导数的运算法则解读

y3x1平行？
解：
3
由于 y (x2 )
3
1
x 2
3
x，
22
直线 y3x的斜1率 . K3
令3 2
x0， 3
则 x0 ，4 此时y0 , 8
故所求点为 (4,8.)
例4 y ，ex求3 解：y 视ex3为
.d y dx ye复u,u合而x成3 ，
因此 dy dy du eu3x23x2ex3. dx du dx
x 0 x
2 !
nxn1.
（ n为自然数）
3.
(ax)lim axxaxax
ax lim
1
axlna,
x 0 x
x0 x
特别 ae 时，(ex)ex.
6. (lx n )lilm n x ( x)ln x
x 0
x
lim1[ln1(x)]
x 0x
x
lim ln1[(x)xx]1x
x0
x
1lim ln1(x)xx 1lne 1.
续， 所以有 liv m (x x .)v(x ) x 0
特别当 v(x（)常c数）时，由上式立刻有 [c(x u )] c u ( 成x ) 立.
（3）设y
1 v (，x )
则
y 1 1 v (x x ) v (x ) v (x x )v (x ) v (x )v (x x )
x 0
x
li [ u ( m x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x ) ]
x 0 x
x
u (x)v(x).
（2）设 yu(x)v(x)
y[u(x)v(x)]lim y x 0x
liu m (x x )v (x x ) u (x )v (x )
d u u dv
dx
所以 d y 1(sinv)ex dx u
sinex cosex
来自百度文库
ex
extaenx.
x
u (x x )v(x ) u (x )v(x x ) lim
x 0 v(x x )v(x ) x
li[ u m (x x ) u (x )v ( ] x ) u (x )v ( [ x x ) v (x )]
x 0
v (x x ) v (x ) x
u (x x )u (x )v(x )u (x )v(x x ) v(x )
7. (sx i)n coxs 8. (cx o ) ssixn 9. (tax)n se2x c 10. (cx o)tcs2x c 11. (sx ) e s ce x tca xn
12. (cx )s c cx scc x ot
13.
(arcxs)in
1 1x2
14. (arcxc)o s 1 1x2
xx0
xx
x
7. (sx i)n lim f(xh )f(x)
h 0
h
lim sin x(h)six n
h 0
h
cos(x h)sinh
lim h0
22 h
2 cx o . s
类似地可以证明 (cx o ) s six.n
四、导数的四则运算法则
定理1 设函数 u(和x) 都v在(x点) 处可导x，
例5 ysin1，2求xx2 .
dy dx
解：ysin12xx2 视为ysin u,u复1合 2x而x2成，
又因 dy c，osu du
d du x2(1(1x 2)x22)2x2x
2(1 x 2 ) (1 x 2 )2
，
所以
dycous dx
2(1x2) (1x2)2
2(1(1xx2)22)co1s2xx2.
并且 xs，in 在y (内 π单, π调) 增加可导， 且 cox s1yyco 1ys 1si0 n，2 y所以21y12x2(ax r(c1 xs,)1i)n.x1 y
类似地可证
(arcx)cos 1 . 1x2
15. (arcxt)an11x2
证明设： ya，r其c反txa函n数
在 xtayn
ex(ta xn se 2xc ln x1). x
七、反函数的求导法则
定理2 设 yf在(x 区)间 内单I调x 、可导且
f(x)0，则它的反函数 x在(y区)间
I y { y |y f(x )x , I x } 内也可导，
且有 (y) 1 ，即
f (x)
x y
. 1 y x
证明由：于 y在f(x内)单调I x、可导（必
个可导函数情形，例如，设 u， ，v 均w可导.
则有 ( u v w ) u v w ， ( u v w ) u v u w v w u w .v
五、证明基本初等函数的部分求导公式
5.
(loagx)(llnnax)
1 (lnx) lna
1. x ln a
9. (taxn)(csionxxs)(sx i)n cc o x o 2 ssxsixn (cx o ) s
y f(u )u , g (x ) 则复合函数
yf[在g(x点)]可x导，其导数为
y x y u u x f( u )g (x )， 或 ddxy dduy
du. dx
证明：由II有 f(u，)limy 进而有
yf(u)(u)即
u0u y f( u ) u ( u ) u ，
u
导数的运算法则
一、背景知识与引入方法
根据导数定义可以求一些简单函数的导数.
而对比较复杂的函数的求导应借助于微分法则.
这些法则的建立是以极限理论和导数定义作为
基础，法则的推导应力求简短.
例如，商的求导法则就有繁简不同的表述
方法.
方法一：
u(xx)u(x)
[u(x)]' limv(xx) v(x)
v(x) x0
再由 v(x在) 点x处可导（必连续）且 v(,x)0 即得： y(v(1 x)) lx i0m x yv v2 ((x x))
再由（2），[u (x)]u (x) 1u (x)[1]
v(x)
v(x)
v(x)
成立.
u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x)
注：定理1中法则（1）（2）可推广到有限
co2scxo2ssxin2 xse2cx.
类似地可证 (cx o ) tcs 2xc.
11.(sexc)
( 1 ) coxs
(ccooss2xx)
sin x cos 2 x
se xtcax,n
类似地可证 (c x )s c cx s cc x o . t
六、例题
例1 设 f(x)x34c，o求x ssiπ .n f ( π )
15. (arctx)an11x2
16. (arcxc)o t11x2
证明：
1.
(c)lim f(x x)f(x)
x 0
x
limc c x0 x
0.
