晶格的周期性
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任一格矢 Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 ，
如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基a1 、a2 和 a3
为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可 以有多种不同的选择方式。
8
3. 原胞
空间点阵原胞 • 空间点阵最小的重复单元 • 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 • 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法 （ Wigner-Seitz原胞），但原胞的体积均相等
体积
V
a1 a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
16
bcc原胞示意图
17
fcc 晶胞：
a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 4
18
原胞：
a1
a 2
(i
பைடு நூலகம்
j
)
基矢
a2
a 2
(
j
k
)
体积
a3
hcp
c 1.633 a1
20
(b)金刚石结构
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
21
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1
2
22
A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
23
金刚石结构每个固体物理学原胞包
a 2
(k
i
)
V a1 a2 a3
a3 4
原子个数 1
由一个顶点向三个面心引基矢。
19
四、复式晶格的原胞
复式格子的原胞：即是相应简单 晶格的原胞，一个原胞中包含各 种等价原子各一个。
(a) 六角密堆积结构
一个原胞中包含A层和B层原子 各一个，共两个原子。
a1 a2
两者之间的夹角为1200
2 2 2
25
(d)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉伐晶 格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1 个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000) 。
2 2 2
26
(e)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方 子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
27
ai aj
a3 ak
sc
体积 V a3
体积 V a3
14
bcc 晶胞：
a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 2
15
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢 a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
3
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
4
hcp、金刚石是复式晶格
嵌套 ？
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
5
二、基矢和原胞----描述周期性
a2 0 a1
6
7
1. 格矢: Rl 2. 基矢：
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
1 4
1 4
1 4
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
24
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000) 。
例：二维三角晶格
13
三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a
，b
，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
原胞：
a ai 基矢b aj c ak
基矢
a1 a2
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式--周期性。
2. 布拉伐格子(空间点阵） 布拉伐格子：数学上的抽象，是点在空间中周期性的 规则排列,也称空间点阵，或称晶格。
1
格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化 学、物理和几何环境上完全相同。
基元：每一个格点所代表的物理实体。 布拉伐格子一共有14 种。
sc
bcc
fcc
立方晶系的布拉伐格子
2
实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单 晶格。
晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完 全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离 子），那么晶格为复式晶格。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子 组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格 都是复式晶格。
原胞体积： va a1 a2 a3 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
9
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
12
4.晶胞
除了周期性外， 每种晶体还有自己特 殊的对称性。为了同 时反映晶格的对称性， 往往会取最小重复单 元的一倍或几倍的晶 格单位作为原胞。结 晶学中常用这种方法 选取原胞，故称为结 晶学原胞，简称晶胞 （也称为单胞）。
如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基a1 、a2 和 a3
为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可 以有多种不同的选择方式。
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3. 原胞
空间点阵原胞 • 空间点阵最小的重复单元 • 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 • 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法 （ Wigner-Seitz原胞），但原胞的体积均相等
体积
V
a1 a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
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bcc原胞示意图
17
fcc 晶胞：
a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 4
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原胞：
a1
a 2
(i
பைடு நூலகம்
j
)
基矢
a2
a 2
(
j
k
)
体积
a3
hcp
c 1.633 a1
20
(b)金刚石结构
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
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1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1
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A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
23
金刚石结构每个固体物理学原胞包
a 2
(k
i
)
V a1 a2 a3
a3 4
原子个数 1
由一个顶点向三个面心引基矢。
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四、复式晶格的原胞
复式格子的原胞：即是相应简单 晶格的原胞，一个原胞中包含各 种等价原子各一个。
(a) 六角密堆积结构
一个原胞中包含A层和B层原子 各一个，共两个原子。
a1 a2
两者之间的夹角为1200
2 2 2
25
(d)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉伐晶 格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1 个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000) 。
2 2 2
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(e)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方 子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
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ai aj
a3 ak
sc
体积 V a3
体积 V a3
14
bcc 晶胞：
a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 2
15
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢 a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
3
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
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hcp、金刚石是复式晶格
嵌套 ？
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
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二、基矢和原胞----描述周期性
a2 0 a1
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1. 格矢: Rl 2. 基矢：
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
1 4
1 4
1 4
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
24
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000) 。
例：二维三角晶格
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三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a
，b
，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
原胞：
a ai 基矢b aj c ak
基矢
a1 a2
§1.2 晶格的周期性
一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式--周期性。
2. 布拉伐格子(空间点阵） 布拉伐格子：数学上的抽象，是点在空间中周期性的 规则排列,也称空间点阵，或称晶格。
1
格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化 学、物理和几何环境上完全相同。
基元：每一个格点所代表的物理实体。 布拉伐格子一共有14 种。
sc
bcc
fcc
立方晶系的布拉伐格子
2
实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单 晶格。
晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完 全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离 子），那么晶格为复式晶格。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子 组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格 都是复式晶格。
原胞体积： va a1 a2 a3 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
9
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
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4.晶胞
除了周期性外， 每种晶体还有自己特 殊的对称性。为了同 时反映晶格的对称性， 往往会取最小重复单 元的一倍或几倍的晶 格单位作为原胞。结 晶学中常用这种方法 选取原胞，故称为结 晶学原胞，简称晶胞 （也称为单胞）。