傅里叶光学简介
2-1衍射和傅里叶光学基础详解
2.1.1 标准形式的一维非初等函数
（1） 矩形函数
又称为门函数，表示为
rect(x)
rect x 或 x
1
1 rect(x) 1/ 2
0
x 1/ 2 x 1/ 2 x 1/ 2
x -1/2 O 1/2
rect( x)dx 1
曲线下面积为1，表示矩形光源、狭缝或矩形孔的透射率
（2）sinc 函数
与某函数相乘使其极性翻转
sgn(x)
1 x
0 -1
（5）阶跃函数
• 定义：
1 step(x) 1/ 2
0
x0 x0 x0
step(x )
1 x
0
表示刀口或直边衍射物体或开关信号等
（6）圆柱函数
1 circ(r) 1/ 2
0
r 1 r 1 r 1
Circ (r)
1
y
x
O
1
circ(
x2 a
y2
22
1、直角坐标系中的二维非初等函数
(1)二维矩形函数，定义式为：
1
rect(x, y) rect(x)rect( y) 1/ 2
0
————可分离变量函数
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2 | x || y | 1/ 2
| x | 1/ 2and | y | 1/ 2
rect(x, y)
1
在光学问题中，常用来描述一个均匀 照明方形小孔的振幅透射系数。
二维矩形函数的一般表达式为：
1
1
2
rect( x x0 , y y0 ) rect( x x0 )rect( y y0 )
图11
ab
傅里叶光学讲义
傅⾥叶光学讲义傅⾥叶光学实验傅⾥叶光学原理的发明最早可以追溯到1893年阿贝（Abbe ）为了提⾼显微镜的分辨本领所做的努⼒。
他提出⼀种新的相⼲成象的原理，以波动光学衍射和⼲涉的原理来解释显微镜的成像的过程，解决了提⾼成像质量的理论问题。
1906年波特（Porter ）⽤实验验证了阿贝的理论。
1948年全息术提出，1955年光学传递函数作为像质评价兴起，1960年由于激光器的出现使相⼲光学的实验得到重新装备，因此从上世纪四⼗年代起古⽼的光学进⼊了“现代光学”的阶段，⽽现代光学的蓬勃发展阶段是从上世纪六⼗年代起开始。
由于阿贝理论的启发，⼈们开始考虑到光学成像系统与电⼦通讯系统都是⽤来收集、传递或者处理信息的，因此上世纪三⼗年代后期起电⼦信息论的结果被⼤量应⽤于光学系统分析中。
两者⼀个为时间信号，⼀个是空间信号，但都具有线性性和不变性，所以数学上都可以⽤傅⽴叶变换的⽅法。
将光学衍射现象和傅⽴叶变换频谱分析对应起来，进⽽应⽤于光学成像系统的分析中，不仅是以新的概念来理解熟知的物理光学现象，⽽且使近代光学技术得到了许多重⼤的发展，例如泽尼克相衬显微镜，光学匹配滤波器等等，因此形成了现代光学中⼀门技术性很强的分⽀学科—傅⾥叶光学。
实验原理：我们知道⼀个复变函数f(x,y)的傅⽴叶变换为：+-=?=dxdy vy ux 2i y x f y x f v u F )](exp[),()},({),(π ( 1 )F (u,v)叫作f(x,y)的傅⽴叶变换函数或频谱函数。
它⼀般也为复变函数，f(x,y)叫做原函数，也可以通过求 F(u,v)逆傅⽴叶变换得到原函数f(x,y)：+=?=-dudv vy ux 2i v u F v u F y x f 1)](exp[),()},({),(π（2）在光学系统中处理的是平⾯图形，当光波照明图形时从图形反射或透射出来的光波可⽤空间两维复变函数（简称空间函数）来表⽰。
在这些情况下⼀般都可以进⾏傅⾥叶变换或⼴义的傅⾥叶变换。
物理光学A傅里叶光学PPT课件
,
f
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上面的讨论可以说明, 理想夫琅和费衍射系 统起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学对 夫琅和费衍射的新认识。
当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫 琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方 向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼 此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到 分频的目的.
