关于欧氏空间的若干问题

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欧氏空间中子空间不存在正交补的两个例子

欧氏空间中子空间不存在正交补的两个例子

欧氏空间中子空间不存在正交补的两个例子欧氏空间是维数大于等于3的几何空间,是一个多维的几何空间,其中子空间可以取得正交补,但是有时候中自空间不存在正交补,但是仍然可以构成欧氏空间。

下面我们将介绍欧氏空间中子空间不存在正交补的两个例子:第一个例子是欧氏几何空间里的球型子空间。

球型子空间是欧氏几何空间的一个子空间,它是由一个由有限多个平面分割的平行四棱锥组成,每个平面有两个球形的凸表面。

球型子空间的每一个表面都可以看作一个凸面,但是它们表面以及它们围成的空间不存在正交补,因此球型子空间不存在正交补。

第二个例子是欧氏几何空间里的抛物型子空间。

抛物型子空间也是欧氏几何空间的一个子空间,它由一系列的曲线组成,每一条曲线代表一个抛物线型的凸表面。

抛物型子空间的每一条曲线都可以看作一个凸面,但是它们之间没有正交补,因此抛物型子空间也不存在正交补。

综上所述,欧氏空间中子空间不存在正交补的两个例子分别是球型子空间和抛物型子空间,它们之间没有正交补,即它们之间没有相互垂直的路径。

此外,由于这些中子空间没有正交补,它们仍然可以构成欧氏空间。

这说明,在欧氏空间中,子空间不一定非得存在正交补,而存在正交补的子空间也不一定只有一个。

欧氏空间的理解至关重要,在进行几何推理和分析时,它可以当作一个参考系统,用来确定几何关系。

它的基本原理是:每一个子空间都必须有一个正交补,而无论正交补的大小如何,欧氏空间都能够准确地表明它们之间的关系。

但是,尽管可以证明欧氏空间中子空间并不一定存在正交补,这并不妨碍它们之间还是存在着相当明显的关系。

因此,在构建欧氏空间时,我们应当注意到不存在正交补的子空间,并努力在欧氏空间中发现这些子空间的潜在关系。

只有通过对欧氏空间中的子空间进行深入的研究,我们才能有效地更好地理解欧氏空间,从而对几何问题进行精确分析。

第八讲 欧氏空间

第八讲 欧氏空间
高等代数选讲
高等代数选讲
第八讲 欧氏空间
线性空间中,向量之间的基本运算只有加 法与数量乘法。作为几何空间的推广,可以发 现几何向量的度量性质,如长度、夹角等,在 线性空间的理论中没有得到反映。但是向量的 度量性质在许多问题(包括几何问题)有特殊 的地位。因此有必要在线性空间中引入度量的 概念,使其更接近于几何空间,并有更丰富的 内容与方法。
高等代数选讲 8、构造内积的方法 在实线性空间V 中构造内积使之构成欧氏空间,通 常采用如下两种方法: (1)直接构造:对任意 , V ,直接构造二元实 函数 , ,并验证其满足内积的四条公理。 (2)由正定矩阵确定内积:若V 为 n 维实线性空间, 任取V 的基 1 , 2 ,, n ,以及 n 阶正定矩阵A,定义: b1 b , a1 , a2 ,, an A 2 bn 其中 a11 a2 2 an n , b11 b2 2 bn n
高等代数选讲 欧氏空间证与内积有关的正交变换与对称变换在 现实生活中有着广泛而重要的应用,这两种变换在标 准正交基下分别对应着正交矩阵及实对称矩阵这两种 具有特殊性质的矩阵。要求掌握正交变换与对称变换 的概念及性质,能够运用它们与对应特殊矩阵之间的 关系解题对实对称矩阵A,要求能熟练地找到正交矩阵 T Q,使 Q AQ为对角阵,以及以另一种形式出现的同一 个问题,即用正交变换化实二次型为标准形。 将线性空间关于某个子空间进行直和分解是不唯 一的,但是欧氏空间关于某个子空间及其正交补空间 的直和分解是唯一的。欧氏空间的这种分解是很重要 的,要求掌握子空间的正交补的概念及基本性质,会 求某些子空间的正交补。
1 1 2 2 n n
高等代数选讲 (2) R mn --对于实矩阵 A aij mn , B bij mn 内积为

欧氏空间1

欧氏空间1

欧氏空间11.在欧氏空间4R 中,已知(2,1,3,2),(1,2,2,1)αβ==-,则||α= ,α与β的夹角为 (内积按通常的定义)。

2.设η是n 维欧氏空间V 中的一个单位向量,定义V 上的变换σ如下:,()2(,)V ασααηαη∀∈=-,其中(,)ηα表示η与α的内积,证明:(1) σ是V 上的正交变换;(2) V 中存在一组标准正交基12,,,n ηηη 使得1()1,()1,2.i i n σηση=-=≤≤3.已知矩阵126103114A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭,(1)求A 的逆;(2)求A 的初等因子;(3)求A 的若当标准形。

4.设A 是可逆的n 阶方阵,求证:存在正交阵T 和对角线元素全是正实数的下三角阵U ,使得A=UT ;并且这个表达式是唯一的。

5.证明:奇数维欧式空间中的旋转变换(第一类正交变换)一定有特征值1。

6.设A 是欧氏空间n R 的一个变换.试证:如果A 保持内积不变,即对于nR 中任意两个向量,αβ都有 (,)(,)A A αβαβ=,那么,它一定是线性的,而且是正交的。

7.设1,,m αα 与 1,,m ββ 是n 维欧氏空间V 中两个向量组,满足,,,,1,,,i j i j i j m ααββ<>=<>= 这里<>,表示内积,试证存在正交变换,A 使,1,,.i i A i m αβ==8.设f 是n 维欧氏空间V 的对称变换(即f 是V 的线性变换,且对任意,V αβ∈都有((),)(,())f f αβαβ=),证明:f 的像子空间Im f 是f 的核子空间Kerf 的正交补子空间。

9.设nR 为欧氏空间,则有柯西-施瓦茨不等式: . 10.在欧氏空间nR 中,向量[][]6,5,1,0,2,2==βα,则α与β的长度分别为 ,它们的 夹角为 .11。

已知[][][]21213212121,,0,,,0,0,1,1-===ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交基,则[]2,2,1=β向量在这组基下的坐标为 .12.对给定的n 阶实满秩矩阵A,设计一种方法,实现矩阵的正交三角分解QR 分解,即找出一个正交矩阵Q 与一个三角矩阵R,使得A=QR 并对矩阵A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡312122201,求其QR 分解. 13.正交矩阵的实特征值为1,-1.14. 如果12,,,n ααα 是n 维欧氏空间V 的线性无关的向量组,那么,存在一个向量ξ使得(,)1,1,2,,.i i n αξ==15.已知实对称矩阵422242224A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求正交矩阵P 使得T P AP 成为对角矩阵。

