函数值域求法十一种
函数定义域值域求法十一种
高中函数定义域和值域的求法总结一、常规型即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式 或不等式组，解此不等式(或组)即得原函数的定义域。
解：要使函数有意义，则必须满足x 2 2x 15 0①11 或 x>5。
3且x 11} {x |x 5}。
1例2求函数y '定义域。
*16 x 2解：要使函数有意义，则必须满足sinx 0 ① 16 x 2 0② 由①解得2k x 2k ，k Z ③ 由②解得4x4④由③和④求公共部分，得4 x 或 0 x故函数的定义域为(4， ］ (0,］评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？二、抽象函数型抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函 数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。
(1)已知f(x)的定义域，求f ［g(x)］的定义域。
(2)其解法是：已知f (x)的定义域是］a , b ］求f ［g(x)］的定义域是解a g(x) b , 即为所求的定义域。
例3已知f(x)的定义域为［—2, 2］,求f (x 23 x 3，故函数的定义域是｛x |x(2)已知f ［g(x)］的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f ［g(x)］的定义域是］a ， b ］，求f(x)定义域的方法是：由 a x b ，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。
例4已知f(2x 1)的定义域为］1，2］，求f(x)的定义域。
解：因为 1 x 2,2 2x 4,3 2x 1 5。
即函数f(x)的定义域是｛x 13 x 5｝。
三、逆向型即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。
特别是对于已知定义域为 R ,求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。
例5已知函数y . mx 2 6mx m 8的定义域为R 求实数m 的取值范围。
分析：函数的定义域为 R ,表明mx 2 6mx 8 m 0 ,使一切x € R 都成立，由x 2项例1求函数y,x 2 2x 15 |x 3| 8 的定义域。
函数值域求法十一种精编版
函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y m i n =，当1x -=时，8y m a x=故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+- （1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
高中数学求函数值域的解题方法总结(16种)
求函数值域的解题方法总结（16种）一、 观察法：通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。
例:求函数()x 323y -+=的值域。
点拨：根据算术平方根的性质，先求出()x 3-2的值域。
解：由算术平方根的性质知()0x 3-2≥，故()3x 3-23≥+。
点评:算术平方根具有双重非负性，即：（1）、被开方数的非负性，（2）、值的非负性。
本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧发。
练习：求函数()5x 0x y ≤≤=的值域。
（答案：{}5,4,3,2,1,0）二、反函数法：当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。
例：求函数2x 1x y ++=的值域。
点拨:先求出原函数的反函数，再求出其定义域。
解：显然函数2x 1x y ++=的反函数为：y y --=112x ，其定义域为1y ≠的实数，故函数y 的值域为{}R y 1,y |y ∈≠。
点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。
练习:求函数x-x -xx 10101010y ++=的值域。
（答案：{}1y 1-y |y 或）。
三、配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求函数的值域。
例：求函数()2x x-y 2++=的值域。
点拨:将被开方数配方成平方数，利用二次函数的值求。
解：由02x x -2≥++可知函数的定义域为{}2x 1-|x ≤≤。
此时2x x -2++=4921-x -2+⎪⎭⎫ ⎝⎛()232x x-02≤++≤∴，即原函数的值域为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤23y 0|y点评：求函数的值域的不但要重视对应关系的应用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。
练习：x 4-155-x 2y +=的值域。
（答案：{}3y |y ≤）四、判别式法：若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理数，可用判别式法求函数的值域。
函数定义域值域求法(全十一种)
文档大全
实用标准
因为CD=AB=2x，所以CDx，所以
2
L2xxx
y2x
故
22
LABCDL2xx
AD，
22
(2
)
2
2
x
Lx
根据实际问题的意义知
2x
L
0
2x
2
x
0
0x
L
2
2
故函数的解析式为y(2)xLx
2
五、参数型
，定义域（0，
即为所求的定义域。
2
例3已知f(x)的定义域为［－2，2］，求f(x1)
的定义域。
2
解：令2x12
2
，得1x3
2
，即0x3
，因此0|x|3，从而
3x3，故函数的定义域是{x|3x3}。
（2）已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域。
其解法是：已知f[g(x)]的定义域是［a，b］，求f(x)定义域的方法是：由axb，求
恒成立，解得
3
0k；
4
②当k=0时，方程左边=3≠0恒成立。
综上k的取值范围是
四、实际问题型
3
0k。
4
这里函数的定义域除满足解析式外，还要注意问题的实际意义对自变量的限制，这点要
加倍注意，并形成意识。
例7将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函
数的定义域。
1
解：设矩形一边为x，则另一边长为(a2x)
含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之
一，在求函数的值域中同样发挥作用。
求函数值域的十种方法
分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型，易反解出 ，从而便于求出反函数。
反解得 ，故函数的值域为 。
【练习】
1．求函数 的值域。
2．求函数 ， 的值域。
【参考答案】1． ； 。
四．分离变量法：
适用类型1：分子、分母是一次函数的有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法。
即：
（2）当点P恰好为直线AB与x轴的交点时，有
综上所述，可知函数的值域为：
例23、：求函数 的值域.
