高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文

合集下载

高中数学 高三一轮第二章第6课时 对数与对数函数(教案)

高中数学 高三一轮第二章第6课时 对数与对数函数(教案)

1。

对数的概念如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N,即a b=N,那么数b 叫作以a为底N的对数,记作log a N=b,其中__a__叫作对数的底数,__N__叫作真数。

2。

对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a〉0且a≠1,M〉0,N〉0,那么①log a(MN)=log a M+log a N;②log a错误!a M-log a N;③log a M n=n log a M(n∈R);④log am M n=错误!log a M(m,n∈R,且m≠0).(2)对数的性质①a log a N=__N__;②log a a N =__N__(a>0且a≠1)。

(3)对数的重要公式①换底公式:log b N=错误!(a,b均大于零且不等于1);②log a b=1log b a,推广log ab·log b c·log c d=log a d。

3.对数函数的图像与性质a>10〈a〈1图像性质(1)定义域:(0,+∞)(2)值域:R (3)过定点(1,0),即x=1时,y=0(4)当x>1时,y>0当0〈x<1时,y<0(5)当x〉1时,y〈0当0〈x〈1时,y>04.反函数指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数,它们的图像关于直线__y=x__对称.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×")(1)若MN〉0,则log a(MN)=log a M+log a N.(×)(2)log a x·log a y=log a(x+y).(×)3x都是对数函数。

( ×) (3)函数y=log2x及y=log13(4)对数函数y=log a x(a>0,且a≠1)在(0,+∞)上是增函数。

( ×)(5)函数y=ln错误!与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.(√)(6)对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1),错误!,函数图像只在第一、四象限。

苏教版版高考数学一轮复习第二章函数对数与对数函数教学案

苏教版版高考数学一轮复习第二章函数对数与对数函数教学案

1.对数的概念如果a x=N(a>0且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=log a N ,其中a 叫做对数的底数,N叫做真数.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质:1a log a N=N;2log a a b=b(a>0,且a≠1).(2)换底公式:log a b=错误!(a,c均大于0且不等于1,b>0).(3)对数的运算性质:如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:1log a(M·N)=log a M+log a N;2log a错误!=log a M—log a N;3log a M n=n log a M(n∈R).3.对数函数的定义、图象与性质定义函数y=log a x(a>0且a≠1)叫做对数函数图象a>10<a<1性质定义域:(0,+∞)值域:R当x=1时,y=0,即过定点(1,0)当0<x<1时,y<0;当x>1时,y>0当0<x<1时,y>0;当x>1时,y<0在(0,+∞)上为增函数在(0,+∞)上为减函数4.反函数指数函数y=a x(a>0且a≠1)与对数函数y=log a x(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.错误!1.换底公式的两个重要结论(1)log a b=错误!;(2)log am b n=错误!log a b.其中a>0且a≠1,b>0且b≠1,m,n∈R,m≠0.2.对数函数的图象与底数大小的比较如图,作直线y=1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c<d<1<a<b.由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.一、思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y=log2(x+1)是对数函数.()(2)log2x2=2log2x. ()(3)函数y=ln错误!与y=ln(1+x)—ln(1—x)的定义域相同.()(4)对数函数y=log a x(a>0且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),错误!,函数图象不在第二、三象限.()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√二、教材改编1.(log29)·(log34)=()A.错误!B.错误!C.2D.4D[(log29)·(log34)=错误!×错误!=错误!×错误!=4.故选D.]A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.c>a>bD[因为0<a<1,b<0,c=log错误!错误!=log23>1.所以c>a>b.故选D.]3.函数y=的定义域是________.[由(2x—1)≥0,,得0<2x—1≤1.,∴错误!<x≤1.,∴函数y=的定义域是.]4.函数y=log a(4—x)+1(a>0,且a≠1)的图象恒过点________.(3,1)[当4—x=1即x=3时,y=log a1+1=1.,所以函数的图象恒过点(3,1).]考点1对数式的化简与求值对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后利用对数运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.1.设2a=5b=m,且错误!+错误!=2,则m等于()A.错误!B.10C.20 D.100A[由已知,得a=log2m,b=log5m,,则错误!+错误!=错误!+错误!,=log m2+log m5=log m 10=2.,解得m=错误!.]2.计算:错误!÷100错误!=________.—20 [原式=(lg 2—2—lg 52)×100错误!=lg错误!×10=lg 10—2×10=—2×10=—20.]3.计算:错误!=________.1[原式=错误!=错误!=错误!=错误!=错误!=1.]对数运算法则是在化为同底的情况下进行的,因此经常会用到换底公式及其推论.在对含有字母的对数式进行化简时,必须保证恒等变形.考点2对数函数的图象及应用对数函数图象的识别及应用方法(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y=错误!,y=log a(a >0,且a≠1)的图象可能是()A BC D(2)当0<x≤错误!时,4x<log a x,则a的取值范围是()A.0,错误!B.错误!,1C.(1,错误!)D.(错误!,2)(1)D(2)B[(1)对于函数y=log a,当y=0时,有x+错误!=1,得x=错误!,即y=log a的图象恒过定点错误!,0,排除选项A、C;函数y=错误!与y=log a在各自定义域上单调性相反,排除选项B,故选D.(2)构造函数f(x)=4x和g(x)=log a x,当a>1时不满足条件,当0<a<1时,画出两个函数在的图象,可知f<g,即2<log a错误!,则a>错误!,所以a的取值范围为.][母题探究]1.(变条件)若本例(2)变为:若不等式x2—log a x<0对x∈恒成立,求实数a的取值范围.[解] 由x2—log a x<0得x2<log a x,设f1(x)=x2,f2(x)=log a x,要使x∈时,不等式x2<log a x恒成立,只需f1(x)=x2在上的图象在f2(x)=log a x图象的下方即可.当a >1时,显然不成立;当0<a<1时,如图所示.要使x2<log a x在x∈上恒成立,需f1≤f2,所以有错误!≤log a错误!,解得a≥错误!,所以错误!≤a<1.即实数a的取值范围是.2.(变条件)若本例(2)变为:当0<x≤错误!时,错误!<log a x,求实数a的取值范围.[解] 若错误!<log a x在x∈成立,则0<a<1,且y=错误!的图象在y=log a x图象的下方,如图所示,由图象知错误!<log a错误!,所以解得错误!<a<1.即实数a的取值范围是.1.(2019·合肥模拟)函数y=ln(2—|x|)的大致图象为(),A BC DA[令f(x)=ln(2—|x|),易知函数f(x)的定义域为{x|—2<x<2},且f(—x)=ln(2—|—x|)=ln(2—|x|)=f(x),,所以函数f(x)为偶函数,排除选项C,D.,当x=错误!时,f错误!=ln 错误!<0,排除选项B,故选A.]2.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1B.a>1,0<c<1C.0<a<1,c>1D.0<a<1,0<c<1D[由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a<1,0<c<1.]3.设方程10x=|lg(—x)|的两个根分别为x1,x2,则()A.x1x2<0 B.x1x2=0C.x1x2>1D.0<x1x2<1D[作出y=10x与y=|lg(—x)|的大致图象,如图.显然x1<0,x2<0.不妨令x1<x2,则x1<—1<x2<0,所以10x1=lg(—x1),10x2=—lg(—x2),此时10x1<10x2,即lg(—x1)<—lg(—x2),由此得lg(x1x2)<0,所以0<x1x2<1,故选D.]考点3对数函数的性质及应用解与对数函数有关的函数性质问题的3个关注点(1)定义域,所有问题都必须在定义域内讨论.(2)底数与1的大小关系.(3)复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的.比较大小(1)(2019·天津高考)已知a=log52,b=log0.50.2,c=0.50.2,则a,b,c 的大小关系为()A.a<c<bB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b(2)已知a=log2e,b=ln 2,c=log错误!错误!,则a,b,c的大小关系为()A.a>b>cB.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b(1)A(2)D[(1)因为a=log52<log5错误!=错误!,b=log0.50.2>log0.50.5=1,c=0.50.2=错误!错误!>错误!,0.50.2<1,所以a<c<b,故选A.(2)因为a=log2e>1,b=ln 2∈(0,1),c=log错误!错误!=log23>log2e>1,所以c >a>b,故选D.]对数值大小比较的主要方法(1)化同底数后利用函数的单调性.(2)化同真数后利用图象比较.(3)借用中间量(0或1等)进行估值比较.解简单对数不等式(1)若log a错误!<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是________.(2)若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值范围是________.(1)错误!∪(1,+∞)(2)错误![(1)当0<a<1时,log a错误!<log a a=1,∴0<a<错误!;当a>1时,log a错误!<log a a=1,∴a>1.∴实数a的取值范围是错误!∪(1,+∞).(2)由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又log a(a2+1)<log a2a<0,所以0<a<1,同时2a>1,所以a>错误!.综上,a∈错误!.]对于形如log a f(x)>b的不等式,一般转化为log a f(x)>log a a b,再根据底数的范围转化为f(x)>a b或0<f(x)<a b.而对于形如log a f(x)>log b g(x)的不等式,一般要转化为同底的不等式来解.和对数函数有关的复合函数解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤已知函数f(x)=log a(3—ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,求实数a的取值范围;(2)是否存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.[解](1)因为a>0且a≠1,设t(x)=3—ax,则t(x)=3—ax为减函数,x∈[0,2]时,t(x)的最小值为3—2a,当x∈[0,2]时,f(x)恒有意义,即x∈[0,2]时,3—ax>0恒成立.所以3—2a>0.所以a<错误!.又a>0且a≠1,所以a∈(0,1)∪错误!.(2)t(x)=3—ax,因为a>0,所以函数t(x)为减函数.因为f(x)在区间[1,2]上为减函数,所以y=log a t为增函数,所以a>1,当x∈[1,2]时,t(x)最小值为3—2a,f(x)最大值为f(1)=log a(3—a),所以错误!即错误!故不存在这样的实数a,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1.利用对数函数的性质,求与对数函数有关的函数值域、最值和复合函数的单调性问题,必须弄清三方面的问题:一是定义域,所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成,即它是由哪些基本初等函数复合而成的,另外,解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的使用.1.已知函数f(x)=log0.5(x2—ax+3a)在[2,+∞)单调递减,则a的取值范围为()A.(—∞,4] B.[4,+∞)C.[—4,4] D.(—4,4]D[令g(x)=x2—ax+3a,因为f(x)=log0.5(x2—ax+3a)在[2,+∞)单调递减,所以函数g(x)在区间[2,+∞)内单调递增,且恒大于0,所以错误!a≤2且g(2)>0,所以a≤4且4+a>0,所以—4<a≤4.故选D.]2.函数y=log a x(a>0且a≠1)在[2,4]上的最大值与最小值的差是1,则a=________.2或错误![分两种情况讨论:1当a>1时,有log a4—log a2=1,解得a=2;2当0<a<1时,有log a2—log a4=1,解得a=错误!.所以a=2或错误!.]3.设函数f(x)=若f(a)>f(—a),则实数a的取值范围是________.(—1,0)∪(1,+∞)[由题意得错误!或解得a>1或—1<a<0.]。

高考数学一轮复习 3.2 对数与对数函数教案 新课标

高考数学一轮复习 3.2 对数与对数函数教案 新课标

2.对数与对数函数一.知识归纳 一)对数1、定义: 如果)1,0(≠>=a a N a b,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a即有:⇔=N a b)1,0(log ≠>=a a N b a2、性质:①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a ;3、恒等式:N aNa =log ;b a b a =log )1,0(≠>a a4、运算法则:M n M a n a log log )3(= 其中a>0,a≠0,M>0,N>05、换底公式:)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且二)对数函数y=log a x (a>0 , a≠1)的图象与性质:名称 对数函数 一般形式 y=log a x (a>0 , a≠1)定义域 (0,+ ∞) 值域 (-∞,+ ∞) 过定点 (1,0)图像单调性 a>1,在(0,+ ∞)上为增函数0<a<1, 在(0,+ ∞)上为减函数 值分布情况何时y>0? y<0?注意:研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制 二、题型讲解题型一.对数式的化简和运算 例1、计算下列各式(1)12lg )2(lg 5lg 2lg )2(lg 222+-+⋅+(2)06.0lg 61lg)2(lg )1000lg 8(lg 5lg 23++++ (3)设函数)1,0(log )(≠>=a a x x f a ,若1005)...(201021=⋅⋅⋅x x x f ,求)()()(220102221x f x f x f +⋅⋅⋅++的值。

解:(1)原式=1)2lg 1()5lg 2(lg 2lg )12(lg )5lg 2lg 2(2lg 2=-++=-++ (2)原式=12325lg 32lg 325lg 32lg 32lg 5lg 322lg 3)32lg 3(5lg 22=-=-+=-++⋅=-++(3)代入)1,0(log )(≠>=a a x x f a ,即得)()()(220092221x f x f x f +⋅⋅⋅++=2010。

对数及对数函数教案8篇

对数及对数函数教案8篇

写教案能帮助教师更好地安排课堂教学时间,教案要结合实际的教学进度和学生的学习能力,才能更好地帮助学生提高学习效果,下面是范文社小编为您分享的对数及对数函数教案8篇,感谢您的参阅。

对数及对数函数教案篇1【学习目标】一、过程目标1通过师生之间、学生与学生之间的互相交流,培养学生的数学交流能力和与人合作的精神。

2通过对对数函数的学习,树立相互联系、相互转化的观点,渗透数形结合的数学思想。

3通过对对数函数有关性质的研究,培养学生观察、分析、归纳的思维能力。

二、识技能目标1理解对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,感受研究对数函数的意义。

2掌握对数函数的性质,并能初步应用对数的性质解决简单问题。

三、情感目标1通过学习对数函数的概念、图象和性质,使学生体会知识之间的有机联系,激发学生的.学习兴趣。

2在教学过程中,通过对数函数有关性质的研究,培养观察、分析、归纳的思维能力以及数学交流能力,增强学习的积极性,同时培养学生倾听、接受别人意见的优良品质。

教学重点难点:1对数函数的定义、图象和性质。

2对数函数性质的初步应用。

教学工具:多媒体学前准备】对照指数函数试研究对数函数的定义、图象和性质。

对数及对数函数教案篇2对数函数及其性质教学设计1.教学方法建构主义学习观,强调以学生为中心,学生在教师指导下对知识的主动建构。

它既强调学习者的认知主体作用,又不忽视教师的指导作用。

高中一年级的学生正值身心发展的过渡时期,思维活跃,具有一定的独立性,喜欢新鲜事物,敢于大胆发表自己的见解,不过思维还不是很成熟.在目标分析的基础上,根据建构主义学习观,及学生的认知特点,我拟采用“探究式”教学方法。

