静电场习题答案

8.(1276) 如图所示，三个“无限长”的同轴导体圆柱面A、B和C，半径分别为Ra、Rb、 Rc．圆柱面B上带电荷，A和C都接地．求Ｂ的内表面上电荷线密度λ1和外表面上电荷 线密度λ2之比值λ1/ λ2． 解：设B上带正电荷，内表面上电荷线密度为λ1，外表面上 电荷线密度为λ2，而A、C上相应地感应等量负电荷，如图所 示．则A、B间场强分布为
D C
A B 二、填空题 1.（1042） A、B为真空中两个平行的“无限大”均匀带电平面，已知两平 面间的电场强度大小为E0，两平面外侧电场强度大小都为E0/3， 方向如图．则A、B两平面上的电荷面密度分别为δA＝ E 0/3 E 0/3 －2ε0E0 / 3 4ε0E0 / 3 _______________, δB＝____________________． E0
3.（1059） 图中虚线所示为一立方形的高斯面，已知空间的场强分布为:Ex＝bx, Ey＝0, Ez＝0． 高斯面边长a＝0.1 m，常量b＝1000 N/(Cm)．试求该闭合面中包含的净电荷．(真空介电 常数ε0＝8.85×10-12 C2N-1m-2 ) y 解：设闭合面内包含净电荷为Q．因场强只有x分量不 为零，故只是二个垂直于x轴的平面上电场强度通量不 为零．由高斯定理得： -E1S1+ E2S2=Q / ε0 ( S1 = S2 =S ) 则 Q = ε0S(E2- E1) = ε0Sb(x2- x1) = ε0ba2(2a－a) =ε0ba3 = 8.85×10-12 C
静电场答案
一、选择题
y
1.（0388） 在坐标原点放一正电荷Q，它在P点(x=+1,y=0)产生的电场强 度为 E ．现在，另外有一个负电荷-2Q，试问应将它放在什 么位置才能使P点的电场强度等于零？ (A) x轴上x>1． (B) x轴上0<x<1． (C) x轴上x<0． (D) y轴上y>0． (E) y轴上y<0． ［C ］
2.（1050） 两根相互平行的“无限长”均匀带正电直线1、2，相距为d， 其电荷线密度分别为λ1和λ2如图所示，则场强等于零的点 λ1 d λ1 + λ 2 与直线1的距离a为_____________ ．
λ1
λ2
a d 1 2
E
3.（1498） 如图，点电荷q 和－q被包围在高斯面S内，则通过该高 斯面的电场强度通量 0 ∫ E d S ＝_____________，式中 E
计算题 1.（1009） 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷+Q，沿其下 半部分均匀分布有电荷－Q，如图所示．试求圆心O处的电场强度． y 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在θ处取微小电荷 dq = λdl = 2Qdθ/ π Q dq 它在O处产生场强 d E = = dθ
解：(1) (2)
A1 = ∫ F d S = qE ab cos 90 = 0
b o a
c a
d
Ⅲ
A2 = ∫ F d S = qE ac cos180 o ＝－1×10-3 J
d
45°° b
a
Ⅱ Ⅰ
c
A3 = ∫ F d S = qE ad sin 45 o ＝ 2.3×10-3 J (3) a
［ B ］
a
b
4.（1076） 点电荷-q位于圆心O处，A、B、C、D为同一圆周上的四点，如图所示．现将一 试验电荷从A点分别移动到B、C、D各点，则 (A) 从A到B，电场力作功最大． (B) 从A到C，电场力作功最大． (C) 从A到D，电场力作功最大． -q (D) 从A到各点，电场力作功相等． ［D ］ A B O
A m,q M B C
mgR－EqR＝(mv2＋MV2)/2
v=
mv 2mR (mg qE ) V = = M M (M + m )
小球通过B点后，可以到达C点
2 MR(mg qE ) m(M + m )
方向水平向右
方向水平向左
7.(1081)一均匀电场，场强大小为E＝5×104 N/C，方向竖直朝上，把一电荷 为q＝ 2.5×10-8 C的点电荷，置于此电场中的a点，如图所示．求此点电荷在 下列过程中电场力作的功． (1) 沿半圆路径Ⅰ移到右方同高度的b点， ab ＝45 cm； (2) 沿直线路径Ⅱ向下移到c点， ac ＝80 cm； (3) 沿曲线路径Ⅲ朝右斜上方向移到d点， ad ＝260 cm(与水平方向成45° 角)．
R Oθ
π π / 2 Ex = 2 sin θ d θ ∫ sin θ d θ = 0 2 ∫ 2π ε 0 R 0 所以 π /2 π /2 π Q Q Ey = 2 2 ∫ cosθ dθ ∫ cosθ dθ = 2 2 E = E i + E j = Q j x y 2π ε 0 R 0 π ε0 R π 2ε 0 R 2 π /2
