函数值域求法十一种

函数值域求法十一种

1. 直接观察法

对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。 例1. 求函数x

1y =

的值域。

解：∵0x ≠

∴0x 1≠

显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞

例2. 求函数x

3y -

=的值域。

解：∵0x ≥

3x 3,0x ≤-≤-∴

故函数的值域是：]3,[-∞

2. 配方法

配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。 例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x

y 2

-∈+-=的值域。

解：将函数配方得：

4)1x (y 2

+-= ∵]2,1[x -∈

由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]

3. 判别式法

例4. 求函数

22x 1x x 1y +++=

的值域。

解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+-

（1）当1y ≠时，R x ∈

0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆

解得：23y 2

1≤

≤

（2）当y=1时，0x =，而⎥

⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥

⎦⎤⎢⎣⎡23,21

例5. 求函数)

x 2(x x y -+

=的值域。

解：两边平方整理得：

0y x )1y (2x 22

2=++-（1） ∵R x ∈

∴

0y 8)1y (42

≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-

但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤

由0≥∆，仅保证关于x 的方程：

0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0

≥∆求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡23,21。

可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 ∵2x 0≤≤

)x 2(x x y ≥-+=∴

21y ,0y min +

==∴代入方程（1）

解得：]

2,0[2

2

222x 41∈-+=

即当

22222x 41-+=

时，

原函数的值域为：]21,0[+

注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。

4. 反函数法

直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

例6. 求函数6x 54

x 3++值域。

解：由原函数式可得：

3

y 5y 64x --=

则其反函数为：

3x 5y 64y --=

，其定义域为：53

x ≠

故所求函数的值域为：⎪

⎭⎫ ⎝⎛

∞-53,

5. 函数有界性法

直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。

例7. 求函数1e 1e y x

x +-=的值域。

解：由原函数式可得：1y 1

y e x -+=

∵0e x

>

∴01y 1

y >-+

解得：1y 1<<-

故所求函数的值域为)1,1(-

例8. 求函数

3x sin x

cos y -=

的值域。

解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：

y 3)x (x sin 1y 2=β++

即1

y y 3)x (x sin 2+=

β+ ∵R x ∈

∴]1,1[)x (x sin -∈β+

即1

1y y 312

≤+≤

- 解得：

4

2y 42≤≤-

故函数的值域为⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡-42,42

6. 函数单调性法

例9. 求函数

)10x 2(1x log 2y 35

x ≤≤-+=-的值域。

解：令1x log y ,2y 325

x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，

8112log 2y 33min =

-+=-

当x=10时，

339log 2y 35

max =+= 故所求函数的值域为：⎥

⎦⎤

⎢⎣⎡33,81

例10. 求函数1x 1x y --+=

的值域。

解：原函数可化为：

1x 1x 2y -++=

令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数

所以当x=1时，21y y y +=有最小值2

，原函数有最大值

2

2

2

=

显然0y >，故原函数的值域为]2,

0(

7. 换元法

通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

例11. 求函数1x x y -+=的值域。 解：令t 1x =-，)0t (≥

则1t x 2

+=

∵

43

)21t (1t t y 22+

+=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知

当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞

例12. 求函数

2

)1x (12x y +-++=的值域。