九年级数学上册知识点汇总

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九年级上册数学总结知识点

九年级上册数学总结知识点一、集合的概念与运算1. 集合的定义和表示方法2. 集合间的包含关系3. 集合的运算：并集、交集、差集、补集4. 集合的性质：全集、空集、互斥集、互不相交集二、函数与方程1. 函数的定义和性质2. 函数图像的基本性质3. 一次函数与二次函数4. 方程的基本概念：根、解、方程的种类5. 方程的解法：代入法、消元法、配方法、因式分解法三、三角形与相似1. 三角形的分类与性质：等边三角形、等腰三角形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形2. 直角三角形的勾股定理和斜边定理3. 相似三角形的判定条件4. 相似三角形的性质：比例关系、类比比例、全等定理四、函数的图像与性质1. 函数图像的基本变换：平移、伸缩、翻转2. 二次函数的图像特征：顶点、对称轴、开口方向3. 绝对值函数和分段函数的图像特征4. 函数的单调性与极值点的求解五、平面坐标系与图形1. 平面直角坐标系的建立与使用2. 线段的长度计算3. 点和直线的位置关系：同一直线、垂直、平行、相交等4. 常见图形的性质与计算：矩形、正方形、三角形、圆六、数据的处理与统计1. 数据的收集和整理2. 统计量的计算：平均数、中位数、众数、极差3. 数据的图表展示：条形图、折线图、散点图4. 概率的基本概念与计算七、圆的性质与计算1. 圆的基本概念与性质：圆心、半径、直径、弧长、扇形面积2. 圆的相关角和切线的性质3. 弧度制与度数制的换算4. 圆的计算问题：弧长问题、扇形面积问题八、空间图形与几何体1. 空间图形的投影与视图2. 空间中的点、线、面的性质与判定3. 空间中的几何体：正方体、长方体、圆柱体、圆锥体、球体4. 空间几何体的计算：体积、表面积等以上是九年级上册数学的主要知识点总结，通过掌握这些知识，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提升数学解题能力。

通过反复练习和思考，相信学生们能够更加熟练地掌握这些知识，取得更好的成绩。

九年级数学上册知识点总结

九年级数学上册知识点总结
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第21章一元二次方程
1.一元二次方程:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次).
一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
• 二次项：ax2
• 二次项系数：a
• 一次项：bx
• 一次项系数:b
• 常数项：c
2.根：一元二次方程的解
个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称
• 对称中心：O 对称点：旋转后能够重合的对应点 •4
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23章旋转
• 5.中心对称图形：把一个图形绕着某一点O旋转180°，旋转后的图形
能够与原来的图形重合，那么这个图形就是中心对称图形
• 6.关于原点对称的点的坐标
• P(x,y)
减小
增大
<0
向下
y轴
原点
y随x增大而 y随x增大而
增大
减小
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22章二次函数
• 3.y=a(x-h)2+k的图象和性质(与y=ax2具有相同的形状）
a
ห้องสมุดไป่ตู้
开口 h>0
h<0
k>0
k<0
顶点对称轴对称轴对称轴
左侧右侧
>0
向上右移左移上移下移 (h,k) x=k
y随x增 y随x增
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24章圆
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概率初步
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九年级上册数学知识点总结

