自控第三章 时域分析法

wdtp = nЛ
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————— *100% h（∞） 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K（S）= G（S）R（S） = 1 /（TS+1） k（t）= L
-1
[ K（S）]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h（∞）= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小，而不能最终消除。
系统的输出及其各阶导数在初始时刻均为零。 初始时刻可以设定，所以该约束并不苛刻。
二、典型外作用
1．单位阶跃 指令的突然转换,开关闭合,负荷突变。 2．单位斜坡 主拖动系统发出的位置信号, 数控机床加工斜面时的给进 指令。 3．单位脉冲 脉动电压、冲击力。 4．正弦 海浪、噪声、伺服震动台。 所有外作用都可以近似成典型外作用或典型外作用的集合.
欠阻尼二阶系统的性能指标
5．稳态误差eSS e（t）= = r（t）- c（t） (1-ζ 2)-1/2 e–ζ
Wntsin(w dt
+θ )
eSS= lim e(t) = 0
t→∞
稳态误差与参数ζ ,Wn无关，等于0。
二. 二阶系统的单位脉冲响应
K(S) = G(S) R(S)
= Wn2/(S2 + 2ζ WnS + Wn2) 欠阻尼： k(t) = Wn(1- ζ
第一节 典型控制过程及性能指标
四、阶跃响应的性能指标 跟踪和复现阶跃作用对系统来说是较为严格的工作条件， 通常以阶跃响应来衡量系统控制性能的优劣和定义时域性能 指标。
阶跃响应的性能指标
1.上升时间td h(t)从0上升到稳态值所需的 时间。
2．峰值时间tp h（t）超过稳态值而达到第 一个峰值所需的时间。
欠阻尼二阶系统的性能指标
e –ζWnt h(t) = 1 - ———— sin（wdt +θ） （1-ζ2)1/2 对h(t)求导并令其得0:
ζWn (1-ζ2)-1/2 e-ζWntp sin(wdtp+θ)
- wd (1-ζ2)-1/2 e–ζWntp cos(wdtp+θ) = 0 经整理得: tg(wd tp+θ) = (1-ζ2)1/2/ζ= tgθ 即:
一、 一阶系统的单位阶跃响应
H(S)= G(S)R(S) = 1/[S(TS+1)]
h(t)= L-1[H(S)] = L-1{1/[S(TS+1)]} = 1- e-t/T T是表征响应特性的唯一参数。
关于时间常数T
h(t) = 1 - e
-t/T
t= T，h( T)= 0.632 t=2T，h(2T)= 0.865
三、典型时间响应
初始状态为零的系统，在典型外作用下的输出。 1．单位阶跃响应 H(S)=G(S)/S h(t)= L-1[H(S)] Ct(t)= L-1[Ct(S)] k(t)= L-1[K(S)]
2．单位斜坡响应
Ct(S)=G(S)/S2 3．单位脉冲响应 K(S)= G(S) 4．三种响应之间的关系 K(S)= SH(S)= S2Ct(S)
t=3T，h(3T)= 0.950
t=4T，h(4T)= 0.982 用实验方法鉴别和确定被测系统是否为一阶系统。 时间常数的倒数 = 响应曲线的初始斜率。 dh(t)/dt︱t=0= (1/T) e
-t/T︱ t=0
= 1/ T
一阶系统的性能指标
调节时间: tS= 3T （秒） （对应5%误差带） tS= 4T （秒） （对应2%误差带） T越小 → tS越小 → 快速性越好。 稳态误差: h(3T)= 0.950 h(4T)= 0.982
tS = ln [△（1-ζ2)1/2 ]-1/ζWn
欠阻尼二阶系统的性能指标
若：△= 2% 则：tS= ln[0.02（1-ζ 2)1/2 ]-1/ζ Wn ≈4/ζ Wn 若：△= 5% 则：tS= ln[0.05（1-ζ 2)1/2 ]-1/ζ Wn
