晶格的周期性
晶体结构章节要求1掌握晶体的特征晶格周期性的描述
第一章晶体结构（一）章节要求1、 掌握晶体的特征晶格周期性的描述方法：基元、布拉菲格子、原胞、基矢 的概念。
简单格子与复式格子，原胞、晶胞的概念与选取。
常 见晶格结构及其代表晶体。
2、 掌握晶列与晶面，晶向指数与晶面指数（密勒指数）的含义与 确定方法。
3、 掌握倒格子和布里源区的概念，正空间和倒空间的联系和转换,会计算倒格子体积等量4、 熟悉晶体的对称操作、对称素的概念，晶体点群的基本知识。
七大晶系与十四种布拉菲格子。
5、 熟悉晶体衍射理论，会推导劳厄定理和布拉格定理的等价关系6、 理解基于衍射理论的晶体结构计算方法匕4.金刚石结构（二）章节结构 1.长程有序•晶体共性2•自限性和晶面角守恒定律 3. 各向异性 4. 固定熔点 5. 非晶体与准晶体厂1.简单立方晶体结构（sc ）2. 体心立方晶体结构（bcc ）•常见晶体结构3.密堆积-六角密排（hcp ）'面心立方（ccp ）•晶体结构模型化研究：晶体结构 =晶格+基元(转化为晶格研究)-分类：简单格子；复式格子晶格 丿组成：原胞与原胞基矢；晶胞；常见晶体结构的原胞或晶胞描述方法：晶列和晶面指数；晶面和密勒指数广1.晶体的对称性 2•晶体的对称操作和对称元素四•晶体的宏观对称性 S 3.点群和空间群4.七大晶系和十四种布拉菲格子五.晶体结构计算1.布拉格定理2.劳厄定理 3.两者等价(2)倒格子1.倒矢量，倒格矢和倒格子2. 倒矢量和倒格矢的性质1. 布里渊衍射条件⑶布里渊区 Y2.布里渊区：一维，二维，简立方，面心立方，体心立方3. 布里渊区的性质(4)基于衍射理论的晶体结构计算(三)基础知识-、晶体的共性定义内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。
1、长程有序一一晶体中的原子都是按一定规则排列的，这种至少在微米量级范围的有序 排列，称为晶体的长程有序。
晶体可以分为单晶体和多晶体，多晶体是由许多单晶体构成的。
单晶体，在整体范围内原子排列都是规则的。
亚晶格和晶格的区别
亚晶格和晶格的区别亚晶格和晶格是固体物质中的两个重要概念，它们在材料的结构和性质研究中起着关键作用。
本文将从不同的角度探讨亚晶格和晶格的区别。
一、定义和特点晶格是指固体物质中原子、离子或分子按照一定的规律排列形成的空间网络。
晶格具有周期性和对称性，可以用空间群来描述。
晶格结构的研究是固体材料科学的基础。
亚晶格是指晶体中的一些原子、离子或分子在晶格中的一部分位置上具有无序或局部有序的排列。
亚晶格可以是由材料中的缺陷、杂质或其他原因引起的。
亚晶格的存在使得晶体的结构变得复杂，同时也影响了材料的性质。
二、结构和排列方式晶格的结构通常是有序的，原子、离子或分子按照一定的规律排列在空间中，形成周期性的结构。
晶格可以分为立方晶格、六方晶格、四方晶格等不同类型，每种晶格都有特定的结构和对称性。
亚晶格的结构通常是无序或局部有序的。
亚晶格中的原子、离子或分子的排列方式与晶格不同，可能是随机的、局部有序的或呈现出一定的规律性。
亚晶格的存在使得晶体的结构变得复杂，导致晶体的性质发生改变。
三、性质和影响晶格是决定物质性质的重要因素之一。
晶体的结构对其光学、电学、磁学等性质具有重要影响。
晶格的周期性结构使得晶体具有特定的物理性质，如晶体的透明性、导电性、磁性等。
亚晶格的存在对晶体的性质也有重要影响。
由于亚晶格的结构不规则或局部有序，导致晶体的性质发生变化。
亚晶格可能引起晶格畸变、局部应力集中等现象，从而影响材料的力学性能、导电性能等。
四、制备和表征方法晶格的制备通常需要通过晶体生长方法来实现，如溶液法、气相法等。
制备好的晶体可以通过X射线衍射、电子衍射等方法进行结构表征，确定晶格的空间群和晶胞参数。
亚晶格的形成通常是由材料中的缺陷、杂质或其他原因引起的。
亚晶格的存在可能通过透射电子显微镜（TEM）、扫描电子显微镜（SEM）等方法进行观察和表征，了解亚晶格的结构和分布情况。
五、应用和研究领域晶格的研究在材料科学和固体物理学中具有重要意义。
量子力学 2-2-晶格周期性和晶向晶面
非晶：不具有长程序，但具有短程序。
准晶：粒子的排列有序，但不具有平移对称性，具有晶体所 不允许的旋转对称性。
固体物理学将晶体作为主要讨论对象，基本的出发点在于原子 排列周期性。本章主要讨论晶体内部原子的规则排列问题。
3
晶格的概念
•晶体内原子排列的具体方式称为晶体格子，或者简称晶格。
•不同晶体之间，如果原子排列方式不同，我们称为具有不 同晶格。 •不同晶体之间，如果原子排列方式相同，只是原子种类或 间距不同，我们称为具有相同晶格。
Ω = av1 ⋅ (av2 × av3 )
