第五章 时域分析

第5章 时域分析我们在上一章已经介绍了信号的频域分析法，这里我们再讨论信号的时域分析法。

所谓信号的时域分析．．．．．．．，就是根据信号的时间历程记录或波形，分析信号的组成和特征量。

换句话说，我们既可以通过波形分析．．．．来分析信号的强弱，也可以通过相关分析．．．．来确定信号前后时刻的相似程度。

5.1 波形分析一、 周期波形分析 1. 简谐波简谐波是最简单的周期信号，其数学表达式为)sin()(φω+=t x t x m可见，描述简谐波的主要波形参数有峰值（最大幅值）x m ，角频率ω和初相角φ。

其中波形幅值除了用峰值表示以外，还可以用均值（平均绝对值）和方均根来表示如下：均值 ∑⎰-=≈=1011N i iT xNdt x T x方均根 ∑⎰-=≈=120211N i iTrmsxNdt x Tx式中，T 为采样周期；N 为采样点数，x i 为采样瞬时的信号幅值。

注意：上述公式的两部分中，前者是模拟分析法的计算式，而后者为数字分析法的计算式。

2. 复杂的周期信号对于复杂周期信号的波形分析，实际上就是要确定其各次谐波的幅值、角频率和初相角，这种分析又称为谐波分析。

二、 随机波形分析我们在第一章中曾经介绍过，随机信号是用概率统计的方法来描述的，则其幅值可以用均值、方差、均方值、均方根以及概率密度函数来表征。

注意：这里仅对平稳．．随机信号x (t )进行讨论。

1. 均值、均方值和均方根均值（静态分量） ∑⎰-=≈==∆101)(1][N i i T x N dt t x T x E x 均方值 []⎰==Tdt t x Tx E x 0222)(1均方根 2x x rms =2. 方差和标准偏差方差（动态分量） []()[][]()2222222][][)(1x x x E x E x E x E dt x t x T Tx-=-=-=-=⎰σ标准偏差 [][]x x E dt x t x TTx -=-==⎰0)(1σ3. 概率密度函数概率密度函数．．．．．．p ．(．x ．)．是用来表示瞬时数据落在某指定范围[x , x +Δx ]内的概率P [x , x +Δx ]，其定义为[]x x x P x p x ∆∆=→∆,lim)(05.2 相关分析相关分析是用来研究两个变量之间的相互关系。

若变量间存在确定的函数关系，则称为函数相关；但对于两个随即便量而言，则不可能有确切的函数关系，只是一种概率关系，这种相关就称为概率相关（包括自相关和互相关）。

一、 相关系数相关．．系数．．ρ．xy．．是用来表征两个随机变量x 和y 之间线性关联程度的量度，其定义为 ()()[]yx xyyx xy y y x x E σσσσσρ=--=式中，x 、y 为x 和y 的均值；x σ、y σ为x 和y 的标准偏差；xy σ为x 和y 的协方差。

故⎪⎩⎪⎨⎧=<±=互不相关和则因素含有随机噪声或非线性和则线性相关和则，，，y x y x y x xy 011ρ二、 自相关函数 1. 定义自相关函数．．．．．R ．xx ．．(．τ．)．是描述平稳随机信号x (t )一个时刻t 的数据值与另一个时刻t +τ的数据值之间的依赖关系，其定义为⎰+=∞→TT xx dt t x t x TR 0)()(1lim)(ττ2. 性质（1） 自相关函数表明了同一个信号在不同时刻的相关程度；（2） R xx (τ)是自变量τ的实偶函数，其图形是对称的，如图所示（参见P138图5.2.2）[ 注意：图中的σ2为方差，m 为均值。

]（3） τ=0时，则随机函数的自相关函数⎪⎩⎪⎨⎧+==不为零时当均值为零时当均值，，x x x x R x x xx 2222)0(σσ （4） τ→∞时，则随机函数的自相关函数⎩⎨⎧=±∞=∞→不为零时当均值为零时当均值，，x x x R R xx xx 20)()(lim ττ （5） 若x (t )是周期信号，则其自相关函数R xx (τ)也是周期性的、非收敛的、同频率函数； （6） 自相关函数在τ=0时有最大值，即R xx (0)≥R xx (τ)；例题：5.2.13. 估计一般，信号的相关分析按信号类型的不同，可分为模拟相关分析法和数字相关分析法。

（1） 模拟估计法在模拟相关分析法中，我们可以采用模拟仪器来进行自相关估计，如图所示。

其具体步骤为：○1用滞后时间发生器（如磁带记录仪）使信号x (t )时移τ，得x (t +τ)； ○2用乘法器把任一瞬时的x (t )与x (t +τ)相乘，得x (t )x (t +τ)； ○3用平均电路在采样时间T 内平均此乘积，得R ^xx (τ)； ○4改变时移τ，用X-Y 记录仪记下R ^xx (τ)~τ的关系。