九年级上册数学知识点总结一、整数和有理数整数是由正整数、负整数和0组成，可以进行加、减、乘、除等运算。

有理数是整数和分数的集合，分数是整数和整数的比值。

整数和有理数的运算规律与整数运算相同，包括加法、减法、乘法和除法。

二、代数与方程1.代数表达式代数表达式是用字母和数字通过运算符号连接起来的数学式子，可以用来表示数值关系和算式运算。

2.方程与不等式方程是等号连接的两个代数表达式，表示两个量相等的关系。

不等式是不等号连接的两个代数表达式，表示两个量大小关系。

3.一元一次方程一元一次方程是只含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。

可以使用逆运算的原则，通过加减乘除等运算解得未知数的值。

4.二元一次方程组二元一次方程组是包含两个未知数、两个方程的方程组。

可以使用消元法或代入法解方程组。

三、平面图形与坐标系1.平面图形平面图形包括线段、角、三角形、四边形等。

通过计算边长、角度和面积等属性，可以解决与平面图形相关的问题。

2.坐标系与平面直角坐标系坐标系是由两个相互垂直的直线来确定的，用于描述点在平面上的位置。

平面直角坐标系是最常见的坐标系，包括横轴和纵轴，用数字来表示点的位置。

四、利率与利息利率指一定时期内利息与本金的比率，表示资金的增长速度。

利息是利率乘以本金得到的收益。

五、统计与概率1.抽样调查抽样调查是通过从总体中随机选择一部分样本进行调查，从而获得总体特征的方法。

2.频数与频率频数是指某个事件发生的次数或某个数据出现的次数。

频率是指某事件发生的概率或某数据出现的概率。

六、函数与图像1.函数与映射函数是两个集合之间的对应关系，每个自变量都有唯一的函数值与之对应。

2.函数图像函数图像是表达函数在坐标系中的图形，可以通过绘制函数的图像来研究函数的性质和变化规律。

七、几何变换几何变换包括平移、旋转、镜像和放缩等操作，通过改变图形的位置、角度和形状，可以研究图形的性质和变化规律。

八、三角函数三角函数是用来研究角的一种数学函数，包括正弦、余弦、正切等。

数学九年级上册每章知识点

数学九年级上册每章知识点第一章：有理数1. 有理数的概念和分类- 有理数的定义- 正数、负数和零的分类- 有理数的大小比较2. 有理数的加法和减法- 有理数的加法原则- 有理数的减法原则3. 有理数的乘法和除法- 有理数的乘法原则和性质- 有理数的除法原则和性质4. 有理数的运算性质- 加法和减法的交换律、结合律和分配律- 乘法和除法的交换律、结合律和分配律第二章：线性方程和一次不等式1. 变量和代数式- 变量的概念- 代数式的概念和性质2. 一元一次方程- 一元一次方程的定义和基本形式- 解一元一次方程的方法3. 一元一次不等式- 一元一次不等式的定义和基本形式- 解一元一次不等式的方法4. 实际问题与一元一次方程或不等式- 将实际问题转化成一元一次方程或不等式- 解决实际问题的步骤和方法第三章：多项式与因式分解1. 代数式的加减法- 代数式的加法原则和性质- 代数式的减法原则和性质2. 一元多项式- 一元多项式的定义和基本形式- 一元多项式的加减法原则3. 一元多项式的乘法- 一元多项式的乘法原则和性质- 一元多项式的乘法公式4. 因式分解- 因式分解的定义和基本方法- 因式分解的应用第四章：平面直角坐标系与图形初步1. 平面直角坐标系- 平面直角坐标系的概念和构造- 坐标表示和坐标轴上的点2. 点、线和线段- 点的坐标和图形的位置关系- 直线和线段的定义和表示3. 直角和垂线- 直角的概念和判定条件- 垂线的概念和判定条件4. 三角形和四边形- 三角形的分类和性质- 四边形的分类和性质第五章：相似与全等1. 平行线与比例- 平行线的概念和判定条件- 比例的概念和性质2. 相似三角形- 相似三角形的定义和判定条件- 相似三角形的性质和应用3. 全等三角形- 全等三角形的定义和判定条件- 全等三角形的性质和应用4. 相似和全等图形的应用- 利用相似和全等图形求解实际问题- 利用相似和全等图形进行图形的设计以上是数学九年级上册每章的知识点概述。

九年级上册数学知识点

九年级上册数学知识点一、有理数1. 整数2. 分数3. 小数二、代数表达式和简单方程1. 代数表达式的定义与运算2. 一元一次方程3. 方程的解4. 解一元一次方程的基本方法三、图形的性质和变换1. 空间几何图形- 三角形- 四边形- 多边形2. 平面镜像与旋转- 线对称与点对称- 图形的旋转四、概率和统计1. 概率的定义与计算- 随机事件- 事件发生的概率计算 2. 统计与表示- 数据的收集与整理- 平均数与中位数五、函数1. 函数的概念与表示2. 线性函数- 函数的增减性与最值 - 线性函数的图像与性质六、几何初步1. 直线、射线和线段2. 角及其性质3. 平行线和平行四边形七、相似与全等三角形1. 相似三角形- 相似三角形的判定与性质 - 相似三角形的应用2. 全等三角形- 全等三角形的判定与性质 - 全等三角形的应用八、立体几何初步1. 空间几何体的性质- 点、线、面的关系- 空间几何体的视图2. 投影与截面- 立体图形的投影- 立体图形的截面九、二次根式与实数1. 二次根式的性质与运算- 平方根与立方根- 二次根式的四则运算2. 实数的定义与运算- 有理数与无理数的概念- 实数的加减乘除运算十、解直角三角形1. 直角三角形的概念与性质2. 利用三角函数解直角三角形以上是九年级上册数学的主要知识点，通过对这些知识的系统学习，你将掌握数学中的基本概念、方法和技巧。

在实际应用中，这些知识将为你提供解决问题的工具和途径。

希望你能够认真学习，不断提高自己的数学能力。

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、代数基础1.1 代数式与多项式•代数式的概念和基本性质•多项式的定义、次数、最高次项、最高次系数和降次1.2 整式运算•基本运算法则（加、减、乘、除）•多项式的因式分解1.3 方程与不等式•一元一次方程的定义、解法及应用一元二次方程的定义、解法及应用•一元一次不等式和一元二次不等式的定义、解法及应用二、平面几何2.1 点、直线、角、三角形•点、直线、射线、线段的定义•角的概念、性质和分类•三角形的定义、分类、性质（三角形角度定理、三角形边长关系定理）2.2 四边形和多边形•四边形的定义、性质（平行四边形、菱形、矩形、正方形、梯形）•多边形的定义和性质（对称性、全等性、相似性）2.3 圆的基本性质•圆的定义、圆心、半径、直径、弦、弧、圆周角•圆的切线和切点的概念和性质三、立体几何3.1 空间图形的概念和性质•空间图形的分类（点、线、面、体）•空间图形的基本性质（包括线段长度、角度大小、面积和体积）3.2 空间坐标系的建立和应用•空间坐标系的建立（右手法则）•空间坐标系中点、距离、中点公式、斜率公式3.3 空间几何体的计算•立体图形的表面积和体积的计算方法（包括长方体、正方体、棱锥、棱台、球）四、数与函数4.1 实数的概念和性质•实数的分类、基本性质（包括代数性质、有序性、完备性）4.2 一次函数的概念和性质•一次函数的定义、函数图像、图像特征、斜率、截距、变化规律和应用4.3 二次函数的概念和性质•二次函数的定义、函数图像、图像特征、参数的关系及其应用•二次函数解析式的确定方法五、统计与概率5.1 数据的收集和整理•数据的收集方法及其优缺点•数据的整理方法（频率分布表、直方图、折线图、饼图）5.2 概率的概念和基本性质•随机性和概率、概率的基本性质•事件及其概率的计算方法、频率和概率5.3 统计量•数值型数据的统计量（包括极差、平均数、中位数、众数、标准差）•统计推断的基本思想和应用（区间估计、假设检验）以上是九年级上学期数学知识点的归纳，希望对大家有所帮助。

九年级数学上册重要知识点总结

九年级数学上册重要知识点总结九年级数学上册重要知识点总结「篇一」圆的面积s=π×r×r其中，π是周围率，约等于3.14r是圆的半径。

圆的周长计算公式为：C=2πR.C代表圆的周长，r代表圆的半径。

圆的面积公式为：S=πR2(R的平方).S代表圆的面积，r为圆的半径。

椭圆周长计算公式椭圆周长公式：L=2πb+4(a-b)椭圆周长定理：椭圆的周长等于该椭圆短半轴长为半径的圆周长(2πb)加上四倍的该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的`差。

椭圆面积计算公式椭圆面积公式：S=πab椭圆面积定理：椭圆的面积等于圆周率(π)乘该椭圆长半轴长(a)与短半轴长(b)的乘积。

以上椭圆周长、面积公式中虽然没有出现椭圆周率T，但这两个公式都是通过椭圆周率T推导演变而来。

常数为体，公式为用。

九年级数学上册重要知识点总结「篇二」1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

2、矩形的性质(1)具有平行四边形的一切性质(2)矩形的四个角都是直角(3)矩形的对角线相等(4)矩形是轴对称图形3、矩形的判定(1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形(2)定理1：有三个角是直角的四边形是矩形(3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形4、矩形的面积：S矩形=长×宽=ab九年级数学上册重要知识点总结「篇三」1.直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