•由于基矢选择的不唯一性，原胞的选择也不是唯一的。但每 一中点阵都有约定的基矢和原胞选择方式。
19
基矢和原胞选择的非唯一性，但通常选择（1）。 20
立方晶格的原胞
•对于简单晶格（=布拉菲点阵）而言，一个原胞只包含一个原子。
简单立方晶格（sc）
k
体心立方（bcc）
复式晶格：包括两种或更多种不等价的原子（或离子）。包 括化学性质不等价和几何位置不等价。
例如：六角密排结构；金刚石结构； <几何位置不等价> 例如：NaCl结构；CsCl结构；闪锌矿结构 <化学性质不等价>
复式晶格可以看作各等价原子组成的晶格互相穿套而成的。
6
第二讲 固体结构
一些晶格实例（自己看） 简单与复式晶格 晶格周期性的几何描述 晶列和晶面 倒点阵 晶格宏观对称性和晶格分类
7
晶体最本质的特征是其结构的周期性或者平移对称 性。固体理论特别强调晶格的周期性。
晶格周期性的两种描述方法：
基元和点阵（布拉菲格子） 基矢和原胞
8
基元和点阵
一个实际晶格包含的原子可以是完全等价的（简单晶格）， 也可以是不完全等价的（复式晶格）。 无论是简单晶格还是复式晶格，都能找到一个最小的完全 等价的结构单元，一个理想的晶体可由这个全同的结构单元 在空间无限周期重复而得到。这个基本结构单元称为基元。
晶格晶胞晶粒晶界的概念
晶格晶胞晶粒晶界的概念
晶格是指结晶体内的原子、离子或分子按照一定规律有序排列的空间结构。
晶格是一种周期性的空间结构，由于原子或离子之间的相互作用力和排布的规则导致晶格具有类似于周期函数的性质。
晶胞是指晶体中最基本、最小的重复结构单位，它由若干晶格点和晶格相交的一组截面（通常称为晶面）所围成。
通常情况下，晶胞是正多面体，每个晶胞具有完全相同的组成和形状。
晶格由若干相互平移的晶胞组成，每个晶胞都能够描绘整个晶体的结构。
晶粒是由同一种或不同种的晶体单元构成的微观颗粒，它们在固体中以一定方式排列。
一个晶粒内部的各向同性的晶格常被描述为单一晶体，但一个晶体内可能含有许多晶粒。
晶界是晶粒之间的界面或界面区域，它是由于在实际晶体生长、加工或变形过程中，晶体内部出现了一定的差异而产生的。
晶界上的晶格有序性并不像单个晶格那样，因为它们由不同的晶粒组成，并且在这些晶粒的交界处，其晶格和周期性结构向相互交接。
晶体的周期性名词解释
晶体的周期性名词解释晶体是物质的一种状态，其内部结构呈现高度有序的排列。
晶体由大量原子、离子或分子按照一定的规律组织而成，其周期性结构是晶体的一个重要特征。
本文将从晶体周期性、晶格、晶胞和晶系四个方面进行解释。
晶体周期性晶体的周期性是指晶体内部的结构和性质在空间上重复出现的规律性。
通过观察晶体，我们可以发现一系列重复的结构单元，这些结构单元被称为晶胞。
晶体周期性的存在使得物质的一些性质如电导率、热导率和光学性质等呈现出明显的规律性。
晶格晶格是晶体内部的一个空间排列，描述了晶体原子、离子或分子的有序性和周期性。
晶格的基本单位是晶胞，晶胞中的原子、离子或分子按照一定的规则排列。
晶格具有三个独立参数，分别是晶胞的边长a、b、c，以及三个晶胞之间的夹角α、β、γ。
通过调整这些参数的数值，可以获得不同的晶格结构。
晶胞晶胞是晶体中的最小重复单元。
晶体的周期性结构可以通过晶胞来描述。
晶胞通常由一组原子、离子或分子构成，并按照一定的几何规则排列。
晶胞的形状可以是立方体、四面体、六面体等各种多边形。
晶体的性质和结构可以通过晶胞内的原子、离子或分子的位置和类型来确定。
晶系晶系是描述晶体内部结构的一个分类系统。
根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系，可以将晶体分为七个晶系：立方晶系、四方晶系、正交晶系、单斜晶系、菱方晶系、三斜晶系和六角晶系。
不同的晶系具有不同的晶胞形状和晶胞参数，这决定了晶体的对称性和性质。
总结晶体的周期性是晶体结构和性质规律性的基础，晶格、晶胞和晶系是解释晶体周期性的重要概念。
晶胞是晶体内部最小重复单元，晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系决定了晶体的对称性和性质。
晶系则是对晶体进行分类的系统，根据晶胞的几何形状和晶格参数的数值关系将晶体分为七个晶系。
通过深入理解晶体周期性名词的解释，我们可以更好地认识晶体的结构和性质。
晶体学作为一门重要的学科，不仅在材料科学、固体物理等领域具有广泛的应用，还为我们认识自然界中的多种物质提供了有力的工具和方法。
固体物理 第一章 晶体结构 晶格的周期性
Ch1晶体结构 1.2晶格的周期性
1
前课回顾
• 什么是晶格？什么是基元？ • 常见的晶格结构？
2
本节内容
• 晶格具有周期性，用原胞和基矢描述。 • 原胞：一个晶格最小的重复单元。 • 晶体学单胞（晶胞）：反映晶格对称性，选取较大的
