高中物理竞赛角动量
高中物理奥林匹克竞赛专题--角动量(共18张PPT)
M v1 对M v内M 质2v M 力v 内点1 20 M 矩力（v 2矩02d d）M tMv (：dL 1v d2 0L1 vt.0 M 2 2L v 02 20 ) 4
两式相加：M v 1 M v 1 0 M v 2 M v 2 0d d t(L v 1 L v 2)3
15M v1 –8M v2多普d dt(勒L v1效L v应2) 4
9 .1 1 1 0 3 1 ( 5 .2 9 1 0 1 1 ) 2 4 .1 3 1 0 1 6
1.051034(kgm 2s1)
此值为狄拉克h： hh/2
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
例3 一质量 m1.20140kg的登月飞船, 在离
月球表面高度 h10k0m 处绕月球作圆周运动.飞船
15 – 例81 多用普角勒动量效守应恒定律导出开普勒第第十二五定章律机械波
-- 行星单位时间内扫过的面积相等。
O
v
rv
A
a
s
c h
b
解：设行星绕太阳运
动,在时间 t 内，从a
点运动到b点，其速率
v为 。(行星质量为m)
L
作直线bc垂直于oa，因t很小 ababs
svt h s s in v ts in
A的 mM ,
由万有引力和牛顿定律
G mMm m v02 (Rh)2 Rh
g
G
mM R2
vB B
R
O
vA v0
v u
A
h
15 – 8 多普勒效应
第十五章 机械波
得 v0(R R2gh)12161m2s1
当飞船在A点以相对速度 u
向外喷气的短时间里 , 飞船的
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量
高中物理竞赛辅导第五讲 动量与角动量一、知识点击1．动量定理⑴ 质点动量定理：0t F ma mtυυ-==合，即0t F t m m υυ=-合I P =∆合 即合外力的冲量等于质点动量的增量．⑵质点系动量定理：将质点动量定理推广到有n 个质点组成的质点系，即可得到质点系的动量定理．令I 外和I 内分别表示质点系各质点所受的外力和内力的总冲量，则t P 和0P 表示质点系中各质点总的末动量和初动量之矢量和，则：t I I P P P +=-=∆外内 而0I =内，因质点系内各质点之间的相互作用力是成对出现的，且等值反向0t I P P =-外。
即所有外力对质点系的总冲量等于质点系总动量的增量 2．动量守恒定律⑴内容：系统不受外力或所受外力的合力为零，这个系统的动量就保持不变． ⑵表达式：系统内相互作用前总动量P 等于相互作用后总动量P '：P P '=。
系统总动量的变化量为零：0P ∆=对于两个物体组成的系统可表达为：相互作用的两个物体的动量的变化量大小相等，方向相反12P P ∆=-∆。
或者作用前两物体的总动量等于作用后的总动量：12121212m m m m υυυυ''+=+⑶适用范围：动量守恒定律适用于宏观、微观，高速、低速．⑷定律广义：质点系的内力不能改变它质心的运动状态—质心守恒．质点系在无外力作用或者在外力偶作用下，其质心将保持原来的运动状态。
质点系的质心在外力作用下作某种运动，则内力不能改变质心的这种运动。
质心运动定理：作用在质点系上的合外力等于质点系总质量与质心加速度的乘积，即c F ma =，其质心加速度：iic m aa M=∑。
定理只给出质心运动情况，并不涉及质点间的相对运动及它们绕质心的运动。
3．碰撞问题⑴弹性碰撞：碰撞时无机械能损失．1102201122m m m m υυυυ+=+ ①2222110220112211112222m m m m υυυυ+=+ ② 由①②可得：12102201122m m m m m υυυ-+=+（），21201102122m m m m m υυυ-+=+（）（2）非弹性碰撞：碰撞时有动能损失。
高中物理竞赛讲义-角动量
角动量一、力矩（对比力）1、质点对轴的力矩可以使物体绕轴转动或改变物体的角速度2、力矩可以用M 或τ表示3、力矩是矢量4、力矩的大小和方向（1）二维问题sin rF τθ=注意，式中的角度θ为F 、r 两个矢量方向的夹角。
求力矩的两种方法：（类比求功的两种方法）(sin )r F τθ=(sin )r F τθ=二维问题中，力矩的方向可以简单地用顺时针、逆时针表示。
