六年级奥数图形问题精选讲解
六年级图形问题综合(奥数)含答案
六年级图形问题综合(奥数)含答案例3． AKF 与三角形ADG 面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。
求三角形BEK 的面积。
D例4． 如图，三角形ABC 的AB 和AC 两条边分别被分成5等分。
三角形ABC 面积是500，求图中阴影部分的面积？例5． 如图，设正方形ABCD 的面积为120，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，FC=3GC ，则阴影部分的面积是多少？A B C DF EG例6． 在如图所示的三角形AGH 中，三角形ABC ，BCD ，CDE ，DEF,EFG ，FGH 的面积分别是1，2，3，4，5，6平方厘米，那么三角形EFH 的面积是多少平方厘米？A B DEF G H例7． 如图，在平行四边形ABCD 中，AC 为对角线，EF 平行于AC ，如果三角形AED 的面积为12平方厘米，，求三角形DCF 的面积。
D CA B E F练习：1. 已知正方形ABCD 的边长是5cm ，又EF=FG ，FD=DG ，求三角形ECG 的面积。
E B CGDAF2. 正三角形ABC 的边长为12厘米，BD ，DE ，EF ，FG 四条线段把它的面积5等分，求AF ，FD ，DC ，AG ，GE ，EB 的长。
A B G E CDF3. 如图所示是某个六边形公园ABCDEF ，M 为AB 中点，N 为CD 中点，，P 为DE 中点，Q 为FA 中点，其中游览区APEQ 与BNDM 的面积之和为900平方米。
中间的湖泊面积为361平方米，其余的部分是草地，问草地面积共有多少平方米？A B C DEFQPN M4. 如图，AE=EC ，BD=2DC ，AF=3BF ，若三角形ABC 的面积为270平方厘米，求图中阴影部分的面积。
5. 如下图,正方形ABCD 的边长为12, P 是边AB 上的任意一点,M 、N 、I 、H 分别是边BC 、AD 上的三等分点,E 、F 、G 是边CD 上的四等分点,图中阴影部分的面积是______.6. 如图正方形ABCD 的边长是4厘米,CG 是3厘米,长方形DEFG 的长DG 是5厘米,那么它的宽DE 是______厘米.7. 如图，CE=4EA ， BD=3CD ，AF=5BF 。
六年级奥数讲义第27讲表面积与体积(一)
表面积与体积（一）专题简析：小学阶段所学的立体图形主要有四种长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。
从平面图形到立体图形是认识上的一个飞跃，需要有更高水平的空间想象能力。
因此，要牢固掌握这些几何图形的特征和有关的计算方法，能将公式作适当的变形，养成“数、形”结合的好习惯，解题时要认真细致观察，合理大胆想象，正确灵活地计算。
在解答立体图形的表面积问题时，要注意以下几点：（1）充分利用正方体六个面的面积都相等，每个面都是正方形的特点。
（2）把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍。
反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。
（3）若把几个长方体拼成一个表面积最大的长方体，应把它们最小的面拼合起来。
若把几个长方体拼成一个表面积最小的长方体，应把它们最大的面拼合起来。
例题1：从一个棱长10厘米的正方体木块上挖去一个长10厘米、宽2厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？这是一道开放题，方法有多种：①按图27-1所示，沿着一条棱挖，剩下部分的表面积为592平方厘米。
图27--1②按图27-2所示，在某个面挖，剩下部分的表面积为632平方厘米。
图27--2③按图27-3所示，挖通某两个对面，剩下部分的表面积为672平方厘米。
图27--3练习1：1、从一个长10厘米、宽6厘米、高5厘米的长方体木块上挖去一个棱长2厘米的小正方体，剩下部分的表面积是多少？2、把一个长为12分米，宽为6分米，高为9分米的长方体木块锯成两个想同的小厂房体木块，这两个小长方体的表面积之和，比原来长方体的表面积增加了多少平方分米？3、在一个棱长是4厘米的立方体上挖一个棱长是1厘米的小正方体后，表面积会发生怎样的变化？例题2：把19个棱长为3厘米的正方体重叠起来，如图27-4所示，拼成一个立体图形，求这个立体图形的表面积。
图27—4要求这个复杂形体的表面积，必须从整体入手，从上、左、前三个方向观察，每个方向上的小正方体各面就组合成了如下图形（如图27-5所示）。
小学六年级奥数试题详解 长方体和正方体
第五讲长方体和正方体长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱。
在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；长方体的体积：V长方体＝abc．正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：S正方体=62a，V正方体=3a例1 有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为22a平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：190＋22a＝240，可知，2a＝25，故a＝5（厘米）．又因为22a＋4ah＝190，解得19022545h-⨯=⨯=7（厘米）所以，原来长方体的体积为：V＝2a h＝25×7＝175（立方厘米）．例2 如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长。
解：原来正方体的表面积为：6×3a×3a＝6×92a（平方厘米）．六个边长为a的小正方形的面积为：6×a×a＝62a（平方厘米）；挖成的每个长方体空洞的侧面积为：3a×a×4＝122a（平方厘米）；三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：a×a×4＝42a（平方厘米）．根据题意：6×92a－62a＋3（122a－42a）＝2592，化简得：542a－62a＋242a＝2592，解得2a＝36（平方厘米），故a＝6厘米．即正方形截口的边长为6厘米．例3 有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍。
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
六年级奥数图形问题讲解
