现代控制理论：控制系统的状态空间模型
现代控制理论 第九章 现代控制理论-控制系统的数学模型
1 C
∫ i (t )dt
= u c (t )
i (t ) | t = t 0 = i (t 0 )
u c (t ) | t = t 0 = u c (t 0 )
若将 i (t ) 和 u c (t ) 视为一组信息量，则这样一 组信息量就称为状态。这组信息量中的每个变 量均是该电路的状态变量。 状态:表征系统运动的信息和行为 状态 表征系统运动的信息和行为。 表征系统运动的信息和行为 状态变量：系统的状态变量就是确定系 统状态的最小一组变量。（或完全表征 系统运动状态的最小一 组变量。）
di dt
=
R x1 L
1 L
x2+ 1 u( t )
L
x
2
1 x c 1
y = x2 = u c (t )
写成矩阵— 写成矩阵—向量的形式为：
x
1
=
R L
1 L
x1
x
2
1 c
0
x2
+
1 L u( t )
0
y=
x1
0 1
x2
为状态向量
x 1 x2 T 令x =
则：
x=
R L
1 L
1 c
1 x+ L
状态方程 输出方程
一 、状态、状态变量和状态空间
R + u(t)
输入
L
+ + y C uc(t) _ 输出 _
i(t)
_
解：以 i(t) 作为中间变量，列写该回路的微分方程
di (t ) L + Ri (t ) + u c (t ) = u (t ) dt
求解这个微分方程组， 出现两个积分常数。 它们由初始条件
【武汉大学】控制系统的状态空间模型【现代控制理论】
的结构图如图2-5所示。
D(t)
+
u
+ B(t)
x& ∫
x C(t)
y
+
+
A(t)
图2-5 多输入多输出线性时变系统的结构图
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.3线性系统状态空间模型的结构图
若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变 量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各 变量间的结构图。
或观测的量； – 可以是物理的,也可以是非物理的、没有实际物理量与之
直接相对应的抽象数学变量。
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武汉大学 自动化系 丁李
2.1.1.1系统的状态和状态变量
状态变量与输出变量的关系: – 状态变量是能够完全描述系统内部动态特性行为的变
量。
– 而输出变量是仅仅描述在系统分析和综合(滤波、优化 与控制等)时所关心的系统外在表现的动态特性,并非 系统的全部动态特性。
RiL
L
diL dt
uC
ui
iL
C
duC dt
现代控制理论
武汉大学 自动化系 丁李
2.1.2系统的状态空间模型
2. 选择状态变量。 状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容) 的个数。 对本例
x1(t) iL , x2 (t) uC
3. 将状态变量代入各物理量所满足的方程,整理得一规范形式 的一阶矩阵微分方程组--状态方程。
武汉大学 自动化系 丁李
目录
2.1 状态和状态空间模型 2.2 根据系统机理建立状态空间模型 2.3 根据系统的输入输出关系建立状态空间模型 2.4 状态空间模型的线性变换和约旦规范形 2.5 传递函数阵 2.6 用MATLAB进行系统模型转换
现代控制理论控制系统的状态空间模型
方程 x：小车的水平位移
x l sin : 摆心瞬时位置
m
x l
在水平方向，利用牛顿第二定律，得到
2024/6/22
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
x1 x2
ub
x
x
a
18
1.1 状态空间模型
1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常多变量系统
状态变量图：
输入向量
r×1 维
u
+ B
Bu
输入矩阵 +
n ×r维
传递矩阵 m×r维
x Ax Bu
y
Cx
Du
