高数第七章题库微分方程
高数A复习题
微分方程 向量代数 多元函数微分学 重积分 曲线积分 无穷级数
第七章 微分方程
1.定义：
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F(x, y, y',, y(n) ) 0
或 y(n) f (x, y, y',, y(n1) ) ( n 阶显式微分方程)
例1： 3y4 y5 6y'xy 0的阶数为：4
一. 数量积 向量积 混合积
a
b
|
a
||
b
|
cos
a
b
|
a
||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
2.
c
向 a b量 sain与 b(其的中向量为积a为与bc的 夹a 角b)
c
的方向既垂直于a
，又垂直于b
，指向符合
右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”.
关于向量积的说明：
(1)
a
a
0.
(2)
a
//b
( 0 sin 0)
a
b
0.
(a
0,
b 0)
向量积还可用三阶行列式表示
i j k a b ax ay az
bx by bz
3.称定向为义量这设三的已个知混向三量合个的积向混量合a 积、b， 、记c 为，[a数bc量].(a
b)
c
设
a
n M0 M = 0 而M0 M ={x x0, y y0, z z0},
z
n
M
0
M
O
x
y
得: A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0 (1)
第七章微分方程练习题
第七章微分方程练习题一、选择题1.下列是微分方程的是 ( ) .A. dx x dy )14(-=；B.12+=x y ；C.0232=+-y y ；D.0sin =⎰xdx .2.微分方程0'3"22=+-xy yy xy 的阶数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.3.方程dt t dw w 2542=-是 ( )阶微分方程.A. 1；B.2；C.3；D.4.4.微分方程02=+'-''y y x y x 的通解中任意常数的个数是 ( ) .A. 1；B.2；C.3；D.4.5. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x6. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x7.微分方程xy y ='的一个解是( ) . A.3221+=x e y ； B.2221+=x e y ； C.1221+=x e y ； D.221x e y =.8.下列是齐次的线性微分方程的是（ ）. A.2x y dx dy +=； B.x y dxdy sin =； C.1cos '=+x y y ； D.1cos '=-y y .9.下列是齐次方程的是（ ）. A.y x dx dy +=10； B.x e y dxdy -=+； C.x y y x dx dy +=； D.x x x y dx dy sin =+.10.微分方程23x y ='的通解是（ ）；A.33x y =B. C x y +=33C. 3x y =D. C x y +=3 二、填空题1.微分方程0222=+x k dtx d 通解中任意常数的个数是 ； 2.表示未知函数、未知函数的_______与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程；3.满足初值条件50==x y的函数C y x =-22中的C 等于 ；4. 微分方程02'12=++xy y x ）（满足初值条件10==x y 的特解是_______； 5.微分方程12+='x y 的通解是 ；三、判断题1.04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）2.)(])()(2[022x xy dt t y t t y x =++⎰是齐次方程.（ ） 3.0522=++x y y 不是微分方程.（ ）4.微分方程0)2()(22=---dy xy x dx y xy 可分离变量.（ ）5一阶微分方程1cos '=+x y y 是齐次的.（ ） 四、计算题1.求微分方程0tan sec tan sec 22=+xdy y ydx x 的通解.2.求微分方程dx dy xy dx dy xy =+22的通解. 3.求微分方程23=+y dxdy 的通解. 五、证明题1.函数kt kt x sin C cos C 21+=是微分方程0222=+x k dxy d 的解.六、综合题1.一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A 成正比，比例系数k>0.假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为0r 的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的87，问雪堆全部融化需要多少时间？ 2.设有联结点O （0，0）和A （1，1）的一段向上凸的曲线弧OA ︵,对于OA ︵上任一点P （x,y ），曲线弧OP ︵与直线段OP 所围图形的面积为2x ，求曲线弧OA ︵的方程。
高数下册 第七章 微分方程习题课 (一)(二)
dy y (3) = dx 2( ln y − x) 提示: 提示 可化为关于 x 的一阶线性方程 dy (4) + x y − x3 y3 = 0 dx z = y−2 提示: 提示 为贝努里方程 , 令 y dy − x dy 微分倒推公式 (5) xdx + ydy + =0 x2 + y2 提示: 提示 为全微分方程 , 通解
B = −417
原方程通解为 y = e−x (C1 cos 2x + C2 sin 2x ) 原方程通解为 思考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 提示 特解设法有何变化 ?
故 y * = Acos 2x + Bsin 2x + D
24
′′ − a y′2 = 0 y P327 题4(2) 求解 y x=0 = 0 , y′ x=0 = −1
y 方法 1 这是一个齐次方程 . 令 u = x 方法 2 化为微分形式
( 6x3 + 3x y2 )dx + ( 3x2 y + 2y3 )dy = 0
∂P ∂Q Q = 6x y = ∂y ∂x
故这是一个全微分方程 故这是一个全微分方程 .
