物理竞赛角动量
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛刚体的角动量和力矩课件
因子弹与圆柱体做完全非弹性碰撞，故损失的动能转换为 系统的热能。
解题思路：将子弹和圆筒看作一 个系统，此系统的合外力矩为0。 因此可运用角动量守恒，计算角 动量时以圆柱筒O为参考。
解：最初情况下，圆柱筒处于静止状态，所以系统对参考点 O的角动量实为子弹的角动量
子弹击中后，圆柱体 中的子弹一起以角速度
和嵌入其 运动，但是动能却不守恒
ω
刚体绕转轴 的转动惯量I
如果刚体绕通过质心的对称轴旋转， 那么 是 的唯一分量
分解为平行于转轴 及 垂直转轴分量
同相叠加
均能找到对称点 相互抵消
L Iω 转轴为通过质心
的对称轴
角动量和力矩的关系式
dL dt
其中 和 dL 分别针对惯性参考系的原点或系统的质心轴
矢量关系式，对任何方向均适用
沿转轴方向力矩和角动量的关系
因此合角动量方向如图所示， 指向右上方
和角速度 方向不一致
例：子弹击中圆柱筒边缘 一个以速度v运动的质量为m的子弹击中了一个质量为M半径为 的圆柱筒边缘，且子弹嵌入桶中，如图所示。圆柱筒原来静止， 被子弹击中后开始绕其对称轴（位置固定）旋转。假设无摩擦 力矩。碰撞后圆筒的角速度为多少？动能守恒吗？
解答：要解释这个奇怪的现象，只需用到
在 时间内，施加了一个指向x轴的合外 力矩（通过肘关节的轴）
F
r
所以 的变化量为
因 沿x轴，所以 同样沿x轴
因此新的角动量如图所示，车轮转向右侧
L Iω
若转轴不是通过质心的对称轴，此式就不成立
以下图为例：两个等质量的物体mA 和mB， 分别固定于一不计质量的刚体两端，转轴 和刚体呈角 。两物体的运动方向如图中 标识
刚体的角动量和力矩
高二物理竞赛课件：质点的角动量和角动量守恒定律
F
F
力心
30 有心力：运动质点所受的力总是通过一个固定点。
特征：r // F ,
L 恒矢量 !
质点对力心的 角动量永远守恒！
40 质点对某点的角动量守恒，对另一点不一定守恒。
50 角动量守恒，不见得动量守恒。
比较 动量定理
dP
F
t2
dt
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
角动量定理
dL
M
t2
——质点角动量守恒定律
M
0FF过 O0点，： 中 心 力 （ 如 行 星 受中
L
·m
v （中心F 力）r
•
O
心恒 L
星的万有 r (mv )
引力） 常矢量
（1） mv r sin=const.，
（2）轨道在同一平面内。
讨论
r
F 0
r
10 M r F 0 r // F
20 是普遍规律，宏观、微观都适用。
方法二：
大小：M rF sin
方向：与 r F 相同
M
0
rP F
★ 分散力（力分散在一区域内） M r F
元力矩 dM r dF
总力矩 M dM rdF sin
例唱机的转盘绕着通过盘心的固定竖直轴转动， 唱片放上去后将受转盘的摩擦力作用而随转盘转 动。设唱片可以看成是半径为R的均匀圆盘，质
质点的角动量和角动量守 恒定律
§2-7 质点的角动量和角动量守恒定律 一、角动量（动量矩）
由于动量 不能描述转动问题。
引入质点对参考点O的角动量（angular momentum）：
L r p r (mv)
大小： L rmv sin
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。
物理竞赛角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ••。
高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量
高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1．力矩（1）力对轴的力矩 力矩=力×力臂（2）力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。
大小 sin M Fr α=；方向 由右手螺旋定则确定。
2．角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。
从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。
L r p =⨯，大小 sin L pr θ=，方向 由右手螺旋定则确定。
动量矩又称角动量。
角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。
3．冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。
力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。
4．质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。
21M t L L ⋅∆=- 。
质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。
L M t∆=∆。
5．角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。
6．转动惯量 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J 表示，SI 单位为kg·m 2。
对于一个质点，I =mr 2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
7．描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量（动量矩）L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1．如图所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛课件：角动量的合成(13张PPT)
一般角动量的基本知识
1 角动量算符的定义
任一角动量算符的定义为:
Jˆ Jˆ iJˆ
角动量的平方算符定义为:
Jˆ 2
Jˆ
2 x
Jˆ
2 y
Jˆ
2 z
线性厄密算符
定义另外两个线性算符:
Jˆ Jˆx iJˆ y
Jˆ Jˆx iJˆ y
可以证明以下算符关系式:
[Jˆ 2 , Jˆx ] [Jˆ 2 , Jˆy ] [Jˆ 2 , Jˆz ] 0
同理可证
Jˆ 2
Jˆ
2 2
0
由上面证明过程可以看出，若在对易括号中将 J12用J1代 替，显然有如下关系：
Jˆ
2
,
Jˆ
2
,
Jˆ1
0
Jˆ 2
0
这是因为
Jˆ1x
Jˆ2
x
Jˆ1
y Jˆ 2
y
Jˆ1z Jˆ 2 z
,
Jˆ1
0
4
Jˆz Jˆi2 0 i 1,2.