≈3/ζ Wn
定性分析: ζ ,Wn越大, 调节时间越小, 快速性越好。
2 1/2
e -ζЛ/ (1 - ζ )
-ζЛ/ ( 1-ζ )
*100%
欠阻尼二阶系统的性能指标
超调量σ %的定性分析
2 1/2
σ% = e
-ζЛ/ ( 1-ζ )
*100%
σ %由ζ 唯一确定。
ζ = 0
σ % = 100% 等幅振荡（无阻尼）
0 <ζ <1
ζ = 1 （临界阻尼）
欠阻尼（有超调）
第三节 二阶系统分析
特征根： S1,2= -ζ Wn ± Wn(ζ ζ >1, ζ =1, 0<ζ <1,
2
-1)1/2
S1,2不等负实根（过阻尼） S1,2重根（临界阻尼） S1,2共轭复根（欠阻尼)
ζ 不同时的特征根和阶约响应
s平面
j
h(t )
j
h (t )
1
0

1
0
j
t
h(t )
第一节 典型控制过程及性能指标
系统的响应C(t)取决于：参数结构, 外作用, 初始条件。
为了描述系统的内部特征，分析和比较系统性能的优劣， 通常对外作用和初始条件做一些典型化处理。处理的 原 则是：接近实际，简单。
第一节 典型控制过程及性能指标
一、 典型初始状态 零状态。
C(0) = Ċ(0) = … = 0
e-[
ζ + (ζ -1)
系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应
的导数。
第三节 二阶系统分析
微分方程： T2dC2(t)/dt2 + 2ζ TdC(t)/dt + C(t) = r(t) 传递函数： G(S)=1/(T2S2 + 2ζ TS + 1) = Wn2/(S2 + 2ζ WnS + Wn2) 其中: Wn=1/T——自然频率, 特征方程： S2 + 2ζ WnS + Wn2 = 0 ζ ——阻尼比。
阶跃响应的性能指标
3．超调量σ % h（tp）- h（∞） σ % = ————————100% h（∞）
4．调节时间(过渡过程时间)tS
h(t)达到并不再超出误差带的最小时间。
5．稳态误差eSS
eSS= 1 - h（∞）
阶跃响应的性能指标
上升时间td 和峰值时间tp 表 征系统响应初始阶段的快慢, 调节时间ts表征系统过渡过程
其中：Wd= Wn(1-ζ 2)1/2 有阻尼的自然振荡频率 θ = COS-1ζ
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应
e–ζ Wnt h(t)=1- ———— sin(wdt+θ ) (1-ζ 2)1/2
衰减速度：e-ζ
W n t.
ζ Wn越小，衰减速度越慢。
振荡频率：Wd= Wn(1-ζ 2)1/2. Wn越大,ζ 越小,振荡频率越高.
–ζWnt –ζWnt
sin(wdt +θ)
h(∞) = 1
sin(wdt +θ)∣≤△ ； t≥tS
-ζWnt是h(t)衰减振荡的包络∣(1-ζ2源自) -1/2e-ζWnt∣≤△
； t≥tS
e -ζWnt
≤△（1-ζ2)1/2 ； t≥tS
-ζWnt ≤ ln [△（1-ζ2)1/2 ]； t≥tS ζWnt ≥ ln [△（1-ζ2)1/2 ]-1； t≥tS
1/T1T2 1 G(S) = --------------- = -------------(S+1/T1)(S+1/T2) (T1S+1)(T2S+1) 可看成是两个时间常数不等的惯性环节的串联.
过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
H(S)= G(S)R(S) 1 = --------------(T1S+1)(T2S+1)S 过阻尼二阶系统的单位阶跃响应
ζ = 0.707(最佳阻尼比) σ % = 4.6% σ % = 0 (无超调)
欠阻尼二阶系统的性能指标
4．调节时间tS
tS 定义: ∣h(t)- h(∞)∣≤△h（∞） ；t≥tS 其中：△= 5% (或△= 2%) 由此定义可推导出调节时间的计算公式.