圆和组合图形(1)一、填空题1. 算出圆内正方形的面积为 .6 厘米2. 右图是一个直角等腰三角形 , 直角边长 2 厘米, 图中阴影局部面积是平方厘米 .23. 一个扇形圆心角120 , 以扇形的半径为边长画一个正方形 , 这个正方形的面积是 120 平方厘米. 这个扇形面积是 .4. 以以下图 , 以 B、C 为圆心的两个半圆的直径都是 2 厘米, 那么阴影局部的周长是厘米.( 保存两位小数 )EA B C D5. 三角形 ABC 是直角三角形 , 阴影局部①的面积比阴影局部②的面积小 28 平方厘米 . AB长 40 厘米, BC 长厘米.C②①B A6. 如右图, 阴影局部的面积为 2 平方厘米, 等腰直角三角形的面积为 .7. 扇形的面积是 31.4 平方厘米 , 它所在圆的面积是 157 平方厘米, 这个扇形的圆心角是度.8. 图中扇形的半径 OA= OB=6 厘米. AOB 45 , AC 垂直 OB 于 C, 那么图中阴影局部的面积是平方厘米. ( 3. 14 )A645O C B9. 右图中正方形周长是 20 厘米. 图形的总面积是平方厘米.10. 在右图中( 单位: 厘米), 两个阴影局部面积的和是平方厘米 .151220二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形 . D 是半圆周的中点 , BC 是半圆的直径 , :AB= BC=10, 那么阴影局部的面积是多少 ?(圆周率 3.14 )10BADC12. 如图, 半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米 , 圆S2 的面积是 19.625 平方厘米. 那么长方形 ( 阴影局部的面积 ) 是多少平方厘米 ?S2S113. 如图, 圆心是 O, 半径 r=9 厘米, 1 2 15 , 那么阴影局部的面积是多少平方厘米 ?( 3.14 )A1 2BC14. 右图中 4 个圆的圆心是正方形的 4 个极点, 它们的公共点是该正方形的中心 . 若是每个圆的半径都是 1 厘米, 那么阴影局部的总面积是多少平方厘米 ?———————————————答 案——————————————————————1. 18 平方厘米.由图示可知 , 正方形两条对角线的长都是 6 厘米, 正方形由两个面积相等的 1三角形构成 . 三角形底为 6厘米, 高为 3厘米, 故正方形面积为 6 3 2 18( 平2方厘米).2. 1.14 平方厘米.由图示可知 , 图中阴影局部面积为两个圆心角为 45 的扇形面积减去直角三45 12 ( 平方厘米). 角形的面积 . 即3.142 2 2 2 1. 14360 2平方厘米.由条件可知圆的半径的平方为 120 平方厘米. 故扇形面积为 1203.14 120 125.6 ( 平方厘米).360 4. 3.09 厘米.边结 BE 、CE, 那么 BE=CE=BC= 1( 厘米), 故三角形 BCE 为等边三角形 . 于是⌒ ⌒60EBC BCE 60 . BE=CE= 3.14 2 1.045 ( 厘米). 于是阴影局部周长360为1. 045 2 1 3.09 ( 厘米).5. 32.8 厘米.从图中可以看出阴影局部①加上空白局部的面积是半圆的面积 , 阴影局部② 加上空白局部的面积是三角形 ABC 的面积. 又①的面积比②的面积小 28 平方厘米, 故半圆面积比三角形 ABC 的面积小 28 平方厘米.240 1半圆面积为 3.14 628( 平方厘米), 三角形 ABC 的面积为2 2 628+28=656( 平方厘米). BC 的长为 656 2 40 32.8( 厘米). 6.9 37 平方厘米. 13将等腰直角三角形补成一个正方形 , 设正方形边长为 x 厘米, 那么圆的半径为 x 2 厘米. 图中阴影局部面积是正方形与圆的面积之差的 1 8 , 于是有212 xx 3.14 8 2, 解得232002x . 故等腰直角三角形的面积为133200 13 1293713( 平方厘米 ).7. 72 .扇形面积是圆面积的131.4 157 , 故扇形圆心角为360 的515即72 .8. 5.13.三角形 ACO 是一个等腰直角三角形 , 将 AO 看作底边, AO 边上的高为1AO 2 6 2 3( 厘米), 故三角形 ACO 的面积为 6 3 9( 平方厘米). 而扇2452 ( 平方厘米), 进而阴影局部面积为形面积为 3.14 6 14. 1336014.13- 9=5.13( 平方厘米 ).9. 142.75.由正方形周长是 20 厘米, 可得正方形边长也就是圆的半径为 20 4 5( 厘米). 图形总面积为两个34圆面积加上正方形的面积 , 即32 ( 平方厘米).2410. 90平方厘米.图中阴影局部的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即2 12 2 3. 14 12(16 22)1212 1512(20 22)1290( 平方厘米).11. 如图作出辅助线 , 那么阴影局部的面积为三角形A10B EAED 的面积减去正方形 BEDO 的面积再加上圆面积的14. O D三角形 AED 的面积是1(10 10 2) (10 2) ; 正方形面2C积是 2(10 2) , 圆面积的14是14(10 22) , 故阴影局部面积为 :(10 10 2) (10 2)12 (1012 3.14 (10 2)42)237. 5 25 19.625 32. 125〔平方厘米〕 .12. 由半圆 S1 的面积是 14.13 平方厘米得半径的平方为14.13 2 3.14 9( 平方厘米 ), 故半径为 3 厘米, 直径为 6 厘米.又因圆 S2 的面积为平方厘米, 因此 S2 半径的平方为19.625 3.14 6.25( 平方厘米), 于是它的半径为 2.5 厘米, 直径为 5 厘米.阴影局部面积为(6 5) 5 5( 平方厘米).13. 因OA=OB , 故三角形 OAB 为等腰三角形 , 即OBA 1 15 , AOB 180 15 2 150 , 同理AOC 150 , 于是BOC 360 150 2 60 .60 2 扇形面积为360 (平方厘米).14. 正方形可以切割成两个底为 2, 高为 1 的三角形, 其面积为1 2 2 1 2 2 ( 平方厘米).正方形内空白局部面积为 4 个14圆即一个圆的面积与正方形面积之差 , 即12 ( 平方厘米), 全部空白局部面积为2( 2) 平方厘米.2 2故阴影局部面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差 , 即为12 ( 平方厘米 ).4 2 2( 2) 8十二、圆和组合图形〔2〕一、填空题1. 如图, 阴影局部的面积是 .2 1 22. 大圆的半径比小圆的半径长 6厘米, 且大圆半径是小圆半径的 4倍. 大圆的面积比小圆的面积大平方厘米 .3. 在一个半径是4.5 厘米的圆中挖去两个直径都是 2 厘米的圆. 剩下的图形的面积是平方厘米.( 取 3.14, 结果精确到 1 平方厘米 )4. 右图中三角形是等腰直角三角形 , 阴影局部的面积是 ( 平方厘米).5. 如图所求 , 圆的周长是 16.4 厘米, 圆的面积与长方形的面积正好相等 . 图中阴影局部的周长是厘米. ( 3.14 )6. 如图, 1 15 的圆的周长为 62.8 厘米, 平行四边形的面积为 100 平方厘米. 阴影局部的面积是 .7. 有八个半径为 1 厘米的小圆 , 用它们的圆周的一局部连成一个花瓣图形( 如图). 图中黑点是这些圆的圆心 . 若是圆周率 3.1416 , 那么花瓣图形的面积是平方厘米 .8. : ABCD是正方形, ED=DA=AF=2 厘米, 阴影局部的面积是 .C BGE D A F9. 图中, 扇形BAC的面积是半圆 ADB 的面积的11 倍, 那么, CAB 是度. 3CDA BO10. 右图中的正方形的边长是 2 厘米, 以圆弧为分界线的甲、乙两局部的面积差( 大减小) 是平方厘米.( 取 3.14)甲乙2二、解答题11. 如图: 阴影局部的面积是多少 ?四分之一大圆的半径为 r.( 计算时圆周率取22 )712. 右图中大正方形边长是 6 厘米, 中间小正方形边长是 4 厘米. 求阴影局部的面积 .13. 有三个面积都是 S的圆放在桌上 , 桌面被圆覆盖的面积是 2S+2, 并且重合的两块是等面积的 , 直线 a 过两个圆心 A、B, 若是直线 a 下方被圆覆盖的面积是9, 求圆面积 S的值.A B aC14. 