分析与解：看到该函数的形式，我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式 ，将原函数视为定点(2，3)到动点 的斜率，又知动点 满足单位圆的方程，从而问题就转化为求点（2，3）到单位圆连线的斜率问题，作出图形观察易得的最值在直线和圆上点的连线和圆相切时取得，从而解得：
另解：观察知道本题中分子较为简单，可令 ，求出 的值域，进而可得到 的值域。
【练习】
1．求函数 的值域。
【参考答案】1．
五、换元法：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑通过换元的方法将原函数转化为简单的熟悉的基本函数。其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，当根式里是一次式时，用代数换元；当根式里是二次式时，用三角换元。
例6：求函数 的值域。
解：∵ ，
∵ ，∴ ，∴函数 的值域为 。
适用类型2：分式且分子、分母中有相似的项，通过该方法可将原函数转化为为 ( 常数)的形式。
例7：求函数 的值域。
分析与解：观察分子、分母中均含有 项，可利用分离变量法；则有 。
不妨令： 从而 。
注意：在本题中若出现应排除 ，因为 作为分母.所以 故 。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤ （2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x222=++-（1）∵R x ∈ ∴0y 8)1y (42≥-+=∆解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤ 由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由0≥∆求出的范围可能比y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤0)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数值域求法十一种
函数值域求法十一种函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些简单的函数，可以通过观察得到其值域。
例如，求函数 $y=\frac{1}{x}$ 的值域。
解：由于 $x\neq 0$，显然函数的值域是：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$。
2.配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例如，求函数 $y=x^2+2x+3$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数配方得：$y=(x+1)^2+2$。
由二次函数的性质可知：当 $x=-1$ 时，$y_{\max}=2$，当 $x=1$ 时，$y_{\min}=4$。
故函数的值域是：$[2,4]$。
3.判别式法例如，求函数 $y=\frac{1+x+x^2}{1+x^2}$ 在 $x\in[-1,2]$ 时的值域。
解：将函数化为关于 $x$ 的一元二次方程 $(y-1)x^2+(y-1)x+(1-y)=0$。
1）当 $y\neq 1$ 时，$\Delta=(-1)^2-4(y-1)(1-y)\geq 0$，解得：$y\in[\frac{1}{2},2]$。
2）当 $y=1$ 时，$x=\pm 1$，故函数的值域是：$[\frac{1}{2},2]$。
4.反函数法例如，求函数 $y=3x+4$ 的值域。
解：由原函数式可得其反函数为：$x=\frac{y-4}{3}$，其定义域为 $\mathbb{R}$，故函数的值域也为 $\mathbb{R}$。
注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
函数的值域为：XXX11(x1)2 2令x1t，(t0)则XXX11t2 2化简得XXX11t2函数的值域为(0,1]。
例13.求函数y sinx cosx的值域。
解：由三角函数的性质可知。
1sinx1，1cosx 1故2sinx cosx 2由于sinx cosx的周期为2，所以只需考虑[0,2)的值域即可。
求函数值域方法十一种
在 函 数 的 定义 域 内
的 值域
。
观 察 自变 量 变 化 时 所 对 应 的 函 数 值 的 变 化情 况
,
从而 直 接 求 出函 数
例
解
:
l
求函数了
=
5 +
了百 百 护 的值 域
,
。
由偶 次 根 式 的 定 义 域
9
一 :
:
知
,
七
一
O
又由
’.
x 忿
七
0
。
可知
一
9
一 工,
(
3
9
( 丫 9
二玄蕊 《 5
x
,
可通过
x
c
o
一 元 二 次方 程 的 判 别 式 求 出值 域
例
7
求函数y
=
1
Zx
:
+
x
一
1
的值域
。
解
:
将函 数 表 达 式 化 为
( Zy )
x
,
一
,
y
x
+
(
y +
1
)
=
o
,
注意 到 y 因 为 x 是 实数
’ :
“
二
o
时
·
方 程两 边显 然不 等
( Zy ) 〔
一
一
因而 y 今
。
,
x 把上 式 看作 关 于 的 一 元 二 次 方 程
2
时
叼吓厄 二
1
十
2
二 X +
1
3
x
.