将一节课的核心内容通过四个活动的形式引导学生对知识进行主动建构。

其理论依据为建构主义学习理论。

它很好地体现了“学生为主体,教师为主导,问题为主线,思维为主攻”的“四为主”的教学思想。

2.学法指导新课程强调“以学生发展为核心”,强调培养学生的自主探索能力与合作学习能力。

高考数学一轮复习 2.8 对数与对数函数教案

高考数学一轮复习 2.8 对数与对数函数教案

2.8 对数与对数函数●知识梳理 1.对数(1)对数的定义:如果a b=N (a >0,a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,记作log a N =b .(2)指数式与对数式的关系:a b=N ⇔log a N =b (a >0,a ≠1,N >0). 两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的,并且可以互化. (3)对数运算性质:①log a (MN )=log a M +log a N .②log aN M=log a M -log a N . ③log a M n=n log a M .(M >0,N >0,a >0,a ≠1)④对数换底公式:log b N =bNa a log log (a >0,a ≠1,b >0,b ≠1,N >0).2.对数函数(1)对数函数的定义 函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). (2)对数函数的图象底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. (3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0.④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数. ●点击双基1.(2005年春季北京,2)函数f (x )=|log 2x |的图象是 解析:f (x )=⎩⎨⎧<<-≥.10,log ,1,log 22x x x x答案:A2.(2004年春季北京)若f -1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f -1(x )的值域为___________________.解析:f -1(x )的值域为f (x )=lg (x +1)的定义域.由f (x )=lg (x +1)的定义域为(-1,+∞),∴f -1(x )的值域为(-1,+∞). 答案:(-1,+∞)3.已知f (x )的定义域为[0,1],则函数y =f [log 21(3-x )]的定义域是__________.解析:由0≤log 21(3-x )≤1⇒log 211≤log 21(3-x )≤log 2121⇒21≤3-x ≤1⇒2≤x ≤25.答案:[2,25] 4.若log x 7y =z ,则x 、y 、z 之间满足 A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析:由log x 7y =z ⇒x z=7y ⇒x 7z=y ,即y =x 7z.答案:B5.已知1<m <n ,令a =(log n m )2,b =log n m 2,c =log n (log n m ),则 A.a <b <c B.a <c <b C.b <a <c D.c <a <b 解析:∵1<m <n ,∴0<log n m <1.∴log n (log n m )<0. 答案:D ●典例剖析【例1】 已知函数f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<+≥,4),1(,4,)21(x x f x x则f (2+log 23)的值为A.31B.61C.121D.241剖析:∵3<2+log 23<4,3+log 23>4,∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=(21)3+log 23=241.答案:D【例2】 求函数y =log 2|x |的定义域,并画出它的图象,指出它的单调区间. 解:∵|x |>0,∴函数的定义域是{x |x ∈R 且x ≠0}.显然y =log 2|x |是偶函数,它的图象关于y 轴对称.又知当x >0时,y =log 2|x |⇔y =log 2x .故可画出y =log 2|x |的图象如下图.由图象易见,其递减区间是(-∞,0),递增区间是(0,+∞).评述:研究函数的性质时,利用图象更直观.深化拓展已知y =log 21[a 2x+2(ab )x -b 2x +1](a 、b ∈R +),如何求使y 为负值的x 的取值范围?提示:要使y <0,必须a 2x +2(ab )x -b 2x +1>1,即a 2x +2(ab )x -b 2x>0. ∵b 2x>0,∴(b a )2x +2(b a )x-1>0. ∴(b a )x >2-1或(b a )x<-2-1(舍去).再分b a >1,b a =1,ba<1三种情况进行讨论.答案:a >b >0时,x >log ba (2-1);a =b >0时,x ∈R ;0<a <b 时,x <log ba (2-1).【例3】 已知f (x )=log 31[3-(x -1)2],求f (x )的值域及单调区间.解:∵真数3-(x -1)2≤3,∴log 31[3-(x -1)2]≥log 313=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞).又3-(x -1)2>0,得1-3<x <1+3,∴x ∈(1-3,1]时,3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+3)时,f (x )单调递增.特别提示讨论复合函数的单调性要注意定义域.●闯关训练 夯实基础1.(2004年天津,5)若函数f (x )=log a x (0<a <1)在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于A.42 B.22 C.41 D.21 解析:∵0<a <1,∴f (x )=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=-32.∴a =42.答案:A2.函数y =log 2|ax -1|(a ≠0)的对称轴方程是x =-2,那么a 等于A. 21B.-21C.2D.-2解析:y =log 2|ax -1|=log 2|a (x -a 1)|,对称轴为x =a 1,由a 1=-2得a =-21.答案:B评述:此题还可用特殊值法解决,如利用f (0)=f (-4),可得0=log 2|-4a -1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=-1.∵a ≠0,∴a =-21.3.(2004年湖南,理3)设f -1(x )是f (x )=log 2(x +1)的反函数,若[1+ f-1(a )][1+ f -1(b )]=8,则f (a +b )的值为A.1B.2C.3D.log 23解析:∵f -1(x )=2x -1,∴[1+ f -1(a )][1+ f -1(b )]=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b=8,∴a +b =3.答案:C4.(2004年春季上海)方程lg x +lg (x +3)=1的解x =___________________.解析:由lg x +lg (x +3)=1,得x (x +3)=10,x 2+3x -10=0. ∴x =-5或x =2. ∵x >0,∴x =2. 答案:25.已知y =log a (3-ax )在[0,2]上是x 的减函数,求a 的取值范围.解:∵a >0且a ≠1,∴t =3-ax 为减函数.依题意a >1,又t =3-ax 在[0,2]上应有t >0,∴3-2a >0.∴a <23.故1<a <23. 6.设函数f (x )=lg (1-x ),g (x )=lg (1+x ),在f (x )和g (x )的公共定义域内比较|f (x )|与|g (x )|的大小.解:f (x )、g (x )的公共定义域为(-1,1). |f (x )|-|g (x )|=|lg (1-x )|-|lg (1+x )|.(1)当0<x <1时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=-lg (1-x 2)>0; (2)当x =0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=0;(3)当-1<x <0时,|lg (1-x )|-|lg (1+x )|=lg (1-x 2)<0.综上所述,当0<x <1时,|f (x )|>|g (x )|;当x =0时,|f (x )|=|g (x )|;当-1<x <0时,|f (x )|<|g (x )|.培养能力7.函数f (x )=log 2|x |,g (x )=-x 2+2,则f (x )·g (x )的图象只可能是 解析:∵f (x )与g (x )都是偶函数,∴f (x )·g (x )也是偶函数,由此可排除A 、D.又由x →+∞时,f (x )·g (x )→-∞,可排除B. 答案:C8.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2[f (a )]=2(a ≠1). (1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值;(2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1)?解:(1)∵f (x )=x 2-x +b ,∴f (log 2a )=log 22a -log 2a +b .由已知有log 22a -log 2a +b =b ,∴(log 2a -1)log 2a =0. ∵a ≠1,∴log 2a =1.∴a =2.又log 2[f (a )]=2,∴f (a )=4. ∴a 2-a +b =4,b =4-a 2+a =2.故f (x )=x 2-x +2,从而f (log 2x )=log 22x -log 2x +2=(log 2x -21)2+47. ∴当log 2x =21即x =2时,f (log 2x )有最小值47. (2)由题意⎪⎩⎪⎨⎧<+->+-2)2(log 22log log 22222x x x x ⇒⎩⎨⎧<<-<<>⇒21102x x x 或0<x <1. 探究创新9.(2004年苏州市模拟题)已知函数f (x )=3x+k (k 为常数),A (-2k ,2)是函数y = f -1(x )图象上的点.(1)求实数k 的值及函数f -1(x )的解析式;(2)将y = f -1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数y =g (x )的图象,若2 f -1(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,试求实数m 的取值范围.解:(1)∵A (-2k ,2)是函数y = f -1(x )图象上的点,∴B (2,-2k )是函数y =f (x )上的点.∴-2k =32+k .∴k =-3.∴f (x )=3x -3.∴y = f -1(x )=log 3(x +3)(x >-3).(2)将y = f -1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数y =g (x )=log 3x (x >0),要使2 f -1(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,即使2log 3(x +m )-log 3x ≥1恒成立,所以有x +x m +2m ≥3在x >0时恒成立,只要(x +x m+2m )min ≥3. 又x +x m ≥2m (当且仅当x =x m ,即x =m 时等号成立),∴(x +xm+2m )min =4m ,即4m ≥3.∴m ≥169.●思悟小结1.对数的底数和真数应满足的条件是求解对数问题时必须予以特别重视的.2.比较几个数的大小是对数函数性质应用的常见题型.在具体比较时,可以首先将它们与零比较,分出正负;正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1,然后在各类中间两两相比较.3.在给定条件下,求字母的取值范围是常见题型,要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用.●教师下载中心 教学点睛1.本小节的重点是对数函数图象和性质的运用.由于对数函数与指数函数互为反函数,所以它们有许多类似的性质,掌握对数函数的性质时,与掌握指数函数的性质一样,也要结合图象理解和记忆.2.由于在对数式中真数必须大于0,底数必须大于零且不等于1,因此有关对数的问题已成了高考的热点内容.希望在讲解有关的例题时,要强化这方面的意识.拓展题例【例1】 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.解:定义域为x >3,原函数为y =lg 3)2(2--x x .又∵3)2(2--x x =3442-+-x x x =31)3(2)3(2-+-+-x x x =(x -3)+31-x +2≥4,∴当x =4时,y min =lg4.【例2】 (2003年北京宣武第二次模拟考试)在f 1(x )=x 21,f 2(x )=x 2,f 3(x )=2x,f 4(x )=log 21x 四个函数中,x 1>x 2>1时,能使21[f (x 1)+f (x 2)]<f (221x x +)成立的函数是A.f 1(x )=x 21B.f 2(x )=x 2C.f 3(x )=2xD.f 4(x )=log 21x解析:由图形可直观得到:只有f 1(x )=x 21为“上凸”的函数. 答案:A。

高三数学一轮复习精品教案4:2.6 对数与对数函数教学设计

高三数学一轮复习精品教案4:2.6 对数与对数函数教学设计

2.6 对数与对数函数★ 知识要点 1.对数的概念①定义:如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ,就是N a b=,那么数b 称以a 为底N 的对数,记作,log b N a =其中a 称对数的底,N 称真数。

1)以10为底的对数称常用对数,N 10log 记作N lg ;2)以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称自然对数,N e log ,记作N ln ; ②基本性质:1)真数N 为正数(负数和零无对数);2)01log =a ; 3)1log =a a ;4)对数恒等式:N aNa =log 。

③运算性质:如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则1)N M MN a a a log log )(log +=;2)N M NMa a a log log log -=; 3)∈=n M n Ma na (log log R )。

④换底公式:),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=N m m a a aNN m m a1)1log log =⋅a b b a ;2)b mnb a na m log log =。

2. 对数函数:①定义:函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数, 1)函数的定义域为),0(+∞;2)函数的值域为R ; 3)当10<<a 时函数为减函数,当1>a 时函数为增函数;4)对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x且互为反函数。

②函数图像:1)对数函数的图象都经过点(0,1),且图象都在第一、四象限;2)对数函数都以y 轴为渐近线(当10<<a 时,图象向上无限接近y 轴;当1>a 时,图象向下无限接近y 轴);4)对于相同的)1,0(≠>a a a 且,函数x y x y aa 1log log ==与的图象关于x 轴对称。