2. (xn)lim 1[x ( x)nxn] x 0 x
li1 [ m n n 1 x x n ( n 1 ) x n 2 ( x ) 2 ( x ) n ]
2
2
解： f(x)(x3)4 (cx o )s (sπ i)n
2
3 x 2 4 six n 0
故 f(π)3π24. 24
例2 设 yex(t，a x 求n ln x .) y 解： y ( e x ) (t x a lx n ) n e x (t x a lx n ) n
ex(tx a ln n x ) ex(s2x e1 c) x
例6 yln，si求x n . d y dx
解：不必写出中间变量，然后逐层求导.
d y (lsnix n ) 1 (sinx)cosxcotx.
dx
sinx
sinx
例7 y31 ，2求x2 . y
解：
y[1(2x2)13]1(12x2)3 2(12x2)
4x
3 .
33 (12x2)2
注：复合函数的求导法则可推广到多个中间变
x（ 为任意实数）的求导公式.
微分法则表明，初等函数的导数的具体计算 都切实可行，特别是复合函数的求导法则，使复 杂函数的求导计算系统化，简单化.
三、基本初等函数的求导公式
1．(c)（0c 为常数）
2. (x)x1
3. (ax)axlna
4. (ex) ex
5.
(loagx)
1 xlna
6. (ln x) 1 x
连续），所以，反函数 x在(y相) 应的区间
I y 内也单调连续，因此当 y时0， x0
并有 y 时0 对 y的导数为
，x 0于是，反函数 x(y)
xy
limx y0 y
lim
x0
1 y
1 yx
x
利用此定理证明如下公式：
13.
(arcxs)in
1 1x2
证明设： ya，r是csxin 的反x函s数i.ny
量的情形.
如：设y f ( u ) ,u ( v ，) ,v ( x )则复合函数
yf{[(x)]的}导数为 dydydudv.
dx du dv dx
例8 ylnc，o求esx() . 解： ylnco分es解x()为
dy dx
y lu n ,，u cv o ,v se x
又因 d y 1 ， du sinv，d v e x ，
其中(u)（ 当0 时u） ，0 时u 规0定 0
此时 y f ( u ，u ) f ( u )再由I有 ux
limu， x0 x
且有当x 时0， ,u从 而0推知
，(u) 0
于是dy dx
y x
lim y li[m f(u ) u( u ) u ]
x x0
x 0
x
x
f(u )g (x) dy du . du dx
（2）依据极限理论，推导出和、差、积、 商的求导法则，再以这些法则是和已有的导数 结果，给出对数函数 log、ax 正余切函数 、taxn coxt和正余割函数 se、xccs的xc求导公式.
（3）建立反函数的求导法则，并由此给出 反正弦、反余弦、反正切、反余切函数的求导
公式.
（4）由导数定义及极限理论推导复合函数 的求导法则，并借此给出基本初等函数中幂函数
uvv2uv
方法二：
1 先解决 v ( x的) 导数，然后按乘积求导法则
[u (x)]u (x) 1u (x)[1].
v(x)
v(x) v(x)
详细内容见该知识点讲解方法（参考居余马、
葛严麟主编《高等数学》第Ⅱ卷.）
二、该知识点的讲解方法
（1）依据导数定义和重要极限先解决基本 初等函数中常值函数 c，正整次幂函数 x、n 指 数函数 a、x 自然对数函数 l、nx正余弦函数 sinx、coxs的求导公式.
证明：(x)（x其1中 为任意实数），
设 y x elnx 是由 yeu,u 复合l而nx成，
于是
y(eu )u(ln x )x
eu
x
x x1，
x
且容易算出：(x)1,
(1) x
(x1)
x12，
(
1
x) (x2)
1 ，(1)(x1 2)
1
.
2x x
2x x
例3 曲线 y 上x3哪2 点的切线与直线
（3）[ u v
( x ) ] (u)
u (x)v(x v )2 (x u )(x)v(x)(v(x)0 )
特别地
[ 1 ] v(x)
vv2((xx))
证明：（1）设 yu (x )v(x )
y[u(x)v(x)]lim y x 0 x
li[ u m (x x ) v (x x ) ] [ u (x ) v (x )]
则它们的和、差、积、商（分母为零的点除外）
都在 x点处可导，且有：
（1）[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x )
（2）[ u ( x ) v ( x ) ] u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x )
特别地 [c(x u )] c （u (为x )常值c）
lim x
x
x 0
v(x x )v(x )
u(x)v(xv)2 (xu)(x)v(x)
以上表述可简化为：令 y( x) u( x) ，v(x)0， v( x)
对于可导函数 v， 当x 时0， v ， 0
yuuuvuuv， 从而有 vv v (vv)v
y
v
u x
u v x
x v(v v)
( π , π )内单调、可导，且 22
xyse2，cy0
所以在相应区间 Ix(内 ,， ) yx(arcxt)a n
1 x y
1 sec 2
y
1
1 tan2
y
1
1 x2
.
类似地可证 (arcxc) ot11x2 .
八、复合函数的求导法则
定理3 若函数 yf[g是(x由)] 复合而成，且满足 I： ug在(x点) 可导x； II：yf在(u) u可导g(，x)
l x [ 0 i u ( x m x ) u ( x ) v x ( x x ) u ( x ) v ( x x ) v ( x ) ]
x 0 x
x
u ( x ) v ( x ) u ( x ) v ( x ).
由于 v在(x) 点处x可导，故 在点v(处x)连