（2）三维问题r F τ=⨯r rr 力矩的大小为sin rF τθ=力矩的方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则5、质点系统受到的力矩只需要考虑外力的力矩，一对内力的力矩之和一定为0.二、冲量矩（对比冲量）1、冲量矩反映了冲量改变物体转动的效果，是一个过程量2、冲量矩用L 表示3、冲量矩的大小L r I r Ft t τ=⨯=⨯=r r u r r r r4、冲量矩是矢量，方向与r 和F 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则，即方向和力矩的方向相同5、经常需用微元法（类比功和冲量这两个过程量的计算）三、动量矩（即角动量）（对比动量）1、角动量反映了物体转动的状态，是一个状态量2、角动量用l 表示3、角动量的大小l r p r vm =⨯=⨯u r r r r r4、角动量是矢量，方向与r 和v 构成的平面垂直，遵循右手螺旋法则四、角动量定理（对比动量定理）冲量矩等于角动量的变化量L t l τ==∆r r r五、角动量守恒定律（对比动量守恒定律）角动量守恒的条件：（满足下列任意一个即可）1、合外力为02、合外力不为0，但合力矩为0例如：地球绕太阳公转此类问题常叫做“有心力”模型3、合外力不为0，每个瞬时合力矩也不为0，但全过程总的冲量矩为0例如：单摆从某位置摆动到对称位置的过程注意：讨论转动问题一定要规定转轴，转轴不同结果也不同六、转动惯量（对比质量）1、转动惯量反映了转动中惯性2、转动惯量用I 或J 表示3、质点的转动惯量等于质量乘以和转轴距离的平方2I mr =4、转动惯量是标量5、由于实际物体经常不能看作质点，转动惯量的计算需要用微元法或微积分2i i I m r =∑6、引入转动惯量后，角动量也可以表示为（类比动量的定义）l I ω=r r七、转动问题中的牛顿第二定律（即转动定理）（对比牛顿第二定律）合力矩等于转动惯量乘以角加速度I τβ=r r八、动能的另一种表示方式221122k E mv I ω==例1、仿照上表，不看讲义，将本章的知识点进行归纳总结例2、如图，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与ABC 恰好位于长方形的四个顶点，且小球与A、C的距离分别为l1、l2。
高二物理竞赛角动量、角动量守恒课件
mv
m
A
2
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
mv
r
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
3
L
o•
r
mv
m
L r mv
注意：1、为表示是 对哪个参考点的角动 量，通常将角动量L 画在参考点上。
角动量、角动量守恒 ( Angular Momentum. Law
of Conservation of Angular Momentum)
一）角动量
例如天文上行星围绕太阳转。
1
定义：质 点对选取的参考点的角动量等 于其 矢径 r 与其动量 mv之矢量 积。用 L 表示。
L r mv
L
o•
r
M1
M内内2力力矩ddFt 1M(2L11F0.M21L220)4
O
M两 1对式 质M点10 （ 1dd）Lt1：
1
相加： M1 M10 M 2
M对M2质02内M点力Mdd1（t0矩2(0L21）Md：dLLt222)0320
13
i
F
Fi 0,
i
F
Mi 0
i
11
力矩：
M rF
角动量 L r mv r p
角动量也称动量矩 质点系的角动量
L Li ri piii来自12F1Z
对多个质点而言：
（以两个质点为例）
r1
m1 d
r Y
F12
F21
2X
m2
F2如外分图力别设矩受有外质M力点1.MmF211。mF22
高中物理奥林匹克竞赛专题--刚体角动量 角动量守恒定律以及进动(29张ppt)
例2 A、B两圆盘绕各自的中心轴转动，角速度分别为
：A=50rad.s-1, B=200rad.s-1。已知A 圆盘半径
RA=0.2m, 质量mA=2kg, B 圆盘的半径RB=0.1m,
质量mB=4kg. 试求两圆盘对心衔接后的角速度 .
