=−
2 1
3 4
−
1
4
，则
）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
1 1 1
1
2 1
1
2 2 4 4
13 14
白
3.∆ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=1，D在BC上，E在AB上，
使得∆ADE为等腰直角三角形，∠ADE=90°，则BE的长为（ ）
A．4-2
B. 2-
C.
−
D.
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14
白
4.使得不等式
学而思初一数学秋季班第3讲.绝对值.尖子班.教师版
1初一秋季·第3讲·尖子班·教师版饕餮盛宴实数7级 实数初步实数6级 绝对值实数5级 有理数综合运算满分晋级阶梯漫画释义3绝对值2初一秋季·第3讲·尖子班·教师版题型切片（5个）对应题目 题型目标 aa的化简例1；练习1 无条件的绝对值的化简例2；练习2 零点分段法例3；练习3 用绝对值的几何意义求两点间的距离例4；练习4 用绝对值的几何意义求代数式的最值 例5，例6；练习51．绝对值：在数轴上，一个数a 所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作a ． 2．绝对值的性质：⑴ 绝对值的非负性，可以用下式表示：0a ≥，这是绝对值非常重要的性质； ⑵ (0)(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩ 0 ；⑶ 若a a =，则0a ≥；若a a =-，则0a ≤； ⑷ 若a b =，则a b =或a b =-； ⑸ a a =- . ⑹当0a >时，1a aa a==； 当0a <时，1a aa a==-．（主要考察分类讨论）【例1】 ⑴若a b ，均为非零的有理数，求a ba b-的值. ⑵若a b c ，，均为非零的有理数，求a b ca b c++的值. 【解析】 ⑴①当a b ，都是正数时，原式=0a ba b=-. ②当a b ，一个是正数，一个是负数时，原式=2±.∴原式的值为202-、、.⑵①当a b c ，，都是正数时，原式3a b ca b c=++=. ②当a b c ，，都是负数时，原式3=-.③当a b c ，，有两个正数一个负数时，原式1=. ④当a b c ，，有两个负数一个正数时，原式1=-.aa的化简3初一秋季·第3讲·尖子班·教师版∴原式的值为3113--、、、.针对例1进行拓展1.已知a b c abcx a b c abc=+++，且a b c ，，都不等于0，求x 的所有可能值【解析】 4或0或4-2.已知a b c ，，是非零整数，且0a b c ++=，求a b c abca b c abc +++的值. 【解析】 因为a b c ，，是非零有理数，且0a b c ++=，若a b c ，，中有一正二负，不妨设000a b c ><<，，，则原式()()11110a b c abc a b c abc =+++=+-+-+=--. 若a b c ，，中有二正一负，同理原式=0 综上，原式=03. 若a b c ，，均为非零的有理数，求a b c d a b c d+++的值.【解析】 420±±、、.老师可以继续下去，给学生们总结一下到n 的规律.【例2】 化简下列各式⑴1x -; ⑵3x -. 【解析】 ⑴当x ≥1时，则11x x -=-；当1x <时，则11x x -=-+，∴()()111=11x x x x x ⎧-⎪-⎨-+<⎪⎩≥.⑵当3x ≥时，则33x x -=-；当3x <时，则33x x -=-，∴()()333=33x x x x x ⎧-⎪-⎨-<⎪⎩≥.【例3】 阅读下列材料并解决相关问题：我们知道()()()0000x x x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式12x x ++-时，可令10x +=和20x -=，分别求得12x x =-=，（称12-，分别为1x +与2x -的零点值），在有理数范围内，零点值1x =-和2x =可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下三种情况：·⑴当1x <-时，原式()()1221x x x =-+--=-+.零点分段法无条件的绝对值化简4初一秋季·第3讲·尖子班·教师版⑵当12x -<≤时，原式()123x x =+--=. ⑶当2x ≥时，原式1221x x x =++-=-.综上讨论，原式()()()211312212x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.通过阅读上面的文字，请你解决下列的问题：. ⑴分别求出2x +和4x -的零点值； ⑵化简代数式24x x ++-.【解析】⑴分别令20x +=和40x -=，分别求得2x =-和4x =，所以2x +和4x -的零点值分别为2x =-和4x =⑵当2x <-时，原式()()242422x x x x x =-+--=---+=-+；当24x -<≤时，原式()246x x =+--=；当4x ≥时，原式2422x x x =++-=-. 所以综上讨论，原式()()()222624224x x x x x -+<-⎧⎪=-<⎨⎪-⎩≤≥.针对例3进行拓展1.求12m m m +-+-的值．【解析】先找零点，0m =，10m -=，20m -=，解得0m =，1，2．依这三个零点将数轴分为四段：0m <，01m ≤<，12m ≤<，2m ≥． 当0m <时，原式()()1233m m m m =-----=-+； 当01m ≤<时，原式()()123m m m m =----=-+； 当12m ≤<时，原式()()121m m m m =+---=+； 当2m ≥时，原式()()1233m m m m +-+-=-．2.化简：121x x --++.【解析】先找零点.10x -=，1x =．10x +=，1x =-．120x --=，12x -=，12x -=或12x -=-，可得3x =或者1x =-；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ 3x ≥，10x ->，120x --≥，10x +>，12122x x x --++=-； ⑵ 13x <≤，10x -≥，120x --<，10x +>，1214x x --++=； ⑶ 11x -<≤，10x -<，120x --<，10x +≥，12122x x x --++=+； ⑷ 1x <-，10x -<，120x --<，10x +<，12122x x x --++=--．5初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a b -表示数轴上数a 与数b 两点之间的距离. 且a b b a -=-.【例4】 ⑴ m n -的几何意义是数轴上表示m 的点与表示n 的点之间的距离．① x 的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离；x 0x -② 21-的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21-= ；③ 3x -的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若31x -=，则x = ．④ 2x +的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若22x +=，则x = ．⑤ 当1x =-时，则22x x -++= ．⑵ 如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别 为p ，q ，r ，s ．若10p r -=，12p s -=，9q s -=， 则q r -= ．⑶ 不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A ，B ，C ，如果a b b c a c -+-=-，那么点A ，B ，C 在数轴上的位置关系是（ ）A ．点A 在点B ，C 之间 B ．点B 在点A ，C 之间 C ．点C 在点A ，B 之间D ．以上三种情况均有可能【解析】 ⑴ ①x ，原点；=；② 1；③x ，3，2或4；④x ，2-，0或4-；⑤4；⑵ 7；⑶ B. 【点评】此题是对绝对值几何意义的考察．【例5】 利用绝对值的几何意义完成下题：已知2x =，利用绝对值的几何意义可得2x =±；若21x +=，利用绝对值的几何意义可得1x =-或3-．已知125x x -++=，利用绝对值在数轴上的几何意义得x = ． 利用绝对值的几何意义求12x x -++的最小值 ．52x x ++-的最小值为 ． 214x x x ++-+-的最小值 ． 7326x x x x ++++-+-的最小值 ． 归纳： 若1221n a a a +<<<，当x 时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最 小值． 若122n a a a <<<，当x 满足 时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【解析】 2x =或3x =-；3；7； 6；18；1n x a +=；1n n a x a +≤≤． 用绝对值的几何意义求代数式的最值用绝对值的几何意义求两点间的距离sr q p6初一秋季·第3讲·尖子班·教师版【点评】 若1221n a a a +<<<，当1n x a +=时，1221n x a x a x a +-+-++-取得最小值．若122n a a a <<<，当x 满足1n n a x a +≤≤时，122n x a x a x a -+-++-取得最小值．【例6】 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？城市G【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．【选讲题】【例7】 有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：若11m a b b a c c =+------，则1000m = ．【解析】 由图可知，01b a c <<<<，∴()a b a b +=-+，11b b -=-，a c c a -=-，11c c -=-10001000(11)1000(2)2000m a b b c a c =⨯---+-+-+=⨯-=-.【例8】 ①化简：124x x x -+++-②求15y x x =--+的最大值和最小值． 【解析】 ①当4x >时，则12433x x x x -+++-=-当14x <≤时，则1245x x x x -+++-=+ 当21x -<≤时，则1247x x x x -+++-=-+ 当2x -≤时，则12433x x x x -+++-=-+ ②法一：根据几何意义可以得答案；法二：找到零点5-，1，可以分为以下三段进行讨论：当5x -≤时，15156y x x x x =--+=-++=； 当51x -<<时，151524y x x x x x =--+=---=--； 当1x ≥时，15156y x x x x =--+=---=-； 综上所得最小值为6-，最大值为6．c ba初一秋季·第3讲·尖子班·教师版78初一秋季·第3讲·尖子班·教师版训练1. 若a 、b 互为相反数，b 、c 互为倒数，并且m 的立方等于它本身．⑴ 试求223a bbc ++的值；⑵ 若1a >，且0m <，12322S a b b m b =----+．试求()()()42222a S a S a S -+---的值．⑶ 若0m ≠，试讨论：x 为有理数时，x m x m +--是否存在最大值，若存在，求出这个最大值，并写出解答过程；若不存在，也请你说明理由． （八一中学期中）【解析】 ⑴ 1⑵ 1a > 1b <- ∵0m <， ∴1m =-∴1232(1)()2S a b b b =-++++=522a +∴原式=105a S -=5105(2)2a a -+=252-⑶ ∵0m ≠ ∴1m =或者1m =-当1m =时，||||x m x m +--=|1||1|x x +--最大值为2； 当1m =-时，|||||1||1|x m x m x x +--=--+最大值为2 ∴当x 为有理数时，||||x m x m +--的最大值为2训练2. a b c ，，为非零有理数，且0a b c ++=，则a b b c c a a bb cc a++的值等于多少？【解析】 由0a b c ++=可知,,a b c 里存在两正一负或者一正两负；a b b c c a b c aa b c a bb cc aa b b c c a++=⋅+⋅+⋅ 若两正一负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-； 若一正两负，那么1111b c aa b c a b b c c a⋅+⋅+⋅=--=-．9初一秋季·第3讲·尖子班·教师版综上所得1a b b c c a a bb cc a++=-．训练3. 如图所示，在一条笔直的公路上有7个村庄，其中A 、B 、C 、D 、E 、F 到城市的距离分别为4、10、15、17、19、20千米，而村庄G 正好是AF 的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？【解析】 因为村庄G 是AF 的中点，所以村庄G 到城市的距离为12千米，即村庄G 在村庄B C、之间，7个村庄依次排列为A B G C D E F 、、、、、、．设活动中心到城市的距离为x 千米，各村到活动中心的距离之和为y 千米，则：4101215171920y x x x x x x x =-+-+-+-+-+-+-因为4101215171920<<<<<<，所以当15x =时y 有最小值，所以活动中心应当建在C 处．训练4. 有一台单功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算过程是：输入第一个整数1x ，只显示不运算，接着再输入整数2x 后则显示12x x -的结果．比如依次输入1，2，则输出的结果是12-=1；此后每输入一个整数都是与前次显示的结果进行求差后再取绝对值的运算．⑴若小明依次输入3,4,5，则最后输出的结果是_______； ⑵若小明将1到2011这2011个整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m ，则m 的最大值为_______；⑶若小明将1到n （n ≥3）这n 个正整数随意地一个一个的输入，全部输入完毕后显示的最后结果设为m . 探究m 的最小值和最大值. （海淀期末）【解析】 ⑴4；⑵2010；⑶对于任意两个正整数1x ，2x ，21x x -一定不超过1x 和2x 中较大的一个，对于任意三个正整数1x ，2x ，３x ，123x x x --一定不超过1x ,2x 和３x 中最大的一个，以此类推，设小明输入的n个数的顺序为，，，n x x x 21则，||||||||321n x x x x m ----= m 一定不超过，，，n x x x 21中的最大数，所以0m n ≤≤，易知m 与12n +++的奇偶性相同；1，2，3可以通过这种方式得到0：3210--=； 任意四个连续的正整数可以通过这种方式得到0： |||(1)|(3)|(2)|0a a a a -+-+-+=①；下面根据前面分析的奇偶性进行构造，其中k 为非负整数，连续四个正整数结合指的是按①式结构计算. 