欧氏空间习题

欧氏空间习题

2 cos , 2 18 36
( , ) 1 1 2 2 2 2 3 3 18 ( , ) 3 3 1 1 5 5 3 3 36
18
所以 ,

4
3. d ( , ) 通常为 , 的距离,证明:
的度量矩阵; 3)具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基 不等式.
n ( , ) 解 1)易见 是 R 上的一个二元实函数,且
(1) ( , ) ( ) ( , ) (2) (k , ) (k ) k ( ) k ( , ) (3) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) (4) ( , ) aij xi y j
0 V1 V2
于是 ,所以 V1 , V1 . 同理可证 V2 从而 V1 V2,故
V1 V2 V1 V2
其次,任取 V1 V2,那么 V1 .且 V2 , 即 V1 , V2 , 任取 V1 V2,则
( ,) (k1 k 2 2 k n n ,) k1
所以, 2(, ) k1 k 2 2 k n n 。即证.
9.设 是欧氏空间V的一个变换 , 证明: 如果保持内积不变 ,
即对于 , V , 有
, ,
1 (4 4 1) 1 9
, 2 3 , 3
同理可得 2 , 2 3 , 3 1
即证
1 , 2 , 3
也是三维欧氏空间中的一组标准正交基.

高教线性代数第九章 欧氏空间课后习题答案

高教线性代数第九章  欧氏空间课后习题答案

第九章 欧氏空间1.设()ij a =A 是一个n 阶正定矩阵,而),,,(21n x x x =α, ),,,(21n y y y =β,在nR 中定义内积βαβα'A =),(,1) 证明在这个定义之下, nR 成一欧氏空间; 2) 求单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε,的度量矩阵;3) 具体写出这个空间中的柯西—布湿柯夫斯基不等式。

解 1)易见βαβα'A =),(是n R 上的一个二元实函数,且(1) ),()(),(αβαβαββαβαβα='A ='A '=''A ='A =, (2) ),()()(),(αβαββαβαk k k k ='A ='A =,(3) ),(),()(),(γβγαγβγαγβαγβα+='A '+'A ='A +=+, (4) ∑='A =ji j iij y x a,),(αααα,由于A 是正定矩阵,因此∑ji j iij y x a,是正定而次型,从而0),(≥αα,且仅当0=α时有0),(=αα。

2)设单位向量)0,,0,1(1 =ε, )0,,1,0(2 =ε, … , )1,,0,0( =n ε,的度量矩阵为)(ij b B =,则)0,1,,0(),()( i j i ij b ==εε⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nn n n n n a a a a a aa a a212222211211)(010j ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛ =ij a ,),,2,1,(n j i =,因此有B A =。

4) 由定义,知∑=ji ji ij y x a ,),(βα,,(,)ij i ji ja x xααα==∑,,(,)iji ji jay y βββ==∑,故柯西—布湿柯夫斯基不等式为2.在4R 中,求βα,之间><βα,(内积按通常定义),设: 1) )2,3,1,2(=α, )1,2,2,1(-=β, 2) )3,2,2,1(=α, )1,5,1,3(-=β, 3) )2,1,1,1(=α, )0,1,2,3(-=β。

