导数运算法则

f (x) f (x)g(x) f (x)g(x) (3) [ . ]= (g(x) 0) 2 g(x) [g(x)]
思考：如果f(x)的导数为f′(x)，c为常数，那么如何求函数f(x)+c与cf(x)的导数？ 提示：由于常数函数的导数为0，即(c)′=0，由导数的运算法 则(1)(2)，得［f(x)+c］′=f′(x)，［cf(x)］′=cf′(x).
跟踪训练1 (1)y＝ln
指出下列函数由哪些函数复合而成： x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x；
(2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.
1.求复合函数的导数的关键是处理好以下几个环节 (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析出复合过程； (3)一般从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后结果要把中间变量换成自变量的函数．
求简单复合函数f(ax＋b)的导数 求简单复合函数的导数，实质是运用整体思想，先把简单复 合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再 分别对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相 乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形 式是关键．
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ 1 ＝ 2 · (2x2＋3x＋1)′ 2x ＋3x＋1ln2 4x＋3 ＝ 2 . 2x ＋3x＋1ln2 (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)· cos(ax＋b)· (ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)· esin(ax＋b)．
二、复合函数的求导公式 y=f(g(x)) 1.复合函数的定义：(1)一般形式是__________. 中间变量 y=f(u) 与_______ u=g(x)，其中u称为_________. (2)可分解为_______ 2.求导法则：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)， y′ u · u′x u=g(x)的导数间的关系为：y′x=__________.
变式训练 1 求下列函数的导数． 1 (1)y＝ ； 1＋3x5 π (2)y＝sin(x －6)；
2
(3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e
2x2＋1
.
1 解 (1)令u＝1＋3x，则y＝u5＝u－5， ∴y′x＝y′u· u′x＝－5u 6· 3
－
15 ＝－15u ＝－ . 1＋3x6
－6
π (2)令u＝x －6，则y＝sinu，
2
∴y′x＝y′u· u′x π π 2 ＝cosu· (x － )′＝2xcosu＝2xcos(x － )． 6 6
2
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u· u′x 11 1 ＝ ·＝ . u x xlnx (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u· u′x＝eu· 4x ＝4x· e
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x.
解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的． (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
•第2课时 导数的运算法则及复合函数的导数
一、导数的四则运算法则 条件：f(x),g(x)是可导的. f′(x)±g′(x) 结论：(1)［f(x)±g(x)］′=_______________. f′(x)g(x)+f(x)g′(x) (2)［f(x)g(x)］′=______________________.
2x2＋1
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例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u· u′x进行求导．
解 (1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16 ∴y′＝(x4－8x2＋16)′ ＝4x3－16x. 方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′ ＝2(x2－4)· 2x ＝4x3－16x.
2．求复合函数导数的方法步骤 (1)分解复合函数为基本初等函数，适当选择中间变量； (2)求每一层基本初等函数的导数； (3)每层函数求导后，需把中间变量转化为自变量的函数.
规律技巧 求复合函数的导数，要分清函数的复合关 系，对于分式型的可化为幂的形式求导，关键选好中间变 量．最后将中间变量代回到原自变量的函数．