7
求下列方程的通解: 例2. 求下列方程的通解 (1) x y′ + y = y( ln x + ln y )
dp dp = f ( x, p) dx
21
2. 二阶线性微分方程的解法 齐次 代数法 • 常系数情形 非齐次 • 欧拉方程 x2 y′′ + px y′ + qy = f (x) d t 令 x = e ,D= dt [D(D −1) + pD+ q] y = f (et ) 练习题: P327 题 2 练习题
高等数学微分方程第七章练习题答案
第七章 练习题一、填空： 第一节1、微分方程()1y x 2='+'y 的阶 一 __.2、0)()67(=++-dy y x dx y x 是 一 阶常微分方程. 3、01"=+xy 是 二 阶常微分方程. 4、微分方程2'=y x 的通解为 c x y +=2 。
5、 153'+=+x y xy 是 1 阶常微分方程 6、与积分方程()dx y x f y x x ⎰=0,等价的微分方程初值问题是0|),,(0'===x x y y x f y7、223421xy x y x y x ''''++=+是 3 阶微分方程。
8、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为 29、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是 310、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有 2 个任意常数 11、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是 1 第二节 1、微分方程x dye dx=满足初始条件(0)2y =的解为1x y e =+． 2、微分方程y x e y -=2/的通解是 C e e xy +=221 3、微分方程2dyxy dx=的通解是 2x y Ce = 4、一阶线性微分方程23=+y dx dy的通解为 323x Ce -+5、微分方程0=+'y y 的通解为 x ce y -=6、 微分方程323y y ='的一个特解是 ()32+=x y第三节1、tan dy y ydx x x=+通解为arcsin()y x Cx =．第五节1、微分方程x x y cos "+=的通解为213cos 6C x C x x y ++-= 2、微分方程01=+''y 的通解是（ 21221C x C x y ++-= ）3、 微分方程044=+'+''y y y 的通解是（ x e C x C y 221)(-+= )4、微分方程032=-'+''y y y 的通解是（ x x e C e C y 231+=- )5、 方程x x y sin +=''的通解是=y 213sin 61C x C x x ++-第六节1、 一阶线性微分方程x e y dxdy-=+的通解为 ()C x e y x +=- 2、已知1=y 、x y =、2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为)1(21221c c x c x c y --++=或1)1()1(221+-+-=x c x c y第七节1、 微分方程230y y y '''--=的通解为x x e C e C y 321+=-.2、 分方程2220d xx dtω+=的通解是 12cos sin C t C t ωω+3、微分方程02=+'-''y y y 的通解为 12()x y c c x e =+第八节1、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是3,2,1αβγ=-==-2、微分方程2563x y y y xe -'''++=的特解可设为=*y *201()x y x b x b e -=+二、选择 第一节1、方程222(1)1xxd ye e dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ A ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 02、方程422421x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ B ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 03、微分方程()1/22///=+y x y 的通解中含有任意常数的个数是（ C ）A 、1B 、2C 、3D 、54、微分方程1243/2///+=++x y x y x xy 的通解中含有任意常数的个数是（ C ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、55、微分方程34()0'''-=x y yy 的阶数为（B ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 46、下列说法中错误的是（ B ）(A) 方程022=+''+'''y x y y x 是三阶微分方程； (B) 方程220()x y yy x ''-+=是二阶微分方程；(C) 方程0)3()2(22232=+++dy y x y dx xy x 是全微分方程； (D) 方程()()dyf xg y dx=是可分离变量的微分方程． 7、方程()01///=+--y xy y x 的通解中含有（ B ）个任意常数A 、1B 、2C 、3D 、4 8、 微分方程3447()5()0y y y x '''+-+=的阶数为（ B ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．49、微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是（ A ）.A. 2B. 4C. 5D. 310、 微分方程03322=+dx x dy y 的阶是（ A ）. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 11、 微分方程323y y ='的一个特解是（ B ）A. 13+=x yB. ()32+=x y C. ()3C x y += D. ()31+=x C y12、 方程322321x xd y d ye e dx dx+⋅+=的通解中应包含的任意常数的个数为（ C ）（A ） 2 （B ） 4 （C ） 3 （D ） 0第二节1、微分方程20y y '-=的通解为（B ）A ．sin 2y c x =B ．2x y ce =C ．24x y e =D ．x y e =2、微分方程0ydx xdy -=不是 （ B ）A. 线性方程B. 非齐次线性方程C. 可分离变量方程D. 齐次方程 3、微分方程0=+'y y 的通解为（ D ）A ．x y e =B ． x ce y -=C ． x e y -=D ． x ce y -=4、一阶常微分方程e yx dxdy -=2满足初始条件00==x y 的特解为（ D ） A x ce y = B x ce y 2= C 1212+=x y e e D ()1212+=x y e e5、微分方程02=+'y y 的通解为（ D ）A ．x e y 2-=B ．x y 2sin =C ．x ce y 2=D ．x ce y 2-= 6、 微分方程 ydy x xdx y ln ln =满足11==x y 的特解是（ C ）A. 0ln ln 22=+y xB. 1ln ln 22=+y xC. y x 22ln ln =D. 1ln ln 22+=y x第五节1、 微分方程2(1)0y dx x dy --=是（ C ）微分方程．