浅谈势能曲线及其应用
势能的应用浅析
4势能的应用浅析对于势能的应用，一直从古代沿至今天。
在中国文化传统中，有许多文论是关于“势”的，与现代物理中的“位能”或是“势能”在一定程度上是相通的，而且“势”的概念在中国古代文艺传统中已经存在两千多年，在艺术领域中发挥着举足轻重的作用[24]。
但是，由于古代技术的有限，势能的发展受到限制，近年来，随着科技的发展，社会的进步，对于势能的研究也取得了很大的成效，使得势能应用逐渐融入到人们的生活，工作之中，给人们带来了很大的方便；而势能在能源方面的贡献最为显著。
下面就来具体讨论一下势能的应用。
4.1非自然势能发电（1）三峡水利发电站就是利用大坝将水高高蓄起，然后水在大坝处飞泻而下，带动发电机。
虽然经过一系列复杂的转换，但是其电能的根本来源是水的重力势能。
（2）重力灯重力灯是英国发明的，利用重力发电。
它的工作原理是通过悬挂着的重物来产生动力。
重力灯下端配备有一个绳子，使用者只需把悬挂在绳子末端的重物提至顶端，这款环保灯就能够把重物向下滑落的重力转化为电能。
这种灯只要在有地球引力的地方都可以使用，并且能持续照明30分钟左右。
也因此重力势能被称为“可再生能源”，不管是白天还是黑夜；刮风还是下雨都可以获得重力势能，进而就可以使用重力灯。
（3）利用势能为自动扶梯节能自动扶梯是一种很常见的便利设施，但是其耗电量相当的大，而利用势能可以节省自动扶梯的耗电量。
自动扶梯的上行和下行是独立运行的，这样在下行的过程中的重力势能就完全浪费了，而且还要能量来控制下行势能。
这样就更加大了用电量。
为了节约电，将原来提供下行电能的电机去掉，通过联轴器和换向器将上行和下行扶梯连接起来，变成由同一台主机驱动的系统。
这样就大大减小了电机的输出功率，从而达到了省电的目的，同时还可以减少电机的维护费用。
自动扶梯的安全性能也没有发生变化。
利用势能使自动扶梯节电的方式，既节约了能源，缓解能源不足的压力，又带来了很好的经济效益[25]。
（4）势能在水循环系统的应用如下图所示为势能转换装置工作原理图：图4.1-1势能转换装置工作原理图在设计循环水系统时，根据所有用水设备开启时满负荷状态时的用水量，管阻，水流量，扬程等条件来选择水泵。
1.5双原子分子的势能曲线
1.5 双原子的势能曲线（1.3.1）式是在Born-oppenbeimer 近似下双原子分子中电子的运动方程，其中)(R U 为势能面. 对双原子分子来说，势能面仅是核间距R 的函数，因此在双原子分子情形下，势能面简化为势能曲线.氢分子是最简单的双原子分子，本节将以它为例讨论双原子分子势能曲线的一般特征.1.5.1 Heitler-London 方法以a 和b 分别标记两个氢原子，并同时分别标记它们的s 1轨道，1和2分别标记两个电子，如图1.3所示.图1.3 氢分子的坐标电子运动的Hamilton 算符为Rr r r r r H b b a a 11111121211221212221++----∇-∇-= （1.5.1） 定义2111112a h r =-∇- , 2222112b h r =-∇- （1.5.2） 则有1221121111a b H h h r r r R=+--++ （1.5.3） Schrodinger 方程为ψ=ψE H （1.5.4） 1h 和2h 分别表示电子1和2各自单独在a 核和b 核的势场中运动，即它们分别是两个孤立氢原子的Hamilton 量. 当用微扰法处理时，可将（1.5.3）式的后四项作为微扰. 当两个核相距无穷远时，由图1.3可以看出，（1.5.3）式可简化为012H h h =+ （1.5.5）这时，氢分子的Hamilton 量是两个氢原子的Hamilton 量的直接和，因此（1.5.5）式的解是两个氢原子波函数的直接积. 假定氢原子波函数取1s 轨道,暂时不考虑自旋，由于电子的不可分辨性，这样的直接积有两个，即)2()1(b a (1.5.6)和)1()2(b a (1.5.7)式中ai r a e i s i a -==π1)(1)( , bi r b e i s i b -==π1)(1)( （1.5.8） （1.5.6）和（1.5.7）式是简并的，称为交换简并，氢分子的零级近似波函数应该是二者的线性组合. 有两种组合方法，一种是对称组合，即将两式相加，另一种是反对称组合，即将两式相减. 进一步考虑自旋，电子为费米子，应满足Pauli 原理，即波函数对两个电子的交换是反对称的. 如果空间函数取作对称的，则自旋函数必须是反对称的，这样的反对称自旋函数只有一个，因此总波函数也只有一个，称为单重态，记作ψ1，即)]1()2()2()1([21)]1()2()2()1([1βαβα-+=ψb a b a N （1.5.9）式中，N 为空间波函数的归一因子，)(i α和)(i β分别为电子i 的自旋波函数，)(i α仅在21=i s 处有值，其他处皆为0，而)(i β仅在21-=i s 处有值，i s 为i 电子的自旋值，并且有⎰=1)(2i ds i α， ⎰=1)(2i ds i β， ⎰=0)()(i ds i i βα （1.5.10） 如果空间函数是反对称的，则自旋函数必须是对称的. 对称的自旋函数可以有三个，它们共同构成一个三重态，用ψ3表示, 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=ψ)2()1()]2()2()2()1([21)2()1()]1()2()2()1(['3βββαβαααb a b a N (1.5.11) 式中'N 为ψ3的空间函数的归一化因子. 