2.三角形的外接圆的圆心叫做三角形的外心。

3.弦切角等于所夹的弧所对的圆心角。

4.三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心。

5.垂直于半径的直线必为圆的切线。

6.过半径的外端点并且垂直于半径的直线是圆的切线。

7.垂直于半径的直线是圆的切线。

8.圆的切线垂直于过切点的半径。

数学九年级上册全知识点

数学九年级上册全知识点一、整数的概念和运算1. 整数的概念2. 整数的绝对值3. 整数的相反数4. 整数的加法和减法二、有理数的概念和运算1. 有理数的概念2. 有理数的相反数和绝对值3. 有理数的加法和减法4. 有理数的乘法和除法5. 有理数的混合运算三、平方根和立方根1. 平方根的概念和性质2. 平方根的求解3. 立方根的概念和性质4. 立方根的求解四、二次根式1. 二次根式的概念和性质2. 二次根式的化简和分解3. 二次根式的加法和减法4. 二次根式的乘法和除法五、比例与比例的性质1. 比例的概念和表示方法2. 比例的性质和判断3. 比例的四种特殊情况4. 比例的运算六、百分数1. 百分数的概念和表示方法2. 百分数的转化3. 百分数的运算七、利率和利息1. 利率的概念和计算2. 简单利息的计算3. 复利的计算八、容积和表面积1. 球的容积和表面积2. 圆柱体的容积和表面积3. 直角三角形的斜边长和面积九、统计与概率1. 统计的概念和方法2. 频率和频率分布3. 概率的基本概念和计算方法十、平面几何图形1. 平行线和垂直线2. 直角三角形和勾股定理3. 三角形的性质和分类4. 四边形的性质和分类5. 圆的性质和圆内外关系十一、函数的概念和表示1. 函数的概念和特征2. 函数的表示方法3. 函数的图像和性质以上是数学九年级上册的全知识点，涵盖了整数、有理数、平方根、立方根、二次根式、比例、百分数、利率和利息、容积和表面积、统计与概率、平面几何图形以及函数等多个重要内容。

通过系统学习这些知识点，同学们可以更好地理解和应用数学知识，提高数学解题的能力和思维水平。

希望同学们能够认真学习并善于运用这些知识点，取得优异的成绩。

九年级上册数学知识点归纳

九年级上册数学知识点归纳一、实数1. 有理数与无理数的定义- 有理数：可以表示为两个整数的比的数，如分数、整数。

- 无理数：不能表示为两个整数的比的数，如√2、π。

2. 实数的运算- 加法、减法、乘法、除法- 乘方、开方- 绝对值的计算3. 实数的性质- 相反数、倒数- 有理数和无理数的性质4. 科学记数法- 表示非常大或非常小的数5. 实数的比较- 大小比较的方法- 不等式的表示和性质二、代数表达式1. 单项式- 单项式的定义- 系数、次数2. 多项式- 多项式的定义- 项、次数、系数- 多项式的加减法3. 代数式的简化- 合并同类项- 分配律、结合律、交换律4. 因式分解- 提公因式法- 公式法（平方差、完全平方等） - 十字相乘法三、方程与不等式1. 一元一次方程- 方程的建立- 解方程的步骤2. 二元一次方程组- 代入法- 消元法（加减消元、代数消元）3. 不等式- 不等式的性质- 解一元一次不等式- 解一元一次不等式组4. 绝对值不等式- 绝对值的性质- 解绝对值不等式四、平面图形1. 平行线与线段- 平行线的性质- 线段的中点、平行线之间的距离2. 角- 角的分类- 角的度量- 角的和差3. 三角形- 三角形的基本性质- 等边三角形、等腰三角形的性质 - 三角形的内角和外角4. 四边形- 四边形的分类- 矩形、菱形、正方形的性质- 四边形的面积计算5. 圆- 圆的基本性质- 圆的面积和周长- 切线的性质五、立体图形1. 立体图形的基本概念- 点、线、面、体- 立体图形的分类2. 棱柱和棱锥- 棱柱和棱锥的性质- 棱柱和棱锥的体积计算3. 圆柱和圆锥- 圆柱和圆锥的性质- 圆柱和圆锥的体积和表面积计算4. 球- 球的性质- 球的体积和表面积计算六、统计与概率1. 统计- 数据的收集和整理- 频数和频率- 统计图表（条形图、折线图、饼图）2. 概率- 随机事件的概率- 概率的计算方法- 条件概率和独立事件请注意，以上内容仅为九年级上册数学知识点的一个概括性归纳，具体的教学内容和深度可能会根据不同地区的教学大纲和教材有所差异。

九年级上册数学知识点总结(最新最全)

九年级上册数学知识点总结(最新最全)单元1：整数- 整数的概念- 整数的比较和运算法则- 整数的加减乘除运算- 整数的乘方运算- 整数的分数和小数的关系单元2：有理数- 有理数的概念- 有理数的相反数和绝对值- 有理数的加减运算法则- 有理数的乘除运算法则- 有理数的幂运算- 有理数的分数和小数的关系单元3：代数式与整式- 代数式与整式的概念- 代数式的运算法则- 整式的合并同类项和提取公因式- 整式的加减运算- 整式的乘除运算单元4：一元一次方程与一次不等式- 一元一次方程的概念- 一元一次方程的解的性质- 列方程解问题- 一元一次不等式的概念- 一元一次不等式的解的性质单元5：图形的基本概念与性质- 平面直角坐标系- 点、线、面的基本概念- 图形的相似形与全等形- 图形的位置关系和判定- 图形的旋转、平移和翻折单元6：图形的表示与变换- 图形的平移和旋转表示- 图形的对称变换表示- 图形的全等判定和性质- 图形变换的综合应用单元7：函数的概念与表示- 函数的概念- 函数的自变量和函数值- 函数的表示方法- 函数的性质- 函数的实际应用单元8：一元一次函数- 一元一次函数的概念- 一元一次函数的函数图象- 一元一次函数的性质- 一元一次函数的应用以上是九年级上册数学的知识点总结，包括整数、有理数、代数式与整式、一元一次方程与一次不等式、图形的基本概念与性质、图形的表示与变换、函数的概念与表示以及一元一次函数。