当4n k =时，12n +++为偶数，则m 为偶数，连续四个正整数结合可得到0，则最小值为0，前三个结合得到0，接下来连续四个结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ； 当41n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，除1外，连续四个正整数结合得到0，则最小值为1，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n ，则最大值为n ；10 初一秋季·第3讲·尖子班·教师版当42n k =+时，12n +++为奇数，则m 为奇数，从1开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下n 和1n -，则最小值为1，从2开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1和n ，最大值为1n -； 当43n k =+时，12n +++为偶数，则m 为偶数，前三个结合得到0，接下来连续四个正整数结合得到0，则最小值为0，从3开始连续四个正整数结合得到0，仅剩下1，2和n ，则最大值为1n -.初一秋季·第3讲·尖子班·教师版a a 的化简 【练习1】 若a 、b 、c 都不为0，求c a b a b c ++的值． 【解析】 3±或1±． 无条件的绝对值的化简 【练习2】 化简：23x -. 【解析】 当23x ≥时，则2332x x -=-； 当23x <时，则2323x x -=-， 零点分段法【练习3】 化简：212x x ---.【解析】 由题意可知：零点为122x x ==，. 当12x <时，原式1x =--. 当122x <≤时，原式33x =-. 当2x ≥时，原式1x =+用绝对值的几何意义求两点间的距离【练习4】 （1）阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示的数是a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，特别地，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，则0AB OB b a b ==-=-；当A 、B 两点都不在原点时：如图2，点A 、B 都在原点的右边，AB OB OA b a b a a b =-=-=-=-；如图3，点A 、B 都在原点的左边，()AB OB OA b a b a a b a b =-=-=---=-=-.如图4，点A 、B 在原点的两边，AB OA OB a b a b a b =+=+=-=-。
学而思培优数学试讲题库
0 U 1 B． 1 ，， 1 U 1 D． 0 ，，
34．已知椭圆 C :
x2 y 2 2 2 1a b 0 的离心率为 ，点 2 ， 2 在 C 上． 2 a b 2
（Ⅰ）求 C 的方程； （Ⅱ）直线 l 不经过原点 O，且不平行于坐标轴，l 与 C 有两个交点 A，B，线段 AB 中点 为 M，证明：直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率乘积为定值．
2 1 ，第二次吃了余下的 ，第三天吃了又余了的 5 3
3 ，这时还剩下 15 千克．那么食堂运来大米共多少千克？ 4 关键词：还原问题，转换单位“1” 1 2 14. 园里的荔枝获得丰收，第一天摘了全部荔枝的 又 10 筐，第二天摘了余下的 又 3 筐， 3 5
这样还剩下 63 筐荔枝没有摘，则共有荔枝多少筐？ 关键词：还原问题，转换单位“1”
学而思培优西安分校师资选聘部
关键词：二次函数中的相似三角形 30. 如图，菱形 OABC 的顶点 C 的坐标为（3，4），顶点 A 在 x 轴的正半轴上．反比例函 k 数 y x 0 的图象经过顶点 B，则 k 的值为 ． x
关键词：反比例函数的几何意义应用。 31．若 a ， b 是函数 f x x 2 px q p 0 ，q 0 的两个不同的零点，且 a ， b ， 2 这 三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于（ ） A．6 B．7 C．8 D．9
1 1 1 1 1 1 11. 3 5 5 7 7 9 9 11 11 13 13 15 关键词：裂项
12. 甲、乙两车分别同时从 A，B 两地相对开出，第一次在离 A 地 80 千米处相遇．相遇后继 续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离 B 地 20 千米处相遇．求 A，B 两地间的距离？ 关键词：二次相遇 13. 食堂运来一批大米，第一天吃了全部的
学而思三讲——精选推荐
学⽽思三讲例 1 在＋、－、×、÷、（）中，挑出合适的符号，填⼊下⾯的数字之间，使等式成⽴。
9 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 19 8 7 6 5 4 3 2 1 = 1例2在⼋个8之间的适当地⽅，填上运算符号＋、－、×、÷，使等式成⽴。
8 8 8 8 8 8 8 8 =10004例3在下列等式中，填上＋、－、×、÷、（），分别填出⼋个不同的等式，使结果成⽴。
（1）4 4 4 4 = 0（2）4 4 4 4 = 1（3）4 4 4 4 = 2（4）4 4 4 4 = 3（5）4 4 4 4 = 4练⼀练在五个4之间，填上适当的运算符号＋、－、×、÷和（），使得下⾯的等式成⽴。
4 4 4 4 4 = 85例4在每两个数字之间填上运算符号，使等式成⽴8 2 4 6 = 4 2练⼀练在下式的每两数中间填上四则运算符号，使等式成⽴：8 2 3 = 3 38 2 3 = 3 36本讲作业1.在下⾯题中填上适当的运算符号和括号，使等式成⽴。
1 2 3 4 5 = 202.在下式的相邻两数之间填上四则运算符号，使等式成⽴。
9 2 3 = 3 33.从＋、－、×、÷、（）中，挑选出合适的符号，填⼊下列等式合适的地⽅，使等式成⽴。
5 5 5 5 5 = 44.从＋、－、×、÷、（）中，挑选出合适的符号，填⼊下列等式合适的地⽅，使等式成⽴。
9 9 9 9 9 9 = 1009 9 9 9 9 9 = 1005.⽤2、3、5、6四个数字，在它们之间填上＋、－、×、÷、（），使得结果等于24（每个数字只能⽤⼀次）。
复习作业1、三堆糖果共有105颗，其中第⼀堆糖果的数量是第⼆堆的3倍，⽽第三堆的数量⼜⽐第⼆堆的2倍少3颗，第三堆糖果有多少颗？2、⼀群蚂蚁搬家，原存⼀堆⾷物，第⼀天运出总数的⼀半少12克，第⼆天运出剩下的⼀半少12克，结果窝⾥还剩下43克，问蚂蚁家原有⾷物多少克？3、某校五年级学⽣排成⼀个⽅阵，最外⼀层的⼈数为48⼈，问⽅阵外层每边有多少⼈？这个⽅阵共有五年级学⽣多少⼈？例1（1）看图先写出分数，再写出⼩数。
学而思初中数学试讲题
T omorrow Advancing Life
学而思培优教师应聘材料
试讲题（初数）
教师姓名：_____________
应聘日期：_____________
好未来教育学而思培优
师资选聘学院
初中数学试讲试题
命题人：朱海龙
1、因式分解：①
②
(应用知识点：换元法，十字相乘，平方差公式，添项法)
2、已知方程的两个根是，那，，请根据以上结论，解决下列问题：①已知关于的方程，求出一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的倒数；
②已知满足，，求的值；
③已知均为实数，且，求正数的最小值．
(应用知识点：韦达定理，含参一元二次方程，一元二次方程判别式)
3、已知为的中线，、的平分线分别交于、交于
，
求证：(应用知识点：倍长中线，中垂线定理，三边关系定理)
4、已知关于的一元二次方程的两个根分别在和之间以及和之间，若为整数，试求的值.(应用知识点：一元二次方程和二次函数的转化，二次函数的图像，不等式的应用)
5、已知：为外一点，分别切于两点，点为上一点．
（1）如图1，若为直径，求证：；
（2）如图2，若，求的值．(应用知识点:三线合一，切线定理，平行线，解直角三角形)
6、
证明：为无理数.(应用知识点：有理数定义，无理数)
7、
已知抛物线顶点为且过原点.过抛物线上一点
向直线作垂线，垂足为，连结（如图）.
⑴求字母的值；
⑵在直线上有一点，求以为底边的等腰三角形
的点的坐标，并证明此时为正三角形；
⑶对抛物线上任意一点，是否总存在一点
，使
恒成立，若存在请求出值，若不存在请说明理由.
(应用知识点：待定系数，证等边三角形，二次函数图像)。
学而思初二数学秋季班第11讲.特殊三角形之直角三角形.提高班.教师版
1初二秋季·第11讲·提高班·教师版满分晋级漫画释义三角形12级 成比例线段三角形11级特殊三角形之直角三角形三角形10级 勾股定理与逆定理 11特殊三角形之 直角三角形2初二秋季·第11讲·提高班·教师版有一个角是直角的三角形叫做直角三角形，这是初中阶段研究的一个特殊三角形，它的性质和判定是常考内容，也是解决初中几何问题的常用手段．一、直角三角形1. 直角三角形的性质：⑴ 两锐角互余；⑵ 三边满足勾股定理；⑶ 斜边上的中线等于斜边的一半；⑷ 30︒角所对的直角边等于斜边的一半．另外，直角三角形中还有一个重要的结论：两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab ch =．2. 直角三角形的判定：⑴ 有一个角是直角；⑵ 两锐角互余；⑶ 勾股定理的逆定理；⑷ 一条边上的中线等于这条边的一半．二、等腰直角三角形等腰直角三角形是集等腰三角形和直角三角形为一体的特殊图形，除具备等腰三角形和直角三角形的所有性质以外，它的底边中线也同时具备了“三线合一”和“斜边中线”的共同特点，可谓“集大成者”．另外，等腰直角三角形还可以看成是正方形的“半成品”，因此“还原正方形”也是等腰直角三角形常用的辅助线做法之一．思路导航知识互联网题型一：直角三角形的性质及判定3初二秋季·第11讲·提高班·教师版【引例】 如图，正方形ABCD 的边长为4，E F 、分别在BC CD 、上，且3BE CF ==，AE BF 、相交于M ，求BM 的长． 【解析】 ∵ABCD 是正方形，∴4AB BC ==，90ABC C ∠=∠=︒，∵3BE CF ==，∴ABE BCF △≌△， ∴BAE CBF ∠=∠，∴90BME ∠=︒ 又由勾股定理可知5AE =， 在Rt ABE △中，BM AE ⊥， ∴AB BE AE BM ⋅=⋅，∴125AB BE BM AE ⋅==．【例1】 1. 在ABC △中，若35A ∠=︒，55B ∠=︒，则这个三角形是__________三角形．2. 如图，在ABC △中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，若28A ∠=︒，则B ∠=_______，ACD ∠=________，BCD ∠=________．3. 如图，已知图中每个小正方形的边长为1， 则点C 到AB 所在直线的距离等于 ．（十三中分校期中）4. 如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝2，CD ＝3，则AB ＝ ．EABCDDCBA5. 已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB 边上的中线长为2，且AC ＋BC ＝6， 则S △ABC ＝ ．【解析】 1. 直角 典题精练例题精讲图2图1AMFDE FMDCBADCBAABC4初二秋季·第11讲·提高班·教师版2. 62︒；62︒；28︒3. 24. 833．通过向外补形，将四边形问题转化为三角形问题来解决．5. ∵AB 边上的中线长为2，∴AB =4，∴AC 2+BC 2=AB 2=16 ∵AC ＋BC ＝6，∴()236AC BC +=，即AC 2+BC 2+2AC BC =36 ∴1S 52ABC AC BC ==△【例2】 若直角三角形的两条直角边长为a b 、，斜边为c ，斜边上的高为h ，求证：⑴ 222111a b h+=；⑵ a b c h +<+．【解析】 ⑴ ∵222a b c +=，ab ch =，∴abc h=， 代入得22222a b a b h +=，∴222111a b h+=． ⑵ 由222a b c +=，ab ch =，则22222a ab b c ch ++=+，∴222222a ab b c ch h ++<++，即()()22a b c h +<+， ∴a b c h +<+．特殊的直角三角形是指()306090︒︒︒，，和()454590︒︒︒，，的直角三角形，它们的三条边之间有特殊的比例关系，分别是1:3:2和1:1:2，熟练运用这种特殊的比例关系，能够在解题过程中大幅提高解题的速度与正确率．【引例】 已知，Rt ABC △中，90C ∠=︒，30A ∠=︒，6AC =，求BC AB 、的长． 例题精讲思路导航题型二：特殊直角三角形的边角关系5初二秋季·第11讲·提高班·教师版【解析】 解法一：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴12BC AB =， 设BC x =，则2AB x =， 那么()()22262x x +=，解得2x =（舍负）∴2BC =，22AB =．解法二：∵90C ∠=︒，30A ∠=︒，∴::1:3:2BC AC AB =， ∴6233AC BC ===，∴222AB BC ==．【例3】 ⑴ 在ABC △中，a b c 、、分别是A B C ∠∠∠、、的对边，且::1:2:3A B C ∠∠∠=，则a 与c 的关系是____________．⑵ 如图，把两块相同的含30︒角的三角尺如图放置， 若66AD =cm ，则三角尺的最长边长为 ．（四中期中）⑶ 如图，以等腰直角三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA ，再以等腰直角三角形1ABA 的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB ，…，如此作下去，若1OA OB ==，则第8个等腰直角三角形的面积是 ．【解析】 ⑴ 2c a =；⑵ 12cm ；⑶ 64．【例4】 如图，点D 、E 是等边△ABC 的BC 、AC 上的点，且CD ＝AE ，AD 、BE 相交于P 点，BQ ⊥AD 。
学而思中考数学第10讲.点睛班之一模考前知识梳理与易错题赏析.尖子1班.教师版
