考研数学公式(高数-线代-概率)40923

考研数学公式(高数-
线代-概率)40923 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高等数学公式
导数公式：
基本积分表：
三角函数的有理式积分：
2
22212211cos 12sin u
du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　， a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C a
x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C
a x x a a x x dx a x I n
n xdx xdx I n n n
n arcsin 22ln 2
2)ln(221
cos sin 22
2222
2222222
22222
2
22
2
π
π
一些初等函数： 两个重要极限：
三角函数公式： ·诱导公式：
·和差角公式： ·和差化积公式：
2
sin
2sin 2cos cos 2cos 2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2
cos
2sin 2sin sin β
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβαβ
αβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβ
αβαβ
αβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=
±⋅±=
±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( x x
arthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x
x
x x
x x
x -+=-+±=++=+-==+=
-=----11ln
21)
1ln(1ln(:2
:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x
x x x x x
·倍角公式：
·半角公式：
α
α
αααααααααααα
α
ααα
cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12
2
cos 12cos 2cos 12
sin -=
+=-+±=+=-=+-±
=+±=-±=ctg tg
·正弦定理：R C
c
B b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：
C ab b a c cos 2222-+=
·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=
-=
2
arccos 2
arcsin π
π
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：
)
()
()()2()1()(0
)
()()
(!
)1()1(!2)1()
(n k k n n n n n
k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+
'+==---=-∑
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理。

时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=
---'=-)(F )
()
()()()()())(()()(ξξξ
多元函数微分法及应用
α
ααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=
-=-=αα
αααααααααα
αα22222212221
2sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=
-=
-=-=-==
z
y z x y x y x y x y x F F y z
F F x z z y x F dx dy F F y F F x dx y d F F dx dy y x F dy y
v
dx x v dv dy y u dx x u du y x v v y x u u x
v
v z x u u z x z y x v y x u f z t
v
v z t u u z dt dz t v t u f z y y x f x y x f dz z dz z
u dy y u dx x u du dy y z dx x z dz -
=∂∂-=∂∂=⋅
-∂∂
-∂∂=-==∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
==∂∂⋅
∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂==∆+∆=≈∆∂∂+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=
， ，　隐函数＋， ， 隐函数隐函数的求导公式：
时，，当
：
多元复合函数的求导法全微分的近似计算： 全微分：0),,()()(0),(),(),()],(),,([)](),([),(),(22
),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0
),,,(0),,,(y u G F J y v v y G F J y u x u G F J x v v x G F J x u G G F F v
G u
G v F
u
F v u
G F J v u y x G v u y x F v
u v u ∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂∂∂⋅-=∂∂=∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=⎩⎨⎧== 隐函数方程组：
多元函数的极值及其求法：
⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪
⎨⎧=-<-⎩⎨⎧><>-===== 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则： ，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22
000020000000000B AC B AC y x A y x A B AC C y x f B y x f A y x f y x f y x f yy xy xx y x
常数项级数：
是发散的
调和级数：等差数列：等比数列：n
n
n n q q q q q n n 1
312112
)1(3211111
2
+++++=
++++--=
++++- 级数审敛法：
散。

存在，则收敛；否则发、定义法：
时，不确定
时，级数发散
时，级数收敛
，则设：、比值审敛法：
时，不确定时，级数发散
时，级数收敛
，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法n n n n n n n n n n s u u u s U U u ∞
→+∞→∞
→+++=⎪⎩⎪
⎨⎧=><=⎪⎩⎪
⎨⎧=><=lim ;3111lim 2111lim 1211 ρρρρρρρρ。

的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足—莱布尼兹定理：—的审敛法或交错级数1
113214321,0lim )0,(+∞
→+≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≥>+-+-+-+-n n n n n n n n u r r u s u u u u u u u u u u u 绝对收敛与条件收敛：
∑∑∑∑>≤-+++++++++时收敛
１时发散ｐ 级数： 收敛；
级数：收敛；
发散，而调和级数：为条件收敛级数。

收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中11
1
)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121p n p n n n u u u u u u u u p n n n n
幂级数：
01
0)3(lim
)3(111
1111
221032=+∞=+∞
===
≠==><+++++≥-<++++++++∞→R R R a a a a R R x R x R x R x a x a x a a x x x x x x x n n n
n n n n n 时，时，时，的系数，则是，，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。

，其中时不定
时发散时收敛
，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全
，如果它不是仅在原点　对于级数时，发散
时，收敛于
ρρρ
ρρ
函数展开成幂级数：
+++''+'+===-+=+-++-''+-=∞→++n
n n n n n n n n x n f x f x f f x f x R x f x x n f R x x n x f x x x f x x x f x f !
)0(!2)0()0()0()(00lim )(,)()!1()
()(!
)()(!2)())(()()(2010)1(00)(2
0000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：ξ
一些函数展开成幂级数：
)
()!12()1(!5!3sin )11(!
)1()1(!2)1(1)1(1
21532+∞<<-∞+--+-+-=<<-++--++-++=+--x n x
x x x x x x n n m m m x m m mx x n n n
m 欧拉公式：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=+=--2sin 2cos sin cos ix
ix ix
ix ix
e e x e e x x i x e 或 三角级数：。

上的积分＝在任意两个不同项的乘积正交性：。

，，，其中，0],[cos ,sin 2cos ,2sin ,cos ,sin ,1cos sin )
sin cos (2)sin()(00101
0ππωϕϕϕω-====++=++=∑∑∞
=∞
= nx nx x x x x x t A b A a aA a nx b nx a a t n A A t f n n n n n n n n n n n n
微分方程的相关概念：
即得齐次方程通解。

