信号与系统(郑君里)复习要点

信号与系统复习书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统 1、信号的分类①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号3.1 单位冲激函数的性质f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞-δ)(d )()(a f t a t t f =-⎰∞∞-δ?d )()4sin(91=-⎰-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞-δ)0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰∞∞-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞∞-⎰t t t t tt t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1)(00a t t a t at -=-δδ)0()()(f k k f k =∑∞-∞=δy (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d)(时不变性质)直观判断方法：若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

LTI 连续系统的微分特性和积分特性①微分特性：若 f (t ) → y f (t ) ， 则 f ’(t ) → y ’ f (t ) ②积分特性：若 f (t ) → y f (t ) ， 则4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述第二章 连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应 1.1微分方程的经典解y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）描述某系统的微分方程为y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当f(t) = 2e -t，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等 ②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()()d t t dtεδ=例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。

3、阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。

4、卷积积分4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞-∞*=-⎰4.2 任意信号作用下的零状态响应⎰⎰∞-∞-→ttxx y x x f d )(d )(f4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质①交换律②结合律③分配律④积分性质⑤微分性质 ⑥任意时间函数与冲激函数的卷积f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t)⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)第三章 离散系统的时域分析1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.2.1y(k) = y h (k) + y p(k)当特征根λ为单根时，齐次解y n(k)形式为： C λk当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为：1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。

①所有特征根均不等于1时;y p (k)=P m k m+…+P 1k+P 0②有r 重等于1的特征根时;y p (k)=k r [P m k m+…+P 1k+P 0]（2） 激励f(k)=a k①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k②当a 是r 重特征根时;y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β； y p(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) []n n n n n nt t f t f t f t t f t f t f t d )(d *)()(*d )(d )(*)(d d 212121==]d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττττ⎰⎰⎰∞-∞-∞-==tt t f t f t f f f f 1,2j e βλρ±=[]cos()sin()kC kD k ρββ+若描述某系统的差分方程为y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k)已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k ，k ≥0。

求方程的全解。

1.3 零输入响应和零状态响应 2、单位序列响应和阶跃响应 2.1 单位序列响应 2.1.1定义 2.1.2 求法递推求初始值，求齐次差分方程的解例 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。

例 若方程为：y(k) – y(k –1) – 2y(k –2)=f(k) – f(k – 2) 求单位序列响应h(k) 2.2 阶跃响应 2.2.1定义 2.2.2 求法3 常用序列01()()(1)()()()(1)()1()(1)()21()(1)1i ki ki k kii k k k k k i i k k i i k k k a a i a a δεεεδεεεεε∞==-∞=-∞+=-∞=--=-=+=+-=<-∑∑∑∑4 离散信号的卷积和 4.1 任意序列的分解 f(k)4.2列作用下的零状态响应4.3 定义4.4 卷积和的求法4.4.1 图解法卷积过程可分解为四步：∑∑∞=-∞=-==0)()()(j k j j k h i h k g ，h (k) =∇g (k)∑∞-∞=-=i i k i f )()(δ∑∞-∞=-=i f i k h i f k y )()()(∑∞-∞=-=i i k f i f k f )()()(21（1）换元： k 换为 i →得 f 1(i )， f 2(i )（2）反转平移：由f 2(i )反转→ f 2(–i )右移k → f 2(k – i )（3）乘积： f 1(i ) f 2(k – i ) （4）求和： i 从 –∞到∞对乘积项求和。

注意：k 为参变量。

4.1.2 不进位乘法求卷积 例f 1(k) ={0， 2 ， 1 ， 5，0} ↑k=1 f 2(k) ={0， 3 ， 4，0，6，0}↑k=0 4.2 卷积和的性质4.2.1法的三律：(1) 交换律, (2) 分配律,(3) 结合律.4.2.4f 1(k – k 1)* f 2(k – k 2) = f 1(k – k 1 – k 2)* f 2(k)第四章 连续系统的频域分析 1 傅里叶级数1.1 傅里叶级数的三角形式1.2 波形的对称特性和谐波特性A .f(t)为偶函数——对称纵坐标 展开为余弦级数B .f(t)为奇函数——对称于原点 展开为正弦级数C f(t)为奇谐函数——f(t) = –f(t ±T/2) 傅里叶级数中只含奇次谐波分量D f(t)为偶谐函数——f(t) = f(t ±T/2) 只有直流(常数)和偶次谐波。

1.3 傅里叶级数的指数形式2 周期信号频谱的特点(1)周期信号的频谱具有谐波(离散)性。

谱线位置是基频Ω的整数倍；(2)一般具有收敛性。

总趋势减小。

4.2.2f （k)*δ(k) = f(k) ， f(k)*δ(k – k 0) = f(k – k 0) 4.2.3.f(k)*ε(k) =∑-∞=ki i f )(4.2.5 ∇[f 1(k)* f 2(k)] = ∇f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ∇f 2(k) ∑∑∞=∞=Ω+Ω+=110)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ⎰-Ω=22d )cos()(2T T n t t n t f T a ⎰-Ω=22d )sin()(2TT n t t n t f T b ∑∞-∞=Ω=n t jn n F t f e )(221()e d T jn t Tn F f t t T -Ω-=⎰n = 0, ±1, ±2，…例：周期信号 f (t ) =试求该周期信号的基波周期T ，基波角频率Ω，画出它的单边频谱图。