欧氏空间

欧氏空间

第八章 欧式空间基础训练题1. 证明,在一个欧氏空间里,对任意的向量α,β,以下等式成立: (1) 222222βαβαβα+=-++;(2) 〈α,β 〉=224141βαβα--+.[提示:根据向量内积的定义及向量模的定义易证.]2. 在欧氏空间R 4中,求一个单位向量与 α1=(1, 1, 0, 0),α2=(1, 1, -1, -1),α3=(1, -1, 1, -1)都正交.解:ε=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21--.3. 设a 1, a 2, …, a n 是n 个实数,证明: )(222211n n i i a a a n a +++ ≤∑=.证明: 令α=(1,1, …,1), β=(|a 1|,|a 2|,…, |a n |)〈α , β〉=∑=ni i a 1≤|α|·|β |=)(22221n a a a n +++ . 4. 试证,欧氏空间中两个向量α, β正交的充分必要条件是:对任意的实数t ,都有|α+t β| ≥ |α|.证明: 〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+2t 〈α , β〉+t 2〈β , β〉必要性: 设α与β正交, 对任意的实数t ,则〈α +t β,α +t β〉=〈α , α〉+t 2〈β , β〉≥〈α , α〉所以 |α+t β| ≥ |α|.充分性: 当β=0时,结论成立.当β≠0时,取t 0=2,ββα〉〈-,则〈α +t 0β,α +t 0β〉=〈α , α〉22,ββα〉〈-. 由已知〈α +t 0β,α +t 0β〉≥〈α , α〉故 22,ββα〉〈=0, 所以〈α , β〉= 0. 即α , β正交.5. 在欧氏空间R 4中,求基{α1, α2, α3, α4}的度量矩阵,其中α1=(1, 1, 1, 1), α2=(1, 1, 1, 0), α3=(1, 1, 0, 0), α4=(1, 0, 0, 0) .解: 度量矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1111122212331234. 6. 在欧氏空间R 3中,已知基α1=(1, 1, 1), α2=(1, 1, 0), α3=(1, 0, 0)的度量矩阵为B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--321210102求基ε1=(1, 0, 0), ε2=(0, 1, 0), ε3=(0, 0, 1)的度量矩阵.解: 度量矩阵为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----343485353.7. 证明α1=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21, α2=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21--α3=⎪⎭⎫ ⎝⎛21,21,21,21--,α4=⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,21,21,21- 是欧氏空间R 4的一个规范正交基.[提示:令u =(α1, α2, α3, α4),计算uu T 即可.]8. 设{ε1, ε2, ε3}是欧氏空间V 的一个基, α1=ε1+ε2, 且基{ε1, ε2, ε3}的度量矩阵是A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----612121211.(1)证明α1是一个单位向量;(2)求k ,使α1与β1=ε1+ε2+k ε3正交.证明: (1) 〈ε1 , ε1〉=1, 〈ε1 , ε2〉=1-, 〈ε2 , ε2〉=2〈α1 , α1〉=〈ε1 , ε1〉+2〈ε1 , ε2〉+〈ε2 , ε2〉=1所以α1一个单位向量.(2)k =1-.9. 证明,如果{ε1, ε2,…,εn }是欧氏空间V 的一个规范正交基,n 阶实方阵A =(a ij )是正交矩阵,令(η1, η2,…,ηn )=(ε1, ε2,…,εn )A ,那么{η1, η2,…,ηn }是V 的规范正交基.证明: 〈 ηi ,ηj 〉=kj nk ki a a ∑=1=⎩⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 . 10. 设A 是n 阶正交矩阵,证明:(1)若det A =1,则-1是的一个特征根;(2)若n 是奇数,且det A =1,则1是A 的一个特征根.证明:(1)det(-I -A ) = det(-A A T -A )= det A ·det(-A T -A )= det A ·det(-I -A )=-det(-I -A )所以det(-I -A )=0,即-1是的一个特征根.(2)= det(A A T -A )= det A ·det(A T -A )= det A ·(-1)n·det(I -A ) =-det(I -A )所以det(I -A )=0, 即1是A 的一个特征根.10. 证明,n 维欧氏空间V 的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.[提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆矩阵是正交矩阵,结论易证.]11. 证明,两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定是.例如:令ε1 , ε2是R 2的一个规范正交基,分别取R 2 的两个对称线性变换τσ,,使得),(21εεσ=(ε1 , ε2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0001 , ),(21εετ=(ε1 , ε2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110 , 可以验证στ不是对称变换.两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换.12. 设是n 维欧氏空间V 的一个线性变换,证明,如果σ满足下列三个条件中的任意两个,那么它必然满足第三个:(1)σ是正交变换;(2)σ是变换;(3)σ2=ι(ι是恒等变换).[提示:根据σ是正交变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵, σ是对称变换当且仅当σ在一个规范正交基下的矩阵是对称矩阵, 结论易证.]13. 设σ是n 维欧氏空间V 的线性变换,若对于任意α, β∈V , 有〈σ(α), β〉=-〈α, σ(β)〉,则说σ是斜对称的. 证明(1) 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称实矩阵;(2) 若线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,则σ是斜对称线性变换.[提示:证明过程与第八章第三节定理8.3.2(p.349)的证明过程完全类似.]14. 设σ是欧氏空间V 到V '的一个同构映射,证明,如果{ε1, ε2, …, εn }是V 的一个规范正交基,则{σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn )}是V '的一个规范正交基.证明:由(p.253) 定理5.5.3可知, {σ(ε1), σ(ε2), …, σ(εn )}是V '的一个基. 由欧氏空间同构映射的定义可知,〈σ(εi ), σ(εj )〉= 〈εi , εj 〉=⎩⎨⎧≠=时当时当j i j i ,0,1 , 所以结论成立.15. 设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换. 证明,如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ之下不变.证明:因为正交变换是可逆线性变换,由(p.331)习题七的第13题的结论得: V = )()(⊥⊕w w σσ.因为⊥⊥w w ,且σ是正交变换,所以)()(⊥⊥w w σσ.由已知条件知,)(w σw ⊆,且σ可逆,因而)(w σw =从而 )(⊥⊥w w σ,即)(⊥w σ⊆⊥w .16. 设{ε1,ε2,ε3,ε4}是欧氏空间V 的一个规范正交基,W =L (α1, α2),其中α1=ε1+ε3,α2=2ε1-ε2+ε4.(1)求W 的一个规范正交基;(2)求W ⊥的一个规范正交基.解:取α3=ε2, α4=ε3,将α1, α2,α3,α4先正交化,然后规范化后得V 的一个规范正交基:β1=312121εε+ β2=432121212121εεεε+-- β3=4321321321323321εεεε+-+β4=431366161εεε++- 则{β1,β2}和{β3,β4}分别是W 与W ⊥的一个规范正交基.17. 求齐次线性方程组⎩⎨⎧0023214321=-+=+-+x x x x x x x . 的解空间W 的一个规范正交基,并求W ⊥.解: 经计算,得空间W 的一个基础解系为α1=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011,α2=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1101 将α1, α2扩充为R 4的一个基α1, α2, α3=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0100,α4=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000 将α1, α2,. α3, α4规范正交化后得W 的一个规范正交基β1 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3103131, β2 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-151153152151, β3=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--101102102101, β4 =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210021 那么{β1,β2}和{β3,β4}分别是W 与W ⊥的一个规范正交基且W ⊥=£(β3,β4).18. 已知R 4的子空间W 的一个基α1=(1, -1, 1, -1),α2=(0, 1, 1, 0)求向量α=(1, -3, 1, -3)在W 上的内射影.解:易求得W ⊥的一个基α3=(1,0,0,1), α4=(-2, -1,1,0)则α1, α2, α3, α4是R 4的一个基.α=(2α1-α2) +(-3α3+0α4)所以α在W 上的内射映为2α1-α2 .19. 对于下列对称矩阵A ,各求出一个正交矩阵U ,使得U T AU 是对角形式:(1) A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--510810228211,(2) A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----114441784817.解:(1)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=9189,323231323132313232AU U U T (2)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2799,31184032181213218121AU U U T。

第九章 欧氏空间复习资料

第九章 欧氏空间复习资料

第九章 欧氏空间一. 内容概述1.欧氏空间的定义设V 是实数域R 上一个向量空间,在V 上定义了一个二元实函数,称为内积,记作),(βα,它具有以下性质:1) ),(),(αββα=;2) ),(),(βαβαk k =; 3) ),(),(),(γβγαγβα+=+; 4) 0),(≥αα,当且仅当0=α时, 0),(=αα这里γβα,,是V 任意的向量,k 是任意实数,这样的线性空间V 称为欧几里得空间. 常见的欧氏空间举例:例1 在线性空间nR 中,对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα, 定义内积.),(2211n n b a b a b a +++= βα (1) 则内积(1)适合定义中的条件,这样nR 就成为一个欧几里得空间.仍用来表示这个欧几里得空间.在3=n 时,(1)式就是几何空间中的向量的内积在直角坐标系中的坐标表达式. 例2 在n R 里, 对于向量 ),,,(,),,,(2121n n b b b a a a ==βα定义内积.2),(2211n n b na b a b a +++= βα 则内积(1)适合定义中的条件,这样n R 就也成为一个欧几里得空间.对同一个线性空间可以引入不同的内积,使得它作成不同的欧几里得空间.例 3 在闭区间],[b a 上的所有实连续函数所成的空间),(b a C 中,对于函数)(),(x g x f 定义内积⎰=b a dx x g x f x g x f )()())(),((. (2)对于内积(2),),(b a C 构成一个欧几里得空间.例4 设R m n ⨯为一切m n ⨯矩阵所成的线性空间.内积定义为()()3,B A B A t r '=则称R mn ⨯为R 上的欧氏空间,2.欧氏空间的内积的主要性质:1)定义中条件1)表明内积是对称的. ),(),(),(),()2αββααββαk k k k ==='),(),(),(),(),(),()3γαβααγαβαγβγβα+=+=+=+' 定义2 非负实数),(αα称为向量α的长度,记为α.显然,向量的长度一般是正数,只有零向量的长度才是零,这样定义的长度符合熟知的性质:αα||k k = (3)这里V R k ∈∈α,.长度为1的向量叫做单位向量.如果,0≠α由(3)式,向量αα1就是一个单位向量.用向量α的长度去除向量α,得到一个与α成比例的单位向量,通常称为把α单位化.柯西-布涅柯夫斯基不等式:即对于任意的向量βα,有βαβα≤),( (5)当且仅当βα,线性相关时,等式才成立.对于例1的空间nR ,(5)式就是 .22221222212211n n n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ 对于例2的空间),(b a C ,(5)式就是()()212212)()()()(⎰⎰⎰≤b a ba ba dx x g dx x f dx x g x f 定义3 如果向量βα,的内积为零,即0),(=βα那么βα,称为正交或互相垂直,记为βα⊥. 设V 是一个n 维欧几里得空间,在V 中取一组基n εεε,,,21 ,对于V 中任意两个向量n n x x x εεεα+++= 2211, n n y y y εεεβ+++= 2211, 由内积的性质得∑∑===++++++=n i nj ji j i n n n n y x y y y x x x 1122112211),(,),(εεεεεεεεβα 设),,2,1,(),(n j i a j i ij==εε (8)显然 .ji ij a a =于是∑∑===n i nj j i ij y x a 11),(βα (9)利用矩阵,),(βα还可以写成AY X '=),(βα, (10)其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n y y y Y x x x X 2121, 分别是βα,的坐标,而矩阵nn ij a A )(=称为基n εεε,,,21 的度量矩阵.3. 标准正交基定义4 欧氏空间V 的一组非零的向量,如果它们两两正交,就称为一个正交向量组. 按定义,由单个非零向量所成的向量组也是正交向量组.正交向量组是线性无关的.这个结果说明,在n 维欧氏空间中,两两正交的非零向量不能超过n 个.定义6 在n 维欧氏空间中,由n 个向量组成的正交向量组称为正交基;由单位向量组成的正交基称为标准正交基组.定理:正交向量组是线性无关的.定义 n 组实数矩阵A 称为正交矩阵,如果E A A ='(即A A '=-1)例2 考虑定义在闭区间]2,0[π上一切连续函数所作成的欧氏空间]2,0[πC .函数组 .,sin ,cos ,,sin ,cos ,1 nx nx x x 构成]2,0[πC 的一个正交组.例3 欧氏空间nR 的基 ))(0,,0,1,0,,0( i i =ε(其中n i,,2,1 =) 是n R 的一个标准正交基.定理:正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵的逆是正交矩阵.掌握施密特正交化的方法实对称矩阵的标准形(对角化问题).引理1:设A 是实对称矩阵,则A 的特征值皆为实数.引理2: 设A 是实对称矩阵,则R n 中属于A 的不同特征值的特征向量必正交.引理3:实对称矩阵的k 重特征值一定有k 个线性无关的特征向量。