周期单元。
• 基矢：原胞或晶胞的边矢量，α1、α2、α3 。 • 简立方、面心立方、体心立方、六角密堆积的原胞、
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晶向、晶面和它们的标志
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本课小结
晶体结构=晶格+基元 布拉维格子、基矢、格矢、格点 原胞，晶体中体积最小的周期性重复单元 维格纳-塞茨(WS)原胞及其构造方法 常见的布拉维格子及其WS原胞
原胞是晶体中体积最小的周期性重复单元，常取 以基矢为棱边的平行六面体； 对某一晶格，尽管习惯上常取三个不共面的最短 格矢为基矢，但基矢的取法并不唯一，因此原胞 的取法也不唯一。
无论如何选取，原 胞都具有相同的体 积，每个原胞只含 有一个格点。
1.2 晶格的周期性、晶向晶面
a a1 2 a a 2 2 a a 3 2
i jk
Leabharlann i j k i jk
2. 简单晶格和复式晶格 简单晶格：每一个原胞只有一个原子 晶格中所有原子是完全等价的 bcc结构的碱金属、fcc结构的Au、Ag、Cu 复式晶格：每一个原胞包含两个或更多原子 晶格中存在两种或更多种等价的原子或离子 NaCl结构、六角密排结构、金刚石结构、 CsCl结构、ZnS结构
立方晶格的(100)、(110)、(111)面
(101)
写 出 晶 面 指 数
(122) (122)
可以证明，简单立方晶格中的一个晶面的 密勒指数和晶面法线的晶向指数完全相同
与立方边[100]、面对角线[110]、体对角线[111] 垂直的分别就是(100)、(110)、(111)面
等效晶面用花括号表示，如{100}、{111}、{110} 它们可用正立方体、正八面体、十二面体表示出来
同一格子可以形成方向不同的晶列
如果从一个格点沿晶列方向到最近邻格点的位移 矢量为 l1a1+l2a2+l3a3 晶向就用l1、l2、l3来标志，写成 [l1 l2 l3]，称为 晶向指数
负指数用头顶上一横表示
用〈 l1 l2 l3 〉表示一组对称的晶向
[111]
立方晶格中的 [100]、[110] 和 [111] 晶向
表示一个空间格子（点阵）
一组 l1、l2、l3 的取值表示格子中的一个格点 这个空间格子表征了晶格的周期性，称为布拉伐格子 Bravais lattice
晶格被抽象成格点构成的几何结构
Cu金属的面心立方晶格 Si的金刚石晶格 NaCl晶格
结晶现象知识点总结
结晶现象知识点总结结晶是物质从溶解状态向固态状态转变的过程，在自然界和生活中都是非常常见的现象。
从雪花到盐晶，从钻石到岩石，结晶现象无处不在。
结晶现象的基本原理和规律对于化学、地质、物理等领域的研究有着重要的意义。
本文将结合化学、物理等多个领域的知识，对结晶现象进行深入的总结和探讨。
一、结晶现象的基本概念1. 结晶的概念结晶是指物质由溶解状态转变为具有有序结构的固态状态的过程。
在结晶过程中，原子、离子或分子以一定的方式排列成晶格，形成晶体的结构。
结晶是物质从液态或气态到固态的一种相变过程，也是物质从高能状态向低能状态转变的过程。
2. 结晶的特征结晶具有以下几个特征：（1）有序性：结晶物质中的原子、离子或分子按规则排列成晶格，具有一定的空间有序性；（2）周期性：晶格具有周期性，即晶体中的相邻晶胞之间存在一定的周期性相互关系；（3）绝对整体性：结晶物质具有一定的整体性，不同晶体之间存在显著的差异，晶体的结构和性质在一定程度上能够确定其是何种物质。
3. 结晶的分类根据结晶物质的化学性质和形态特征，结晶可以分为无机结晶和有机结晶、单晶和多晶等不同类型。
同时，根据结晶形态的差异，结晶可以分为板状晶体、柱状晶体、粒状晶体等不同形态。
二、结晶现象的基本原理1. 结晶的热力学基础热力学是研究物质的热现象与能量转化关系的科学，热力学定律对于解释结晶现象具有重要的意义。
结晶是物质从高能状态向低能状态转变的过程，在热力学上属于放热过程。
2. 结晶的动力学基础动力学是研究物质在不同条件下的变化规律的科学，动力学理论对于揭示结晶过程的热力学条件具有重要的意义。
结晶过程是一个动力学过程，受温度、压力、溶液浓度等外界条件的影响。
3. 结晶的晶体学基础晶体学是研究晶体结构和性质的科学，晶体学的理论对于揭示结晶现象的内在原理具有重要的意义。
晶体学理论揭示了晶体内部的空间有序性和周期性相互关系，为研究结晶现象提供了重要的理论基础。
晶体的认识
晶体的认识
晶体是一种固态物质，其分子、原子或离子按照一定的规律排列而形成的具有有序结构的晶格。
晶体具有一系列特定的物理、化学和光学性质，对于科学、工程和技术领域都具有重要的意义。
1.结构特征：
