计算方法-4.5 Newton-cotes公式的精度

R[ f ]

n
0
f ( n 1) ( ) n [ (t i)] h n 1 hdt (n 1)! i 0
移项 合并h

h n2 (n 1)!

n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
Newton-Cotes求积公式的余项
2016/8/14 3
2016/8/14
f ( )t(t 1)dt
0
8
1
其中 [a, b]且依赖于t ,由于f ( )在[a, b]上连续以及 t (t 1)在区间0 t 1 内不变号，由积分中值 定理，必 存在 [a, b]，使得

则
1
0
f ( )t (t 1)dt f ( ) t (t 1)dt
令h


(b a)5 2880 m4
f ( 4) ( )
[a, b]
即为复合辛普森公式的截断误差估计
2016/8/14 16
5. 复合柯特斯公式 柯特斯公式用的不多，只给出R[f]的形式 （1）柯特斯公式的截断误差
8 7 ( 6) R[ f ] h f ( ), 945
2016/8/14
18
（1）对复合辛普森公式，假定[a,b]分成n个子区间
第1个子区间 第n个子区间
a
b
2n+1个节点 2n个小区间
x0 x1 x2
xk x k 1 xk 2
x2 n 2 x2n 1 x 2 n
由积分公式算出的积分 近似值为S N，其真实值记为I ,
(b a) b a 4 (4) I SN ( ) f (1 ) 2880 n
1 此式说明，以S 2 N 作为I的近似值，其误差近似 于 （S2 N－S N） 15
2016/8/14 20
1 所以，在计算过程中，可以根据当前误差 （S 2 N －S N）是否 15 小于给定精度来判定是否满足精度要求， 即看 1 （S 2 N －S N） 15 是否成立
若成立，则结束计算，认为S2N为所求值 若不成立，可将[a,b]继续对分下去 同理 对复合梯形公式
(b a)3 h3 R[ f ] f ( ) f ( ) 2 12
对复合梯形公式，将上式应用于每个小区间，得
h3 RN [ f ] [ f (1 ) f ( 2 ) f ( n )] 12 h3 12
2016/8/14
f ( )
所以

2016/8/14
b
a
(b a) 3 ab 3 3 x dx [a 4( ) b ] 6 2
3
6
于是

b
a
f ( x)dx a0

b
a
x dx
3
g ( x)dx
a
b
1 3 4 ab 3 1 3 a0 (b a)[ a ( ) b ] 6 6 2 6 1 4 ab 1 (b a)[ g (a) g ( ) g (b)] 6 6 2 6 (b a)[ 1 4 ab 1 f (a) f ( ) f (b)] 6 6 2 6
因此，辛普森公式的代数精度是3。
2016/8/14 7
§
4.5.2 Newton-Cotes求积公式的截断误差分析
h n2 R[ f ] (n 1)!
1. 梯形公式
n 1, h b a

n
0
f
( n 1)
( )[ (t i)]dt
i 0
n
(b a)3 R[ f ] 2
0

1
成立
1 (b a) 3 R[ f ] f ( ) t (t 1)dt 0 2

h3 f ( ) 12
[ a, b]
即为梯形公式的截断误差估计
2016/8/14 9
2. 辛普森公式
n2
直接用公式求解
1 b (3) ab R[ f ] f ( )( x a)( x )( x b)dx 3! a 2 h 4 2 (3) f ( )t (t 1)(t 2)dt 3! 0
形成f(x)的三次Hermite插值多项式P3(x)，则有
f ( 4) ( ) ab 2 f ( x) P3 ( x) ( x a )( x ) ( x b) 4! 2
[a, b]
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R[ f ]

b
a b
f ( x)dx
P ( x)dx
设f (4) ( x)在[a, b]上变化不大，且设f (4) (1 ) f (4) (2 )，则
1 ( )4 I SN 1 n 16 I S 2 N ( I S N ) I S2N ( 1 )4 16 2n 16I 16S 2 N I S N 15I 16S 2 N S N 15I 15S 2 N S 2 N S N I S2N 1 (S 2 N S N ) 15
（2）假定[a,b]分成2n个子区间
第1个子区间 第2n个子区间
a
b
共4n+1个节点 4n个小区间 4n个子区间
x0 x1 x2
x4 n 2 x4n 1 x 4 n
得积分近似值为 S 2 N I S 2 N (b a) ( b a ) 4 f (4) (2 ) 2880 2n 2016/8/14 19

ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx a 2
b 令h ba 2
(b a) 5 ( 4) h 5 ( 4) f ( ) f ( ) 2880 90
2016/8/14
[a, b]
12
即为Simpson公式的截断误差估计
3. 复合梯形公式 梯形公式的截断误差为
即为复合梯形公式的截断误差估计
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4. 复合辛普森公式
辛普森公式的截断误差为
(b a)5 ( 4) R[ f ] f ( ) 2880
令h

ba 2
h 5 ( 4) f ( ) 90
对复合辛普森公式，将上式应用于每个小区间，得
h 5 ( 4) RN [ f ] [ f (1 ) f ( 4) ( 2 ) f ( 4) ( m )] 90 h5 f ( 4) ( k ) 90 k 1
R ( x)dx
a n
b

b
f
a
( ) ( x)dx (n 1)!
( n 1)
[a, b]，并依赖于x
2016/8/14
2
M n 1 R[ f ] ( n 1)!
( x) dx
a
b
截断误差的上界估计
引进变换 x a th ，并注意到 xi a ih ，有
x2
，则 f ( x) －12xe
2
x2
，
(3 2 x 2 ) 0
x2
(2 x 1), f ( x) 24xe
x2
k k 1
n
k [ xk 1 , xk ]
13
由于f ( x)连续，则在 [a, b]中存在一点，使
1 f ( ) [ f (1 ) f (2 ) f (n )] n
即
故
f ( ) nf ( )
k k＝1
n
h3 (b a) 2 RN [ f ] nf ( ) h f ( ) 12 12

M n 1 M n 1 | Rn ( x) | ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ( x) (n 1)! (n 1)!
那么

b
a
f ( x)dx
P ( x)dx R ( x)dx
a n a n
b
b
求积公式的余项
记
R[ f ]


因为t(t-1)(t-2)在区间[0,2]上不保持常号，所以中值 定理不能使用，因此需要换一种方法求解。
2016/8/14 10
由于辛普森公式对3次代数多项式精确，故可取插值条件
P3 (a) f (a), P3 (b) f (b) ab ab ab ab P3 ( ) f( ), P3 ( ) f ( ) 2 2 2 2
17
§
4.5.3 事后估计误差的近似方法
从以上的误差估计式可见，均要计算高阶导数 ，且的值 并不知道，虽然有时可 以通过给出高阶导数的一个上界的 方法来估计截断误差的上界，但有时却很困难。所以一般 实际计算中都采用事后估计误差的近似方法。
事后估计误差近似方法 的思路：计算积分时， 将被积区间 逐次分半，比较连续两 次计算值来判断计算精 度。
判断 1 （T2 N TN） 3
对复合柯特斯公式
判断
1 （C2 N C N） 63
21
2016/8/14
复合辛普森公式最常用
例1.应用复合梯形公式计算积分I
6e
0
1
x2
dx 时要求
误差不超过106，试确定所需的步长h和节点个数。
解
令f ( x) 6e
f ( x) 12e
a 3
b
a
f ( 4) ( ) ab 2 ( x a)( x ) ( x b)dx 4! 2
ab 2 显然，当x [a, b]时，( x a )( x ) ( x b) 0， 2 于是当f ( 4) ( x)在[a, b]上连续，由积分中值定理，可得
f ( 4) ( ) R[ f ] 4!
2(b a) h 6 (6) R[ f ] ( ) f ( ), 945 4
n:分割的（大）区间数
1个子区间 a
a b,
ba h 4
ba h n
（2）复合柯特斯公式的截断误差
a b,
共n个区间 4n+1个节点 4n个小区间
b
x0
2016/8/14
x4
x4n
仍精确成立。
2016/8/14
4
分析 f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a 2 x a3
令f ( x) a0 x 3 g ( x)
于是
f (x)dx a x dx g(x)dx
a 0 3 a a
b
b
b
由于g ( x)是二次多项式，因此对 于g ( x)，辛普森公式是精确的:
定理3
当
n 为偶数时，牛顿-柯特斯公式至少有 n 1
次代数精度.
证明：以辛普森公式为例，来证明这个结论。
即当f ( x) a0 x 3 a1 x 2 a2 x a3时，求积公式

b
a
(b a) a b f ( x)dx [ f ( a) 4 f ( ) f (b)] 6 2

2016/8/14
b
a
g ( x)dx
(b a) ab [ g ( a) 4 g ( ) g (b)] 6 2
5
由于

通过计算得到
b
aΒιβλιοθήκη Baidu
1 4 3 x dx x 4
b a
1 4 (b a 4 ) 4
2 2 (b a) 3 ab 3 3 2 2 b a [a 4( ) b ] (b a ) 6 2 4 1 4 (b a 4 ) 4
n
f ( n1) ( ) ( x xi ) ( x) (n 1)!
为包含在x, x0 , x1 ,, xn的最小区间的一个点
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令f (n1) ( x)在[a, b]上的最大值为
M n 1 max | f ( n 1) ( x) |
[ a ,b ]
§ 4.5 牛顿-柯特斯公式的精度
求积公式近似到 f ( x)dx 的程度，即求积公式的 精度？
a

b
§
4.5.1 截断误差 Newton-cotes公式的余项 由多项式代替函数
f ( n1) ( ) Rn ( x) (n 1)!
f ( x) Pn ( x) Rn ( x)

i 0

m
k [ xk 1 , xk ]
15
2016/8/14
同理可找到一个 [a, b]，使f
( 4)
1 ( ) m

k 1
m
f ( 4) ( k )
则

k 1
m
f ( 4) ( k ) m f ( 4) ( )
ba 2m
h5 RN [ f ] mf ( 4) ( ) 90