以以下图, 一块半径为 2 厘米的圆板 , 从平面上 1 的地址沿线段 AB、BC、CD 滚到 2 的地址, 若是 AB、BC、CD的长都是 20 厘米, 那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米 ?12BD120AC———————————————答案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等 , 故阴影局部面积等于一个长为 3, 宽为 2 的长方形面积 , 为 6 个平方单位 .2. 188.4.小圆的半径为 6 (4 1) 2( 厘米), 大圆的半径为 2 4 8( 厘米). 大圆的面积比小圆的面积大(82 22( 平方厘米).3. 57.2 ( 平方厘米) ≈57( 平方厘米).24. 10.26.从圆中可以看出 , 阴影局部的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差 , 即3.14 (612 2 ( 平方厘米 ).25. 20.5.设圆的半径为 r, 那么圆面积即长方形面积为 2r , 故长方形的长为 DC r .1 5 ⌒阴影局部周长 DC BC BA AD r r ( r r) 2 r 2 r4 45 4 16.4 20.5 ( 厘米).6.548 ( 平方厘米 ).6如图, 连结 OA、AC, 过 A 点作 CD 的垂线交 CD 于B AE. 三角形 ACD 的面积为100 2 50( 平方厘米).又圆半径为 6.28 ( 3.14 2) 10 ( 厘米), 因为 1 15 , C E O1 D又 OA=OD , 故AOC 15 2 30 , 扇形 AOC 的面积为30 23. 14 10 2616( 平方厘米). 三角形 AOC的面积为 50 2 25( 平方厘米).360方形面积为1 126 25 1 ( 平方厘米), 进而阴影局部的面积为6 61 550 1 48 ( 平6 6方厘米). 7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积 , 加上四个 3 4圆面积后, 再割去四个半圆的面积. 圆的半径为 1 厘米, 正方形边长为 4 厘米. 故花瓣图形的面积是43 12 ( 平方厘米 ).2 24 2C B8. 2.43 平方厘米.如图, 将①移到②得 : 阴影局部面积等于梯形 CEFB 的 ① ②G面积减去三角形 CED 、三角形 CDA 、扇形 AFG 的面积, 即 1 1 (2 2 3) 2 2 2 2 2 21 452 ( 平方厘22 360米 ).E DAF9. 60.设扇形 ABC 圆心角的度数是 x, 半圆的半径 OA=r , 有x 360 (2r 2 ) 1 13 12r 2, 解得 x= 60. 10. 0.14.2( 平方厘米), 甲局部面积为扇形面积为1 421 12 ( 平方厘米), 乙局部面积为 3.14 2 0.43 3.14 2 2 2 ( 平方 2 4厘米), 甲乙两局部面积差为 0.57 0.43 0.14 ( 平方厘米). 11. 如图, 小正方形的边长为 r 2, 那么①的面积为 :②1 4 22 7r 22 r r r 2 2 2 7,① ③221 22 r r 12②的面积为 r , ①和②的面积和为2 7 2 7 41 4 2271 22 2 2r r 2 r . 即阴影局部面积为4 7272r .12. 将阴影局部旋转后 , 可以看出所求阴影局部面积为大正方形面积的一半减2 ( 平方厘米).2去小正形的一半 , 即阴影局部面积等于 6 2 4 2 1013. 设一个阴影局部的面积为 x, 那么有: 3S 2x 2S 2, 于是S 2x 2 (1)3 4S 18又2S x 9 , 于是有 x 2, 解得 S=6.2 312 14. 圆板的正面滚过的局部如右图阴影局部所求 ,它的面积为 :1 2 1 22 (20 2) 4 4 2 6 ( 20 4)AB D4 (20 2) 4141 23 C2 ( 平方厘米 ).2 22 3面积计算〔三〕专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有必然的困难，这时，可以经过把其中 的局部图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。
小学六年级奥数几何的初步知识精解
小学六年级奥数几何的初步知识精解1、长方形(1)特征对边相等，4个角都是直角的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式 c=2(a+b) s=ab2、正方形(1)特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式：c=4a ;s=a??3、三角形(1)特征：由三条线段围成的图形。
内角和是180度。
三角形具有稳定性。
三角形有三条高。
(2)计算公式：s=ah/2(3)分类*按角分：锐角三角形：三个角都是锐角。
直角三角形：有一个角是直角。
等腰三角形的两个锐角各为45度，它有一条对称轴。
钝角三角形：有一个角是钝角。
*按边分：不等边三角形：三条边长度不相等。
等腰三角形：有两条边长度相等;两个底角相等;有一条对称轴。
等边三角形：三条边长度都相等;三个内角都是60度;有三条对称轴。
4、平行四边形(1)特征：两组对边分别平行的四边形。
相对的边平行且相等。
对角相等，相邻的两个角的度数之和为180度。
平行四边形容易变形。
(2)计算公式 s=ah5、梯形(1)特征：只有一组对边平行的四边形。
中位线等于上下底和的一半。
等腰梯形有一条对称轴。
(2)公式s=(a+b)h/2=mh6、圆(1)圆的认识平面上的一种曲线图形。
圆中心的一点叫做圆心。
一般用字母o表示。
半径：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。
一般用r表示。
在同一个圆里，有无数条半径，每条半径的长度都相等。
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
一般用d表示。
同一个圆里有无数条直径，所有的直径都相等。
同一个圆里，直径等于两个半径的长度，即d=2r。
圆的大小由半径决定。
圆有无数条对称轴。
(2)圆的画法把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离(即半径);把有针尖的一只脚固定在一点(即圆心)上;把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。
(3) 圆的周长围成圆的曲线的长叫做圆的周长。
把圆的周长和直径的比值叫做圆周率。
用字母∏表示。
(4) 圆的面积圆所占平面的大小叫做圆的面积。
六年级图形问题综合(奥数)含答案解析-精选.pdf
3. 任意梯形，连接对角线，构成四个三角形。 （1）腰上的两个三角形面积相等； （ 2）上下两个三角形 面积之积等于左右两个三角形面积之积。 （为什么？）
4. 正方形的面积等于边长的平方，或者等于对角线的平方 2，或者等于斜边的平方 4.（为什么？）
2.等腰直角三角形面积等于直角边的平方
例题： 例 1． 如 右图，三角形 ABC 的面积是 10，BE=2AB ， CD=3BC ，求三角形 BDE 的面积。
6. 下图正方形 ABCD 边长是 10 厘米 , 长方形 EFGH 的长为 8 厘米 , 宽为 5 厘米 . 阴影部分甲与阴影部分乙
的面积差是 ______平方厘米 .