A ．一阶线性齐次B ．一阶线性非齐次C ．可分离变量D ．二阶线性齐次第六节1、已知x y cos =，xe y =，x y sin =是方程()()()xf y x Q dx dyx P dxy d =++22的三个解，则通解为 （ C ）A x c e c x c y x sin cos 321++=B ()()x x e x c e x c y -+-=sin cos 21C ()x c x c e c c y x sin cos 12121--++=D ()x c x c e c c y x sin cos 12121++++=第七节1、微分方程02=+'-''y y y 的通解为（ D ）A ．12x x y c e c e -=+；B ．12()x y c c x e -=+；C ．12cos sin y c x c x =+；D ．12()x y c c x e =+ 2、下面哪个不是微分方程''5'60y y y +-=的解（ D ） （A ）65x x e e -+ （B ）x e （C ）6x e - （D ）6x x e e -+3、 已知2,sin ,1x y x y y ===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ） A ．221sin 1x C x C y ++=B ．2321sin xC x C C y ++=C ．21221sin C C x C x C y --+=D ．212211sin C C x C x C y --++= 4、已知x y x y y cos ,sin ,1===是某二阶非齐次常微分方程的三个解，则该方程的通解为（ D ）A ．x C x C C y cos sin 321++=B ．xC x C C y cos sin 321++= C ．2121sin cos C C x C C y --+=D ．21211cos sin C C x C x C y --++= 5、微分方程0y y ''+=的通解为（ C ）(A) 12x x y c e c e -=+； (B) 12()x y c c x e -=+； (C) 12cos sin y c x c x =+； (D) 12()x y c c x e =+6、已知1=y ，x y =，2x y =是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则方程的通解为（ C ） A 2321x C x C C ++ B 21221C C x C x C --+ C )1(21221C C x C x C --++ D ()()2122111C C x C x C ++-+-7、已知x y y x 4='+''的一个特解为2x ，对应齐次方程0='+''y y x 有一个特解为x ln ，则原方程的通解为 （ A ）A 、221ln x c x c ++ B 、221ln x x c x c ++ C 、221ln x e c x c x ++ D 、221ln x e c x c x ++- 8、微分方程04=+''y y 的通解为（ A ）A ．x c x c y 2sin 2cos 21-= ；B ．x e x c c y 221)(-+=C x x e c e c y 2221-+=；D ．x e x c c y 221)(+=9、 分方程2220d xx dtω+=的通解是( A );A .12cos sin C t C t ωω+B .cos t ωC .sin t ωD .cos sin t t ωω+第八节1、微分方程x e y dxyd =-22的一个特解应具有的形式为 DA ()x e b ax +B ()x e bx ax +2C x aeD x axe2、设二阶常系数线性微分方程'''x y y y e αβγ++=的一个特解为2(1)x x y e x e =++，则,,αβγ的值是（ C ）（A ）3,2,1αβγ===- （B ）3,2,1αβγ==-=- （C ）3,2,1αβγ=-==- （D ）3,2,1αβγ=-=-= 三、计算第二节1、求微分方程0ln '=-y y xy 的通解 解：分离变量xdxy y dy =ln ...........2分 两边积分可得 1ln ln ln C x y += ..........4分 整理可得Cx e y = .........6分 5、计算一阶微分方程ln 0x x y y '⋅-=的通解。
高等数学第七章微分方程试题及答案汇编
第七章 常微分方程一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式：()()()()0≠=y Q y Q x P dxdy通解()()⎰⎰+=C dx x P y Q dy（注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加）（2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M通解()()()()C dy y N y N dx x M x M =+⎰⎰1221()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程⎪⎭⎫⎝⎛=x y f dx dy 令u x y =， 则()u f dxdux u dx dy =+= ()c x c xdxu u f du +=+=-⎰⎰||ln二．一阶线性方程及其推广1．一阶线性齐次方程()0=+y x P dxdy 它也是变量可分离方程，通解()⎰-=dxx P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程()()x Q y x P dxdy=+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()⎰-=dxx P ex C y 代入方程求出()x C 则得()()()[]⎰+=⎰⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P3．伯努利方程()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dxdy令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dxdz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。
4．方程：()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dydx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
四．线性微分方程解的性质与结构我们讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。
二阶齐次线性方程 ()()0=+'+''y x q y x p y （1） 二阶非齐次线性方程 ()()()x f y x q y x p y =+'+'' （2） 1．若()x y 1，()x y 2为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合()()x y C x y C 2211+（1C ，2C 为任意常数）仍为同方程的解，特别地，当()()x y x y 21λ≠（λ为常数），也即()x y 1与()x y 2线性无关时，则方程的通解为()()x y C x y C y 2211+=2．若()x y 1，()x y 2为二阶非齐次线性方程的两个特解，则()()x y x y 21-为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。