解：以两圆盘为系统，尽管在衔接过 程中有重力、轴对圆盘支持力及轴向
u=50m/s远大于飞船的速率v(= r) ，所以此 角动量近似地等于dm ru。在整个喷气过程
中喷出废气的总的角动量Lg应为
Lg＝ 0 mdm rumru
定轴转动刚体的角动量守恒定律
当宇宙飞船停止旋转时，其角动量为零。系统这时 的总角动量L1就是全部排出的废气的总角动量，即 为
L1Lg＝mru
刚体角动量和角动量守恒定律
1. 定轴转动刚体的角动量定理
刚体定轴转动定理：
Mz
d J
dt
由几个物体组成的系统，如果它们对同一给定
轴的角动量分别为 、J11 、…J2，2
则该系统对该轴的角动量为：
Lz Jii
i1,2,
i
对于该系统还有 M Zdd LtZd dt i Jii
定轴转动刚体的角动量定理
在外力矩作用下，从 t0 t ，
E1 2JA2 A1 2JBB 21 2JAJB2
1.3 2140J
定轴转动刚体的角动量守恒定律
例题4-13 恒星晚期在一定条件下，会发生超新星 爆发，这时星体中有大量物质喷入星际空间，同时 星的内核却向内坍缩，成为体积很小的中子星。中 子星是一种异常致密的星体，一汤匙中子星物体就 有几亿吨质量！设某恒星绕自转轴每45天转一周， 它 的 内 核 半 径 R0 约 为 2107m ， 坍 缩 成 半 径 R 仅 为 6103m的中子星。试求中子星的角速度。坍缩前后 的星体内核均看作是匀质圆球。
高中物理竞赛复赛专题：角动量及其守恒定律
15
质点5-系2 角角动动量量守恒守定恒律
由
外
若
则
或
恒矢量
当质点系所受的合外力矩为零时，其角动量守恒。
16
两人质量相等
既忽略 滑轮质量
终点线
一 人 用 力 上 爬
又忽略 轮绳摩擦
终点线
一 人 握 绳 不 动
可能出现的情况是:
1(1) 两人同时到达； (2) 用力上爬者先到； (3) 握绳不动者先到； (4) 以上结果都不对。
解 因作用于物体的合外力矩为零，
故物体角动量守恒，得
O
vB
mv Ad mv Bl
lB
∴
vB
mvAd ml
4(m / s)
物体角动量： LB mv Bl
LB 1kg m2 / s
d
m vA
A
31
例7 我国第一颗东方红人造卫星的椭圆轨道长半轴为a = 7.79 ×
106 m，短半轴为 b = 7.72×106 m，周期 T = 114 min，近地点和远 地点距地心分别为 r1 = 6.82×106 m和 r2 = 8.76×106 m。（1）证明 单位时间内卫星对地心位矢扫过的面积为常量；（2）求卫星经 近地点和远地点时的速度V1 和V2 。
[ C] 【例3 】 一质点作匀速率圆周运动时,它的 （A）动量不变，对圆心的角动量也不变。 （B）动量不变，对圆心的角动量不断改变。 （C）动量不断改变，对圆心的角动量不变。 （D）动量不断改变，对圆心的角动量也不断改变。
[C]
19
1）角动量。 2）角动量守恒定律。 33）有心力与角动量守恒定律。
称为
若质点所受的合外力的方向始终通过参考点，其角动量守恒。如行星 绕太阳运动，以及微观粒子中与此类似的运动模型，服从角动量守恒定律。
物理竞赛：角动量
第一节力矩和角动量【知识要点】一、力矩的定义1.对轴的力矩对轴的力矩可推动物体绕轴转动或改变物体绕轴转动的角速度.力矩的大小不仅与力的大小和方向有关，而且与力的作用点有关.当力的作用线在垂直于轴的平面（π）上时（图5-1-1),力矩τ的大小与力的作用点P和轴的距离ρ成正比，与力在垂直于ρ方向上的分量Fφ成正比，因为力在ρ方向上的分量Fρ对物体的绕轴转动无作用，于是有τ=ρFφ=Fρsinθ（5. 1-1)式中θ是F与ρ的夹角，ρ就是从轴与平面π的交点O'指向P点的矢量，由于在力矩作用下引起的转动有两个可能的方向，力矩也有正、负两种取向.