函数定义域值域求法(全十一种)
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高中函数定义域和值域的求法总结
一、常规型
即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。 例1 求函数8
|3x |15
x 2x y 2-+--=
的定义域。
解:要使函数有意义,则必须满足
⎩⎨
⎧≠-+≥--②①
8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④
③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。
故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。
例2 求函数2
x
161
x sin y -+=的定义域。
解:要使函数有意义,则必须满足
⎩
⎨⎧>-≥②①0x 160
x sin 2
由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π, ③
由②解得4x 4<<-
④
由③和④求公共部分,得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--,, 评注:③和④怎样求公共部分?你会吗? 二、抽象函数型
抽象函数是指没有给出解析式的函数,不能常规方法求解,一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式,一般有两种情况。 (1)已知)x (f 的定义域,求)]x (g [f 的定义域。 (2)其解法是:已知)x (f 的定义域是[a ,b ]求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤,即为所求的定义域。
例3 已知)x (f 的定义域为[-2,2],求)1x (f 2-的定义域。
解:令21x 22≤-≤-,得3x 12≤≤-,即3x 02≤≤,因此3|x |0≤≤,从而
3x 3≤≤-,故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 (2)已知)]x (g [f 的定义域,求f(x)的定义域。 其解法是:已知)]x (g [f 的定义域是[a ,b ],求f(x)定义域的方法是:由b x a ≤≤,求
g(x)的值域,即所求f(x)的定义域。
例4 已知)1x 2(f +的定义域为[1,2],求f(x)的定义域。 解:因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤,,。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型
即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值围。特别是对于已知定义域为R ,求参数的围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=
的定义域为R 数m 的取值围。
分析:函数的定义域为R ,表明0m 8mx 6mx 2≥++-,使一切x ∈R 都成立,由2x 项
的系数是m ,所以应分m=0或0m ≠进行讨论。 解:当m=0时,函数的定义域为R ;
当0m ≠时,08m mx 6mx 2≥++-是二次不等式,其对一切实数x 都成立的充要条件是
1
m 00)8m (m 4)m 6(0m 2
≤<⇒⎩⎨⎧≤+--=∆> 综上可知1m 0≤≤。
评注:不少学生容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。
例6 已知函数3
kx 4kx 7
kx )x (f 2+++=
的定义域是R ,数k 的取值围。
解:要使函数有意义,则必须3kx 4kx 2++≠0恒成立,因为)x (f 的定义域为R ,即
03kx 4kx 2=++无实数
①当k ≠0时,0k 34k 162<⨯-=∆恒成立,解得4
3k 0<<; ②当k=0时,方程左边=3≠0恒成立。 综上k 的取值围是4
3k 0<
≤。 四、实际问题型
这里函数的定义域除满足解析式外,还要注意问题的实际意义对自变量的限制,这点要加倍注意,并形成意识。
例7 将长为a 的铁丝折成矩形,求矩形面积y 关于一边长x 的函数的解析式,并求函数的定义域。
解:设矩形一边为x ,则另一边长为
)x 2a (2
1
-于是可得矩形面积。 2x ax 21
)x 2a (21x y -=-⋅=
ax 2
1
x 2+-=。
由问题的实际意义,知函数的定义域应满足
⎩⎨
⎧>->⇒⎪⎩⎪
⎨⎧>->0x 2a 0x 0)x 2a (2
10
x 2
a
x 0<<⇒。
故所求函数的解析式为ax 2
1
x y 2+
-=,定义域为(0,2a )。 例8 用长为L 的铁丝弯成下部为矩形上部为半圆的框架,如图,若矩形底边长为2x ,
求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式,并求定义域。
解:由题意知,此框架围成的面积是由一个矩形和一个半圆组成的图形的面积,如图。
因为CD=AB=2x ,所以x CD π=⋂
,所以2
x
x 2L 2CD AB L AD π--=
--=
⋂
, 故2
x 2x x 2L x 2y 2
π+
π--⋅= Lx x )2
2(2+π
+-=
根据实际问题的意义知
2L x 002x
x 2L 0
x 2+π<<⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧>π--> 故函数的解析式为Lx x )2
2(y 2+π
+-=,定义域(0,2L +π)。
五、参数型
对于含参数的函数,求定义域时,必须对分母分类讨论。 例9 已知)x (f 的定义域为[0,1],求函数)a x (f )a x (f )x (F -++=的定义域。 解:因为)x (f 的定义域为[0,1],即1x 0≤≤。故函数)x (F 的定义域为下列不等式组的解集:
⎩⎨⎧≤-≤≤+≤1a x 01a x 0,即⎩
⎨
⎧+≤≤-≤≤-a 1x a a
1x a 即两个区间[-a ,1-a ]与[a ,1+a ]的交集,比较两个区间左、右端点,知
(1)当0a 2
1
≤≤-
时,F (x )的定义域为}a 1x a |x {+≤≤-; (2)当21
a 0≤≤时,F (x )的定义域为}a 1x a |x {-≤≤;
(3)当21a >或2
1
a -<时,上述两区间的交集为空集,此时F (x )不能构成函数。
六、隐含型
有些问题从表面上看并不求定义域,但是不注意定义域,往往导致错解,事实上定义域隐含在问题中,例如函数的单调区间是其定义域的子集。因此,求函数的单调区间,必须先求定义域。
例10 求函数)3x 2x (log y 22++-=的单调区间。
解:由03x 2x 2>++-,即03x 2x 2<--,解得3x 1<<-。即函数y 的定义域为(-1,3)。 函数)3x 2x (log y 22++-=是由函数3x 2x t t log y 22++-==,复合而成的。
4)1x (3x 2x t 22+--=++-=,对称轴x=1,由二次函数的单调性,可知t 在区间]1(,-∞上是增函数;在区间)1[∞+,上是减函数,而t log y 2=在其定义域上单调增;
3)[1)[1)31(]11(]1()31(,,,,,,,=∞+--=-∞- ,
所以函数)3x 2x (log y 2
2++-=在区间]11(,
-上是增函数,在区间)31[,上是减函数。
函数值域求法十一种
1. 直接观察法