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x
0
G
光 栅
3
1 0
-1
-3
屏
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
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f (x)
2d
d
d d 4
0d 4
d 2
3d 4
x
2d
(x)是周期性函数
f (x) f (x md), (m ,1, 2,)
d是空间周期.将上式用 傅里叶级数展开:
f (x) 1 2 cos(2 1 x) 2 cos(2 3 x)
2
d 3
d
2 cos(2 5 x)
5
d
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令
p0
1 d
,
f
(x)
1 2
2
cos(2p0 x)
2
3
cos(2 3 p0 x)
2
5
cos(2 5 p0 x)
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
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光栅的像是一 条条直条纹
• •
x
•
•
•
•
•
傅里叶光学解析
20世纪上半叶
20世纪40年代至 60年代 20世纪60年代以来
1、傅里叶光学的发展历史
5）现代光学发展的三件大事
✓ 1948年，全息术的诞生，物理学家第一次精确地拍摄下一张立体的物体 像，它几乎记录了光波所携带的全部信息 (这正是“全息”名称的来历)！ ✓ 1955年，科学家第一次提出“光学传递函数”的新概念，并用它来评价 光学镜头的质量。 ✓ 1960年，一种全新的光源-激光器诞生了，它的出现极大地推动了相关学 科的发展。
2、傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： ✓光在空间的传播（衍射和干涉问题） ✓光学成像（相干与非相干成像系统） ✓全息术（包括计算全息） ✓光学信息处理（相干滤波、相关识别等） ✓光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法：
傅里叶光学 Fourier Optics
薛常喜 光电工程学院
1、傅里叶光学的发展历史
1）光学是一门古老的学科，主要研究光波的本性、光 波
的传播以及光与物质的相互作用。 2）光学的发展历史可以追溯到公元前5世纪，到目前 已经
有2000多年的历史，并逐渐在物理学中形成了一门 独立
的基础学科。 3）光学的发展历史可以看成是人们对光本性认识的历
史，以及人们利用光学技术推动社会不断进步的历 史。 4）在整个发展历史中，光学也从经典光学发展到现代
光学的发展历程
第一阶段：17世纪 中叶之前
经典光学的早期发 展阶段
【几何光学】
matlab 傅里叶光学
matlab 傅里叶光学全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：傅里叶光学是一种利用傅里叶变换理论研究光传播和光信息处理的方法。
它将光学现象和傅里叶分析有机地结合在一起，通过对光学系统中光场随时间和空间的变化进行频域分析，揭示了光学系统的特性和行为。
傅里叶光学在光学设计、成像系统、数字图像处理等领域具有重要的应用价值，对于提升光学系统的性能和实现更复杂的光学功能具有重要意义。
傅里叶光学的基本原理是将光场视为波动，利用傅里叶变换将光场表示为频谱分解的形式。
在傅里叶光学中，光场的传播和变换可以用傅里叶变换公式描述，通过傅里叶变换可以将一个任意时间或空间变化的光场分解成一系列频率不同的平面波，这些平面波之间的相位和幅度关系代表了原始光场的性质。
通过傅里叶变换，可以实现光场的频域分析，理解光场的传播规律和特性。
在数字图像处理中，傅里叶变换被广泛应用于图像的频域分析和滤波处理。
通过对图像进行傅里叶变换，可以将图像表示为频域上的频谱分布，通过分析频谱特性可以实现图像的去噪、增强、压缩等处理，提高图像质量和清晰度。
傅里叶变换还可以应用于图像配准、图像拼接、图像分割等图像处理任务，为数字图像处理提供了一种有效的工具和方法。
在实际应用中，matlab是一种常用的工具软件，可以实现傅里叶光学的理论研究和数值计算。
matlab软件提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于对光场进行傅里叶变换、光学系统的仿真模拟、图像处理和分析等任务。
通过matlab软件，研究者可以方便地进行傅里叶光学的数值计算和模拟，探索光学系统的特性和行为，实现光学功能的设计和优化。