例如，先任意规定轴的正方向，当逆着轴的正方向去看力矩作用下所引起的物体的转动时，若物体沿逆时针方向转动，对应的力矩就取为正，反之为负.由于ρsinθ=d就是力的作用线与轴的距离，（5. 1-1)式又可写成τ = Fd （5. 1-1a)d常称为力臂，这正是大家所熟知的力矩表达式.当力的作用线不在垂直于轴的平面(π)上时，可将和垂直于轴的分量F⊥力F分解为平行于轴的分量F∥两部分，其中F//对物体绕轴转动不起作用，而F⊥就是在垂直于轴的平面（π）上的投影，故这时F对轴的力矩可写成τ=ρF⊥sinθ（5. 1-1b)这里的θ是F⊥与ρ的夹角（图5-1-2).2.对参考点的力矩可将上述对轴的力矩的概念推广到对点的力矩.在选定的参照系中，从参考点0指向力的作用点P的矢量r与作用力F的矢积称为作用力对于参考点0的力矩，即Τ=r×F(5-1-2)r 也可称为作用点相对参考点的位矢.当参考点是坐标原点时，r 就是力的作用点的位矢.根据矢积的意义，力矩的大小等于以r 和F 两矢量为邻边所构成的平行四边形的面积，方向与r 、F 所在平面垂直并与r 、F 成右手螺旋。
二、作用于质点的力矩和作用于质点系的力矩1.作用于质点的力矩当质点m 受力F 作用时，F 对参考点〇的力矩即为质点受到的力矩，这时力矩表达式(5.1-2)中的r 就是参考点指质点的矢量，当参考点为坐标原点时，r 就是质点的位矢.当质点受F 1、F 2、…、F NN 个力同时作用时，诸力对某参考点的力矩的矢量和等于合力F=F 1+F 2+…+F N 对同一参考点的力矩，即r ×F 1+r ×F 2+…+r×F N =r×(F 1+F 2+…+F N )=r×F （5. 1-3)2. 作用于质点系的力矩力矩概念也可应用于作用于质点系上的作用力.一般讲来，质点系内各质点受到的作用力有外力和内力的区别，因此应分别考察外力的力矩和内力的力矩(1)外力的力矩当质点系受多个外力作用时，若第i 个质点受到的合外力为F i ，该质点相对某一给定参考点的位矢为r i ，则其力矩为τi 外= r i ×F i ，各质点所受力矩的矢量和，即质点系所受的总力矩为∑∑⨯==i ii i i F r 外外ττ （5.1-4）由于各外力作用在不同质点上，各质点的位矢r i 各不相同，因而外力对质点系的总力矩一般不能通过外力矢量和的力矩来计算.但当质点系处在重力场中时，各质点所受重力与质点的质量成正比，方向又都相同，因而作用于质点系的重力相对某一参考点的力矩，根据(5.1-4)式为∑∑⨯=⨯=⨯=i iC i i i i Mg r g r m g m r ）（重力τ （5. 1-5)即作用于质点系的重力相对某参考点的力矩等于重力的矢量和作用于质心上时对该参 考点的力矩.在平动非惯性系中的惯性力显然也具有这种性质.(2)内力的力矩若f i 为作用于质点系中第i 个质点上的合内力，r i 为该质点的位矢，则内力的总力矩为 ∑∑∑≠⨯=⨯=i i i r ij ji i i f f r 内τ由于内力总是成对出现，因而上式可写成∑⨯+⨯=ji )( ij j ji i f r f r 内τ根据牛顿第三定律（强形式），任一对内力f ji 和f ij 必定等值反向，且沿同一直线，因而对任一给定参考点O 来说，力矩也必等值反向，两者相互抵消，即0=⨯+⨯ij j ji i f r f r因而内力的总力矩为零 0)(ji =⨯+⨯=∑ ij j ji i f r f r 内τ （5. 1-6)这一结果与内力的冲量相似，但与内力的功不同.三、 冲量矩在明确了力矩的概念以后，可引出冲量矩的概念.t t 0t t L ∆=∆+=∆+=∆=∆外外内外）（）（τττττ （5. 1-7)此式对质点系适用.若对质点只需把外τ改为τ即可.在一段时间内质点或质点系所受的冲量矩为这段时间内冲量矩的累加：∑∑∆=∆=∆t L L 外总τ （5. 1-8)总L ∆为矢量，方向与外τ相同，单位是ｓｍＮ∙∙。