不难证明ψ1和ψ3都是总自旋算符2S 和z S 的本征函数，2S 的本征值分别为0和1. 2S 和z S 的定义为2212()S s s =+ , 12z z z S s s =+ （1.5.12）其中i s 为i 电子的自旋算符，而zi s 为i 电子自旋的z 分量算符. 我们常常将算符和它的本正值用同一个符号表示，一般情况下，这样做不会引起混淆. 令(1)(1)ab M a b = （1.5.13）ab M 称为原子轨道a 和b 的重叠积分. 由ψ1和ψ3的归一化条件可得122[2(1)]ab N M -=+，1'22[2(1)]ab N M -=- （1.5.14）将（1.5.9）和（1.5.11）式分别代入（1.5.4）式，因Hamilton 量（1.5.3）式中不含自旋，故可将自旋函数先行积分，得到11121[(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)]1abE H a b H a b a b H b a M =ψψ=++ 21ab Q K M +=+ （1.5.15） 33321ab Q K E H M -=ψψ=- （1.5.16） 式中，)2()1()2()1(b a H b a Q =称为库仑积分，)2()1()2()1(a b H b a K =称为交换积分.在量子化学中，库仑积分和交换积分是两个重要术语，原则上讲，任何二体算符的矩阵元都有库仑积分和交换积分. 这里指的是Hamilton 量的矩阵元，在另外的场合可能指的是其他算符的矩阵元，例如电子排斥积分的矩阵元也分为库仑积分和交换积分. 不论算符如何不同，库仑积分都是指与经典电荷密度相对应的矩阵元，而交换积分都是指与交换电荷密度相对应的矩阵元. 例如上式库仑积分Q 中的电荷密度为)1()1(*a a 和)2()2(*b b ，而交换积分K 中的电荷密度为)1()1(*b a 和)2()2(*a b . 交换电荷密度来自Pauli 原理，是量子力学中特有的，没有经典对应. 以下几章中出现库仑积分和交换积分时，不再一一说明.(1.5.15)和(1.5.16)式表明，E 1和E 3都是核间距R 的函数. 给R 不同的值，逐点计算出Q 和K ，将这些点连结起来就可以得到E 1和E 3随R 变化的曲线，即势能曲线. 本节中我们不介绍计算的具体细节，仅叙述计算结果. 通常取孤立氢原子基态的能量00H ε=,即把两个氢原子相距无穷远时作为能量零点，此时可得如图1.4所示的势能曲线.图1.4氢分子的势能曲线（价键法）图1.4中，1∑和3∑中的左上角数字1和3分别表示单态和三重态，符号∑是点群h D ∞的一维不可约表示的标记（氢分子具有h D ∞对称性），表示电子的总轨道角动量沿原子核连线方向的分量量子数0=m L . 从图中可以看到，对于3∑态，当两个氢原子从无穷远开始相互靠近时，体系的能量一直上升，始终表现为相互排斥；而对于1∑态，当两个氢原子相互靠近时，体系的能量先下降，达到一极小值后再上升，形成一个势阱，两个原子被束缚在势阱中而形成稳定分子. 与能量极小值对应的核间距被称为平衡核间距或平衡键长，势阱深度被定义为结合能. 按（1.5.15）式计算的平衡键长nm R 080.00=，结合能ev D 20.3=，而实验值ev D nm R 75.4 ,074.00==，这表明，计算得到的势阱位置和深度都与实验值有差别. 为便于比较，图1.4中也给出了势能曲线的实验观测结果以及谐振子的势能曲线（抛物线U ）.以上处理氢分子的方法是Heitler －London 首先提出的，因此被称为Heitler －London 方法. （1.5.9）和（1.5.11）被称为Heitler －London 波函数. Heitler －London 方法所得的结果与实验值虽然还有较大差距，但它却提供了许多重要的物理思想，并具有明确的物理图像. 在电子自旋反平行的1∑态，两个氢原子能够形成稳定分子，而在电子自旋平行的3∑态，则不能形成稳定分子. 这一事实表明，两个原子之所以能形成分子，就在于所共用的两个电子自旋反平行配对，从而用量子理论解释了化学键的成因，建立了现代化学键理论的基础. 作为化学键理论一个重要分支的价键理论，就是在Heitler －London 工作的基础上发展起来的.1.5.2分子轨道方法现在用分子轨道理论研究氢分子的势能曲线. 我们仍然假定每个氢原子提供一个s 1原子轨道，并采用上节的记号. 价键法直接由原子轨道构造总电子波函数，而分子轨道法则先由原子轨道组合成分子轨道，然后由分子轨道构造总电子波函数. 将两个原子轨道分别做对称组合和反对称组合可以得到两个分子轨道，分别记作A 和B ，即)A a b =+ （1.5.17） )B a b =- （1.5.18） 式中M 的定义见（1.5.13）式。
势能曲线与一维运动
体。面上的凹坑就是一个直观的重力势阱。许多宏观和微观的物理现象都与势阱有关。
如图 2 所示为一倒摆装置,螺旋弹簧将它支撑在 0 的平衡位置处。摆锤在重力和弹性
力作用下运动。设弹簧服从胡克定律，力矩为 M ，则其弹性势能为
E p弹
d
1 2
0Байду номын сангаас
2
倒摆的重力势能为
（10）
d2Ep dx 2
d ( dE p ) dx dx
dF dx
0
（3）
该结果说明，该两点附近质点受力与位移正比反向，即为回复力。通常将这种位置称为稳定
平衡位置。这是因为回复力的存在总是将质点拉回到平衡位置。而 D 点的情况则有所不同， 该点附近质点受力总是指向远离 D 点的方向，因此质点的运动将远离该点而去，这样的位 置称为不稳定平衡位置。在势能曲线为常数的 H 点，平衡被称为随遇平衡。
