线性系统的时域分析法(第七讲)
线性系统时域响应分析
实验二 线性系统时域响应分析一、实验目的1．熟练掌握step( )函数和impulse( )函数的使用方法，研究线性系统在单位阶跃、单位脉冲及单位斜坡函数作用下的响应。
2．通过响应曲线观测特征参量ζ和n ω对二阶系统性能的影响。
二、基础知识及MATLAB 函数（一）基础知识时域分析法直接在时间域中对系统进行分析，可以提供系统时间响应的全部信息，具有直观、准确的特点。
为了研究控制系统的时域特性，经常采用瞬态响应（如阶跃响应、脉冲响应和斜坡响应）。
本次实验从分析系统的性能指标出发，给出了在MATLAB 环境下获取系统时域响应和分析系统的动态性能和稳态性能的方法。
用MATLAB 求系统的瞬态响应时，将传递函数的分子、分母多项式的系数分别以s 的降幂排列写为两个数组num 、den 。
由于控制系统分子的阶次m 一般小于其分母的阶次n ，所以num 中的数组元素与分子多项式系数之间自右向左逐次对齐，不足部分用零补齐，缺项系数也用零补上。
1．用MATLAB 求控制系统的瞬态响应1）阶跃响应 求系统阶跃响应的指令有：step(num,den) 时间向量t 的范围由软件自动设定，阶跃响应曲线随即绘出step(num,den,t) 时间向量t 的范围可以由人工给定（例如t=0:0.1:10）[y ，x]=step(num,den) 返回变量y 为输出向量，x 为状态向量在MATLAB 程序中，先定义num,den 数组，并调用上述指令，即可生成单位阶跃输入信号下的阶跃响应曲线图。
考虑下列系统：25425)()(2++=s s s R s C 该系统可以表示为两个数组，每一个数组由相应的多项式系数组成，并且以s 的降幂排列。
则MATLAB 的调用语句：num=[0 0 25]; %定义分子多项式den=[1 4 25]; %定义分母多项式step(num,den) %调用阶跃响应函数求取单位阶跃响应曲线grid %画网格标度线 xlabel(‘t/s’),ylabel(‘c(t)’) %给坐标轴加上说明 title(‘Unit-step Respinse of G(s)=25/(s^2+4s+25)’) %给图形加上标题名 则该单位阶跃响应曲线如图2-1所示：为了在图形屏幕上书写文本，可以用text 命令在图上的任何位置加标注。
线性系统的时域分析法二阶系统
04
二阶系统的稳定性分析稳定性定义平衡状态
线性系统在平衡状态下的输出称为平衡状态输出。
稳定性
如果一个系统的平衡状态输出对于所有初始条件和输入都是稳定的，则称该系统是稳定 的。
稳定性判据
劳斯-赫尔维茨判据
数值法
数值法是通过数值计算来求解二阶系 统的方法。它通过将时间轴离散化， 将微分方程转化为差分方程，然后使 用迭代或直接计算的方法求解。
数值法具有简单易行和适用性广的优 点，适用于各种类型的二阶系统。但 是，对于某些特殊类型的系统，数值 法可能存在精度和稳定性问题。
实验法
实验法是通过实际实验来测试二阶系统的方法。它通过在系统中输入激励信号，然后测量系统的输出 响应，从而得到系统的性能参数。
线性系统的时域分析 法二阶系统
目录
CONTENTS
• 线性系统的时域分析法概述 • 二阶系统的基本概念 • 二阶系统的时域分析方法 • 二阶系统的稳定性分析 • 二阶系统的性能指标分析 • 二阶系统的应用实例
01
线性系统的时域分
析法概述
定义与特点
定义
时域分析法是一种通过在时间域 内对系统进行直接分析的方法， 用于研究系统的动态性能和响应 特性。
通过计算系统特征方程的根来判断系统 的稳定性。如果所有根都位于复平面的 左半部分，则系统稳定；如果有根位于 右半部分，则系统不稳定。
VS
Nyquist稳定判据
通过绘制系统的开环传递函数的Nyquist 曲线，判断曲线是否不穿越复平面的右半 部分，从而判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
直接法
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
信号与线性系统分析-第7章
2
σ
根据初值定理，有
Ks h(0 ) lim sH ( s ) lim 2 K s s s 2 s 5
2s H ( s) 2 s 2s 5
第 3页
二、系统函数H(· )与系统的因果性
因果系统是指：系统的零状态响应yzs(.)不会出现于f(.)