高中物理竞赛辅导讲义-第6篇-角动量
高中物理竞赛辅导讲义第6篇 角动量【知识梳理】 1．力矩（1）力对轴的力矩 力矩=力×力臂（2）力对参考点的力矩 M r F =⨯从参考点指向力的作用点的矢量r 与作用力F 的矢积。
大小 sin M Fr α=；方向 由右手螺旋定则确定。
2．角动量为了描述质点相对某一参考点的运动，可仿照力矩的定义引入动量矩的概念。
从给定的参考点指向质点的矢量和质点动量的矢积称为质点对于参考点的的动量矩。
L r p =⨯，大小 sin L pr θ=，方向 由右手螺旋定则确定。
动量矩又称角动量。
角动量是矢量，方向由右手螺旋定则确定。
3．冲量矩仿照力对时间的积累效应叫冲量，引入冲量矩的概念。
力对时间的积累效应Mt叫做冲量矩。
4．质点角动量定理质点对任参考点的角动量的增量等于外力的冲量矩。
21M t L L ⋅∆=- 。
质点对参考点的角动量的时间变化率等于外力对该点的力矩。
L M t∆=∆。
5．角动量守恒定律当质点所受外力对固定参考点（简称定点）的力矩为零时，质点对该点的角动量守恒。
6．转动惯量 在经典力学中，转动惯量（又称质量惯性矩，简称惯距）通常以I 或J 表示，SI 单位为kg·m 2。
对于一个质点，I =mr 2，其中m 是其质量，r 是质点和转轴的垂直距离。
转动惯量在转动中的角色相当于平动中的质量，可形式地理解为一个物体对于旋转运动的惯性，用于建立角动量、角速度、力矩和角加速度等数个量之间的关系。
7．描述平动与描述转动的相关物理量对照平动转动质量m转动惯量I=∑Δm i r i2速度v=Δx/Δt角速度ω=Δθ/Δt = v/r加速度a=Δv/Δt角加速度β=Δω/Δt = aτ/r动量p=m v角动量（动量矩）L=Iω = Σm i r i2力F力矩M = Fr sinθ牛顿第二定律F=ma刚体定轴转动定律M=Iβ冲量Ft冲量矩Mt动量定理Ft=Δp角动量定理Mt=ΔL动量守恒条件F=0 角动量守恒条件M=0平动动能m v2/2 转动动能Iω2/2【例题选讲】1．如图所示，质量为m的小球自由落下，某时刻具有速度v，此时小球与图中的A、B、C三点恰好位于某长方形四个顶点，且小球与A、C点的距离分别为l1、l2。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量守恒
m1 m 2 m1v1 p1 u u m1 m 2 p 2 m 2 v 2 u
两质点的 约化质量
⑵ 利用质心表达式，每个质点相对于质心的位矢分别为
m2 r1 r2 m2 r12 r1 r1 rc m1 m2 m1 m2 m1 r2 r1 m1r12 r2 r2 rc m1 m2 m1 m2
2 3
3 2
B
mg
由（1）和（2）可得
LdL m gR cos d
2 g sin
8
L
0
LdL m 2 gR 3 cosd L mR 0 L 2 g sin R 2 mR
第六章 角动量守恒
例题6.2 摆长为l 的锥摆作匀速圆周运动，摆线与铅 垂线成 角，求摆球速率. z
解：如图，在圆锥摆的运动过程 中，摆球相对支点 O的角动量为 .L是一个可以绕z轴 L r mv 旋转的矢量.将其分解两个分量 Lz , L ,其大小分别为
O
Lz
L
L
Lz mvl sin L mvl cos
显然，Lz 不变，而 L 随时间改变.如图,有
7
第六章 角动量守恒
例6.1 一小球沿竖直的光滑圆轨道由静止开始下滑. 求小球在B点时对环心的角动量和角速度.
