第五章 时域分析

第5章 时域分析

我们在上一章已经介绍了信号的频域分析法，这里我们再讨论信号的时域分析法。

所谓信号的时域分析．．．．．．．，就是根据信号的时间历程记录或波形，分析信号的组成和特征量。换句话说，我们既可以通过波形分析．．．．来分析信号的强弱，也可以通过相关分析．．．．来确定信号前后时刻的相似程度。

5.1 波形分析

一、 周期波形分析 1. 简谐波

简谐波是最简单的周期信号，其数学表达式为

)sin()(φω+=t x t x m

可见，描述简谐波的主要波形参数有峰值（最大幅值）x m ，角频率ω和初相角φ。其中波形幅值除了用峰值表示以外，还可以用均值（平均绝对值）和方均根来表示如下：

均值 ∑⎰-=≈

=1

01

1N i i

T x

N

dt x T x

方均根 ∑⎰

-=≈

=

1

20

2

11N i i

T

rms

x

N

dt x T

x

式中，T 为采样周期；N 为采样点数，x i 为采样瞬时的信号幅值。

注意：上述公式的两部分中，前者是模拟分析法的计算式，而后者为数字分析法的计算式。 2. 复杂的周期信号

对于复杂周期信号的波形分析，实际上就是要确定其各次谐波的幅值、角频率和初相角，这种分析又称为谐波分析。 二、 随机波形分析

我们在第一章中曾经介绍过，随机信号是用概率统计的方法来描述的，则其幅值可以用均值、方差、均方值、均方根以及概率密度函数来表征。 注意：这里仅对平稳．．随机信号x (t )进行讨论。 1. 均值、均方值和均方根

均值（静态分量） ∑⎰-=≈==∆

1

01)(1][N i i T x N dt t x T x E x 均方值 []

⎰

=

=T

dt t x T

x E x 0

22

2

)(1

均方根 2x x rms =

2. 方差和标准偏差

方差（动态分量） []()[]

[]

()

2

22

22

22

][][)(1x x x E x E x E x E dt x t x T T

x

-=-=-=-=⎰σ

标准偏差 [][]x x E dt x t x T

T

x -=-==

⎰0

)(1

σ

3. 概率密度函数

概率密度函数．．．．．．p ．(．x ．)．是用来表示瞬时数据落在某指定范围[x , x +Δx ]内的概率P [x , x +Δx ]，其定义为

[]x x x P x p x ∆∆=→∆,lim

)(0

5.2 相关分析

相关分析是用来研究两个变量之间的相互关系。若变量间存在确定的函数关系，则称为函数相关；但对于两个随即便量而言，则不可能有确切的函数关系，只是一种概率关系，这种相关就称为概率相关（包括自相关和互相关）。 一、 相关系数

相关．．系数．．ρ．xy

．．是用来表征两个随机变量x 和y 之间线性关联程度的量度，其定义为 ()()[]

y

x xy

y

x xy y y x x E σσσσσρ=

--=

式中，x 、y 为x 和y 的均值；x σ、y σ为x 和y 的标准偏差；xy σ为x 和y 的协方差。故

⎪⎩

⎪

⎨⎧=<±=互不相关和则因素含有随机噪声或非线性和则线性相关和则，，，y x y x y x xy 011ρ

二、 自相关函数 1. 定义

自相关函数．．．．．R ．xx ．．(．τ．)．是描述平稳随机信号x (t )一个时刻t 的数据值与另一个时刻t +τ的数据值之间的依赖关系，其定义为

⎰

+=∞→T

T xx dt t x t x T

R 0

)()(1

lim

)(ττ

2. 性质

（1） 自相关函数表明了同一个信号在不同时刻的相关程度；

（2） R xx (τ)是自变量τ的实偶函数，其图形是对称的，如图所示（参见P138图5.2.2）

[ 注意：图中的σ2为方差，m 为均值。]

（3） τ=0时，则随机函数的自相关函数

⎪⎩⎪⎨⎧+==不为零时

当均值为零时当均值，，

x x x x R x x xx 2

222

)0(σσ （4） τ→∞时，则随机函数的自相关函数

⎩⎨⎧=±∞=∞

→不为零时

当均值为零时

当均值，，x x x R R xx xx 2

0)()(lim ττ （5） 若x (t )是周期信号，则其自相关函数R xx (τ)也是周期性的、非收敛的、同频率函数； （6） 自相关函数在τ=0时有最大值，即R xx (0)≥R xx (τ)；

例题：5.2.1

3. 估计

一般，信号的相关分析按信号类型的不同，可分为模拟相关分析法和数字相关分析法。 （1） 模拟估计法

在模拟相关分析法中，我们可以采用模拟仪器来进行自相关估计，如图所示。

其具体步骤为：

○

1用滞后时间发生器（如磁带记录仪）使信号x (t )时移τ，得x (t +τ)； ○

2用乘法器把任一瞬时的x (t )与x (t +τ)相乘，得x (t )x (t +τ)； ○

3用平均电路在采样时间T 内平均此乘积，得R ^

xx (τ)； ○

4改变时移τ，用X-Y 记录仪记下R ^

xx (τ)~τ的关系。 （2） 数字估计法

利用数字相关分析法进行自相关估计的具体途径有两种： 一是直接法．．．

，即直接计算采样的平均乘积，其计算公式为 10)()(1)(1

-≤+≤+=∑-=N n n x n x N R N n xx τττ，

式中，N 为采样点数； 二是间接法．．．，即利用FFT 算法先计算采样数据的自功率谱，然后再根据相关函数与自谱密度函数互为傅里叶变换的性质，作IFFT 求得其自相关估计，如图所示。

4. 应用

（1） 检测淹没在随机噪声中的周期信号

例如，对于在海域中航行的潜水艇，其发动机发出的是周期信号，而周围的海浪是随机信号，则利用此项应用的原理就可以判断是否有潜水艇通过。 （2） 检测信号的回声 利用这一原理，对目标反射的回波进行分析，即可确定目标所在的距离、方位、速度等，比如，进行地震的测定。 三、 互相关函数 1. 定义