控制系统的时域分析法(精)

因此
(3.35) 式中 (3.36)
由式(3.35)可见，要使系统反应快，必须减小tr。因此当z一定，wn 必须加大；若wn为固定值，则z越小，tr也越小。 2. 峰值时间tp 按式(3.20)，对c(t)求一阶导数，并令其为零，可得到
到达第一个峰值时
wd tp = p
所以 (3.37)
上式表明，峰值时间tp与有阻尼振荡频率wd成反比。当wn一定, z 越小，tp也越小。
2. z =１，称为临界阻尼情况 此时系统有两个相等的实数特征根： s1= s 2= -wn
(3.24)
系统输出的拉氏变换为
(3.25)
取C(s)的拉氏反变换，求得临界阻尼二阶系统的单位阶跃 响应为 (3.26)
响应曲线如图3-12所示，它既无超调，也无振荡，是一个单 调的响应过程。
(a)根分布
对于临界阻尼情况(z ＝１)，有 c(t) = w2n t e-wn t 对于过阻尼情况(z >1)，有
(3.33)
(3.34) 图3-15表示不同z值时的单位脉冲响应曲线。
图3-15 二阶系统单位脉冲响应
（四）二阶系统的瞬态响应性能指标
通常，工程实际中往往习惯把二阶系统调整为欠阻尼过 程，因为此时系统的响应较快，且平稳性也较好。 对于单位阶跃输入作用下的欠阻尼系统，有： 1. 上升时间tr 按式(3.20)，令c(tr)=1，就可求得
(3.39)
图3-17 ts与z 的关系
图3-18 z稍微突变引起的ts突变
当０＜z ＜0.9时，则 (按到达稳态值的95%~105%计) (3.40) (按到达稳态值的98%~102%计) 由此可见, z wn大，ts就小，当wn一定，则ts与z成反比， 这与tp，tr与z的关系正好相反。 根据以上分析，如何选取z和wn来满足系统设计要求，总 结几点如下： (1) 当wn一定，要减小tr和tp，必须减少z值，要减少ts则 应增大zwn值，而且z值有一定范围，不能过大。 (2) 增大wn ，能使tr，tp和ts都减少。 (3) 最大超调量sp只由z决定, z越小，sp越大。所以，一 般根据sp 的要求选择z值，在实际系统中，z值一般在0.5～ 0.8之间.
或
四、线性定常系统的重要特性
对于初始条件为零的线性定常系统，在输入信号r(t)的作 用下，其输出c(t)的拉氏变换为 C(s)=GB (s)R(s)。 若系统的输入为 这时系统的输出为 其拉氏变换为
当系统输入信号为原来输入信号的导数时，系统的输 出为原来输出的导数。
同理，若系统的输入为
,其拉氏变换为
或
式中
由式(3.14)描述的系统特征方程为 (3.15) 这是一个二阶的代数方程，故有两个特征方程根，分别为 (3.16)
显然，阻尼比不同，特征根的性质就不同，系统的响应特性也 就不同。
下面分别对二阶系统在0< z <1，z =1，和z >1三种情况 下的阶跃响应进行讨论。
1. 0<z <1，称为欠阻尼情况 按式(3.14)，系统传递函数可写为 GB(s)=
(a)根分布 图3-13
(b)单位阶跃响应 过阻尼情况(z >1)
根据以上分析，可得不同z值下的二阶系统单位阶跃响应 曲线族,如图3-14所示。由图可见，在一定z值下,欠阻尼系统 比临界阻尼系统更快地达到稳态值，所以一般系统大多设计 成欠阻尼系统。
图3-14 二阶系统单位阶跃响应
（三）二阶系统的脉冲响应
如果系统响应曲线以初始速率继续增加，如图3-9中 的c1(t)所示，T还可定义为c1(t)曲线达到稳态值所需要 的时间。
(3.13)
因此
，
当t= T时，c1(t)曲线到达稳态值，即
（二）二阶系统的阶跃响应
在工程实际中，三阶或三阶以以上的系统，常可以近似 或降阶为二阶系统处理。 图3-10是典型二阶系统的结构图，它的闭环传递函数 为
(a)根分布 (b)单位阶跃响应 图3-11 欠阻尼情况(0<z <1)
系统的误差则为
(3.21)
当t→∞时，稳态误差e (∞)＝０。
若z =０，称为无阻尼情况，系统的特征根为一对共轭虚 根，即 s1,2= ±jwn (3.22) 此时单位阶跃响应为 (3.23) 它是一等幅振荡过程，其振荡频率就是无阻尼自然振荡 频率wn 。当系统有一定阻尼时，wd总是小于wn 。
由上式可看出，z 和wn是决定 二阶系统动态特性的两个非常重 要参数，其中z 称为阻尼比，wn 称为无阻尼自然振荡频率.
图3-10 二阶系统
例如图2-2中R-Ｌ-Ｃ电路，其传递函数为
式中，无阻尼自然振荡频率
就是电路当R=0时的谐振频率；阻尼比
又如图2-3中电枢控制的直流电动机，输出w 与电枢电 压ua之间传递函数为
由式(3.9)，很容易找到系统输出值与时间常数T的对应关系：
t = T， t = 2T， t = 3T， c(1T) = 0.632 c(∞) c(2T) = 0.865c(∞) c(3T) = 0.950c(∞)
t = 4T，
c(4T) = 0.982c(∞)
从中可以看出，响应曲线在经过3T（5%误差）或4T（2%误差） 的时间后进入稳态。
当输入信号为单位脉冲信号d (t)，即R(s)=１时，二阶系 统单位脉冲响应的拉氏变换为 (3.30)
对式(3.30)求拉氏反变换，得
(3.31) 可见，系统传递函数的拉氏反变换就是系统的单位脉冲 响应，所以脉冲响应和传递函数一样，都可以用来描述系统 的特征。
由式(3.31)，对于欠阻尼情况(0<z <1)，有 (3.32)
第一节 二阶系统的瞬态响应及性能指标
瞬态响应，是指系统的输出从输入信号r(t)作用时刻起， 到稳定状态为止，随时间变化的过程。分析系统的瞬态响应， 可以考查系统的稳定性和过渡过程的性能。分析系统的瞬态 响应，有以下方法： 1. 直接求解法 2. 间接评价法 3. 计算机仿真法 本小节首先讨论典型输入信号、性能指标等内容，然 后讨论一阶、二阶系统的瞬态响应，最后讨论如何处理高阶 系统的瞬态响应问题。
图3-8 一阶控制系统
当系统输入为单位阶跃信号时，即r(t)=1(t)或R(s)=1/s，输 出响应的拉氏变换为 (3.8) 取C(s)的拉氏反变换，可得一阶系统的单位阶跃响应为
(3.9)
系统响应如图3-9所示。 从图中看出，响应的稳态值为 (3.10)
图3-9 一阶系统的单位阶跃响应
若增加放大器增益K，可使稳态值近似为1。实际上，由 于放大器的内部噪声随增益的增加而增大，K不可能为无穷 大。而且，线性模型也仅在工作点附近的一定范围内成立。 所以，系统的稳态误差 (3.11) 不可能为零。 系统的时间常数为 (3.12) 它可定义为系统响应达到稳态值的63.2%所需要的时间。
(3.5)
（五）正弦信号 正弦信号的表达式为 : （3.6）
其中A为幅值，w =2p/T为角频率。
图3-5
正弦信号
二、系统的性能指标
系统的瞬态性能通常以系统在初始条件为零的情况下， 对单位阶跃输入信号的响应特性来衡量，如图3-6所示。 这时瞬态响应的性能指标有： 1。最大超调量sp——响应曲线偏离稳态值的最大值， 常以百分比表示，即 最大百分比超调量sp＝ 最大超调量说明系统的相对稳定性。 2。延滞时间td——响应曲线到达稳态值50%所需的时间， 称为延滞时间。
(b)单位阶跃响应
图3-12 临界阻尼情况(z ＝1)
3. z ＞１，称为过阻尼情况
当阻尼比z ＞１时，系统有两个不相等的实数根：
(3.27)
对于单位阶跃输入，C(s)为
(3.28) 将此式进行拉氏反变换，从而求得过阻尼二阶系统的单 位阶跃响应为 (3.29)
图3-13表示过阻尼二阶系统的根的分布和响应曲线。 显然响应曲线无超调，而且过程拖得比z =１时来得长。
一、典型输入信号 （一）阶跃信号 阶跃信号的表达式为：
(3.1)
当A=1时，则称为单位阶跃信号，常用1(t)表示，如图3-1 所示。