数学(文)一轮教学案:第二章第6讲 对数与对数函数 Word版含解析

数学(文)一轮教学案:第二章第6讲 对数与对数函数 Word版含解析

第6讲 对数与对数函数 考纲展示 命题探究1 对数的概念如果a x =N (a >0,且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2 对数的性质与运算法则 (1)对数的性质几个恒等式(M ,N ,a ,b 都是正数,且a ,b ≠1)①a log a N =N ;②log a a N=N ;③log b N =log a N log ab ;④log am b n=n m log a b ;⑤log a b =1log ba ,推广log ab ·log bc ·log cd =log a d .(2)对数的运算法则(a >0,且a ≠1,M >0,N >0)①log a (M ·N )=log a M +log a N ;②log a MN =log a M -log a N ;③log a M n=n log a M (n ∈R );④log anM =1n log a M .3 对数函数的图象及性质a >10<a <1图 象续表a >10<a <1性 质定义域:(0,+∞)值域:R过点(1,0),即x =1时,y =0当x >1时,y >0 当0<x <1时,y <0 当x >1时,y <0 当0<x <1时,y >0 在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数注意点 对数的运算性质及公式成立的条件对数的运算性质以及有关公式都是在式子中所有的对数符号有意义的前提下才成立的,不能出现log 212=log 2[(-3)×(-4)]=log 2(-3)+log 2(-4)等错误.1.思维辨析(1)若log 2(log 3x )=log 3(log 2y )=0,则x +y =5.( ) (2)2log 510+log 5(3)已知函数f (x )=lg x ,若f (ab )=1,则f (a 2)+f (b 2)=2.( ) (4)当x >1时,log a x >0.( ) (5)函数y =ln 1+x1-x与y =ln (1+x )-ln (1-x )的定义域相同.( )(6)若log a m <log a n ,则m <n .( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)× 2.函数y =ln (x +1)-x 2-3x +4 的定义域为( ) A .(-4,-1) B .(-4,1) C .(-1,1) D .(-1,1]答案 C解析 要使函数有意义,须使⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,-x 2-3x +4>0,解得-1<x <1,所以函数的定义域为(-1,1).3.(1)若2a =5b =10,则1a +1b =________. (2)已知a 23 =49(a >0),则log 23 a =________.答案 (1)1 (2)3解析 (1)∵2a=5b=10,∴a =log 210,b =log 510,∴1a =lg 2,1b =lg 5,∴1a +1b =lg 2+lg 5=1.(2)因为a 23 =49(a >0),所以a =⎝ ⎛⎭⎪⎫49 32 =⎝ ⎛⎭⎪⎫233,故log 23 a =log 23⎝ ⎛⎭⎪⎫233=3.[考法综述] 考查对数运算,换底公式及对数函数的图象和性质,对数函数与幂指数函数相结合.综合考查利用单调性比较大小、解不等式等是高考热点.主要以选择题、填空题形式出现.典例 (1)函数f (x )=2ln x 的图象与函数g (x )=x 2-4x +5的图象的交点个数为( )A .3B .2C .1D .0(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1681 -34+log 354+log 345=________. (3)已知a >0,b >0,ab =8,则当a 的值为________时,log 2a ·log 2(2b )取得最大值.[解析] (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )=2ln x 与函数g (x )=x 2-4x +5=(x -2)2+1的图象,如图所示.∵f (2)=2ln 2>g (2)=1,∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2.(2)原式=⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫234-34 +log 3⎝ ⎛⎭⎪⎫54×45=⎝ ⎛⎭⎪⎫23-3+log 31=278.(3)当log 2a 与log 2(2b )有一个为负数时,log 2a ·log 2(2b )<0显然不是最大值.当log 2a 与log 2(2b )都大于零时,log 2a ·log 2(2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2a +log 2(2b )22=⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 2(2ab )22=4,当且仅当a =2b ,即a =4,b =2时“=”成立.[答案] (1)B (2)278 (3)4【解题法】 对数运算及对数函数问题解题策略(1)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.(2)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想求解.(3)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.1.设f (x )=ln x,0<a <b ,若p =f (ab ),q =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b 2,r =12(f (a )+f (b )),则下列关系式中正确的是( )A .q =r <pB .p =r <qC .q =r >pD .p =r >q答案 B解析 ∵0<a <b ,∴a +b2>ab ,又f (x )=ln x 在(0,+∞)上单调递增,故f (ab )<f ⎝⎛⎭⎪⎫a +b 2,即q >p ,∵r =12(f (a )+f (b ))=12(ln a +ln b )=ln ab =f ()ab =p ,∴p =r <q .故选B.2.函数f (x )=log 12 (x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2) 答案 D解析 由x 2-4>0得x >2或x <-2,因此函数定义域为(-∞,-2)∪(2,+∞).令t =x 2-4,当x ∈(-∞,-2)时,t 随x 的增大而减小,y =log 12 t 随t 的增大而减小,所以y =log 12 (x 2-4)随x 的增大而增大,即f (x )在(-∞,-2)上单调递增.故选D.3.设a =log 37,b =2,c ,则( )A .b <a <cB .c <a <bC .c <b <aD .a <c <b答案 B解析 由3<7<9得log 33<log 37<log 39,∴1<a <2,由2>21=2得b 0=1得c <1,因此c <a <b ,故选B.4.已知关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x =1+lg a1-lg a有正根,则实数a 的取值范围是( )A .(0,1)D .(10,+∞)答案 C解析 当x >0时,0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x <1,∵关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x =1+lg a1-lg a有正根,∴0<1+lg a1-lg a <1,∴⎩⎪⎨⎪⎧1+lg a1-lg a<1,1+lg a1-lg a >0,解得-1<lg a <0,∴a <1.故选C.5.函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )答案 C解析 函数y =2log 4(1-x )的定义域为(-∞,1),排除A 、B ;又函数y =2log 4(1-x )在定义域内单调递减,排除D.选C.6.若a =log 43,则2a +2-a =________. 答案433解析 ∵a =log 43=log 23,∴2a +2-a=2log 23 +2-log 23 =3+13=433.函数y =log 12(x 2-2x )的单调递减区间是________.[错解][错因分析] 易出现两种错误:一是不考虑定义域,二是应用复合函数的单调性法则时出错.[正解] 由x 2-2x >0,得函数y =log 12(x 2-2x )的定义域为(-∞,0)∪(2,+∞).令u =x 2-2x ,则u 在(-∞,0)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,又y =log 12u 在(0,+∞)上是减函数,所以函数y =log 12(x 2-2x )在(-∞,0)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数.故函数y =log 12(x 2-2x )的单调递减区间是(2,+∞).故填(2,+∞).[心得体会]………………………………………………………………………………………………时间:60分钟基础组1.[2016·衡水中学模拟]已知log 7[log 3(log 2x )]=0,那么x - 12等于( )A.13B.36C.33D.24答案 D解析 由log 7[log 3(log 2x )]=0,得log 3(log 2x )=1,即log 2x =3,解得x =8,所以x - 12 =8- 12 =18=122=24.故选D.2.[2016·武邑中学仿真]lg 51000-8 23 =( ) A.235 B .-175 C .-185 D .4答案 B解析 lg 51000-8 23 =lg 5103-8 23 =lg 1035 -(23) 23 =35-4=-175.3.[2016·冀州中学猜题]已知x =log 23,y =log 4π,z ,则( ) A .x <y <z B .z <y <x C .y <z <x D .y <x <z答案 A解析 y =log 4π=log 2πlog 24=log 2π>log 23,即y >x ,z >1,所以x <y <z .故选A.4.[2016·枣强中学期中]已知函数f (x )=log 2x ,若在[1,8]上任取一个实数x 0,则不等式1≤f (x 0)≤2成立的概率是( )A.14B.13C.27D.12答案 C解析 1≤f (x 0)≤2⇒1≤log 2x 0≤2⇒2≤x 0≤4,∴所求概率为4-28-1=27.5. [2016·衡水二中仿真]已知函数g (x )是偶函数,f (x )=g (x -2),且当x ≠2时其导函数f ′(x )满足(x -2)f ′(x )>0,若1<a <3,则( )A .f (4a )<f (3)<f (log 3a )B .f (3)<f (log 3a )<f (4a )C .f (log 3a )<f (3)<f (4a )D .f (log 3a )<f (4a )<f (3) 答案 B解析 ∵(x -2)f ′(x )>0,∴x >2时,f ′(x )>0;x <2时,f ′(x )<0.∴f (x )在(2,+∞)上递增,在(-∞,2)上递减.∵g (x )是偶函数,∴g (x -2)关于x =2对称,即f (x )关于x =2对称,∵1<a <3,∴f (3)<f (log 3a )<f (4a ).故选B.6.[2016·枣强中学期末]已知函数f (x )=|log 12 x |,若m <n ,有f (m )=f (n ),则m +3n 的取值范围是( )A .[23,+∞)B .(23,+∞)C .[4,+∞)D .(4,+∞)答案 D解析 ∵f (x )=⎪⎪⎪⎪⎪⎪log 12 x ,若m <n ,有f (m )=f (n ),∴log 12 m =-log 12n .∴mn =1.∴0<m <1,n >1.∴m +3n =m +3m 在m ∈(0,1)上单调递减.当m =1时,m +3n =4,∴m +3n >4.7.[2016·衡水二中模拟]已知函数f (x )=log(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上单调递减,则a 的取值范围是( )A .(-∞,4]B .[4,+∞)C .[-4,4]D .(-4,4]答案 D解析 令t =g (x )=x 2-ax +3a ,∵f (x )=log t 在定义域上为减函数,要使f (x )=log(x 2-ax +3a )在[2,+∞)上单调递减,则t =g (x )=x 2-ax +3a 在[2,+∞)上单调递增,且t =g (x )=x 2-ax +3a >0,即⎩⎨⎧--a 2≤2,g (2)>0,∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤4,a >-4,即-4<a ≤4,选D. 8.[2016·武邑中学预测]函数y =lg 1|x +1|的大致图象为( )答案 D解析 y =lg 1|x |是偶函数,关于y 轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,而y =lg1|x +1|的图象是由y =lg 1|x |的图象向左平移一个单位长度得到的.故选D.9.[2016·冀州中学仿真]函数y =ax 2+bx 与y =log x (ab ≠0,|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图象可能是( )答案 D解析 从对数的底数入手进行讨论,结合各个选项的图象从抛物线对称轴的取值范围进行判断,D 选项0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a <1,0<⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2a <12,0<-b 2a <12或-12<-b2a <0,故选D.10. [2016·武邑中学猜题]若直角坐标平面内的两个不同点M ,N 满足条件:①M ,N 都在函数y =f (x )的图象上; ②M ,N 关于原点对称.则称点对[M ,N ]为函数y =f (x )的一对“友好点对”.(注:点对[M ,N ]与[N ,M ]为同一“友好点对”)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 3x (x >0),-x 2-4x (x ≤0),此函数的“友好点对”有( )A .0对B .1对C .2对D .3对答案 C解析 由题意,当x >0时,将f (x )=log 3x 的图象关于原点对称后可知,g (x )=-log 3(-x )(x <0)的图象与x ≤0时f (x )=-x 2-4x 的图象存在两个交点,如图所示,故“友好点对”的个数为2,故选C.11.[2016·衡水二中期末]已知a >0且a ≠1,若函数f (x )=alg (x2-2x+3)有最大值,则不等式log a (x 2-5x +7)>0的解集为________. 答案 (2,3)解析 因为x 2-2x +3=(x -1)2+2≥2有最小值2,所以lg (x 2-2x +3)≥lg 2,所以要使函数f (x )有最大值,则函数f (x )必须单调递减,所以0<a <1.由log a (x 2-5x +7)>0得0<x 2-5x +7<1,即⎩⎪⎨⎪⎧0<x 2-5x +7,x 2-5x +7<1,解得2<x <3,即原不等式的解集为(2,3). 12.[2016·冀州中学预测]已知函数f (x )=log 12 (x 2-2ax +3).(1)若函数f (x )的定义域为(-∞,1)∪(3,+∞),求实数a 的值; (2)若函数f (x )的定义域为R ,值域为(-∞,-1],求实数a 的值; (3)若函数f (x )在(-∞,1]上为增函数,求实数a 的取值范围. 解 (1)由题意可知,x 2-2ax +3=0的两根为x 1=1, x 2=3,∴x 1+x 2=2a ,∴a =2.(2)因为函数f (x )的值域为(-∞,-1],则f (x )max =-1, 所以y =x 2-2ax +3的最小值为y min =2, 由y =x 2-2ax +3=(x -a )2+3-a 2,得3-a 2=2, 所以a 2=1,所以a =±1.(3)f (x )在(-∞,1]上为增函数,则y =x 2-2ax +3在(-∞,1]上为减函数,有y >0,所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥1,1-2a +3>0,即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1,a <2,故1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2).能力组13.[2016·枣强中学模拟]设a =log 32,b =ln 2,c =5- 12 ,则( )A .a <b <cB .b <c <aC .c <a <bD .c <b <a 答案 C解析 ∵12<log 32=ln 2ln 3<ln 2,而c =5- 12 =15<12,∴c <a <b . 14. [2016·衡水二中期中]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧|2x +1|,x <1log 2(x -m ),x >1,若f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等),且x 1+x 2+x 3的取值范围为(1,8),则实数m 的值为________.答案 1解析 作出f (x )的图象,如图所示,可令x 1<x 2<x 3,则由图知点(x 1,0),(x 2,0)关于直线x =-12对称,所以x 1+x 2=-1.又1<x 1+x 2+x 3<8,所以2<x 3<9.由f (x 1)=f (x 2)=f (x 3)(x 1,x 2,x 3互不相等),结合图象可知点A 的坐标为(9,3),代入函数解析式,得3=log 2(9-m ),解得m =1.15.[2016·衡水中学热身]已知函数f (x )=log a (8-ax )(a >0,a ≠1),若f (x )>1在区间[1,2]上恒成立,则实数a 的取值范围为________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1,83 解析 当a >1时,f (x )=log a (8-ax )在[1,2]上是减函数, 由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-2a )>1,解之得1<a <83,若0<a <1时,f (x )在x ∈[1,2]上是增函数, 由f (x )>1恒成立,则f (x )min =log a (8-a )>1, 且8-2a >0,所以a >4,且a <4,故不存在.综上可知,实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1,83. 16.[2016·武邑中学月考]已知f (x )=log a x (a >0且a ≠1),如果对于任意的x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,2都有|f (x )|≤1成立,试求a 的取值范围. 解 ∵f (x )=log a x ,则y =|f (x )|的图象如右图.由图知,要使x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13,2时恒有|f (x )|≤1,只需|f (13)|≤1, 即-1≤log a 13≤1,即log a a -1≤log a 13≤log a a .当a >1时,得a -1≤13≤a ,即a ≥3; 当0<a <1时得a -1≥13≥a ,得0<a ≤13.综上所述,a 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0,13∪[3,+∞).。

高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文

高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文

对数与对数函数一、知识梳理:(阅读教材必修1第62页—第76页)1、对数与对数的运算性质(1)、一般地,如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数,记做x= ,其中a叫做对数的底,叫做对数的真数。

(2)、以10为底的对数叫做常用对数,并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数,并把记为lnN.(3)、根据对数的定义,可以得到对数与指数和关系:(4)、零和负数没有对数; =1; =0;=N(5)、对数的运算性质:如果,M>0,N>0 ,那么=+==n(n)换底公式:=对数恒等式:=N2、对数函数与对数函数的性质(1)、一般地,我们把函数f(x)=)叫做对函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+。

(2)、对数函数的图象及性质图象的性质:①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数:对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究 探究一:对数的运算 例1:(15年安徽文科)=-+-1)21(2lg 225lg 。

【答案】-1 【解析】试题分析:原式=12122lg 5lg 2lg 22lg 5lg -=-=-+=-+- 考点:对数运算.例2:【2014辽宁高考】已知132a -=,21211log ,log 33b c ==,则( ) A .a b c >> B .a c b >> C .c a b >> D .c b a >>例3:【2015高考浙江】若4log 3a =,则22a a-+= .【答案】334.【考点定位】对数的计算 探究二:对数函数及其性质例4:【2014江西高考】函数)ln()(2x x x f -=的定义域为( )A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞D. ),1[]0,(+∞-∞例5:下列关系 中,成立的是 (A )、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题例7:【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.例8:【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升:1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题,尤其在大题中【最后的导数题】,一定要首先考虑函数的定义域,然后在定义域中研究问题,以避免忘记定义域出现错误;2、 在2015年高考小题中,考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系,中档难度。