希望对你的学习有所帮助！。

数学九年级上册知识点必看

数学九年级上册知识点必看各个科目都有自己的学习方法，但其实都是万变不离其中的，基本离不开背、记，运用，数学作为最烧脑的科目之一，也是一样的。

下面是小编给大家整理的一些数学九年级上册知识点的学习资料，希望对大家有所帮助。

九年级上册数学知识点总结第一章二次根式1 二次根式：形如 ( )的式子为二次根式;性质： ( )是一个非负数;2 二次根式的乘除：3 二次根式的加减：二次根式加减时，先将二次根式华为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。

4 海伦-秦九韶公式：，S是三角形的面积，p为。

第二章一元二次方程1 一元二次方程：等号两边都是整式，且只有一个未知数，未知数的次是2的方程。

2 一元二次方程的解法配方法：将方程的一边配成完全平方式，然后两边开方;公式法：因式分解法：左边是两个因式的乘积，右边为零。

3 一元二次方程在实际问题中的应用4 韦达定理：设是方程的两个根，那么有第三章旋转1 图形的旋转旋转：一个图形绕某一点转动一个角度的图形变换性质：对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连的线段的夹角等于旋转角旋转前后的图形全等。

2 中心对称：一个图形绕一个点旋转180度，和另一个图形重合，则两个图形关于这个点中心对称;中心对称图形：一个图形绕某一点旋转180度后得到的图形能够和原来的图形重合，则说这个图形是中心对称图形;3 关于原点对称的点的坐标第四章圆1 圆、圆心、半径、直径、圆弧、弦、半圆的定义2 垂直于弦的直径圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴;垂直于弦的直径平分弦，并且平方弦所对的两条弧;平分弦的直径垂直弦，并且平分弦所对的两条弧。

3 弧、弦、圆心角在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

4 圆周角在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半;半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90度的圆周角所对的弦是直径。

5 点和圆的位置关系点在圆外点在圆上 d=r点在圆内 d 定理：不在同一条直线上的三个点确定一个圆。

九年级上册数学知识点总结归纳

九年级上册数学知识点总结归纳一、一元二次方程。

1. 定义。

- 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

一般形式为ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其中ax^2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

2. 一元二次方程的解法。

- 直接开平方法。

- 对于方程x^2=p(p≥0)，解得x=±√(p)。

例如方程(x - 3)^2=4，则x - 3=±2，解得x = 1或x = 5。

- 配方法。

- 步骤：先将方程化为ax^2+bx = - c的形式，然后在方程两边加上一次项系数一半的平方((b)/(2a))^2，将左边配成完全平方式(x+(b)/(2a))^2，再用直接开平方法求解。

例如对于方程x^2+6x - 7 = 0，移项得x^2+6x = 7，配方得x^2+6x+9 = 7 + 9，即(x + 3)^2=16，解得x = 1或x=-7。

- 公式法。

- 对于一元二次方程ax^2+bx + c = 0(a≠0)，其求根公式为x=frac{-b±√(b^2)-4ac}{2a}。

其中b^2-4ac叫做判别式，记作Δ。

当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根。

例如方程2x^2-3x - 2 = 0，其中a = 2，b=-3，c = - 2，Δ=(-3)^2-4×2×(-2)=9 + 16 = 25>0，则x=(3±√(25))/(4)=(3±5)/(4)，解得x = 2或x=-(1)/(2)。