7. 如图所示 , 一个矩形被分成 A 、 B 、C 、 D 四个矩形 . 现知 A 的面积是 2cm2, B 的面积是 4cm2, C 的面积
H
F
D
B
ACE
G
例 8． 如 图，在平行四边形 ABCD中，AC为对角线， EF平行于 AC，如果三角形 AED的面积为 12 平方厘米，，
求三角形 DCF的面积。
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D
C
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F
A
E
B
练习：
1. 已知正方形 ABCD 的边长是 5cm，又 EF=FG ， FD=DG ，求三角形 ECG 的面积。
B
A
8 平方厘米，三角形 COD
O
C
D
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图形与面积 ( 一 ) 一、填空题
1. 如下图 , 把三角形 ABC 的一条边 AB 延长 1 倍到 D , 把它的另一边 AC 延长 2 倍到 E , 得到一个较大 的三角形 ADE , 三角形 ADE 的面积是三角形 ABC 面积的 ______倍 .
六年级奥数第四讲-组合图形和阴影面积常用方法
求阴影面积的常用方法计算平面图形的面积问题是常见题型，求平面阴影部分的面积是这类问题的难点。
不规则阴影面积常常由三角形、四边形、弓形、扇形和圆、圆弧等基本图形组合而成的，在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分解和组合图形。
现介绍几种常用的方法。
一、转化法此法就是通过等积变换、平移、旋转、割补等方法将不规则的图形转化成面积相等的规则图形，再利用规则图形的面积公式，计算出所求的不规则图形的面积。
例1. 如图1，点C 、D 是以AB 为直径的半圆O 上的三等分点，AB=12，则图中由弦AC 、AD 和CD ⌒围成的阴影部分图形的面积为_________。
分析：连结CD 、OC 、OD ，如图2。
易证AB//CD ，则∆∆ACD OCD 和的面积相等，所以图中阴影部分的面积就等于扇形OCD 的面积。
易得∠=︒COD 60，故S S OCD阴影扇形==⋅=60636062ππ。
二、和差法有一些图形结构复杂，通过观察，分析出不规则图形的面积是由哪些规则图形组合而成的，再利用这些规则图形的面积的和或差来求，从而达到化繁为简的目的。
例2. 如图3是一个商标的设计图案，AB=2BC=8，ADE ⌒为14圆，求阴影部分面积。
分析：经观察图3可以分解出以下规则图形：矩形ABCD 、扇形ADE 、Rt EBC ∆。
所以，S S S S ADE ABCD Rt EBC阴影扇形矩形=+-=⋅+⨯-⨯⨯=+∆9043604812412482ππ。
三、重叠法就是把所求阴影部分的面积问题转化为可求面积的规则图形的重叠部分的方法。
这类题阴影一般是由几个图形叠加而成。
要准确认清其结构，理顺图形间的大小关系。
例3. 如图4，正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内作半圆，求所围成阴影部分图形的面积。
解：因为4个半圆覆盖了正方形，而且阴影部分重叠了两次，所以阴影部分的面积等于4个半圆的面积和与正方形面积的差。
故S a a a 阴影=⋅-=-2221222ππ()()。
六年级奥数考点：立体图形的体积问题
考点：立体图形的体积问题一、知识要点解答立体图形的体积问题时，要注意以下几点：（1）物体沉入水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。
把物体从水中取出，水面下降部分的体积等于物体的体积。
这是物体全部浸没在水中的情况。
如果物体不全部浸在水中，那么派开水的体积就等于浸在水中的那部分物体的体积。
（2）把一种形状的物体变为另一种形状的物体后，形状变了，但它的体积保持不变。
（3）求一些不规则形体体积时，可以通过变形的方法求体积。
（4）求与体积相关的最大、最小值时，要大胆想象，多思考、多尝试，防止思维定。
【例题1】一个长方体，如果长增加2厘米，则体积增加40立方厘米；如果宽增加3厘米，则体积增加90立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方里，求原长方体的表面积。
我们知道：体积=长×宽×高；由长增加2厘米，体积增加40立方厘米，可知宽×高=40÷2=20（平方厘米）；由宽增加3厘米，体积增加90立方厘米，可知长×高=90÷3=30（平方厘米）；由高增加4厘米，体积增加96立方厘米，可知长×宽=96÷4=24（平方厘米）。
而长方体的表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2=（20+30+24）×2=148（平方厘米）。
即40÷2=20（平方厘米）90÷3=30（平方厘米）96÷4=24（平方厘米）（30+20+24）×2=74×2=148（平方厘米）答：原长方体的表面积是148平方厘米。
练习4：1、（课后）一个长方体，如果长减少2厘米，则体积减少48立方厘米；如果宽增加5厘米，则体积增加65立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。
原来厂房体的表面积是多少平方厘米？（48÷2+65÷5+96÷4）×2＝122平方厘米2、一个厂房体木块，从下部和上部分别截去高为3厘米和2厘米的长方体后，便成为一个正方体，其表面积减少了120平方厘米。
六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题十二大专题汇编含详解
六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-等积变形（位移、割补）【知识点归纳】等积变形的主要方法是：1．三角形内等底等高的三角形2．平行线内等底等高的三角形3．公共部分的传递性4．极值原理（变与不变）【经典题型】例1：求如图的体积．（π取3.14）分析：此题上面是斜面，可以把一个和它完全一样的图形拼成一个高是20+15=35厘米，底面直径是4厘米的圆柱体，所以此图的体积是圆柱体积的12；利用圆柱体的体积公式计算出体积即可．解：3.14×（4÷2）2×（15+20）×，=3.14×4×35×，=219.8；答：体积是219.8；故答案为：219.8．点评：此题主要根据圆柱体的体积公式解决问题，解题的关键是把两个完全一样的图形拼成一个圆柱体，此图的体积是圆柱体积的．例2：如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．求小路的占地面积？分析：无论这曲折小路如何再曲折，都可以将曲折小路分成两类，一类是竖的，一类是横的，可以把竖的往左拼，横的往上拼，如下图则小路面积不难算出，竖的部分14×2，横的部分20×2，计算重叠2×2，则小路面积为（20+14）×2-2×2=64（平方米）．解：小路面积为：（20+14）×2-2×2=64（平方米），答：小路的占地面积64平方米．点评：利用等积变形、平移知识把曲折的小路拉直，就变成规则的图形包括三部分竖的长方形，横的长方形和重叠的小正方形，进而解答．一．选择题1．如图，长方形的面积与圆的面积相等，已知阴影部分的面积是84.78cm2，圆的周长是（）cm．A．18.84 B．75.36 C．37.682．以下是四位同学运用转化的策略将左边的图形转化成右边的图形解决问题，其中做对的有（）位．A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题3．有一种饮料瓶的容积是50立方厘米，瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈）．现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米．瓶内现有饮料立方厘米．4．如图，外侧大正方形的边长是10厘米，图中阴影部分的面积是27.5平方厘米，那么圆内的大正方形面积是小正方形面积的倍．5．将一底面半径为2分米的圆柱的底面平均分成若干个扇形，截开拼成一个和它等底等高的长方体后，表面积增加16平方分米，圆柱的体积是．6．在如图的长方形内，有四对正方形（标号相同的两个正方形为一对），每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形（阴影部分）的面积为．7．如图，E，F，G，H是边长为2的正方形ABCD各边的中点，则图中阴影部分的面积等于．