`【例1】 ⑴已知抛物线过()10A -，和()30B ，点，与y 轴交于点C ，且32BC =，则这条抛物线的解析式为_________________________________．⑵如图所示，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，90ABC ∠=︒， 6AD AB ==，14BC =，点M 是线段BC 上一定点，且 8MC =．动点P 从C 点出发沿C D A B →→→的路线运动，运动到点B 停止．在点P 的运动过程中，使PMC △为等腰三角形的点P 有______个．⑶已知四边形ABCD 中，23AB BC ==，60ABC ∠=︒，90BAD ∠=︒，且ACD △是一个直角三角形，那么AD 的长等于__________________．⑷当k 为何值时，方程230x kx +-=和方程230x x k +-=有公共根？并求出公共根． 【解析】 ⑴223y x x =--或223y x x =-++⑵4⑶3或4⑷令两方程的公共根是m ，则223030m km m m k ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减得()()131k m k -=--， ①若10k -=，即1k =，两个方程都是230x x +-=，则公共根是113x -±=； 典题精练10第二轮复习之一模考前知识梳理与易错赏析题型一：分类讨论精选题MDCA②若10k -≠，即1k ≠，则3m =-，此时2k =． 综上所述，1k =时，公共根是1132-±；2k =时，公共根是3-．一、 旋转精选题【例2】 ⑴（2012四川绵阳）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′，已知∠AP ′B =135°，P′A ：P ′C =1：3，则P ′A ：PB =（ ）P 'PCBAA ．1：2B ．1：2C ．3：2D ．1：3【答案】B.【解析】 如图，连接AP ，∵BP 绕点B 顺时针旋转90°到BP ′， ∴BP=BP ′，∠ABP +∠ABP ′=90° 又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC ，∠CBP ′+∠ABP ′=90°，∴∠ABP =∠CBP ′在△ABP 和△CBP ′中，∵ BP=BP ′，∠ABP=∠CBP ′，AB=BC ，∴△ABP ≌△CBP ′（SAS ） ∴AP =P ′C∵P ′A ：P ′C =1：3，∴P ′C=AP =3P ′A连接PP ′，则△PBP ′是等腰直角三角形.∴∠BP ′P =45°，PP 2PB ∵∠AP ′B =135°，∴∠AP ′P =135°-45°=90°，∴△APP ′是直角三角形. 设P ′A =x ，则AP =3x ，在Rt △APP ′中，2222''(3)22PP AP P A x x x =--=题型二：几何小题精选在Rt △APP ′中，'2PP PB = ∴222PB x =，解得PB =2x ∴P ′A ：PB =x ：2x =1：2⑵(2012广西)如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG 的顶点F 的坐标为(4，2)，将矩 形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴上，得到矩形OMNP ，OM 与GF 相交于点A ．若经过点A 的反比例函数(0)ky x x =>的图象交EF 于点B ，则点B 的坐标为 .OEF NMG Py xBA【答案】（4，12） 【解析】 ∵矩形OEFG 绕点O 逆时针旋转，使点F 落在y 轴的点N 处，得到矩形OMNP ，∴∠P =∠POM =∠OGF =90°,∵PNO NOM ∠=∠ ∴△OGA ∽△NPO∵E 点坐标为（4，0），G 点坐标为（0，2），∴OE =4，OG =2 ∴OP=OG=2，PN=GF=OE =4∵△OGA ∽△NPO ，∴OG ：NP =GA ：OP ，即2：4=GA ：2 ∴GA=1 ∴A 点坐标为（1，2） 把A （1，2）代入ky x=得k =1×2=2 ∴过点A 的反比例函数解析式为2y x= 把x =4代入2y x =得12y =1 2）∴B点坐标为（4，D30°A 1B 1CBA ⑶（2012广东佛山）如图，把一个斜边长为2且含有30°的直角三角板ABC 绕直角顶点C 顺时针旋转90°到△A 1B 1C ，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积是 （ ）30°A 1B 1CB AA 3 C ．334π D ．11312π 【答案】D【解析】 因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形ACA 1、 BCD 和△ACD计算即可：在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC =30°，AB =2， ∴BC =12AB =1，∠B =90°－∠BAC =60°。
学而思初二数学秋季班第3讲.全等三角形的经典模型(一).提高班.教师版
作弊？三角形9级全等三角形的经典模型（二）三角形8级全等三角形的经典模型（一）三角形7级 倍长中线与截长补短 满分晋级漫画释义3全等三角形的 经典模型（一）DCBA45°45°CBA等腰直角三角形数学模型思路：⑴利用特殊边特殊角证题（AC=BC 或904545︒︒°，，）.如图1； ⑵常见辅助线为作高，利用三线合一的性质解决问题.如图2； ⑶补全为正方形.如图3，4.图1 图2图3 图4思路导航知识互联网题型一：等腰直角三角形模型ABCOMN AB COMN【例1】 已知：如图所示，Rt △ABC 中，AB =AC ，90BAC ∠=°，O 为BC 的中点，⑴写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不要求证明）⑵如果点M 、N 分别在线段AC 、AB 上移动，且在移动中保持 AN =CM .试判断△OMN 的形状，并证明你的结论. ⑶如果点M 、N 分别在线段CA 、AB 的延长线上移动，且在移动中保持AN =CM ，试判断⑵中结论是否依然成立，如果是请给出证明． 【解析】 ⑴OA =OB =OC⑵连接OA ,∵OA =OC 45∠=∠=BAO C ° AN =CM∴△ANO ≌△CMO∴ON =OM∴∠=∠NOA MOC∴90∠+∠=∠+∠=︒NOA BON MOC BON ∴90∠=︒NOM∴△OMN 是等腰直角三角形 ⑶△ONM 依然为等腰直角三角形，证明：∵∠BAC =90°，AB =AC ，O 为BC 中点 ∴∠BAO =∠OAC =∠ABC =∠ACB =45°， ∴AO =BO =OC ，∵在△ANO 和△CMO 中，AN CM BAO C AO CO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ANO ≌△CMO （SAS ） ∴ON =OM ，∠AON =∠COM ， 又∵∠COM -∠AOM =90°，典题精练A BCOMNFE DCB AN M 12A BCDEF3∴△OMN 为等腰直角三角形．【例2】 两个全等的含30，60角的三角板ADE 和三角板ABC ，如图所示放置，,,E A C 三点在一条直线上，连接BD ，取BD 的中点M ，连接ME ，MC ．试判断EMC △的形状，并说明理由．【解析】EMC △是等腰直角三角形．证明：连接AM ．由题意，得,90,90.DE AC DAE BAC DAB =∠+∠=∠=∴DAB △为等腰直角三角形. ∵DM MB =，∴,45MA MB DM MDA MAB ==∠=∠=． ∴105MDE MAC ∠=∠=， ∴EDM △≌CAM △．∴,EM MC DME AMC =∠=∠．又90EMC EMA AMC EMA DME ∠=∠+∠=∠+∠=． ∴CM EM ⊥，∴EMC △是等腰直角三角形．【例3】 已知：如图，ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D 是AC 的中点，AF BD ⊥于E ，交BC 于F ，连接DF ． 求证：ADB CDF ∠=∠． 【解析】 证法一：如图，过点A 作AN BC ⊥于N ，交BD 于M ．∵AB AC =，90BAC ∠=°， ∴345DAM ∠=∠=°． ∵45C ∠=°，∴3C ∠=∠． ∵AF BD ⊥，∴190BAE ∠+∠=° ∵90BAC ∠=°，∴290BAE ∠+∠=°． ∴12∠=∠．在ABM △和CAF △中， 123AB AC C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ABM CAF △≌△．∴AM CF =． 在ADM △和CDF △中，M EDCBA MEDCBAM12A BCDEF 3P C B A PCBAD AD CD DAM C AM CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADM CDF △≌△． ∴ADB CDF ∠=∠．证法二：如图，作CM AC ⊥交AF 的延长线于M ． ∵AF BD ⊥，∴3290∠+∠=°， ∵90BAC ∠=°， ∴1290∠+∠=°， ∴13∠=∠．在ACM △和BAD △中， 1390AC ABACM BAD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=⎩° ∴ACM BAD △≌△． ∴M ADB ∠=∠，AD CM = ∵AD DC =，∴CM CD =． 在CMF △和CDF △中， 45=⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩CF CF MCF DCF CM CD ° ∴CMF CDF △≌△．∴M CDF ∠=∠ ∴ADB CDF ∠=∠．【例4】 如图，等腰直角ABC △中，90AC BC ACB =∠=，°，P 为ABC △内部一点，满足 PB PC AP AC ==，，求证：15BCP ∠=︒．【解析】 补全正方形ACBD ，连接DP ，易证ADP △是等边三角形，60DAP ∠=︒，45BAD ∠=︒， ∴15BAP ∠=︒，30PAC ∠=︒，∴75∠=︒ACP ，∴15BCP ∠=︒．【探究对象】等腰直角三角形添补成正方形的几种常见题型 在解有关等腰直角三角形中的一些问题，若遇到不易解决或解法比较复杂时，可将等腰直角三角形引辅助线转化成正方形，再利用正方形的一些性质来解，常常可以起到化难为易的效果，从而顺利地求解。
学而思初一数学春季班第13讲 全等中的基本模型.目标满分班 教师版
三角形5级全等中的基本模型三角形6级特殊三角形之等腰三角形三角形7级倍长中线与截长补短暑期班第六讲暑期班第五讲爸爸怎么样啦？漫画释义满分晋级阶梯13全等中的基本模型把一个图形经过平移、翻折、旋转后，它们的位置虽然变化了，但是形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等. 我们把平移、翻折（轴对称）、旋转称为几何变换. 这一讲我们就来学习基本变换下的全等三角形. 常见平移模型例题精讲思路导航知识互联网题型一：平移型全等【引例】 如图，A E F B 、、、四点在一条直线上，AC CE ⊥，BD DF ⊥，AE BF =，AC BD =． 求证：CF DE = 【解析】 ∵AC CE ⊥，BD DF ⊥∴90ACE BDF ∠=∠=︒ 在Rt ACE △和Rt BDF △中 AC BDAE BF=⎧⎨=⎩ ∴()Rt Rt HL ACE BDF △≌△ ∴CE DF =，AEC BFD ∠=∠ ∴CEF DFE ∠=∠ 在CEF △和DFE △中 CE DF CEF DFE EF FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CEF DFE △≌△ ∴CF DE =【例1】 如图1，A 、B 、C 、D 在同一直线上，AB CD =，DE AF ∥，且.DE AF =求证：AFC DEB △≌△如果将BD 沿着AC 边的方向平行移动，图2，B 点与C 点重合时；图3，B 点在C 点右侧时，其余条件不变，结论是否成立，如果成立，请选择一种情况请予证明；如果不成立，请说明理由．【解析】 ∵DE AF ∥，∴A D ∠=∠．∵AB CD =，∴AB BC CD BC +=+，即AC DB =． 在AFC △和DEB △中，AC DBA D AF DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFC △≌DEB △(SAS )． 另两结论均成立，证明同上．图1F EDC BA图2FE D(C )B A图3FEDCB A典题精练常见轴对称模型【例2】 如图，ABE △和ADC △是ABC △分别沿着AB ，AC 翻折到同一平面内形成的．若1:2:315:2:1∠∠∠=，则4∠=________．【解析】 60︒；由外角得()422360∠=∠+∠=°.【例3】 如图，AB AC =，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ．求证：AM AN =．【解析】证法一：∵AB AC =， ∴ABC ACB ∠=∠．∵D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴DB EC =，AD AE =． 在DBC △与ECB △中，BC CB =，DBC ECB ∠=∠，DB EC =，∴DBC ECB △≌△． ∴BDC CEB ∠=∠∵ADM BDC ∠=∠，AEN CEB ∠=∠， ∴ADM AEN ∠=∠． 在AMD △与ANE △中，90M N ∠=∠=︒，AD AE =，ADM AEN ∠=∠，∴AMD ANE △≌△，典题精练思路导航题型二：对称型全等E D N M CBA4321EDCB A∴AM AN =．证法二：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点， ∴AD AE =．在DAC △与EAB △中，AB AC =，AE AD =，DAC EAB ∠=∠，∴DAC EAB △≌△， ∴ACD ABE ∠=∠．又∵AM CD ⊥于M ，AN BE ⊥于N ． ∴90M N ∠=∠=︒， 在AMC △与ANB △中，AC AB =，ACM ABN ∠=∠，M N ∠=∠，∴AMC ANB △≌△， ∴AM AN =． 证法三：∵AB AC =，D 、E 是AB 、AC 的中点，∴12ADC ABC S S =△△，12AEB ABC S S =△△，AD AE =，∴ADC AEB S S =△△， 在ADC △与AEB △中，AD AE =，AC AB =，DAC EAB ∠=∠，∴ADC AEB △≌△， ∴CD BE =． ∴1122CD AM BE AN ⋅=⋅， ∴AM AN =．常见旋转模型：思路导航题型三：旋转型全等E D N M CBAE D N M CBA【引例】 如图，在ABC △中，::3:5:10A B ACB ∠∠∠=，若将ACB△绕点C 逆时针旋转，使旋转后的A B C ''△中的顶点B '在原三角形的边AC 的延长线上时，求BCA '∠的度数． 【解析】 ∵::3:5:10A B ACB ∠∠∠=∴1018010018ACB ∠=︒⨯=︒∵由ACB △绕点C 旋转得到A'B'C △ ∴100A'CB'∠=︒∵180ACB A'CB'BCA'∠+∠-∠=︒ ∴100218020BCA'∠=︒⨯-︒=︒【例4】 如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：⑴AE CG =；⑵AE CG ⊥. 【解析】 ∵ADC EDG ∠=∠ ∴CDG ADE ∠=∠在CDG △和ADE △中 CD ADCDG ADE DG DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CDG ADE △≌△∴AE CG =，CGD AED ∠=∠ ∵90DME AED ∠+∠=︒ ∴+90OMG CGD ∠∠=︒ 即90GOM ∠=° ∴AE CG ⊥【点评】 可拓展证明2222AG CE AC GE +=+.【例5】 如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．典题精练例题精讲A'B'CBAM D NEFO GFEDCBAM请你证明：⑴AN BM =； ⑵60MFA ∠=； ⑶DEC △为等边三角形； ⑷DE AB ∥.【解析】 此图是旋转中的基本图形．其中蕴含了许多等量关系．60MCN ∠=,AN BM =，CD CE =，AD ME =，ND BE =；AM CN ∥，CM BN ∥；DE AB ∥；ACN MCB △≌△，ADC MCE △≌△，NDC BEC △≌△；DEC △为等边三角形．