- 因式分解法。

- 把方程化为一边是零，另一边是两个一次因式积的形式，然后使每个因式分别为零，从而求出方程的解。

例如方程x^2-3x+2 = 0，因式分解得(x - 1)(x - 2)=0，则x - 1 = 0或x - 2 = 0，解得x = 1或x = 2。

九级上册数学知识点总结

九级上册数学知识点总结Let's learn positive psychology to make our life happier.九年级上册数学知识点总结归纳2第二十一章一元二次方程第二十二章二次函数第二十三章旋转第二十四章圆第二十五章概率初步第二十一章一元二次方程知识点1：一元二次方程的概念一元二次方程：只含有一个未知数,未知数的最高次数是2,且系数不为 0,这样的方程叫一元二次方程．一般形式：ax2＋bx+c=0a≠0.注意：判断某方程是否为一元二次方程时,应首先将方程化为一般形式.知识点2：一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如x+a2=b b≥0的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法.X+a=±b∴1x=-a+b2x=-a-b2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0k≠0的一般步骤是：①化为一般形式；②移项,将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1,即方程两边同除以二次项系数；④配方,即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为x+a2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b<0,则原方程无解．3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是a acbbx24 2-±-=b2－4ac≥0.步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a,b,c的值；③求出b2－4ac的值,当b2－4ac≥0时代入求根公式.4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0,则a=0或b=0.步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0,得到两个一元一次方程乘积的形式,解这两个一元一次方程,它们的解就是原一元二次方程的解．因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法.5．一元二次方程的注意事项：⑴在一元二次方程的一般形式中要注意,强调a≠0．因当a=0时,不含有二次项,即不是一元二次方程．⑵应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a,b,c的值；②若b2－4ac＜0,则方程无解．⑶利用因式分解法解方程时,方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2x＋42 =3x＋4中,不能随便约去x＋4.⑷注意：解一元二次方程时一般不使用配方法除特别要求外但又必须熟练掌握,解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况⑴b2－4ac≥0⇔方程有两个不相等的实数根；⑵b2－4ac=0⇔方程有两个相等的实数根；⑶b2－4ac≤0⇔方程没有实数根.解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时,往往首先考虑用b2－4ac解题.主要用于求方程中未知系数的值或取值范围.知识点3：根与系数的关系:韦达定理对于方程ax 2＋bx+c=0a ≠0来说,x1 +x2 =—a b ,x1●x2= a c.利用韦达定理可以求一些代数式的值式子变形,如2122122212)(x x x x x x-+=+21212111x x x x x x +=+.解题小诀窍：当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时,可以用韦达定理. 知识点4：一元二次方程的应用一、考点讲解：1．构建一元二次方程数学模型,常见的模型如下：⑴ 与几何图形有关的应用：如几何图形面积模型、勾股定理等； ⑵ 有关增长率的应用：此类问题是在某个数据的基础上连续增长降低两次得到新数据,常见的等量关系是a1±x2=b,其中a 表示增长降低前的数据,x 表示增长率降低率,b 表示后来的数据.注意：所得解中,增长率不为负,降低率不超过1.⑶ 经济利润问题：总利润=单件销售额－单件成本×销售数量；或者,总利润=总销售额－总成本.⑷ 动点问题：此类问题是一般几何问题的延伸,根据条件设出未知数后,要想办法把图中变化的线段用未知数表示出来,再根据题目中的等量关系列出方程.2．注重解法的选择与验根：在具体问题中要注意恰当的选择解法,以保证解题过程简洁流畅,特别要对方程的解注意检验,根据实际做出正确取舍,以保证结论的准确性．一元二次方程与实际问题1、病毒传播问题2、树干问题3、握手问题单循环问题4、贺卡问题双循环问题5、围栏问题6、几何图形道路、做水箱7、增长率、降价率问题8、利润问题注意减少库存、让顾客受惠等字样9、数字问题10、折扣问题第二十二章二次函数一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地,形如2=++a b cy ax bx ca≠的函数,，，是常数,0叫做二次函数. 这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a≠,而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数,右边是自变量x的二次式,x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数,a是二次项系数,b是一次项系数,c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大,抛物线的开口越小.2.2y ax c=+的性质：上加下减.3.()2y a x h =-的性质：左加右减.4. ()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+,确定其顶点坐标；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ，处,具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”．概括成八个字“左右 ,上下 ”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上下平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2或m c bx ax y -++=2⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左右平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2或c m x b m x a y +-+-=)()(2四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看,()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a-=-=，．五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，,()20x ，若与x 轴没有交点,则取两组对称轴对称的点. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y axbx c =++的性质1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a<-时,y 随x 的增大而减小；当2b x a>-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a=-,顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时,y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++a ,b ,c 为常数,0a ≠； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+a ,h ,k 为常数,0a ≠；3. 两根式两点式：12()()y a x x x x =--0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠．⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大；⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时,02b a -<,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba->,即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下,结论刚好与上述相反,即当0b >时,02b a ->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时,02b a -=,即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时,02ba-<,即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来,在a 确定的前提下,b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ,概括的说就是“左同右异” 总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时,抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时,抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之,只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点,选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大小值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达1. x 轴对称 2y axbx c =++x 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+x 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =---；2. y 轴对称 2y axbx c =++y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+y 轴对称后,得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 原点对称 2y axbx c =++原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 顶点对称即：抛物线绕顶点旋转180°2y ax bx c =++顶点对称后,得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k=-+顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 点()m n ，对称()2y a x h k=-+点()m n ，对称后,得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质,显然无论作何种对称变换,抛物线的形状一定不会发生变化,因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则,选择合适的形式,习惯上是先确定原抛物线或表达式已知的抛物线的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与x 轴交点情况：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠,其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时,图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有0y >； 2'当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有0y <．2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交,交点坐标为(0,)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大小值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ,b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置,要数形结合；⑷ 二次函数的图象对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式2(0)++≠本身就是所含ax bx c a字母x的二次函数；下面以0a>时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)2(x-2)2y=3x2y=-2(x-3)2十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1．考查二次函数的定义、性质,有关试题常出现在选择题中,如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点, 则m 的值是2-322．综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为选择题,如：如图,如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内,那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是xA B C D3．