D
状态向量
+
x
∫
nx×1
维
1.控制系统的状态空间模型
Chapter1控制系统的状态空间模型1.1 状态空间模型在经典控制理论中，采用n 阶微分方程作为对控制系统输入量)(t u 和输出量)(t y 之间的时域描述，或者在零初始条件下，对n 阶微分方程进行Laplace 变换，得到传递函数作为对控制系统的频域描述，“传递函数”建立了系统输入量)]([)(t u L s U =和输出量)]([)(t y L s Y =之间的关系。
传递函数只能描述系统的外部特性，不能完全反映系统内部的动态特征，并且由于只考虑零初始条件，难以反映系统非零初始条件对系统的影响。
现代控制理论是建立在“状态空间”基础上的控制系统分析和设计理论，它用“状态变量”来刻画系统的内部特征，用“一阶微分方程组”来描述系统的动态特性。
系统的状态空间模型描述了系统输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.1.1 状态空间模型的表示法例1-1（6P 例1.1.1） 如下面RLC （电路）系统。
试以电压u 为输入，以电容上的电压C u 为输出变量，列写其状态空间表达式。
例1-1图 RLC 电路图解：由电路理论可知，他们满足如下关系⎪⎩⎪⎨⎧==++)(d )(d )()()(d )(d t i t t u C t u t u t Ri t t i L C C 经典控制理论：消去变量)(t i ，得到关于)(t u C 的2=n 阶微分方程：)(1)(1d )(d d )(d 22t u LCt u LC t t u L R t t u C C C =++ 对上述方程进行Laplace 变换：)()()2(20202s U s U s s C ωωζ=++得到传递函数：202202)(ωζω++=s s s G ，LC10=ω，L R 2=ζ 现代控制理论：选择⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛)()(21t u t i x x C 流过电容的电流)(t i 和电容上的电压)(t u C 作为2个状态变量，2=n （2个储能元件）；1个输入为)(t u ，1=m ；1个输出C u y =，1=r 。
控制系统的状态空间描述
03
方法二、根据传递函数求解
状态方程的标准形式
状态方程的定义 状态方程 所谓状态方程，就是描述系统的状态之间以及输入和状态之间动态关系的一阶微分方程组。
3.2.2 状态空间表达式
向量矩阵形式为
状态向量
输入向量
维的函数向量
3、线性定常系统的状态方程
向量矩阵形式为
维的系数矩阵
维的系数矩阵
输出方程
输出方程的标准形式
解：列写回路的电压方程和节点的电流方程
选取 为状态变量，输出 ，得系统的状态空间表达式为
消去 并整理得
设初始条件为零，对上式两端进行拉普拉斯变换，得
写成向量矩阵形式为
其中
输入变量的Laplace变换象函数
2）数目最小的含义：是指这个变量组中的每个变量都是相互独立的。
二、状态向量
若一个系统有n个状态变量： ，用这n个状态变量作为分量所构成的向量 ，就称为该系统的状态向量，用 表示。
例 试建立下图所示电路网络的状态方程和输出方程。
01
考虑标量的一阶微分方程
02
用拉氏变换解有：
3.2.2 状态微分方程的解
定义矩阵指数函数为：
上式也经常写做状态转移矩阵的形式
系统的零输入响应为：
1.3 传递函数矩阵
例：系统如下图所示，输入为 和 ，输出为 。
较之传递函数，状态空间描述的优点有：
3、状态空间分析是一种时域分析方法，可用计算机直接在时域中进行数值计算。
2、由前面的分析可以看出，对于不同维数的系统，可以采用同一表达方式来进行描述，由此可见从低维系统得到的结论可以方便地推广到高维系统，只是计算复杂一些而已。
现代控制理论基础-第2章-控制系统的状态空间描述精选全文完整版
(2-18)
解之,得向量-矩阵形式的状态方程
(2-19)
输出方程为
(2-20)
(5) 列写状态空间表达式
将式(2-19)和式(2-20)合起来即为状态空间表达式,若令
则可得状态空间表达式的一般式,即
(2-21)
例2.2 系统如图
取状态变量:
得：
系统输出方程为：
