现代控制理论：控制系统的状态空间模型
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输出方程： y(t) g[x(t),u(t),t]
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
14
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
2020/8/8
图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
2020/8/8
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
2020/8/8
2
1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
2020/8/8
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2020/8/8
11
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态空间法的基本概念
状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。 状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
消去中间变量 i(t) ：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2020/8/8
8
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
零初始条件
2020/8/8
6
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。
解：可以得到三种形式的数学描 述。
列写该回路的微分方程 ：
C
d uc dt
i
ห้องสมุดไป่ตู้
L
di dt
Ri
uc
u
图 R-L-C网络
2020/8/8
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
2020/8/8
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
12
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物
理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
2020/8/8
15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
2020/8/8
5
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y(n) (t) a1 y(n1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) bmu(t)
传递函数：
G(s)
b0 s m b1s m1 bm s n a1s n1 an
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
2020/8/8
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
4
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
2020/8/8
3
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
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dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
2020/8/8
图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
9
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
2020/8/8
1
本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
2020/8/8
2
1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
2020/8/8
10
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
2020/8/8
11
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态空间法的基本概念
状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。 状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
消去中间变量 i(t) ：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
2020/8/8
8
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
零初始条件
2020/8/8
6
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。
解：可以得到三种形式的数学描 述。
列写该回路的微分方程 ：
C
d uc dt
i
ห้องสมุดไป่ตู้
L
di dt
Ri
uc
u
图 R-L-C网络
2020/8/8
7
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
2020/8/8
13
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
2020/8/8
12
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物
理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
2020/8/8
15
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
2020/8/8
5
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y(n) (t) a1 y(n1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) bmu(t)
传递函数：
G(s)
b0 s m b1s m1 bm s n a1s n1 an
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
2020/8/8
16
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
4
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
2020/8/8
3
1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
2020/8/8
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)