考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题出现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3,4,6两点,对称轴为35=x ,求这条抛物线的解析式.4．考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线2y axbx c =++a ≠0与x 轴的两个交点的横坐标是－1、3,与y轴交点的纵坐标是－错误!1确定抛物线的解析式；2用配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.5．考查代数与几何的综合能力,常见的作为专项压轴题. 例题经典由抛物线的位置确定系数的符号例1 1二次函数2y axbx c =++的图像如图1,则点),(ac b M 在A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2已知二次函数y=ax 2+bx+ca ≠0的图象如图2所示,•则下列结论：①a 、b 同号；②当x=1和x=3时,函数值相等；③4a+b=0；④当y=-2时,x 的值只能取0.其中正确的个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个1 2点评弄清抛物线的位置与系数a,b,c 之间的关系,是解决问题的关键．例2.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于点-2,O 、x 1,0,且1<x 1<2,与y 轴的正半轴的交点在点O,2的下方．下列结论：①a<b<0；②2a+c>O；③4a+c<O；④2a -b+1>O,其中正确结论的个数为 A 1个 B. 2个 C. 3个 D ．4个会用待定系数法求二次函数解析式例3.已知：x 的一元二次方程ax 2+bx+c=3的一个根为x=-2,且二次函数y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线x=2,则抛物线的顶点坐标为A2,-3 B.2,1 C2,3 D ．3,2例4、如图单位：m,等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动,直到AB 与CD 重合．设x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2．1写出y 与x 的关系式； 2当x=2,时,y 分别是多少 3当重叠部分的面积是正方形面积的一半时, 三角形移动了多长时间求抛物线顶点坐标、对称轴.例5、已知抛物线y=12x 2+x-52．1用配方法求它的顶点坐标和对称轴．2若该抛物线与x 轴的两个交点为A 、B,求线段AB 的长．点评本题1是对二次函数的“基本方法”的考查,第2问主要考查二次函数与一元二次方程的关系．例6.已知：二次函数y=ax 2-b+1x-3a 的图象经过点P4,10,交x 轴于)0,(1x A ,)0,(2x B 两点)(21x x ,交y 轴负半轴于C 点,且满足3AO=OB ．1求二次函数的解析式；2在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角∠MCO>∠A CO 若存在,请你求出M 点的横坐标的取值范围；若不存在,请你说明理由．1的图象经过点Ac,－2,例7、“已知函数c+=2y+xbx求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3.”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字.1根据已知和结论中现有的信息,你能否求出题中的二次函数解析式若能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；若不能,请说明理由.2请你根据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整.点评：对于第1小题,要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原来的结论“函数图象的对称轴是x=3”当作已知来用,再结合条件“图象经过点Ac,－2”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式.对于第2小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第1小题中的解析式就可以了.而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等.用二次函数解决最值问题例1 某产品每件成本10元,试销阶段每件产品的销售价x元•与产品的日销售量y 件之间的关系如下表：x元1523…y件2521…若日销售量y是销售价x的一次函数．1求出日销售量y件与销售价x元的函数关系式；2要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元•此时每日销售利润是多少元点评解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区别,主要有两点：1设未知数在“当某某为何值时,什么最大或最小、最省”的设问中,•“某某”要设为自变量,“什么”要设为函数；2•问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程．例2.你知道吗平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图所示,正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距为4 m,距地面均为1m,学生丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1m、2．5 m处．绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1．5 m,则学生丁的身高为建立的平面直角坐标系如右图所示A．1．5 m B．1．625 mC．1．66 m D．1．67 m分析：本题考查二次函数的应用第二十三章旋转一、旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转,其中O 叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.2、性质1对应点到旋转中心的距离相等.2对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个点就是它的对称中心.2、性质1中心对称的两个图形是全等形.2中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分.3中心对称的两个图形,对应线段平行或在同一直线上且相等.3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形这一点对称.4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°,如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合,那么这个图形叫做中心对称图形,这个店就是它的对称中心.考点五、坐标系中对称点的特征 3分1、原点对称的点的特征两个点原点对称时,它们的坐标的符号相反,即点Px,y原点的对称点为P’-x,-y2、x轴对称的点的特征两个点x轴对称时,它们的坐标中,x相等,y的符号相反,即点Px,yx轴的对称点为P’x,-y3、y轴对称的点的特征两个点y轴对称时,它们的坐标中,y相等,x的符号相反,即点Px,yy轴的对称点为P’-x,y第二十四章圆一、知识回顾圆的周长： C=2πr或C=πd、圆的面积：S=πr2圆环面积计算方法：S=πR2-πr2或S=πR2-r2R 是大圆半径,r 是小圆半径二、知识要点一、圆的概念集合形式的概念： 1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合；2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合；3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心,定长为半径的圆；固定的端点O 为圆心.连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫直径.圆上任意两点之间的部分叫做圆弧,简称弧.2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线；3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线；5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线. 二、点与圆的位置关系1、点在圆内 ⇒ d r < ⇒ 点C在圆内；A2、点在圆上⇒d r=⇒点B在圆上；3、点在圆外⇒d r>⇒点A在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离⇒d r>⇒无交点；2、直线与圆相切⇒d r=⇒有一个交点；3、直线与圆相交⇒d r<⇒有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1⇒无交点⇒d R r>+；外切图2⇒有一个交点⇒d R r=+；相交图3⇒有两个交点⇒R r d R r-<<+；内切图4⇒有一个交点⇒d R r=-；内含图5⇒无交点⇒d R r<-；图4图5五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧.推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；2弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理,简称2推3定理：此定理中共5个结论中,只要知道其中2个即可推出其它3个结论,即：①AB 是直径 ②AB CD ⊥ ③CE DE = ④ 弧BC =弧BD ⑤ 弧AC =弧AD中任意2个条件推出其他3个结论. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等.即：在⊙O 中,∵AB ∥CD∴弧AC =弧BD六、圆心角定理顶点到圆心的角,叫圆心角.圆心角定理：同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弦相等,所对的弧相等,弦心距相等. 此定理也称1推3定理,即上述四个结论中,BD只要知道其中的1个相等,则可以推出其它的3个结论,即：①AOB DOE ∠=∠；②AB DE =；③OC OF =；④ 弧BA =弧BD七、圆周角定理顶点在圆上,并且两边都与圆相交的角,叫圆周角. 1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半.即：∵AOB ∠和ACB ∠是弧AB 所对的圆心角和圆周角 ∴2AOB ACB ∠=∠2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在⊙O 中,∵C ∠、D ∠都是所对的圆周角 ∴C D ∠=∠推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆,所对的弦是直径.即：在⊙O 中,∵AB 是直径或∵90C ∠=︒∴90C ∠=︒ ∴AB 是直径BA推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形. 即：在△ABC 中,∵OC OA OB ==∴△ABC 是直角三角形或90C ∠=︒注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理.八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补,外角等于它的内对角.即：在⊙O 中,∵四边形ABCD 是内接四边形∴180C BAD ∠+∠=︒ 180B D ∠+∠=︒DAE C ∠=∠九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；两个条件：过半径外端且垂直半径,二者缺一不可即：∵MN OA ⊥且MN 过半径OA外端∴MN 是⊙O 的切线 2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点.BAO推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心. 以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线,三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交,交点分得的两条线段的乘积相等.即：在⊙O 中,∵弦AB 、CD 相交于点P , ∴PA PB PC PD ⋅=⋅2推论：如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项.即：在⊙O 中,∵直径AB CD ⊥, ∴2CE AE BE =⋅DBA3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项.即：在⊙O 中,∵PA 是切线,PB 是割线 ∴ 2PA PC PB =⋅4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图. 即：在⊙O 中,∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ⋅=⋅十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦. 如图：12O O 垂直平分AB .即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点 ∴12O O 垂直平分AB十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：12Rt O O C ∆中,221ABCO ==2外公切线长：2CO 是半径之差；内公切线长：2CO 是半径之和 .十四、圆内正多边形的计算。