同济大学数学系《高等数学》(第7版)(上册)-课后习题(含考研真题)详解-第七章 微分方程【圣才出品
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则
所以 y＝3sinx－4cosx 是所给微分方程的解． （3）根据 y＝x2ex，得
进而得
则
所以 y＝x2ex 不是所给微分方程的解．
（4）根据
，得
，进而得
则
所以
是所给微分方程的解．
3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：
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解：（1）在方程 x2－xy＋y2＝C 两端对 x 求导，得
即
所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．
（2）在方程 y＝ln（xy）两端对 x 求导，得
即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对 x 求导，得
即 给微分方程的解．
．所以所给二元方程所确定的函数是所
，即 tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为
tany·tanx＝C
（6）原方程分离变量，得 10－ydy＝10xdx，两端积分得
可写成 （7）原方程为
. 分离变量得
两端积分得
或写成
，即
，
所以原方程的通解为
（ex＋1）（ey－1）＝C
（8）原方程分离变量，得
两端积分得
即 ln|sinysinx|＝lnC1，或写成 sinysinx＝±C1，所以原方程的通解为 sinysinx＝C． （9）原方程分离变量，得（y＋1）2dy＝－x3dx．两端积分得
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第七章 微分方程
7.2 课后习题详解
习题 7-1 微分方程的基本概念
1．试说出下列各微分方程的阶数：
解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶． 2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
同济版大一高数下第七章第四节一阶线性微分方程
1 1 = [ ∫ sin xd x + C ] = [C − cos x] x x
7
例3： 求微分方程 ( x − sin y )d y + tan yd x = 0
6 解： 上式不是一阶线性方程的形式， 若将 x 看成 y 的 dx 函数，方程可写为： + cot y ⋅ x = cos y dy 此方程为一阶线性微分方程。 用通解公式有：
即
f ′( t ) − 8π tf ( t ) = 8π te
8π ∫ tdt
4πt 2
4π t 2 −8π ∫ tdt
从而求得通解 f (t ) = e
(8π ∫ te
e
dt + c)
13
=e
4πt 2
( 4π t + c )
2
又 f (0 ) = 1 + 0 故
4πt 2
c=1
所以
f (t ) = e
代入原方程整理得：
′ + x 3 = 2 cos y 3x x
2
dz + z = 2cos y, dy
z = e −∫ d y [2 ∫ cos ye ∫ d y d y + c]
18
原方程的通解： x 3 = sin y + cos y + ce − y
例4 用适当的变量代换解下列微分方程:
1. 2 yy′ + 2 xy = xe
z = y1− n , 令
化为线性方程求解. ( n −1) ∫ P ( x ) d x (1− n ) ∫ P ( x ) d x 1− n y =e dx + C ] [ (1 − n) ∫ Q( x) e 21
第七章常微分方程练习题(含答案)
第7章 常微分方程一、单项选择题1．微分方程3245(''')3('')(')0y y y x -++=阶数是（ b ）A.4阶 B ．3阶 C ．2阶 D ．1阶2．微分方程222y x dxdy x +=是（ b ） A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）A.0'2)'(2=+-x yy y xB.0'2=-+x yy xyC.0'2=+y x xyD.0)()67(=++-dy y x dx y x4．方程x y xy =-'满足初始条件11==x y 的特解是（ a ）A.x x x y +=lnB.Cx x x y +=lnC.x x x y +=ln 2D.Cx x x y +=ln 25．微分方程y y x 2='的通解为（ c ）A ．2x y =B ． c x y +=2C ． 2cx y =D ．0=y6．微分方程y y x ='满足1)1(=y 的特解为 （ a ）A.x y =B. c x y +=C.cx y =D.0=y8．微分方程05))(sin(2''=+-+x y y xy y 是（ a ）A 一阶微分方程B 二阶微分方程C 可分离变量的微分方程D 一阶线性微分方程9．微分方程2y xy '=的通解为（ c ）A ．2x y e C =+B ． x y Ce =C ． 2x y Ce =D ．22x y Ce =二、填空题1．微分方程34()"30y y y y '++=的阶数为__2____；2．微分方程0=+y dxdy 的通解是x y ce -=； 3．微分方程02=+'xy y 的通解是2x y ce -=；4．微分方程x y y e +'=的通解是()10,0x ye C e C ++=<； 5. 一阶线性微分方程()()y P x y Q x '+=的通解为()()()()P x dx P x dx P x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰； 6. n 阶微分方程的通解含有__n __个独立的任意常数。
高数第七章(8)常系数非齐次线性微分方程讲解
例5.
解: 特征方程为 r 2 9 0, 其根为
对应齐次方程的通解为
的通解.
为特征方程的单根 , 因此设非齐次方程特解为
代入方程: 6b cos3x 6a sin 3x
比较系数, 得
因此特解为 y* x (5cos3x 3sin 3x )
所求通解为
x (5cos3x 3sin 3x )
分析思路: 第一步 将 f (x) 转化为
f (x) Pm (x) e(i) x Pm (x) e(i) x
第二步 求出如下两个方程的特解
y py qy Pm (x) e(i) x y py qy Pm (x) e(i) x
第三步 利用叠加原理求出原方程的特解 第四步 分析原方程特解的特点
b0
1 ,
b1
1 3
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例2.
的通解.
解: 本题 2, 特征方程为 r 2 5 r 6 0 , 其根为
对应齐次方程的通解为
设非齐次方程特解为 y* x (b0 x b1) e2 x
代入方程得 2b0 x b1 2b0 x
3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形.
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思考与练习
1 . (填空) 设 时可设特解为
y* x(ax b) cos x (cx d )sin x
2
A
p
ex , q
不是特征方程的根
y
A xex
2 p
是特征方程的单根 ,
