冯恩信--电磁场与电磁波-课后习题答案

习题

1.1 已知z y x B z y x A ˆ2ˆˆ;ˆˆ3ˆ2-+=-+=

，求:(a) A 和B 的大小（模）； (b) A 和B 的单位

矢量；(c)

B A

⋅；(d)

B A

⨯；(e)A 和B 之间的夹角；(f) A 在B 上的投影。

解：(a) A 和B 的大小

74.314132222222==++=++=

=z y x A A A A A

45.2621122222

2==++=++==z y x B B B B B

(b) A 和B 的单位矢量

z y x z y x A A a

ˆ267.0ˆ802.0ˆ535.0)ˆˆ3ˆ2(74.31ˆ-+=-+==

z y x z y x B B b

ˆ816.0ˆ408.0ˆ408.0)ˆ2ˆˆ(45

.21ˆ-+=-+==

(c)

A B ⋅

7232=++=++=⋅z z y y x x B A B A B A B A

(d) B A ⨯

z y x

z y x

B B B A A A z y x

B A z y x z y x

ˆˆ3ˆ52

11132ˆˆˆˆˆˆ-+-=--==⨯

(e)A 和B 之间的夹角α

根据αcos AB B A =⋅

得

764.0163

.97

cos ==⋅=AB B A α 019.40=α (f) A 在B 上的投影

86.245

.27ˆ==⋅=⋅B B A b

A

1.2如果矢量A 、B 和C 在同一平面，证明A ·(B ⨯C )=0。

证明：设矢量A 、B 和C 所在平面为xy 平面

y A x A A y x ˆˆ+=

y B x

B B y x ˆˆ+=

y C x

C C y x ˆˆ+=

z C B C B y C B C B x

C B C B C C C B B B z

y x C B x y y x z x x z y z z y z

y x z y x

ˆ)(ˆ)(ˆ)(ˆˆˆ-+-+-==⨯

z

C B C B x y y x ˆ)(-= 0ˆˆ)(0)(=⋅-⨯=⨯⋅z z

C B C B C B A x y y x

1.3已知A =ααsin ˆcos ˆy x

+、B ββsin ˆcos ˆy x -=和C ββsin ˆcos ˆy x +=，证明这三个矢量都是单位矢量，且三个矢量是共面的。

证明：

1）三个矢量都是单位矢量

1sin cos 22222=+=++=

=ααz y x A A A A A 1sin cos 22222=+=++=

=ββz y x B B B B B

1sin cos 2222

2=+=++==ββz y x C C C C C

2）三个矢量是共面的

z

C C C B B B z

y x C B z

y x z y x

ˆsin cos 2ˆˆˆββ==⨯

0ˆˆsin cos 20)(=⋅⨯=⨯⋅z z

C B A ββ

1.4 A x y z =+- 2； B x yz =+-α

3，当

A B

⊥时，求α。 解：当

A B

⊥时，0=⋅B A 032=++=⋅αB A

所以

5-=α

1.5证明三个矢量A y x

ˆ5ˆ5-=、B z y x ˆˆ7ˆ3--=和C z y x ˆˆ2ˆ2---=形成一个三角形的三条边，并利用矢积求此三角形的面积。

证明 ：因为 z y x

B A ˆˆ2ˆ2++=-

0)(=+-+C B A

所以三个矢量A 、B 和C 形成一个三角形 此三角形的面积为

B A S ⨯=2

1

6.102/20551

73055ˆˆˆˆˆˆ222=++=---==z

y x B B B A A A z y x

z y x z y x

1.6 P 点和Q 点的位置矢量分别为z y x

ˆˆ12ˆ5++和z y x ˆˆ3ˆ2+-，求从P 点到Q 点的距离矢量及其长度。

解：从P 点到Q 点的距离矢量为

y x z y x z y x

r r R P Q ˆ15ˆ3)ˆˆ12ˆ5()ˆˆ3ˆ2(--=++-+-=-=

从P 点到Q 点的距离为

3.1515322=+==R R

1.7 求与两矢量A z y x

ˆˆ3ˆ4+-=和B z y x ˆˆˆ2-+=都正交的单位矢量。 解：设矢量C

与两矢量A z y x

ˆˆ3ˆ4+-=和B z y x ˆˆˆ2-+=都正交，则 034=+-=⋅z y x C C C C A

（1） 02=-+=⋅z y x C C C C B

（2）

（1）+（2） 得 026=-y x C C → x y C C 3= （3） （1）+3⨯（2）得 0210=-z x C C → x z C C 5= （4）

如果矢量C

是单位矢量，则

12592

22222=++=++==x x x z y x C C C C C C C C

所以 169.025

911=++=

x C

x y C C 3=507.0= x z C C 5=845.0=

z y x

C ˆ845.0ˆ507.0ˆ169.0++=

1.8将直角坐标系中的矢量场

F x y z x F x y z y 12

(,,) ,(,,) ==分别用圆柱和圆球坐标系中的坐标分量表示。

解：在圆柱坐标系中