解:力矩分析
M mgR cos
dL M dt
O
用角动量定理：
R
t =0 A
N
又
dL mgR cos dt （1） 2 2 d （2） L mR mR
高二物理竞赛角动量定理角动量守恒定律课件
的速率向东奔跑, 他感到风从北方吹来,当他奔跑的速率加倍时, 则感到风从东北方向吹来, 求风的速度。
或 牛顿力学规律在伽利略变换下形式不变
A,B,C三个质点相互间有相对运动
M dL F dp
dt
dt
对质点系而言：（以两个质点为例）
设有质点m1 、 m2
分别受外力 F1 F2
外力矩 M1 M2
作用在质点系的角冲量等于系 统角动量的增量。
三、角动量守恒定律
若 则：
M合
dL
外
力
矩 0
0L
恒矢量
dt
M dL dt
角动量守恒定律：若对某一参考点, 系统(质点)所 受合外力矩恒为零时，则此质点系(质点)对该参考 点的角动量将保持不变。
注意：角动量守恒定律是宇宙中普遍成立的定律，无 论在宏观上还是微观领域中都成立。
已知：
v sd = 10 正东
vcs
v fd = 10 v cs = 20
正西 北偏西30o
•
vfd vsd
vcd vcs v sd
vcd 10 3 km / h 方向正北
vcs vcd
v fd v fc vcd
300
v fc v fd vcd
人地 cos 450
2人
地
4.23(m
s
1
)
质点动力学(二) 人 地 人 地
450 450
风 人
风 地
二、力学的相对性原理
aAC aAB aBC
aBC 0, 同一质点的加速度在两个相互间作匀速 aAC aAB 直线运动的参照系中是相同的。
在牛顿力学中,力与参考系无关，质量与运动无关 F F
2022-2023年高中物理竞赛 角动量守恒
由N个质点组成的质点系
mi
ri
Fi
fi
vi
Pi · ·i · ·
Fi
·fi j· ·fj i
· j
由N个质点组成的质点系
ri
(Fi
fi )
ri
Fi
ri
fi
d Ji dt
(i 1,2,N)
i
ri Fi
i
ri fi
i
d Ji
dt
d J1 d J 2 d J N dJ
dt dt
M
x
M y
M
z
dJ x
dt dJ y
dt dJ z
dt
作用在质点上力矩在某 方向的分量等于对同一 参考 点角动量在该方向上的 分量的时间变化率
t t0
M x dt
Jx
J x0
t
t0 t
M y dt
Jy
J y0
t0 M z dt
Jz
J z0
作用在质点上冲量矩在某方向上的分量等于对 同一参考点角动量在该方向上分量的增量
v0
m
ko
m
v0
解、以初始时刻两球连线中点o为定点来 考察体系的角动量
初始时
a
a
J mv0 2 mv0 2 mv0a
体系水平方向不受外力,竖直方向外力的合 力为零,体系角动量守恒.当弹簧达到最大 伸长时,小球无径向速度,体系的角动量为
v0
m
ko
m
v0
J ' mv b mv b mvb 22
设猴一边的绳相对地下落的速度为| u | u
则猴对地的速度为 (v'u) j
r1 m(v'u) j r2 mu j 0
高中物理竞赛 动量 角动量和能量
动量 角动量和能量§4.1 动量与冲量 动量定理 4．1． 1．动量在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体作机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。
当时在研究碰撞和打击问题时认识到：物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。
物体的质量和速度的乘积mv 遵从一定的规律，例如，在两物体碰撞过程中，它们的改变必然是数值相等、方向相反。
在这些事实基础上，人们就引用mv 来量度物体的“运动量”，称之为动量。
4．1．2．冲量要使原来静止的物体获得某一速度，可以用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力F 和力作用的时间t ∆的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把F t ∆叫做冲量。
4．1．3．质点动量定理由牛顿定律，容易得出它们的联系：对单个物体：01mv mv v m t ma t F -=∆=∆=∆ p t F ∆=∆即冲量等于动量的增量，这就是质点动量定理。