A x 2ex 2
是特征方程的重根
第七章微分方程练习题
第七章 微分方程一、选择题1. 表示未知函数、未知函数的( )与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.A. 极限B. 连续C. 导数或微分D. 积分2. 微分方程02)(2=+'-'x y y y x 的阶数是 ( ) .A. 1B. 2C. 3D. 43. 方程0)()67(=++-dy y x dx y x 是 ( )阶微分方程.A. 1B. 2C. 3D. 4. 4. 微分方程0222=+-y dx dy x dx y d x 的通解中任意常数的个数是 ( ) . A. 1 B. 2 C. 3 D. 4.5. 微分方程y xy ='的一个解是( ) . A. x y 5=； B. 15+=x y C. 25x y = D. 152+=x y 6. 微分方程yx dx dy -=满足初值条件过点（0，1）的解是( ) . A. 122=+y x B. 12=+y x C. 12=+y x D. 1=+y x7. 下列微分方程是可分离变量方程的是（ ）.A. 0)1()3(=+++-dy y x dx y xB. 023=+xdy ydxC. 0213=++--dy y x dx y x )()(D. 0)2()34(=++-dy y x dx y x8. 下列微分方程是齐次方程的是（ ）.A. 012=+dx xydy B. x e y dx dy -=+ C. xy y x dx dy += D. y x e dx dy += 9. 微分方程23x y ='的通解是（ ），其中C 是任意常数.A. C x y +-=3B. C x y +=3C. C x y +-=33D. C x y +=3310. 下列微分方程可以转化成一阶非齐次线性方程的是（ ）.A. x e xy yy +=2'B. y x e xy y e +=2'C. x y e xy y e +=2'D. xe xy xy +='''2 二、填空题1．微分方程02=+''-'''xy y x y x 的阶数是 .2．微分方程02=+'-''y y x y x 通解中任意常数的个数是 . 3．满足初值条件50==x y 的函数C y x =-22中的=C .4．一阶微分方程x e y 2='的通解是 .5．微分方程02=+ydx xdy 满足初值条件12==x y 的特解是 .三、判断题1．方程022233=-+-xy y x y x 不是微分方程.（ ）2．04=-''-'''y y y 是三阶微分方程.（ ）3．微分方程0=+-dy y x ydx )(有解0=y .（ ）4．方程0)1-22()(=+++dy y x dx y x 是可分离变量的微分方程.（ ）5．0=x 不是微分方程0=-xdy ydx 的解.（ ）6．微分方程的通解中一定含有任意常数C .（ ）7．方程)(xy g dx dy =是一阶齐次微分方程.（ ） 8．方程)()(x Q y x P dxdy +=是一阶非齐次线性微分方程.（ ） 9．方程),(y x f dxdy =不是一阶微分方程.（ ） 10．拉格朗日微分中值定理的结论a b a f b f f --=)()()('ξ不是一阶微分方程.（ ） 四、计算题1．验证函数x C x C y ωωsin cos 21+=（ω,,21C C ＞0都是常数）是微分方程02=+y y ω''的通解,2．求微分方程y x e dxdy -=2满足初值条件00==x y |的特解, 3．求微分方程23=+y dx dy 的通解. 4．方程xdx x y dx dy =++（x y x -≠≠,0）的通解. 5．求微分方程242y x x y +-='与微分方程2422y y x x x y --++='的公共解.五、综合题1．求曲线方程，已知这条曲线通过原点，并且它在点）（y x ,处的切线斜率等于y x +2.2．放射性元素由于不断地有原子放射出微粒子而变成其他元素，铀的含量就不断减少，这种现象叫做衰变，由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的铀原子的含量M成正M随时间t变化的规律.比。
高数下册第七章第五节一阶线性方程全微分方程
x
2). 3
25
五、1、( x y)2 2x C ；
2、 y 1 sin x 1 ； xC
2、2x ln y ln2 y C ；
3、 x Cy3 1 y2. 2
二、1、 y sin x 5ecos x 1；
2、2 y
x3
x
3e
1 x2
1
.
三、v
k1 k2
t
k1m k22
(1
k0
em
t
).
四、1、 xy x C ；
2、
x2 y2
C
2 3
x3 (ln
即
两端积分得对应齐u次 方Q程( x通)e解 P
(
x
)yd x C dx
e P C
(
x
)d
x
故原方程的通解
y
e
P(
x)d
x
Q(
x
)
e
P
(
x
)
d
x
d
x
C
即
y Ce P( x)d x
e P(x)d x
Q(
x
)
e
P
(
x
)d
x
d
x
齐次方程通解
u
2(x
3
1)2
C
3
4
例2. 求方程
dx xy
2 y
x y3
d
y
高等数学第七章习题册答案
高等数学第七章习题册答案高等数学第七章习题册答案高等数学是大学数学的一门重要课程，其中第七章涉及到的内容主要是微分方程和级数。
习题册是学生们用来巩固和提高自己数学水平的重要工具。
在这篇文章中，我将为大家提供高等数学第七章习题册的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一章的知识。
1. 题目：求微分方程$\frac{dy}{dx}=2x+3$的通解。
解答：首先将微分方程化为标准形式$\frac{dy}{dx}-2x=3$，然后求出其齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=0$的通解$y_c=Ce^{2x}$，其中$C$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程$\frac{dy}{dx}-2x=3$的一个特解$y_p$。
根据常数变易法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ax+B$，其中$A$和$B$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$\frac{d(Ax+B)}{dx}-2x=3$，整理后可得$A=2$和$B=-3$，即特解$y_p=2x-3$。
最后，将齐次方程的通解和非齐次方程的特解相加，即可得到原微分方程的通解$y=y_c+y_p=Ce^{2x}+2x-3$。
2. 题目：求微分方程$\frac{d^2y}{dx^2}-4\frac{dy}{dx}+4y=0$的通解。
解答：首先将微分方程化为特征方程$r^2-4r+4=0$，解得$r=2$，因此特征根为重根$r_1=r_2=2$。
根据特征根的重根性质，我们可以得到齐次方程的通解$y_c=(C_1+C_2x)e^{2x}$，其中$C_1$和$C_2$为常数。
接下来，我们需要求出非齐次方程的一个特解$y_p$。
根据待定系数法，我们可以猜测特解的形式为$y_p=Ae^{2x}$，其中$A$为待定常数。
将$y_p$代入非齐次方程，得到$4Ae^{2x}-4\cdot2Ae^{2x}+4Ae^{2x}=0$，整理后可得$A=0$，即特解$y_p=0$。
(完整版)高等数学第七章微分方程试题及答案
解：特征根为
i ，齐次方程的通解为： y c1 cos x c2 sin x
y' ' y x ， y ? c1 c2 x c1 0, c2 1 y ? x
?