证明：
Jˆz , Jˆ12 Jˆ1z Jˆ2z , Jˆ12
(Jˆ ) Jˆ , (Jˆ ) Jˆ
角动量算符的本征值问题
记 jm 是算符 Jˆ2 和 Jˆz 共同的、分别用各自
本征值的量子数 j 和 m 表征的本征矢量
Jˆ 2 jm j( j 1)2 jm Jˆz jm m jm j 0、正整数和半正整数
m j, j 1,..., j
角动量算符的矩阵表示
Jˆ2 Jˆ2 iJˆ2
因为二者是相互独立 的角动量，所以相互 对易，即
Jˆ1
,
Jˆ 2
0
二角动量之和 Jˆ Jˆ1 Jˆ2 构成总角动量
高二物理竞赛角动量守恒课件
描述刚体整体的运动用角量最方便。
四、角速度矢量
定义——在转轴上画一有向线段，使长度为 d ，
dt
指向与刚体转动方向成右手螺旋关系。
定义：角加速度矢量
d
dt
大小： d d 2
dt
dt 2
加速转动 减速转动
方 方向 向一 相致 反
10
z
vi
Ri p
ri
o
刚体质元
刚体上任一质元P：
L
0
r
L r mv r p 大小L rmvsin
v( p)
方向垂直r, p组成的平面成右手螺旋关系
动量与参考点无关，角动量与参考点的选择有关；
2
二、力矩
M
r
f
大小: M fr sin fd
.M
f
d为力臂
. 0 r
方向：垂直r，f构成的平面且成右手螺旋关系
三、 质点的角动量定理和角动量守恒
线量不同
vi Ri ri
vi Ri
ai ai ainn
ai
dvi dt
Ri
d
dt
Ri
ain
vi 2 Ri
Ri 2 12
3.3 定轴转动刚体的角动量 转动惯量
一、定轴转动刚体的角动量
任一质元P对0点的角动量为
Li mi ri vi
Li mirivi
沿z轴分量
:
L iz
i
4
1.7 刚体的基本运动
一、什么是刚体 ——理想模型
在任何情况下形状和大小都不发生变化的物体。 研究刚体时，把刚体分成许多部分，每一部分 小到可以看成质点，叫刚体的质元。 刚体是所有质元间距保持不变的质点系。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒
m1 m 2 m1v1 p1 u u m1 m 2 p 2 m 2 v 2 u
两质点的 约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
m2 r1 r2 m2 r12 r1 r1 rc m1 m2 m1 m2 m1 r2 r1 m1r12 r2 r2 rc m1 m2 m1 m2
2 3
3 2
B
mg
由（1）和（2）可得
LdL m gR cos d
2 g sin
8
L
0
LdL m 2 gR 3 cosd L mR 0 L 2 g sin R 2 mR
第六章 角动量守恒
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成 角，求摆球速率. z
解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点 O的角动量为 .L是一个可以绕z轴 L r mv 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L ,其大小分别为
O
Lz
L
L
Lz mvl sin L mvl cos
显然，Lz 不变，而 L 随时间改变.如图,有
7
第六章 角动量守恒
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
解:力矩分析
M mgR cos
dL M dt
O
用角动量定理：
R
t =0 A
N
又
dL mgR cos dt （1） 2 2 d （2） L mR mR
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
高二物理竞赛课件：角动量
gh2 /(R h)
m m
114k g
u
比较: p117
m mv u 120 kg
科学的低级单位错误
• 1999年，美国宇航局“火星气候探测者”号发现 它距离火星比科学家预测的近了60英里左右。这 不是因为时空关系出现了问题，而是因为在“火 星气候探测者”号开发中出现了文化冲突。美宇 航局科学家在计算中采用的是公制单位(如米和厘 米等)，但提供导航软件的洛克希德-马丁公司的 工程师在研究中采用的却是英尺、英寸等英制单 位。结果，由于运行轨道总不稳定，耗资8000万 英镑建造的“火星气候探测者”号最终撞向火星 表面报销。
的质量m是多少? p117
分析:
G
mM m (R h)2
m
v02 Rh