第二篇示例：傅里叶光学是光学领域中一个重要的分支，它利用傅里叶变换的原理来研究光的传播、衍射、干涉等现象。
在傅里叶光学中，光被视为一种波动现象，能够通过数学方法描述和分析光的传播和相互作用。
让我们来了解一下傅里叶光学的基本概念。
在光学中，光波可以被表示为一个复数函数，具有振幅和相位两个要素。
第十四章傅里叶光学-文档资料
u
x y 1 v 1 d0 d0
~ x E 2, y 2
Ex ,y 1 1
~ Ex, y
t x ,y l 2 2
t x ,y 1 1
~ 而 FT E x ,y 1 1 A FT tx ,y A T u , v 1 1
2 f
~ ~ x E ,y 1 1 E x ,y 1 1
~ Ex, y
f
f
表明：透镜后焦面上的光场分布正比于 tl x ,y 衍射物体平面上复振幅的傅里叶变换。 tx 1 1 f ,y 1 1
jk 2 2 exp 2f x y ，后焦面上的位相分布与物体频谱的位相分布不
tx, y
tl x, y f
~ 2）紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布E x ,y 1 1
~ 3）后焦面上的复振幅分布 Ex, y
,y 物体的复振幅透过率为tx ，则物体与透镜之间的平面上的 1 1 复振幅分布为 ~ E x , y A t x , y 1 1 1 1
k 2 2 代入上式得到 ~ 将 E x , y A t x , y exp j x y 1 1 1 1 1 1
jk 2 1 2 Ex, y exp x y j f 2f ~ x y FTEx 1, y 1 u 1 v 1
但是这种FT关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子
一样，但他对观察平面上的强度分布没有影响，其光强为
A x y I x , y T , f f f f
2014optics6_1傅里叶光学
u 两者的区别在于，电信理论处理的是电信号，是时间的 一维函数，频率是时间频率，只涉及时间的一维函数的傅 里叶变换；在光学领域，处理的是光信号，它是空间的三 维函数，不同方向传播的光用空间频率来表征，需用空间 的三维函数的傅里叶变换。
傅里叶光学（信息光学，变换光学）的含义 信息光学＝数学工具（级数、积分）＋经典光学 （光波的传播、干涉、衍射、成像、光学信息的记 录与再现、光学信号的处理）
①将光波看成光信号的载波: 空间复振幅分布E（x，y），空间光场分布 I (x, y) ②将光学系统看成是信息的收集与处理系统
题记：从惠更斯菲涅耳原理看衍射现象
对衍射不同深度的认识： 光在传播过程中遇到障碍物时偏离直线传播，或更广泛 一点，偏离几何光学的传播规律。 当将波的传播规律已由HFK( Huygens Fresnel Kirchhoff )理 论应用到圆孔、圆盘、单缝、多缝问题时：衍射的发生 是由于光在传播过程中波面受到了某种抑制，亦即自由 波面发生破损。我们要说：在光的传播过程中，由于种 种原因而改变了波前的复振幅分布（振幅和相位），后 场不再是自由传播时的光波场，这便是衍射。用较为数 学化的语言：无源空间的边值定解问题。 ikr " % i e cos( n , r ) − cos( n , l ) ! ( P ) = − ∫∫ E ! (l ) E $ 'dσ λ Σ r # 2 &
等位相线的方程为
x cos α + y cos β = C
dx =
λ
cos α
dy =
λ
cos β
x λ dx dy y
Ø 在两个方向上的空间周期 和空间频率分别为
ux =
cos α
λ
物理光学-6傅里叶光学
y方向上
v 1 0 dy
( x) A exp i2 ux E
u
cos
为锐角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为正值
上的位相值沿x正向增加
这一强度分布具有空间周期性， 在x方向和y方向的空间周期分别为： dx
cos 2 cos 1
,
dy
cos 2 cos 1
空间频率为 cos 2 cos 1 u ,
v
cos 2 cos 1
3. 衍射光波的空间频率 (Spatial frequency of diffraction Lightwave )
为钝角， cos 0
u cos
xy平面 z=z0或z 0平面
为负值
上的位相值沿x正向减小
空间频率的正负，仅表示平 面波的传播方向不同
2.平面波传播方向余弦为cos ,cos 的情况
( x, y ) A exp i 2 z cos exp i 2 x cos y cos E 0 2 A exp i x cos y cos
x
2
y
cos
2
1 u dx 1 dy
cos sin y
sin x