第九章欧氏空间分析

第九章欧氏空间分析

第八章 欧氏空间练习题1.证明:在一个欧氏空间里,对于任意向量ηξ,,以下等式成立:(1)2222||2||2||||ηξηξηξ+=-++; (2).||41||41,22ηξηξηξ--+=在解析几何里,等式(1)的几何意义是什么? 2.在区氏空间n R 里,求向量)1,,1,1(Λ=α与每一向量)0,,0,1,0,,0()(ΛΛi i =ε,n i ,,2,1Λ=的夹角.3.在欧氏空间4R 里找出两个单位向量,使它们同时与向量)4,5,2,3()2,2,1,1()0,4,1,2(=--=-=γβα 中每一个正交.4.利用内积的性质证明,一个三角形如果有一边是它的外接圆的直径,那么这个三角形一定是直角三角形.5.设ηξ,是一个欧氏空间里彼此正交的向量.证明:222||||||ηξηξ+=+(勾股定理)6.设βααα,,,,21n Λ都是一个欧氏空间的向量,且β是n ααα,,,21Λ的线性组合.证明:如果β与i α正交,n i ,,2,1Λ=,那么0=β. 7.设n ααα,,,21Λ是欧氏空间的n 个向量. 行列式><><><><><><><><><=n n n n n n n G ααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,),,,(21222121211121ΛΛΛΛΛΛΛΛ 叫做n ααα,,,21Λ的格拉姆(Gram)行列式.证明),,,(21n G αααΛ=0,必要且只要n ααα,,,21Λ线性相关.8.设βα,是欧氏空间两个线性无关的向量,满足以下条件:><><ααβα,,2和><><βββα,,2都是0≤的整数.证明: βα,的夹角只可能是6543,32,2ππππ或. 9.证明:对于任意实数n a a a ,,,21Λ,23322211(||n ni ia a a a n a++++≤∑=Λ).10.已知)0,1,2,0(1=α,)0,0,1,1(2-=α, )1,0,2,1(3-=α,)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基.对这个基施行正交化方法,求出4R 的一个规范正交基.11.在欧氏空间]1,1[-C 里,对于线性无关的向量级{1,x ,2x ,3x }施行正交化方法,求出一个规范正交组.12.令},,,{21n αααΛ是欧氏空间V 的一组线性无关的向量,},,,{21n βββΛ是由这组向量通过正交化方法所得的正交组.证明,这两个向量组的格拉姆行列式相等,即><>><=<=n n n n G G βββββββββααα,,,),,,(),,,(22112121ΛΛΛ13.令n γγγ,,,21Λ是n 维欧氏空间V 的一个规范正交基,又令},2,1,10,|{1n i x x V K ni i i i Λ=≤≤=∈=∑=γξξK 叫做一个n -方体.如果每一i x 都等于0或1,ξ就叫做K 的一个项点.K 的顶点间一切可能的距离是多少?14.设},,,{21m αααΛ是欧氏空间V 的一个规范正交组.证明,对于任意V ∈ξ,以下等式成立:∑=≤mi i122||,ξα.15.设V 是一个n 维欧氏空间.证明)(i 如果W 是V 的一个子空间,那么W W =⊥⊥)(.)(ii 如果21,W W 都是V 的子空间,且21W W ⊆,那么⊥⊥⊆12W W )(iii 如果21,W W 都是V 的子空间,那么⊥⊥⊥+=+2121)(W W W W16.证明,3R 中向量),,(000z y x 到平面}0|),,{(3=++∈=cz by ax R z y x W的最短距离等于222000||cb a cz by ax ++++.17.证明,实系数线性方程组∑===nj i j ijn i b x a1,,2,1,Λ有解的充分且必要条件是向量n n R b b b ∈=),,,(21Λβ与齐次线性方程组∑===nj j jin i x a1,,2,1,0Λ的解空间正交.18.令α是n 维欧氏空间V 的一个非零向量.令}0,|{>=<∈=αξξαV P .αP 称为垂直于α的超平面,它是V 的一个1-n 维子空间.V 中有两个向量ξ,η说是位于αP 的同侧,如果><><αηαξ,,与同时为正或同时为负.证明,V 中一组位于超平面αP 同侧,且两两夹角都2π≥的非零向量一定线性无关.[提示:设},,,{21r βββΛ是满足题设条件的一组向量.则)(0,j i j i ≠>≤<ββ,并且不妨设)1(0,r i i ≤≤>><αβ.如果∑==ri i i c 10β,那么适当编号,可设0,,,0,,,121≤≥+r s s c c c c c ΛΛ,)1(r s ≤≤,令∑∑+==-==rs j j j s i i i c c 11ββγ,证明0=γ.由此推出0=i c )1(r i ≤≤.] 19.设U 是一个正交矩阵.证明:)(i U 的行列式等于1或-1; )(ii U 的特征根的模等于1; )(iii 如果λ是U 的一个特征根,那么λ1也是U 的一个特征根; )(iv U 的伴随矩阵*U 也是正交矩阵.20.设02cos≠θ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin 0sin cos 0001U . 证明,U I +可逆,并且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+--010*******tan ))((1θU I U I21.证明:如果一个上三角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=nn n n n a a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ000000333223221131211 是正交矩阵,那么A 一定是对角形矩阵,且主对角线上元素ij a 是1或-1.22.证明:n 维欧氏空间的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换.23.设σ是n 维欧氏空间V 的一个正交变换.证明:如果V 的一个子空间W 在σ之下不变,那么W 的正交补⊥W 也在σ下不变.24.设σ是欧氏空间V 到自身的一个映射,对ηξ,有,)(),(ηησξσ=证明σ是V 的一个线性变换,因而是一个正交变换. 25.设U 是一个三阶正交矩阵,且1det =U .证明:)(i U 有一个特征根等于1; )(ii U 的特征多项式有形状1)(23-+-=tx tx x x f这里31≤≤-t .26.设},,,{21n αααΛ和},,,{21n βββΛ是n 维欧氏空间V 的两个规范正交基.)(i 证明:存在V 的一个正交变换σ,使n i i i ,,2,1,)(Λ==βασ.)(ii 如果V 的一个正交变换τ使得11)(βατ=,那么)(,),(2n ατατΛ所生成的子空间与由n ββ,,2Λ所生成的子空间重合.27.设σ是n 维欧氏空间V 的一个线性变换.证明,如果σ满足下列三个条件的任意两个,那么它必然满足第三个:)(i σ是正交变换;)(ii σ是对称变换;)(iii ισ=2是单位变换.28.设σ是n 维欧氏空间V 的一个对称变换,且σσ=2.证明,存在V 的一个规范正交基,使得σ关于这个基的矩阵有形状⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛000101OO 29.证明:两个对称变换的和还是一个对称变换.两个对称变换的乘积是不是对称变换?找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件.30.n 维欧氏空间V 的一个线性变换σ说是斜对称的,如果对于任意向量V ∈βα,, )(,),(βσαβασ-=.证明:)(i 斜对称变换关于V 的任意规范正交基的矩阵都是斜对称的实矩阵(满足条件A A -='的矩阵叫做斜对称矩阵))(ii 反之,如果线性变换σ关于V 的某一规范正交基的矩阵是斜对称的,那么σ一定是斜对称线性变换.)(iii 斜对称实矩阵的特征根或者是零,或者是纯虚数.31.令A 是一个斜对称实矩阵.证明,A I +可逆,并且1))((-+-=A I A I U 是一个正交矩阵.32.对于下列对称矩阵A,各求出一个正交矩阵U,使得AU U '是对角形式:)(i ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=510810228211A ; )(ii ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=114441784817A。