8．如图，三个大小相同的正方形重叠地放在一个大的正方形ABCD内，已知能看见的部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积分别是64平方厘米、38平方厘米、34平方厘米．那么正方形ABCD的边长是厘米．9．下图是一个正方体木块．M是AB的中点，N是AD的中点．用一把锋利的锯，过M、N、G三个点将木块锯成两块，使截面是平的，这个截面是边形．10．如图所示，一种饮料瓶，容积是200ml，瓶身是圆柱形．将该瓶正放时饮料高20cm，倒放时余部分高5cm，瓶内的饮料是ml．三．操作题11．把下列图形改成平行四边形四．解答题12．如图，正方形ABCD的边长为10厘米，E，F，G，H分别为正方形四边上的中点，求阴影部分的面积是多少平方厘米．13．看图求阴影部分的面积．（1）求出图（1）中阴影部分的面积．（2）分析上面各图形之间的关系，看一看、想一想、找一找图（4）中阴影部分的面积是．14．如图所示的多边形是由一个三角形和三个长方形组成的．已知三个长方形的面积分别是12平方厘米、4平方厘米和6平方厘米．三角形面积是多少平方厘米？15．如图，正方形ABCD的边长为4cm，则图中阴影部分的面积为多少平方厘米？16．给一个直角楼梯铺地毯，如图所示（图中阴影处不铺），至少需要多少平方米的地毯？（单位：米）17．求小路的占地面积．如图所示：一块长方形草坪，长20米，宽14米，中间有一条宽2米的曲折小路．18．一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米，高1.2米．把这堆沙装在长2米、宽1.5米的沙坑里，可以装多高？19．如图所示，用一张斜边长为17厘米的红色直角三角形纸片，一张斜边长为29厘米的黄色直角三角形纸片，一张蓝色的正方形纸片，拼成一个直角三角形．红、黄两张三角形纸片面积之和是多少？20．雨哗哗地不停地下着．如果在雨地放一个如图1那样的长方体的容器（单位：厘米），雨水将它灌满要用1小时．雨水灌满图2容器各需多长时间？21．把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？22．求如图的体积．（π取3.14）23．求如图的体积．（π取3.14）24．给一个直角楼梯铺地毯，如图（图中阴影处不铺）情根据图中的数据，算一算，至少需要多少平方米地毯？（单位：米）25．用20个大小相同的小正方可以组成一个十字图形．把这个十字图形分割为4个部分，是的它们的形状和大小都一样（分割线须沿着图内的虚线），方法有很多，如图例所示，请你再画出与范例不同的两种分割方法．26．如图，O是半圆的圆心，AC＝BC，CD＝DB，AB＝12厘米，求阴影部分的面积．27．如图，直角梯形ABCD中，AB＝12，BC＝8，CD＝9，且三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD 的面积相等，求三角形DEF的面积．六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-等积变形（位移、割补）参考答案一．选择题1．解：84.78÷÷5.14＝113.04÷3.14＝36（cm2）；6×6＝36（cm2），8.14×6×2＝37.68（cm）．答：圆的周长是37.68cm．答案：C．2．解：（1）如图，，因为阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，所以涂色部分的面积可以转化为圆的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，所以（1）正确．（2）如图，，因为△ABC的面积可以转化为△CDE的面积，△AFG的面积可以转化为△EFH的面积，所以涂色部分的面积可以转化为10个小方格的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，即，所以（2）不正确．（3）如图，，因为阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，所以涂色部分的面积转化为一个正方形的面积，所以涂色部分的面积占整个图形面积的，所以（3）正确．（4）因为该图形的周长转化为直径是7cm的半圆的周长和直径是4cm的圆的周长的和，而不是转化为直径是4cm的半圆的周长和一条7cm的直径的长度之和，所以（4）不正确．综上，可得做对的有2位：（1）（3）．答案：B．二．填空题3．解：50×[20÷（20+5）]＝50×＝40（立方厘米）答案：40立方厘米．4．解：由分析可知：总阴影部分的面积＝大正方形的面积四分之一+圆内小正方形的面积四分之一＝27.5（平方厘米），大正方形的面积四分之一：10×10×＝25（平方厘米），所以圆内小正方形的面积四分之一：27.5﹣25＝2.8（平方厘米），则圆内小正方形的面积＝2.5×8＝10（平方厘米），圆内大正方形的面积：（10÷2）×（10÷2）÷7×4＝5×6×2＝50（平方厘米），圆内的大正方形面积是小正方形面积的：50÷10＝5（倍）；答案：7．5．解：3.14×2＝4.28（分米），16÷2÷2＝7（分米），6.28×2×3＝50.24（立方分米）；答：圆柱的体积是50.24立方分米．答案：50.24立方分米．6．解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”，则长﹣宽＝30﹣22＝8；宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长＝22﹣8×4＝6．所以中间小正方形面积＝6×4＝36．答：中间这个小正方形（阴影部分）的面积为36．答案：36．7．解：根据题干分析可得：2×2×＝2，答：阴影部分的面积是5．答案：2．8．解：如上图图所示：设出其中两条边分别为a，b：则将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边，图Ⅱ减少的面积等于图Ⅲ增加的面积，图Ⅱ面积+图Ⅲ面积＝38+34＝72（平方厘米），因为大正方形ABCD的边长＝小正方形的边长+a＝小正方形的边长+b，所以a＝b，所以将图Ⅱ所在的小正方形向左移动到最左边后，图Ⅱ的面积等于图Ⅲ的面积，即8a＝8b＝72÷7＝36（平方厘米），则a＝b＝36÷8＝4.2（厘米），则大正方形ABCD的边长为：8+4.8＝12.5（厘米）．答：正方形ABCD的边长是12.5厘米．答案：12.4．9．解：如图过M、N、G三个点将木块锯成两块、左、右、前、后五个面相交，所以得到的截面是五边形；答案：五边形．10．解：200×[20÷（20+5）]＝200×＝160（ml）．答：瓶内的饮料是160ml．答案：160．三．操作题11．解：根据题干分析可得：四．解答题12．解：将原图割补为下图：．；答：阴影部分的面积是20平方厘米．13．解：（1）正方形边长：2×2＝2（cm）；阴影部分的面积：4×4﹣8.14×22，＝16﹣12.56，＝8.44（cm2）；（2）把第一幅图横竖分割成4等份，可组拼成后3个图形，所以第四幅图中阴影部分的面积仍是3.44cm2；答案：7.44cm2．14．解：如图，设三角形面积为x平方厘米，则2x：12＝6：84×2x＝12×78x＝728x÷6＝72÷8x＝9答：三角形面积是8平方厘米．15．解：如图，，阴影部分A的面积等于空白部分B的面积，阴影部分C的面积等于空白部分D的面积，所以阴影部分的面积和等于正方形面积的一半，4×4÷7＝8（平方厘米）答：图中阴影部分的面积为8平方厘米．16．解：（2.5+5.2）×2＝3.7×2＝11.5（平方米），答：至少需要11.4平方米的地毯．17．解：小路面积为：（20+14）×2﹣2×4＝64（平方米），答：小路的占地面积64平方米．18．解：3.6×2.2×÷（2×1.6），＝1.44÷3，＝8.48（米）；答：可以装0.48米高．19．解：根据题干分析可得：29×17÷2＝246.5（平方厘米），答：这两个直角三角形的面积和是246.5平方厘米．答案：246.5平方厘米．20．解：图①所示的容积中，容积：接水面积＝（30×20×10）：（30×20）＝6000：600＝10：1；图②所示的容器中，容积：接水面积＝（20×10×10+10×10×10）：（10×10）＝3000：100＝30：1；图③所示的容器中，容积：接水面积＝（20×10×10+10×10×10）：（20×10）＝3000：200＝15：2；答：雨水灌满图2的容器需3小时、雨水灌满图4的容器需1.5小时．21．