平面波矢量在xz平面内时，
u
sin x
0
空间周期的物理意义：（在z=0平面内讨论） 1）平面波沿k方向的空间周期；平面波沿任意方向 r 的空间周期。
第1章 傅里叶光学基础
(21)
(8) 矩 (moment) g(x,y)的(k,l g(x,y)的(k,l )阶矩定义为 M k, l = ∫∫∞- ∞ g(x,y)xk yl dxdy 将逆变换表达式( 代入上式， 将逆变换表达式(2)代入上式，得到
M k, l=∫∫∞-∞G(u,v)dudv∫∫∞-∞xkylexp[i2π(ux+vy)]dxdy G(u,v)du [i2π x+v
傅里叶-贝塞尔变换 傅里叶 贝塞尔变换 设函数g(r,θ) = g(r) 具有圆对称， 具有圆对称， 函数 θ 傅里叶-贝塞尔变换为 傅里叶 贝塞尔变换为 G(ρ) = B {g(r)} ρ = 2π ∫∞org(r)Jo(2πρr)dr g(r)J π r)dr π 其中 Jo 为第一类零阶贝塞尔函数 傅里叶-贝塞尔逆变换为 傅里叶 贝塞尔逆变换为 g(r) = B-1 {G(ρ)} ρ = 2π ∫∞o ρ G(ρ)Jo(2πρr)dρ π ρ J π r)dρ
第一章
傅里叶光学基础
第一章 傅里叶光学基础
1．1 二维傅里叶分析 1．2 空间带宽积和测不准关系式 1．3 平面波的角谱和角谱的衍射 1．4 透镜系统的傅里叶变换性质
1.1 二维傅里叶分析
1.1.1 定义及存在条件 傅里叶变换可表为 复变函数器 g(x,y) 的傅里叶变换可表为 G(u,v) = F {g(x,y)} = ∫∫∞- ∞g(x,y)exp[-i2π(ux+vy)]dxdy g(x,y)exp[x+vy)]dxdy (1) 为变换函数或像函数 称g(x,y)为原函数，G(u,v)为变换函数或像函数。 为原函数， 为变换函数或像函数。 (1)式的逆变换为 式的逆变换 式的逆变换为 g(x,y) = F -1{G(u,v) } = ∫∫∞- ∞G(u,v)exp[i2π(ux+vy)]dudv (2) exp[i2 x+vy)]du
傅里叶光学基础
(x0 ,y0 )是对称中心
一维情况 二维情况
rect(x/a) rect(x/a) 1 0 0 x0 x x x0
rect(x rect(x,y)
y0
a b
y
20
第一章 §1.1 常用函数
矩形函数
光学意义 一维矩形函数 单缝 二维矩形函数 矩孔
的 的
透过率函数
透过率函数
21
一维情况
x x0 rect a
附录
2
sinc2 函数
2 2
sin (πx) sinc ( x) = [sinc( x)] = (πx) 2
sinc (x) sinc2(x) 表示: 表示:
1
a =1
光 学 意 义
单缝衍射花样
的
0 -1 1
光强分布
x
34
第一章 数学基础 §1.1 常用函数
课堂练习 (二)
1, ∧(x / 2) , ) 2, ∧(2x) , )
Sgn(x Sgn(x) = 2 Step (x) - 1 (x 请加以证明
作业之一
15
第一章 §1.1 常用函数
符号函数的性质
符号函数
与函数相乘
f( x ) 0 - f( x ) x > x0 x = x0 x < x0
Sgn( x-x0 ) f(x)=
作用
代表 变号 x < x0 函数 f(x)变符号
四,三角形函数 Triangle Function tri(x/a)
x ≤ a 其它
x x 1 , ∧ = 定义: 定义: a a 一维) (一维) 0,
原型
a>0
特点: 特点:
第十四章傅里叶光学
E ( x1 , y1 )
2、点物在距透镜有限远的光轴上 、 设点物S位于距透镜为 l 的光轴上， 设点物 位于距透镜为 的光轴上， 则投射到透镜上的光波就是从S点 则投射到透镜上的光波就是从 点 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 发出的发散球面波。在傍轴近似下， 它在透镜前平面上的场分布为
x12 + y12 ~ E ( x1 , y1 ) = A exp ik 2l
由于不考虑透镜的有限孔径大小， 由于不考虑透镜的有限孔径大小，则透镜的复振幅透过率为
2 2 x1 + y1 tl (x1 , y1 ) = exp − ik 2f
则紧靠透镜之后的平面上的复振幅分布为
E ′(x1 , y1 ) = tl ( x1 , y1 ) ⋅ E ( x1 , y1 ) k 2 2 = A ⋅ t (x1 , y1 ) exp− j x1 + y1 2f
(
)
{
}
所以
~ (x , y ) = A exp jk E jλ f 2 f
x y d0 2 2 1 − x + y ⋅ T , λf λf f
(
)