⑴∵ACM △、CBN △是等边三角形， ∴MC AC =，CN CB =，ACN MCB ∠=∠ ∴ACN MCB △≌△，∴AN BM =. (找出图中所有的全等三角形，及相等的线段)⑵ 60MFA NAB MBA BMC MBA MCA ∠=∠+∠=∠+∠=∠=. (找出图中所有的60角) ⑶由ACN MCB △≌△易推得NDC BEC △≌△，所以CD CE =，又60MCN ∠=，进而可得DEC △为等边三角形． ⑷由⑶易得DE AB ∥．AFC BFC ∠=∠以后学习证明.辅助线：在几何学中用来帮助解答疑难几何图形问题,在原图基础之上另外所作的具有极大价值的直线或者线段.添辅助线的作用：凸显和集散1. 揭示图形中隐含的性质：当条件与结论间的逻辑关系不明朗时，通过添加适当的辅助线，将条件中隐含的有关图形的性质充分揭示出来，以便取得过渡性的推论，达到推导出结论的目的.2. 聚拢集中原则：通过添置适当的辅助线，将图形中分散、远离的元素，通过变换和转化，使他们相对集中，聚拢到有关图形上来，使题设条件与结论建立逻辑关系，从而推导出要求的结论.3. 化繁为简原则：对一类几何命题，其题设条件与结论之间在已知条件所给的图形中，其逻辑关系不明朗，通过添置适当辅助线，把复杂图形分解成简单图形，从而达到化繁为简、化难为易的目的.4. 发挥特殊点、线的作用：在题设条件所给的图形中，对尚未直接显现出来的各元素，通过添置适当辅助线，将那些特殊点、特殊线、特殊图形性质恰当揭示出来，并充分发挥这些特殊点、线的作用，达到化难为易、导出结论的目的.5. 构造图形的作用：对一类几何证明题，常须用到某种图形，这种图形在题设条件所给的图形中却没有发现，必须添置这些图形，才能导出结论，常用方法有构造出线段和角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.思路导航题型四：辅助线添加初步【例6】 如图1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF )，将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． ⑴ 在图1中， ①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；⑵ 继续旋转至如图2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；⑶ 继续旋转至如图3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．（海淀区期末考试）【解析】 ⑴ ①方法一：连接BD ，在Rt ABC △中， ∵AB BC =，AD DC =．∴DB DC AD ==，90BDC =︒∠． ∴45ABD C ==︒∠∠．∵90MDB BDN CDN BDN +=+=︒∠∠∠∠， ∴MDB NDC =∠∠． ∴BMD CND △≌△． ∴DM DN =． 方法二：∵45A DBN ==︒∠∠．90ADM MDB BDN MDB +=+=︒∠∠∠∠．典题精练NM EFDCBA∴ADM BDN =∠∠． ∴ADM BDN △≌△．∴DM DN =．②四边形DMBN 的面积不发生变化； 由①知：BMD CND △≌△， ∴BMD CND S S =△△．∴1124DBN DMB DBN DNC DBC ABC DMBN S S S S S S S =+=+===△△△△△△四边形．⑵ DM DN =仍然成立，证明：连接DB ．在Rt ABC △中，∵AB BC =，AD DC =， ∴DB DC =，90BDC =︒∠． ∴45DCB DBC ==︒∠∠． ∴135DBM DCN ==︒∠∠．∵90CDN CDM BDM CDM +=+=︒∠∠∠∠， ∴CDN BDM =∠∠． ∴CDN BDM △≌△．∴DM DN =．⑶ DM DN =．【点评】本题的辅助线是根据实际描述所产生的连线，这属于辅助线里最基本的添加方式.【例7】 在四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ∥，求证：AD BC =．【解析】 连接BD∵AB CD ∥，∴ABD CDB ∠=∠ 在ABD △和CDB △中D CBADCBANM E FDCBAN MEF D CBAAB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABD CDB △≌△ ∴AD CB =．【例8】 如图所示：AF CD =，BC EF =，AB DE =，A D ∠=∠．求证：BC EF ∥． 【解析】 分别连接BF 、CE 、BE ，利用SAS 证得ABF △≌DEC △， ∴BF CE =，利用SSS 证得BFE △≌ECB △， ∴BEF EBC ∠=∠， ∴BC EF ∥．【点评】充分考虑已给条件，添加辅助线凸显条件.训练1. 如图所示：AB AC =，AD AE =，CD 、BE 相交于点O .求证：AO 平分DAE ∠. 【解析】 利用SAS 证得ABE ACD △≌△，∴E D ∠=∠，根据已知可得BD CE =， 利用AAS 证得BOD COE △≌△， ∴OD OE =，利用SAS 证得AOD AOE △≌△， ∴OAD OAE ∠=∠， ∴AO 平分DAE ∠训练2. 如图，BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，点P 在BD的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =． 求证：⑴AP AQ =；⑵AP AQ ⊥．思维拓展训练（选讲）QPEDA【解析】 ∵BD CE 、分别是ABC △的边AC 和AB 边上的高，∴ABD ACE ∠=∠， ∵BP AC =，CQ AB =， ∴ABP QCA △≌△，∴AP AQ =，APB QAC ∠=∠． ∵BP AC ⊥，∴90ADP ∠=︒， ∴90APB DAP ∠+∠=︒， ∴90CAQ DAP ∠+∠=︒， 即90PAQ ∠=︒， ∴AP AQ ⊥．训练3. 在凸五边形中，B E ∠=∠，C D ∠=∠，BC DE =，M 为CD 中点．求证：AM CD ⊥．【解析】延长AB 、AE ，交直线CD 于F 、G ．∵ABC AED ∠=∠． ∴FBC GED ∠=∠． ∵BCM EDM ∠=∠． ∴BCF EDG ∠=∠． ∴在BCF △与EDG △中 FBC GED BC EDBCF EDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴(ASA)BCF EDG △≌△ ∴F G ∠=∠．FC GD =． ∴AG AF = ∵CM MD = ∴FM MG =∴在AMF △与AMG △中 AM AM FM MG AF AG =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴()SSS AMF AMG △≌△ ∴180902AMF AMG ︒∠=∠==︒， ∴AM CD ⊥训练4. 如图，AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED =，点F 是CD 的中点．求证：AF CD ⊥．M EDC BAGFMEDCBA【解析】连接AC 、AD ．∵AB AE =，ABC AED ∠=∠，BC ED = ∴ABC AED △≌△， ∴AC AD =又∵F 为CD 的中点， ∴FC FD =∴ACF ADF △≌△ ∴AFC AFD ∠=∠ 即AF BE ⊥．题型一 平移型全等 巩固练习【练习1】 ⑴ 如图⑴，若AB CD =，A E F C 、、、在一条直线上，AE CF =，过E F 、分别作DE AC ⊥， BF AC ⊥．求证：BD 平分EF ．⑵ 若将DEC △的边EC 沿AC 方向移动到图⑵的位置时，其他条件不变，上述结论是否成立？F ED C BAABC F DE复习巩固请说明理由．【解析】 ⑴ ∵AE CF =，∴AE EF CF EF +=+，即AF CE =，∵DE AC ⊥，BF AC ⊥，∴90AFB CED ∠=∠=︒ ∴Rt Rt ABF CDE △≌△， ∴BF DE =， 又BGF DGE ∠=∠， ∴BGF DGE △≌△， ∴EG FG =，即BD 平分EF⑵ 仍然成立．证明方法同上，不再赘述．【点评】 此题难度不大，老师们可以给学生说明图形平移变换的形式和它的简单性质，以及综合题的命题形式和思路．题型二 对称型全等 巩固练习【练习2】 已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC =，OB OD =.求证：AB CD =．（北京市中考题） 【解析】 证明：∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，∴,AOP COP BOP DOP ∠=∠∠=∠ ∴AOB COD ∠=∠在AOB △和COD △中， ,,,OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴AOB COD △≌△ ∴AB CD =题型三 旋转型全等 巩固练习【练习3】 如图所示，已知过ABC △的顶点A 作AF AB ⊥且使AF AB =，过A 作AH AC ⊥，且使AH AC =．求证：BH FC ⊥． 【解析】 ∵AF AB ⊥，AH AC ⊥，∴90FAB HAC ∠=∠=∴FAB BAC HAC BAC ∠+∠=∠+∠，即FAC BAH ∠=∠ 又AF AB =，AH AC =(2)(1)ABCE F GGFEC BAOPDCB A432FAH∴ABH △≌AFC △ ∴41∠=∠又23∠=∠，3490∠+∠= ∴1290∠+∠=， ∴BH FC ⊥【练习4】 如图，已知ABD △和AEC △都是等边三角形，AF CD ⊥于F ，AH BE ⊥于H ，请问：AF 和AH 有何关系？请说明理由． 【解析】 ∵ABD △和AEC △都是等边三角形，∴AD AB =，AC AE =，60DAB CAE ∠=∠=︒， ∴DAC BAE ∠=∠， ∴ADC ABE △≌△， ∴ADF ABH ∠=∠， ∵AF CD ⊥，AH BE ⊥， ∴90AFD AHB ∠=∠=︒， ∴ADF ABH △≌△， ∴AF AH =．题型四 辅助线添加初步 巩固练习【练习5】 如图①，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O (点O 也是BD 中点)按顺时针方向旋转． ⑴ 如图②，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想； ⑵ 若三角尺GEF 旋转到如图③所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【解析】 ⑴BM FN =．∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45ABD F ∠=∠=︒，OB OF =． 又∵BOM FON ∠=∠，∴OBM OFN △≌△．即BM FN =．③②①OOCB DAFGENMEGFADBCCA(G)O HF EDA⑵BM FN =仍然成立．理由是：∵GEF △是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形， ∴45DBA GFE ∠=∠=︒，OB OF =． ∴135MBO NFO ∠=∠=︒． 又∵BOM FON ∠=∠， ∴OBM OFN △≌△． ∴BM FN =．③②①OOCBDAFGE MN N MEGF ADBCC B(E)A(G)第十四种品格：信念天堂的位置在得克萨斯州的一所小学里，一群天真无邪的孩子经常向玛琳娜老师询问天堂在哪里。
学而思初一数学秋季班第5讲.找规律、程序运算和定义新运算.基础-提高班.教师版
1初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版生活水平提高了满分晋级阶梯漫画释义5找规律、程序运算 和定义新运算代数式3级 找规律、程序运算 和定义新运算代数式2级整体思想求值代数式1级整式的概念及加减运算2初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版题型切片（六个） 对应题目题型目标 数列的规律 例1；练习1 数表的规律 例2；练习2 图形的规律 例3；练习3 算式的规律 例4；练习4 程序运算例5、例6：练习5 定义新运算 例7；练习6找规律解题思维过程：从简单、局部或特殊情况入手，经过提炼、归纳和猜想，探索规律，获得结论.有时候还需要通过类比联想才能找到隐含条件.一般有下列几个类型：⑴一列数的规律：把握常见几类数的排列规律及每个数与排列序号n 之间的关系.⑵一列等式的规律：用含有字母的代数式总结规律，注意此代数式与序号n 之间的关系. ⑶图形（图表）规律：观察前几个图形，确定每个图形中图形的个数或图形总数与序号n 之间的关系.⑷图形变换的规律：找准循环周期内图形变换的特点，然后用图形变换总次数除以一个循环变换周期，进而观察商和余数.⑸数形结合的规律：观察前n 项（一般前3项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论.常见的数列规律：⑴ 1，3，5，7，9，… ，21n -（n 为正整数）． ⑵ 2，4，6，8，10，…，2n （n 为正整数）． ⑶ 2，4，8，16，32，…，2n （n 为正整数）． ⑷ 2，5，10，17，26，…，21n +（n 为正整数）． ⑸0, 3, 8, 15， 24，…，21n - （n 为正整数）． ⑹ 2， 6， 12， 20，…， (1)n n +（n 为正整数）． ⑺x -，x +，x -，x +，x -，x +，…，(1)n x -（n 为正整数）．⑻x +，x -，x +，x -，x +，x -，…，1(1)n x +-（n 为正整数）． ⑼特殊数列：①斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，…，从第三个数开始每一个数等于与它相邻的前两个数的和.②三角形数：1,3,6,10,15,21，…，(1)2n n +.【例1】 ⑴ 观察下列一组数：12，34，56，78，…，它们是按一定规律排列的．那么这一组数 的第k 个数是 ．（k 为正整数）数列的规律思路导航题型切片3初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑵瑞士中学教师巴尔末成功地从光谱数据95，1612，2521，3632，…中得到巴尔末公式，从而打开了光谱奥妙的大门．请你按这种规律写出第八个数据是 ．⑶找规律，并按规律填上第五个数:357924816--，，，， ，第n 个数为： . （n 为正整数）⑷有一列数12-，25，310-，417，…，那么第7个数是 ．第n 个数为 . （n 为正整数）（5）一组按规律排列的式子：2b a -，52b a ，83b a -，114b a，…（0ab ≠），其中第7个式子是 ，第n 个式子是 .（n 为正整数）【解析】 ⑴ 212k k -； （2） 10096， ⑶1132-，21(1)2n n n +-；⑷ 750-，2(1)1nn n -+ ；（5）207b a -，31(1)n n nb a --．【例2】 ⑴将杨辉三角中的每一个数都换成分数，得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，若用有序数对(),m n 表示第m 行，从左到右第n 个数，如()4,3表示分数112.那么()9,2表示的分数是 . 1112211136311114121241111152030205（2） 正整数按图的规律排列. 