欧氏空间的定义与基本性质

欧氏空间的定义与基本性质
③ ( , ) R.
§9.1 定义与基本性质
4
例1.在 Rn 中,对于向量
a1,a2,L ,an , b1,b2,L ,bn
1)定义 ( , ) a1b1 a2b2 L anbn 易证 ( , ) 满足定义中的性质 1o~ 4o.
(1)
所以, ( , ) 为内积. 这样Rn 对于内积 ( , ) 就成为一个欧氏空间.
n
n
nn
( , ) ( xii , y j j )
( i , j ) xi y j (8)
i 1
j 1
i1 j1
令 aij (i , j ), i, j 1,2,L n.
§9.1 定义与基本性质
24
A
aij
,
nn
x1
X
x2 xMn
,
y1
Y
y2 yMn
(7)
ai , bi R, i 1, 2,L , n.
§9.1 定义与基本性质
16
2)
施瓦兹 不等式
b f ( x)g( x)dx
b f 2( x)dx
b g2( x)dx
a
a
a
证:在 C(a,b) 中, f ( x) 与 g( x) 的内积定义为
b
( f ( x), g( x)) a f ( x)g( x)dx
且若 f ( x) 0, 则 f 2( x) 0, 从而 ( f , f ) 0.
故 ( f , f ) 0 f (x) 0.
因此,( f , g) 为内积, C(a,b)为欧氏空间.
§9.1 定义与基本性质
8
2. 内积的简单性质
V为欧氏空间, , , V , k R

定义与基本性质欧氏空间

定义与基本性质欧氏空间

欧氏空间的性质
完备性
在欧氏空间中,任意柯西序列都收敛,即任意两点之间的距离可 以由有限步的有限位移得到。
有限维性
欧氏空间是有限维的,其维度等于空间中独立坐标的个数。
连通性
欧氏空间是连通的,即任意两点之间都存在一条连续的路径。
欧氏空间的维度
一维欧氏空间
只有一条坐标轴。
二维欧氏空间
有两条相互垂直的坐标轴。
向量的模
欧氏空间中向量的模定义为向量长度或大小,表 示为$| vec{v} |$,计算公式为$sqrt{v_1^2 + v_2^2 + cdots + v_n^2}$。
向量的内积
欧氏空间中向量的内积定义为两个向量的点积, 表示为$vec{v} cdot vec{w}$,计算公式为 $v_1w_1 + v_2w_2 + cdots + v_nw_n$。
连续性的几何意义
在欧氏空间中,连续性意味着函数图像的每一点附近都有其他点,这些点与图像 上对应的点足够接近。
03
欧氏空间的应用
解析几何中的欧氏空间
解析几何是数学的一个重要分支,它使用代数方法研究几何对象。在解析几何中 ,欧氏空间是一个基本的、重要的概念,用于描述平面和三维空间中的点、线、 面等几何元素。
长度和半径
欧氏空间中,线段的长度和圆的 半径可以通过度量性质进行计算 。
欧氏空间的平行性
平行直线
在欧氏空间中,两条直线平行当且仅当它们的方向向量成比 例。
平行平面
在欧氏空间中,两个平面平行当且仅当它们的法向量共线。
欧氏空间的连续性
连续性定义
在欧氏空间中,如果对于任意给定的正数$epsilon$,都存在一个正数$delta$,使 得对于空间中的任意两点$P$和$Q$,只要$d(P, Q) < delta$,就有$d(f(P), f(Q)) < epsilon$,则称函数$f$在欧氏空间中是连续的。