有序排列：晶体内部的原子、分子或离子按照规则排列成三维结构，形成紧密有序的晶格。
周期性结构：晶体结构具有周期性，即晶胞结构会在三个方向上不断重复。
各向同性：晶体的性质在各个方向上基本上是相同的，具有各向同性的特点。
2.形成与生长：
凝固过程：晶体通常是在液态物质凝固时形成的，根据条件的不同，可以形成不同形态的晶体。
生长过程：晶体的生长是晶体原子或分子逐渐在晶体表面上沉积并排列，逐渐扩大晶体尺寸的过程。
3.物理性质：
光学性质：晶体具有各向异性，对于光的传播有一定的影响，因此在光学器件中具有广泛的应用。
热学性质：晶体的热传导、热膨胀等性质因晶格结构而异，影响材料的热学性能。
电学性质：某些晶体表现出特定的电学行为，如电介质、半导体和导体等。
4.应用与意义：
材料工程：晶体材料在材料科学和工程中具有广泛的应用，如半导体、光电子器件等。
地球科学：晶体矿物是地球科学中研究地壳结构和地球演化的重要对象。
化学合成：某些晶体结构被用于设计新型的化学反应和合成方法。
晶体的研究涉及多个领域，其特殊的结构和性质使其在科学研究、工程应用和技术创新中发挥着重要作用。
晶格的周期性
例：二维三角晶格
13
三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a
，b
，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
原胞：
a ai 基矢b aj c ak
基矢
a1 a2
原胞体积： va a1 a2 a3 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
9
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
12
4.晶胞
除了周期性外，每 种晶体还有自己特殊的 对称性。为了同时反映 晶格的对称性，往往会 取最小重复单元的一倍 或几倍的晶格单位作为 原胞。结晶学中常用这 种方法选取原胞，故称 为结晶学原胞，简称晶 胞（也称为单胞）。
2 2 2
26
(e)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方
子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
27
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
1 4
1 4
1 4
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
24
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000) 。
固体物理1-2晶体的周期性
②平行六面体形原胞 — 固体物理学原胞，有时难 反映晶格的全部宏观对称性→Wigner-Seitz 取法
Wigner-Seitz原胞（对称原胞）—— 由某 一个格点为中心做出最近各点和次 近各点连线 的中垂面，这些包围的空间为维格纳—塞茨原 胞
vvv i j k
ar2
a 2
vvv i jk
ar3
a 2
vvv i jk
体心立方晶格的原胞
原胞
av1
av2
av3
a3 2
1 原胞 2 bcc
bcc
a1 a2
0
a3
∴只包含一个原子 → 因而为最小周期性单元
原胞：
基矢
av1 av2
a 2 a 2
r (i
r (i
v j
晶胞的特点：
（1）晶胞的选择反映晶体的对称性， （2）晶胞中格点不仅出现在顶角上，还会出现在体心或面心 （3）晶胞体积为原胞体积的整数倍， （4）每个晶胞中平均包含不止1个格点。
sc
sc 格子的一个立方单元 体积中含的原子数：1
sc格子的立方单元是最小 的周期性单元 — 选取其 本身为原胞。
由立方体的顶点到三个近 邻的格点引三个基矢：
v j
v k)
v k)
av3
Байду номын сангаас
a 2
r (i
v j
v k)
体积
V
av1 av2
av3
a3 2
原子个数 1
计算晶格能的公式
计算晶格能的公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：晶格能是物质晶体在晶格中的正则排列所具有的能量。
其计算是固体物理学中的基本问题之一，对于研究物质的性质和行为具有重要意义。
晶格能的计算可以通过一些理论方法和数学公式来进行，下面我们就来详细介绍一下计算晶格能的公式。
在固体物理学中，晶格能的计算一般基于以下几个假设和原理：1. 原子间作用力：晶体内部的原子通过范德华力、键合力和库伦力等相互作用力相互作用，在晶格中形成一种稳定的排列结构。