九年级上册数学各章节知识点总结(最新最全)

九年级上册数学各章节知识点总结(最新
最全)
1. 有理数与整式有理数与整式
- 有理数的概念及表示方法
- 有理数的大小比较
- 有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则
- 整式的定义和基本运算
2. 方程与不等式方程与不等式
- 一元一次方程的概念、解法及应用
- 恒等方程和条件方程
- 一元一次不等式的概念及解法
- 一元一次方程与不等式的综合应用
3. 函数与图像函数与图像
- 函数的概念及表示
- 函数的增减性和奇偶性
- 函数的概率和函数的平移、翻折、对称变换
- 函数图像的特点和简单的函数图像绘制
4. 图形的性质图形的性质
- 平行线与相交线
- 三角形的定义及分类
- 三角形的性质与判定
- 常见四边形的性质及判定
5. 相似与全等相似与全等
- 相似的概念及相似三角形的判定
- 相似比的计算
- 全等的概念及全等三角形的判定
- 全等三角形的性质和应用
6. 三角函数三角函数
- 角的概念及角的度量
- 反义函数、同角三角函数特殊值
- 三角函数的图像
- 三角函数的性质及简单的计算与应用7. 圆圆
- 圆的定义和性质
- 圆上的弧和弦
- 切线与圆的位置关系
- 圆的周长和面积的计算
以上是九年级上册数学各章节知识点的总结，请根据具体情况进行查阅和复习。

最全数学九年级上册重点知识点

最全数学九年级上册重点知识点（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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九年级上册数学复习知识点

九年级上册数学复习知识点一、代数与方程式1. 一元一次方程式1.1 解一元一次方程式的基本方法1.2 利用一元一次方程式解实际问题2. 二元一次方程式2.1 消元法解二元一次方程式2.2 代入法解二元一次方程式2.3 应用解二元一次方程式的方法解实际问题3. 不等式3.1 线性不等式的解及图示3.2 用不等式表示实际问题，并求解4. 平方根与平方差4.1 定义和性质4.2 求解平方根的方法4.3 解平方差的方法5. 平方根与二次方程5.1 二次方程的定义和性质 5.2 二次方程的解及图示5.3 利用二次方程解实际问题二、几何1. 平面图形1.1 三角形及其性质1.2 四边形及其性质1.3 多边形及其性质2. 圆与圆周角2.1 圆的定义和性质2.2 圆周角的定义和计算3. 相似与全等3.1 相似三角形的性质及判定3.2 全等三角形的性质及判定4. 三视图与投影4.1 顶视图、正视图和侧视图的概念 4.2 通过三视图还原物体的形状和尺寸5. 三角函数5.1 正弦、余弦和正切的概念及计算 5.2 利用三角函数解实际问题三、数据与统计1. 数据的整理和分析1.1 数据的收集和整理方法1.2 数据的图示和分析方式2. 概率与事件2.1 事件的概念和性质2.2 用树状图表示事件的组合和概率3. 线段与角度的测量3.1 利用直尺和量角器测量线段和角度 3.2 利用比例关系计算线段和角度的长度四、函数与图像1. 函数的概念与性质1.1 定义和符号化1.2 函数的性质及分类2. 一元一次函数2.1 函数关系及表达式的表示2.2 函数的图像和性质3. 一元二次函数3.1 函数关系及表达式的表示 3.2 函数的图像和性质4. 特殊函数的图像4.1 绝对值函数的图像和性质 4.2 反比例函数的图像和性质五、立体几何1. 空间图形的表示1.1 空间图形的名称和性质 1.2 空间图形的展开图2. 空间几何体的计算2.1 空间几何体的表面积计算2.2 空间几何体的体积计算3. 空间几何体的相交关系3.1 空间几何体的轴对称关系3.2 利用空间几何体的相交关系解实际问题六、整式与分式1. 整式的加减乘除1.1 整式的加减法运算1.2 整式的乘法运算1.3 整式的除法运算2. 分式的加减乘除2.1 分式的加减法运算2.2 分式的乘法运算2.3 分式的除法运算3. 整式与分式的应用3.1 利用整式解实际问题3.2 利用分式解实际问题以上是九年级上册数学的复习知识点，通过系统地了解和掌握这些知识点，可以有效提高数学学科的学习成绩，为下一阶段的学习打下坚实的基础。

九年级数学上册重要知识点总结(推荐4篇)

九年级数学上册重要知识点总结(推荐4篇)九年级数学上册重要知识点总结第1篇1、一元二次方程：在整式方程中，只含个未知数，并且未知数的最高次数是的方程叫做一元二次方程。

一元二次方程的一般形式是（ )。

其中（）叫做二次项，（）叫做一次项，（）叫做常数项；（）叫做二次项的系数，( ）叫做一次项的系数。

2、易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中。

（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式。

（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负。

九年级数学上册重要知识点总结第2篇I.定义与定义表达式一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+ca，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下，IaI还可以决定开口大小，IaI越大开口就越小，IaI越小开口就越大，则称y为x的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a（x-x)(x-x ） [仅限于与x轴有交点A(x ，0)和 B(x，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2aIII.二次函数的图像在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。

九年级数学上册重要知识点总结第3篇（三角形中位线的定理）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

（平行四边形的性质）①平行四边形的对边相等；②平行四边形的对角相等；③平行四边形的对角线互相平分。

（矩形的性质）①矩形具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等。

九年级数学上册知识点总结

九年级数学上册知识点总结• 1.一元二次方程:等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次).•一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)•二次项：ax2•二次项系数：a•一次项：bx•一次项系数:b•常数项：c• 2.一元二次方程的根：一元二次方程的解类型相同点未知数最高次数例子一元一次方程都是整式11ax+c=0 一元二次方程12ax 2+bx+c=0 二元一次方程21ax+by+c=0•一元二次方程的解法：• 1.配方法• 2.公式法• 3.因式分解法1.解一元二次方程（降次）的方法：1.1配方法配方原理：完全平方公式x 2=a a≥0 x =±a步骤:化一般形式二次项系数化为1等号两边同时加（b2)2左边写成（x+b 2)2的形式.2;2)()(222222b a b ab a b a ab ab −+=+−=++完全平方公式：.22p n mx p x p p n mx x ±=+±===+或那么可得的形式，或如果方程能化成）（(2)x 2＋2 x ＋5=0(3)x 2-6x-7=0例2 解下列方程:(1)x 2＋6x+9=15第21章一元二次方程• 3.2公式法•步骤：Δ≤0，无实数根化成一般形式判别式Δ=b 2-4acΔ≥0, 两实根x=−b±b 2−4ac 2aΔ=0时，两实根相等20ax bx c ++=(a≠0)用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。