请写出第20行第21列的数字: ．数表的规律4初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑶按一定的规律排列成的数表如图所示.①当“X”型框中间数字为15时，框中五个数的和为 .当“X”型框中间数字为-57时，框中五个数的和为 .②如果设“X”型框中间的数为a ，请用含a 的代数式表示“X”型框中五个数的和； ③若将“X”型框上下左右移动，所框住的五个数之和能等于－285吗？若能，请求出这-13 -5 7 -9 11 -13 15 -17 19 -21 23 -25 27 -29 31 -33 35 -37 39 -41 43 -45 47 -49 51 -53 55 -57 59 -61 63 -65 67 -69 71 ………………【解析】 ⑴172⑵ 420；观察可得规律： 第一行第二列的数：212=⨯；第二行第三列的数：623=⨯； 第三行第四列的数：1234=⨯； ……第n 行第1n +列的数：(1)n n +故可得第20行第21列的数为：2021420⨯=.（3）①-45，171 ②-3a ③不能，中间数字应该为95，但是95却在最后一列第一行 第二行 第三行 第四行 第五行 第一列第二列 第三列 第四列 第五列 1 2 5 10 17 ... 4 3 6 11 18 ... 9 8 7 12 19 ... 16 15 14 13 20 (25)232221………5初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例3】 ⑴ 下图是一组有规律的图案，第1个图案由4个基础图形组成，第2个图案由7个基础图形组成，第3个图案由 个基础图形组成，……，第n （n 是正整数）个 图案由 个基础图形组成．⑵观察下列图形：它们是按照一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有个★，第n 个图形有 个★.⑶ 图1是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图2，再分别连接图2中间小三角形三边的中点，得到图3．图3图2图1① 图2有 个三角形；图3有 个三角形；② 按上面的方法继续下去，第n 个图形中有多少个三角形？⑷如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第n 个图形需要黑色棋子的个数是 ．【解析】 ⑴ 10，31n +； ⑵；28,3n+1；⑶ ①5，9．② 43n -． ⑷(2)n n +或22n n +或2(1)1n +-；算式的规律图形的规律第1个图形 第2个图形 第3个图形 第4个图形6初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版【例4】 观察下列等式：①23a a +=；②65a a +=；③127a a+=；④209a a +=…；则根据此规律第6个等式为 ，第n 个等式为 ．【解析】 1342=+aa ； 122+=++n a n n a .一般的以计算机程序为背景的新型求值题，解这类题的关键是弄清计算机程序与数学表达式之间的关系．【例5】 ⑴ 如下图，输入23x =-，则输出值y 是 ．y=-x +4(x >1)y=x +4(x ≤1)输出 y输入 x⑵ 如下图所示是计算机程序计算，若开始输入1x =-，则最后输出的结果是 .YES NO输出结果<-5计算1+x -2x 2输入x 的值⑶ 如图所示的运算程序中，若开始输入的x 值为48，我们发现第1次输出的结果为24， 第2次输出的结果为12，……，第2013次输出的结果为 ．x +3x 2x 为奇数x 为偶数输出输入x⑷ 按下面的程序计算，若开始输入的值x 为正整数，最后输出的结果为853，试求出满足条件的x 的所有值.程序运算思路导航7初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版>800输出结果是否将值赋给x ，再次运算计算4x +1的值输入x【解析】 ⑴5-；此程序为选择式，因91x =-≤，故4945y x =+=-+=-.⑵ 9-；经过第一次程序运算得2-，因为25->-，需要返回循环；经第二次运算得9-，因为95-<-，此程序结束，故输出结果为9-. ⑶ 6．（提示：利用循环，多进行几次运算．）⑷ 由题意：()85314213>0-÷=，()2131453>0-÷=，()531413>0-÷=，()13143>0-÷=，()1314>02-÷=∴只有213，53，13，3符合题意．（也可用方程思想理解：∵ x 为正整数， ∴ 415x +≥. 当41853x +=时，213x =. 当41213x +=时，53x =. 当4153x +=时，13x =. 当4113x +=时，3x =.综上所述，213x =或53x =或13x =或3x =）.【例6】 阅读右面的框图并回答下列问题： （1）若A 为785，则E=_____________；（2）按框图流程，取不同的三位数A ，所得E 的值都相同吗？如果相同，请说明理由；如果不同，请求出E 的所有可能的值；（3）将框图中的第一步变为“任意写一个个位数字不为0的三位数A ，它的百位数字减去个位数字所得的差大于．．2．”，其余的步骤不变，请猜想E 的值是否为定值？并对你猜想的结论加以证明． 【解析】 ⑴E =1089； ⑵ E 的值都相同．理由如下：设A =100a+10b +c 且a －c =2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=99a －99c =99(a －c )=99×2=198． ∴D =891．∴E =C +D =198+891=1089． (3) E =1089．8初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版证法1：设A =100a +10b +c 且a －c >2，则B =100c +10b + a ．∴C =A －B =(100a +10b +c )－(100c +10b + a )=100(a －c )+(c －a )=100(a －c －1)+10×9+(10+c －a ) ． ∴D =100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1) ．∴E =C +D =[100(a －c －1)+10×9+(10+c －a )]+[ 100(10+c －a ) +10×9+ (a －c －1)]=1089．定义新运算⑴基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、运算律进行运算.⑵注意事项：①新的运算不一定符合运算律，特别注意运算顺序. ②每个新定义的运算符号只能在本题中使用.【例7】 ⑴现定义两种新运算∆∇、，对于任意两个整数a 、b ，都有：1a b a b ∆=+-， 1b a b a ∇=-.试求：(∆∆∇(34)21)的值.⑵ 用“×”定义新运算：对于任意a b ，，都有a ×b 2a b =-． 例如，4×27479=-=，那么5×3= ； 当m 为有理数时，m ×（1-×2）= ．⑶ 对于正整数a ，b ，c ，d ，规定a b ad bc c d=-，若1134bd <<，则b d += ．⑷ 定义：a 是不为1的有理数，我们把11a -称为a 的差倒数．．．．如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是()11112=--．已知113a =-， ① 2a 是1a 的差倒数，则2a = ； ② 3a 是2a 的差倒数，则3a = ；③ 4a 是3a 的差倒数，则4a = ，…，依此类推，则2009a = ．【解析】 ⑴ 6；⑵ 22，21m +；⑶由题意得42bd -=，故2bd =，又b d ，为正整数，所以3b d +=.定义新运算思路导航9初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑷ ①34；② 4；③ 13-；34. 【点评】 一个值得注意的问题是：定义一个新运算，这个新运算常常不满足加法、乘法所满足的运算律，因此在没有确定新运算是否具有这些性质之前，不能运用这些运算律来解题．【选讲题】【例8】 （1）右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A B C D ，，，．请你按图中箭头所指方向（即A B C D C B A B →→→→→→→C →→…的方式）从A 开始数连续的正整数1234，，，，…，当数到12时，对应的字母是_______；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第21n +次出现时（n 为正整数），恰好数到的数是 （用含n 的代数式表示）．【解析】 B ，603，63n + . （2）数1234,,,,a a a a 满足下列条件：10a =，211a a =-+ ,322a a =-+,433a a =-+,则2013a 的值为 .【解析】 1006(3)如图，将一张正方形纸片，剪成四个大小形状一样的小正方形，然后将其中的一个小正方形再按同样的方法剪成四个小正方形，再将其中的一个小正方形剪成四个小正方形，如此循环进行下去：⑴ 填表：⑵ 如果剪了100次，共剪出多少个小正方形？ ⑶ 如果剪n 次，共剪出多少个小正方形？【解析】 ⑴ 如表．剪的次数1 23 4 5 正方形个数 47101316⑵ 如果剪了100次，共剪出11003301+⨯=个小正方形； ⑶ 如果剪n 次，共剪出13n +个小正方形.剪的次数1 2 3 4 5 正方形个数 4 710 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版训练1. 下面是一组按规律排列的数：1，2，4，8，16，……，第2002个数应该是（ ）A ．20022B ．200221-C ．20012D ．以上答案均不对【解析】 C.训练2. 根据右图所示的程序计算变量y 的值，若输入自变量x 的值为32，则输出的结果是 ．（汇文中学期中） 【解析】 72-.训练3. 读一读：式子“12345100++++++”表示1开始的100个连续自然数的和．由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可以将“12345100++++++”表示为1001n n =∑，这里“∑”是求和符号．例如：1357999++++++，即从1开始的100以内的连续奇数的和，可表示为50121n n =-∑（）； 又如333333333312345678910+++++++++可表示为1031n n =∑．通过对以上材料的阅读，请解答下列问题．⑴ 246810100++++++（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为 ． ⑵ 计算5211n n =-=∑（） ．（填写最后的计算结果）（北大附中期中）【解析】 ⑴ 5012n n =∑；⑵ 50,52222221(1(11(21(31(41(5150n n=-=-----=∑))+)+)+)+)训练4. 在某种特制的计算器有一个按键★★★，它代表运算2a b a b++-．例如：输入顺序 1，★★★，2-，ENTER=屏幕显示()1***2-2上述操作即是求()()12122+-+--的值，运算结果为2．回答下面的问题：y=-x -2(1<x ≤2)y=x 2(-1≤x ≤1)y=x -2(-2≤x <-1)输出y 的值输入x 的值11初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版⑴ 小明的输入顺序为5-，★★★，7，ENTER=，运算结果是 ．⑵ 小杰的输入顺序为100101，★★★，165-，ENTER=，★★★，1101-，ENTER=，★★★，6665-，ENTER=，★★★，101100，ENTER=，运算结果是 ．⑶ 若在20112012-，20102011-，20092010-，……，12-，0，12，……，20092010，20102011这些数中，任意选取两个作为a 、b 的值，进行★★★运算，则所有的运算结果中最大的值是 ．（一零一期中）【解析】 ⑴ 7⑵6665⑶ 2011201212 初一秋季·第5讲·基础-提高班·教师版数列的规律【练习1】 ⑴ 观察一列有规律的数：4，8，16，32，…，它的第2007个数是（ ）A ．20072B ．200721-C ．20082D ．20062⑵ 观察下列单项式，2x ，25x -，341017x x -，，……根据你发现的规律写出第5个式子是 ，第8个式子是 ，第n 个式子是 ．（n 为正整数）【解析】 ⑴ C ． ⑵ 582665x x -， ，12(1)(1)n n n x +-+.数表的规律【练习2】 下面是由自然数排成的数表，分为A ，B ，C 三列，按这个规律，1999在第 列。
学而思初一数学秋季班第1讲.有理数与数轴.基础-提高班.教师版
1初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版长度单位实数5级 有理数综合运算实数4级 有理数与数轴 实数3级 有理数的混合运算 满分晋级阶梯漫画释义1有理数与数轴2初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版知识点切片（3个）2+1+1知识点目标有理数与数轴（2） 1、点表示数；2、比较大小 相反数与数轴（1） 1、相反数的几何意义 绝对值与数轴（1）1、绝对值的几何意义题型切片（6个）对应题目题型目标用数轴表示数 例1、练习1数轴上点、线段的移动 例2、例3、练习2 利用数轴比较大小例4、练习3 利用数轴性质建立方程求点对应的数 例5、练习4 数轴折叠 例6、练习5 周期问题与数轴例7、练习6数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴；原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素，三者缺一不可.有理数与数轴的关系：一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数. 注意：数轴上的点不都代表有理数，如π.相反数：只有符号不同的两个数，互称为相反数．特别地，0的相反数是0.数轴上，位于原点两侧且到原点距离相等的点表示的数互为相反数.绝对值：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离．数a 的绝对值记作a ．正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数．数轴上的点，对应的数绝对值越大，离原点越远.【例1】 ⑴在数轴上画出表示12.540252--，，，，各数的点，并按从小到大的顺序重新排列，用“<”连接起来.⑵如图，数轴上表示数2-的相反数的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N ⑶数轴的单位长度为1，点A ，B 表示的数的绝对值相等，那么点A 表示的数是（ ） A ．4- B ．2- C ．0 D ．4【解析】⑴分别将数的对应点在数轴上画出，如图，按数轴上从左到右的点对应从小到大的实数，得到 1420 2.552-<-<<< ⑵A .⑶B .【例2】 ⑴数轴上有一点A ，它表示的有理数是3-，将点A 向左移动3个单位得到点B ，再向右移动8个单位，得到点C ，则点B 表示的数是 ，点C 表示的数是 ．P Q M 52.50-2123初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版⑵在数轴上，坐标是整数的点称为“整点”．