专项训练五 梯形的存在性问题

专项训练五 梯形的存在性问题

解梯形的存在性问题一般分三个步奏：

第一步分类，第二步画图，第三步计算.

一般是已知三角形的三个顶点，在某个图象上求第四个点，使得四个点围成梯形.过三角形的每个顶点画对边的平行线，这条直线与图象的交点就是要探寻梯形的顶点. 灵活运用相似比例方程，可以使得解题简便.

1.如图，四边形ABCD 是直角梯形，AD//BC ，∠B=90o

，AD=24cm ，BC=28cm.点P 从点A 出发，沿AD 以1cm/s 的速度向点D 运动；点Q 从点C 同时出发，沿CB 以3cm/s 的速度向点B 运动，其中一个动点到达终点时，另一个点也随之停止运动.从运动开始，经过多少时间，四边形PQCD 成为平行四边形？成为等腰梯形？

2.如图，已知A 、B 是双曲线2y x

=上的两个点，A 、B 的横坐标分别为2和-1，BC ⊥x 轴，垂足为C.在双曲线上是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点D 的坐标；如果不存在，请说明理由.

3.如图，在Rt ABC 中，90o

C ∠=，AC=3，AB=5.点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长度的速度向点A 匀速运动；同时点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动.当点P 到达点A 时停止运动，点Q 也随之停止，伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，DE 交BC 于点E.设P 、Q 运动的时间是t 秒（t>0），在运动的过程中，四边形QBE

D 能否成为直角梯形？若能，求t 的值；若不能，请说明理由.

4.如图，抛物线22833

y x x =-与x 轴正半轴交于点A ，矩形OABC 的顶点C 的坐标为（0，-2），抛物线与BC 边右侧的一个交点为D.在这个抛物线上是否存在点M ，使以O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

5.如图，在Rt ABC 中，90,30o o ACB ABC ∠=∠=，点D 是直线BC 上的一个动点，连结AD ，并以AD 为边在AD 的右侧作等边三角形ADE.

（1）如图1，当点E 恰好在线段BC 上时，请判断线段DE 和BE 的数量关系，并结合图1证明你的结论；

（2）当点E 不在线段BE 上时，连结BE ，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？若成立，请结合图2 给予证明；若不成立，请直接写出新的结论；

（3）若AC=3，点D 在直线BC 上移动的过程中，是否存在以A 、C 、D 、E 为顶点的四边形是梯形？如果存在，直接写出线段CD 的长度；如果不存在，请说明理由.

6.在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线223

y x bx c =++与x 轴交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C （0，-2）.

（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；

（2）点E 为该抛物线的对称轴与x 轴的交点，点F 在对称轴上，四边形ACEF 为梯形，求点F 的坐标；

（3）点D 为该抛物线的顶点，设点P （t ，0），且t>3，如果BDP CDP 和的面积相等，求t 的值.

7.已知AB 是 O 的直径，AB=4，点C 在线段AB 的延长线上运动，点D 在 O 上运动（不与点B 重合），连结CD ，且CD=OA.

（1）当OC=，求证：CD 是 O 的切线；

（2）当OC >CD 所在直线与 O 相交，设另一交点为E ，连结AE.

①当D 为CE 中点时，求ACE 的周长；

②连结OD ，是否存在四边形AODE 为梯形？若存在，请说明梯形个数并求此时AE ·ED 的值；若不存在，请说明理由.

8.如图，已知抛物线233384

y x x =--与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C.

（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找一点M ，使得MD+MC 的值最小，并求出点M 的坐标；

（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

9.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++过A （-1，0）、B （3，0）、C （2，3）三点，与y 轴交于点D.

（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；

（2）分别连结AD 、DC 、CB ，直线4y x m =+与线段DC 交于点E ，当此直线将四边形ABCD 的面积平分时，求m 的值；

（3）设点F 为该抛物线对称轴上一点，当以A 、B 、C 、F 为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标.

10.如图，把两个全等的Rt AOB Rt COD 和分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB 、OD 在x 轴上.已知点A （1,2），过A 、C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E 、F.抛物线2y ax bx c =++经过O 、A 、C 三点.

（1）求该抛物线的函数解析式；

（2）点P 为线段OC 上的一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，问是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由.

11.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动.过点P作PE//DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动.设PE=y.

（1）求y关于x的函数关系式；

（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？

（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.