E p重 mgl(cos 1) （11）
总能量为
Ep
E p弹
E p重
1 2 2
mgl (cos
1) （12）
势能极小值处有
dE p mgl sin 0
（13）
图2
d
为分析平衡位置的稳定性问题，我们求势能函数的二阶导数，
d 2 E p mgl cos d 2
势能曲线与一维运动
一维势能曲线是研究质点在保守力场中运动特征的有效工具。在质点动力学中我们曾经 由保守力做功的特点引入了势能概念，势能是与相互作用物体的相对位置的函数。在一维情
况下，势能可表为位置 x 的函数 E p E p (x) 。一任意的具有代表性的势能函数曲线如图 1
真实气体分子间作用力势能
真实气体分子间作用力势能真实气体分子间作用力势能1分子作用力曲线2分子相互作用势能曲线3分子势能曲线解释分子间的对心碰撞由玻意耳定律知, 当T 不变时pV =常量。
若以为纵坐标，p 为横坐标画出等温线，这些等温线都平行于横轴，然而实验结果并非如此。
/m p V R T 这是因为分子固有体积及分子之间的相互作用力不能忽略所致。
1. 分子作用力曲线（intermolecular action force curve ）r rO)(r F l 在r=r 0时分子力为零，相当于两分子刚好“接触”。
l 当r ＜r 0时,两分子在受到 “挤压”过程中产生强斥力，这时F （r ）＞0且随r 0减少而剧烈增大。
l 当r ＞r 0时两分子分离，产生吸引力，F （r ）＜0。
当r 超过某一数值时R 0，F （r ）即接近于零，R 0就是分子间引力作用半径，简称吸引力作用半径。
R 0R 0~2rd d p E F r=-()()d rp E p F r r∞=-⎰分子力是一种保守力在r ＞r 0处，F (r )＜0，势能曲线斜率是正的，这时是吸引力。
如右图所示。
在平衡位置 r=r 0处，分子力F (r )=0，势能有极小值。
在r ＜r 0处，F ＞0，势能曲线有很陡的负斜率，相当于有很强斥力。
两分子在平衡位置附近的吸引和排斥。
气体液体固体2. 分子相互作用势能曲线OrpE Orfr3. 分子势能曲线解释分子间的对心碰撞设一分子质心a1静止不动，另一分子质心a2从极远处（这时势能为零）以相对运动动能E K0向a1运动。
当 a2向 a1靠近时，受到分子引力作用的 a2具有数值越来越大的负势能，所减少势能变为动能的增量，总能量是一恒量。
O rpEkE'O'r0kErd1a2a'1a'2a"1a"2a（a）碰撞前后动能和势能变化情况（b）碰撞时两球形变示意利用势能曲线能定性地解释气体分子间对心碰撞过程。
重力势能曲线引力势能曲线弹性势能曲线
(2) 对弹丸，应用动能定理：
s s+l
(3) 机械能变化：
s 一对非保守内力(耗散力)做 负功，使系统动能减少。 s+l
3 -- 5
功能原理 能量守恒定律
一、质点系动能定理
二、功能原理
保守内力的总功
内力做的总功
非保守内力的总功
注： 1、取好系统及初、末状态。 2、惯性系。 3、If
b A ( Fi ) dr Fi dr Ai i a i
直角坐标系： 单位：N· m or J
b b 自然坐标系： A F dr Ft dr Ft ds
b a a a
A P t A dA F dr P lim F v dt dt t 0 t
第三章 机械能和功
3-1 功 动能定理 空间上的累积
力的累积效应 时间上的累积 恒力之功：
F
功
冲量
r
A F cos r F r
变力之功：
Ai Fi cosi ri
A Fi cos i ri
b( xb , yb , zb )
ri
i
例：
三、已知势能函数确定保守力场
而
故：
力沿某方向分力等于势能函数沿该方向空间变化率负值！
式中
称为矢量微分算子
称为势能函数的梯度
例：
则重力
例：
四、势能曲线
Ｏ Ｚ Ｏ 重力势能曲线 ｒ x Ｏ 弹性势能曲线
引力势能曲线
双原子分子的势能曲线
Ｏ
ｒ
[例3-5] 已知地球半径 R，物体质量 m，处在地面 2R 处。 求势能:（1）地面为零势能点；（2）无限远处为零势 能点。
一维势能曲线及势能的研究
1势能概念的引入动能定理概念中指出物体能量变化是因为力做功的缘故，因此物体能量变化的过程即是功的变化过程，功是物体能量变化的量度。
保守力做功的过程形式称之为势能。
物体从a 位置移动到b 位置过程中重力、弹力、万有引力所做功的表达式如下所示：（1）（2）（3）左侧为保守力做功，右侧为两项之差。
其中的每项都与相对位置相关联，第一项关联系统末态时相对位置，第二项关联系统初态时的相对位置。
由此可知，保守力做功的能量变化与系统相对位置呈相关状态。
与系统的相对位置称之为位形。
现用E P 表示系统的势能或势函数，E Pa 表示初态位形相关的势能，E Pb 来表示末态位形相关的势能：（4），即W ab =-ΔE p由此可得：保守力做功系统中，位形a 至位形b 过程，保守力做功，系统势能减少，且两者相等。
保守力做功与势能变化呈反相关。
2势能与势能零点的选择关系势能零点不同则势能函数值也不同，且两者之间只相差一常数。
若以O'和O 为势能零点，a 、b 两点间的势能差则可用ΔE'P =ΔE P 表示，则证明势能零点选择并不影响势能增减。
物体于某位置的势能大小取决于势能零点的选取对于不同的势能零点。
保守力场中，同一位置的势能值是有差异的，势能增减以及差值并不取决于零点势能的选取。
3势能曲线和相图3.1势能曲线势能函数曲线是指势能与相对位置的关系的表达。