这些相互作用力的数学表达形式可以用势能函数来表示。
2. 晶格的周期性：晶体的结构是由原子周期性排列而成的，因此晶格的能量也是具有周期性的。
3. 电子能带结构：固体物质中的电子会形成能带结构，具有能带理论对晶体的结构和性质研究起到了关键作用。
计算晶格能的公式主要取决于具体的晶体结构和晶格类型。
对于简单晶格结构如离子晶体或金属晶体，其晶格能可以通过以下方式来计算：1. 点阵能量：对于离子晶体，可以采用静电相互作用来计算晶格能。
晶格能E可以表示为：E = \sum_{i=1}^{N} \frac{C}{r_i}其中N为晶格中离子的个数，r_i为离子之间的距离，C为一个常数。
这个公式表明晶格能与离子之间的距离成反比关系。
2. 离子晶体的结合能：对于NaCl等晶体，其结合能可以表示为：其中N为晶格中离子的个数，e为元电荷，\epsilon_0为真空介电常数，r_0为相邻离子之间的距离。
通过上述公式，我们可以计算不同晶体结构中的晶格能，从而进一步研究物质的性质和行为。
晶格能的计算还受到许多因素的影响，如晶体的形状、温度、压力等。
需要综合考虑多种因素来获得准确的晶格能值。
计算晶格能的公式是固体物理学研究的基础，通过对晶格能的计算可以更深入地了解物质的结构和性质。
随着理论和计算方法的不断发展，我们有望进一步提高对晶格能的计算精度，为物质科学的发展做出更大的贡献。
希望以上介绍对您有所帮助，谢谢阅读！第二篇示例：晶格能是指晶体内原子之间的相互作用能量，是描述晶体结构稳定性的重要参数之一。
第一-五章小结
2 n Aei[t ( 2 na) q ]
2 n 1 Be
i[t ( 2 n 1) aq ]
[声学波和光学波]
2
mM 4mM {1 [1 sin2 aq]1 / 2 } mM (m M )2
2
mM 4mM {1 [1 sin 2 aq]1/ 2 } mM (m M ) 2
氢原子和负 电性很大的 原子（O、F、 N、Cl）结合 形成一个构 造基元。
较强 ～1ev/ 键
分 子 晶 体 氢 键 晶 体
范德瓦尔斯键： 由偶极矩的作用 聚合
弱 ～0.1ev/ 键
氢键：氢原子的电 子参与形成共价键 后，裸露的氢核与 另一负电性较大的 原子通过静电作用 相互结合。
冰 H2 F H2 N
ω＋对应的格波称为光学波（optic wave）或光学支（optic branch) ；ω－对应的格波称为声学波(acoustic wave)或声学 支（acoustic branch） [对色散关系的讨论] 1. [ω＋ 与ω－ 都是q 的周期函数]
(q ) (q)
4. 晶体的对称性 • 晶体的对称性是指经过某种操作之后晶体自身重合（晶格整体 不变）的性质，这种操作就是对称操作，对称操作数目多的晶 体称为对称性高。 • 点对称操作是指旋转、反演后晶体不变，反映晶体的宏观对称 性。晶体中的旋转对称只能是1，2，3，4，6度轴。在数学上 用点群描述晶体宏观对称性，共有32种点群。 5. 七个晶系和十四个布拉菲格子 • 根据对称性可将反映周期性的布拉菲格子分为七类，即七个晶 系（因为晶胞反映对称性，故也可以说是根据晶胞基矢情况将 晶体分为七个晶系），每个晶系可有不止一个布拉菲原胞，使 得七个晶系共有14种布拉菲格子。
固体物理
方体中包含3个不等价的氧原子、1个Ba原子和1个Ti原
子，共5个原子。
必须注意： 即使是元素晶体，所有原子具有相同的化学性质，
但是当它们在晶格中占据的位置在几何上不等价时，也
可以是复式晶格。
如：具有六方密排晶格结构的Be、Mg、Zn等；具有
金刚石晶格结构的C、Si、Ge等。
因此，复式晶格结构可看成：每种等价原子形成一 个简单晶格，且不同等价原子形成的简单晶格相同。
果从一个原子沿晶向到最近的原子的位移
矢量为：
l1α1 + l2α2 + l3α3
则晶向就用l1 、l2 、l3来标志，写成[l1l2l3]。
●标志晶向的这组数称为晶向指数。
以简单立方晶格为例，图117画出了立方原胞。显然立方边
OA的晶向为[100]，面对角线OB
的晶向为[110]，体对角线OC的晶 向为[111] 。实际上，各立方边、
面对角线、体对角线都有正负两
个方向之分，负方向的指数可表 示为：[1 00]、[ 1 1 0]和[ 1 1 1]。
立方边一共有6个不同的晶向（等效晶向为<100>）； 面对角线的晶向共有12个（等效晶向为<110>）；体对角
线的晶向共有8个（等效晶向为<111>），见下图。
●由于晶格的对称性，同类晶向上的性质完全相同，统称 为等效晶向，可写为<l1l2l3>。
闪锌矿结构
ZnS 具有和金刚石类似的结构，Zn+、S -两种等价
离子分别构成相同的面心立方晶格。由他们彼此沿立方 体对角线位移1/4的长度而相套构成复式晶格，统称为