g
G
mM R2
GmM gR2
B vB
R O
vA
v0
v
u
A
h
0 (m m)v + (m)R h) mvBR
1 2
mv
2 A
G
mMm Rh
1 2
mvB2
G
mM m R
结果:
解：物体 的动能变化，物体在做离 小孔的距离不断缩小的螺旋线运动， 绳对物体的拉力方向与物体位移方 向小于90o，拉力作正功。
物体的动量变化，绳子拉力的冲量在改变物体的动量。
物体对小孔的角动量不变，这是因为物体受绳子拉 力的方向始终通过小孔（有心力），所以物体对小 孔的力矩为0。
Ex：绳系小球在重力场中的运动
一小球用长l的轻绳系于O点，然后将小球 移开使绳与竖直方向成角，并给小球一 个水平初速度v0，方向垂直于绳子所在铅 直面。如希望在运动过程中绳偏离垂线最 大角度为/2，试计算出（1）小球初速度 v0大小（2）小球到达偏角 /2时的速率v 是多少？
高二物理竞赛课件：角动量 角动量守恒定律
度。
解
小球受力
FN、
P
作用,
FN对O点的力矩为零，
重力矩垂直板面向里
M rF
M mgRcos
由质点的角动量定理
mgRcos dL
dt
dL mgRcos dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10/19
dL mgRcos dt
考虑到 d dt, L mRv mR 2
L mr 2 J
L
r
p
r
mv
L
o
p
m r
※ 质点的角动量定理
M
dL
dt
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点 对该点 O 的角动量随时间的变化率。
dp
F，
dL
？
dt
dt
质点角动量定理的推导，由
L
r
p
M
dL
dt
dL
d
(r
p)
r
dp
dr
p
dt dt
Miin 0 ，
Miex
d dt
(
miri 2 )
d( J )
dt
M
d( J )
dL
dt
dt
Mdt dL
Mdt
dL
d
( J )
t2 t1
Mdt
J2
J1
转动物体所受合外力矩的冲量矩等于在这段时间内转 动物体角动量的增量——定轴转动刚体的角动量定理。
※ 非刚体定轴转动的角动量定理
t2 t1
Mdt
J 22
J11
14/19
L2
高中物理竞赛刚体的角动量定理和角动量守恒定律
dA内 F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2 F2 (dr2 dr1) F2 d(r2 r1) 0
dr1
F1
rm1 1
O
F2
dr2
m2 r2
内力的功不影响刚体的转动动能。
刚体绕定轴转动动能定理只适用于刚体的定轴转动。
4
刚体的重力势能
以xOy 平面为重力势能零参考面
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量．——定轴转动的角
动量定理
11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变．——角动量守恒定律
5
刚体的力学系统的机械能
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
E Ek Ep 恒量
（系统的机械能守恒定律）
对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只
有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作
功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械
能守恒。
6
力学系统的机械能应包括
质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即
12
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)
15 – 8
多普勒效应
m 1.20 10 kg
4
第十五章 机械波
已知
h 100km
u 1.00 10 m s g 1.62m s 2
4
1
R 1700km 求 所需消耗燃料的质量 m .
vB
R O h B
解 设飞船在点 A 的 速度 v0 , 月球质量 mM , 由万有引力和牛顿定律
L
r
X
mv d
第十五章 15 – 8 多普勒效应 质点系的角动量 L Li r i p i
i i
机械波
二 、力矩
r F M Fd Fr sin 二、力矩
定义：力对某点O的力矩等于力的 作用点的矢径r与力F的矢量积.