关于欧氏空间正交变换的存在性问题

关于欧氏空间正交变换的存在性问题
蒋永 泉
( 江 苏师 范 大 学 数 学 与 统 计 学 院 ,江 苏 徐 州 2 2 1 1 1 6 )
摘 要 给 出 无 限维 欧 氏 空 间上 正 交 变换 存 在性 问题 的 两个 结 论 : 设V , 、 , 2是 欧 氏空 间 V 的 两个 有 限 维子 空 间, 且d i m V1 =d i m V 2 , 则 存 在 的正 交变 换 , 使 得 ( )一 V 2 ; 设 m, a z , … 儡 和 , 屉, …, 为 欧 氏空 间 V 中两 个 向 量组 , 则 存 在 的正 交 变换 , 使得 a ( a D : 届( : 1 , 2 , …, r ) 的充 要条 件 是 ( ∞) 一( 届, )( , 一 1 , 2 , …, r ) . 关 键 词 欧 氏空 间 ; 子空间 ; 正交补 ; 正 交 变 换 文献 标 识 码 A ’ 文 章 编 号 1 0 0 8 — 1 3 9 9 ( 2 0 1 3 ) 0 1 — 0 0 1 6 — 0 3
收稿 日期 : 2 0 1 1 - 0 3 — 0 8 ; 修 改 日期 : 2 0 1 2 — 1 1 - 2 9
进 而存 在 『 I 到V 的 同构 映射 。 . 于是 , 对于V 中 任 一 向量 , 存在 唯一分 解式

+ ( ∈ vF, z∈
) .
若 令
中 图分 类 号 O1 5 1
用 R表 示实 数域 , V表 示 欧 氏 空 间 , d i mV 表示
w 的正 交补 的存在 性可 由文 [ 1 ]定理 8 . 2 . 4给
欧 氏空 间 或 欧 氏子 空 间 V 的 维 数 , L( e , £ , …, £ )
表 示 由 向量 组 ( £ , £ , …, £ r ) 生成 的子 空 间.

第九章欧氏空间综合练习题解答

第九章欧氏空间综合练习题解答

第九章 欧氏空间(综合练习)一、选择题1. 设σ是欧氏空间V 的线性变换,那么σ不是正交变换的充分必要条件是( A ) A. σ保持非零向量的夹角; B. σ保持内积;C. σ保持向量的长度;D. σ把标准正交基映射为标准正交基. 2.下列命题正确的是( C ) .A. 线性变换保持向量长度不变;B. 对称变换保持向量的内积不变;C.正交变换保持向量夹角不变;D.线性变换保持向量的线性无关性. 3.欧氏空间3R 中的标准正交基是( A ).A. ();;0,1,0; B. ()1111,,0;,;0,0,12222⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭;C. ();;0,0,0; D. ()()()1,1,1;1,1,1;1,1,1---.4.欧氏空间中不同基下的度量矩阵是( A ).A .合同的;B .相似的;C .相等的;D .正交的. 5. n 维欧氏空间V 中,下列命题不成立的是( C ). A . V ∈βα,,若α⊥,则222βαβα+=+;B .V ∈βα,,若βα与线性相关,则)(,2ββααβα,),()(=; C .若()()γβγαβα=⇒=,,; D .若V ∈∀β,都有()0,=βα,则0=α. 6. A 是n 级正交矩阵,则下列结论错误的是( D ).A. 11-=或A ;B. A A '=-1;C.A 的列向量组是n R 的一个标准正交组;D.A 的特征值必为实数. 7.在3R 中,与向量()()1,2,1,1,1,121==a a 都正交的单位向量为( C ).A . ()1,0,1;B .()2,0,2- ;C .⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,0,21 ;D .⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0,21;β8.V 是欧氏空间,γβα,,是V 中的向量,则下列结论正确的是( C ).A .若),(),(γαβα=,则γβ=;B .若βα=, 则 ;C .若1),(=αα,则1=α;D .若0),(>βα,则 βα=. 9.V 是欧氏空间,V ∈γβα,,,则下列结论不成立的是( D ). A .βαβα≤),(; B . βαβα+≤+; C .βγγαβα-+-≤-; D .222βαβα+=+.10.对于n 阶实对称矩阵A ,以下结论正确的是( B )。

高考数学中的空间解析几何中的欧氏空间

高考数学中的空间解析几何中的欧氏空间

高考数学中的空间解析几何中的欧氏空间空间解析几何是数学中的分支之一,它主要探讨的是三维空间中的几何性质和相关的数学问题。

欧氏空间则是空间解析几何中的基础概念。

欧氏空间是指三维空间中的一种几何结构,其特点是平行公理和直角公理。

平行公理指的是任意一条直线只有一条平行线,而直角公理则是指相交的两条直线会形成一个直角。

这两条公理决定了欧氏空间的几何性质。

在欧氏空间中,点和向量是两个基础的概念。

点代表空间中的一个位置,而向量则代表了一个有方向和大小的量。

在这个空间中,每一个点都可以用三个坐标来表示,而每一个向量则可以用三个分量来表示。

空间解析几何中,平面和直线是两个重要的概念。

在欧氏空间中,平面可以用三个点或一个点和一个法向量来表示。

直线则可以用两个点或一个点和一个方向向量来表示。

欧氏空间中的距离可以通过勾股定理来计算。

勾股定理是指在直角三角形中,直角边的平方和等于斜边的平方。

假设有两个点A和B,它们的坐标分别为(x1,y1,z1)和(x2,y2,z2),那么它们之间的距离可以用勾股定理来计算:AB的距离=√[(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2]欧氏空间中的向量运算包括加法、减法、数乘和内积。

向量加法是指将两个向量的分量分别相加,而向量减法则是将两个向量的分量分别相减。

向量的数乘是指将一个向量的分量乘以一个标量,而向量的内积则是两个向量的对应分量相乘后求和。

欧氏空间中的坐标系包括直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系由三条相互垂直的坐标轴组成,分别代表x轴、y轴和z轴。

极坐标系则由一个原点和极角和极径组成,极角代表了向量与z轴的夹角,而极径则是向量的长度。

在高考数学中,空间解析几何通常是一个比较难的题型。

这类题目需要考生熟练掌握欧氏空间的基础概念和相关的计算方法,才能顺利解题。

因此,对于准备参加高考的学生来说,掌握空间解析几何是至关重要的。

总的来说,欧氏空间是空间解析几何中的一个基础概念,它形成了空间解析几何的基础。

关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记

关于欧氏空间中与维数相关习题处理的注记
讨论中,我们对空间的维数并没有作任何限制”,
而且对有限维空间的讨论应当要具体说明。这样
在将把有限维空间作为研究主体和重点的情况下, 应慎重地处理和对待没有指明欧氏空间维数的问 题。
定义2(见[1])欧氏空间V的线性变换 称为正交
变换,如果它保持向量的内积不变,
, , ,对任意的
于是
, , 1 2
, , 2
, 0
从而 因此
0.
W , 即 1 2 2
W 1 W 2.
同理,W2 W 1.
所以 W1 W2 .
由此知,W的正交补是唯一的。
还应当注意到的是,对于无限维欧氏空间的一个 无限维子空间来说,它的正交补有可能不存在。
, , ,
则称 为对称变换。
, V
定义3(见[1])欧氏空间V的线性变换 若满足:
, V
在北大数学系编的《高等代数》(第二版) 教材中有一道习题(见[2,P397习题23 ] ) : 命题1 如果 是正交变换,那么 的不变子空间