晶格的周期性
§ 1.1 晶格的周期性1. 晶格周期性的描述——原胞和基矢晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述。
+ 原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小）如图1.1所示。
+ 基矢：原胞的边矢量，三维格子的重复单元是平行六面体，,,a b c是重复单元的边长矢量+ 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元。
单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。
+ 基矢：,,a b c表示单胞的基矢。
在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原胞。
例如面心立方晶格，如图1.2所示。
原胞基矢：123()2()2()2aa j kaa k iaa i j=+=+=+原胞的体积301231()4v a a a a=⋅⨯=单胞基矢：,,a aib ajc ak===，单胞的体积,,a aib ajc ak===图1.1图1.2 图1.3 图1.42. 简单晶格简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。
碱金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。
简单立方晶格如图1.3所示, 原胞为简单立方晶格的立方单元，基矢123,,a ai a aj a ak ===原胞体积：30123()v a a a a =⋅⨯=——原胞中只包含一个原子面心立方晶格如图1.3所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心立方。
由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢123,,a a a基矢123(/2)()(/2)()(/2)()a a j k a a k i a a i j =+=+=+原胞体积301231()4v a a a a =⋅⨯=原胞中只包含一个原子 体心立方晶格体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。
就整个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。
晶格与晶胞的名词解释
晶格与晶胞的名词解释1.引言1.1 概述晶格和晶胞是材料科学中非常重要的概念，用于描述晶体的结构和性质。
晶格是指晶体内部原子、离子或分子排列成有序、重复的结构。
晶胞则是晶格的最小重复单元，它可以完整地再现整个晶格的结构。
在材料科学领域，研究晶格和晶胞的性质是为了理解和解释材料的结构、性能和行为。
晶格的特征决定了晶体的物理、化学和电子性质，包括导电性、热导性、光学性质等。
晶胞的结构决定了晶体的晶体学性质，如晶胞的形状、尺寸和对称性。
通过对晶格和晶胞的研究，科学家能够更好地理解材料的内部结构，并预测和设计新材料的性能。
例如，在固态物理和材料科学中，晶格常常用于描述金属、半导体、陶瓷和晶体材料的结构和性能。
同时，晶格和晶胞的概念也广泛应用于其他领域，如光学、凝聚态物理和无机化学等。
本文将详细介绍晶格和晶胞的定义、特征以及它们之间的关系。
通过深入理解这些概念，我们可以更好地理解材料的微观结构与宏观性质之间的关联，为材料科学和工程领域的研究和应用提供指导。
希望本文可以帮助读者对晶格和晶胞的概念有一个清晰而全面的了解，并对材料世界有更深入的认识。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：1.2 文章结构本文将按照以下结构进行论述晶格与晶胞的名词解释。
首先，在引言部分，我们将简要概述晶格和晶胞的概念以及它们在材料科学中的重要性。
同时，我们将介绍本文的目的和意义，以便读者能够更好地理解本文所要传达的内容。
接下来，在正文部分，我们将详细解释晶格的定义和特征。
我们会介绍晶格是指由晶体内的原子、离子或分子排列所形成的规则三维结构。
同时，我们还会探讨晶格的一些重要特性，如晶胞的常见形状、晶体的晶型和晶系分类等。
然后，我们将进一步讨论晶胞的定义和构成。
晶胞是指在晶格中所选取的最小重复单元，它由原子、离子或分子构成。
我们将介绍晶胞的几何形状和晶格常量等关键概念，并解释晶胞在描述晶体结构中的重要性。
在结论部分，我们将对晶格和晶胞的理解与应用进行深入讨论。
固体物理课件第二章_晶体的结构
Na+构成面心立方格子 Cl－也构成面心立方格子