0x
y' ' y 3sin 2 x ， y x e c1 cos x c2 sin x c1 sin 2x c2 cos 2x
待入原式得出： c1 1, c2 0 ，所以 y ? sin 2 x
Байду номын сангаас
解：变形得： dx x y 4 即 dx 1 x y3 ，是一阶线性方程
dy
y
dy y
P( y)
1
3
,Q ( y) y
y
1 dy
x ey
1 dy
y3e y dy C
1 y 4 Cy 3
三、伯努力方程 xy ' y x 3y 6
解： xy 6 y' y 5 x 3 ，
dy y 6 y 5 x 2 ，
dx
dx
du
du
u y , 所以 u y
dy
dy
dy
yu .( 将 y 看成自变量 )
eu (u 1)
u
1e
du ueu eu
y
u
u
dy 1 e
u eu
u
1e
1 eu u eu du
dy
d (u eu )
,
y
u eu
dy
u eu
, ln
y
c
1 ln y ln
y
1 u eu
,
yc
c y u eu
二、一阶线形微分方程
2
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此为曲线方程所满足的微分方程． （2）假设曲线方程为 y＝y（x），因它在点 P（x，y）处的切线斜率为 y′，所以该点处
法线斜率为 . 由条件知 PQ 之中点位于 y 轴上，所以点 Q 的坐标是（－x，0），则有
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4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：
解：（1）根据 y|x＝0＝5，将 x＝0，y＝5 代入函数关系中，得 C＝－25，即 x2－y2＝－25
（2）根据
，得
将 x＝0，y＝0 及 y′＝1 代入以上两式，得
所以 C1＝0，C2＝1，y＝xe2x． （3）根据 y＝C1sin（x－C2），得
将 x＝π，y＝1 及 y′＝0 代入以上两式，得
根据①2＋②2 得
，不妨取 C1＝1，根据①式得
，所以
5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程： （1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方； （2）曲线上点 P（x，y）处的法线与 x 轴的交点为 Q，且线段 PQ 被 y 轴平分． 解：（1）假设曲线方程为 y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为 y′，依条件有
即微分方程为 yy′＋2x＝0．
6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压 P 对于温度 T 的变化率与气压成正比， 与温度的平方成反比．
解：因为 与 P 成正比，与 T2 成反比，如果比例系数为 k，则有
7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积 A 成正比，比例系数 k＞0．假
设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为 r0 的雪堆在开始融化的 3 小时内，
高等数学-第七章 微分方程
得 ln M t ln C, 即 M C e t
利用初始条件, 得
C M0
M M0
故所求铀的变化规律为 M M 0 e t . O
t
例5. 设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度
成正比, 并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0, 求
降落伞下落速度与时间的函数关系.
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
1. 解齐次方程 dy P(x) y 0 dx
分离变量
两边积分得 ln y P(x)dx ln C
小孔横截面积
开始时容器内盛满了水, 求水
从小孔流出过程中, 容器里水面的高度 h 随时间 t 的变
化规律.
解: 由水力学知, 水从孔口流出的流量为
h
流量系数 孔口截面面积 重力加速度
h r 1m O hdh
即
dV kS 2ghdt
设在
内水面高度由 h 降到 h d h ( d h 0),
y x2 1
d2s d t2
0.4
s t0 0 ,
ds dt
t0 20
s 0.2t 2 C1t C2
s 0.2t 2 20t
例1. 验证函数 是微分方程
(C1 , C2为常数 )
的通解, 并求满足初始条件
x
t0
A,
dx dt
t
0 0 的特解 .
练习:
解法 1 分离变量
积分 即
ey ex C (exC)ey1 0
(C<0 )
解法 2 故有 积分
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题(微分方程)【圣才出品】
同济大学数学系《高等数学》第7版上册课后习题第七章微分方程习题7-1微分方程的基本概念1．试说出下列各微分方程的阶数：解：（1）一阶；（2）二阶；（3）三阶；（4）一阶；（5）二阶；（6）一阶．2．指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：解：（1）根据y＝5x2，得y′＝10x，xy′＝10x2＝2y，所以y＝5x2是所给微分方程的解．（2）根据y＝3sinx－4cosx，得y′＝3cosx＋4sinx，进而得y″＝－3sinx＋4cosx则所以y＝3sinx－4cosx是所给微分方程的解．（3）根据y＝x2e x，得进而得则所以y＝x2e x不是所给微分方程的解．（4）根据，得，进而得则所以是所给微分方程的解．3．在下列各题中，验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解：解：（1）在方程x2－xy＋y2＝C两端对x求导，得即所以所给二元方程所确定的函数是微分方程的解．（2）在方程y＝ln（xy）两端对x求导，得即（xy－x）y′－y＝0，再在上式两端对x求导，得即．所以所给二元方程所确定的函数是所给微分方程的解．4．在下列各题中，确定函数关系式中所含的参数，使函数满足所给的初值条件：解：（1）根据y|x＝0＝5，将x＝0，y＝5代入函数关系中，得C＝－25，即x2－y2＝－25（2）根据，得将x＝0，y＝0及y′＝1代入以上两式，得所以C1＝0，C2＝1，y＝xe2x．（3）根据y＝C1sin（x－C2），得将x＝π，y＝1及y′＝0代入以上两式，得根据①2＋②2得，不妨取C1＝1，根据①式得，所以5．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1）曲线在点（x，y）处的切线的斜率等于该点横坐标的平方；（2）曲线上点P（x，y）处的法线与x轴的交点为Q，且线段PQ被y轴平分．解：（1）假设曲线方程为y＝y（x），它在点（x，y）处的切线斜率为y′，依条件有y′＝x2此为曲线方程所满足的微分方程．（2）假设曲线方程为y＝y（x），因它在点P（x，y）处的切线斜率为y′，所以该点处法线斜率为.由条件知PQ之中点位于y轴上，所以点Q的坐标是（－x，0），则有即微分方程为yy′＋2x＝0．6．