设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长2013厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个， 至多有个．【解析】 ⑴由数轴的基本定义可知为62-+，.⑵2013；2014针对例2⑵的铺垫：1、⑴在数轴上，表示1999-和1999的两个点之间有 个整数（含1999-和1999）． ⑵在数轴上，表示1999.1-和1999.9的两个点之间有 个整数． 【解析】 ⑴3999；⑵ 3999．针对例2⑵的拓展：1、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长120132厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．2、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （M 为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．3、设数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长M （1m M m <<+，m为正整数）厘米的线段AB ，则线段AB 盖住的整点至少有 个，至多有 个．【解析】 1、2013；2014. 2、M ，1M +.3、m ，1m +.【例3】 ⑴一个机器人从数轴原点出发，沿数轴正方向以每前进3步后退2步的程序运动，设该机器人每秒钟前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，n x 表示第n 秒时机器人在数轴上的位置所对应的数. ①求3x 、5x 的值.②比较2013x 与2014x 的大小.⑵电子跳蚤在数轴上的某一点0K ，第一步由点0K 向左跳1个单位到点1K ，第二步由点1K 向右跳2个单位到点2K ，第三步由点2K 向左跳3个单位到点3K ，第四步由点3K 向右跳4个单位到点4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰好是19.94．求电子跳蚤的初始位置点0K 所表示的数．【解析】⑴①33x =，51x =.②2013405x =，2014404x =，20132014x x <.⑵假设电子跳蚤的起点0K 为0x ，规定向左为负，向右为正，根据题意可得： 01234569910019.94x -+-+-+--+=L L ，030.06x =-．【例4】 ⑴有理数a b ，在数轴上的对应点如图，试比较a a b b a b a b --+-，，，，，的大小.4初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版⑵已知a b ，是不为0的有理数，且a a b b a b =-=>，，，那么用数轴上的点来表示a b ，，正确的应该是哪一个（）DCB A【解析】⑴根据a b ，在数轴上的位置可知，00a b <>，，且a 的绝对值比2b 的绝对值大，所以a b a a b b b a -<<+<-<<-.⑵ C ，根据题意，00a b <>，，且在数轴上a 的对应点与原点的距离较b 的对应点大.【例5】 ⑴如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A 、B 、C 、D 对应的数分别为整数a 、b 、c 、d ，且24d a -=．试问：数轴上的原点在哪一点上？A B C D MN⑵如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ．①若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点② 若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是（ ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点⑶如图，在数轴上有若干个点，每相邻两个点之间的距离是一个单位长，有理数a 、b 、c 、d 所表示的点是这些点中的4个，且在数轴上的位置如图所示，已知343a b =-，求2c d +的值.dc b a【解析】⑴由数轴可知，3d a =+，代入24d a -=得324a a +-=，解得1a =-所以原点应在点B 处．⑵①C ．(3)(4)(7)2a a a a ++++++=-，4a =-，1b =-，0c =，3d =． ② A ．37a a ++=，4a a +=，∴0a >，2a =．⑶2-. 提示：2b a =+.【例6】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴ 若1表示的点与1-表示的点重合，则2-表示的点与数 表示的点重合： ⑵ 若1-表示的点与3表示的点重合，则5表示的点与数 表示的点重合；⑶ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为c 个单位长度，点A 表示的有理数是a ，并且A 、A5初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】 ⑴ 2；⑵3-； ⑶此时折线与数轴的交点表示的有理数是12a c ±.【例7】如图所示，数轴被折成90︒，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字2所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2013将与圆周上的数字 重合？98765431023【解析】201345031÷=L ，则与数字0重合． 针对例7的铺垫：4个单位长度，在圆的4等分点处 标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2012-将与圆周上的数字 重合．3210-5-4-3-2-1【解析】20124503÷=，则与数字0重合． 针对例7的拓展：1、如图所示，一数轴被折围成长为3，宽为2的长方形，圆的周长为4且圆上刻一指针，若1在数轴固定的情况下，圆紧贴数轴沿数轴正方向滚动，当圆与7接触的时候，指针的方向是（ ）DCBA76543210-12、如图，边长为1的等边三角形ABC 从图示的位置开始在数轴上顺时针无滑动地向右滚动，当三角形的一个顶点落在2013x =处时，三角形停止滚动. ①落在2013x =处的点是ABC △的哪个顶点？说明理由. ②在滚动过程中，点A 走过的路程是多少？…20131C B A6初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版3、把一数轴折成如图所示，第1段为1个单位长度，第2段为2个单位长度，第3段为3个单位长度，……，点O 处有一个圆，圆上刻一指针，开始指针朝东，圆周为4个单位长度，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，当圆与点A 接触时，指针指向 （东、南、西、北），当圆与2009接触时，指针指向 （东、南、西、北）．O 北西南东-10【解析】1、C ．2、①顶点C ；②894π.3、在直的数轴上，线段41AO =，414101=⨯+，指针指向北；2009(14)2023--=，因为636420162⨯=，202320167-=，故2009在点O 的西边，202345053÷=+，指针指 向西．7初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版训练1.在下列各数：(2)--，2(2)--，2--，2(2)-，2(2)--中，负数的个数为 个． 【解析】 2.训练2. 若0a b +=，c 和d 互为倒数，m 的绝对值为2，求代数式22()a b m cd ++-的值 【解析】 3.训练3. 数轴上的一个点表示一个数，当这个点表示的是整数时，我们称它是整数点．如果有一条数轴的单位长度是1厘米时，有一条2米长的线段放在数轴上它可以盖住多少个整数点？ 【解析】 200或201.训练4. 如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上数字0，1，2，3．先让圆周上数字0所对应的点与数轴上的数1-所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，那么数轴上的数2006-将与圆周上的数字 重合．【解析】 200645012÷=L ，则与数字2重合．3210-58初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版用数轴表示数【练习1】 一辆货车从超市出发，向东走了3km 到达小彬家，继续向前走了1.5km 到达小颖家，然后向西走了9.5km 到达小明家，最后回到超市⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km ，在数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置. ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？ 【解析】⑴如图所示：小颖家小彬家超市小明家西东⑵小明距离小彬家8km⑶货车共行驶了3 1.59.5519km +++=. 数轴上的点、线段的移动【练习2】 ⑴在数轴上，点A 和点B 都在与154-对应的点上，若点A 以每秒3个单位长度的速度向右运动，点B 以每秒2个单位长度的速度向左运动，则7秒之后，点A 和点B 所处的位置对应的数是什么？这时线段AB 的长度是多少？⑵在数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度是1cm ，若在这个数轴上随意画出一条长2007cm 的线段AB ．被线段AB 盖住的整数有（ ）个．A ．2005或2006B ．2006或2007C ．2007或2008D ．2008或2009【解析】⑴点A 对应的数是694，点B 对应的数是714-，线段AB 的长度是35；⑵C.利用数轴比较大小 【练习3】 数a b c d ，，，所对应的点A B C D ，，，在数轴上的位置如图所示，那么a c +与b d +的大小关系为 .【解析】a c b d +<+.利用数轴性质建立方程求点对应的数【练习4】 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的整数a 、b 、c 、d ，且29b a -=，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点【解析】C ．2(4)9b b --=，1b =-．9初一秋季·第1讲·基础-提高班·教师版数轴折叠【练习5】 已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．1⑴若1-表示的点与5表示的点重合，则7表示的点与数 表示的点重合； ⑵ 若数轴上A 、B 两点之间的距离为8个单位长度，点A 表示的有理数是10-，并且A 、B 两点经折叠后重合，请写出此时折线与数轴的交点表示的有理数是多少？【解析】⑴ 3-；⑵此时折线与数轴的交点表示的有理数是6-或14-.周期问题与数轴【练习6】 如图，圆的周长为3，在圆的三等分点处标上数字0、1、2. 圆从图示的位置向右滚动，那么数轴上的2013将与圆上哪个数字重合？120…201321﹣1【解析】1.数轴是谁最先发现的？勒内·笛卡儿1596年3月31日生于法国安德尔-卢瓦尔省的图赖讷（现笛卡尔，因笛卡儿得名），1650年2月11日逝世于瑞典斯德哥尔摩，是世界著名的法国哲学家、数学家、物理学家。
初中数学初试试讲题目——学而思
初中数学初试试讲题目——学而思数学作为学科之一，在中学阶段占有着极为重要的位置，尤其是初中学生，数学知识的掌握直接关系到高中学习和未来的成长发展。
学而思作为一家专业的教育机构，便会为初中生们提供一系列的试讲题目。
下面我们来看几道典型的题目。
题目1：有一列排成的数列，每个数都是整数，每个数都是其前面的两个数的和，最后的总和是100。
求这个数列的前三个数及其总项数。
分析：本题需要用到斐波那契数列的思想，即每个数都是前两个数的和，根据题目中的条件，我们可以列出如下的式子：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中F(1) = 1, F(2) = 1。
因为总和是100，所以可以利用斐波那契数列的性质求出，最终得到总项数为11，前三个数分别为1，1，2。
这一类的问题经常在考试中出现，需要考生根据题目所给条件把问题归纳为数列，斐波那契数列、等差数列等，在课下积极学习掌握相应的概念。
题目2：已知一个夜市园区促销活动，一家薯片小店在销售中每包薯片可以给顾客一个薯片小图案积分，同时每销售10包还可以额外送惊喜折扣券，购买者凭券再次购买可获得4折优惠，假设小店平日销售10包薯片，假定夜市园区促销时间为1周，策略推行后每日销量增长10%，问最终1周后该薯片小店所得积分及惊喜折扣券的数量。
分析：此题主要考察计算与思路梳理的综合能力，其中最关键的是要先算出7天的薯片销售量，进而算出送出的惊喜折扣券的数量，然后再乘以这些数量就可以算出所得到的积分数量。
在计算的过程中要注意单位换算和小数点的处理，在这方面进行多练习可以增强学生的思维能力。
题目3：在平面直角坐标系内，点A(1,5)，点B(13,1)，过点A作与x轴交点为C，过点B作与y轴交点为D的直线相交于E点，在三角形ABC中，通过E点作一条直线，使得直线分割出的四边形面积最大，求此四边形面积。
分析：此题难度较大，需要考生掌握较高的数学知识和推导能力，需要运用坐标系、直线交点等知识点。
学而思初一数学秋季班第6讲.含参一元一次方程的解法.尖子班.教师版