势能曲线的应用能够对物体运动特征以及运动过程中物体间的相互作用能够更加直观的进行表达，并方便后期分析。
势能图能够将势能与两质点相对位置关系进行表达，基于此，如果势能与相对值的单一坐标x 或r 相关，则将呈现势能曲线图。
如图1-图4所示。
3.2势能相图教师，应培训其专业知识；对缺乏实践经验的教师，应加强其动手能力。
教师应了解当前钳工技术的最新理论或实践技术，并将这些先进的理论技术带入课堂之中，保证学生能够学习到最为先进的钳工技术。
2.3对教学流程进行优化对钳工实习教学流程进行优化，可以提高教学效率，实现更加理想的教学效果。
浅谈势能曲线及其应用
#小结
经过以上这些讨论，我们发现，从势能 角度，用图像，可以得出简单而易于理解的 结果。
但在应用图像时，也应该注意它的使用 范围。
可以说：势能曲线是一种重要工具。
#参考文献
《物理学》，马根源等著 《力学原理导论》，W· 豪瑟著 《物理学》，D· 哈里德著 《力学引论》，D· Kleppner著 《新概念物理教程》，赵凯华著 《理论力学》，朱照宣等著 《理论力学教程》，周衍柏著
后者:V=mgL(1-cosθ )， 有可以越过的势垒，所 以相图可以分岔。 也有时，相图的分岔原因是系统自身的改变， 即相同的初速度也会由于其他参数的不同产生 不同的相图。
3.在左图这样的光滑导轨上分别从（1）、（2） 位置释放相同的小球，会得到完全不同的相 图：（以A点为原点建立坐标系）
中图关于原点对称而右图则不然。从右图的 势能曲线来考虑，小球陷入了关于原点不对 称的势陷之中。由于参数V的改变引起了对 称性的自发破缺。
2.二体分子力：取 lim U(r)=0，因固体分子在 r→∞ r0附近做小能量振动，大小可忽略，故有类 似结论：离解能为：|U(r0)|。 建立类似于1的简单模型： 把固体内部分子力视为二体 分子力。如每kg该物质含n 个分子，则汽化热为： |U(r0)| * n (J/kg) 综合1、2，虽然两模型十分简单，但对 宇宙、分子势能状态的解释有很大帮助。 我们应该庆幸以上两种势能曲线是收敛 的，否则离解能、汽化热和膨胀宇宙就都不 存在，世界会因为没有气体而变得枯燥，我 们也会因为害怕大挤压而睡不着觉。
我们崇拜他们……
七.势能与运动方程
为了便于与（牛顿）运动方程联系，必须实 现从能量到时间等运动学量的转化： —————— ——————— √2Ek/m =V=dx/dt=√E – U(x)， ————————— dt=dx /√2[E-U(x)]/m，这样就导出了物体从势 能曲线上一点运动到另一点的时间公式。 例：U(x)=-1/x (m=2kg，E=0 J，X:1→2) ∫dt= ∫√xdx，所以t=—x dU(x) 另外：F= - ———。于是运动方程问题迎刃而 dx 解。
7一维势能
Q
1 2
m1v12
1 2
m2v22
1 2
m1v'12
1 2
m2v'22
(1) Q = 0时, 上式可以化为
m1v1 v1' m2v2'v2
m1 v12 v'12 m2 v'22 v22
对于 v1 v1' (否则不碰撞), 有
这导致
v1 v1' v2 'v2 vapp vsep
（iv）在势能曲线任何极小点附近, 质点可能围绕着 它做小振动. 可以如下计算振动周期
（v）以A点(x0)为例, 计算小振动的振动周期
显然势能在这里一阶导数为零, 二阶导数大于零. 在 x=x-x0不大的范围内, 把势能函数展开成泰勒级数:
V
(x)
V
( x0
)
V
'
(
x0
)x
1 2
V
'
'
(
x0
)x2
表示总能量e的水平线与势能曲线之间相差的高度代表动能e因为动能恒正所以运动只能在势能曲线低于水平线的范围内才能实现则虚线的位置标示着振幅
第七讲
机械能（二）
——一维势能曲线 和碰撞再研究
本讲导读
• 一维情况下存在势能函数的条件 • 总能量、动能和势能的图示 • 平衡点的稳定性 相图 • 碰撞中的能量转化
L
子弹嵌入以后能量守恒,起摆到
最大高度时,
1 2
m
m'v'2
m
m'gL(1
cos
)
m,v m’
所以较难测量的子弹速度可以利用起摆角表示为
功和能_第6讲_势能曲线
一维情形： f = − dE p (x)
dx
方向：指向势能减小方向
势能曲线可反映出系统的稳定性：
▲ 局部极小点：稳定平衡位置 质点稍作偏离，就会受到指向 平衡位置的力。
▲ 局部极大点：不稳定平衡位置 质点稍作偏离，就会受到远离 平衡位置的力。
【例】双原子分子势能曲线
Ep
r = r0 ：f = 0，平衡位置
总能量 E 决定质点在势场中的 运动范围。
【思考】 用势能曲线讨论 小珠的稳定性
ω 恒定 θ 小珠
R
O
r0
r r > r0 ：f < 0，引力作用 r < r0 ：f > 0，斥力作用
O
C
平衡种类势能曲线稳源自平衡不稳平衡随遇平衡
势垒 势阱 ΔE1 ΔE2
A B
亚稳平衡
在 A 点，若 Ek > ΔE1 则质点可 越过势垒进入 B 区。
在 B 点，若 Ek > ΔE2 则质点可 越过势垒进入 A 区。
势能曲线与分子动力学
势能曲线与分子动力学随着科学技术的飞速发展，人类对物质性质的研究也越来越深入。
其中，势能曲线和分子动力学是研究物质内部运动和相互作用的两个重要理论。
本文将探讨势能曲线与分子动力学的关系及其在科学研究中的应用。
一、势能曲线的概念和意义势能曲线是描述分子内部原子之间相互作用的能量关系的图形表示。
在分子体系中，原子之间会存在相互作用，从而形成一定的势能场，势能曲线则描述了在不同位形下体系的总势能。
