卡文迪许扭秤法测量万有引力常数

卡文迪许扭秤法测量万有引力常数
班级核工程82
学号 08182022
姓名刘勇
卡文迪许扭秤法测量万有引力常数
一、实验目的
1. 掌握在扭秤摆动中求平衡位置的方法。

2. 掌握如何通过卡文迪许扭秤法测量万有引力常数。

二、实验仪器
卡文迪许扭秤，激光发射器， 光屏，米尺，秒表，电源
三、实验原理
根据牛顿万有引力定律，间距为r, 质量为 m1 和m2 的两球之间的万有引力F 方向沿着两球中心连线，大小为
其中G 为万有引力常数。

实验仪器卡文迪许扭秤法原理图所示。

卡文迪许扭秤是一个高精度的仪器，非常灵敏，为保护仪器和防止外界干扰影响实验测量，扭秤被悬挂在一根金属丝上，装在镶有玻璃板的铝框盒内，固定在底座上。

实验时，把两个大球贴近装有扭秤的盒子，扭秤两端的小球受到大球的万有引力作用而移近大球，使悬挂扭秤的悬丝扭转。

激光器发射的激光被固定在扭秤
r
m m G F 2
2
1
上的小镜子反射到远处的光屏上，通过测量光屏上扭秤平衡时光点的位置可以得到对应的扭转角度, 从而计算出万有引力常数 G 。

假设开始时扭秤扭转角度θ0=0，把大球移动贴近盒子放置，大小球之间的万有引力为F ，小球受到力偶矩N =2 Fl 而扭转，悬挂扭秤的金属丝因扭转产生与力偶矩N 相平衡的反向转矩N ’= K(θ/2)，扭秤最终平衡在扭角θ的位置：
F=G M m /d 2
2Fl= K(θ/2)
其中 K 是金属悬丝的扭转常数，M 是大球的质量，m 是小球的质量，d 是大球小球的中心的连线距离，l 是小球中心到扭秤中心的距离。

由转动方程可求得悬丝的扭转常数:通过转动惯量I 和测量扭秤扭转周期T 就可以得到金属丝的扭转系数K ：
假设小球相对大球是足够轻，那么转动惯量l
m I
2
2=
因此由上述几式得，扭转角l
d
2
2
2
π
T
2GM θ=。

当大球转动到相反的对称位置后，新平衡位置是-θ, 因此平衡时的总扭转角为
l
d
2
22
πT
GM 2θ=
通过反射光点在光屏上的位移S 可以得到悬丝扭转角度。

由于万有引力作用很弱，使得扭秤平衡时扭转角很小，此时可以认为：D
S
θ2=，其中D 是光屏到扭秤的距离。

T
I
K 2
2
π
4=
因此万有引力常数D
M lS T
d
G 22
2π=。

万有引力常数G 计算公式的修正：
由卡文迪许扭秤法原理图可知，小球受到大球M 1作用F 的同时也受到斜后方另一个大球M 2 的作用力 f ,考虑f 作用时，G 值应修正为
D
M lS
T d G 2
2
2π)
1(1
β--=
,其中)
4(222
/33
l d d +=
β。

四、实验内容及操作步骤
1、选择主菜单中的“开始实验”选项开始实验。

2、在开始实验显示的实验场景中，在卡文迪许扭秤位置鼠标左键双击打开扭秤
调节窗口，激光器位置双击打开激光器窗口，光屏位置双击打开放大的光屏读数窗口，场景中鼠标右键单击实验窗口弹出选择菜单。