可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换， 可见后焦面上的复振幅分布仍然正比于物体的傅里叶变换，到 有一个位相弯曲。 物体紧靠透镜结论与前面一致， 有一个位相弯曲。当 d 0 = 0 时，物体紧靠透镜结论与前面一致， 当 时 d 0 = f，式子变为 x y
tl ( x1 , y1 ) f
但是这种FT关系不是准确的。 但是这种 关系不是准确的。由于变换式前存在位相因子 关系不是准确的
jk 2 exp x + y2 2 f
《傅里叶光学》课件
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
8.11傅里叶光学简介
1 0 -1 -3
λ
G
光 栅
f′
对于光栅我们可以用透过率函数′（x）来描 来描 对于光栅我们可以用透过率函数 一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数. 述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数 一维透射光栅的透过率函数是一矩形波函数 为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大 无限大. 为了讨论问题方便 设光栅狭缝总数 无限大d s源自n θ = mλ,在近轴条件下
(m = 0, ±1, ± 2,L )
= mp0λ,
sin θ ≈
ξ
f′
=m
λ
d
因此透镜后焦面上频率为
ξ p = mp0 = , ′ fλ
上面的讨论可以说明, 上面的讨论可以说明 理想夫琅和费衍射系统 起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学对夫 起到空间频率分析器的作用 这就是现代光学对夫 琅和费衍射的新认识。 琅和费衍射的新认识。 当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫琅 当单色光波入射到待分析的图象上时 通过夫琅 和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方向 和费衍射 一定空间频率的信息就被一定特定方向 的平面衍射波输送出来. 的平面衍射波输送出来 这些衍射波在近场彼此 交织在一起,到了远场它们彼此分开 到了远场它们彼此分开,从而达到分 交织在一起 到了远场它们彼此分开 从而达到分 频的目的. 频的目的
1 1 i2π p0x i2π p0x 1 i2π 3p0x i2π 3 p0x f (x) = + (e +e +e ) ) (e 2 π 3π 1 i2π 5 p0x i2π 5 p0x + (e +e )L L 5π
在光学中,负的空间频率也可以被赋予物理意义 在光学 在光学中 负的空间频率也可以被赋予物理意义.在光学 负的空间频率也可以被赋予物理意义 用复数表示更方便,更合理 中,用复数表示更方便 更合理 用复数表示更方便
傅里叶光学
补充读物傅里叶光学和数字图象处理光学与电通讯和电信息理论相互结合，逐渐形成了傅里叶光学。
傅里叶光学的数学基础是傅里叶变换，它的物理基础是光的衍射理论。
一、空间频率和复振幅设一维简谐波以相速度u 沿x 轴正方向传播，)(cos ),(0ϕωξ+−=x k t A t x简谐振动的时间周期性：时间周期T ，时间频率ν，时间角频率ω .简谐波还具有空间周期性？波速u ：(单位时间内振动状态的传播距离称为波速，相速)πλωλνλ2===T u . 空间周期性：空间周期：波长λ (表示振动在一个周期T 内所传播的距离，两个相邻的振动相位相同的点之间距离。
)空间频率：1/λ空间角频率：波数2π/λ若两个单色波沿其传播方向有不同的空间频率，意味着它们有不同的波长。
时间周期性和空间周期性的联系(对单色光)：λ ＝ uT 沿空间任意k 方向传播的单色平面波，复振幅 )(i 00e )(~ϕ−⋅=r k r A E ])cos cos cos ([i 0e ϕγβα−++=z y x k A ,其中α , β 和γ 为传播矢量k 的方位角。
在多数情况下，若不考虑光波随时间的变化，可以只用复振幅表示光波以简化计算。
二、空间频率概念的推广（二维）通常，要处理一个二维的复振幅分布或光强分布，如分析平面上的衍射花样，这时要推广空间频率。
沿k 方向传播的单色平面波，0z z =平面的复振幅分布为 γcos i 000e ),(~z k A y x E =)cos cos (i e βαy x k +对于沿一定方向传播的平面波，γcos i 0e z k ＝常数，则A y x E =),(~0)cos cos (i e βαy x k +x, y 平面上各点复振幅的差别仅来源于不同的(x, y )处有不同的相位差。