(6) CsCl: 由两个简单立方子晶格彼此沿 立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成
(7) 闪锌矿结构
化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟 面心立方的嵌套
（8） 钙钛矿结构
钛酸钙（CaTiO3） 钛酸钡（BaTiO3） 锆酸铅（PbZrO3） 铌酸锂（LiNbO3） 钽酸锂（LiTaO3）等
面心立方格子:原点和12个近邻格点连线的垂 直平分面围成的正十二面体
体心立方格子:原点和8个近邻格点连线的垂直 平分面围成的正八面体，沿立方轴的6个次近 邻格点连线的垂直平分面割去八面体的六个角， 形成的14面体 —— 八个面是正六边形，六个面是正四边形
§1.2 晶列和晶面
思考： 金刚石为什么有固定的面？ 这些面和晶格结构有什么关系？
根据周期性：
f e
k k
ikx
fk e
k
ik ( x na )
f k eikx f k eik( x na)
k k
e
ik na
1
m 0,1,2,
k na k Rn 2m
2 k h Gh a
k=b的波传过一个晶格长度，相位改变2π
晶面：所有结点可以看成分布在一系列相互平 行等距的平面族上，每个平面族称为一个晶面 晶面用法向或晶面指数标志
例：同一个格子，两组不同的晶面族
晶面的性质： –晶格中一族的晶面不仅平行，并且等距 –一族晶面必包含了所有格点 –三个基矢末端的格点必分别落在该族的不 同晶面上（有理指数定理）
晶面（米勒）指数：晶面把基矢 a1 , a2 , a3 分别
2.2晶格的特征和周期性
由于原胞取法的随意性，因而原胞通常只反 映晶格的周期性，而不能反映晶格的对称性。 为了弥补上述不足，人们常用维格纳-塞兹 (Wigner-Seitz)提出的原胞的取法。 2.维格纳-塞兹(Wigner-Seitz)原胞 以晶格中某一个格点为中心，从这个格点出 发，引出到所有近邻和次近邻格点的连线，作 出这些连线的垂直平分面，由这些垂直平分面 所围成的以该格点为中心的最小多面体即为维 格纳-塞茨(Wigner-Seitz)原胞，记为W-S原胞。
最早提出的，所以上述的点阵又称为布拉维点
阵，相应的晶格称为布拉维晶格或布拉维格子
(Bravais Lattice) 晶格或空间点阵是晶体结构周期性的数学抽 象，它忽略了晶体结构的具体内容，保留了晶 体结构的周期性或平移对称性. 4. 布拉维格子、简单晶格和复式晶格
由位矢 Rn n1a1 n2a2 n3a3
注： 1). WS原胞既是晶格体积的最小重复单元， 又能直观反映晶格全部宏观对称性。所以， WS原胞也称为对称化原胞； 2). WS原胞的取法与倒 格子空间中构成简约布 里渊区(Brillouin zone) 的方法相同 维格纳--塞茨原胞 3). WS原胞所包含的格 点位于原胞的中央。
P75给出了面心立方的布里渊区，和体心立方的WS原胞 取法一致，要用到次近邻格点。
晶胞的边长称为晶格常数，晶格常数一般并 不等于近邻原子的间距，除非单胞和原胞一致 时，如简单立方晶体。
和原胞的比较 原胞只含有一个格点，是体积最小的周期性 重复单元；单胞可含有一个或多个格点，体积 可是原胞的一倍或数倍。
基矢： 原胞的基矢一般用 a1 , a2 , a3 表示。
a2 a3 Ω 体积： 原胞 v a1 单胞 v a b c n Ω
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一、晶格与布拉伐格子 1. 晶格：晶体中原子（或离子）排列的具体形式--周期性。
2. 布拉伐格子(空间点阵） 布拉伐格子：数学上的抽象，是点在空间中周期性的 规则排列,也称空间点阵，或称晶格。
1
格点：空间点阵中周期排列的几何点。所有点在化 学、物理和几何环境上完全相同。
基元：每一个格点所代表的物理实体。 布拉伐格子一共有14 种。
a 2
(k
i
)
V a1 a2 a3
a3 4
原子个数 1
由一个顶点向三个面心引基矢。
19
四、复式晶格的原胞
复式格子的原胞：即是相应简单 晶格的原胞，一个原胞中包含各 种等价原子各一个。
(a) 六角密堆积结构
一个原胞中包含A层和B层原子 各一个，共两个原子。
a1 a2
两者之间的夹角为1200
原胞体积： va a1 a2 a3 晶格原胞 ＝ 空间点阵原胞＋基元
9
a2 a1
a4 a3
a6
a5
a8 a7
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
12
4.晶胞
除了周期性外， 每种晶体还有自己特 殊的对称性。为了同 时反映晶格的对称性， 往往会取最小重复单 元的一倍或几倍的晶 格单位作为原胞。结 晶学中常用这种方法 选取原胞，故称为结 晶学原胞，简称晶胞 （也称为单胞）。