第 13 页
§7.2
一、稳定系统的定义
系统的稳定性
一个系统，若对任意的有界输入，其零状态响应 也是有界的，则称该系统是有界输入有界输出(Bound Input Bound Output------ BIBO)稳定的系统，简称为稳 定系统。 即：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。
③ H(s)在虚轴上的高阶极点或右半平面上的极点，其 所对应的响应函数都是递增的。 即当t→∞时，响应均趋于∞。系统稳定？
第 8页
复习：s域与z域的关系
z=esT
s
1 ln z 式中T为取样周期 T
如果将s表示为直角坐标形式 s = +j ，将z表示为 极坐标形式 z = ej = eT ， = T 由上式可看出： s平面的左半平面（<0)--->z平面的单 位圆内部（z=<1) s平面的右半平面（>0)--->z平面的单位圆外部（z=>1)
第 6页
系统稳定性问题？
系统的稳定性如何？
系统稳定：若系统对所有的激励 |f(.)|≤Mf ，其零状态 响应 |yzs(.)|≤My(M为有限常数），则称该系统稳定。 （2）在虚轴上 (a)单极点p=0或p12=±jβ， 则响应为Kε(t)或Kcos(βt+θ)ε(t)→稳态分量 (b) r重极点，相应A(s)中有sr或(s2+β2)r，其响应函数为
线性系统的时域分析实验报告
线性系统的时域分析实验报告线性系统的时域分析实验报告引言：线性系统是控制理论中的重要概念，它在工程领域中有广泛的应用。
时域分析是研究线性系统的一种方法，通过对系统输入和输出的时域信号进行观察和分析，可以得到系统的动态特性。
本实验旨在通过对线性系统进行时域分析，探究系统的稳定性、阶数和频率响应等特性。
实验一：稳定性分析稳定性是线性系统的基本性质之一，它描述了系统对于不同输入的响应是否趋于有界。
在本实验中，我们选取了一个简单的一阶系统进行稳定性分析。
首先，我们搭建了一个一阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一个单位阶跃信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后稳定在一个有限的值上，没有出现发散的情况。
因此，我们可以判断该系统是稳定的。
实验二：阶数分析阶数是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统的动态响应所需的最小延迟时间。
在本实验中，我们选取了一个二阶系统进行阶数分析。
我们搭建了一个二阶系统，其传递函数为H(s) = 1/(s^2+2s+1)。
然后，我们输入了一个正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，系统的输出在输入信号发生变化后，经过一段时间后才稳定下来。
通过进一步分析，我们发现系统的输出波形具有两个振荡周期，这表明系统是一个二阶系统。
实验三：频率响应分析频率响应是线性系统的另一个重要特性，它描述了系统对于不同频率输入信号的响应情况。
在本实验中，我们选取了一个低通滤波器进行频率响应分析。
我们搭建了一个低通滤波器，其传递函数为H(s) = 1/(s+1)，其中s为复变量。
然后，我们输入了一系列不同频率的正弦信号，观察系统的输出。
实验结果显示，随着输入信号频率的增加，系统的输出幅值逐渐减小，表明系统对高频信号有较强的抑制作用。
这一结果与低通滤波器的特性相吻合。
结论：通过以上实验，我们对线性系统的时域分析方法有了更深入的了解。
第三章线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法第三章线性系统的时域分析法3.1 知识框架3.2 重难点控制系统的性能的评价分为动态性能指标和稳态性能指标，在确定系统的数学模型后，便可以⽤⼏种不同的⽅法去分析控制系统给的动态性能和稳态性能，在经典控制理论中，经常使⽤时域分析法、根轨迹分析法或频域分析法来分析线性控制系统的性能。
所谓时域分析法，是指控制系统在⼀定的输⼊信号作⽤下，根据系统输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬态和稳态性能。
时域分析法是⼀种直接在时间域中对系统进⾏分析的⽅法，具有直观、准确的优点，并且可以提供系统时间响应的全部信息。
由于控制系统的传递函数和微分⽅程之间具有确定的关系，因此在系统初始条件为零时，常常利⽤传递函数来研究控制系统的特性。