O
a
x
a
z a 4.(1025) a 电荷面密度分别为+δ和－δ的两块“无限大”均匀带电平行平面，分别与x x 轴垂直相交于x1＝a，x2＝－a 两点．设坐标原点O处电势为零，试求空间 -σ 的电势分布表示式并画出其曲线． 解：由高斯定理可得场强分布为： E =-δ/ ε0 (－a＜x＜a) E=0 (－∞＜x＜－a ，a＜x＜＋∞) 由此可求电势分布：在－∞＜x≤－a区间
B、C 间电势差
U BC = ∫
λ E2 d r = 2 2πε 0
因UBA＝UBC ,得到
λ1 ln (Rc / Rb ) = λ 2 ln (Rb / Ra )
R dr λ = 2 ln c ∫ Rb r 2πε 0 Rb
Rc
-λ1
+λ1
+λ2
-λ2
9.(1072) 在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电荷，其电荷线密度λ＝ 1.0×10-5 C/m．在 杆的延长线上，距杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.0×10-5 C，如图 所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量ε0＝8.85×10-12 C2N-1m-2 ) 解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取 一电荷元λdx，它在点电荷所在处产生场强为：
q0
d
d
λ
l
λdx
O d+ x x x l
dE =
4πε 0 (d + x )
l
λdx
2
整个杆上电荷在该点的场强为：
q0
λ E= 4 πε 0
dx λl ∫0 (d + x )2 = 4πε 0 d (d + l )
点电荷q0所受的电场力为：
q0 λl F= ＝0.90 N 4 πε 0 d (d + l )
+q O x d x' -3q x
3q E= i i =0 2 2 4πε0 x′ 4πε0 (x′ d )
可得 解出 (2) 设坐标x处U＝0，则 得
q
2 x′ 2 + 2dx′ d 2 = 0
x′ =
q 3q q U= = 4πε 0 x 4πε 0 (d x ) 4πε 0
1 1+ 2
S
S +q
-q
高斯面上各点 为_________________处的场强．
4.（1194） 把一个均匀带有电荷+Q的球形肥皂泡由半径r1吹胀到r2，则半径为R(r1＜R＜r2)的 0 Q/(4πε0R2) 球面上任一点的场强大小E由______________变为______________；电势U由 Q/(4πε0R) Q/(4πε0r2) __________________________变为________________(选无穷远处为电势零 点)．
+Q
R O
－Q
x
4 πε 0 R 2
2π 2ε 0 R 2
按θ角变化，将dE分解成二个分量：
d E x = d E sin θ =
Q 2π ε 0 R
2 2
sin θ d θ
dq
y
d E y = d E cos θ =
Q 2π ε 0 R
2 2
cos θ d θ
dθ
θ
x
对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷
(
3d
)
另有一解不符合题意，舍去．
d 4x x(d x) = 0
d- 4x = 0, x = d/4
6.(0250)在强度的大小为E，方向竖直向上的匀强电场中，有一半径为R的半球形 光滑绝缘槽放在光滑水平面上(如图所示)．槽的质量为M，一质量为m带有电荷＋q 的小球从槽的顶点A处由静止释放．如果忽略空气阻力且质点受到的重力大于其所 受电场力，求： (1) 小球由顶点A滑至半球最低点Ｂ时相对地面的速度； (2) 小球 通过B点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过B点后，能不能再上升到右端最高 点C？ E E 解：设小球滑到B点时相对地的速度为v，槽相对地的速度为 V．小球从A→B过程中球、槽组成的系统水平方向动量守恒， mv＋MV＝0 对该系统，由动能定理 ①、②两式联立解出 ① ②
O +Q
(1,0) P
x
2.（1034） 有两个电荷都是＋q 的点电荷，相距为2a．今以左边的点电荷所在处为球心，以a 为半径作一球形高斯面 ． 在球面上取两块相等的小面积S1和S2，其位置如图所 示． 设通过S1和S2的电场强度通量分别为φ1和φ2，通过整个球面的电场强度通量 为φS，则 S2 S1 q (A) φ1＞φ2φS＝q /ε0． q (B) φ1＜φ2，φS＝2q /ε0． 2a O (C) φ1＝φ2，φS＝q /ε0． (D) φ1＜φ2，φS＝q /ε0． ［ D］