解：20÷2＝10（平方厘米），4×2.14÷2＝6.28（厘米），10×8.28＝62.8（立方厘米）；答：这个长方体的体积是62.8立方厘米．22．解：3.14×（4÷2）2×（15+20）×，＝3.14×4×35×，＝219.8；答：体积是219.3；答案：219.8．23．解：3.14×（4÷2）2×（8+12）÷7＝3.14×4×20÷5＝125.6（立方厘米）；答：它的体积是125.6立方厘米．24．解：（2.5+8）×2＝5.8×2＝11（平方米），答：至少需要11平方米地毯．25．解：根据题干分析可将这个图形分割如下：26．解：S阴＝S扇形COB＝×2.14×，＝2.14×9，＝28.26（平方厘米）；答：阴影部分的面积是28.26平方厘米．27．解：（1）根据题干可得，梯形ABCD的面积为：（9+12）×8÷6，＝21×8÷2，＝84，所以三角形AED、三角形FCD和四边形EBFD的面积分别为：84÷5＝28，（2）在直角梯形BECD中，BE＝28×2×2÷6﹣9＝14﹣9＝4，（3）在直角三角形FCD中，FC＝28×2÷9＝，所以BF＝8﹣＝，所以直角三角形BEF的面积为：2×＝，故三角形DEF的面积为：28﹣＝，答：三角形DEF的面积为．六年级奥数专项精品讲义及常考易错题汇编-几何图形问题-立体图形的表面积和体积【知识点归纳】立体图形表面积公式：1．圆柱体：表面积：2πR2+2πRh 体积：πR2h （R为圆柱体上下底圆半径，h为圆柱体高）2．圆锥体：体积：πR2h （r为圆锥体低圆半径，h为其高）3．长方体：表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×24．球：表面积=4πR2．一．选择题1．3个棱长都是10厘米的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是()平方厘米．A．1800B．700C．900D．8002．彤彤用18个棱长1cm的正方体摆出如图所示模型，若从模型的三个不同的位置上拿走2个正方体后，可分别得到图（A）、（B）、（C）．在图（A）、（B）、（C）中表面积比图甲小的是( )A．B．C．3．如图是一个长3米、宽与高都是2米的长方体.将它挖掉一个棱长1米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变D．无法确定4．甲图和乙图占空间的大小关系是甲()乙．A．>B．<C．=D．无法比较5．如图图形的体积是()厘米3．A．100B．267C．240)cm．6．如图是由31cm的小正方体搭成的，它的体积是(3A．10B．9C．67．如图是一个长3厘米、宽与高都是2厘米的长方体．将它挖掉一个棱长1厘米的小正方体，它的表面积()A．比原来大B．比原来小C．不变8．将棱长为1厘米的小正方体按如图方式摆方在地上，露在外面的面积是()平方厘米．A．18B．21C．24D．27二．填空题9．如图是由同样大小的小方块堆积起来的，每个小方块的棱长是1分米，这堆小方块露在外面的面积是．10．有5个棱长为40厘米的正方体放在墙角处．有个面露在外面．露在外面的面积共有平方厘米？11．将4个棱长都是1cm的正方体堆在墙角，体积是3cm．cm，露在外面的面积是212．如果如图中每个小正方体的棱长都是1厘米，这个物体的体积是立方厘米，表面积是平方厘米。
六年级奥数第11讲：平面图形-课件
总结
1. 等底等高的三角形面积相等 。 2. 高（底）相等的三角形的面积之比等于
底（高）之比 。 3. 求组合图形面积的常用方法—— 翻折法。 4. 多个半径相同的扇形面积等于以小扇形
圆心角之和为圆心的大扇形面积。
AE＝EF＝FC
3×（1＋2＋2＋4）＝27（平方厘米）
2S△ADE＝S△DEC＝S△ABE 2S△DEC＝S△EBC 答：梯形ABCD的面积是27平方厘米。
4S△ADE＝S△EBC
例题四
求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
4×4÷2＝8（平方厘米） 答：阴影部分面积是8平方厘米。
练习四
求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
圆弧长： 3.14×4＝12.56（分米）
线段长： 4×3＝12（分米）
总长： 12.56＋12＝24.56（分米）
答：至少需要绳子24.56分米。
小结
1.长a、宽b的长方形上剪下一个最大的半圆，
当b大于0.5a时，半圆的直径等于a； 当b等于0.5a时，半圆的直径等于a，半径等于b； 当b小于0.5a时，半圆的半径等于b。
多出一块巧克力！
比一比！
平面图形
例题一
阿派在一张长10厘米、宽8厘米的长方形硬 纸板上剪下一个最大的半圆，这个半圆的面积是 多少？周长是多少？
b 1a 2
b 1a 2
b 1a 2
面积： 3.14×（10÷2）2÷2＝39.25（平方厘米） 周长： 3.14×10÷2＋10＝25.7（厘米）
答：这个半圆的面积是39.25平方厘米， 周长是25.7厘米。
5×3×2＝30（平方厘米）
六年级奥数优胜教育第16讲：特殊图形含答案
第十六讲特殊图形例1：如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？例2：右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）例3：下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？例4：一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？例5：如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？例6：要把12件同样的长a 、宽b 、高h 的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当 b =2h 时，如何打包？ ⑵当 b <2h 时，如何打包？ ⑶当 b >2h 时，如何打包？A1.在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？25块积木56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体表面积的和是2.一个表面积为22cm．3.要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？4.如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．5.如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．B6.把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．7.用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?8.有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．9.棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?10.有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？C11.三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？12.把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？13.把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？14.一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？15.有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？1.有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?A2.如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？3.如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？4.一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？