（2） 数字估计法利用数字相关分析法进行自相关估计的具体途径有两种： 一是直接法．．．，即直接计算采样的平均乘积，其计算公式为 10)()(1)(1-≤+≤+=∑-=N n n x n x N R N n xx τττ，式中，N 为采样点数； 二是间接法．．．，即利用FFT 算法先计算采样数据的自功率谱，然后再根据相关函数与自谱密度函数互为傅里叶变换的性质，作IFFT 求得其自相关估计，如图所示。

4. 应用（1） 检测淹没在随机噪声中的周期信号例如，对于在海域中航行的潜水艇，其发动机发出的是周期信号，而周围的海浪是随机信号，则利用此项应用的原理就可以判断是否有潜水艇通过。

（2） 检测信号的回声 利用这一原理，对目标反射的回波进行分析，即可确定目标所在的距离、方位、速度等，比如，进行地震的测定。

三、 互相关函数 1. 定义互相关函数．．．．．R ．xy ．．(．τ．)．是描述随机信号x (t )在时刻t 的数据值与y (t )在时刻t +τ的数据值之间的依赖关系，其定义为⎰+=∞→TT xy dt t y t x TR 0)()(1lim)(ττ2. 性质（1） 互相关函数表明了两个信号在不同时刻的相关程度； （2） R xy (τ)不是自变量τ的偶函数，其图形也不是对称的，如图所示（参见P142图5.3.2）[ 注意：图中的σ为标准偏差，m 为均值。

]但它可以满足R xy (τ)= R yx (-τ)；（3） R xy (τ)的最大峰值一般均不在τ=0处，如图所示； （4） τ→∞时，R xy (τ)→m x m y ，如图所示；例题：5.2.23. 估计（1） 直接方法Nn y n x NR Nn y n x N R N n yx N n xy ≤≤+=≤≤+=∑∑--=--=ττττττττ0)()(1)(0)()(1)(110，，（2） 间接注意：这里包括两次独立的FFT 运算，分别对x (t )、y (t )求得相应的频谱X (ω)、Y (ω)，再利用互谱公式P xy (ω)= X (ω) Y *(ω)/N 即可得到其互谱。

4. 应用（1） 测量滞后时间由于当系统的输出与输入之间的时间差等于．．信号通过系统所需的时间时，互相关函数就会出现峰值，因此利用这一原理即可确定系统的滞后时间。

（2） 确定传递通道（3） 检拾和回收噪声中的信号 （4） 系统识别利用相关技术，即由互相关函数的傅里叶变换，测得反映系统特性的频响函数。

习题：P146 5.2, 5.3, 5.5, 5.65.3 例题与解答例5.2.1 随机相位正弦波)sin()(0ϕω+=t x t x式中，x 0,ω均为常数，φ在0~2π内随机取值，试求其自相关函数并作图。

分析：利用自相关函数的定义求解，即⎰+=∞→TT xx dt t x t x TR 0)()(1lim)(ττ解：由自相关函数的定义式，得[]()ωταωτααωταπτπωαωαϕωϕτωϕωττϕπϕπcos 2sin cos sin cos sin 2lim )(21)(sin )sin(1lim )()(1lim )(202202/2/200x d x R T d dt t dt t t x T dtt x t x T R T xx T T T TT xx =+====++++=+=⎰⎰⎰++-∞→-∞→∞→故且则令，可见，该随机相位正弦波的自相关函数只与角频率ω有关，而不含相位信息．．．．．．，这表明：正弦函数的自相关函数为失去了相位信息的同频率余弦函数。

其自相关函数图形如图所示。

例5.2.2 两个随机相位正弦波)sin()()sin()(00ϕθωθω-+=+=t B t y t A t x式中，A 0, B 0,ω, φ均为常数，θ在0~2π内的取值概率相同，即满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它，，02021)(πθπθp 试求其互相关函数并作图。

分析：利用互相关函数的定义求解，即⎰+=∞→TT xy dt t y t x TR 0)()(1lim)(ττ解：由互相关函数的定义式，得R xx (τ) τ x 02/2[])cos(21)(sin )sin(21)()(1lim)(0020000ϕωτθϕθτωθωπττπ-=-+++=+=⎰⎰∞→B A d t t B A dt t y t x T R TT xy 可见，两个正弦函数的互相关函数仍为同频率的余弦函数，其最大峰值出现在τ=φ/ω处。

其互相关函数图形如图所示。

τ。