3.2.1 典型输⼊信号名称时域表达式复域表达式单位阶跃函数 1(),0t t ≥ 1s 单位斜坡函数 ,0t t ≥21s 单位加速度函数 21,02t t ≥ 31s 单位脉冲函数 (),0t t δ≥1 正弦函数sin A t ω22A ωω1) ⼆阶系统的时域分析；动态响应指标的求取；由动态响应指标确定⼀、⼆阶系统模型参数 2) 系统型别，开环放⼤增益，静态误差增益，根轨迹增益 3) 主导极点、附加闭环零、极点的概念，⾼阶系统简化为⼆阶系统 4) 劳斯稳定性判据；稳态误差5) 系统参数变化对系统稳定性、动态性能、稳定性的影响3.2.2 系统的时域性能指标(1) ⼀般认为，阶跃输⼊对系统来说是最严峻的⼯作状态。
描述稳态的系统在单位阶跃函数作⽤下，动态过程随时间t 的变化情况的指标，称为动态性能指标。
为了便于分析和⽐较，假定系统在单位阶跃输⼊信号作⽤前处于静⽌状态，⽽且输出量及其各阶倒数均等于零。
对⼤多数控制系统来说，这种假设是符合实际情况的。
如图：延迟时间d t ：响应曲线第⼀次到达其终值⼀般所需的时间上升时间r t ：指响应从终值10%上升到终值90%所需时间；对于有振荡的系统，亦可定义为响应从第⼀次上升到终值所需的时间。
第三章 线性系统的时域分析法
（比例积分调节器）代替 k 0 。 )
n ( t ) n 0 1( t )
r(t)=0
-
k 0 (1
1 T0 s
)
k1 s
k2 Ts 1
C(t)
(c)
k1k 2 则 e ss lim s
s 0
s (Ts 1) 1 k 0 (1 1 T 0 s s (Ts 1) ) k1k 2
1 TI s
E(s) B(s)
1 s
C(s)
G(s) H(s) G(s)
开环传递函数： 1 G(s)H(s) G(s)H(s)
s
相当于提高系统的型号，可以消除r(t)作用下的稳态误差。 稳态 误差 系统类型 0型系统 输入 信号 单位阶跃 r(t)=1 1/(1+K) 单位斜坡 r(t)=t 单位抛物线 r(t)=t2/2
如果一次侧蒸汽的压力波动较大，需采用供水温 度－蒸汽压力串级控制系统。
特点： 增加了副回路调节－蒸汽流量调节回路，能及时克服蒸 汽压力波动对控制系统的影响，具有一定的自适应特性，能 超前调节。 主回路的定值调节与副回路的随动调节相互配合，协调 工作，能提高系统的控制品质，满足供热工艺的要求。
n0 s
n0 k0
改变扰动作用点的位置：
n ( t ) n 0 1( t )
r(t)=0
-
k0
k1 s
k2 Ts 1
C(t)
(b)
k2 e ss 1k 2 s (Ts 1)
n0 s
0
在扰动作用点之前的前向通路中增加一个积分环节 用 k 0 (1
0
0
线性系统的时域分析法共28页
第三章线性系统的时域分析法一、主要内容（1）线性系统时间响应的性能指标（2）一阶系统的时域分析（3）二阶系统的时域分析（4）高阶系统的时域分析（5）线性系统的稳定性分析（6）线性系统的误差分析二、基本要求（1）了解几种典型输入信号，正确理解系统的各时域响应性能指标的定义。
（2）掌握一阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算其性能指标。
（3）掌握二阶系统的数学模型和典型时域响应的特点，并能熟练计算欠阻尼时域性能指标和结构参数。
（4）了解高阶系统分析的一般方法，掌握闭环主导极点的概念。
（5）正确理解线性定常系统的稳定条件，能熟练的应用劳斯判据判定系统的稳定性。
（6）正确理解稳态误差的定义并能熟练掌握误差系数和稳态误差的计算。
（7）掌握改善系统动态性能和提高系统控制精度的措施。
三、内容提要1、时域性能指标（1）典型输入信号（2）时域性能指标为了定量表示控制系统暂态和稳态响应的性能，在工程上一般以单位阶跃信号作为输入试验信号来定义系统的暂态和稳态性能指标。
★上升时间r t ：系统阶跃响应从零开始第一次上升到稳态值的时间（有时取响应的稳态值得10%到90%所对应的时间）。
★延迟时间d t ：系统阶跃响应从零开始第一次上升到稳态值50%的时间。
★峰值时间p t ：系统阶跃响应从零开始第一次超过稳态值达到第一个峰值的时间。
★调节时间s t ：系统阶跃响应曲线进入规定允许的误差带%)(∆⨯∞c 范围，并且以后不再超出这个误差带所需的时间。
★超调量%p M : 系统阶跃响应的最大峰值)(p t c 与稳态值)(∞c 的差值与稳态值)(∞c 之比的百分数，即%100)()()(%⨯∞∞-=c c t c M p p ，误差带可取：%2±=∆或%5±=∆。
★稳态误差ss e ：当时间∞→t 时，系统期望输出与实际输出之差。
2、一阶系统的时域分析 （1）数学模型系统的微分方程：)()()(t r t c dtt dc T=+ 0≥t ； 系统的传递函数：11)(+=Ts s G ，式中T 为时间常数。
机械控制工程资料第三章线性系统的时域分析法
6
3 动态性能与稳态性能
R(S) E(S) G(S) C(S) B(S) H(S)