势能曲线的形状和特征对于理解分子的稳定性、反应性以及结构变化等方面起到了至关重要的作用。
势能曲线可以通过理论计算方法或实验手段得到。
在理论计算中，常利用量子化学方法通过求解薛定谔方程给出体系的电子结构，进而计算出分子体系的势能曲线。
实验上，人们通过一系列的实验数据，如光谱数据、结构信息等，来拟合获得势能曲线。
因此，势能曲线实际上是理论和实验相结合的产物，是对分子及其反应性质进行研究的基础。
二、分子动力学的基本原理分子动力学是描述分子内部原子运动和相互作用的一种模拟方法。
它基于牛顿力学，使用微分方程求解的数值方法，通过模拟分子在给定势能场中的运动轨迹和相互作用，从而研究分子性质和反应动力学。
分子动力学的基本原理是根据牛顿第二定律F=ma，结合势能曲线，通过对分子内部原子之间作用力的计算，推导出分子在给定势能场中的加速度、速度和位形变化等参数。
通过这些参数的计算，可以了解分子内部的结构、能量分布、振动频率等信息，并进一步研究分子的性质和反应过程。
三、势能曲线与分子动力学的关系势能曲线与分子动力学是相辅相成的。
势能曲线提供了描述分子内部相互作用、稳定性和反应性的基础信息，而分子动力学则通过模拟分子的运动来探索势能曲线中的各种现象和性质。
具体而言，分子动力学可以利用势能曲线来模拟和分析分子的振动、扭转、转动等运动模式。
通过对分子动力学轨迹的模拟和计算，可以得到分子的结构、能量分布、动力学参数等重要信息，从而深入研究分子的性质和反应动力学。
势能的特点和应用 (2)
势能的特点和应用我们知道如果一个力做功跟物体的运动过程无关只跟物体的初末位置有关，那么这个力被称为保守力，每一个保守力都对应着一种势能，势能的大小是跟位置有关的，高中阶段我们学过不少势能，重力势能，电势能，分子势能等。
我们分析重力势能，电势能，分子势能和它们对应的保守力的关系会发现在一个过程中势能的减少量跟这个保守力做的功是相等的。
实际上不止这三种势能，所有的势能都有这个特点。
高考时不仅会考我们高中阶段学过的势能，还有可能出现一些从来没学过的势能，但是只要我们理解了势能跟对应的保守力做功之间的关系就能把问题顺利解决。
一、 万有引力势能由于万有引力对物体做功跟物体的运动过程无关只跟物体的初末位置有关，所以我们可以定义一个跟万有引力对应的势能——万有引力势能。
我们学过重力势能，实际上重力势能是万有引力势能在地球表面附近的近似表示。
例1（2015年房山一模卷）天宫一号是我国研发的一个目标飞行器，目的是作为其他飞行器的接合点，是中国空间实验室的雏形，于北京时间2011年9月29日21时16分03秒发射升空。
（1）（2）略；（3）若万有引力常量为G ，中心天体的质量为M ，质量为m 的物体距中心天体r 时具有的引力势能为r GMm E p -= （以无穷远处势能为0）。
①求出第二宇宙速度的值；②若把地球绕太阳公转的轨道近似认为是圆，且不计其它星体对飞行物体的作用力，地球的公转速度为29.8km/s ，求第三宇宙速度。
解析： (3)由G 2DD R m M = m D 2R v ，可得：G D D R m M = mv 2，若摆脱地球的约束，在摆脱地球的束缚过程，即从地球到无穷远在万有引力的作用下恰好减速到零的过程中万有引力做的功等于万有引力势能的减少量，运用动能定理则有：0-21mv 22 = W 万=-G DD R m M -0 可得：v 2 = 2v = 11.2 km/s ，同理：在地球绕太阳公转轨道运行的物体绕太阳做圆运动时 G 2T T R m M = m T2T R v ， G D D R m M = m 2T v ，v T = 29.8 km/s ，摆脱太阳的约束速度为v Tx ，0-21mv Tx 2 = - G DD R m M - 0 ， 解得 v Tx = 2 v T = 42.2 km/s 。
电势能和势能曲线的分析
电势能和势能曲线的分析在物理学中，电势能是关于电荷或者电场的一个重要概念。
它描述了电荷或电场在某一位置上具有的储存能量。
而势能曲线则是用来表示电势能如何随位置的变化而变化的图形。
本文将从电势能的定义、势能曲线的绘制方法以及势能曲线的应用等方面进行分析。
首先，我们来看看电势能的定义。
在电磁学中，电势能是表示点电荷或电荷体系所具有的电场能量的物理量。
电场能量是众多电荷在一个给定的电场中，由于电场的作用而获得或耗费的能量。
具体而言，电势能可以通过电势差推导得到，即电势差等于单位正电荷由A点到B点所具有的电势能。
电势差越大，表示单位正电荷在电场中具有的电势能也就越大。
接下来，我们来探讨势能曲线的绘制方法。
一般来说，势能曲线绘制的前提是要知道势能随位置的变化关系。
对于一维情况下的势能曲线，我们可以通过求解势能函数关于位置的导数得到。
具体而言，假设势能函数为V(x)，我们可以通过求解导数dV/dx来得到势能曲线的斜率。
斜率的正负决定了势能曲线的上升或下降趋势，而斜率的绝对值则表示势能曲线的陡峭程度。
在二维或三维情况下，势能曲线的绘制稍微复杂一些。
需要先确定一个自变量的范围，然后分别计算势能在各个自变量取值下的数值。
最后，可以通过将这些数值连接起来，得到势能曲线的形状。
对于更高维度的情况，同样可以按照以上方法进行推导和绘制。
势能曲线不仅可以用来描绘电势能随位置变化的规律，还可以用来解释和分析物理现象。
例如，在力学中，势能曲线能够帮助我们理解物体在重力场中的运动。
通过观察势能曲线的形状，可以看出物体在不同位置上具有的势能大小，从而推断物体的运动状态。
在电学中，势能曲线也被广泛应用于电场的分析。