用微分方程表示一物理命题：某种气体的气压P对于温度T的变化率与气压成正比，与温度的平方成反比．解：因为与P成正比，与T2成反比，如果比例系数为k，则有7．一个半球体形状的雪堆，其体积融化率与半球面面积A成正比，比例系数k＞0．假设在融化过程中雪堆始终保持半球体形状，已知半径为r0的雪堆在开始融化的3小时内，融化了其体积的；问雪堆全部融化需要多少时间？解：假设雪堆在时刻t的体积为，侧面积S＝2πr2．根据题设知则积分得r＝－kt＋C根据r|t＝0＝r0，得C＝r0，r＝r0－kt．又，即得，从而因雪堆全部融化时，r＝0，所以得t＝6，即雪堆全部融化需6小时．习题7-2可分离变量的微分方程1．求下列微分方程的通解：解：（1）原方程为，分离变量得两端积分得即lny＝±C1x，所以通解为lny＝Cx，即y＝e Cx．（2）原方程可写成5y′＝3x2＋5x，积分得,即通解为（3）原方程为，分离变量得两端积分得arcsiny＝arcsinx＋C，即为原方程的通解．（4）原方程可写成，分离变量得两端积分得即是原方程的通解．（5）原方程分离变量，得两端积分得可写成，即tany·tanx＝±C1，所以原方程的通解为tany·tanx＝C（6）原方程分离变量，得10－y dy＝10x dx，两端积分得可写成.（7）原方程为分离变量得。
高数下册 第七章 第四、五节 一阶线性方程全微分方程
2) 再解定解问题
y′ + y = 0 , x > 1
y x =1 = y(1) = 2 − 2e−1
此齐次线性方程的通解为 y = C2e−x ( x ≥ 1) 利用衔接条件得 C2 = 2(e − 1) y = 2(e − 1) e−x ( x ≥ 1) 因此有 3) 原问题的解为 2(1 −e−x ), 0 ≤ x ≤ 1 y= −x 2(e − 1) e , x ≥ 1
4.求微分方程 x ln xdy + ( y − ln x)dx = 0 满足条件 求微分方程 1 1 y = (ln x + ) y x=e = 1 的解。 2 ln x 19
= 0 的解。 x 1 y= − 2 x
2
x y′ + y = xex 满足条件 y x=1 = 1的特解。 5.求微分方程 1 1 x −1 x 1 6. y = x ln x − x y= e + x x 3 9 1 6.求微分方程 xy′ + 2 y = xln x , y x=1 = − 求微分方程 的特解。 的特解。 9 y 1 7.过点 ( , 0 ) 且满足关系式 y′ arcsin x + 1 − x2 = 1 过点 1− 2 1 yarcsin x = x − 的曲线方程为 2 的一个解， y = ex 是微分方程 x y′ + p( x) y = x 的一个解，则 8.设 设
1 2y + − 3x = 0 y
21
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 求下列微分方程的通解: 1、 1、 y ′ + y cos x = e − sin x ； 2、 2、 y ln ydx + ( x − ln y )dy = 0 ； dy 2 3、 3、( y − 6 x ) + 2 y = 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: 求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 1、 + y cot x = 5e cos x , y π = −4 ； x= dx 2
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第十二章 微分方程答案一、选择题1．下列不是全微分方程的是 C 1A.2()(2)0x y dx x y dy ++-=B.2(3)(4)0y x dx y x dy ---= C.32223(23)2(2)0x xy dx x y y dy +++= D.222(1)0x x x ye dx e dy -+= 2. 若3y 是二阶非齐次线性方程(1):()()()y P x y Q x f x '''++=的一个特解，12,y y 是对应的齐次线性方程(2)的两个线性无关的特解，那么下列说法错误的是（123,,c c c 为任意常数） C 2A.1122c y c y +是(2)的通解B. 113c y y +是(1)的解C. 112233c y c y c y ++是(1)的通解D. 23y y +是(1)的解3．下列是方程xdx ydy +=的积分因子的是 D 2A.22x y + B.221x y + 4．方程322321x xd y d ye e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 05．已知方程'()0y p x y +=的一个特解cos 2y x =，则该方程满足初始特解(0)2y =的特解为（ C ）. 2(A) cos 22y x =+ (B) cos 21y x =+ (C) 2cos 2y x = (D) 2cos y x =6．方程322321x x d y d y e e dx dx++=的通解应包含得独立常数的个数为 （ B ）. 1 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 07．设线性无关的函数123,,y y y 都是微分方程''()'()()y p x y q x y f x ++=的解，则该方程的通解为 （ D ）. 2(A) 11223y c y c y y =++ (B) 1122123()y c y c y c c y =+-+ (C) 1122123(1)y c y c y c c y =+--- (D) 1122123(1)y c y c y c c y =++-- 8．设方程''2'3()y y y f x --=有特解*y ，则其通解为（ B ）. 1(A) 312xx c ec e -+ (B) 312*x x c e c e y -++ (C) 312*xx c xec xe y -++ (D) 312*x x c e c e y -++9．微分方程'cot 0y y x -=的通解为（A ）. 1(A) sin y c x = (B) sin c y x =(C) cos y c x = (D) cos c y x= 10. 方程x y cos =''的通解为( C ) 1(A) c c x x y 21sin ++-= (B) c c x x y 21sin ++=(C)c c x x y 21cos ++-= (D)c c x x y 21cos ++=11. e y x-=''的通解为( C ) 1(A) e x -- (B) e x-(C) c x c e x 21++- (D)c x c e x21++-- 12. 微分方程()()0432=+'''+'y x y y y 的阶是( B ) 1(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 413. 下列微分方程中，属于可分离变量方程的是( C ) 1(A) ()0sin =+ydy dx xy x (B) ()y x y +='ln(C) yx dx dysin = (D) ()y e y x y x 21⋅=+'14.方程 02=-'y y 的通解是（ C ） 1 A.x y 2sin =； B.xey 24=； C.xcey 2=； D.c e y x+=。
15. 下列函数中的（ D ）是微分方程式 0127=+'-''y y y 的解。