解方程满分晋级阶梯漫画释义6含参一元一次 方程的解法方程4级 方程中的设元 方程3级含参一元一次方程的解法方程2级 二元一次方程组的 概念及基本解法题型切片（四个） 对应题目题型目标 复杂一元一次方程 例1；例2；练习1； 同解一元一次方程 例3；例8；练习2； 含参一元一次方程 例4；例5；练习3；练习4 绝对值方程例6；例7；练习5；练习6对于复杂的一元一次方程，在求解过程中通常会采用一些特殊的求解方法，需要同学们掌握，如：解一元一次方程中()ax bx a b x +=+的应用.【引例】 解方程：111123452345x x x x +++=+++. 【解析】 法一：1111111123452345x ⎛⎫+++=+++ ⎪⎝⎭，所以1x =；法二：111102345x x x x ----+++=，1111()(1)02345x +++-=，所以1x =.【点评】 注意传递给学生两种解决此类问题的思路.【例1】 ⑴解方程：2152234x x +--=.（西城期末） ⑵解方程：1123(23)(32)11191313x x x -+-+=【解析】 ⑴ 去分母（方程两边同乘以12），得 4(21)3(52)24x x +--=．去括号，得 8415624x x +-+=． 移项，得 8152446x x -=--． 合并同类项，得 714x -=． 系数化为1，得 2x =-．∴ 原方程的解是 2x =-．⑵ 原方程可变为111(23)(23)(23)0111913x x x ---+-=，即111(23)0111319x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， 又1110111319+-≠，所以230x -=，即32x =． 点评：若0ab =，则0a =或0b =．复杂一元一次方程思路导航题型切片【例2】 解方程：2009122320092010x xx+++=⨯⨯⨯【解析】 1112009122320092010x ⎛⎫+++= ⎪⨯⨯⨯⎝⎭，1120092010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭即200920092010x =， 故2010x =.若两个一元一次方程的解有等量关系，先分别求出这两个方程的解，再通过数量关系列等式． 两个解的数量关系有很多种，比如相等、互为相反数、多几倍等等．【引例】 当m =________时，方程5443x x +=-的解和方程2(1)2(2)x m m +-=-的解相同．（北京四中期中考试）【解析】 法一：方程5443x x +=-的解为7x =-，方程2(1)2(2)x m m +-=-的解为362m x -=.由题意解相同，所以3672m --=，解得83m =-. 法二：方程5443x x +=-的解为7x =-，把7x =-代入2(1)2(2)x m m +-=-中，求得83m =-．【点评】同解方程问题，先分别求出这两个方程的解，再让解相等，或求出一个方程的解，把解代入另一个方程．【例3】 ⑴已知：关于x 的方程42x k -=与()322x k +=的解相同，求k 的值及相同的解．（石景山期末）⑵若关于x 的方程5342x x =-和12524ax ax x -=+有相同的解，求a 的值． ⑶若()40k m x ++=和(2)10k m x --=是关于x 的同解方程，求2km-的值．【解析】 ⑴ 22643k k +-=，解得6k =，2x ∴= ⑵ 方程5342x x =-的解为8x =-，把8x =-代入12524a x ax x -=+中，求得12a =．⑶ 法一：方程()40k m x ++=的解为4x k m-=+，方程(2)10k m x --=的解为12x k m =-，所以412k m k m -=+-，所以3m k =，所以523k m -=-. 法二：方程(2)10k m x --=等号两边乘以4-得(48)40m k x -+=，故同解一元一次方程思路导航48k m m k +=-，523k m -=-．当方程的系数用字母表示时，这样的方程称为含字母系数的方程，含字母系数的方程总能化成ax b =的形式，方程ax b =的解根据a b ，的取值范围分类讨论．① 当0a ≠时，方程有唯一解bx a=．② 当0a =且0b =时，方程有无数个解，解是任意数． ③ 当0a =且0b ≠时，方程无解．【引例】 当a ，b 时，方程1ax x b +=-有唯一解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-无解；当a ，b 时，方程1ax x b +=-有无穷多个解． 【解析】 1a b ≠，为任意数；11a b =≠-，；11a b ==-，. 【例4】 ⑴ 已知：关于x 的方程32ax x b +=-有无数多个解，试求2011()5aba b x x a b a b+-=-++ 的解.⑵ 若a 、b 为定值，关于x 的一元一次方程2236kx a x bk+--=，无论k 为何值时，它的解总是1x =，求23a b +的值．（北师大附中期中）【解析】 ⑴ 原方程整理为(2)3a x b -=--，因为当20a -=且30b --=该方程有无数多组解，所以23a b ==-，，故把23a b ==-，代入2011()5aba b x x a b a b+-=-++得610x x --=， 解得107x =-.⑵ 方程2236kx a x bk+--=可化为：(41)212k x a bk -++=，由该方程总有解1x =可知41212k a bk -++=，即(4)132b k a +=-，又k 为任意值，故401320b a +=⎧⎨-=⎩，231a b +=．【例5】 解关于x 的方程()()134m x n x m -=-【解析】 去分母，化简可得：(43)43m x mn m -=-当34m ≠时，方程的解为4343mn mx m -=-；当34m =，34n =时，解为任意值；思路导航含参一元一次方程当34m =，34n ≠时，方程无解．绝对值符号中含有未知数的方程叫绝对值方程，解绝对值方程的基本方法是：去掉绝对值符号，把绝对值方程转化为一般的方程求解1．形如ax b c +=的方程，可分如下三种情况讨论： ⑴0c <，则方程无解；⑵0c =，则根据绝对值的定义可知，0ax b +=； ⑶0c >，则根据绝对值的定义可知，ax b c +=±． 2．形如ax b cx d +=+型的绝对值方程的解法：首先根据绝对值的定义得出，()ax b cx d +=±+，且0cx d +≥；分别解方程ax b cx d +=+和()ax b cx d +=-+，然后将得出的解代入0cx d +≥检验即可． 3．含多重绝对值符号的绝对值方程的解法：主要方法是根据定义，逐层去掉绝对值．【引例】 解绝对值方程：15x -=【解析】 15x -=可知，15x -=或15x -=-，故6x =或4x =-．【例6】 若关于x 的方程230x m -+=无解，340x n -+=只有一个解，450x k -+=有两个解，下列选项正确的是（ ）A ．m n k <<B ．m n k ≤≤C ．m n k >>D ．m n k ≥≥【解析】 C .【例7】 解绝对值方程：⑴ 4812x +=⑵ 4329x x +=+⑶ 方程125x x -++=的解是 ．（北京四中期中）【解析】 ⑴由4812x +=可知，4812x +=±，故1x =或5x =-．⑵方程4329x x +=+可化为，43(29)x x +=±+，且290x +≥，解方程4329x x +=+可得，3x =；解方程43(29)x x +=-+可得，2x =-，代入检验可知，3x =，2x =-均满足题意．⑶法一：1x -与2x +的零点分别是1x =和2x =-．由“零点分段法”，分情况讨论： 若2x <-，则原方程可化为(1)25x x ---+=（），解得32x =-<-，满足题意，故3x =-是原方程的解；若21x -≤≤，则原方程可化为(1)25x x --++=（），无解；若1x >，则原方程可化为(1)25x x -++=（），解得21x =>，满足题意，故2x =也思路导航绝对值方程是方程的解．综上：方程125x x -++=的解为3x =-或2x =. 法二：用绝对值的几何意义画数轴即可解决.【选讲题】【例8】 已知：333n x m n p ++-=与2321m x m np --+=-都是关于x 的一元一次方程，且它们的解互为相反数，求关于x 的方程115x p -+=的解．（人大附中期中练习）【解析】 由题意可知，312211n n m m +==-⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩，故题中的两个方程变为1x p +=和42x p -=，由上述两个方程的解互为相反数可知，114205p p p -++=⇒=-，故方程115x p -+=变为1111655x x --=⇒-=，从而可知，5x =-或7x =．训练1. 方程3x a b x b c x c a c a b ------++=中，若11100abc a b c≠++≠，则x = . 【解析】 .x a b c =++训练2. 解关于x 方程：4x a b c x b c d x a c d x a b dd a b c------------+++=【解析】 原方程可变()()()()0x a b c d x a b c d x a b c d x a b c d d a b c -+++-+++-+++-++++++=也就是1111[()]0x a b c d a b c d ⎛⎫+++-+++= ⎪⎝⎭当11110a b c d +++=时，原方程有无穷多个解； 当11110a b c d+++≠时，原方程的解为：x a b c d =+++．训练3. 已知关于x 的方程1(1)12x k -=-的解与351148x k x +--=的解相同，求k 的值.【解析】 由 1(1)12x k -=-得 122x k -=- 12x k -=- 12x k =-+ 由351148x k x +--=得()()23518x k x +--=62518x k x +-+= 72x k =-∵两个方程的解相同， ∴1272k k -+=- ∴2k =.训练4. ⑴ 方程158x x -++=的解是 ．⑵ 解绝对值方程：35162x x ---= 【解析】 ⑴2x =或6x =-.⑵35162x x ---=或6-，即3572x x -=-或3552x x -=+ 当70x -≥时（即7x ≥），3502x ->，3572x x -=-化为3572x x -=-，解得9x =-．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -≥（即53x ≥），3552x x -=+，解得15x =．当50x +≥时（5x -≥），若还有3502x -<（即5<3x ），3552x x -=--，解得1x =-．检验这三个解9x =-（舍去），故15x =，1x =-.复杂一元一次方程 巩固练习【练习1】 解方程：0.130.41200.20.5x x +--=【解析】 10x =-. (提示：含有小数的一元一次方程在求解过程中通常是先将小数化成整数)两个一元一次方程解的关系问题 巩固练习【练习2】 已知关于x 的方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦与3151128x a x +--=有相同的解，求a 的值及方程的解.【解析】 把a 当常数，方程3242a x x x ⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的解为37x a =，方程3151128x a x +--=的解为27221a x -=， 故3272721a a -=，解得2711a =，所以8177x =．（同解方程问题）含字母系数的一元一次方程 巩固练习【练习3】 已知关于x 的方程2(1)(5)3a x a x b -=-+无解，那么a = ，b ．【解析】 2253ax a x ax b -=-+，即(35)23a x a b -=+，故350a -=且230a b +≠，即53a =，复习巩固109b ≠-． 【练习4】 如果关于x 的方程2(3)15(23)326kx x +++=有无数个解，求k 值. 【解析】 原方程整理得(410)0k x -=，由方程有无数个解得4100k -=，52k =．绝对值方程 巩固练习【练习5】 解方程：3548x -+=【解析】 3548x -+=或8-（舍），即354x -=，所以354x -=或4-，即39x =或31x =，故3x =或13x =．【练习6】 方程147x x -++=的解是 ．2x =或5x =-.每个人的成功都有秘诀，那你知道爱因斯坦的成功公式是什么？数学史第十三种品格：公平不要羡慕别人的生活，别人不见得比你活得好，世间是公平的，每个人都有自己的欢乐和痛苦。
学而思初一数学秋季班第9讲 图形的认识初步 (2)
1初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版我会回来的…满分晋级阶梯漫画释义9图形的认识初步图形的认识4级 直线、射线和线段图形的认识3级 图形的认识初步图形的认识2级 推理证明初步与知识回顾2初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版1. 几何图形⑴几何图形：从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形.⑵立体图形：有些几何图形（如长方体、正方体等）的各部分不都在同一平面内，他们是立体图形. ⑶平面图形：有些几何图形（如线段、角、正方形等）的各部分都在同一平面内，他们是平面图形. 2. 点、线、面、体⑴点、线、面、体的概念①几何体也简称为体，例如长方体、正方体等. ②包围着体的是面，面有平面和曲面两种.③面与面相交的地方形成线，线有直线和曲线两种. ④线与线相交形成点.⑵点动成线、线动成面、面动成体.3.几何图形都是由点、线、面、体构成的，点是构成图形的基本元素.4.基本图形⑴常见的几何体常见的几何体 名称 特 征 知识互联网思路导航题型一：常见的几何体3初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是半径相同的圆，侧面是曲面．棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n 边形的棱柱叫n 棱柱．圆锥 由两个面围成，有一个底面是圆形，一个顶点，侧面为曲面．棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n 边形的棱锥叫n 棱锥．球 由一个曲面围成．圆台 由三个面围成，上、下两个底面是大小不等的圆形，侧面为曲面．棱台 上、下两个底面为多边形，侧面均为梯形．⑵常见几何体的分类分类标准圆柱、棱柱、圆锥、棱锥、球按柱、锥、球分类柱圆柱、棱柱 锥 圆锥、棱锥球球 按是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球 按是否有顶点是 棱柱、圆锥、棱锥否圆柱、球【引例】 所给的图形中，是棱柱的有 个．例题精讲4初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺【解析】 4个，第⑴、⑵、⑷、⑺个图形均是．学生容易忽略第⑴、⑺个图形．【教师备选】例1是常见几何体的识别，例2是点、线、面的关系以及几何体中顶点、棱和面的关系.【例1】 如下图，柱体有 个，其中 是圆柱， 是棱柱；锥体有 个，其中是圆锥， 是棱锥．【解析】 柱体有2个，其中(b)是圆柱，(c)是棱柱．锥体有2个，其中(g)是圆锥，(e)是棱锥．【例2】 ⑴ 如图，将三角尺绕着它的一条直角边旋转一周．请回答下列问题：① 三角尺右下的顶点，经运动形成了一个怎样的图形？ ② 三角尺下面的边，经运动形成了一个怎样的图形？ ③ 三角尺的面，经运动形成了一个怎样的图形？⑵ 观察下列多面体，并把下表补充完整．名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱图形顶点数a 61012 棱数b912面数c 58①观察上表中的结果，你能发现a 、b 、c 之间有什么关系吗？请写出关系式．②一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________.【解析】 ⑴ ① 形成一个圆．② 形成一个圆面．③ 形成一个圆锥体． 典题精练5初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版⑵名称 三棱柱 四棱柱 五棱柱 六棱柱顶点数a 6 8 10 12 棱数b 912 1518面数c5 67 8①可以得到欧拉公式2a c b +-=． ②20.设顶点数为x ，则面数为x +8，则有： 8302x x ++-= 解得：12x = 面数为20.【点评】 ⑴ 点动成线，线动成面，面动成体．⑵ 多面体是根据面数命名．比如正方体和长方体都有六个面，叫做六面体．凸多面体的顶点数、棱数、面数满足欧拉公式．定义：从正面看到的图叫主视图，也叫正视图．从左面看到的图叫左视图．从上面看到的图叫俯视图．主视图、左视图、俯视图统称三视图．要求：（学生版没有）①会画一个立体图形的三视图． ②会通过三视图确定立体图形．③知道三视图与特殊立体图形的表面积、体积的关系． ④两种视图与分类讨论．