5.右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的 倍．33223323322323111111第8题1.图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵2.如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)3.有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸1110.511.54.圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)5.如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)6.如图，有一张长方形铁皮，剪下图中两个圆及一块长方形，正好可以做成1个圆柱体，这个圆柱体的底面半径为10厘米，那么原来长方形铁皮的面积是多少平方厘米？(π 3.14=)7.把一个高是8厘米的圆柱体，沿水平方向锯去2厘米后，剩下的圆柱体的表面积比原来的圆柱体表面积减少12.56平方厘米．原来的圆柱体的体积是多少立方厘米？8.一个圆柱体的体积是50.24立方厘米，底面半径是2厘米．将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？ (π 3.14=)9.一个拧紧瓶盖的瓶子里面装着一些水(如图)，由图中的数据可推知瓶子的容积是_______ 立方厘米．(π取3.14)10.一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈)，如图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米；瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？11.一个盖着瓶盖的瓶子里面装着一些水，瓶底面积为10平方厘米，(如下图所示)，请你根据图中标明的数据，计算瓶子的容积是＿＿＿＿＿＿．12.一个盛有水的圆柱形容器，底面内半径为5厘米，深20厘米，水深15厘米．今将一个底面半径为2厘米，高为17厘米的铁圆柱垂直放入容器中．求这时容器的水深是多少厘米？13.有甲、乙两只圆柱形玻璃杯，其内直径依次是10厘米、20厘米，杯中盛有适量的水．甲杯中沉没着一铁块，当取出此铁块后，甲杯中的水位下降了2厘米；然后将铁块沉没于乙杯，且乙杯中的水未外溢．问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？14.如图，甲、乙两容器相同，甲容器中水的高度是锥高的13，乙容器中水的高度是锥高的2 3，比较甲、乙两容器，哪一只容器中盛的水多？多的是少的的几倍？(单位：厘米)15.如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的面积是 平方米．16.图为一卷紧绕成的牛皮纸，纸卷直径为20厘米，中间有一直径为6厘米的卷轴．已知纸的厚度为0.4 毫米，问：这卷纸展开后大约有多长？17.如图，ABC 是直角三角形，AB 、AC 的长分别是3和4．将ABC ∆绕AC 旋转一周，求ABC ∆扫出的立体图形的体积．(π 3.14=)18.已知直角三角形的三条边长分别为3cm ，4cm ，5cm ，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？(π取3.14)19.如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为16π，以AC甲乙CBA43边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为12π，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？20.如图，ABCD 是矩形，6cm BC =，10cm AB =，对角线AC 、BD 相交O ．E 、F 分别是AD 与BC 的中点，图中的阴影部分以EF 为轴旋转一周，则白色部分扫出的立体图形的体积是多少立方厘米？(π取3)ABC ABAB第十六讲 特殊图形一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥c b aHGFED CBA1.掌握立体图形的特征，能通过分析图形的特征解题。
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圆和组合图形(1)一、填空题1.算出圆内正方形的面积为 .2.右图是一个直角等腰三角形,直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米.120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 .4.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)5.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28长 厘米.6.如右图,阴影部分的面积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积7.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度.8.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π9.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米.10.在右图中(单位:厘米),两个阴影部分面积的和是 平方厘米.45二、解答题11. ABC 是等腰直角三角形. D 是半圆周的中点, BC 是半圆的直径,已知: AB =BC =10,那么阴影部分的面积是多少?(圆周率14.3=π)12.如图,半圆S 1的面积是14.13平方厘米,圆S 2的面积是19.625平方厘米.那么长方形(阴影部分的面积)是多少平方厘米?13.如图,已知圆心是O ,半径r =9厘米,1521=∠=∠,那么阴影部分的面积是多少平方厘米?)14.3(≈π14.右图中4个圆的圆心是正方形的4个顶点,它们的公共点是该正方形的中心.如果每个圆的半径都是1厘米,那么阴影部分的总面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 18平方厘米.由图示可知,正方形两条对角线的长都是6厘米,正方形由两个面积相等的三角形构成.三角形底为6厘米,高为3厘米,故正方形面积为1822136=⨯⨯⨯(平方厘米).2. 1.14平方厘米.由图示可知,图中阴影部分面积为两个圆心角为45的扇形面积减去直角三角形的面积.即14.12122236045214.32=⨯⨯-⨯⨯⨯(平方厘米).3. 125.6平方厘米.由已知条件可知圆的半径的平方为120平方厘米.故扇形面积为6.12536012012014.3=⨯⨯(平方厘米).4. 3.09厘米.边结BE 、CE ,则BE=CE=BC=1(厘米),故三角形BCE 为等边三角形.于是60=∠=∠BCE EBC .BE=CE=045.136060214.3=⨯⨯(厘米).于是阴影部分周长为09.312045.1=+⨯(厘米).5. 32.8厘米.从图中可以看出阴影部分①加上空白部分的面积是半圆的面积,阴影部分②加上空白部分的面积是三角形ABC 的面积.又已知①的面积比②的面积小28平方厘米,故半圆面积比三角形ABC 的面积小28平方厘米.半圆面积为6282124014.32=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯(平方厘米),三角形ABC 的面积为628+28=656(平方厘米).BC 的长为8.32402656=÷⨯(厘米).6. 13937平方厘米.将等腰直角三角形补成一个正方形,设正方形边长为x 厘米,则圆的半径为2x 厘米.图中阴影部分面积是正方形与圆的面积之差的81,于是有282114.322⨯=⎪⎭⎫⎝⎛⨯-x x ,解得1332002=x .故等腰直角三角形的面积为1393721133200=⨯(平方厘米). ⌒⌒7. 72.扇形面积是圆面积的511574.31=÷,故扇形圆心角为360的51即72.8. 5.13.