2 k 1 2 k 1 i x fx () a x d x 0 , 故 i 1 1 1
m1

2 0, j1 2(k j) 1
n
a2( j1)1
i 0
其中当m是偶数时, 2 ( n 1 )1 m 1 ;
( n 1 )1 m . 当m是奇数时, 2
显然
fx () x fx (),是V的一个正交变换。
n i 2 n 令 W axa Rn , N , W L x , x , , x , , 则 i i i 1

高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

高等代数(下)课外习题第九章欧氏空间]

第九章 欧氏空间一、判断题1、12,,,n εεε是n 维欧氏空间的一组基,矩阵()ij n n A a ⨯=,其中(,)ij i j a εε=,则A 是正定矩阵。

( )2、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且αβ=,则αβ+与αβ-正交。

( )3、设V 是一个欧氏空间,,V αβ∈,并且(,)0αβ=,则,αβ线性无关。

( )4、n 维Euclid 空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基 ( )5、若T 是正交变换,则T 保持向量的内积不变 ( )6、度量矩阵是正定的 ( )7、正交矩阵的行列式等于1 ( )8、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为实对称矩阵。

( )9、设A 与B 都是n 阶正交矩阵,则AB 也是正交矩阵。

10、在欧氏空间V 中,若向量α与自身正交,则0=α.( )11、两两正交的向量构成的向量组叫正交向量组.( )12、若矩阵A 为正交矩阵,则1-='A A .( )13、设A 是n 维欧氏空间V 的正交变换,则A 在V 的任意基下的矩阵是正交矩阵.( )14、设21,V V 是n 维欧氏空间V 的两个正交子空间,且21V V V +=,则21V V V ⊕=。

( )15、对称矩阵A 的任意两个特征向量都正交。

( )二、填空题1、在欧氏空间3R 中,向量(1,0,1)α=-,(0,1,0)β=,那么(,)αβ=_________, α=_________.2、两个有限维欧氏空间同构的充要条件是__________________.3、已知A 是一个正交矩阵,那么1A -=_________,2A =_________. 4、已知三维欧式空间V 中有一组基123,,ααα,其度量矩阵为110120003A --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,则向量12323βααα=+-的长度为 。

5、已知A 为n 阶正交阵,且|A|<0,则|A|= .6、欧氏空间V 上的线性变换σ是对称变换的充要条件为σ关于标准正交基的矩阵为 。

欧氏空间与线性空间

欧氏空间与线性空间

欧氏空间与线性空间欧氏空间和线性空间是数学中两个重要的概念,它们在不同的领域和应用中发挥着重要的作用。

本文将从定义、性质和应用等方面来探讨欧氏空间和线性空间的相关内容。

一、欧氏空间欧氏空间是指具有内积的实数向量空间。

在欧氏空间中,可以定义向量的长度和向量之间的夹角。

具体而言,对于n维欧氏空间R^n 中的向量x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn),其内积定义为:<x, y> = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn而向量的长度定义为:||x|| = sqrt(<x, x>) = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)欧氏空间具有一些重要的性质。

例如,欧氏空间中的向量满足三角不等式,即对于任意的向量x和y,有:||x + y|| <= ||x|| + ||y||此外,欧氏空间还满足正交性质,即对于任意的向量x和y,如果它们的内积为零,则称向量x和y是正交的。

欧氏空间的概念在几何学、物理学、统计学等领域中有广泛的应用。

在几何学中,欧氏空间可以用来描述点、线、面等几何对象之间的关系。

在物理学中,欧氏空间可以用来描述空间中的力、速度等物理量。

在统计学中,欧氏空间可以用来度量数据样本之间的相似性。

二、线性空间线性空间是指具有加法和数乘运算的向量空间。

在线性空间中,向量之间的加法满足交换律和结合律,数乘满足分配律和结合律。

具体而言,对于n维线性空间V中的向量x,y和标量a,其加法和数乘定义为:x + y = y + x (交换律)(a + b)x = ax + by (分配律)a(bx) = (ab)x (结合律)线性空间的概念在代数学、数学物理学、计算机科学等领域中有广泛的应用。

在代数学中,线性空间可以用来研究向量和矩阵的性质。

在数学物理学中,线性空间可以用来描述复杂的物理系统。

在计算机科学中,线性空间可以用来处理图像、音频等数据。

欧氏空间选择题

欧氏空间选择题

1.欧氏空间V 的对称变换σ关于任何标准正交基的矩阵都是一个()A .对角形矩阵B .对称矩阵C .反对称矩阵D .上三角形矩阵2.下列说法不正确的是()A .如果欧氏空间V 的线性变换σ保持长度不变,则σ是正交变换。

B .正交变换不是可逆变换C .正交变换的乘积与逆变换都是正交变换D .由于正交变换σ保持内积不变,所以σ实际上是欧氏空间到自身的一个同构映射3.在内积按通常定义的4R 中,)3,2,2,1(=α,)1,5,1,3(=β之间的夹角为()A .6πB .4πC .3πD .2π4.在内积按通常定义的4R 中,)2,3,1,2(=α,)1,2,2,1(−=β之间的夹角为()A .6πB .4πC .3πD .2π5.下列说法正确的是()。

(1)实对称矩阵A 的特征根皆为实数;(2)若A 是实对称矩阵,则n R 中属于A 的不同特征根的特征向量彼此正交。

A .(1)B .(2)C .(1)和(2)D .都不正确6.若,A B 均为正交矩阵,下列矩阵不一定是正交矩阵的是()。

A .A ′B .1−AC .ABD .A B−7.321,,ααα是欧氏空间3R 的一组标准正交基,下列向量组不是3R 标准正交基的是()。

A .3121,,αααα+B .123,,αααC .231,,αααD .132,,ααα。

8.W 是欧氏空间V 的非平凡子空间,下列说法错误的是()。

A .V 中只存在一个向量W ∉α,而且W ⊥α;B .W 中的任何一个非零向量都不可能与W 正交;C .若W W V∈≠∉∈≠)(,但0)0(βαα那么βαγ+=一定不与W 正交;D .V 中有无数个向量与W 正交。

9.设321,,ααα是欧氏空间V 中的向量,),,(321αααL W =,,V ∈α123ααα+=,下列说法正确的是()。

A .若1αα⊥则W α⊥B .若2αα⊥则Wα⊥C .若3αα⊥则Wα⊥D .若3,1=⊥i iαα则Wα⊥10.设A 为n 阶实矩阵,n ααα,,,21⋯为矩阵A 的列向量组,),,,(21n L W ααα⋯=,U 为齐次线性方程组0AX =的解空间,,W U 作为n R 的子空间,下列说法错误的是()。