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函数值域求法十一种1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
例1. 求函数x1y =的值域。
解：∵0x ≠∴0x 1≠显然函数的值域是：),0()0,(+∞-∞例2. 求函数x3y -=的值域。
解：∵0x ≥3x 3,0x ≤-≤-∴故函数的值域是：]3,[-∞2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例3. 求函数]2,1[x ,5x 2xy 2-∈+-=的值域。
解：将函数配方得：4)1x (y 2+-= ∵]2,1[x -∈由二次函数的性质可知：当x=1时，4y min =，当1x -=时，8y max = 故函数的值域是：[4，8]3. 判别式法例4. 求函数22x 1x x 1y +++=的值域。
解：原函数化为关于x 的一元二次方程 0x )1y (x )1y (2=-+-（1）当1y ≠时，R x ∈0)1y )(1y (4)1(2≥----=∆解得：23y 21≤≤（2）当y=1时，0x =，而⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,211 故函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21例5. 求函数)x 2(x x y -+=的值域。
解：两边平方整理得：0y x )1y (2x 222=++-（1） ∵R x ∈∴0y 8)1y (42≥-+=∆ 解得：21y 21+≤≤-但此时的函数的定义域由0)x 2(x ≥-，得2x 0≤≤由0≥∆，仅保证关于x 的方程：0y x )1y (2x 222=++-在实数集R 有实根，而不能确保其实根在区间[0，2]上，即不能确保方程（1）有实根，由 0≥∆求出的围可能比y 的实际围大，故不能确定此函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,21。
可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。
∵2x 0≤≤)x 2(x x y ≥-+=∴21y ,0y min +==∴代入方程（1）解得：]2,0[22222x 41∈-+=即当22222x 41-+=时，原函数的值域为：]21,0[+注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。
4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
例6. 求函数6x 54x 3++值域。
解：由原函数式可得：3y 5y 64x --=则其反函数为：3x 5y 64y --=，其定义域为：53x ≠故所求函数的值域为：⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-53,5. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。
例7. 求函数1e 1e y xx +-=的值域。
解：由原函数式可得：1y 1y e x -+=∵0e x>∴01y 1y >-+解得：1y 1<<-故所求函数的值域为)1,1(-例8. 求函数3x sin xcos y -=的值域。
解：由原函数式可得：y 3x cos x sin y =-，可化为：y 3)x (x sin 1y 2=β++即1y y 3)x (x sin 2+=β+ ∵R x ∈∴]1,1[)x (x sin -∈β+即11y y 312≤+≤- 解得：42y 42≤≤-故函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-42,426. 函数单调性法例9. 求函数)10x 2(1x log 2y 35x ≤≤-+=-的值域。
解：令1x log y ,2y 325x 1-==- 则21y ,y 在[2，10]上都是增函数 所以21y y y +=在[2，10]上是增函数 当x=2时，8112log 2y 33min =-+=-当x=10时，339log 2y 35max =+= 故所求函数的值域为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡33,81例10. 求函数1x 1x y --+=的值域。
解：原函数可化为：1x 1x 2y -++=令1x y ,1x y 21-=+=，显然21y ,y 在],1[+∞上为无上界的增函数 所以1y y =，2y 在],1[+∞上也为无上界的增函数所以当x=1时，21y y y +=有最小值2，原函数有最大值222=显然0y >，故原函数的值域为]2,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。
例11. 求函数1x x y -+=的值域。
解：令t 1x =-，)0t (≥则1t x 2+=∵43)21t (1t t y 22++=++= 又0t ≥，由二次函数的性质可知当0t =时，1y min = 当0t →时，+∞→y 故函数的值域为),1[+∞例12. 求函数2)1x (12x y +-++=的值域。
解：因0)1x (12≥+-即1)1x (2≤+ 故可令],0[,cos 1x π∈ββ=+ ∴1cos sin cos 11cos y 2+β+β=β-++β=1)4sin(2+π+β=∵π≤π+β≤π≤β≤4540,0211)4sin(201)4sin(22+≤+π+β≤∴≤π+β≤-∴ 故所求函数的值域为]21,0[+例13. 求函数1x 2x x x y 243++-=的值域。