高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数教学案 文-人教版高三全册数学教学案

高考数学一轮复习 专题09 对数与对数函数教学案 文-人教版高三全册数学教学案

专题09 对数与对数函数1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用;2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图象;3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念一般地,对于指数式a b=N ,我们把“以a 为底N 的对数b ”记作log a N ,即b =log a N (a >0,且a ≠1).其中,数a 叫做对数的底数,N 叫做真数,读作“b 等于以a 为底N 的对数”.2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a (MN )=log a M +log a N ;②log a M N=log a M -log a N ; ③log a M n=n log a M (n ∈R );④log am M n=n mlog a M . (2)对数的性质①a log a N =__N __;②log a a N=__N __(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式:log b N =log a Nlog a b (a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a ,推广log a b ·log b c ·log c d =log a d .3.对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图 象性质(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R(3)过定点(1,0),即x =1时,y =0(4)当x >1时,y >0当0<x <1时,y <0(5)当x >1时,y <0 当0<x <1时,y >0 (6)在(0,+∞)上是增函数(7)在(0,+∞)上是减函数4.反函数指数函数y =a x与对数函数y =log a x 互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.高频考点一 对数式的运算例1、(1)设2a =5b=m ,且1a +1b=2,则m 等于( )A.10 B .10 C .20 D .100(2)计算:⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14-lg 25÷100-12=________.【答案】 (1)A (2)-20【方法规律】(1)在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算法则化简合并.(2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算法则,转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.(3)a b=N ⇔b =log a N (a >0,且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法,在运算中应注意互化.【变式探究】 (1)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧2x,x ≥4,f (x +1),x <4,则f (2+log 23)的值为( )A .24B .16C .12D .8(2) lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=________.【解析】 (1)因为3<2+log 23<4,所以f (2+log 23)=f (3+log 23)=23+log 23=8×2log 23=24.(2)lg 52+2lg 2-⎝ ⎛⎭⎪⎫12-1=lg 5-lg 2+2lg 2-2=lg 5+lg 2-2=lg 10-2=-1. 【答案】 (1)A (2)-1高频考点二 对数函数的图象及应用例2、(1)若函数y =a |x |(a >0,且a ≠1)的值域为{y |y ≥1},则函数y =log a |x |的图象大致是( )(2)已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3x ,x ≤0,且关于x 的方程f (x )+x -a =0有且只有一个实根,则实数a 的取值X 围是________.由图可知,当a >1时,直线y =-x +a 与y =log 2x 只有一个交点. 【答案】 (1)B (2)a >1【方法规律】(1)在识别函数图象时,要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. 【变式探究】 (1)函数y =2log 4(1-x )的图象大致是( )(2)当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值X 围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,22 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1 C .(1,2) D .(2,2)当a >1时,不符合题意,舍去. 所以实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1. 【答案】 (1)C (2)B高频考点三 对数函数的性质及应用例3、(2016·全国Ⅰ卷)若a >b >0,0<c <1,则( ) A .log a c <log b c B .log c a <log c b C .a c<bcD .c a >c b【解析】 由y =x c与y =c x的单调性知,C 、D 不正确. ∵y =log c x 是减函数,得log c a <log c b ,B 正确.log a c =lg c lg a ,log b c =lg clg b ,∵0<c <1,∴lg c <0.而a >b >0,∴lg a >lg b ,但不能确定lg a ,lg b 的正负,∴log a c 与log b c 的大小不能确定. 【答案】 B【方法规律】(1)确定函数的定义域,研究或利用函数的性质,都要在其定义域上进行. (2)如果需将函数【解析】式变形,一定要保证其等价性,否则结论错误.(3)在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.【变式探究】已知函数f (x )=log a (3-ax ).(1)当x ∈[0,2]时,函数f (x )恒有意义,某某数a 的取值X 围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.(2)t (x )=3-ax ,∵a >0, ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1,2]上为减函数,∴y =log a t 为增函数,∴a >1,x ∈[1,2]时,t (x )最小值为3-2a ,f (x )最大值为f (1)=log a (3-a ), ∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a >0,log a(3-a )=1,即⎩⎪⎨⎪⎧a <32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 高频考点四 和对数函数有关的复合函数 例4、已知函数f(x)=loga(3-ax).(1)当x∈[0,2]时,函数f(x)恒有意义,某某数a 的取值X 围;(2)是否存在这样的实数a ,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1?如果存在,试求出a 的值;如果不存在,请说明理由.(2)t(x)=3-ax ,∵a>0,∴函数t(x)为减函数. ∵f(x)在区间[1,2]上为减函数,∴y=logat 为增函数,∴a>1,x∈[1,2]时,t(x)最小值为3-2a ,f(x)最大值为f(1)=loga(3-a),∴⎩⎪⎨⎪⎧3-2a>0,loga 3-a =1,即⎩⎪⎨⎪⎧a<32,a =32.故不存在这样的实数a ,使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数,并且最大值为1. 【感悟提升】在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时,一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件.【变式探究】(1)设a =log32,b =log52,c =log23,则( ) A .a>c>b B .b>c>a C .c>b>aD .c>a>b(2)若f(x)=lg(x2-2ax +1+a)在区间(-∞,1]上递减,则a 的取值X 围为( ) A .[1,2) B .[1,2] C .[1,+∞) D .[2,+∞) (3)设函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧log2x ,x>0,log 12-x ,x<0,若f(a)>f(-a),则实数a 的取值X 围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1) 【答案】 (1)D (2)A (3)C⎩⎪⎨⎪⎧g 1>0,a≥1,即⎩⎪⎨⎪⎧2-a>0,a≥1,解得1≤a<2,即a∈[1,2),故选A. (3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a>0,log2a>log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a<0,log 12-a >log2-a ,解得a>1或-1<a<0.高频考点五、比较指数式、对数式的大小例5、(1)设a =,b =0.30.5,c =log0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .c<b<a B .a<b<c C .b<a<cD .a<c<b(2)设a =log2π,b =log 12π,c =π-2,则( ) A .a>b>c B .b>a>c C .a>c>bD .c>b>a(3)已知324log 0.3log 3.4log 3.6155()5a b c =,=,=,则( )A .a>b>cB .b>a>cC .a>c>bD .c>a>b由图象知:log23.4>log3103>log43.6.方法二 ∵log3103>log33=1,且103<3.4,∴log3103<log33.4<log23.4.∵log43.6<log44=1,log3103>1,∴log43.6<log3103.∴log23.4>log3103>log43.6.由于y =5x 为增函数,∴52log 3.4>310log 35>54log 3.6.即52log 3.4>3log 0.31()5>54log 3.6,故a>c>b.【答案】 (1)C (2)C (3)C【感悟提升】(1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法.(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1.【2016·某某卷】已知a >b >1,若log a b +log b a =52,a b =b a,则a =________,b =________.【答案】 4 2【2015高考某某,理7】已知定义在R 上的函数()21x mf x -=- (m 为实数)为偶函数,记()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m === ,则,,a b c 的大小关系为( ) (A )a b c << (B )a c b << (C )c a b << (D )c b a << 【答案】C【解析】因为函数()21x mf x -=-为偶函数,所以0m =,即()21xf x =-,所以221log log 330.521(log 3)log 2121312,3a f f ⎛⎫===-=-=-= ⎪⎝⎭()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=所以c a b <<,故选C.【2015高考某某,理12】若4log 3a =,则22aa-+=.【答案】334. 【解析】∵3log 4=a ,∴3234=⇒=aa,∴33431322=+=+-aa . (2014·某某卷)已知实数x ,y 满足a x <a y(0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1) C. sin x >sin y D. x 3>y 3【答案】D(2014·某某卷)函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12∪[2,+∞) 【答案】C【解析】根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C. (2014·某某卷)若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1­1所示,则下列函数图像正确的是( )图1­1A BC D 【答案】B【解析】由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.(2014·某某卷)若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________. 【答案】50(2014·某某卷)已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则()A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a 【答案】C【解析】因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .(2014·某某卷)函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2) 【答案】D【解析】要使f (x )单调递增,需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4>0,x <0,解得x <-2.(2014·某某卷)在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a(x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )A BC D 【答案】D(2014·某某卷)函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.【答案】-14【解析】f (x )=log 2x ·log2(2x )=12log 2x ·2log 2(2x )=log 2x ·(1+log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝⎛⎭⎪⎫log 2x +122-14,所以当x =22时,函数f (x )取得最小值-14. (2013·某某卷)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<-1或x>12,则f(10x)>0的解集为( )A .{x|x<-1或x>-lg 2}B .{x|-1<x<-lg 2}C .{x|x>-lg 2}D .{x|x<-lg 2} 【答案】D【解析】根据已知可得不等式f(x)>0的解是-1<x<12,故-1<10x <12,解得x<-lg 2.(2013·某某卷)定义“正对数”:ln +x =⎩⎪⎨⎪⎧0,0<x<1,ln x ,x≥1.现有四个命题:①若a>0,b>0,则ln +(a b )=bln +a ; ②若a>0,b>0,则ln +(ab)=ln +a +ln +b ;③若a>0,b>0,则ln +⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ≥ln +a -ln +b ;④若a>0,b>0,则ln +(a +b)≤ln +a +ln +b +ln 2. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 【答案】①③④④中,若0<a +b<1,左边=ln +()a +b =0,右边=ln +a +ln +b +ln 2=ln 2>0,左边≤右边;若a +b≥1,ln+()a +b -ln 2=ln ()a +b -ln 2=lna +b2, 又∵a +b 2≤a 或a +b 2≤b,a ,b 至少有1个大于1,∴ln a +b 2≤ln a 或ln a +b 2≤ln b,即有ln+()a +b -ln 2=ln ()a +b -ln 2=lna +b 2≤ln +a +ln +b ,∴④正确. (2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( ) A .c >b >a B .b >c >a C .a >c >b D .a >b >c 【答案】D【解析】a -b =log 36-log 510=(1+log 32)-(1+log 52)=log 32-log 52>0, b -c =log 510-log 714=(1+log 52)-(1+log 72)=log 52-log 72>0, 所以a>b>c ,选D.(2013·某某卷)已知x ,y 为正实数,则( ) A .2lg x +lg y=2lg x+2lg yB .2lg(x +y)=2lg x·2lg yC .2lg x·lg y =2lg x +2lg y D .2lg(xy)=2lg x·2lg y【答案】D【解析】∵lg(xy)=lg x +lg y ,∴2lg(xy)=2lg x +lg y=2lgx 2lgy,故选择D.1.设a ,b 为正实数,则“a >b >1”是“log 2a >log 2b >0”的( ) A .充分必要条件B .充分不必要条件C .必要不充分条件D .既不充分也不必要条件【答案】 A2.已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ) A .a =b <c B .a =b >cC .a <b <cD .a >b >c【解析】 因为a =log 23+log 23=log 233=32log 23>1,b =log 29-log 23=log 233=a ,c=log 32<log 33=1. 【答案】 B3.若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )【解析】 由题意y =log a x (a >0,且a ≠1)的图象过(3,1)点,可解得a =3.选项A 中,y =3-x=⎝ ⎛⎭⎪⎫13x,显然图象错误;选项B 中,y =x 3,由幂函数图象可知正确;选项C 中,y =(-x )3=-x 3,显然与所画图象不符;选项D 中,y =log 3(-x )的图象与y =log 3x 的图象关于y 轴对称,显然不符.故选B. 【答案】 B4.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ,x >0,3-x +1,x ≤0,则f (f (1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312的值是( )A .5B .3C .-1 D.72【解析】 由题意可知f (1)=log 21=0,f (f (1))=f (0)=30+1=2,f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312=3-log 312+1=3log 32+1=2+1=3,所以f (f (1))+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312=5. 【答案】 A5.知a ,b >0且a ≠1,b ≠1,若log a b >1,则( ) A .(a -1)(b -1)<0 B .(a -1)(a -b )>0 C .(b -1)(b -a )<0D .(b -1)(b -a )>0【答案】 D7.已知函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数,若a =f (20.3),b =f (log 124),c =f (log 25),则a ,b ,c 的大小关系是( )A .a >b >cB .c >b >aC .c >a >bD .a >c >b【解析】 函数y =f (x )是定义在R 上的偶函数,当x ∈(-∞,0]时,f (x )为减函数, ∴f (x )在[0,+∞)为增函数,∵b =f (log 124)=f (-2)=f (2),1<20.3<2<log 25,∴c >b >a . 【答案】 B8.已知函数f (x )=ln x1-x,若f (a )+f (b )=0,且0<a <b <1,则ab 的取值X 围是________.【解析】 由题意可知ln a 1-a +ln b1-b =0,即ln ⎝⎛⎭⎪⎫a 1-a ×b 1-b =0,从而a 1-a ×b 1-b =1,化简得a +b =1,故ab =a (1-a )=-a 2+a =-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14,又0<a <b <1,∴0<a <12,故0<-⎝ ⎛⎭⎪⎫a -122+14<14.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,149.设f (x )=log ⎝⎛⎭⎪⎫21-x +a 是奇函数,则使f (x )<0的x 的取值X 围是________.【答案】 (-1,0)10.设函数f (x )满足f (x )=1+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 2x ,则f (2)=________. 【解析】 由已知得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=1-f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·log 22,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12,则f (x )=1+12·l og 2x ,故f (2)=1+12·log 22=32. 【答案】 3211.设f (x )=log a (1+x )+log a (3-x )(a >0,a ≠1),且f (1)=2. (1)求a 的值及f (x )的定义域;(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上的最大值. 解 (1)∵f (1)=2,∴log a 4=2(a >0,a ≠1), ∴a =2.由⎩⎪⎨⎪⎧1+x >0,3-x >0,得-1<x <3,∴函数f (x )的定义域为(-1,3). (2)f (x )=log 2(1+x )+log 2(3-x )=log 2(1+x )(3-x )=log 2[-(x -1)2+4],∴当x ∈(-1,1]时,f (x )是增函数; 当x ∈(1,3)时,f (x )是减函数,故函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,32上的最大值是f (1)=log 24=2. 12.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且f (0)=0,当x >0时,f (x )=log 12x .(1)求函数f (x )的解析式; (2)解不等式f (x 2-1)>-2.所以不等式f (x 2-1)>-2转化为f (|x 2-1|)>f (4). 又因为函数f (x )在(0,+∞)上是减函数, 所以|x 2-1|<4,解得-5<x <5, 即不等式的解集为(-5,5).13.设x ∈[2,8]时,函数f (x )=12log a (ax )·log a (a 2x )(a >0,且a ≠1)的最大值是1,最小值是-18,求a 的值.解 由题意知f (x )=12(log a x +1)(log a x +2)=12(log 2a x +3log a x +2)=12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a x +322-18.当f (x )取最小值-18时,log a x =-32.又∵x ∈[2,8],∴a ∈(0,1). ∵f (x )是关于log a x 的二次函数,∴函数f (x )的最大值必在x =2或x =8时取得. 若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 2+322-18=1,则a =2-13,此时f (x )取得最小值时,x =(2-13)-32=2∉[2,8],舍去.若12⎝ ⎛⎭⎪⎫log a 8+322-18=1,则a =12,此时f (x )取得最小值时,x =⎝ ⎛⎭⎪⎫12-32=22∈[2,8],符合题意,∴a =12.。

