数列通项公式的求解方法归纳

数列通项公式的解法

数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。小结：除了熟悉以上常见求法以外，对具体的数列进行适当的变形，一边转化为熟知的数列模型更是突破数列通项的关键。做题时要不断总结经验，多加琢磨。

总结方法比做题更重要!方法产生于具体数学内容的学习过程中.

1.直接法

2.公式法

3.归纳猜想法

4.累加（乘）法

5.取倒（对）数法

6.迭代法

7.待定系数法

8.特征根法

9.不动点法10.换元法11.双数列12.周期型13.分解因式法14.循环法15.开方法

◆一、直接法

根据数列的特征，使用作差法等直接写出通项公式。 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…

（2） ,17

164,1093

,5

42,211 （3） ,52,21,32,

1 （4） ,5

4

,43,

32,21-- ◆二、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2

1

11n S S n S a n n n 求解.

(注意：求完后一定要考虑合并通项) 例2．①已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n

n n ．求数列{}n a 的通项公式.

②已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足21n S n n =+-，求数列{}n a 的通项公式.

③ 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10<

通项公式。

◆三、归纳猜想法

如果给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们可以根据前几项的规律，归纳猜想出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明之。也可以猜想出规律，然后正面证明。

例3.已知点的序列*

),0,(N n x A n n ∈，其中01=x ，)0(2>=a a x ，3A 是线段21A A 的中点，4A 是线段32A A 的中点，…，n A 是线段12--n n A A 的中点，…

（1） 写出n x 与21,--n n x x 之间的关系式（3≥n ）。

（2） 设n n n x x a -=+1，计算321,,a a a ，由此推测{}n a 的通项公式，并加以证明。

变式:设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，且方程x 2－a n x －a n ＝0有一根为S n －1，n ＝1，2，3，… （Ⅰ）求a 1，a 2； （Ⅱ）｛a n ｝的通项公式

◆四、累加（乘）法

对于形如)(1n f a a n n +=+型或形如n n a n f a )(1=+型的数列，我们可以根据递推公式，写出n 取1到n 时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

例4. 若在数列{}n a 中，31=a ，n a a n n +=+1，求通项n a 。 例5. 在数列{}n a 中，11=a ，n n n a a 21=+（*

N n ∈），求通项n a 。

◆五、取倒（对）数法

a 、r

n n pa a =+1这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解

b 、数列有形如0),,(11=--n n n n a a a a f 的关系，可在等式两边同乘以

,11-n n a a 先求出.,1

n n

a a 再求得

c 、)

()()(1n h a n g a n f a n n

n +=

+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1。

例6.．设数列}{n a 满足,21=a ),N (3

1∈+=+n a a a n n

n 求.n a

例7 、 设正项数列{}n a 满足11=a ，2

12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式.

变式:

1.已知数列｛a n ｝满足：a 1＝

3

2

，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－求通项a n ．

2、若数列的递推公式为1111

3,

2()n n

a n a a +==-∈，求通项a n ．

3、已知数列{n a }满足2,11≥=n a 时，n n n n a a a a 112--=-，求通项a n ．

4、已知数列｛a n ｝满足：1,1

3111

=+⋅=

--a a a a n n n ，求通项a n ．

5、若数列｛a

n ｝中，a

1

=1，a

1+

n

=

2

2

+

n

n

a

a n

∈N

+

，求通项a

n

．

◆六、迭代法

迭代法就是根据递推式，采用循环代入计算.

例8、设a 0为常数，且a n＝3 n -1－2 a n -1（n为正整数）证明对任意n≥1 ，

a

n

＝ [ 3 n＋（－1）n -1· 2 n ]＋（－1）n· 2 n a0

◆七、待定系数法：

求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，该方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。

1、通过分解常数，可转化为特殊数列{a

n +k}的形式求解。一般地，形如a

1+

n

=p a

n

+q（p≠1，pq≠0）型的递推式

均可通过待定系数法对常数q分解法：设a

1+

n +k=p（a

n

+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=

1

-

p

q

，从而得等

比数列{a

n

+k}。

例9、数列{a

n }满足a

1

=1，a

n

=

2

1

a

1-

n

+1（n≥2），求数列{a

n

}的通项公式。

练习、数列{a

n }满足a

1

=1，0

7

3

1

=

-

+

+n

n

a

a,求数列{a

n

}的通项公式。