1A.3x y =；B.2x y =；C.x e y 2=；D.xe y 3=。
16. 以e x 和x e x sin 为特解的二阶常系数齐次线性微分方程是（D ） 2（A ）02=+'-''y y y （B ）422=+'-''y y y （C ）0=+''y y （D ）无这样的方程。
17.122+=+'-''x y y y 的特解y *可设为( C ) 2 (A) ()C Bx x A e y x ++=2* (B)D Cx x B x A y +++=23* (C) C Bx x A y ++=2* (D) ()C Bx x A e x y x ++=2*18. 若tty 2cos 4-=是方程t y y 2sin 4=+''的一个特解，则该方程的通解是（ A ）（A ）t t t t y c c 2cos 42cos 2sin 21-+= （B ）ttt y c 2cos 42sin 1-= （C ）()tt e t y t c c 2cos 4221-+=- （D ）t te e y t t c c 2cos 42221-+=-19. 下列各微分方程中是一阶线性方程的是（ B ） 1（A ）x y y x =+'2 （B ）x xy y sin =-'（C ）x y y =' （D ）02=+'xy y 20. 方程x y y y 2sin 52=+'+''的特解可设为（ D ） 2（A ）()x a x y 2sin = （B ）x a y 2sin =（C ）()x b x a x y 2cos 2sin += （D ）x b x a y 2cos 2sin +=二、 填空题 1、以()2123ty c c t c te =++ （123,,c c c 为任意常数）为通解的常微分方程是3232330d y d y dyy dt dt dt-+-= 2 2、若241,,x x -是某个二阶非齐次线性常微分方程的三个特解，那么该方程的通解是2412(1)(1)1c x c x +++- （12,c c 为任意常数） 13. 微分方程xdx y dy cos 2=的通解: cx y +-=sin 114. 微分方程dy e y ydx xdy y 2=-的通解是:)(ye c y x -= 15. 微分方程ydx+(y-x)dy=0的通解是:c y yx=+ln 2 6．以cos 2sin 2y x x =+为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是 ''40y y +=。
27．解形如⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y f dx dy 的微分方程，求解时可作的变量代换 ux y =,u x u y '+=' 18．微分方程0y 3y 4y =+'-''的通解y= 312x x C e C e + 1 9．微分方程y"+2y ˊ+2y=0的通解是 ()12cos sin x y x x e C C -=+ 。
1 10、微分方程03410=+'+''y y y 的通解是 )3sin 3cos (215x c x c e y x+⋅=- 1三、 计算题1．解方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx ++-=+，这里n 为常数。
2 解：将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++。
首先求齐次方程01dy ny dx x -=+的通解为(1)n y c x =+再设()(1)ny c x x =+，于是1()(1)(1)()n n dy dc x x n x c x dx dx-=+++，带入原方程，得()x dc x e dx=，即()x c x e C =+，C 为任意常数。
于是原方程通解为()(1)xny e C x =++。
5 ＃2．解方程330d xx dt+= 2解：特征方程为310λ+=，它的根为11,2-±。
于是原方程解为12123(cos sin )22t tz c e e c c t -=++。
123,,c c c 为任意常数 4＃ 3．解方程dy y ytg dx x x=+ 2 解：作变量代换,y dy du u x u x dx dx ==+，则原方程变为dux u u tgu dx+=+。
即du dx tgu x=，解得sin cu e x =±，此外还有解0tgu =，即sin 0u =。
于是方程通解为sin u cx =，这里c 为任意常数。
代回原来变量，得原方程通解sinycx x= 5＃ 4．解方程22dy y dx x y=- 2 解：将原方程改写为22dx x y dy y -=，即2dx x y dy y=-。
先求出齐次方程2dx x dy y=的通解为2x cy =。
再设2()x c y y =，2()2()dx dc y y c y y dy dy =+，代入原方程得()1dc y dy y=- 解得()ln c y y C =-+，C 为任意常数。
所以原方程通解为2(ln )x y C y =- 5 ＃5．解方程：(0)dyxy x dx+=< 2解：将方程改写为(0)dy y x dx x =<，作代换,y dy du u x u x dx dx==+，则原方程变为 duxdx =dx x =。
于是得此方程通解为ln()x c =-+，即2[ln()]u x c =-+，(ln()0)x c -+>，这里c 为任意常数。
此外方程还有解0u =。
代回原来的变量，得原方程通解2[ln()]y x x c =-+(ln()0)x c -+>与0y = 5 ＃6．解方程424220d x d xx dt dt++= 2解：特征方程为22(1)0λ+=，有两个二重根i ±，原方程的四个实值解分别是cos ,cos ,sin ,sin t t t t t t 。
故通解为1234()cos ()sin x c c t t c c t t =+++，1234,,,c c c c 为任意常数 4＃7. 设二阶可微函数y 满足方程 464x y y e '''-=，y(0)= 21, 1)0('=y , 求y 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为062=-r r解得 01=r ， 62=r 于是对应齐次方程的通解为x e c c y 621+= 设非齐次方程的特解为：x ke Y4*=把它代入所给方程，得 21-=k 所以：x e Y4*21-=故已知方程的通解为xx e e c c y 462121-+=又1)0('=f ，f (0)=21 故==21c c 21即：)1(2146xx e e y -+= 7 ＃8. 求微分方程x e y y y -=++234'''的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0342=++r r解得 11-=r ， 32-=r 于是对应齐次方程的通解为x x e c e c y 321--+= 因1-=λ是特征根，故设非齐次方程的特解为：x axe Y -=*把它代入所给方程，得 1=a , 所以：x xe Y-=*故已知方程的通解为x x x xe e c e c y ---++=321 7＃9. 求微分方程x xe y y y =+-'''2的通解 3解：由题知对应齐次方程的特征方程为0122=+-r r ，解得 =1r 12=r 。