(新人教)高三数学第一轮复习教案2.8.1对数函数

(新人教)高三数学第一轮复习教案2.8.1对数函数

教案课题2.8.1对数函数教学目标(一)教学知识点1、对数函数的概念.2、对数函数的图象和性质(二)能力训练要求1、理解对数函数的的概念.2、掌握对数函数的图象和性质.3、培养学生数形结合的意识.(三)德育渗透目标1、用联系的观点分析问题.2、认识事物之间的相互转化.3、了解对数函数在生产在的简单应用.教学重点对数函数的图象和性质教学难点对数函数指数函数的关系教学方法学引法在引入对数函数概念时,引导学生注意提出对数函数与指数函数互为反函数这一点,然后对数函数的解析式可以通过对指数函灵敏求反函数得到,再根据互为反函数的值域、定义域的相互关系,可得对数函数的定义域也就是指数函数的值域,对数函数的值域也就是指数函数的定义域.教学过程Ⅰ复习回顾我们研究指数函数时,曾经讨论过细胞分裂问题.某种细胞分裂时,得到的细胞的个数I y是分裂次数x的函数,这个函数可以用指数函数y=2 x表示.现在,我们来研究相反的问题,如果要求这种细胞经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个……细胞,那么,分裂次数x就是要得到的细胞个数y的函数.根据对数的定义,这个函数可以写成对数的形式就是x=㏒2 y.如果用x表示自变量,y表示函数,这个函数就是y=㏒2 x.由反函数概念可知,y=㏒2 x与y=2 x指数函数互为反函数.这一节,我们来研究指数函数的反函数对数函数.Ⅱ新课讲授1、对数函数定义一般地,当a>0且a≠1时,函数y=㏒2 x.叫做结数函数.在a b = N中, 底数a不变, 指数b变为x, 幂N变为y, 得到指数函数y= a x. 在a b = N中, 底数a不变,指数b变为y,幂N变为x, 得到对数函数y = log a x.这里大家要明确,对数函数与指数函数互为反函数,所以,对数函数的解析式可以由指数函数求反函数得到,对数函数的定义域、值域也就是指数函数的值域、定义域.即对数函数的定义域是(0,+∞),值域是R.作图y = log2 x y = logxⅢ巩固练习求下列函数的反函数(1)函数y = 4x(x∈R)的反函数是y = log4 x (x>0)(2)函数y = 0.25x(x∈R)的反函数是y = log0.25 x (x>0)(3)函数y =2log4 x (x>0)的反函数是y = 4x/2(x∈R)(4)函数y = log a(2x) (a >0且a≠1 , x>0) 的反函数是y = (1/2)a x(x∈R)(5)函数y = log a (x/2 ) (a >0且a≠1, x >0) 的反函数是y = 2a x(x∈R)求函数的定义域:1. 分式中分母不能为零;2. 开偶次方根时,被开方数非负;123. 对数中,真数大于零.例1 求下列函数的定义域:(1)y = log a x2 ;解: 要使数有意义,必须x2 >0, 即x≠0,∴函数y = log a x2的定义域是{x∣x≠0}.(2) y = log a(4-x);解: 要使函数有意义,必须 4 - x >0, 即x<4,(3) y = log a(9-x2);解: 要使函数有意义,必须9 –x2 >0, x2<9,即-3<x<3,∴函数y = log a(9-x2)的定义域是{x∣-3<x<3}.Ⅳ课堂练习:课本P6练习1,2.Ⅶ课时小结:1.回顾本节课的学习内容:对数函数的定义,图象及函数的性质.2.中学阶段研究函数性质的方法:通过观察函数的图象,从图象中直观地得到函数的性质.3.用运动变化的观点来考察对数函数:这一类函数的图象随着底数的变化而变化的情况,从底数的角度认识对数函数的性质.1.(3)(5) 2二、预习内容:Ⅴ课后作业:一、课本P891、预习课本P88例2例3.2、预习提纲⑴同底数的两对数如何比较大小?⑵不同底数的两对数如何比较大小?。

高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文 教案

高三数学第一轮复习 对数与对数函数教案 文 教案

对数与对数函数一、知识梳理:(阅读教材必修1第62页—第76页)1、对数与对数的运算性质(1)、一般地,如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数,记做x= ,其中a叫做对数的底,叫做对数的真数。

(2)、以10为底的对数叫做常用对数,并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数,并把记为lnN. (3)、根据对数的定义,可以得到对数与指数和关系:(4)、零和负数没有对数; =1; =0;=N(5)、对数的运算性质:如果,M>0,N>0 ,那么=+==n(n)换底公式:=对数恒等式:=N2、对数函数与对数函数的性质(1)、一般地,我们把函数f(x)=)叫做对函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+。

(2)、对数函数的图象及性质图象的性质:①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数:对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一:对数的运算例1:(15年安徽文科)=-+-1)21(2lg225lg。

【答案】-1【解析】试题分析:原式=12122lg5lg2lg22lg5lg-=-=-+=-+-考点:对数运算.例2:【2014辽宁高考】已知132a-=,21211log,log33b c==,则()A.a b c>>B.a c b>>C.c a b>>D.c b a>>例3:【2015高考浙江】若4log3a=,则22a a-+=.【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二:对数函数及其性质例4:【2014江西高考】函数)ln()(2xxxf-=的定义域为()A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞ D. ),1[]0,(+∞-∞例5:下列关系 中,成立的是(A )、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例7:【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()xm f x m 为实数为偶函数,记0.5(log 3),af 2b(log 5),c(2)f f m ,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a(B) b c a (C) b a c (D) b c a【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.例8:【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升:1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题,尤其在大题中【最后的导数题】,一定要首先考虑函数的定义域,然后在定义域中研究问题,以避免忘记定义域出现错误;2、 在2015年高考小题中,考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系,中档难度。

高三数学一轮复习讲义 对数与对数函数教案 新人教A版

高三数学一轮复习讲义 对数与对数函数教案 新人教A版

10 对数与对数函数高考要求: 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数,了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点,知道指数函数y =a x与对数函数y =log a x 互为反函数(a>0,a ≠1),体会对数函数是一类重要的函数模型.知识梳理1.对数的概念 (1)对数的定义如果a x=N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作___ x =log a N ___,其中__ a __叫做对数的底数,__ N __叫做真数.真数N 为正数(负数和零无对数). 说明:①实质上,上述对数表达式,不过是指数函数x a y =的另一种表达形式,例如:8134=与81log 43= 这两个式子表达是同一关系,因此,有关系式.log N x N a a x =⇔=②“log ”同“+”“×”“”等符号一样,表示一种运算,即已知一个数和它的幂求指数的运算,这种运算叫对数运算,不过对数运算的符号写在数的前面。

③对数的底数和真数从对数的实质看:如果a b=N (a >0且a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 的对数,即b =log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1;N 在对数式中叫真数,在指数式中,它就是幂,所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数2.对数的性质与运算法则 (1)对数的性质(a>0且a ≠1) ①Na alog =__ N __;②1log a =__0__;③N a a log =_ N ___;④a a log =_1___.(2)对数的重要公式①换底公式:log b N =____log a N log a b______(a ,b 均大于零且不等于1);②log a b =1log b a,推广og a b ·log b c ·log c d =_ log a d ___.(3)对数的运算法则如果a>0且a ≠1,M>0,N>0,那么① log a (MN)=___ log a M +log a N _____;②log a MN =___ log a M -log a N ________;③log a M n=___ nlog a M __ (n ∈R );④na M m log =n mlog a M .点评:(1)要熟练掌握公式的运用和逆用。

高考数学一轮复习《对数函数》教案

高考数学一轮复习《对数函数》教案

福建省长泰一中高考数学一轮复习《对数函数》教案1.对数:⑤ log m na a nb b m = .例1 计算:(1))32(log32-+(2)2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-;基础过关典型例题(3)21lg4932-34lg 8+lg 245. 解:(1)方法一设)32(log32-+=x,(2+3)x=2-3=321+=(2+3)-1,∴x=-1.方法二)32(log 32-+=32log +321+=32log+(2+3)-1=-1.(1)log 2487+log 212-21log 242-1;(2)(lg2)2+lg2·lg50+lg25;(3)(log 32+log 92)·(log 43+log 83).解:(1)原式=log 2487+log 212-log 242-log 22=log 2.232log 221log 242481272322-===⨯⨯⨯-(2)原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2. (3)原式=(.452lg 63lg 5·3lg 22lg 3)2lg 33lg 2lg 23lg (·)3lg 22lg 3lg 2lg ==++ 例2 比较下列各组数的大小. (1)log 332与log 556;2)log 1.10.7与log 1.20.7;(3)已知log 21b <log 21a <log 21c,比较2b,2a,2c的大小关系.解:(1)∵log 332<log 31=0,log 556>log 51=0,∴log 332<log 556.(2)方法一 ∵0<0.7<1,1.1<1.2,0>2.1log 1.1log 7.00.7>,∴2.1log 11.1log 17.07.0<,即由换底公式可得log 1.10.7<log 1.20.7.方法二 作出y=log 1.1x 与y=log 1.2x 的图象.如图所示两图象与x=0.7相交可知log 1.10.7<log 1.20.7. (3)∵y=x 21log 为减函数,且c a b 212121log log log <<,∴b >a >c,而y=2x 是增函数,∴2b >2a >2c.变式训练2:已知0<a <1,b >1,ab >1,则log a bb bba1log ,log ,1的大小关系是 ( )A.log a bb bba1log log 1<<B.bb b b aa1log 1loglog << C.b b b a ba1log 1loglog << D.b bb a a b log 1log 1log << 解: C例3已知函数f(x)=log a x(a >0,a ≠1),如果对于任意x ∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1成立, 试求a 的取值范围.解:当a >1时,对于任意x ∈[3,+∞),都有f(x)>0. 所以,|f(x)|=f(x ),而f(x)=log a x 在[3,+∞)上为增函数, ∴对于任意x ∈[3,+∞),有f(x)≥log a 3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x ∈[3,+∞)都成立. 只要log a 3≥1=log a a 即可,∴1<a ≤3. 当0<a <1时,对于x ∈[3,+∞),有f(x)<0, ∴|f(x)|=-f(x). ∵f (x )=log a x 在[3,+ ∴-f (x )在[3,+∞)上为增函数. ∴对于任意x ∈[3,+ |f(x)|=-f(x)≥-log a 3.因此,要使|f(x)|≥1对于任意x ∈[3,+ 只要-log a 3≥1 ∴log a 3≤-1=log aa1,即a 1≤3,∴31≤a < 1.综上,使|f(x)|≥1对任意x ∈[3,+∞)都成立的a 的取值范围是:(1,3]∪[31,1). 变式训练3:已知函数f (x )=log 2(x 2-ax-a)在区间(-∞,1-3]上是单调递减函数.求实数a的取值范围. 解:令g(x)=x 2-ax-a,则g(x)=(x-2a )2-a-42a ,由以上知g(x )的图象关于直线x=2a对称且此抛物线开口向上.因为函数f(x)=log 2g(x)的底数2>1, 在区间(-∞,1-3]上是减函数,所以g(x)=x 2-ax-a 在区间(-∞,1-3]上也是单调减函数,且g(x)>0.∴⎪⎩⎪⎨⎧>-----≥⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-0)31()31(3220)31(2312a a a g a ,即 解得2-23≤a <2.故a 的取值范围是{a|2-23≤a <2}.例4 已知过原点O 的一条直线与函数y=log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过A 、B 作y 轴的平行与函数y=l og 2x 的图象交于C 、D 两点. (1)证明:点C 、D 和原点O (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标. (1)证明 设点A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2,由题设知x 1>1,x 2>1,则点A 、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x 2. 因为A 、B 在过点O 的直线上,所以228118log log x x x x = 点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1)、(x 2,log 2x 2), 由于log 2x 1=2log log 818x =3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,OC 的斜率为k 1=118112log 3log x x x x =,OD 的斜率为,log 3log 2282222x x x x k ==由此可知k 1=k 2,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解: 由于BC 平行于x 轴,知log 2x 1=log 8x 2,即得log 2x 1=31log 2x 2,x 2=x 31, 代入x 2lo g 8x 1=x 1log 8x 2,得x 31log 8x 1=3x 1log 8x 1,由于x 1>1,知log 8x 1≠0,故x 31=3x 1, 又因x 1>1,解得x 1=3,于是点A 的坐标为(3,log 83). 变式训练4:已知函数f(x)=log 211-+x x +log 2(x-1)+log 2(p-x).(1)求f(x)的定义域; (2)求f(x)的值域.解:(1)f(x)有意义时,有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>->->-+,③0,②01,①011x p x xx由①、②得x >1,由③得x <p,因为函数的定义域为非空数集,故p >1,f(x)的定义域是(1,p).(2)f(x)=log 2[(x+1)(p-x)]=log 2[-(x-21-p )2+4)1(2+p ] (1<x <p),①当1<21-p <p ,即p >3时, 0<-(x-4)1(4)1()21222+≤++-p p p,∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x ≤2log 2(p+1)-2.②当21-p ≤1,即1<p ≤3时,∵0<-(x -),1(24)1()2122-<++-p p p ∴log 2⎥⎦⎤⎢⎣⎡++---4)1()21(22p p x <1+log 2(p-1).综合①②可知:当p>3时,f(x)的值域是(-∞,2log2(p+1)-2];当1<p≤3时,函数f(x)的值域是(-∞,1+log2(p-1)).小结归纳1.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识,要达到熟练、运用自如的水平,使用时常常要结合对数的特殊值共同分析.3.含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类.4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透或综合.。

(新人教)高三数学第一轮复习教案2.8.3对数函数(3)

(新人教)高三数学第一轮复习教案2.8.3对数函数(3)

一.课题:对数(3)——对数函数性质的综合运用二.教学目标:1.会利用对数函数的性质求复合函数的值域、单调区间及判断奇偶性;2.能熟练地运用对数函数的性质解题;3.提高学生分析问题和解决问题的能力。

三.教学重、难点:1.复合函数的值域及单调区间;2.对数函数的图象和性质在解题中的运用。

四.教学过程:(一)复习:对数函数的图象及性质(由学生画图并结合图形描述性质)。

(二)新课讲解:例1.求下列函数的值域:(1)2log (3)y x =+;(2)22log (3)y x =-;(3)2log (47)a y x x =-+(0a >且1a ≠).解:(1)令3t x =+,则2log y t =,∵0t >, ∴y R ∈,即函数值域为R .(2)令23t x =-,则03t <≤,∴2log 3y ≤, 即函数值域为2(,log 3]-∞.(3)令2247(2)33t x x x =-+=-+≥,当1a >时,log 3a y ≥, 即值域为[log 3,)a +∞,当01a <<时,log 3a y ≤, 即值域为(,log 3]a -∞.例2.判断函数2()log )f x x =的奇偶性。

x >恒成立,故()f x 的定义域为(,)-∞+∞,2()log )f x x -=2log =-2log =-2log ()x f x =-=-,所以,()f x 为奇函数。

例3.求函数2132log (32)y x x =-+的单调区间。

解:令223132()24u x x x =-+=--在3[,)2+∞上递增,在3(,]2-∞上递减, 又∵2320x x -+>, ∴2x >或1x <,故232u x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减, 又∵132log y u =为减函数, 所以,函数2132log (32)y x x =-+在(2,)+∞上递增,在(,1)-∞上递减。

浙江省衢州市高三数学一轮复习 对数与对数函数2教案

浙江省衢州市高三数学一轮复习 对数与对数函数2教案

浙江省衢州市高三数学一轮复习 对数与对数函数2教案教材分析:对数函数放在指数函数之后学习,它是指数函数的反函数,与指数函数关系密切。

对数函数的性质是高考的热点,题型一般为选择题、填空题,属于中低档题。

主要考察利用对数函数的性质比较数值大小,求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。

学情分析:对数函数是指数函数的反函数,在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系,在此基础上研究对数的相关性质。