三角形ACO 是一个等腰直角三角形,将AO 看作底边,AO 边上的高为3262=÷=÷AO (厘米),故三角形ACO 的面积为93621=⨯⨯(平方厘米).而扇形面积为13.1436045614.32=⨯⨯(平方厘米),从而阴影部分面积为14.13-9=5.13(平方厘米).9. 142.75.由正方形周长是20厘米,可得正方形边长也就是圆的半径为5420=÷(厘米).图形总面积为两个43圆面积加上正方形的面积,即75.1425243514.322=+⨯⨯⨯(平方厘米).10. 90平方厘米.图中阴影部分的面积是从两个以直角三角形直角边为直径的半圆及一个直角三角的面积和中减去一个以直角三角形斜边为直径的半圆的面积即()902114.3)220(2115122114.3)216(2114.3212222=⨯⨯÷-⨯⨯+⨯⨯÷+⨯⨯÷(平方厘米).11. 如图作出辅助线,则阴影部分的面积为三角形AED 的面积减去正方形BEDO 三角形AED 的面积是21)210()21010(⨯÷⨯÷+;积是2)210(÷,圆面积的41是2)210(14.341÷⨯⨯,故阴影部分面积为:22)210(14.341)210(21)210()21010(÷⨯⨯+÷-⨯÷⨯÷+125.32625.19255.37=+-=（平方厘米）.12. 由已知半圆S 1的面积是14.13平方厘米得半径的平方为914.3213.14=÷⨯(平方厘米),故半径为3厘米,直径为6厘米. 又因圆S 2的面积为19.625平方厘米,所以S 2半径的平方为25.614.3625.19=÷(平方厘米),于是它的半径为2.5厘米,直径为5厘米. 阴影部分面积为55)56(=⨯-(平方厘米).13. 因OA=OB ,故三角形OAB 为等腰三角形,即 150215180,151=⨯-=∠=∠=∠AOB OBA , 同理150=∠AOC ,于是602150360=⨯-=∠BOC . 扇形面积为:39.42914.3360602=⨯⨯(平方厘米).14. 正方形可以分割成两个底为2,高为1的三角形,其面积为221221=⨯⨯⨯(平方厘米).正方形内空白部分面积为4个41圆即一个圆的面积与正方形面积之差,即2212-=-⨯ππ(平方厘米),所有空白部分面积为)2(2-π平方厘米. 故阴影部分面积为四个圆面积之和与两个空白面积之和的差,即为 8)2(22412=-⨯-⨯⨯ππ(平方厘米).十二、圆和组合图形（2）一、填空题1.如图,阴影部分的面积是 .2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大 平方厘米.3.在一个半径是4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是 平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米)4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面积是 (平方厘米).5.如图所求,圆的周长是16.4厘米,圆的面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分的周长是 厘米.)14.3(=π6.如图,151=∠的圆的周长为62.8厘米,平行四边形的面积为100平方厘米.阴影部分的面积是 .2 1 27.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416.3=π,那么花瓣图形的面积是 平方厘米.8.已知:ABC D 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是 .9.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的311倍,那么,CAB ∠是 度.10.右图中的正方形的边长是2厘米,以圆弧为分界线的甲、乙两部分的面积差(大减小)是 平方厘米.(π取3.14)2二、解答题11.如图:阴影部分的面积是多少?四分之一大圆的半径为r .(计算时圆周率22)取12.已知右图中大正方形边长是6厘米,中间小正方形边长是4厘米.求阴影部分的面积.13.有三个面积都是S 的圆放在桌上,桌面被圆覆盖的面积是2S +2,并且重合的两块是等面积的,直线a 过两个圆心A 、B , 如果直线a 下方被圆覆盖的面积是9,求圆面积S 的值.14.如图所示,1的位置沿线段AB 、BC 、CD 滚到2的位置,如果AB 、BC 、C D 的长都是20厘米,那么圆板的正面滚过的面积是多少平方厘米?———————————————答 案——————————————————————1. 6.两个扇形面积相等,故阴影部分面积等于一个长为3,宽为2的长方形面积,为6个平方单位.2. 188.4.小圆的半径为2)14(6=-÷(厘米),大圆的半径为842=⨯(厘米).大圆的面积比小圆的面积大4.18814.3)28(22=⨯-(平方厘米).3. 57.305.57214.3)22(14.35.422=⨯⨯÷-⨯(平方厘米)≈57(平方厘米).4. 10.26.从圆中可以看出,阴影部分的面积是两个半圆的面积与三角形面积之差,即26.10621)26(14.322=⨯-÷⨯(平方厘米).5. 20.5.设圆的半径为r ,则圆面积即长方形面积为2r π,故长方形的长为r DC π=.阴影部分周长r r r r r r AD BA BC DC ππππ245241)(⨯=⨯+-++=+++=5.204.1645=⨯=(厘米).6. 6548(平方厘米).如图,连结OA 、AC ,过A 点作CD 的垂线交CD 于E .三角形ACD 的面积为502100=÷(平方厘米).又圆半径为10)214.3(28.6=⨯÷(厘米),因为1=∠又OA=OD ,故30215=⨯=∠AOC ,扇形AOC 的面积为61261014.3360302=⨯⨯(平方厘米).三角形AOC 的面积为25250=÷(平方厘米).方形面积为611256126=-(平方厘米),从而阴影部分的面积为654861150=-(平⌒方厘米).7. 19.1416.花瓣图形的结构是正方形的面积,加上四个43圆面积后,再割去四个半圆的面积.圆的半径为1厘米,正方形边长为4厘米.故花瓣图形的面积是1416.1916421144314222=+=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯+πππ(平方厘米). 8. 2.43平方厘米. 如图,将①移到②得:阴影部分面积等于梯形CEFB 的面积减去三角形CED 、三角形CDA 、扇形AFG 的面积,即 43.236045214.32122122212)322(22=⨯⨯-⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+(平方厘米).9. 60.设扇形ABC 圆心角的度数是x ,半圆的半径OA=r ,有2221311)2(360r r x ⨯⨯⨯=⨯⨯ππ, 解得x=60.10. 0.14.扇形面积为14.341214.32=⨯⨯(平方厘米),甲部分面积为43.0214.32122=÷-⨯(平方厘米),乙部分面积为57.04122214.3=⨯⨯-÷(平方厘米),甲乙两部分面积差为14.043.057.0=-(平方厘米11. 如图,小正方形的边长为2r ,则①的面积为: 72227224122r r r r =⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯, ②的面积为222417272221r r r =-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯,2227224172241r r r =⨯⨯-⨯⨯.即阴影部分面积为272r .12. 将阴影部分旋转后,可以看出所求阴影部分面积为大正方形面积的一半减去小正形的一半,即阴影部分面积等于10242622=÷-÷(平方厘米).13. 设一个阴影部分的面积为x ,则有:2223+=-S x S ,于是22+=x S (1) 又9232=-x S ,于是有23184+-=S x ,解得S=6.14. 圆板的正面滚过的部分如右图阴影部分所求,它的面积为: )420(4614)220(22122-+⨯⨯+⨯-+⨯⨯ππ 07.228323204221)24(414)220(4222≈+=⨯⨯+⨯-⨯-⨯-+⨯πππ(平方厘米).D面积计算（三）专题简析：对于一些比较复杂的组合图形，有时直接分解有一定的困难，这时，可以通过把其中的部分图形进行平移、翻折或旋转，化难为易。