x y 平面上的相位分布？k 方向传播的平面波的波面如上图示，0z z =平面与任一波面的交线(虚线)上，各点的位相＝该波面的相位值；交线族 ＝ 等相位线族，其方程为 =+)cos cos (2βαλπy x 常数 故，0z z =平面上复振幅分布的特点：等位相线是一组平行线, 呈周期分布(周期为π2)。
傅里叶光学的应用
傅里叶光学的应用
傅里叶光学是光学领域的一种重要理论，它被广泛用于光学成像、信号处理、光通信等方面。
在光学成像方面，傅里叶光学应用最为广泛，它可以帮助我们理解复杂的光学图像。
傅里叶光学的应用还包括材料科学、量子光学等领域。
傅里叶光学的一个重要应用是光学相干成像，它利用傅里叶光学的原理，通过波前重构技术，使光束穿过被成像物体时，记录下干涉图像。
然后，通过解析干涉图像，可以重建出物体的三维结构。
这种技术在光学显微成像、医学成像等方面得到了广泛应用。
除此之外，傅里叶光学还可以用于压缩成像。
我们知道，通常成像需要大量的数据才能呈现图片。
但傅里叶光学可以在不损失图像质量的情况下，将图像的数据量大大减少，从而提高成像速度和效率。
这种技术在太空望远镜、医学影像等方面应用广泛。
此外，傅里叶光学在光通信中也有重要应用。
当光信号经过光纤传输时，受到的干扰和失真会导致信号品质下降。
而傅里叶光学可以用于信号重构，对光信号进行滤波、增强和复原等处理，从而提高信号传输的质量和效率。
这种技术在光通信系统中应用广泛。
总之，傅里叶光学的应用广泛，它不仅可以帮助我们实现高效的光学成像，还可以在光通信、材料科学、量子光学等领域发挥重要作用。
傅里叶光学
傅里叶光学
傅里叶光学的原理是根据傅里叶分析的原理，利用光的波动特性，将一个复杂的光波分解成多个简单的光波，然后利用这些简单的光波来描述复杂的光波的特性。
这种分析方法可以用来研究光的传播，衍射，折射，反射和其他光学相关的现象，可以研究光的空间分布，特性，调制，幅度，相位等特性。
傅里叶光学是一种基于傅里叶变换的光学理论，它用来描述光线的行为，其中光线的行为可以用傅里叶变换的形式表示。
它是由法国物理学家和数学家约瑟夫·傅里叶发现的，他在1822年发表了一篇论文，提出了“傅里叶光学”的概念，并且将其用于描述光线的行为。
傅里叶光学的基本原理是，光线可以用一系列的正弦函数来表示，这些正弦函数的频率和振幅可以用傅里叶变换来表示。
换句话说，傅里叶光学可以用来描述光线如何传播，如何反射，如何折射，以及如何在介质中传播，等等。
傅里叶光学的原理被广泛应用于光学，以及其他科学和工程领域。
它可以用来解释和模拟光线在不同环境中的传播特性，以及光线在介质中的反射、衍射和折射等现象。
傅里叶光学简介
１．光栅衍射和空间频率
２．阿贝成像原理 3. 空间滤波和光学信息处理 (1) 阿贝-波特空间实验 (2) 网格实验 (3) 调制实验
数学中的傅里叶分析,应用到通信理论中, 将电信号的特征在频率域中讨论; 傅里叶分 析与光学中的衍射理论结合起来,形成傅里叶 光学. 傅里叶光学,是在频率域中讨论图象信 息.通信理论中涉及的是一维时间函数,傅立 叶光学中讨论的是二维空间的信号.
１．光栅衍射和空间频率
波长为的单色平面波垂直入射到平面 光栅G上．设光栅d/a=2, N很大,会聚透镜后 的焦平面上得到各级干涉极大，且偶数干涉 极大缺级.
x
0
3
1 -1
屏
0 -3
G光 栅
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
像
倾斜方向的频谱通过
像
灰网 尘格 粘 上 的
过只 让 网 格 的 频 谱 通
失网 格 的 像 灰 尘 消
(3)
调制实验
用白光照明透明物体,物体的不同部分是 由不同取向的透射光栅片组成.频谱面上(除 零级外)干涉主极大呈彩色.物面上不同的部 分的频谱在不同方向上. 将一个方向的频谱, 只保留一种颜色,滤掉其余的颜色,其对应的 象面上,就显示出该频率的颜色来.
5 p0
p
透射光栅的空间频率和功率谱
上图是矩形波在频率域中的表示,横坐标是 空间频率p, 纵坐标分别表示振幅A和功率A2. 周期性函数的频谱都是分立的谱,各谱线的 频率为基频整数倍.在p=0处有直流分量. 再回到光栅装置.由光栅方程,
d sin m ,
5-第五章傅里叶光学
平面波的复振幅分布与空间频率
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2π 2π E ( x) A exp i z0 cos γ exp i x cos α λ λ 2π A 'exp i x cos α λ
~
λ x方向空间周期： d x cos α
参考书
4 / 120
Introduction to Fourier Optics_Third edition, Dec. 2004.