由于对数是高一上学期学的,现在对于这些概念性的题肯定已经模糊,故在教学上以基本的概念、性质为主,为接下来对数函数性质的学习做铺垫。

教学目标:C 层目标1. 通过实例推导对数的运算性质,准确地运用对数运算性质进行运算,求值、化简,并掌握化简求值的技能;B 层目标2. 运用对数运算性质解决有关问题; A 层目标3. 培养学生分析、综合解决问题的能力. 教学重点:对数运算的性质与对数知识的应用. 教学难点:正确使用对数的运算性质. 教学过程: 一、知识梳理:1.复习回顾对数的定义及对数恒等式log b a N b a N =⇔= (a >0,且a ≠1,N >0), 指数的运算性质.;m n m n m n m n a a a a a a +-⋅=÷=();nm nmnma a a ==2.对数运算性质我们知道,对数式可看作指数运算的逆运算,你能从指数与对数的关系以及指数运算性质,得出相应的对数运算性质吗?如我们知道mnm na a a +⋅=,那m n +如何表示,能用对数式运算吗?如:,,mnm nm n a a aM a N a +⋅===设。

于是,m nMN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+= MN N M a a a log log log =+∴即:同底对数相加,底数不变,真数相乘提问:你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗?(让学生探究,讨论)如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么: (1)log log log a a a MN M N =+ (2)log log log aa a MM N N=- (3)log log ()n a a M n M n R =∈证明:(2)令,m n M a N a ==则:m n m n Ma a a N-=÷= log a Mm n N∴-=又由,m n M a N a ==log ,log a a m M n N ∴==即:log log log a a aM M N m n N-=-= (3)0,log ,N nna n N M M a ≠==时令则 log ,b na b n M M a ==则N b n na a ∴= Nb ∴=即M n M a n a log log = 当n =0时,显然成立. log log n a a M n M ∴=提问:1. 在上面的式子中,为什么要规定a >0,且a ≠1,M >0,N >0? 你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?二、例题讲解例题:1. 判断下列式子是否正确,a >0且a ≠1,x >0且a ≠1,x >0,x >y ,则有(1)log log log ()a a a x y x y ⋅=+ (2)log log log ()a a a x y x y -=- (3)log log log aa a xx y y=÷ (4)log log log a a a xy x y =-(5)(log )log n a a x n x = (6)1log log a a x x=- (71log a x n=例2:用log a x ,log a y ,log a z 表示出(1)(2)小题,并求出(3)、(4)小题的值.(1)log a xy z (2)log a (3)75log (42)z ⨯ (4)分析:利用对数运算性质直接计算: (1)log log log log log log a a a a a a xyxy z x y z z=-=+- (2)2log log log log log log aa a a aa x x ==+ =112log log log 23a a a x y z +- (3)7575222log (42)log 4log 214519⨯=+=+= (4)252lg105==点评:此题关键是要记住对数运算性质的形式,要求学生记住公式. 提出问题:你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗? a >0,且a ≠1,c >0,且e ≠1,b >0log log log c a c bb a=先让学生自己探究讨论,教师巡视,最后投影出证明过程. 设log ,log ,,M N c c M a N b a c b c ====则 且11,()N NMMMac a ab ====N所以c即:log log ,log c a c b N N b M M a ==又因为 所以:log log log c a c bb a=小结:以上这个式子换底公式,换的底C 只要满足C >0且C ≠1就行了,除此之外,对C 再也没有什么特定的要求.两个常用的推论:①xx b a b a b a b a log log .log ,1log .log ==②b mnb a na m log log =(a,b>0且不为1)例3、计算(1)3log 12.05- (2)4219432log 2log .3log -三、归纳小结(1)积、商、幂的对数运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么:①log log log a a a MN M N =+ ②log log log aa a MM N N=- ③log log ()n a a M n Mn R =∈(2)对数换底公式:log log log c a c bb a=两个常用的推论:①xx b a b a b a b a log log .log ,1log .log ==②b mnb a na m log log =(a,b>0且不为1)四、布置作业C 组1、计算(1)1log 4.0 (2))24(log 572⨯ (3)5100lg (4)9lg 243lg B 组2、已知b c x a a +=log log ,求x 的值。

高考数学一轮复习 第二章 函数2.6对数与对数函数教学案 理

高考数学一轮复习 第二章 函数2.6对数与对数函数教学案 理

2.6 对数与对数函数考纲要求1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点.3.知道对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y =a x与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数.(1)对数的运算性质如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (M ·N )=__________;②loga MN =__________;③log a M n=______(n ∈R ).(2)换底公式log a b =______________________. 4.对数函数的图象和性质 (1)对数函数的定义一般地,我们把函数y =__________叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)._________ ____________,即x =1时,单调性:在(0,+∞)上是单调性:在(0,+∞)上是1时,y ∈____________ <1时,y ∈______时,y ∈______函数y =a x(a >0,且a ≠1)与函数__________互为反函数.1.若a >0,a ≠1,x >y >0,n ∈N *,则下列各式:①(log a x )n=n log a x ;②(log a x )n =log a x n;③log a x =-log a 1x;④nlog a x =1nlog a x ;⑤log a x n=log a nx ;⑥log a x -y x +y =-log a x +y x -y.其中正确的有( ).A .2个B .3个C .4个D .5个2.函数y =2-xlg x的定义域是( ).A .{x |0<x <2}B .{x |0<x <1,或1<x <2}C .{x |0<x ≤2}D .{x |0<x <1,或1<x ≤2}3.已知0<log a 2<log b 2,则a ,b 的关系是( ). A .0<a <b <1 B .0<b <a <1 C .b >a >1 D .a >b >14.(2012安徽高考)(log 29)·(log 34)=( ). A.14 B.12C .2D .45.函数y=log a(x-1)+2(a>0且a≠1)的图象恒过一定点是__________.一、对数式的化简与求值【例1-1】若x log32=1,则4x+4-x=__________.【例1-2】 (2012北京高考)已知函数f(x)=lg x,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=__________.方法提炼对数式化简求值的基本思路:(1)利用换底公式及logma N n=nmlog a N尽量地转化为同底的和、差、积、商的运算;(2)利用对数的运算法则,将对数的和、差、倍数运算,转化为对数真数的积、商、幂再运算;(3)利用约分、合并同类项,尽量地求出具体值.请做演练巩固提升1二、对数函数的图象与性质【例2-1】已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x+1)=f(x-1),且x∈[-1,1]时,f(x)=x2,则函数y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为__________.【例2-2】已知f(x)=log a(a x-1)(a>0,且a≠1).(1)求f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的单调性.方法提炼1.利用复合函数(只限由两个函数复合而成的)判断函数单调性的方法:(1)找出已知函数是由哪两个函数复合而成的;(2)当外函数为对数函数时,找出内函数的定义域;(3)分别求出两函数的单调区间;(4)按照“同增异减”确定函数的单调区间.提醒:研究函数的单调区间一定要在函数的定义域上进行.2.图中各函数的底数a,b,c,d与1的大小关系可按下列规律进行记忆:图中直线y=1与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数,∴0<c<d<1<a<b,在x轴上方由左到右底数逐渐增大,在x轴下方由左到右底数逐渐减小.请做演练巩固提升2三、对数函数性质的综合应用【例3-1】(2012上海高考改编)已知f (x )=lg(x +1). (1)若0<f (1-2x )-f (x )<1,求x 的取值范围;(2)若g (x )是以2为周期的偶函数,且当0≤x ≤1时,有g (x )=f (x ),求函数y =g (x )(x ∈[1,2])的解析式.【例3-2】 已知函数f (x )=-x +log 21-x1+x.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 014的值; (2)当x ∈(-a ,a ],其中a ∈(0,1),a 是常数时,函数f (x )是否存在最小值?若存在,求出f (x )的最小值;若不存在,请说明理由.方法提炼1.求f (a )+f (-a )的值,常常联想到函数的奇偶性,因此,解此类问题一般先判断奇偶性,再求值.2.求形如f (2 014),f (2 013)的值往往与函数的周期有关,求此类函数值一般先研究函数的周期性.3.已知函数的最值或求函数的最值,往往探究函数的单调性. 请做演练巩固提升5幂值、对数值大小比较问题不能准确作出图象而致误【典例】 已知a =2log 3.45,b =4log 3.65,c =3log 0.315⎛⎫⎪⎝⎭,则( ).A .a >b >cB .b >a >cC .a >c >bD .c >a >b解析:c =3log 0.315⎛⎫⎪⎝⎭=3log 0.35-=310log 35,log 2 3.4>log 2 2=1,log 43.6<log 4 4=1,log 3 103>log 3 3=1,又log 2 3.4>log 2 103>log 3 103,∴log 2 3.4>log 3 103>log 4 3.6.又∵y =5x是增函数,∴a >c >b . 答案:C答题指导:通过高考阅卷的数据分析与总结,我们可以得到以下误区警示及备考建议:1.本题避开传统单独幂值或对数值的大小比较问题的命题思路,而是将幂值与对数值大小比较问题揉合在一起考查.易错误区有:(1)不能准确地作出图象,利用图象进行大小比较. (2)找不到比较大小的中介值而影响大小的比较.2.通过对该题的解答过程来看,我们在备考中要注意: (1)加强对指数、对数知识交汇处试题的训练.(2)重视指数函数、对数函数图象、性质的学习,提高图象、性质的应用能力.(3)强化幂值与对数值混杂在一起进行大小比较问题的求解方法,即引入中间量分组比较法的训练.1.(2012重庆高考)已知a =log 23+log 23,b =log 29-log 23,c =log 32,则a ,b ,c 的大小关系是( ).A .a =b <cB .a =b >cC .a <b <cD .a >b >c 2.函数f (x )=2|log |2x 的图象大致是( ).3.已知函数f (x )=a log 2x +b log 3x +2,且f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014=4,则f (2 014)的值为__________.4.已知lg x +lg y =2lg(2x -3y ),则32log xy的值为__________.5.已知函数f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ),a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域;(2)判断f (x )的奇偶性,并予以证明;(3)当a >1时,求使f (x )>0的x 的取值范围.参考答案基础梳理自测知识梳理1.a b=N (a >0,且a ≠1) b =log a N a N (1)负数和零 (2)0 (3)1 (4)N 2.log a N 10 lg N e ln N3.(1)①log a M +log a N ②log a M -log a N③n log a M (2)log c blog c a(a >0,且a ≠1;c >0,且c ≠1;b >0)4.(1)log a x (a >0,且a ≠1) (2)(0,+∞) R (1,0) 0 增函数 减函数 (-∞,0) (0,+∞) (0,+∞) (-∞,0)5.y =log a x (a >0,且a ≠1) 基础自测1.B 解析:由对数运算性质可知③⑤⑥正确.2.D 解析:由⎩⎪⎨⎪⎧2-x ≥0,x >0,x ≠1,得0<x <1或1<x ≤2.3.D 解析:由0<log a 2<log b 2知,a ,b 均大于1. 又log 2a >log 2b ,∴a >b ,∴a >b >1.4.D 解析:原式=(log 232)·(log 322)=4(log 23)·(log 32)=4·lg 3lg 2·lg 2lg 3=4.5.(2,2) 考点探究突破【例1-1】 829解析:由x log 32=1,得x =log 23,∴4x +4-x =2log 34+2log 34-=9+19=829.【例1-2】 2 解析:由已知可得,lg(ab )=1,∴f (a 2)+f (b 2)=lg a 2+lg b 2=lg(a 2b 2)=2lg(ab )=2×1=2.【例2-1】4 解析:由f (x +1)=f (x -1),得f (x )=f (x +2),则函数f (x )是以2为周期的函数,作出函数y =f (x )与y =log 5x 的图象(如图),可知函数y =f (x )与y =log 5x 的图象的交点个数为4.【例2-2】解:(1)由a x -1>0,得a x>1. 当a >1时,x >0; 当0<a <1时,x <0.∴当a >1时,f (x )的定义域为(0,+∞); 当0<a <1时,f (x )的定义域为(-∞,0). (2)当a >1时,设0<x 1<x 2,则1<1x a <2x a ,故0<1x a -1<2x a -1, ∴log a (1x a -1)<log a (2x a -1). ∴f (x 1)<f (x 2).故当a >1时,f (x )在(0,+∞)上是增函数.类似地,当0<a <1时,f (x )在(-∞,0)上为增函数.【例3-1】解:(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2-2x >0,x +1>0,得-1<x <1.由0<lg(2-2x )-lg(x +1)=lg 2-2x x +1<1得1<2-2xx +1<10.因为x +1>0,所以x +1<2-2x <10x +10,-23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧-1<x <1,-23<x <13,得-23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此y =g (x )=g (x -2)=g (2-x ) =f (2-x )=lg(3-x ).【例3-2】 解:(1)f (x )的定义域是(-1,1),f (x )=-x +log 21-x1+x ,f (-x )=x +log 21+x1-x ,=-(-x )+log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1-x 1+x -1=-⎝⎛⎭⎪⎫-x +log 21-x 1+x =-f (x ). 即f (x )+f (-x )=0.所以f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014+f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12 014=0.(2)令t =1-x 1+x =-1+21+x在(-1,1)内单调递减,y =log 2t在t >0上单调递增,所以f (x )=-x +log 21-x1+x在(-1,1)内单调递减.所以当x ∈(-a ,a ],其中a ∈(0,1),函数f (x )存在最小值f (a )=-a +log 21-a1+a.演练巩固提升1.B 解析:a =log 23+log 23=log 233,b =log 29-log 23=log 233,因此a =b ,而log 233>log 22=1,log 32<log 33=1,所以a =b >c ,故选B.2.C 解析:∵f (x )=2|log |2x=⎩⎪⎨⎪⎧x ,x ≥1,1x,0<x <1,∴选C.3.0解析:∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014+f (2 014)=a log 212 014+b log 312 014+2+a log 22 014+b log 32 014+2=4,∴f (2 014)=0.4.2 解析:依题意,可得lg(xy )=lg (2x -3y )2,即xy =4x 2-12xy +9y 2,整理得4⎝ ⎛⎭⎪⎫x y 2-13⎝ ⎛⎭⎪⎫x y +9=0,解得x y =1或x y =94.∵x >0,y >0,2x -3y >0, ∴x y =94,∴32log xy=2. 5.解:(1)f (x )=log a (x +1)-log a (1-x ), 则⎩⎪⎨⎪⎧x +1>0,1-x >0,解得-1<x <1. 故所求定义域为{x |-1<x <1}. (2)f (x )为奇函数.证明如下:由(1)知f (x )的定义域为{x |-1<x <1},且f(-x)=log a(-x+1)-log a(1+x)=-[log a(x+1)-log a(1-x)]=-f(x).故f(x)为奇函数.(3)因为当a>1时,f(x)在定义域{x|-1<x<1}上是增函数,所以f(x)>0 x+11-x>1.解得0<x<1.所以使f(x)>0的x的取值范围是{x|0<x<1}.。