写成矩阵形式的状态空间表达式为：
1.非线性系统
用状态空间表达式描述非线性系统的动态特性，其状态方程是一组一阶非线性微分方程，输出方程是一组非线性代数方程，即
(2-7)
2. 线性系统的状态空间描述
若向量方程中 和 的所有组成元都是变量 和 的线性函数，则称相应的系统为线性系统。而线性系统的状态空间描述可表示为如下形式： （2－8） 式中，各个系数矩阵分别为 （2－9）
4．线性定常系统的状态空间描述
式中的各个系数矩阵为常数矩阵
当系统的输出与输入无直接关系（即 ）时，称为惯性系统；相反，系统的输出与输入有直接关系（即 ）时，称为非惯性系统。大多数控制系统为惯性系统，所以，它们的动态方程为
（2－11）
1.系统的基本概念 2. 动态系统的两类数学描述 3. 状态的基本概念
2.2 状态空间模型
2.2.1状态空间的基本概念
1.系统的基本概念
■系统:是由相互制约的各个部分有机结合，且具有一定功能的整体。 ■静态系统:对于任意时刻t，系统的输出惟一地取决于同一时刻的输入，这类系统称为静态系统。静态系统亦称为无记忆系统。静态系统的输入、输出关系为代数方程。 ■动态系统:对任意时刻，系统的输出不仅与t时刻的输入有关，而且与t时刻以前的累积有关(这种累积在t0(t0<t)时刻以初值体现出来)，这类系统称为动态系统。由于t0时刻的初值含有过去运动的累积，故动态系统亦称为有记忆系统。动态系统的输入、输出关系为微分方程。
现代控制理论ppt
1.1.2 控制系统的状态空间表达式
5.非线性时变系统：
x( t ) f x( t ), u( t ), t y( t ) g x( t ), u( t ), t
但因 uc1+uc2+uc3=0
显然他们是线性相关的，故只有两个变量是独立 的，因此，最小变量组的个数应是二。
一般的： 状态变量个数=系统含有独立储能元件的个数 =系统的阶数 对于n阶系统，有n个状态变量： x1(t), x2(t), … xn(t) ﹡状态变量具有非唯一性的：
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
1 控制系统的状态空间模型
我们把这种输入/输出描述的数学模型称为系统 的外部描述，内部若干变量，在建模的中间过程， 被当作中间变量消掉了。 现代理论模型：由状态变量构成的一阶微分方 程组来描述，其中包含了系统全部的独立变量。 特别是在数字计算机上求解一阶微分方程组比 求解与之相应的高阶微分方程要容易得多，而且能 同时给出系统的全部独立变量的响应。此外，在求 解过程中，还可以方便地考虑初始条件产生的影响。 因而能同时确定系统内部的全部运动状态。
数学模型：描述系统动态行为的数学表达式， 称为控制系统的数学模型。 经典理论模型：用一个高阶微分方程或传递函 数描述。系统的动态特性仅仅由一个单输出对给定 输入的响应来表征。
实际上，系统内部还有若干其他变量，他们之 间（包含输出变量在内）是相互独立的。关于他们 对输入的响应是不易相互导出的，必须重新分别建 模求解。由此可见，单一的高阶微分方程，是不能 完全揭示系统内全部运动状态的。
1.1.1 状态、状态变量和状态空间
现代控制理论1控制系统的状态空间模型3
17
设 A有q个1的重根，其余互异，则变换阵
P111
P1'11
1 2!
P'' 111
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 111
P( q 1)11
T
P112
P1'12
1 2!
P'' 112
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 112
P( q 1)12
M M M M
M
M
P11n
P1'1n
1 2!
1
2 L
T
12
M
22 L
ML
1n1
n1 2
L
1
n
n2
M
nn1
1
则
T 1AT
2
O
n
20
A有重特征根情形
设 A有m个1的重根，其余互异，则变换阵
1
0
0
L
1
1
0
L
T
12
M
21
M
1
L
MO
M
M
ML
1n1
d
d 1
n1 1
1 2!
d2
d 12
n1 1
L
0
1L
0
m+1 L
0
2 m1
P'' 11n
L
(q
1
1)!