吕乃光，傅里叶光学，第二版，机械工业出版社，2007 吕乃光，周哲海，傅里叶光学 概念.题解，机械工业出版社， 2008 Ronald N. Bracewell, The Fourier transform and its application, Third edition, McGrawHill, 2000
本章内容和组织结构
3 / 120
5.6 相干成像系统分析及相干传递函数 成像系统的普遍模型，成像系统的线性和空间不变性，点扩展函数概 念，扩展物体成像，相干传递函数（CTF）概念。 5.7 非相干成像系统分析及光学传递函数 非相干成像系统的光学传递函数（OTF）概念，CTF与OTF的关系， 典型孔径的OTF。 5.8 阿贝成像理论和阿贝-波特实验 阿贝二次衍射成像理论，阿贝-波特实验及空间滤波概念。 5.9 相干光学信息处理 相干光学信息处理的应用：泽尼克相衬显微镜、激光束去噪、集成电 路瑕疵检查、图像加减、图像识别。 5.10 非相干光学信息处理 非相干光学处理的应用：孔径光阑的高斯切趾及变迹。
二维傅里叶变换
二维傅里叶变换：
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E ( x, y) ε(u, v) exp i 2π ux vy dudv
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如何在物理上实现数学上的傅立叶变 换和逆变换 L1 S
H1
L2
H2
夫琅和费衍射装置是傅立叶频谱分析器 在物理上实现了傅立叶变换，就可以在频域里考查光 学系统对图像频谱作出的反应（频率响应），以及对 图像所包含的信息进行处理，这正是现代光学发展的 一个重要方向。
阿贝成像原理
阿贝（ Abbe， 1840－1905） 研究如何提高显 微镜的分辨本领问题 —1873年对相干光照明的 物体提出了两步衍射成像原理。
频域函数 空域函数
i 2 ( f x x f y y )
dxdy
g ( x, y ) G ( f x , f y )e
空域函数 频域函数
i 2 ( f x x f y y )
df x df y
傅里叶频谱分布
0
空间滤波
P147 图 4-46 空 间 滤 波 改善像质的对比
20世纪 【量子光学】
以光的粒子性（量子性） 光电效应、波粒二像性 为基础，研究光与物质 的相互作用规律
20世纪中叶—至今 【现代光学】
以数学公式为工具， 研究光现象和应用
全息术、激光器的诞生 傅里叶光学、薄膜光学、 集成光学、非线性光学、光 纤光学等现代光学分支
20世纪40年代至60年代 20世纪60年代以来
“空域”
“频域”
傅里叶光学（又称信息光学）经历50多年的发展，形成一门完整独立的学科。
（4）随着计算机技术的发展，信息光学也获得了巨大发展；特别是90
年代分数傅里叶变换理论的发展更是促进了信息光学理论的发展，使信 息光学逐渐发展成为集光学、计算机和信息科学相结合的一门技术，成 为信息科学的一个重要组成部分和现代光学的核心之一。
傅里叶光学的应用
（1）光学信息处理的特点 高速 处理 并行传输 并行处理 响应 光开关 10-15s 光传输速度 3×108 m/s 电开关 10-9s 电传输速度 105 m/s 抗干扰能力强 大容量 传输容量大 光纤 存储容量大 全息存储 （2）信息光学的应用 新型成像系统
图像处理、图像识别
傅立叶光学 简介
What 什么是傅里叶光学？
光学 + 通信理论 = 傅里叶光学（信息光学）
Why
傅里叶光学的发展历程 傅里叶光学的应用
How
傅里叶光学的研究内容和研究方法
光学的发展历程
17世纪中叶之前 【几何光学】
直线传播、小孔成像、光的反射 春秋战国《墨经》
透镜的发明
11世纪 伊本· 海塞木 17世纪初 延森 李普希 伽利略 1630年，1657年 1666 牛顿，1678 惠更斯 19世纪初 托马斯· 杨 1815年 菲涅尔 1861年 麦克斯韦 1887年 1900年 普朗克 1905年 爱因斯坦
第一步夫琅禾费衍射起分频作用 将各 种空间频率的平面波分开 在 L 后焦面上形 成频谱 第二步干涉起综合作用 计算像面上某点光场的复振幅 既要考虑物面上每点对频谱面上各点的贡献 又要考虑频谱面上各点对像面上该点的贡献。
傅 里 叶 光 学 观 点
频 谱 面
物 面
高频信息
由阿贝的观点来看，许多成像光学仪器就是一个低通 滤波器，物平面包含从低频到高频的信息，透镜口径限制 了高频信息通过，只许一定的低频通过，因此，丢失了高 频信息的光束再合成，图象的细节变模糊。孔径越大，丢 失的信息越少，图象越清晰。 阿贝成像原理的意义在于: 它以一种新的频谱语言来描述 信息,它启发人们用改造频谱的方法来改造信息.