高三 一轮复习 对数及对数函数 教案

高三 一轮复习 对数及对数函数 教案

对数与对数函数1.对数的定义如果a x =N (a >0且a ≠1),那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.2.对数的性质与运算及换底公式 (1)对数的性质(a >0且a ≠1):①log a 1=0;②log a a =1;③a log a N =N . (2)对数的换底公式基本公式:log a b =log c blog c a (a ,c 均大于0且不等于1,b >0).(3)对数的运算法则:如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么 ①log a (M ·N )=log a M +log a N , ②log a MN =log a M -log a N ,③log a M n =n log a M (n ∈R ). 3.对数函数的图像与性质a >10<a <1图像定义域 (0,+∞)值域 R 定点 过点(1,0)单调性 在(0,+∞)上是增函数 在(0,+∞)上是减函数 函数值正负当x >1时,y >0; 当0<x <1,y <0当x >1时,y <0; 当0<x <1时,y >04.反函数指数函数y =a x (a >0且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)互为反函数,它们的图像关于直线y =x 对称.1.在运算性质log a M n =n log a M 中,易忽视M >0. 2.解决与对数函数有关的问题时易漏两点: (1)函数的定义域; (2)对数底数的取值范围. [试一试]1.(2013·苏中三市、连云港、淮安二调)“M >N ”是“log 2M >log 2N ”成立的____________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”).2.(2014·常州期末)函数f (x )=log 2(4-x 2)的值域为________.1.对数值的大小比较的基本方法(1)化同底后利用函数的单调性;(2)作差或作商法; (3)利用中间量(0或1);(4)化同真数后利用图像比较. 2.明确对数函数图像的基本点(1)当a >1时,对数函数的图像“上升”; 当0<a <1时,对数函数的图像“下降”.(2)对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像过定点(1,0),且过点(a,1)⎝⎛⎭⎫1a ,-1,函数图像只在第一、四象限. [练一练]1.函数y =log a (3x -2)(a >0,a ≠1)的图像经过定点A ,则A 点坐标是________.2.(2013·全国卷Ⅱ改编)设a =log 32,b =log 52,c =log 23,则a ,b ,c 的大小关系为________.考点一对数式的化简与求值计算下列各题:(1)lg 37+lg 70-lg 3-(lg 3)2-lg 9+1;(2)12lg 3249-43lg 8+lg 245[类题通法]对数运算的一般思路(1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后正用对数运算性质化简合并.(2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底对数真数的积、商、幂的运算.考点二对数函数的图像及应用[典例] (1)(2014·南通期末)如图,矩形ABCD 的三个顶点A ,B ,C 分别在函数y =log22x ,y =x 12,y =⎝⎛⎭⎫22x 的图像上,且矩形的边分别平行于两坐标轴.若点A 的纵坐标为2,则点D 的坐标为________.(2)当0<x ≤12时,4x <log a x ,则a 的取值范围是________.若本例(2)变为:若不等式(x -1)2<log a x 在x ∈(1,2)内恒成立,则实数a 的取值范围为________.[类题通法]应用对数型函数的图像可求解的问题(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解. [针对训练]已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧lg x , 0<x ≤10,⎪⎪⎪⎪-12x +6, x >10,若a ,b ,c 互不相等,且f (a )=f (b )=f (c ),则a +b +c 的取值范围是________.考点三对数函数的性质及应用[典例] 已知函数f (x )=log 4(ax 2+2x +3). (1)若f (1)=1,求f (x )的单调区间;(2)是否存在实数a ,使f (x )的最小值为0?若存在,求出a 的值;若不存在,说明理由.[类题通法]求复合函数y =f (g (x ))的单调区间的步骤(1)确定定义域;(2)将复合函数分解成基本初等函数y =f (u ),u =g (x ); (3)分别确定这两个函数的单调区间;(4)若这两个函数同增或同减,则y =f (g (x ))为增函数,若一增一减,则y =f (g (x ))为减函数,即“同增异减”. [针对训练]已知f (x )=log a (a x -1)(a >0且a ≠1). (1)求f (x )的定义域; (2)判断函数f (x )的单调性.[课堂练通考点]1.(2014·深圳第一次调研)设f (x )为定义在R 上的奇函数,当x >0时,f (x )=log 3(1+x ),则f (-2)=________.2.(2013·广东高考改编)函数y =lg (x +1)x -1的定义域是________.。

【推荐下载】高三数学一轮复习对数与对数函数1教案

【推荐下载】高三数学一轮复习对数与对数函数1教案

浙江省衢州市高三数学一轮复习对数与对数函数1教案教材分析:对数函数放在指数函数之后学习,它是指数函数的反函数,与指数函数关系密切。

对数函数的性质是高考的热点,题型一般为选择题、填空题,属于中低档题。

主要考察利用对数函数的性质比较数值大小,求定义域、值域以及对数函数与相应指数函数的关系。

学情分析:对数函数是指数函数的反函数,在研究对数函数之前首先要掌握指数式与对数式的对应关系,在此基础上研究对数的相关性质。

由于对数是高一上学期学的,现在对于这些概念性的题肯定已经模糊,故在教学上以基本的概念、性质为主,为接下来对数函数性质的学习做铺垫。

教学目标:1. 理解对数的概念,了解对数与指数的关系;2. 理解和掌握对数的性质;3. 掌握对数式与指数式的关系. 教学重点:对数式与指数式的互化及对数的性质教学难点:推导对数性质。

教学过程:一、知识梳理:1、对数的概念一般地,若(0,1)x a N a a 且,那么数x 叫做以a 为底N 的对数,记作log a x N a 叫做对数的底数,N 叫做真数.举例:如:24416,2log 16则,读作2是以4为底,16的对数. 1242,则41log 22,读作12是以4为底2的对数.提问:你们还能指出一些对数的例子吗?2、对数式与指数式的互化在对数的概念中,要注意:(1)底数的限制a >0,且a ≠1(2)log x a aN N x 指数式对数式幂底数←a →对数底数指数←x →对数幂←N →真数说明:对数式log a N 可看作一记号,表示底为a (a >0,且a ≠1),幂为N 的指数表示方程x a N (a >0,且a ≠1)的解. 也可以看作一种运算,即已知底为a (a >0,且a ≠1)幂为N ,求幂指数的运算. 因此,对数式log a N 又可看幂运算的逆运算.例题:例1 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式.(1)54=645 (2)61264(3)1() 5.733m(4)12log 164(5)10log 0.012(6)log 10 2.303e 注:(5)、(6)写法不规范,等到讲到常用对数和自然对数后,再向学生说明. (让学生自己完成,教师巡视指导)巩固练习:P 74练习 1、23.对数的性质:提问:因为a >0,a ≠1时,log x Naa N x 则由1、a 0=1 2、a 1=a 如何转化为对数式②负数和零有没有对数?③根据对数的定义,log a N a =?(以上三题由学生先独立思考,再个别提问解答)由以上的问题得到①011,a a a (a >0,且a ≠1)②∵a >0,且a ≠1对任意的x 恒有log x Naa N x 恒等式:log a N a =N4、两类对数①以10为底的对数称为常用对数,10log N 常记为lg N .②以无理数e=2.71828…为底的对数称为自然对数,log e N 常记为ln N .以后解题时,在没有指出对数的底的情况下,都是指常用对数,如100的对数等于2,即lg1002.说明:在例1中,10log 0.010.01,log 10ln10e 应改为lg 应改为.二、例题讲解例2:求下列各式中x 的值(1)642log 3x (2)log 86x (3)lg100x (4)2ln e x分析:将对数式化为指数式,再利用指数幂的运算性质求出x.解:(1)2223()323331(64)(4)4416x。

2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第7节 对数与对数函数教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第2章 函数 第7节 对数与对数函数教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习第2章函数第7节对数与对数函数教案理新人教版年级:姓名:对数与对数函数[考试要求] 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为2,10,12的对数函数的图象.3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数.1.对数的概念如果a x=N (a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x =log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.提醒:指数式与对数式的关系2.对数的性质、换底公式与运算性质 (1)对数的性质: ①log a 1=0;②a log a N=N ;③log a a b=b (a >0,且a ≠1).(2)换底公式: log a b =log c blog c a(a ,c 均大于0且不等于1,b >0). (3)对数的运算性质:如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么: ①log a (M ·N )=log a M +log a N ; ②log a M N=log a M -log a N ;③log a M n=n log a M (n ∈R ). 3.对数函数的定义、图象与性质定义函数y =loga x (a >0且a ≠1)叫做对数函数图象a >10<a <1性质定义域:(0,+∞)值域:R当x =1时,y =0,即过定点(1,0)当0<x <1时,y <0; 当x >1时,y >0当0<x <1时,y >0; 当x >1时,y <0在(0,+∞)上为增函数 在(0,+∞)上为减函数4.指数函数y =a x(a >0,且a ≠1)与对数函数y =log a x (a >0,且a ≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y =x 对称.[常用结论]1.换底公式的三个重要结论 (1)log a b =1log b a ;(2)log am b n=n mlog a b ;(3)log a b ·log b c ·log c d =log a d . 2.对数函数的图象与底数大小的关系如图,作直线y =1,则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数,故0<c <d <1<a <b .由此我们可得到以下规律:在第一象限内从左到右底数逐渐增大.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)函数y =log 2(x +1)是对数函数. ( ) (2)log 2x 2=2log 2x .( ) (3)函数y =ln 1+x1-x与y =ln(1+x )-ln(1-x )的定义域相同.( )(4)对数函数y =log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ,-1,函数图象不在第二、三象限. ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、教材习题衍生1.(log 29)·(log 34)=( ) A .14 B .12C .2D .4D [(log 29)·(log 34)=lg 9lg 2×lg 4lg 3=2lg 3lg 2×2lg 2lg 3=4.故选D .]2.已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >b >aD .c >a >bD [因为0<a <1,b <0,c =log 1213=log 23>1.所以c >a >b .故选D .]3.函数y =的定义域是________.⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1 [由(2x -1)≥0,得0<2x -1≤1.∴12<x ≤1. ∴函数y =的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12,1.]4.函数y =log a (4-x )+1(a >0,且a ≠1)的图象恒过点________. (3,1) [当4-x =1,即x =3时,y =log a 1+1=1. 所以函数的图象恒过点(3,1).]考点一 对数式的化简与求值对数运算的一般思路[典例1] (1)设2a =5b=m ,且a +b=2,则m 等于( )A .10B .10C .20D .100(2)计算log 23·log 38+(3)log 34的值为( )A .2B .3C .4D .5(3)(2020·全国卷Ⅲ)Logistic 模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域,有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位:天)的Logistic 模型:I (t )=K1+e-0.23t -53,其中K 为最大确诊病例数,当I (t *)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t *约为(ln 19≈3)( )A .60B .63C .66D .69(1)A (2)D (3)C [(1)由已知,得a =log 2m ,b =log 5m , 则1a +1b =1log 2m +1log 5m =log m 2+log m 5=log m 10=2. 解得m =10.故选A .(2)log 23·log 38=log 28=3,(3)log 34=312log 34=3log 32=2, ∴log 23·log 38+(3)log 34=5,故选D . (3)由题意可得,当I (t *)=0.95K 时,=0.95K ,∴119=e -0.23(t *-53),∴ln 19=0.23(t *-53),∴t *-53≈13,∴t *≈66,故选C .]点评:对数运算中log a b =1log b a是常用的性质之一. [跟进训练]1.(2020·全国卷Ⅰ)设a log 34=2,则4-a=( ) A .116 B .19 C .18 D .16B [法一:因为a log 34=2,所以log 34a =2,则有4a =32=9,所以4-a=14a =19,故选B .法二:因为a log 34=2,所以-a log 34=-2,所以log 34-a=-2,所以4-a=3-2=132=19,故选B . 法三:因为a log 34=2,所以a2=1log 34=log 43,所以4a2=3,两边同时平方得4a=9,所以4-a=14a =19,故选B .]2.(2019·北京高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m 2-m 1=52lg E 1E 2,其中星等为m k 的星的亮度为E k (k =1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为( )A .1010.1B .10.1C .lg 10.1D .10-10.1A [由题意知,m 1=-26.7,m 2=-1.45,代入所给公式得-1.45-(-26.7)=52lg E 1E 2,所以lg E 1E 2=10.1,所以E 1E 2=1010.1,故选A .]考点二 对数函数的图象及其应用利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合思想.(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解.[典例2] (1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中,函数y =a x ,y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +2(a >0,且a ≠1)的图象可能是( )A B C D (2)当0<x ≤12时,4x<log a x ,则a 的取值范围是( )A .⎝⎛⎭⎪⎫0,22B .⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1C .(1,2)D .(2,2)(1)D (2)B [(1)对于函数y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12,当y =0时,有x +12=1,得x =12,即y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12的图象恒过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫12,0,排除选项A 、C ;函数y =1a x 与y =log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +12在各自定义域上单调性相反,排除选项B ,故选D .(2)构造函数f (x )=4x和g (x )=log a x ,当a >1时不满足条件,当0<a <1时,画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12上的图象,可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,即2<log a 12,则a >22,所以a的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22,1.][母题变迁]1.将本例(2)中“4x<log a x ”变为“4x=log a x 有解”,a 的取值范围是________.⎝⎛⎦⎥⎤0,22 [若方程4x =log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12上有解,则函数y =4x与函数y =log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0,12上有交点.由图象可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1,log a 12≤2,解得0<a ≤22,即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤0,22.] 2.若将本例(2)变为:当0<x ≤14时,x <log a x ,则实数a 的取值范围为________.⎝ ⎛⎭⎪⎫116,1 [若x <log a x 在x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0,14上恒成立,则0<a <1,且y =x 的图象在y =log a x 图象的下方,如图所示,由图象知14<log a 14, 所以解得116<a <1.即实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫116,1.][跟进训练]1.已知函数y =log a (x +c )(a ,c 为常数,其中a >0,a ≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( )A .a >1,c >1B .a >1,0<c <1C .0<a <1,c >1D .0<a <1,0<c <1D [由对数函数的图象和性质及函数图象的平移变换知0<a <1,0<c <1.]2.已知不等式x 2-log a x <0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12恒成立,则实数a 的取值范围为________.⎣⎢⎡⎭⎪⎫116,1 [由x 2-log a x <0得x 2<log a x ,设f 1(x )=x 2,f 2(x )=log a x ,要使x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12时,不等式x 2<log a x 恒成立,只需f 1(x )=x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上的图象在f 2(x )=log a x 图象的下方即可.当a >1时,显然不成立;当0<a <1时,如图所示.要使x 2<log a x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12上恒成立,需f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12,所以有⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12,解得a ≥116,所以116≤a <1.即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116,1.]考点三 对数函数的性质及其应用比较对数值的大小比较对数值大小的常见类型及解题方法 常见类型解题方法底数为同一常数可由对数函数的单调性直接进行判断[典例3-1] (1)已知a =log 372,b =⎝ ⎛⎭⎪⎫1413,c =log 1315,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a >b >cB .b >a >cC .c >b >aD .c >a >b(2)(2019·天津高考)已知a =log 52,b =log 0.50.2,c =0.50.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .a <c <bB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <b(3)(2020·全国卷Ⅲ)设a =log 32,b =log 53,c =23,则( )A .a <c <bB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <b(1)D (2)A (3)A [(1)∵c =log 1315=log 35,log 35>log 372>log 33=1,即c >a >1,又⎝ ⎛⎭⎪⎫1413<⎝ ⎛⎭⎪⎫140=1.∴c >a >b ,故选D .(2)∵a =log 52<log 55=12,b =log 0.50.2>log 0.50.5=1,c =0.50.2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1215>12,0.50.2<1,∴a <c <b ,故选A .(3)∵23<32,∴2<323,∴log 32<log 3323=23,∴a <c .∵33>52,∴3>523,∴log 53>log 5523=23,∴b >c ,∴a <c <b ,故选A .]点评:本例T (1)和T (3)主要使用了化为同底和中间量比较大小,其中常数化为同底,利用了性质m=log a a m,本例T(2)主要使用中间量比较大小.解简单对数不等式求解对数不等式的两种类型及方法类型方法log a x>log a b借助y=log a x的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a>1与0<a<1两种情况讨论log a x>b需先将b化为以a为底的对数式的形式,再借助y=log a x的单调性求解[典例3-2] (1)若log a34<1(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是________.(2)若log a(a2+1)<log a2a<0,则a的取值范围是________.(1)⎝⎛⎭⎪⎫0,34∪(1,+∞)(2)⎝⎛⎭⎪⎫12,1[(1)当0<a<1时,log a34<log a a=1,∴0<a<34;当a>1时,log a34<log a a=1,∴a>1.∴实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫0,34∪(1,+∞).(2)由题意得a>0且a≠1,故必有a2+1>2a,又log a(a2+1)<log a2a<0,所以0<a<1,同时2a>1,所以a>12.综上,a∈⎝⎛⎭⎪⎫12,1.]点评:在对数不等式中,真数大于0是隐含条件,不能忘记!与对数函数有关的复合函数的单调性求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤一求求出函数的定义域,所有问题都必须在定义域内讨论二判判断对数函数的底数与1的关系,分a>1与0<a<1两种情况判断内层函数和外层函数的单调性,运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性[典例3-3] (1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知函数f (x )=lg(x 2-4x -5)在(a ,+∞)单调递增,则a 的取值范围是( )A .(-∞,-1]B .(-∞,2]C .[2,+∞)D .[5,+∞) (2)设函数f (x )=log 13(4x 2-4ax +3a )在(0,1)上是增函数,则a 的取值范围是________.(1)D (2)[2,4] [(1)由x 2-4x -5>0,得x <-1或x >5,即函数f (x )的定义域为(-∞,-1)∪(5,+∞).令t =x 2-4x -5,则t =(x -2)2-9,所以函数t 在(-∞,-1)上单调递减,在(5,+∞)上单调递增,又函数y =lg t 在(0,+∞)上单调递增,从而函数f (x )的单调递增区间为(5,+∞),由题意知(a ,+∞)⊆(5,+∞),∴a ≥5,故选D .(2)令t =4x 2-4ax +3a ,由y =log 13t 在(0,+∞)是减函数可得t =4x 2-4ax +3a 在(0,1)上是减函数,且t >0在(0,1)上恒成立,又t =4x 2-4ax +3a =4⎝ ⎛⎭⎪⎫x -a 22-a 2+3a , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥1,4-4a +3a ≥0,解得2≤a ≤4.]点评:已知f (x )=log a [g (x )]在区间[m ,n ]上是增函数,对于这类问题,应从两个方面考虑:一是根据a 与1的关系确定g (x )在[m ,n ]上的单调性,二是g (x )>0在x ∈[m ,n ]时恒成立,此时只需g (x )min >0即可.[跟进训练]1.已知a =log 27,b =log 38,c =0.30.2,则a ,b ,c 的大小关系为( )A .c <b <aB .a <b <cC .b <c <aD .c <a <bA [∵a =log 27>log 24=2,1<b =log 38<log 39=2,c =0.30.2<1,∴c <b <a ,故选A .]2.设函数f (x )=若f (a )>f (-a ),则实数a 的取值范围是( )A .(-1,0)∪(0,1)B .(-∞,-1)∪(1,+∞)C .(-1,0)∪(1,+∞)D .(-∞,-1)∪(0,1)3.函数y =log 13(x 2-3x +2)的单调递增区间为________,值域为________.(-∞,1) R [由x 2-3x +2>0得x >2或x <1,即函数的定义域为{x |x >2或x <1},当x 在定义域内变化时,x 2-3x +2取遍(0,+∞)内的每一个值,∴值域为R .令t =x 2-3x +2(t >0),t 在(2,+∞)上单调递增,在(-∞,1)上单调递减,而函数y =log 13t 在其定义域内是单调递减函数,∴y =log 13(x 2-3x +2)在(-∞,1)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,即函数y =log 13 (x 2-3x +2)的单调递增区间为(-∞,1),单调递减区间为(2,+∞).]4.已知a >0,若函数f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上是增函数,则a 的取值范围是________. ⎝ ⎛⎭⎪⎫13,+∞ [要使f (x )=log 3(ax 2-x )在[3,4]上单调递增, 则y =ax 2-x 在[3,4]上单调递增,且在[3,4]上y =ax 2-x >0恒成立,即⎩⎪⎨⎪⎧ 12a≤3,9a -3>0,解得a >13.]。

