函数定义域-值域求法以及分段函数

（一）函数的概念

1．函数的概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数（function）．

记作：y=f(x)，x∈A．

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域（range）．

注意：

○1“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

○2函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x．2．构成函数的三要素：

定义域、对应关系和值域

3．区间的概念

（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

（2）无穷区间；

（3）区间的数轴表示．

4．一次函数、二次函数、反比例函数的定义域和值域讨论

（二）映射

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射（mapping）．

记作“f：A→B”

说明：

（1）这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

（2）“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思。1．例题分析：下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B={（x，y）| x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角体系中的点与它的坐标对应；

（3）A={三角形}，B={x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）A={x | x是新华中学的班级}，B={x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．

思考：

将（3）中的对应关系f改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系f 改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应f：B→A是从集合B到集合A的映射吗？

（三）函数的表示法

常用的函数表示法：（1）解析法；

（2）图象法；

（3）列表法．

三、典例解析 1、定义域问题

例1 求下列函数的定义域：

① 21)(-=

x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x

x x f -++=21

1)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式2

1

-x 无意义，

而2≠x 时，分式21

-x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x .

②∵3x+2<0，即x<-3

2

时，根式23+x 无意义，

而023≥+x ，即3

2

-≥x 时，根式23+x 才有意义，

∴这个函数的定义域是{x |3

2

-≥x }.

③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x

-21

同时有意义，

∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x }

另解：要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠-≥+0201x x ⇒ ⎩⎨⎧≠-≥2

1

x x

例2 求下列函数的定义域：

①14)(2

--=

x x f ②214

3)(2-+--=x x x x f

③=

)(x f x

11111++

④x

x x x f -+=

0)1()(

⑤3

7

3132+++-=

x x y

解：①要使函数有意义，必须：142

≥-x 即： 33≤≤-x

∴函数14)(2--=

x x f 的定义域为： [3,3-

]

②要使函数有意义，必须：⎩⎨

⎧≠-≠-≤≥⇒⎩⎨⎧≠-+≥--131

40

210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--<⇒x x x 或或

∴定义域为：{ x|4133≥-≤<--

③要使函数有意义，必须： 0

11110110≠++≠+≠⎪

⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧x

x x ⇒

2

110-≠-≠≠⎪⎩

⎪

⎨⎧x x x ∴函数的定义域为：}2

1

,1,0|{--≠∈x R x x 且

④要使函数有意义，必须： ⎩

⎨⎧≠-≠+001x x x ⎩⎨⎧<-≠⇒01

x x

∴定义域为：{}011|<<--

⑤要使函数有意义，必须： ⎩⎨⎧≠+≥+-073032x x ⎪⎩

⎪⎨

⎧-≠∈⇒37x R x 即 x<37- 或 x>37- ∴定义域为：}3

7

|{-≠x x

例3 若函数a

ax ax y 1

2+

-=

的定义域是R ，求实数a 的取值范围 解：∵定义域是R,∴恒成立，

01

2

≥+

-a

ax ax ∴⎪⎩

⎪⎨⎧≤<⇒≤⋅-=∆>2001402a a a a a 等价于 例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41

(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域

解：要使函数有意义，必须：

4343454

34345

14111411≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤

≤-≤≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≤+≤-x x x x x ∴函数)41(+=x f y )4

1(-⋅x f 的定义域为：⎭

⎬⎫⎩

⎨⎧≤≤-

434

3

|x x 例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

分析：法则f 要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x －1上必也要

求2x －1在 [－1，1]内取值，即－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x －1)中2x －1与f(x)中的x 位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x －1≤1,解出x 的取值范围就