傅里叶光学的发展历史
（1）信息光学发展中的三个里程碑
1948年伽柏创建全息术（1971 Nobel物理奖）
1955年提出“光学传递函数”概念，用于评价光学镜头质量；
1960年激光器诞生，出现了高度相干性的光源。
（2）20世纪30年代末
傅里叶光学的产生
数学
线性变换
电子技术
通信理论 光学
全息术（包括计算全息）
光学信息处理（相干滤波、图像识别等） 光学变换、光计算、光学传感等 3）傅里叶光学主要的研究方法： 傅里叶变换+线性系统理论
空间频率
照片的二维平面 上光振幅有一定 的强弱分布
空间频率
空间频率：单位长度光振幅变化的次数。 反映了光强分布随空间变量作周期性变化的频繁程 度，它同光振动本身的时间频率完全是两回事。时 间是一维的，空间可以是一维、二维、三维。
L
O
1
F
S+1
I’ C’ B’ A’
1
A B C
S0 S-1
虚物 2 频谱图上各发光点发出的球面波在象平面上相干叠 加而形成象A’，B’，C’ 。 第一步是信息分解 第二步是信息合成
阿贝成象原理
2
通过衍射屏的光发生夫 琅禾费衍射，在透镜后 焦平面上得到傅里叶频 谱 (S+1, S0, S-1)
频 谱 语 言 描 述
<完>
数学上的傅立叶变换 数学上可以将一个复杂的周期性函数作 傅立叶级数展开，这一点在光学中体现 为：一幅复杂的图像可以被分解为一系 列不同空间频率的单频信息的合成，即， 一个复杂的图像可以看作是一系列不同 频率不同取向的余弦光栅之和。
G ( f x , f y ) g ( x, y )e
多维并联的光计算机 光学信息仿生学
微光夜视技术
风云II号气象卫星
全息防伪
傅里叶光学的研究内容和研究方法
1）傅里叶光学基于傅里叶变换的方法研究光学信息在线性系统中的 传递、处理、变换与存储等。 2）傅里叶光学主要的研究内容包括： 光在空间的传播（衍射和干涉问题） 光学成像（相干与非相干成像系统）
由于激光器的应用，全息术获得了新的生命； 全息术和光学传递函数的概念结合，光学研究的内容和方法发生了改变
传统，用光强、振幅的空 间分布来描述光学图像 现在，则把图像看作是由缓慢变化的背景、粗 的轮廓等比较低的“空间频率”成分和急剧 变化的细节等比较高的“空间频率”成分构成 的，用频率的分布和变化来描述光学图像。
础，研究光在介质中 的传播和成像规律
望远镜、显微镜的发明 以光的直线传播为基 Snell折射定律、费马原理 微粒说、波动说 杨氏双缝干涉实验 惠更斯—菲涅尔原理 Maxwell电磁波理论 迈克尔逊-莫雷以太实验 量子论 19世纪
【波动光学】
以光的波动性为基础， 研究光的干涉、衍射和 偏振现象和规律
频谱
空间滤波 载波
傅里叶分析
系统理论
傅里叶分析和线性系统理论使光学与通信在信息学领域统一起来， 对光学图像的描述从“空域” 走向“频域”。
光学系统和通信系统的共性
通信系统
作用 信号 特点 共性
调制电信号
光学系统
成像 二维 随空间变化
一维
随时间变化
信号的变换和传递
傅里叶光学的发展历史
（3）20世纪60年代以来
（低通滤波）
总结及几点说明：
1、从空域内的分布函数获得它的频域内的频谱分布是 一个傅立叶变换过程，它是把空域内的分布函数按照 不同空间频率的分量展开；从频域内的频谱获得空域 内的分布函数，则是傅立叶逆变换过程，它是将不同 空间频率的分量再叠加合成原来的分布函数的过程。 2、空域内的周期性分布函数的频谱是离散谱；空域内的非周 期性分布函数的空间频谱是连续普。 3、一个空域内的分布函数与它在频域内的频谱一一对应，改 变空间频率，则空域内相应的分布函数亦随之改变。 4、频谱中的低频成分决定了空域内分布函数中变化缓慢的部 分和粗的轮廓结构；频谱中的高频成分决定了图像中急剧变 化的部分和细节。