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结

欧氏空间的知识点总结一、欧氏空间的基本概念1. 欧氏空间的定义欧氏空间是指具有度量的线性空间,它可以是具有内积的实数线性空间或者复数线性空间。

在欧氏空间中有一种特殊的度量,即欧氏距离。

欧氏距离是指在n维空间中,两点之间的距离d(x, y)定义为:d(x, y) = √((x1-y1)^2 + (x2-y2)^2 + ... + (xn-yn)^2)其中x=(x1, x2, ..., xn)和y=(y1, y2, ..., yn)分别是空间中的两个点。

2. 欧氏空间的维度欧氏空间的维度是指空间中的向量所属的维度数,通常用n表示。

在n维欧氏空间中,一个向量可以用n个实数或复数表示。

例如,在二维欧氏空间中,一个向量可以表示为(x, y)。

在三维空间中,一个向量可以表示为(x, y, z)。

3. 欧氏空间的内积在n维欧氏空间中,可以定义内积的概念。

内积是指两个向量之间的数量积,通常用"a·b"表示。

在欧氏空间中,两个向量a和b的内积定义为:a·b = a1b1 + a2b2 + ... + anbn内积满足交换律、线性性和正定性等性质。

内积可以用来定义向量的长度、夹角和投影等概念,是欧氏空间中重要的工具。

二、欧氏空间的性质和定理1. 欧氏空间的性质欧氏空间具有许多重要的性质,例如:- 距离的非负性:两点之间的距离永远是非负的。

- 距离的对称性:两点之间的距离与它们的顺序无关。

- 三角不等式:两点之间的最短距离加起来不大于第三个点所在的线段的长度。

- 同伦性:欧氏空间是同伦的,即两个点之间总可以找到一条连续的路径相连接。

2. 欧氏空间的定理在欧氏空间中,有许多重要的定理,例如:- 柯西-施瓦茨不等式:对于欧氏空间中的任意两个向量a和b,它们的内积满足|a·b| ≤ ||a|| * ||b||,其中||a||和||b||分别是向量a和b的长度。

- 皮亚诺定理:在欧氏空间中,任意有界闭集都是紧的。

高考数学中的欧氏空间中的点线平面问题

高考数学中的欧氏空间中的点线平面问题

高考数学中的欧氏空间中的点线平面问题在高考数学中,欧氏空间中的点线平面问题是一个比较复杂的概念,需要我们用心去理解和掌握。

欧氏空间是一个三维的空间,其中包括了三维的点、直线和平面,而这些概念在高考数学中经常被考查,因此我们必须对其了解透彻才能在考试中取得好成绩。

首先,我们来看一下欧氏空间中的点。

点是欧氏空间中最基本的概念,是一个没有大小的对象,只有位置。

我们可以用三维坐标系来描述点的位置,其中包括了x、y和z三个方向的轴线。

例如,在三维坐标系中,一个点的位置可以表示为(x,y,z),这三个坐标轴都是相互独立的。

在高考数学中,常常会考察我们如何求出空间中两个点之间的距离,这需要我们用到勾股定理来计算。

例如,在坐标系中,若有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),那么它们之间的距离可以表示为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²]。

接下来,我们来探讨一下欧氏空间中的直线。

直线是一个没有厚度的、无限延伸的对象,它由无数个点组成。

在欧氏空间中,直线可以用点和向量来表示。

我们可以通过两个点之间的向量来定义一条直线,例如,在坐标系中,若有两个点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2),那么它们之间的向量可以表示为AB=[(x2-x1),(y2-y1),(z2-z1)]。

通过向量的加减法,我们可以得到一条直线上的任意一点。

在高考数学中,直线的方程也是一个经常被考查的话题。

我们可以用点向式、一般式和截距式来表示一条直线的方程,这需要我们掌握一些基本的求解方法。

最后,我们来讨论一下欧氏空间中的平面。

平面是一个没有厚度的、无限延伸的对象,它由无数个点和直线组成。

在欧氏空间中,平面可以用点和向量来表示。

我们可以通过三个点所组成的向量来定义一个平面,例如,在坐标系中,若有三个点A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)和C(x3,y3,z3),那么它们之间的两个向量可以表示为AB=[(x2-x1),(y2-y1),(z2-z1)]和AC=[(x3-x1),(y3-y1),(z3-z1)]。

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关于欧氏空间的若干问题
欧氏空间,也称欧几里德空间,是数学中研究最广泛、应用最
广泛的一个空间概念。

它是一个三维的空间,通常用欧氏度量来
度量距离。

在欧氏空间中,可以进行许多有趣的几何推理和计算,下面将针对欧氏空间的一些常见问题进行探讨。

一、欧氏空间的定义和性质:
1. 欧氏空间的定义:欧氏空间是一个具有三个轴向(x、y、z)的空间,其中任意两点之间的距离可以用欧氏度量来度量。

2. 欧氏度量的定义:欧氏度量是指两个点之间的距离,即在空
间中点A和点B的距离可以表示为√[(xB-xA)² + (yB-yA)² + (zB-zA)²]。

3. 欧氏空间的性质:欧氏空间满足公理化的欧氏几何的所有性质,包括点、线、平行、相似、共面等等。

二、欧氏空间中的几何推理和计算:
1. 直线和平面:在欧氏空间中,可以定义直线和平面,直线是
两点之间的最短路径,平面是由三个或更多点组成的平坦表面。

2. 平行和垂直:在欧氏空间中,可以定义平行和垂直关系,平
行的直线永远不会相交,垂直的直线相交时角度为90度。

3. 距离和角度:在欧氏空间中,可以计算两点之间的距离,并且可以计算两条直线或两个平面之间的夹角。

4. 对称和相似:在欧氏空间中,可以定义对称和相似的概念,对称是指关于某一中心轴或点对称,而相似是指形状和大小相似但不完全相同。

5. 三角形和多边形:在欧氏空间中,可以进行三角形和多边形的计算,包括面积、周长、角度等。

6. 空间图形的投影:在欧氏空间中,可以进行空间图形的投影计算,包括平行投影和透视投影等。

三、欧氏空间在现实生活中的应用:
1. 建筑和工程:欧氏空间的几何推理和计算在建筑和工程领域中得到广泛应用,如房屋设计、结构力学分析等。

2. 机械制造:欧氏空间的几何推理和计算在机械制造中也起到重要作用,如零件加工、装配设计等。

3. 计算机图形学:欧氏空间的概念在计算机图形学中被广泛应用,如三维建模、渲染等。

4. 地理测量:欧氏空间的概念在地理测量中起到重要作用,如地图制作、航空摄影测量等。

5. 数据分析:欧氏空间的几何概念被广泛应用于数据分析中的
聚类、分类等算法中。

综上所述,欧氏空间是一个重要的数学概念,在几何推理和计算、现实生活中的应用都具有重要意义。

通过对欧氏空间的研究,我们可以更好地理解和应用几何学在实际问题中的解决方法,同
时也能促进数学知识在各个领域的发展和应用。

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