P ( q 1) 11n
P( q 1)1n
L
Pn11
L
Pn12
M M
L Pn1n
其中：P1'ij
现代控制理论习题集
定义状态变量为
利用状态反馈控制律 ，要求闭环极点为 (i=1,2,3)，其中
试确定必需的状态反馈增益矩阵K。
5.5试用MATLAB求解习题4.6。
5.6给定线性定常系统
式中
试设计一个全维状态观测器。该观测器的期望特征值为 。
5.7考虑习题4.8定义的系统。假设输出y是可以准确量测的。试设计一个最小阶观测器，该观测器矩阵所期望的特征值为 ，即最小阶观测器所期望的特征方程为 。
11122100021x?xux?x??????????????????????????21122100011x?xux?x????????????????????????31122010011x?xux?x????????????????????????试分别研究有无最优控制使下列性能指标21222012jxxudt?取极小值
3.5给定线性定常系统
式中
试将该状态方程化为能观测标准形。
第四章
4.1试确定下列二次型是否为正定的。
4.2试确定下列二次型是否为负定的。
4.3试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
4.4试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
试求最优控制 ，使下列性能指标
取最小值。
6.2求从 到直线 之间距离最短的曲线及最优终端时间。
6.3系统状态方程及边界条件为：
试求最优控制使下列指标取极值并求最优轨线。
6.4设系统状态方程及初始条件为
未给定，试求最有控制及 使下列指标取极值，并求出最优轨线。
6.5设系统状态方程及初始条件为：
现代控制理论第一章-控制系统数学模型
y b0
b1
bn1
xn
注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y (s) R(s)
bn s n an s n
b1s b0 a1s a0
d
bn1sn1 b1s b0 ansn a1s a0
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y18y 192y 640y 160u 640u
y bn1z(n1) b1z b0 z b0 x1 b1x2 bn1xn
写成矩阵形式
x1
x2
xn
0
0
0
a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
0 1 an1
x1 x2
xn
0 u 0
1
x1
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0
x2
0
0
1
x2
0
u
x3 a0 a1 a2 x3 b0
x1
y 1
0
0
x2
x3
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y(n) an1 y(n1) a1 y a0 y b0u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x2 y x2 x3 y
0
x2
1 M
现代控制理论：控制系统的状态空间模型资料
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
输出方程： y(t) g[x(t),u(t),t]
y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
现代控制理论习题之状态空间模型
（1）
R1
ui
C1 uc1
R2
i1 u
C 2 i2 u o
c2
题 1-1 图 1
(2）
R
ui
iL
L
C uc
uo
题 1-1 图 2
【解】 ： (1) 设状态变量: x1 = u c1 、 x 2 = u c 2 而
i1 = C1 u c1 、 i 2 = C 2 u c 2
• •
根据基尔霍夫定律得：
u i = [C1 u c1 + (
c s+a
1 s
Y1 ( s )
U 2 (s)
d s+b
f s+e
Y2 ( s )
g
题 1-3 图 2
【解】 ： (1) 如题 1-3 图 3 设状态变量
3
U ( s)
K1 T1
6 x
x6
1 T1
K2 T2
4 x
1 T2
x4
K3
2 x
x2
1 T4
1 x 1 T4
x1
Y ( s)
x3
3 x
（4）传递函数为：
G(s) = −3s + 1 −3s + 1 = 4 2 2 3 s + 3s + 2 s + 0 s + 3s + 0 s + 2
4
状态空间表达式为：
⎡ 0 1 0 0⎤ ⎡0 ⎤ ⎢ 0 0 1 0⎥ ⎢ ⎥ ⎥ x + ⎢0 ⎥ u =⎢ x ⎢0 ⎥ ⎢ 0 0 0 1⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣− 2 0 − 3 0⎦ ⎣1⎦ y = [1 − 3 0 0]x
(2) 设状态变量： x1 = i L 、 x 2 = u c 而
控制系统的状态空间模型习题
第1章 作业：34P 习题1.1，1.2，1.3，1.4，1.5，1.7，1.13，1.16，1.171.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？答：线性定常系统的系统矩阵A 、输入矩阵B 、输出矩阵C 、直接传递矩阵D 都不与时间有t 关，而线性时变系统D C B A 、、、中至少有一个与时间有关。
1.2 现代控制理论中的“状态空间模型”与经典控制理论中的“传递函数”有什么区别？答：“传递函数”只描述系统的外部特性，并不能完全反映系统内部的动态特征，传递函数只考虑0初始条件，难以反映系统非0初始条件对系统性能的影响。
“状态空间模型”用状态变量来刻画系统内部特征，系统的动态特性用状态变量的一阶微分方程来描述，“状态空间模型”描述了系统的输入、输出与内部状态之间的关系，揭示了系统内部状态的运动规律，反映了控制系统动态特性的全部信息。
1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式，他们分别具什么特点？ 答：能控标准型18P （1.2.10），能观标准型26P 第1行、第2行，约当标准型23P （1.2.13），对角型21P 倒数第8行、第9行。
1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否唯一？答：状态变量的选择不唯一，状态空间模型也不唯一。
1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于0，其参数如何确定？答：当传递函数为假分式，即分子多项式最高次方大于分母多项式最高次方时，直接转移项D 不等于0,并且可以用长除法确定直接转移项D 。
1.7 已知系统的传递函数656)()()(2+++==s s s s U s Y s G ，求其状态空间实现的能控标准型和能观标准型。
解：能控标准型u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=105610 ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)16(x x y 能控标准型u x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=165610 ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21)10(x x y 1.13 一个传递函数的状态空间实现是否唯一？由状态空间模型导出的传递函数是否唯一？答：一个传递函数的状态空间有多种“实现”，由状态空间模型只能导出唯一的传递函数。