在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上，当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：x tx x mv mv t F 0-=∆ y ty ymvmv t F 0-=∆ z tz z mv mv t F 0-=∆ 对于多个物体组成的物体系，按照力的作用者划分成内力和外力。
对各个质点用动量定理：第1个 1I 外+1I 内=10111v m v m t - 第2个 2I 外+2I 内=20222v m v m t - M M第n 个 n I 外+n I 内=0n n nt n v m v m - 由牛顿第三定律： 1I 内+2I 内+……+n I 内=0 因此得到：1I 外+2I 外+ ……+n I 外=（t v m 11+t v m 22+……+nt n v m ）-（101v m +202v m +……0n n v m ）即：质点系所有外力的冲量和等于物体系总动量的增量。
高中物理竞赛必备辅导资料——角动量例题
“角动量守恒”及其应用在研究“质点或质点系绕某一定点或轴线运动”这类问题时，我们常利用“角动量守恒定律”来处理此类问题。
“角动量守恒定律”是自然界最基本最普遍的定律之一，应用该定律来处理力学问题在近几年的全国中学生物理竞赛中屡屡出现。
从反馈情况来看，能否灵活应用“角动量守恒”成为解题的“瓶颈”。
帮助学生认清该定律的内容及其规律并能够适当地变式处理此类问题，无疑对参加全国中学物理竞赛有很大的帮助。
下面就“角动量守恒”及其应用作一些简单探讨。
及其应用作一些简单探讨。
1 角动量守恒定律角动量守恒定律1．1质点对参考点的角动量守恒定律质点对参考点的角动量守恒定律如图1所示，质点m 的动量为P ，相对于参考点O 的角动量为L ，其值a sin p r L ×=，其中α是质点的动量与质点相对参考点0的位置矢量r 的夹角。
其角动量的变化量L D 等于外力的冲量矩t M D ×（M 为外力对参考点O 的力矩），即t M L D ×=D 。
若M=0，得L D =0，即质点对参考点O 的角动量守恒。
的角动量守恒。
1．2质点系对参考点的角动量守恒定律质点系对参考点的角动量守恒定律由n 个质点组成的质点系，且处于惯性系中，可以推导出作用于各质点诸力对参考点的外力矩的冲量t MiD ×å，仍等于质点系对该参考点的角动量的变化量，即t ML iD ×=D å。
同样当0=åi M 时，质点系对该参考点的角动量守恒。
时，质点系对该参考点的角动量守恒。
如果n 个质点组成的质点系，个质点组成的质点系，处于非惯性系中，处于非惯性系中，只要把质点系的质心取作参考点，只要把质点系的质心取作参考点，上上述结论仍成立。
述结论仍成立。
1．3角动量守恒的判断角动量守恒的判断 当外力对参考点的力矩为零，即0=åiM时，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
有四种情况可判断角动量守恒：①质点或质点系不受外力。
高中物理竞赛刚体的角动量定理和角动量守恒定律
dA内 F1 dr1 F2 dr2 F2 dr1 F2 dr2 F2 (dr2 dr1) F2 d(r2 r1) 0
dr1
F1
rm1 1
O
F2
dr2
m2 r2
内力的功不影响刚体的转动动能。
刚体绕定轴转动动能定理只适用于刚体的定轴转动。
4
刚体的重力势能
以xOy 平面为重力势能零参考面
t2
t1
Mdt
J2
J1
非刚体定轴转动的角动量定理
t2
t1
Mdt
J 22
J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量
矩等于角动量的增量．——定轴转动的角
动量定理
11
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0，则 L J =常量
如果物体所受的合外力矩等于零， 或者不受外力矩的作用，物体的角动量 保持不变．——角动量守恒定律
5
刚体的力学系统的机械能
当 A外 + A非保内 = 0 时，有
E Ek Ep 恒量
（系统的机械能守恒定律）
对含有刚体的力学系统，若在运动过程中，只
有保守内力作功，而外力和非保守内力都不作
功，或作功的总和始终为零，则该系统的机械
能守恒。
6
力学系统的机械能应包括
质点的动能、重力势能，弹性势能； 平动刚体的平动动能、重力势能； 定轴转动刚体的转动动能、重力势能，即
12
讨论
➢ 守恒条件 M 0
若 J 不变，不变； 若 J 变， 也变，但 L J 不变.