3、选择“实验场景测量”显示实验场景示意图，通过读取鼠标的位置测量两个小球间距2l ，反射镜和光屏之间距离D , 贴近盒子的大球中心到对应小球中心之间距离d 。

将数据记录于表格一。

4、如卡文迪许扭秤法原理图所示，按下列方法调整扭秤位于盒子的中央。

● 打开激光器电源：双击电源弹出放大的激光器电源面板。

鼠标单击开关
打开电源，可以看见激光被镜子反射到远处的光屏上。

● 确定平衡位置C ：鼠标双击实验窗口中的卡文迪许扭秤进行调节。

通过右键菜单可打开卡文迪许扭秤顶视图。

通过的鼠标调节扭丝转角调节旋钮，可对扭秤初始转角进行粗调。

双击锁紧螺钉使得扭秤下落，并且作最大振幅的扭转振动（撞击玻璃板）。

记录此时光点在光屏两端最远点的位置x1, x2。

Xc = (x1+ x2)/2。

●确定实际平衡位置C’：当扭秤振动衰减到不接触盒子两边玻璃板后, 按
下图2 曲线记录下光屏两端光点运动的最远点位置.
●平衡位置X c’可以按照下面方法计算得到:
(Xc’–x2) / (x1–Xc’) = (x3–Xc’) / (Xc’–x2)
或 Xc’= (x2–x1x3) / (2x2–x1–x3)
如果如果X c = X c’,那么扭秤就基本平衡了. 否则需要调整扭角度调整旋钮，直到Xc = X c’：鼠标右键扭秤窗口弹出菜单，选择扭秤顶视图显示扭秤顶端。

通过单击鼠标右键或者左键旋转“扭角调整”旋钮到合适位置。

5.测扭秤的固有振动周期T: 将大球放置在支撑架上，支撑架旋转臂垂直于扭
秤，此时扭秤受力平衡。

双击锁紧螺钉使得扭秤下落，等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，用秒表记录光点连续摆动4个周期所需时间。

实验窗口鼠标右键弹出菜单，选择“显示秒表”。

记录数据于表二。

测量万有引力作用下光点的位移S
6、在扭秤窗口选择“前视图”，通过在扭秤上大球位置单击鼠标右键或者左键
转动大球，使得大球按照卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置贴近盒子。

7、等待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动
3个周期中光屏两端极值点的位置a1,a2,a3,a4,a5,a6。

则光点静止时位置坐标A可由下述平均法计算：
2
21
2
a a
a A i i i
i
++++=
（i=1,2，3,4）
∑
==4
1
41i i
A A
8. 转动大球到反向对称位置（卡文迪许扭秤法原理图中虚线大球的位置），等
待扭秤振动到最大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置b 1,b 2,b 3,b 4,b 5,b 6。

则光点静止时位置坐标B 可由上述平均法计算：
∑==4
1
41i i B B
9. 在把大球转到卡文迪许扭秤法原理图中黑线大球的位置，等待扭秤振动到最
大幅度时小球不和两边玻璃壁碰撞后，记录光点连续摆动3个周期中光屏两端极值点的位置a
’
1
,a ’2,a ’3,a ’4,a ’5,a ’6。

求出A ’。

由A,B,A ’可算出2组位移量:B A S -=1, B A S -='1
平均值:S=(S 1+S 2)/2。

10. 计算万有引力常数G 。

五、实验数据处理
表一：实验场景测量
由D M lS T d G 22
2
π=代入数据得G=5.82X10
-11
而修正系数)
4(222
/33
l d d +=
β=1.087
故最终由D
M lS T d G 2
2
2π)
1(1
β--=
得G=6.33 x10-11，E G =5.10%
六、实验总结
因为G 的数值非常微小，所以在地球表面上物体之间的引力很微小，以至于通常可以忽略。

因此卡文迪许扭秤法测量万有引力常数G 的实验是一个非常精致的实验。

本次试验要求试验中有足够耐心，对光点的观察要仔细。

七、思考题
1.假设 M = 1kg, l = 10 cm, d =5cm , m = 15g 。

1) 扭秤的周期 T ?
由l
d 222πT
GM 2θ= D S
θ2=得：DGM Sl T d 2
2π==293.08Hz
2) 悬丝的扭转常数 K ?
T
I K 2
2
4π
=
=
T
l
m 2
2
28π
=3.45x10-8
2. 对测量结果进行分析，分析影响测量结果的主要因素。

本实验测量结果为G=6.33 x10-11
，E G =5.10%。

误差相对较小。

但是，从
D
M lS T d G 2
2
2π)
1(1
β-
-=可见，d 与T 的测量，对结果影响较大。