现代控制理论习题集
《现代控制理论》习题第一章 控制系统的状态空间模型1.1 考虑以下系统的传递函数：656)()(2+++=s s s s U s Y试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。
1.2 考虑下列单输入单输出系统：u y y yy 66116=+++试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。
1.3 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]11[,213421=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=C B A ，－－试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。
1.4 考虑由下式定义的系统：Cxy Bu Ax x=+=式中]011[,10030021101=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C B A ，－－试求其传递函数Y(s)/U(s)。
1.5 考虑下列矩阵：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100001000010A试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。
再求变换矩阵P ，使得),,,(diag 43211λλλλ=-AP P第二章 状态方程的解2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=5160A； 2） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6116100010A2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。
1） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0010A ； 2） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1002－－A ； 3） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=0110A ； 4） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1021A5) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=200010011A ； 6） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=210010001A ； 7） ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000100010A2.2 给定线性定常系统Ax x=式中⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=2310A且初始条件为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11)0(x试求该齐次状态方程的解x (t )。
2.4 已知系统方程如下[]xy u x x 11015610-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。
现代控制理论控制系统的状态空间模型
线性时变系统的特点
线性时变系统的动态行为由线性时变微 分方程描述，其特点是系统参数随时间 变化。
线性时变系统的稳定性分析较为复杂，需要 考虑参数变化对系统稳定性的影响。
线性时变系统在航空航天、机器人、 化工等领域有广泛应用，其控制策 略需要根据具体应用场景进行设计。
05
非线性系统的状态空间 模型
状态空间模型的近似线性化
线性化方法
由于非线性系统的分析和设计通常比较复杂，因此常常采 用近似线性化的方法将非线性系统转化为线性系统进行分 析。
泰勒级数展开
一种常用的近似线性化方法是使用泰勒级数展开，将非线 性函数展开成多项式形式，并保留低阶项以获得近似的线 性模型。
局部线性化
另一种常用的近似线性化方法是局部线性化，即将非线性 系统在某个平衡点附近进行线性化处理，以获得该点附近 的线性模型。
线性微分方程具有叠加性和时不变性，即对于任意常数c，若x(t) 是方程的解，则cx(t)也是方程的解；同时，若在时间t=t0时， x(t0)=x0，则对于任意时间t>t0，x(t)都等于x0。
状态空间模型的建立
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的方法，它由状态方程和输出方程组成。状态方程描述了系统内部状态的变化规 律，输出方程描述了系统输出与内部状态和输入的关系。
状态空间模型的建立需要确定系统的状态变量、输入变量和输出变量，然后根据系统的物理特性和实际需求来选择合适的系 统矩阵A、B和C。
线性时不变系统的特点
01
线性时不变系统具有叠加性、 均匀性和时不变性，这些性质 使得线性时不变系统在分析和 设计上相对简单。
02
线性时不变系统的动态行为可 以通过系统的极点和零点来描 述，这些极点和零点决定了系 统的动态响应特性和稳定性。
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y(tk ) g[x(tk ), u(tk ), tk ]
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
线性定常系 统
x Ax Bu
y
Cx
Du
线性离散系 统
x(k 1) Gx(k) Hu(k)
y(k) Cx(k) Du(k)
u
di(t) R i(t) uC (t) u(t)
dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
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图 R-L-C网络
i
di dt
R L
i
1 L
uc
1 L
u
uc
duc dt
1i c
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
向量矩阵表示形式： di(t) R i(t) uC (t) u(t)
Modern Control Theory
第一章 控制系统的状态空间模型
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本章内容提纲
1.1 状态空间模型 1.2 传递函数和状态空间模型间的转换 1.3 状态空间模型的性质
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1.1 状态空间模型
➢是描述系统的另外一种数学模型,是现代控制 理论的基础. ➢不仅可以描述系统的输入输出之间的关系,而 且还可以描述系统的内部特性.