➢ 内力矩不改变系统的角动量.
➢ 在冲击等问题中M in M exL 常量
➢ 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律.
高中物理竞赛角动量.docx
角动量定理角动量守恒习题我国第- •颗人造卫星沿椭圆轨道运动，地球的中心O为该椭圆的一个焦点•己知地球半径R=6378 km,卫星与地|fli的最近距离/|=439 km, 与地Ifli的最远距离Z2=2384 km・若卫星在近地点A\的速度“=&1 km's,则卫星在远地点的速度3= .1.如本题图，一质量为m的质点B由降落，在某时刻具有速度V。
此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为d ［、d?、d?。
求（1）质点对三个点的角动量；（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。
2.两个质量都是m的滑雪者，在冰场两条相距为Lo的平直跑道上均以速度Vo迎而匀速滑行, 当两者之间的距离等于5时，分别抓住一根长为Lo的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向口己一边拉绳了，知道二者和距L （小于Lo）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。
3.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，O我们可将它逐渐拉短。
设摆长为厶时摆锤的线速度为"且与竖直方向的夹角为环、、摆长拉倒厶时，与竖直方向的夹角为&2,求摆锤的速度冬为多少4.在光滑的水平面上市一根原长Lo=0.6m,劲度系数k=8N/m的弹性细，绳的一端系着一个质量m=0.2kg 的小球B,另一端固定在水平而上的A点.最初弹性绳是松弛的，小球B的位置及速度,AB的间距d=().4m。
如图所示，在以后的运动中当小球B的速率为v吋，它与A点的距离最大，且弹性绳长L=0.8m,求B的速率v及初速率v()5.在半顶角为a的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质最为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求：1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动，其初速度V。
为多少？2、若初速度V L2V(),求小球在运动过程中的最人髙度和最小高度。
6.小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌而上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m,并用长为L,不可仲长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A, B的间距为L/2,A,B间的连线与小槽垂直, 今给滑块A—冲击，使其获得平行于槽的速度V。
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3v m 角动量定理 角动量守恒习题
1．如本题图，一质量为m 的质点自由降落，在某时刻具有速度v 。
此时它相对于A 、B 、C 三参考点的距离分别为d 1、d 2、d 3。
求
（1）质点对三个点的角动量； （2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。
2．两个质量都是m 的滑雪者,在冰场两条相距为L 0的平直跑道上均以速度V 0迎面匀速滑行，当两者之间的距离等于L 0时，分别抓住一根长为L 0的轻绳两端，而后每个人用力对等的力缓慢向自己一边拉绳子，知道二者相距L （小于L 0）时为止，求这一过程中，两位滑冰者动能总增量。
111222l v l v θθ3.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它，
我们可将它逐渐拉短。
设摆长为时摆锤的线速度为，且与竖直方向的夹角为
摆长拉倒时，与竖直方向的夹角为，求摆锤的速度为多少
4．在光滑的水平面上,有一根原长Lo=0.6m、劲度系数k=8N/m的弹性绳,绳的一端系着一个质量m=0.2kg 的小球B,另一端固定在水平面上的A点.最初弹性绳是松弛的,小球B的位置及速度,AB的间距d=0.4m。
如图所示，在以后的运动中当小球B的速率为v时，它与A点的距离最大，且弹性绳长L=0.8m，求B的速率v及初速率v0
5．在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m的小球，设锥面内壁是光滑的，求：
1、为使小球在h高度的水平面上做匀速圆周运动,其初速度V0为多少？
2、若初速度V1=2V0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。
6．小滑块A位于光滑的水平桌面上，小滑块B位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m，并用长为L，不可伸长的、无弹性的轻绳相连，如图所示，开始时，A，B的间距为L/2,A,B间的连线与小槽垂直，今给滑块A一冲击，使其获得平行于槽的速度V0，求滑块B开始运动时的速度。