（如：根据所给主视图、左视图判断最多或最少多少个立方体）【引例】 右图是一块带有圆形空洞和矩形空洞的小木板，则下列物体中最有可能既可以堵住圆形空洞，又可以堵住矩形空洞的是（ ）例题精讲思路导航题型二：三视图6初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版A ．B ．C ．D ．【解析】 B ．【点评】 此题是对圆柱体主视图（左视图）和俯视图基础知识的简单应用.【教师备选】例3要求会判断并画出几何体的三视图；例4通过三视图中的两个图能还原到整个几何体并求出面积或体积；例5根据三视图的形状判断几何体的最值情况.【例3】 ⑴ 如图所示几何体的左视图是（ ）正面⑵ 如图是由若干个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，那么其三种 视图中面积最小的是（ ）A ．正视图B ．左视图C ．俯视图D ．三种一样⑶ 一个几何体的主视图、左视图、俯视图的图形完全相同，它可能是（ ） A ．三棱锥 B ．长方体 C ．球体 D ．三棱柱⑷ 一位美术老师在课堂上进行立体模型素描教学时，把由圆锥与圆柱组成的几何体（如图所 示，圆锥在圆柱上底面正中间放置）摆在讲桌上，请你在指定的方框内分别画出这个几何体的三视图（从正面、左面、上面看得到的视图）．【解析】 ⑴ D ；⑵ B ； ⑶ C ； ⑷ 如图所示：（说明：俯视图中漏掉圆心的黑点扣分．）【例4】 ⑴ 长方体的主视图、俯视图如图所示（单位：m ），则其左视图面积是（ ） A ． B ． C ． D ．典题精练7初一秋季·第9讲·基础-提高班·教师版A ．42mB ．122mC ．12mD ．32m⑵ 如图，是一个几何体的三视图，根据图中标注的数据可求得这个几何体的体积为（ ） A ．24π B ．32π C ．36π D ．48π⑶ 将棱长是1cm 的小正方体组成如图所示的几何体． ① 画出这个图的三视图，并求出三视图的面积． ② 求该立体图形的表面积．（包括底面积） ③ 求出几何体中重叠面的面积和．【解析】 ⑴ D ；⑵ A ；⑶ ① 三视图如下：主视图的面积为26cm ；左视图的面积为26cm ；俯视图的面积为26cm ． ② 主视图、左视图、俯视图面积和的2倍：2(666)236(cm )++⨯=．③ 24. 提示法一：2(136)66624(cm )++⨯-⨯=；法二：2(26)324(cm )+⨯=【例5】 ⑴ 如右图，是由若干个同样大小的立方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置立方体的个数，则这个几何体的主视图是（ ） ⑵ 如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图 和俯视图，则组成这个几何体的小正方体最多块数是（ ） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12B A ．。
学而思初三数学秋季班第1讲.二次函数图像特征与变换.目标班.学生版
1初三秋季·第1讲·目标班·学生版中考内容中考要求 ABC二次函数能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象能通过分析实际问题的情境确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其他知识结合的有关问题二次函数在北京中考中属于必考考点，并且都以压轴题形式出现，是中考的难点，也是同学们失分最高的一部分。
中考内容与要求中考考点分析满分晋级阶梯1二次函数图象特征与变换函数16级方程与函数思想 函数15级 二次函数图象特征与变换 函数14级二次函数实际应用2初三秋季·第1讲·目标班·学生版这部分内容要求学生们⑴能用数形结合、归纳等数学思想，根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标；⑵综合运用方程、几何、函数等知识解决实际问题。
年份 2011年 2012年 2013年 题号 7，8，23 8，23 10，23 分值11分11分9分考点抛物线顶点坐标；函数图象；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数与一元二次方程（判别式、求根）函数图象；二次函数的对称性；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标）；二次函数图象平移，利用函数图象求取值范围二次函数函数图象的性质；二次函数和一次函数解析式（函数图象与坐标轴交点、函数图象交点坐标），二次函数图像的对称性图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系3初三秋季·第1讲·目标班·学生版开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；图1当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）图2与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，；② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数 ① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ）当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ）当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>例题精讲yxO1-14初三秋季·第1讲·目标班·学生版【例1】 ⑴ 设0＞b ，二次函数122-++=a bx ax y 的图象为下列之一，则a 的值为（ ）A ．152-- B ．152-+ C ．1- D ． 1 12yxO21OyxyOx-11xyO1-1⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）y xO 1-1A y xOB y xOC y xODyxO⑶ 若二次函数2y ax bx c =++的图象的开口向下，顶点在第一象限，抛物线交于y 轴的正半轴，则点,c P a b ⎛⎫⎪⎝⎭在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【例2】 ⑴二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，已知OA OB 2=，OC OA ＜，则a ，b ，c 满足的关系式是⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【例3】 (1) 已知二次函数c bx ax y ++=2满足：⑴c b a ＜＜； ⑵=++c b a ；⑶图象与x 轴有典题精练CBAOy xC BA O xy5初三秋季·第1讲·目标班·学生版2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有 ①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤412＜a b -(2) 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <； ⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个【例4】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围O y x11⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．-1-1Oyx思路导航题型二：二次函数的图象变换x=1-1Oyx6初三秋季·第1讲·目标班·学生版平移“左加右减，上加下减”．对称关于x 轴对称2y ax bx c =++的图象关于x 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =---． 关于y 轴对称 2y ax bx c =++的图象关于y 轴对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+． 关于原点对称2y ax bx c =++的图象关于原点对称后得到图象的解析式是2y ax bx c =-+-． 旋转主要旋转180︒和90︒.【引例】 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为(14)A -，，且过点(30)B ，．⑴求该二次函数的解析式；⑵将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．【解析】 ⑴ 设二次函数解析式为2(1)4y a x =--，∵二次函数图象过点(30)B ，， ∴044a =-，得1a =．∴二次函数解析式为2(1)4y x =--，即223y x x =--． ⑵ 令0y =，得2230x x --=，解方程，得13x =，21x =-． ∴二次函数图象与x 轴的两个交点坐标分别为(30)，和(10)-，． ∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点． 平移后所得图象与x 轴的另一个交点坐标为(40)，．【例5】 已知二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与反比例函数xa y 4+=的图象交于点A (a , -3)，与y 轴交于点B .⑴ 试确定反比例函数的解析式;⑵ 若∠ABO =135︒, 试确定二次函数的解析式; ⑶ 在⑵的条件下,将二次函数y =ax 2 + bx + c 的图 例题精讲典题精练Oxy-1-111234-2-3-4-4-3-24327初三秋季·第1讲·目标班·学生版象先沿x 轴翻折, 再向右平移到与反比例函数xa y 4+=的图象交于点P (x 0, 6) . 当x 0 ≤x ≤3时, 求平移后的二次函数y 的取值范围.【例6】 已知抛物线()221:22101C y ax amx am m a m =-+++>>，的顶点为A ，抛物线2C 的对称轴是y 轴，顶点为点B ，且抛物线1C 和2C 关于点()13P ，成中心对称． ⑴ 用含m 的代数式表示抛物线1C 的顶点坐标； ⑵ 求m 的值和抛物线2C 的解析式.初三秋季·第1讲·目标班·学生版Oyx89初三秋季·第1讲·目标班·学生版【例7】 已知抛物线22y x kx k =-+-+．（1）求证：无论k 为任何实数，该抛物线与x 轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P （m ，n ），n <0，310=OP ，且线段OP 与x 轴正半轴所夹锐角的正弦值为45，求该抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线x 轴上方的部分沿x 轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M ，当直线y x b =-+与图形M 有四个交点时，求b 的取值范围.-1-111xO y10 初三秋季·第1讲·目标班·学生版题型一 二次函数图象与其解析式系数关系 巩固练习【练习1】 在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的．． ）【练习2】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x 轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【练习3】 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，且2P a b c a b =-+++，2Q a b c a b =+++-，请比较P 、Q 的大小．复习巩固-1-1B A O yxDC B A xyO xyO xyO O yx1xyO11初三秋季·第1讲·目标班·学生版题型二 二次函数的图象变换 巩固练习【练习4】 如图，已知抛物线1C ：()225y a x =+-的顶点为P ，与x 轴相交于A B 、两点（点A在点B 的左边），点B 的横坐标是1． ⑴求P 点坐标及a 的值；⑵如图⑴，抛物线2C 与抛物线1C 关于x 轴对称，将抛物线2C 向右平移，平移后的抛物线记为3C ，3C 的顶点为M ，当点P M 、关于点B 成中心对称时，求3C 的解析式.（福建宁德中考）【练习5】 二次函数2y x =的图象所示，请将此图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位．⑴ 画出经过两次平移后所得到的图象，并写出函数的解析式． ⑵ 求经过两次平移后的图象与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？yxAO B PM图11C 2C 3图⑴ 1234-1-2-2-1321O y x12 初三秋季·第1讲·目标班·学生版训练1. ⑴ 设a 、b 是常数，且0b >，抛物线2256y ax bx a a =++--为下图中四个图象之一，则a 的值为（ ）-111-1xyOxyOx yO xyOA ．6或1-B ．6-或1C ．6D ．1-⑵ 已知0b <时，二次函数221y ax bx a =++-的图象如下列四个图之一所示．-111-1xyOxyOx yO x yO根据图象分析，a 的值等于．．．．（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2训练2. 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点()20-，和()10-，之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 内（包括边界和内部）的一个动点，则 ① abc _______0（填“>”或“<”）； ② a 的取值范围是_____________．思维拓展训练(选讲)13 初三秋季·第1讲·目标班·学生版训练3. 已知抛物线2(2)2y kx k x =+--（其中0k >）．⑴ 求该抛物线与x 轴的交点及顶点的坐标(可以用含k 的代数式表示)；⑵ 若记该抛物线顶点的坐标为(,)P m n ，直接写出n 的最小值； ⑶ 将该抛物线先向右平移12个单位长度，再向上平移1k个单位长度，随着k 的变化，平移后的抛物线的顶点都在某个新函数的图象上，求新函数的解析式（不要求写自变量的取值范围）．训练4. 已知抛物线 2(1)(2)1y m x m x =-+--与x 轴交于A 、B 两点．⑴ 求m 的取值范围；⑵ 若m >1, 且点A 在点B 的左侧，OA : OB =1 : 3, 试确 定抛物线的解析式；⑶ 设⑵中抛物线与y 轴的交点为C ，过点C 作直线l //x 轴,-1-2-3-4-5881234567-4-3-2-17654321O xy14 初三秋季·第1讲·目标班·学生版将抛物线在y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折, 抛物线的其余 部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答:当直线13y x b =+与新图象只有一个公共点P (x 0, y 0)且 07y ≤时, 求b 的取值范围.第十七种品格：成就古往今来，古今中外，很多人取得了各种成就。