通过绘制电场中几个电荷的势能曲线，我们可以了解到这些电荷之间相互作用的情况，从而得出电场的力线分布。
此外，势能曲线在化学领域中也有重要应用。
在化学反应中，势能曲线可以描述化学键的稳定性。
通过分析势能曲线的形状，可以判断化学反应是否会发生，以及化学反应的速率和产物的稳定性等。
引力势能与势能曲线的求解
引力势能与势能曲线的求解引力是自然界中最基本的力之一，它贯穿着宇宙的各个角落。
而引力势能则是描述物体在引力作用下所具有的能量。
在物理学中，我们常常需要求解引力势能以及绘制势能曲线，以便更好地理解物体的运动和相互作用。
本文将探讨引力势能的求解方法以及势能曲线的绘制过程。
首先，我们来看一下引力势能的定义。
在地球表面附近，引力势能可以表示为mgh，其中m是物体的质量，g是重力加速度，h是物体相对于地面的高度。
这个定义是基于地球表面附近的近似情况，实际上，引力势能的计算需要考虑更加精确的因素，比如地球的形状和密度分布。
对于地球表面附近的简单情况，引力势能的求解相对容易。
我们可以将地面上的某一点作为参考点，设定势能为零。
然后，对于任意高度的物体，我们可以通过计算物体相对于参考点的高度差来求解其引力势能。
这个高度差可以用物体的垂直位移来表示，即h。
然而，当我们考虑更加复杂的情况时，比如在不同的天体之间，引力势能的求解就变得更加困难。
在这种情况下，我们需要使用引力势能公式V = -GmM/r，其中G是引力常数，m和M分别是两个物体的质量，r是它们之间的距离。
这个公式是基于万有引力定律推导出来的，可以用于描述天体之间的引力作用。
对于这个公式，我们可以通过给定物体的质量和距离来计算引力势能。
需要注意的是，这个公式中的负号表示引力势能是负值，这是因为引力是一个吸引力，当物体远离其他物体时，引力势能增加。
除了引力势能的求解，我们还可以通过绘制势能曲线来更好地理解物体的运动。
势能曲线可以用来描述物体在不同位置的势能值。
在一维情况下，我们可以将势能曲线绘制在坐标轴上，横轴表示位置，纵轴表示势能值。
通过观察势能曲线的形状，我们可以了解物体在不同位置的势能变化情况。
对于引力势能的势能曲线，一般来说，它会随着距离的增加而逐渐减小。
这是因为引力是一个吸引力，当物体远离其他物体时，引力的作用减弱，势能也相应减小。
在一维情况下，势能曲线通常呈现出类似抛物线的形状，中心点对应着物体与其他物体的最小距离。
分子的势能概念
分子的势能概念分子的势能概念是指分子所具有的相对于其它分子或物质之间的相互作用而存在的能量。
分子间相互作用可以分为吸引力和排斥力两种形式，而分子间的势能则是相对于分子之间的距离而言的。
在分子的势能概念中，有一些重要的概念需要强调，包括分子间相互作用、势能曲线、势能面、化学键以及离解能等。
首先，分子间相互作用是导致分子之间产生势能的主要原因。
分子间的相互作用力可以是吸引力，例如范德华力和氢键；也可以是排斥力，例如斥力。
这些作用力会随着分子间的距离变化而发生变化，从而导致势能的变化。
其次，势能曲线是描述分子相互作用势能随着分子间距离的变化而变化的图形。
势能曲线通常是一个关于分子间距离的函数，其形状可以是单调递增或者单调递减的。
势能曲线的特点可以反映出分子间相互作用的强度和性质。
势能面是描述分子之间相互作用势能在空间中的分布情况。
它是由多个分子的相互作用引起的势能构成的超曲面。
在分子间相互作用中，势能面的形状和性质将直接影响到分子的结构和稳定性。
化学键是分子中两个原子之间的相互作用力，它是使得分子成为一个稳定的结构的重要因素。
化学键的形成将导致分子之间产生势能降低，从而使得分子变得更加稳定。
根据化学键的特点，可以将其分为离子键、共价键和金属键等不同类型。
离解能是指化学反应中一个分子解离成为两个或多个分子所需的能量。
离解能通常包含了吸热或放热反应中分子间势能的变化。
离解能的大小将直接影响到分子的稳定性和反应性。
总的来说，分子的势能概念是用来描述分子之间相互作用的能量。
分子间相互作用会导致势能的变化，而这种势能的变化又直接影响到分子的结构和性质。
因此，对于分子间相互作用力和势能的研究，不仅有助于深入理解分子的结构和稳定性，还可以为化学反应的研究和应用提供重要的指导。
01-7 分子互作用势能曲线
2010-3-31
真实气体的等温线
只有在 p = 0 的情况下 才满足理想气体条件
理想气体,始终满足 pVm/RT= 为常量
分子互作用力曲线
两分子相互“接触并 且被压缩”时排斥力 占优势，相互分离时 分子间吸引力占优势 两分子质心间应存在 某一平衡距离r0，在该 距离分子间相互作用 力将达平衡。
气体中的内压强
指向气体内侧的力使 分子碰撞器壁产生的 动量改变要比不考虑 分子引力时要小。器 壁实际受到压强要比 气体内部的压强小。 设分子吸引力所减少 的压强量值为pi ， pi称为气体内压强修 正量。简称气体内压 强。
气体中的内压强
理想气体中只有动理 压强 真实气体中不仅有动 理压强，还有分子间 吸引力产生的压强
分子直径的一种理解
指由它们组成固体时， 分子直径r0指固体分子 最邻近分子间的平均 在振动平衡位置时两 距离。 分子质心间的平均距 离。 由于固体中的分子（原
子）处于密堆积状态， 分子（原子）均在平衡 位置附近振动。这相当 于两个能扩张及收缩的 弹性球相互接触时所发 生的情况。
分子直径的一种理解
得出了能描述真实气 体行为的范德瓦耳斯 方程
分子固有体积修正
理想气体不考虑分子 的固有体积，所以理 想气体方程中容器的 体积V 就是每个分子 可以自由活动的空间. 如果把分子看作有一 定大小的刚性球，则 每个分子能有效活动 的空间不再是V.
