信号与系统郑君里复习要点

信号与系统复习

书中最重要的三大变换几乎都有。

第一章 信号与系统 1、信号的分类

①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足

f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足

f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,…

两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。

③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号

2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷）

2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号

3.1 单位冲激函数的性质

f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a)

例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质

4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性）

②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统：

)0(d )()(f t t t f =⎰∞∞

-δ)

(d )()(a f t a t t f =-⎰

∞

∞-δ?d )()4

sin(9

1=-⎰

-t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=⎰∞∞

-δ)

0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=⎰

∞

∞

-δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞

∞-⎰

t t t t t

t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ⋅=)(||1)(t a at δδ=)(||1

)(00a t t a t at -=-δδ)

0()()(f k k f k =∑

∞-∞

=δ

y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}] (可分解性) T[{a f (·) }, {0}] = a T[{ f (·) }, {0}]

T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1 (·) }, {0}] + T[{ f 2 (·) }, {0}](零状态线性)

T[{0},{a x 1(0) +b x 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}](零输入线性) 4.4时不变系统与时变系统

T[{0}，f (t - t d )] = y f (t - t d

)(时不变性质)

直观判断方法：

若f (·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。 LTI 连续系统的微分特性和积分特性

①微分特性：

若 f (t ) → y f (t ) ， 则 f ’(t ) → y ’ f (t ) ②积分特性：

若 f (t ) → y f (t ) ， 则

4.5因果系统与非因果系统 5、系统的框图描述

第二章 连续系统的时域分析 1、LTI 连续系统的响应 1.1微分方程的经典解

y(t)(完全解) = y h (t)(齐次解) + y p (t)(特解）

描述某系统的微分方程为

y ”(t) + 5y ’(t) + 6y(t) = f(t)

求（1）当f(t) = 2e -t

，t ≥0；y(0)=2，y ’(0)= -1时的全解； （2）当f(t) = e -2t

，t ≥0；y(0)= 1，y ’(0)=0时的全解 2、冲激响应

系统在单位冲激信号作用下的零状态响应，求解方法

①系数平衡法 系统方程两端对应系数相等 ②由单位阶跃响应求单位冲激响应，即()

()d t t dt

εδ=

例y ”(t)+5y ’(t)+6y(t)=f(t)

求其冲激响应h(t)。 3、阶跃响应

系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应。 4、卷积积分

4.1定义 1212()()()()f t f t f f t ττ∞

-∞

*=

-⎰

4.2 任意信号作用下的零状态响应

⎰⎰

∞

-∞

-→t

t

x

x y x x f d )(d )(f

4.3卷积积分的求法 按照定义 图解法 4.4 卷积积分的性质

①交换律②结合律③分配律

④积分性质

⑤微分性质 ⑥任意时间函数与冲激函数的卷积

f(t)*δ(t)=δ(t)*f(t) = f(t) ；f(t)*δ’(t) = f ’(t) ；f(t)*ε(t)

⑦卷积的时移性质 f 1(t –t 1)* f 2(t –t 2) = f 1(t –t 1 –t 2)* f 2(t) = f 1(t)* f 2(t –t 1 –t 2) = f(t –t 1 –t 2)

第三章 离散系统的时域分析

1、LTI 离散系统的响应 1.1差分与差分方程

1.2 差分方程的经典解（和微分方程相类似） 1.

2.1y(k) = y h (k) + y p

(k)

当特征根λ为单根时，齐次解y n

(k)形式为： C λk

当特征根λ为r 重根时，齐次解y n (k)形式为： (C r-1k r-1+ C r-2k r-2+…+ C 1k+C 0)λk

当特征根λ为一对共轭复根 时，齐次解y n (k)形式为：

1.2.2 特解y p (k): 特解的形式与激励的形式雷同(r ≥1） 。 ①所有特征根均不等于1时;

y p (k)=P m k m

+…+P 1k+P 0

②有r 重等于1的特征根时;

y p (k)=k r [P m k m

+…+P 1k+P 0]

（2） 激励f(k)=a k

①当a 不等于特征根时; y p (k)=Pa k

②当a 是r 重特征根时;

y p (k)=（P r k r +P r-1k r-1+…+P 1k+P 0)a k

（3）激励f(k)=cos(βk)或sin(βk) 且所有特征根均不等于e ±j β

； y p

(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) []n n n n n n

t t f t f t f t t f t f t f t d )(d *)()(*d )(d )(*)(d d 212121==]

d )([*)()(*]d )([d )](*)([212121τττττττ⎰

⎰⎰∞

-∞-∞-=

=t

t t f t f t f f f f 1,2j e βλρ±=[]cos()sin()k

C k

D k ρββ+