23
c(t)L 1[C (S) ]1T T 1 21 1eT 1 1tT T 1 21 1eT 1 2t
r (t )
c(t) 0
t
24
(2) 临界阻尼 1
c (t )
r (t ) 1
r(t)1(t) , R(s)1
c(t)
S
C (s)(S n2n)2S 1S 1(S nn)2S 1n 0
(s)C R((ss))S22n2nn2
n2
K Tm
n
K Tm
n－自然频率（或无阻尼振荡频率）
2
n
1 Tm
1 2 Tm K
－阻尼比（相对阻尼系数）
二阶系统的闭环特征方程为
S22nSn20
特征方程的两个根（闭环极点） S1,2nn 21
特征根的性质取决于 的大小，下面分四种情况讨论。
21
对上式取拉氏反变换，得
t
c(t) 1e T
t 0
c(t)
1
0.632
t
c(t) 1e T
1 T
63.2% 86.5% 95% 98.2% 99.3%
0
T
2T 3T 4T 5T
图3－3 指数响应曲线
注解：
传递函数的极点产生系
统响应的瞬态分量。这一
个结论不仅适用于一阶线
性定常系统，而且也适用
线性系统的时域分析法
第三章线性系统的时域分析法一、教学目的与要求：对本章的讲授任务很重，要使学生通过本章的学习建立起分析系统特性的概念及方法，围绕控制系统要解决的三大问题，怎样从动态性能、稳态性能及稳定性三方面衡量控制系统，要求学生掌握一阶、二阶系统的典型输入信号响应，参数变化对系统性能的影响，尤其是二阶系统参数与特征根的关系，系统稳定性的概念与判据方法，精度问题，即稳态误差的分析与求法。
二、授课主要内容：本章着重讨论标准二阶系统的阶跃响应，明确系统的特征参数与性能指标的关系。
通过对系统阶跃响应的分析，明确系统稳定的充要条件，掌握时域判稳方法。
1．系统时间响应的性能指标1）典型输入信号2）动态过程与稳态过程3）动态性能与稳态性能2．一阶系统的时域分析3．二阶系统的时域分析1）二阶系统数学模型的标准形式2）二阶系统的瞬态响应和稳态响应3）系统参数与特征根及瞬态响应的关系4．高阶系统的时域分析1）高阶系统的单位阶跃响应2）闭环主导极点5．性系统的稳定性分析1）系统稳定的充分必要条件2）劳斯—赫尔维茨稳定判据6．线性系统的稳态误差计算1）误差与稳态误差2）系统类型与静态误差系数（详细内容见讲稿）三、重点、难点及对学生的要求（掌握、熟悉、了解、自学）重点：二阶系统的特点，劳斯稳定判据，稳态误差。
难点：二阶系统阶跃响应与特征根及参数ζ和ωｎ的关系。
要求：1.掌握一阶系统对典型试验信号的输出响应的推导，理解系统参数T和K的物理意义。
2.重点掌握不同二阶系统阶跃响应的特点，及阶跃响应与特征根在根平面位置之间的关系；理解系统参数ζ和ωｎ的物理意义。
3.掌握控制系统阶跃响应性能指标的含义，以及计算二阶欠阻尼系统性能指标的方法。
4.掌握劳斯稳定判据判别系统稳定性的方法。
5.理解系统稳态误差与系统的“型”及输入信号的形式之间的关系。
6.理解高阶系统主导极点的概念，以及高阶系统可以低阶近似的原理。
7.了解根据系统的阶跃和脉冲响应曲线获得系统数学模型的方法。
时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
特殊情况：
（[劳处斯1理）阵办劳列法思中]阵：的某用其一很他行小项第的。一正若项数第系一数代次为替零零零（，的即而那其一）余项与系，其数然上不后项全据或为此下零计项。算的出
符号相反，计作一次符号变化。
[例]：s4 2s3 s2 2s 1 0
s4 1 1 1 s3 2 2 0
线性系统的时域分析法>>线性系统的稳定性分析
稳定的基本概念： 设系统处于某一起始的平衡状态。在外作用的影响下，离
开了该平衡状态。当外作用消失后，如果经过足够长的时间它 能回复到原来的起始平衡状态，则称这样的系统为稳定的系统 。 否则为不稳定的系统。
线性系统稳定的充要条件： 系统特征方程的根（即传递函数的极点）全为负实数或具
s(s 1)(2s 1)
系统特征方程为 2s3 3s2 (1 0.5K )s K 0
E (s)
E(s) R(s)
1 1 G1(s)G2 (s)H (s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K (0.5s
1)
R(s)
1 s2
E(s)
s(s
s(s 1)(2s 1) 1)(2s 1) K(0.5s
线性系统的时域分析法-线性系统的稳定性分析
线性系统稳定性分析
稳定的基本概念和线性系统稳定的充要条件