图3-1 阶跃信号

图3-2 斜坡信号
（二）斜坡信号 斜坡信号在t =0时为零，并随时间线性增加，所以也叫等 速度信号。它等于阶跃信号对时间的积分，而它对时间的导 数就是阶跃信号。斜坡信号的表达式为：
此式说明，在零初始条件下，当系统输入信号为原来输 入信号对时间的积分时，系统的输出则为原来输出对时间的 积分。 由上可以推知： (一)由于单位脉冲信号是单位阶跃信号对时间的一阶导 数，所以单位脉冲响应是单位阶跃响应对时间的一阶导数. (二)由于单位斜坡信号和单位抛物线信号是单位阶跃信 号对时间的一重和二重积分，所以单位斜坡响应和单位抛物 线响应就为单位阶跃响应对时间的一重和二重积分。
(3.2)
（三）抛物线信号 抛物线信号也叫等加速度信号，它可以通过对斜坡信号 的积分而得。抛物线信号的表达式为：
（3.3） 当A =1时，则称为单位抛物线信号，如图3-3所示
（四）脉冲信号 单位脉冲信号的表达式为：
(3.4)
其图形如图3-4所示。是一宽度为e ，高度为1／e 的矩形 脉冲，当e 趋于零时就得理想的单位脉冲信号(亦称d(t) 函数)。
3. 最大超调量sp
以t= tp代入式(3.20)，可得到最大百分比超调量
(3.38)
由上式可见，最大百分比超调量完全由z决定，z越小， 超调量越大。当z =０时，sp %= 100%，当z =１时，sp % =０。sp与z的关系曲线见图3-16。
图3-16 sp与z的关系
4. 调节时间ts
根据定义可以求出调节时间ts，如图3-17所示。图中 T=1/zwn ，为c(t)包络曲线的时间常数，在z =0.69(或0.77)， ts有最小值，以后ts随z的增大而近乎线性地上升。图3-17中 曲线的不连续性是由于在z虚线附近稍微变化会引起ts突变造 成的，如图3-18所示。 ts也可由式(3.21)的包络线近似求得，即令e(t)的幅值 或0.02