sc
bcc
fcc
立方晶系的布拉伐格子
2
实际晶格 = 布拉伐格子 + 基元
若格点上的基元只包含一个原子，那么晶格为简单 晶格。
晶格中所有原子在化学、物理和几何环境上都是完 全等同的。
若格点上的基元包含两个或两个以上的原子（或离 子），那么晶格为复式晶格。
简单晶格必须由同种原子组成；反之，由同种原子 组成的晶格却不一定是简单晶格。如金刚石和hcp晶格 都是复式晶格。
含1个格点,基元由两个碳原子组成,位于
（000）和
1 4
1 4
1 4
处。
(c)氯化钠结构
cc
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
24
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。
其布拉伐晶格为面心立方。
氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的固体物理学原胞选取方法与面心立方简单格子的 选取方法相同。 每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含4 个格点。 基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐标为 1 1 1 ， Na+的坐标为 (000) 。
ai aj
a3 ak
sc
体积 V a3
体积 V a3
14
bcc 晶胞：
a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 2
15
原胞：
a1
a 2
(i
j
k)
基矢 a2
a 2
(i
j
k)
a3
a 2
(i
j
k)
体积
V
a1 a2
a3
a3 2
原子个数 1
由一个顶点向三个体心引基矢。
16
bcc原胞示意图
17Βιβλιοθήκη fcc 晶胞：a ai 基矢b aj c ak
体积 V a3
原子个数 4
18
原胞：
a1
a 2
(i
j
)
基矢
a2
a 2
(
j
k
)
体积
a3
2 2 2
26
(e)钙钛矿结构
Ba O Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方 子晶格套构而成的。
一个原胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
27
3
复式晶格
SC + 双原子基元
fcc + 双原子基元
由同种原子构成的金刚石晶格也是复式晶格。
4
hcp、金刚石是复式晶格
嵌套 ？
复式晶格包含多个等价原子，不同等价原子的简 单晶格相同。复式晶格是由等价原子的简单晶格嵌 套而成。
5
二、基矢和原胞----描述周期性
a2 0 a1
6
7
1. 格矢: Rl 2. 基矢：
2 2 2
25
(d)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉伐晶 格为简立方，氯化铯结构属简立方。
每个固体物理学原胞包含1个格点，每个结晶学原胞包含1 个格点。基元由一个Cl-和一个Cs+组成。
Cl-的坐标为 1 1 1 ， Cs+的坐标为 (000) 。
hcp
c 1.633 a1
20
(b)金刚石结构
cc 金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其布拉伐格子为面心立方。
金刚石结构属面心立方，每个结晶学原胞包含4个格点。
21
1 2
3
1
1
4
41
2
1
32
4
4
1
2
22
A类碳原子的共价键方向
B类碳原子的共价键方向
23
金刚石结构每个固体物理学原胞包
例：二维三角晶格
13
三、简单晶格的原胞
晶胞的三个棱边矢量用
a
，b
，c
表示，称为轴矢
（或晶胞基矢），其长度a，b，c称为晶格常数。
下面对结晶学中属于立方晶系的布拉格原胞简立方、 体心立方和面心立方的固体物理原胞进行分析。
晶胞：
原胞：
a ai 基矢b aj c ak
基矢
a1 a2
任一格矢 Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 ，
如果所有l1、l2和l3均为整数，则称这组坐标基a1 、a2 和 a3
为基矢。对于一个空间点阵，基矢的选择不是唯一的，可 以有多种不同的选择方式。
8
3. 原胞
空间点阵原胞 • 空间点阵最小的重复单元 • 每个空间点阵原胞中只含有一个格点 • 对于同一空间点阵，原胞有多种不同的取法 （ Wigner-Seitz原胞），但原胞的体积均相等