分子固有体积修正
若 1mol 气体占有 Vm 体积，分子能自由活动 空间的体积为Vm-ｂ。则有 Vm-b = RT/p p = RT/(Vm-b) 当压强趋于无穷大时，气体体积Vm→b
分子力产生的压强
吸附势能曲线
吸附势能曲线是一种表征吸附系统的有用工具，它可以帮助我们了解吸附过程的特性，并且可以用来模拟吸附过程。
它由两个主要参数组成：吸附势能和吸附容量。
吸附势能曲线是一种表示吸附系统的双参数曲线，它表示吸附系统中物质的吸附能力随着温度的变化而变化的曲线。
它可以通过测量吸附系统中物质的吸附能力，以及物质在不同温度下的吸附容量，来描述吸附系统的特性。
吸附势能曲线可以用来模拟吸附过程，从而了解吸附系统的特性。
它可以帮助我们了解吸附系统中物质的吸附能力，以及物质在不同温度下的吸附容量，从而帮助我们更好地控制和优化吸附过程。
此外，吸附势能曲线还可以用来计算吸附系统中物质的吸附能力和吸附容量，从而帮助我们更好地理解吸附过程。
总之，吸附势能曲线是一种表征吸附系统的有用工具，它可以帮助我们了解吸附过程的特性，并且可以用来模拟吸附过程，从而更好地控制和优化吸附过程。
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3.在左图这样的光滑导轨上分别从（1）、（2） 位置释放相同的小球，会得到完全不同的相 图：（以A点为原点建立坐标系）
中图关于原点对称而右图则不然。从右图的 势能曲线来考虑，小球陷入了关于原点不对 称的势陷之中。由于参数V的改变引起了对 称性的自发破缺。
七.势能与运动方程
为了便于与（牛顿）运动方程联系，必须实 现从能量到时间等运动学量的转化： —————— ——————— √2Ek/m =V=dx/dt=√E – U(x)， ————————— dt=dx /√2[E-U(x)]/m，这样就导出了物体从势 能曲线上一点运动到另一点的时间公式。 例：U(x)=-1/x (m=2kg，E=0 J，X:1→2) ∫dt= ∫√xdx，所以t=—x dU(x) 另外：F= - ———。于是运动方程问题迎刃而 dx 解。
②当0<ω ≤√g/L时，对称轴 ≥1，Ep在(0,1]上单调递减， 故cosθ=1，即：θ=0时，能 量最低。 但以上考虑为重锤作r≠0转动的情况，但如重 锤原地打转也无不可，故θ=0恒成立，应将其 加入①情况的解中。注意：此时为不稳定平 衡，加以微小扰动，重锤立刻变为转动，跃 升到势能最低处。可见，用势能曲线加上参 数讨论来研究平衡十分方便。
三.存在极限的势能曲线
Mm 1. 二体万有引力：F引=G—— ，取U(+∞)=0则 2 r Mm ，当U=0（r→+∞）时，两物体 U(r)= - G—— r2
相距无穷远，即分离态。使两 物体从相距r0到相距无穷远， 所需能量|U(r0)|称为离解能。 即：在r0处如将A物体固定而B物体得到|U(r0)| 的动能（速度背离A物体）则两物体可分离。 limV=0，V越来越小，但恒不为0。
2.二体分子力：取 lim U(r)=0，因固体分子在 r→∞ r0附近做小能量振动，大小可忽略，故有类 似结论：离解能为：|U(r0)|。 建立类似于1的简单模型： 把固体内部分子力视为二体 分子力。如每kg该物质含n 个分子，则汽化热为： |U(r0)| * n (J/kg) 综合1、2，虽然两模型十分简单，但对 宇宙、分子势能状态的解释有很大帮助。 我们应该庆幸以上两种势能曲线是收敛 的，否则离解能、汽化热和膨胀宇宙就都不 存在，世界会因为没有气体而变得枯燥，我 们也会因为害怕大挤压而睡不着觉。
#小结
经过以上这些讨论，我们发现，从势能 角度，用图像，可以得出简单而易于理解的 结果。
但在应用图像时，也应该注意它的使用 范围。
可以说：势能曲线是一种重要工具。
#参考文献
《物理学》，马根源等著 《力学原理导论》，W· 豪瑟著 《物理学》，D· 哈里德著 《力学引论》，D· Kleppner著 《新概念物理教程》，赵凯华著 《理论力学》，朱照宣等著 《理论力学教程》，周衍柏著
#作者声明
《关于柔软长链（绳）在其自身重力作用下 所形成形状的讨论》（制作中……）和《浅 谈势能曲线及其应用》由南开大学2003级物 理学院物理学基地班“刘氏编写组”： 0310193刘 晨、310194刘加东、 0310195刘庆逊、0310196刘志勇 编写。
水平有限，错误难免，欢迎批评指教。
2. V0—X图或ω —θ 图等速度—位置图称为相 图。 如：简谐运动的相图为（这几条曲线 分别是相同振动系统中，不同振幅的振动 产生的图形）右图。 其中，振幅（或初速度）的改变仅引 起相图的量变，但永远不引起质变。
“硬杆—球”摆动模型相比之下更为复杂： 当初速度不同时，相图可能发生大改变，甚 至发生拓扑结构性变化——分岔。
Ep离= -
1 2L2sin2θ =— m ω 2
1 2 2 2θ) —m ω L (1-cos 2
1 2L2cos2θ–mgLcosθ+mgL Ep总=— m ω 2
-
12 2 —m ω L 2
此时应画出Ep总—cosθ图，但参数ω未定， b mgL g —— = ————— = ——— 故曲线不确定，而对称轴： 2a mω2L2 ω2L 因为0<cosθ ≤1，所以有以下两种情况： g ①当—— <1 时， cos θ 能取极值， 2 ωL ——— g 即： ω>√g/L时，cosθ=—— 2 ωL g θ=arccos—— ω2L