中学时学过的力矩概念
o
r
d
v
O h A
u
而 (m)u mv
m mv u 120 kg
t时间内扫过的面积
所以
A / t 恒量 （证毕）
第十五章 机械波 15 例 – 28 计算氢原子中电子绕原子核作圆周运动时的角 多普勒效应
动量。
L
M
已知： me 9.11031 kg
rHale Waihona Puke vme求：L
r 5.29 1011m 4.13 1016 s 1
解：以原子核为参考点
vA
v0
v mM m G m 2 ( R h) Rh mM g G 2 R
2 0
v
A
u
15 – 8
多普勒效应
2
第十五章 机械波
R g 12 1 ) 1612 m s 得 v0 ( Rh
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第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1. 对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度. 力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关•当力的作用线在垂直于轴的平面 (n) 上时(图5-1-1),力矩T的大小与力的作用点P和轴的距离p成正比，与力在垂直于P方向上的分量已成正比，因为力在p方向上的分量Fp对物体的绕轴转动无作用，于是有T = p F©=F p sin 0 ( 5. 1-1)式中0是F与p的夹角，p就是从轴与平面n的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向. 例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负•由于p sin 0 =d就是力的作用线与轴的距离，( 5. 1-1) 式又可写成t = Fd 5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式当力的作用线不在垂直于轴的平面（n）上时，可将力F分解为平行于轴的分量F//和垂直于轴的分量F丄两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F丄就是在垂直于轴的平面（n）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成(5. 1-1b)T = p F丄sin 0这里的0是F丄与p的夹角（图5-1-2）.2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即T =r X F （5-1-2）r也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r和F两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r、F所在平面垂直并与r、F成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1. 作用于质点的力矩当质点m受力F作用时，F对参考点0的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2) 中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢•当质点受F i、F2、…、F N N个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F二F1+F2+…+F N对同一参考点的力矩，即r x F i+r x F2+…+r x F N=「X (F1+F2+…+F N)=「X F (5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力. 一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(i) 外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i，则其力矩为T i 外= r i x F i，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为外匚外斤F (5.1-4 )ii由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4) 式为重力r i m i g ( m i r i) g r C Mg (5. 1-5)ii即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参考点的力矩. 在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2) 内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为由于内力总是成对出现，因而上式可写成内(r i f ji r j f ij)ij根据牛顿第三定律(强形式)，任一对内力f ji 和 f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点0来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即因而内力的总力矩为零内(r i f ji r j f ij ) 0 (5. 1-6)ij这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念L t （外内）t （外0）t 外t （ 5. 1-7）此式对质点系适用.若对质点只需把外改为即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：L 总L 外t （5. 1-8）L总为矢量，方向与外相同，单位是N?m ?s。