，
代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。

得：的形式，解法：
为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程　或　一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x
y
y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='⎰⎰)()(),(),()()()()()()(0
),(),(),(ϕϕϕ 一阶线性微分方程：
)
1,0()()(2))((0)(,0)()
()(1)()()(≠=+⎰
+⎰=≠⎰
===+⎰--n y x Q y x P dx
dy
e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx
dy
n dx
x P dx
x P dx
x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：
全微分方程：
通解。

应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u
y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=∂∂=∂∂=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),(
二阶微分方程：
时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(2
2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy
x P dx y d 二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：
2
122,)(2,,(*)0)(1,0(*)r r y y y r r q pr r q p qy y p y 式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，，其中、写出特征方程：求解步骤：
为常数；，其中∆'''=++∆=+'+''式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),321r r
二阶常系数非齐次线性微分方程
型
为常数；型，为常数，]sin )(cos )([)()()(,)(x x P x x P e x f x P e x f q p x f qy y p y n l x m x ωωλλλ+===+'+''
概率公式整理
1．随机事件及其概率
吸收律：A
AB A A
A A =⋃=∅⋃Ω
=Ω⋃)( A
B A A A A A =⋃⋂∅
=∅⋂=Ω⋂)(
)(AB A B A B A -==-
反演律：B A B A =⋃ B A AB ⋃=
n i i
n i i
A A 1
1
=== n
i i
n i i
A A 1
1
===
2．概率的定义及其计算
)(1)(A P A P -=
若B A ⊂ )()()(A P B P A B P -=-⇒
对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=-
加法公式：对任意两个事件A , B , 有
)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃ )()()(B P A P B A P +≤⋃
)()
1()()
()()(211
111
1
n n n
n
k j i k
j
i
n
j i j
i
n
i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++
-
=∑∑∑
3．条件概率
()=A B P )
()
(A P AB P
乘法公式
())
0)(()()(>=A P A B P A P AB P
()()
)
0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P
全概率公式
∑==n
i i AB P A P 1
)()( )()(1
i n
i i B A P B P ⋅=∑=
Bayes 公式
)(A B P k )
()
(A P AB P k =
∑==n i i i k k B A P B P B A P B P 1
)
()()()(
4．随机变量及其分布
分布函数计算
)
()()
()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<
5．离散型随机变量
(1) 0 – 1 分布
1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k
(2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p
n k p p C k X P k n k
k n ,,1,0,)1()( =-==-
*Possion 定理
0lim >=∞→λn n np
有
,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k e p p C k
k
n n k n k n n λ
λ
(3) Poisson 分布 )(λP
,2,1,0,!)(===-k k e k X P k
λλ
6．连续型随机变量
(1) 均匀分布 ),(b a U
⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他
,0,1
)(b x a a b x f
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1
,,
0)(a b a
x x F
(2) 指数分布 )(λE
⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他
,00
,)(x e x f x λλ
⎩⎨⎧≥-<=-0,10
,0)(x e x x F x λ
(3) 正态分布 N (μ , σ 2 )
+∞<<∞-=--x e x f x 2
2
2)(21)(σμσπ
⎰∞---=
x t t e x F d 21)(222)(σμσπ
*N (0,1) — 标准正态分布 +∞<<∞-=-x e x x 2221)(πϕ
+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x x t d 21)(22
π
7.多维随机变量及其分布
二维随机变量( X ,Y )的分布函数 ⎰⎰∞-∞-=x
y dvdu v u f y x F ),(),(
边缘分布函数与边缘密度函数 ⎰
⎰∞-+∞∞-=x X dvdu v u f x F ),()( ⎰
+∞∞-=dv v x f x f X ),()( ⎰
⎰∞-+∞∞-=y Y dudv v u f y F ),()(
⎰+∞∞-=du y u f y f Y ),()(
8.
连续型二维随机变量
(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G ) ⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他,
0),(,1),(G y x A y x f
(2)二维正态分布
+∞
<<-∞+∞<<∞-⨯-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+------y x e y x f y y x x ,121
),(2222212121212)())((2)()1(21221σμσσμμρσμρρσπσ
9.
二维随机变量的 条件分布 0)()
()(),(>=x f x y f x f y x f X X Y X 0)()()(>=y f y x f y f Y Y X Y
⎰⎰
+∞∞-+∞∞-==dy y f y x f dy y x f x f Y Y X X )()(),()( ⎰⎰+∞∞
-+∞∞-==dx x f x y f dx y x f y f X X Y Y )()(),()(
)(y x f Y X )(),(y f y x f Y = )
()()(y f x f x y f Y X X Y = )(x y f X Y )(),(x f y x f X = )
()()(x f y f y x f X Y Y X =
10.随机变量的数字特征
数学期望
∑+∞==1)(k k k p x X E
⎰+∞
∞-=dx x xf X E )()(
随机变量函数的数学期望
X 的 k 阶原点矩
)(k X E
X 的 k 阶绝对原点矩
)|(|k X E
X 的 k 阶中心矩
)))(((k X E X E -
X 的 方差
)()))(((2X D X E X E =-
X ,Y 的 k + l 阶混合原点矩
)(l k Y X E
X ,Y 的 k + l 阶混合中心矩
()l k Y E Y X E X E ))(())((--
X ,Y 的 二阶混合原点矩
)(XY E
X ,Y 的二阶混合中心矩 X ,Y 的协方差
()))())(((Y E Y X E X E --
X ,Y 的相关系数
XY Y D X D Y E Y X E X E ρ
=⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--)()())())(((
X 的方差
D (X ) =
E ((X - E (X ))2)
)()()(22X E X E X D -=
协方差
()))())(((),cov(Y E Y X E X E Y X --=
)()()(Y E X E XY E -= ())()()(2
1Y D X D Y X D --±±= 相关系数)()()
,cov(
Y D X D Y X XY =ρ。