用公式法解一元二次方程的一般步骤：242b b acx a−±−∴=3、代入求根公式:2、求出的值，24b ac −1、把方程化成一般形式，并写出的值。

a b 、、c 4、写出方程的解：12x x 、特别注意:当时无解240b ac −<例1 解方程：27180x x −−=解：1292x x ==−242b b ac x a−±−=1718a b c ==−=−22474118121b ac −=−−⨯⨯=（）（）>0方程有两个不等的实数根242b b acx a−±−∴=211712121)7(±=⨯±−−=2022/4/23用公式法解下列方程：（1）2x 2-9x+8=0;（2）9x 2+6x+1=0;（3）16x 2+8x=3.• 3.3因式分解法：先进行因式分解,使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次因式分别等于零,从而实现降次,这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法•注意三个公式的使用：•a2+b2+2ab=（a+b)2•a2+b2-2ab = (a-b)2•a2-b2=(a+b)(a-b)•3.3因式分解法•x2-3x=x（x-3）•y2-36=y2-62= （y+6）×（y-6）•x2-4x+4=（x-2）2•因式分解法解一元二次方程的一般步骤：• 1.通过移项将方程右边化为0；• 2.将方程左边分解成两个一次因式的乘积；• 3.令每个因式为0，得到两个一元一次方程；• 4.分别求出两个方程的解，就得到一元二次方程的解.第21章一元二次方程•4.根与系数的关系（韦达定理）：x 1+x 2=－b a x 1∙x 2=c a •5.实际问题：(21.3节，19页）•5.1传染问题：•5.2增长（降低）率问题：• 5.3矩形（其他图形）面积问题：•5.1 传染问题•例题1：有一个人患了流感,经过两轮传染后有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?•分析:设每轮传染中平均一个人传染了x人•开始有一人患了流感, 第一轮的传染源•第一轮:他传染了x人,第一轮后共有x+1 人患了流感.•第一轮后共有x+1 人患了流感. 第二轮的传染源•第二轮:这些人中的每个人都又传染了x人,•第二轮后共有1+x+x(x+1)=(x+1)2 人患了流感.•1+x+x(x+1)=121 x=10;x=-1如果按照这样的传染速度，三轮传染后有多少人患流感？3.甲型流感病毒的传染性极强，某地因1人患了甲型流感没有及时隔离治疗，经过两天的传染后共有9人患了甲型流感，每天平均一个人传染了几人？如果按照这个传染速度，再经过5天的传染后，这个地区一共将会有多少人患甲型流感？解：设每天平均一个人传染了x 人。

九年级上册数学知识点详解

第一章实数一、重要概念 1.数的分类及概念数系表：说明："分类"的原则：1)相称(不重、不漏) 2)有标准2.非负数：正实数与零的统称。

(表为：x≥0)性质：若干个非负数的和为0，则每个非负数均为0。

3.倒数：①定义及表示法②性质：A.a≠1/a(a≠±1);B.1/a中，a≠0;C.01;a>1时，1/a<1;D.积为1。

4.相反数：①定义及表示法②性质：A.a≠0时，a≠-a;B.a与-a在数轴上的位置;C.和为0,商为-1。

5.数轴：①定义("三要素")②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一对应关系。

6.奇数、偶数、质数、合数(正整数-自然数)定义及表示：奇数：2n-1偶数：2n(n为自然数)7.绝对值：①定义(两种)：代数定义：几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。

②│a│≥0,符号"││"是"非负数"的标志;③数a的绝对值只有一个;④处理任何类型的题目，只要其中有"││"出现，其关键一步是去掉"││"符号。

二、实数的运算1. 运算法则(加、减、乘、除、乘方、开方)2. 运算定律(五个-加法[乘法]交换律、结合律;[乘法对加法的]分配律)3. 运算顺序：A.高级运算到低级运算;B.(同级运算)从"左" 到"右"(如5÷×5);C.(有括号时)由"小"到"中"到"大"。

三、应用举例(略)附：典型例题1. 已知：a、b、x在数轴上的位置如下图，求证：│x-a│+│x-b│=b-a.2.已知：a-b=-2且ab<0，(a≠0，b≠0)，判断a、b的符号。

九年级上册知识点大全数学

九年级上册知识点大全数学一、有理数1. 整数的概念和性质2. 正负数的比较和大小3. 有理数的加减法运算4. 有理数的乘法运算5. 有理数的除法运算6. 有理数的混合运算7. 有理数的运算定律二、代数式与方程式1. 代数式的定义和性质2. 代数式的加减法运算3. 代数式的乘法运算4. 一元一次方程的概念和解法5. 一元一次方程的应用6. 一元一次方程组的概念和解法7. 一元一次方程组的应用三、几何图形1. 点、线、面的概念2. 平行线和垂直线的性质3. 三角形的分类和性质4. 四边形的分类和性质5. 五线图形的分类和性质6. 直角三角形和勾股定理7. 圆的概念和性质四、图形的相似与等腰三角形1. 图形的相似性判定2. 相似三角形的性质和判定3. 图形的放缩与相似比例4. 等腰三角形的概念和性质5. 等腰三角形的判定和性质应用五、数列与函数1. 数列的概念和性质2. 数列的通项公式和前n项和公式3. 等差数列与等差数列的求和公式4. 等比数列与等比数列的求和公式5. 函数的概念和性质6. 一次函数和一次函数图像7. 一次函数的斜率和截距六、数据统计与概率1. 统计调查和数据收集2. 数据的整理、分析和展示3. 平均数和中位数的计算4. 概率的基本概念和计算5. 事件的概率与互斥事件6. 概率分布和频率分布7. 抽样和抽样调查在九年级上册数学学习中，这些知识点的掌握对于解决数学问题和应用数学知识具有重要意义。

通过对整数、代数式和方程式、几何图形、相似与等腰三角形、数列与函数、数据统计与概率等知识的学习，可以锻炼学生的逻辑思维能力、问题解决能力和数学运算技巧。

同时，在学习的过程中，要注意理论与实践的结合，通过大量的练习和实际问题的应用，培养学生的数学思维和实际解决问题的能力。

此外，在学习数学的过程中，要注重培养学生的数学思维方法和逻辑推理能力，提高解决问题的能力和创新意识。

九年级上册数学知识点的掌握将为学生在中学和高中的数学学习打下坚实的基础，为今后对数学的深入研究和应用打下良好的基础。