什么时候分岔呢？用势能曲线分 析：当外界系统（运动环境）不 变，仅由初速度或振幅影响相图 时，这种分岔必伴随着越过新势 垒。不越过新势垒，相图就不会 多出一个新的起伏，自然不会发 生质变。
→钉子 →硬杆
→球
为什么两个模型中一个会分岔而另一个不会呢？
1 2 前者：V= — 2 kx ；有一个无穷
势垒，不能超越，相图就不能 分岔。
以ω 转动的圆锥摆，F离=mω2x； 从轴线到θ 角位置（以轴线为离 心势能0点），离心力功W= - Ep离 12 2 1 2 2L2sin2α =∫mω xdx=—m2 ω x =—mω2
1 2 2 1 2 2 2 所以θ 处离心势能为- — 2 ω x 或=- — 2mω L sin α
3.许多转动中的平衡问题求解使人毛骨悚然， 无从下手，而能量最低原理（此处为势能和最 低点）能将其简化并使之容易理解，而处理转 动自然要引用2中的离心势能。离心势能与重 力势能之和最低，就是解题的主线。 例：质量为M的重锤挂在长为l的绳的下端，固 定在一根以角频率ω 旋转的棒上， 锤作匀速圆周运动，求平衡时绳 与铅直方向成的角θ 。 Ep重=mgL(1-cosθ)
r→∞
建立一个简单的模型：把宇宙的内部作 用视为二体万有引力，则在r0状态，宇宙势 能表示为U(r0)。
当宇宙处于r0状态时，如Ek= |U(r0)|则 limV=0 ，宇宙膨胀速度刚好大到避免引力塌 r→∞ 缩，但并无剩余动能时，宇宙为临界状态； 如Ek略大，即：Ek> |U(r0)|时，宇宙为 膨胀宇宙； 如Ek略小，即：Ek< |U(r0)|时，宇宙为 闭合宇宙，必以大挤压终结。
2 1 t 0 — 1.5 2 1.5 2 |= — （ 2 -1 ）≈1.2s 3 3
八.势能及其曲线的局限性
1.对一些绕原子核运动的电子，其能级是分立 的，具有量子化特点，它们的势能曲线不连续， 无法用来分析。 2.微观粒子具有明显的波动性，故遇到势垒时， 会像波碰到一层介质一样：部分透射，部分反 射。对同一位置的粒子，由不确定性关系，它 的能量会随时间产生不确定地变化。 可见能级分立、波粒二象性、不确定性关 系等微观特点活在微观下才变得明显的特点， 阻碍了势能曲线的应用。所以：在微观下慎用 势能曲线。
———
六.势阱中的领域振动：
我们知道，切线是一条与已知曲线最接近的 直线，曲率圆是一个与已知曲线最接近的圆， 而泰勒级数是一条与已知曲线最近的多项式 函数曲线。取最低点为原点，利用泰勒级数 的前三项，足以满足精确度，可以构造出 · · 的式子（简谐振动）。 Ax+Bx=0 1 2，移轴化简得： U(x)=U0+U0’x+— U ’’ x 0 2 1 U(x)=— U ’’x，F= - dU/dx =- U0’’x; 2 0 ———— 所以简谐振动：k=U0’’代入T=2π√m/k ———— 得到的T=2π√m/k 就是振动周期。
四.势垒、势阱、相图、分岔 和对称性自发破缺
1.简而言之：势垒就是图线中上突的部分，而 势阱则是下陷部分。 某物体或某结构之所以不稳定，是因为他们 位于势垒之上；相反，稳定则是因为处于势 阱之中。 在x0处的物体只具有 ≥U(x2) — U(x0)的动能， 才能越过势垒，否则它只 能在势阱中振动。
一.势能曲线的物理分 析
1. F = —U’(x)（一维），可推出在 图1-1与图1-2中，X0处物体分别 处于稳定平衡和不稳定平衡。 （用受力法分析） 2.E（总能量）决定了物体的活动 范围：物体在U(x)低于E0的范 围内活动（①②），但不能越 过势垒（③），故物体只能在 ①或②中某一个范围内运动， ③为物体运动的转向点。
浅谈势能曲线及其应用
作者：刘 晨、刘志勇 刘庆逊、刘加东
# 前言：
本文将用初等微积分的方法对势能曲线 进行一些研究。其中将涉及一些前沿的科学 名词，本文将以最简单的模型和通俗的方式 进行定性讨论。定性为主、定量为辅，关键 在于一些原理的解释。 有时，用牛顿定律解决物体运动问题十 分复杂，而用能量则十分简单，加以图像的 直观性，能量曲线，尤其是势能曲线，就成 为了分析问题的先进工具，本文研究对象为 一维势能曲线。
五.三种平衡状态
1.三种平衡状态：稳定平衡、不稳定平衡、随 遇平衡点都是势能曲线的驻点f ’(x)=0，其中： 稳定平衡，f ‘(x-0)<0、f ‘(x+0)>0，小范围运动 时，重心升高，导致物体回到原位。 不稳定平衡，f ‘(x-0)>0、f ‘(x+0)<0，小范围运 动时，重心降低，导致物体偏离原位。 随遇平衡，f ‘(x-0)=0、f ‘(x+0)=0，小范围运动 时，重心不变。
图1-1
图1-2
图1-3
二.一种与势能曲线等效的图形
如把势能认作重力势能，因其与高度保持 严格对应关系（Ep= mgh），便建立了与一维空 间内势能曲线相对应的模型：重力场中仅受重 力、支持力的沿光滑导轨滚动的小球。 于是，“一”中稳定与非稳定平衡又可从 小球趋向最低能量的角度解释，因为能量最低 原理很容易理解。另外，“一”中所说的转向 点，就是瞬时速度为0点。
我们崇拜他们……
另有一些特殊情况如：U=x3 U’(0)=0，所以x=0为曲线的一个驻点（平衡点）
向右小范围运动，重心升高； 向左小范围运动，重心降低， 表现为不稳定平衡。
2.在非惯性系中应用牛顿定律必须引入惯性力， 离心力就是其中之一。离心力是有心力，其大 小与位置有关，故可以找到一种与之对应的势 能——离心势能。