清泉州阳光实验学校第三高考数学一轮复习 对数和对数函数教案

清泉州阳光实验学校第三高考数学一轮复习 对数和对数函数教案
=loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)]
=loga(1)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x)
=-1+2/(1-x)=
x∈(-1,1)时,x增大,1-x递减,
1/(1-x)递增,-1+1/(1-x)递增
∴t=(1+x)/(1-x)是增函数
当a>1时,y=logat递增,
f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数
当0<a<1时,y=logat是减函数
∴f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数
例3、f(x)=log4(2x+3-x2),求:
(1)求函数的定义域
〔2〕求函数f(x)的单调区间;
解:〔1〕∵
∴-1<x<3
【回忆预习】
一回忆知识:
1、对数
(1)定义:一般地,假设ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做,记作,其中a叫做对数的,N叫做.
〔2〕、几种常见对数
对数形式
特点
记法
一般对数
以a(a>0,且a≠1)为底的对数
自然对数
以为底的对数
常用对数
以为底的对数
〔3〕对数的运算性质
假设a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么
①loga1=0;
②logax·logay=loga(x+y);
③loga(x+y)=logax+logay;
④logaa=1
⑤ ⑥ 其中正确命题的个数是(B)
A.1B.2 C.3D.4
2.(2021年卷)假设log2a<0, 那么(D)
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

对数与对数函数一、知识梳理:(阅读教材必修1第62页—第76页)1、对数与对数的运算性质(1)、一般地,如果 (a>0,且) 那么数x叫做以a为底的对数,记做x= ,其中a叫做对数的底,叫做对数的真数。

(2)、以10为底的对数叫做常用对数,并把记为lgN, 以e为底的对数称为自然对数,并把记为lnN.(3)、根据对数的定义,可以得到对数与指数和关系:(4)、零和负数没有对数; =1; =0;=N(5)、对数的运算性质:如果,M>0,N>0 ,那么=+==n(n)换底公式:=对数恒等式:=N2、对数函数与对数函数的性质(1)、一般地,我们把函数f(x)=)叫做对函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+。

(2)、对数函数的图象及性质图象的性质:①定义域②值域③单调性④奇偶性⑤周期性⑥特殊点⑦特殊线图象分a1 与a<1两种情况。

3、反函数:对数函数f(x)=)与指数函数f(x)=)互为反函数。

原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域。

互为反函数的图象在同一坐标系关于直线y=x 对称。

【关于反函数注意大纲的要求】二、题型探究探究一:对数的运算例1:(15年安徽文科)=-+-1)21(2lg225lg。

【答案】-1【解析】试题分析:原式=12122lg5lg2lg22lg5lg-=-=-+=-+-考点:对数运算.例2:【2014辽宁高考】已知132a-=,21211log,log33b c==,则()A.a b c>>B.a c b>>C.c a b>>D.c b a>>例3:【2015高考浙江】若4log3a=,则22a a-+=.【答案】334.【考点定位】对数的计算探究二:对数函数及其性质例4:【2014江西高考】函数)ln()(2xxxf-=的定义域为()A.)1,0(B. ]1,0[C. ),1()0,(+∞-∞Y D. ),1[]0,(+∞-∞Y例5:下列关系 中,成立的是 (A )、lo>> (B) >> lo (C) lo> > (D) lo>探究三、应用对数函数的单调性解方程、不等式问题 例7:【15年天津文科】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为( )(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B 【解析】试题分析:由()f x 为偶函数得0m =,所以2,4,0a b c ===,故选B. 考点:1.函数奇偶性;2.对数运算.例8:【2014陕西高考】已知,lg ,24a x a==则x =________.三、方法提升:1、 处理对数函数问题时要特别注意函数的定义域问题,尤其在大题中【最后的导数题】,一定要首先考虑函数的定义域,然后在定义域中研究问题,以避免忘记定义域出现错误;2、 在2015年高考小题中,考察主要是针对对数的大小比较、指数与对数的关系,中档难度。

四、反思感悟五、 课时作业对数与对数函数一、选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.)1.【2014浙江高考】在同意直角坐标系中,函数x x g x x x f a a log )(),0()(=≥=的图像可能是( )答案:D 解析:函数()0ay xx =≥,与()log 0a y x x =>,答案A没有幂函数图像,答案B()0a y x x =≥中1a >,()log 0a y x x =>中01a <<,不符合,答案C()0a y x x =≥中01a <<,()log 0a y x x =>中1a >,不符合,答案D()0a y x x =≥中01a <<,()log 0a y x x =>中01a <<,符合,故选D考点:函数图像.2.(2013年高考广东卷(文))函数lg(1)()1x f x x +=-的定义域是( )A .(1,)-+∞B .[1,)-+∞C .(1,1)(1,)-+∞UD .[1,1)(1,)-+∞U【答案】C3.函数y =log 12(2x 2-3x +1)的递减区间为( )A .(1,+∞) B.⎝ ⎛⎦⎥⎤-∞,34 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12,+∞ D.⎝⎛⎦⎥⎤-∞,12 解析:由2x 2-3x +1>0,得x >1或x <12,易知u =2x 2-3x +1⎝ ⎛⎭⎪⎫x >1或x <12在(1,+∞)上是增函数,而y =log 12(2x 2-3x +1)的底数12<1,且12>0,所以该函数的递减区间为(1,+∞).答案:A4.【2014陕西高考】下列函数中,满足“()()()f x y f x f y+=”的单调递增函数是()(A)()12f x x=(B)()3f x x=(C)()12xf x⎛⎫= ⎪⎝⎭(D)()3xf x= 5.设a=log32,b=ln2,c=5-12,则( )A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a解析:a=log32=ln2ln3<ln2=b,又c=5-12=15<12,a=log32>log33=12,因此c<a<b,故选C.6.(2013年高考重庆卷(文))函数21log(2)yx=-的定义域为()A.(,2)-∞B.(2,)+∞C.(2,3)(3,)+∞U D.(2,4)(4,)+∞U 【答案】C二、填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.) 7.函数y=log0.5(4x2-3x)的定义域是________.解析:由题意知,log0.5(4x2-3x)≥0=log0.51,由于0<0.5<1,所以⎩⎪⎨⎪⎧4x2-3x>0,4x2-3x≤1.从而可得函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫-14,0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34,1. 8.函数f (x )=ln 1+ax1+2x(a ≠2)为奇函数,则实数a 等于________.解析:依题意有f (-x )+f (x )=ln 1-ax 1-2x +ln 1+ax 1+2x =0,即1-ax 1-2x ·1+ax 1+2x =1,故1-a 2x2=1-4x 2,解得a 2=4,但a ≠2,故a =-2.9.已知f (3x )=4x log 23+233,则f (2)+f (4)+f (8)+…+f (28)的值等于________.解析:∵f (3x )=4x log 23+233=4log 23x+233,∴f (2)+f (4)+…+f (28)=4(1+2+…+8)+233×8=2008.10.若函数f (x )=⎝ ⎛⎭⎪⎫12lg(ax 2-x +1)的值域是(0,+∞),则实数a 的取值范围是________.解析:令t =lg(ax 2-x +1),则y =⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 的值域是(0,+∞),∴t 应取到每一个实数,即函数t =lg(ax 2-x +1)的值域为R .当a =0时,t =lg(-x +1)的值域为R ,适合题意,当a ≠0时,应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0,1-4a ≥0.⇒0<a ≤14.综上,a 的取值范围是0≤a ≤14.三、解答题:(本大题共3小题,11、12题13分,13题14分,写出证明过程或推演步骤.)11.已知f (x )=log 4(2x +3-x 2), (1)求函数f (x )的单调区间;(2)求函数f (x )的最大值,并求取得最大值时的x 的值. 解:(1)单调递增区间为(-1,1],递减区间为[1,3) (2)因为μ=-(x -1)2+4≤4,所以y =log 4μ≤log 44=1, 所以当x =1时,f (x )取最大值1.评析:在研究函数的性质时,要在定义域内研究问题,定义域“优先”在对数函数中体现的更明确.12.已知a >0,a ≠1,f (log a x )=a (x 2-1)x (a 2-1).试判断f (x )在定义域上是否为单调函数?若是,是增函数还是减函数?若不是,请说明理由.解:用换元法求出f (x )的解析式,由于其中含有字母,故需讨论. 设t =log a x ,则x =a t,∵f (t )=aa 2-1·a 2t -1a t 即f (t )=a a 2-1(a t -a -t ).∴f (x )=a a 2-1(a x -a -x).f (x )的定义域是(-∞,+∞),设x 1<x 2,则f (x 1)-f (x 2)=a a 2-1[(ax 1-a -x 1)-(ax 2-a -x 2)]=a a 2-1·(ax 1-ax 2)(1+ax 1ax 2)ax 1ax 2.∵a >0,a ≠1,∴ax 1ax 2>0,1+ax 1ax 2>0.若0<a <1,则ax 1>ax 2,ax 1-ax 2>0. 此时aa 2-1<0,∴f (x 1)-f (x 2)<0,即f (x 1)<f (x 2).同理若a >1,f (x 1)<f (x 2).综上所述,当a >0且a ≠1时,f (x )在(-∞,+∞)上是单调函数,是单调增函数. 评析:对于y =a x,由于其单调性与a 的取值有关,故需分0<a <1和a >1两种情况讨论.。

相关文档
最新文档