四、质点的角动量质点的运动状态可以用动量P=mV描写，它包含了运动的大小和方向的所有特征•当我们以某定点为参考点来考察质点的运动时，相对参考点而言，除质点的动量外，质点的距离在变化，质点的方位也在变化，前者可用质点相对参考点的位矢的大小变化来表征，后者则可用位矢的方向变化来表征，而位矢方向的变化又可与位矢扫过的角度随时间的变化，即角速度相联系，而角速度不仅有大小，还有方向（以所绕的轴线及顺、逆时针为特征）。
为了描写质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引人动量矩的概念.从给定参考点指向质点的矢量r和质点动量P=mv的矢积称为质点对于参考点的动量矩，用丨表示：l=r X P （5.1-9）动量矩又称角动量角动量是矢量，它是r和p的矢积，因而既垂直于r，又垂直于P;即垂直于r与P所组成的平面，其指向由右手定则决定（图5-1-3）.质点的角动量是相对给定的参考点定义的，因此，同一质点对不同参考点的角动量是不同的。
例如，一圆锥摆的摆球以恒定的角速度00作圆周运动，圆周的半径为R,摆的悬线长为r （图5-1-4），摆球对圆心O的角动量丨丨丨二mvR==n oR2，其大小和方向都恒定不变.但摆球对悬挂点O'的角动量「则不同，尽管其大小丨丨'丨=mvr==n oR r 保持不变，但方向却随时间而变不在该直线上的不同参考点的角动量也不相同角动量的单位是kg?m2/s 图5-1-4角动就与参考点有关作直线运动的质点,对于通常把考察转动的参考点取为坐标原点，这样, （5.1-9）式中的r就是质点的位矢图50质点的角动疑【例题分析】例1 如图5-1-5所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方R丄丄（形的四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为丨1、丨2，试求：戸'：「.•'、⑴小球所受重力相对A、B C三点的力矩M、M2、M;⑵ 小球相对A、B、C三点的角动量L i、L2、L3.解（1）小球所受重力mg竖直朝下，以A为参考点的小球位矢11水平向右，mg与l i 两者夹角© =90 °，可得M 大小：M=l 1mgsin900=l 1mgM方向：垂直图平面朝内以B为参考点，小球的位矢r是从B指向小球所在位置，力臂长h即为B到C的距离l 1,因此有M的大小：M=l 1mgM方向：垂直图平面朝内以C为参考点，小球的位矢恰与mg反向，即有180。
，因此得M3=0(2)小球动量P =mv竖直向下，与(1)问解答类似地可得L i 的大小：L i=l i mvsin90°=l i mvL i的方向：垂直图平面朝内L 2 的大小：L2=l i mvL 2的方向：垂直图平面朝内L 3 = 0第二节质点和质点组的角动量〖知识要点】一、质点角动量定理我们知道，质点动量的变化等于外力的冲量，质点的角动量如何随外力变化呢？这也不难从牛顿运动定律得到.若质点对某一给定参考点的角动量l=r x mv=r x P,则其时间变化率为—(r P)— P r —t t t t若此给定参考点相对参照系是静止的，则丄v,」PvPvmvO，而」F ,t t tr — r F .但力的作用点相对参考点的位矢和力的矢积即为对参考点的力矩，t点角动量的增量等于外力的冲量矩， 这就是质点角动量 定理的另一形式.两种形式的角动量定理，都可写成分量形式由于r v 在数值上等于以r 和v 为邻边的平行四边形的面积，也就是矢径 r 在单位时间内所扫过的面积（面积速度）的两倍，所以角动量 I r mv 与面积速度成正比，为面积速度的2m 倍（图5-2-1）.例2质量为m 长I 的匀质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度 宀转动时，它的动能和相对端点的角动量大小分别为E k 21 2, L 1 I -ml 23今如图5-1 -6所示，将此杆从水平位置静止释放,于是上式又可写为(5.2-1 )即质点对任一固定点的角动量的时间变化率等于外力 对改点的力矩，这就是质点角动量定理。
根据第一节 （5.1-8 ）式，得力矩对时间的累加，？ t 就是冲量矩。
上式表示质角动量与面积速度成正比f¥l 5-2 1 其中此杆能绕着过A 的固定光滑水平细轴无摩擦地摆下，当摆角从零达9时，试求：（i ）细杆转动角速度3和角加速度B ；（2）固定的光滑细轴为杆提供的支持力No解（1）因无摩擦，机械能守，有将13〃代入后，可得3g sinl以A为坐标原点建立垂直于图平面朝内的z轴，细杆各部位相对A点角动量均沿z轴方向，叠加后所得细杆的总角动量L也必沿z轴方向，大小则为L I 固定的光滑细轴为细杆提供的支持力N相对A点力矩为零，细杆重力相对A点力矩为M的大小：M mg」cos2方向：沿z轴由刚体定轴转动时的角动量变化量与冲量矩相同，得到M t L因为Lt I( t) I所以3icos2l⑵ 如图5-1-7所示，将N分解为N n和N ,支持力重力合成为细杆质心提供加速度，可建立下述方程图5-1-7其中a cn 和a c 分别为质心作圆周运动的向M 心和切向加速度•所以例3质量为M,半径为R 的匀质圆盘，绕着过圆心且与圆盘垂 直的轴以角速度3旋转时的角动量大小为L I , I - MR 22有如图5-1-8所示系统，细绳质量可略.细绳与圆盘间无相 对滑动，定滑轮与中央轴之间光滑接触，有关参量已在图中 标出，m>m,试求a.解 以转轴上某点为参考点，定滑轮转动角动量方向沿转轴朝外，大小为设左、右绳中张力分别为 「，T >.它们相对转轴力矩之和，方向沿轴朝外，大小为 又因为对m ，m 有方程,m2有方程a 与B 的关系为a 二B R:可解得a2(m1 m2) g可得 N n 5 mg sin21mg cos2(® m 2) M图5亠8质点系对给定点的角动量等于各质点对该点角动量的矢量和L l ir i P ir i m i v i(5.2-3)iii若计算角动量的给定点相对惯性系固定不动，则可以( 5.2-1)式代人，得式中F i 表示第i 个质点受到的来自体系以外的力， f 表示该质点受到的来自体系内部的力。