解：原函数可变形为：222x 1x 1x 1x 221y +-⨯+⨯=可令β=tg x ，则有β=+-β=+2222cos x 1x 1,2sin x 1x 2β-=β⨯β-=∴4sin 412cos 2sin 21y当82k π-π=β时，41y max =当82k π+π=β时，41y min -=而此时βtan 有意义。
故所求函数的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41,41例14. 求函数)1x )(cos 1x (sin y ++=，⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x 的值域。
解：)1x )(cos 1x (sin y ++= 1x cos x sin x cos x sin +++=令t x cos x sin =+，则)1t (21x cos x sin 2-=22)1t(211t )1t (21y +=++-=由)4/x sin(2x cos x sin t π+=+=且⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ-∈2,12x可得：2t 22≤≤ ∴当2t =时，223y max +=，当22t =时，2243y +=故所求函数的值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++223,2243。
例15. 求函数2x 54x y -++=的值域。
解：由0x 52≥-，可得5|x |≤故可令],0[,cos 5x π∈ββ=4)4sin(10sin 54cos 5y +π+β=β++β=∵π≤β≤0 4544π≤π+β≤π∴当4/π=β时，104y max += 当π=β时，54y min -=故所求函数的值域为：]104,54[+-8. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例16. 求函数22)8x ()2x (y ++-=的值域。
解：原函数可化简得：|8x ||2x |y ++-=上式可以看成数轴上点P （x ）到定点A （2），)8(B -间的距离之和。
由上图可知，当点P 在线段AB 上时，10|AB ||8x ||2x |y ==++-=当点P 在线段AB 的延长线或反向延长线上时，10|AB ||8x ||2x |y =>++-= 故所求函数的值域为：],10[+∞例17. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++++-=的值域。
解：原函数可变形为：2222)10()2x ()20()3x (y ++++-+-=上式可看成x 轴上的点)0,x (P 到两定点)1,2(B ),2,3(A --的距离之和， 由图可知当点P 为线段与x 轴的交点时，43)12()23(|AB |y 22min =+++==，故所求函数的值域为],43[+∞例18. 求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值域。
解：将函数变形为：2222)10()2x ()20()3x (y -++--+-= 上式可看成定点A （3，2）到点P （x ，0）的距离与定点)1,2(B -到点)0,x (P 的距离之差。
即：|BP ||AP |y -= 由图可知：（1）当点P 在x 轴上且不是直线AB 与x 轴的交点时，如点'P ，则构成'ABP ∆，根据三角形两边之差小于第三边，有26)12()23(|AB |||'BP ||'AP ||22=-++=<-即：26y 26<<-（2）当点P 恰好为直线AB 与x 轴的交点时，有26|AB |||BP ||AP ||==-综上所述，可知函数的值域为：]26,26(-注：由例17，18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A 、B两点在x 轴的两侧，而求两距离之差时，则要使A ，B 两点在x 轴的同侧。
如：例17的A ，B 两点坐标分别为：（3，2），)1,2(--，在x 轴的同侧；例18的A ，B 两点坐标分别为（3，2），)1,2(-，在x 轴的同侧。
9. 不等式法利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例19. 求函数4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 22-+++=的值域。
解：原函数变形为：52x cot x tan 3x cot x tan 3x sec x ces 1xcos 1x sin 1)x cos x (sin y 22322222222=+≥++=++=+++=当且仅当x cot x tan = 即当4k x π±π=时)z k (∈，等号成立故原函数的值域为：),5[+∞例20. 求函数x 2sin x sin 2y =的值域。
解：x cos x sin x sin 4y = x cos x sin 42=2764]3/)x sin 22x sin x [(sin 8)x sin 22(x sin x sin 8x cos x sin 16y 322222224=-++≤-==当且仅当x sin 22x sin 22-=，即当32x sin 2=时，等号成立。
由2764y 2≤可得：938y 938≤≤-故原函数的值域为：⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-938,93810. 一一映射法原理：因为)0c (d cx bax y ≠++=在定义域上x 与y 是一一对应的。