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
设： x1 i(t) x2 uC (t)
x
x1
x2
A -1RL
-
1 L
0
C
1
b
L 0
C 0 1
x Ax bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
内部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态空间法的基本概念
状态: 完全描述系统时域行为的一个最小变量组。 “完全”：若给定了t=t0时刻这组变量的值和t≥t0时输 入的时间函数，那么系统在t ≥ t0的任何瞬时的行为就 完全确定了。 “最小”：指这个变量组中的每个变量都是独立的。 状态变量: 最小变量组中的每一个变量。
消去中间变量 i(t) ：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
u
传函表示形式：
图 R-L-C网络
Uc (s)
1
U (s) LCS 2 RCS 1
外部描述
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
一阶微分方程表示形式：
C
d uc dt
i
L
di dt
Ri
uc
零初始条件
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
例：设有如图所示的R-L-C网络， 试求其数学描述。
解：可以得到三种形式的数学描 述。
列写该回路的微分方程 ：
C
d uc dt
i
ห้องสมุดไป่ตู้
L
di dt
Ri
uc
u
图 R-L-C网络
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
状态向量: 用状态变量作为分量构成的向量。
x(t) [x1(t), x2 (t), , xn (t)]T
状态空间：以n个状态变量作为坐标轴所组成的n维空间。
状态方程：
x(t) f [x(t),u(t),t],
x(tk1) f [x(tk ), u(tk ), tk ]
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
说明： 状态变量并不一定是系统的输出变量，也不一定是物
理上可测量的或可观测的，但在实际应用中还是选 择易测量的量。 状态变量选择方法： (1) 系统中储能元件的输出物理量：如电容电压、电 感电流 (2) 系统输出及其各阶导数 (3) 使系统的状态方程成为某种标准形式
线性时变系 统
x(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
y(t)
C(t)
x(t)
D(t)u(t)
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
x1
式中：
x
x2
xn
n维状态矢量
a11 a12
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
外部描述： 高阶微分方程
y(n) (t) a1 y(n1) (t) an y(t) b0u(m) (t) b1u(m1) (t) bmu(t)
传递函数：
G(s)
b0 s m b1s m1 bm s n a1s n1 an
a1n
A a21 a22
a2n
an1 an2
ann
系统矩阵，
n×n矩阵。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
x Ax bu y cx du
单输入单输出系统状态空间模型
b1
b
b2
bn
输入矩阵，n×1列矩阵。
c c1，c2， ，cn
输出矩阵，1×n行矩阵
d为直接联系输入量、输出量的前向传递（前馈）系数， 又称前馈系数。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
内部描述：是基于系统内部分析的一类数学模 型，它需要有2个数学方程来组成。一个是反映 系统内部变量组和输入变量组间的因果关系的 数学表达式，称状态方程。另一个是表征系统 内部变量组及输入变量组和输出变量组间转换 关系的数学表达式，称输出方程。
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1.1 状态空间模型 1.1.1 状态空间模型表达式
系统描述方法
外部描述： ( 输入-输出描述)：描述的前提是把 系统视为一个“黑箱”，不去表征系统的内部结 构和内部变量，只是反映外部变量间的因果关系， 即输入—输出间的因果关系。表征这种描述的数 学方法为传递函数表示式。
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dt L
LL
duC (t) 1 i(t) dt C
di(t)
dt duC (t)
1RL
dt C
1 L 0
i(t) uC (t)
1
L 0
u
(t
)
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC (t) 0 1uiC(t()t)