稳定是控制系统的重要性能，也是系统能够正常运行的首 要条件。控制系统在实际运行过程中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载和能源的波动、系统参数的变化、环 境条件的改变等。如果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作 用下偏离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此，如 何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施，是自动控制 理论的基本任务之一。
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第三章 线性系统的时域分析法3.1 引言分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。
每种方法，各有千秋。
均有他们的适用范围和对象。
本章先讨论时域法。
实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。
很难用解析的方法表示。
只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。
例如，切削机床的自动控制的例子。
在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。
这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。
许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。
3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号：① 实际系统的输入信号不可知性；② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。
突然受到恒定输入作用或突然的扰动。
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。
（单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t室温调节系统和水位调节系统（单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线0,212≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。
通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。
本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。
3.1.2 动态过程和稳态过程——瞬时响应和稳态响应Transient Response & Steady_state Response在典型输入信号作用下，任何一个控制系统的时间响应。
1 瞬态响应指系统从初始状态到最终状态的响应过程。
由于实际控制系统具有惯性、摩擦、阻尼等原因。
2 稳态响应是指当t趋近于无穷大时，系统的输出状态，表征系统输出量最终复现输入量的程度。
3.1.3 绝对稳定性，相对稳定性和稳态误差Absolute Stability , Relative Stability ,Steady_state Error在设计控制系统时，我们能够根据元件的性能，估算出系统的动态特性。
控制系统动态特性中，最重要的是绝对稳定性，即系统是稳定的，还是不稳定的。
如果控制系统没有受到任何扰动，或输入信号的作用，系统的输出量保持在某一状态上，控制系统便处于平衡状态。
如果线性定常控制系统受到扰动量的作用后，输出量最终又返回到它的平衡状态，那么，这种系统是稳定的。
如果线性定常控制系统受到扰动量作用后，输出量显现为持续的振荡过程或输出量无限制的偏离其平衡状态，那么系统便是不稳定的。
图3-1稳定性分析示意图实际上，物理系统输出量只能增加到一定的范围，此后或者受到机械止动装置的限制，或者使系统遭到破坏，也可能当输出量超过一定数值后，系统变成非线性的，而使线性微分方程不再适用。
本章不讨论非线性系统的稳定性。
绝对稳定性是前提。
·相对稳定性：因为物理控制系统包含有一些贮能元件，所以当输入量作用于系统时，系统的输出量不能立即跟随输入量的变化，而是在系统达到稳态之前，表现为瞬态响应过程。
对于实际控制系统，在达到稳态以前，它的瞬态响应，常常表现为阻尼振荡过程。
——称动态过程。
·稳态误差：如果在稳态时，系统的输出量与输入量不能完全吻合，就认为系统有稳态误差。
这个误差表示系统的准确度。
稳态特性： 稳态误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。
在分析控制系统时，我们既要研究系统的瞬态响应，如达到新的稳定状态所需的时间，同时也要研究系统的稳态特性，以确定对输入信号跟踪的误差大小。
·动态性能指标：在许多实际情况中，控制系统所需要的性能指标，常以时域量值的形式给出。
通常，控制系统的性能指标，系统在初始条件为零（静止状态，输出量和输入量的各阶导数为0），对（单位）阶跃输入信号的瞬态响应。
实际控制系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程，为了说明控制系统对单位阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用下列一些性能指标。
t10.90.50.1图3-2表示性能指标td,tr,tp,Mp 和ts 的单位阶跃响应曲线h(t)(∞h )(∞h )(∞h )(∞h① 延迟时间d t ：（Delay Time ）响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间，叫延迟时间。
② 上升时间:r t （Rise Time ）响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。
〔5%上升到95%，或从0上升到100%，对于欠阻尼二阶系统，通常采用0～100%的上升时间，对于过阻尼系统，通常采用10～90%的上升时间〕，上升时间越短，响应速度越快。
③ 峰值时间p t （Peak Time ）：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。
④ 调节时间:s t （Settling Time ）：在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数（通常取5%或2%）作一个允许误差范围，响应曲线达到并永远保持在这一允许误差范围内，所需的时间。
⑤ 最大超调量:p M （Maximum Overshoot ）：指响应的最大偏离量h(tp)与终值)(∞h 之差的百分比，即%σ%100)()()(%⨯∞∞-=h h t h p σ 13-r t 或p t 评价系统的响应速度；s t 同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。
%σ评价系统的阻尼程度。
3.2 一阶系统的时域分析用一阶微分方程描述的控制系统称为一阶系统。
图3-3（a ）所示的RC 电路，其微分方程为)(t r U dtdu RC c c=+ )()()(t r t C t C T =+• （3-2）其中C(t)为电路输出电压，r(t)为电路输入电压，T=RC 为时间常数。
i(t)+r(t)+（a ） 电路图RC（c ）等效方块图（b ）方块图图3-3一阶系统电路图、方块图及等效方块图当初始条件为零时，其传递函数为11)()()(+==TS s R s C s φ （3-3） 这种系统实际上是一个非周期性的惯性环节。
下面分别就不同的典型输入信号，分析该系统的时域响应。
3.2.1 单位阶跃响应Unit-Step Response of First-order System 因为单位阶跃函数的拉氏变换为Ss R 1)(=，则系统的输出由式（3-3）可知为 111111)()()(+-=⋅+==TS S S TS s R s s C φ 对上式取拉氏反变换，得Tt et c --=1)( 0≥t （3-4）t注：R(s)的极点形成系统响应的稳态分量。
传递函数的极点是产生系统响应的瞬态分量。
这一个结论不仅适用于一阶线性定常系统，而且也适用于高阶线性定常系统。
响应曲线在0≥t 时的斜率为T 1，如果系统输出响应的速度恒为T1，则只要t ＝T 时，输出c(t)就能达到其终值。
如图3-4所示。
由于c(t)的终值为1，因而系统阶跃输入时的稳态误差为零。
动态性能指标：T t d 69.0=T t r 20.2= 误差带）%5(3Tt s =％不存在和σp t3.2.2 一阶系统的单位脉冲响应当输入信号为理想单位脉冲函数时，R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 11)(+=TS s C 这时相同的输出称为脉冲响应记作g(t)，因为)]([)(1s G L t g -=,其表达式为01)(≥=-t e Tt c Tt（3-5）3.2.3 一阶系统的单位斜坡响应Unit-ramp Response of first-order Systems 当2S1R(s)=TST S T S S TS s R s s C ++-=⋅+==11111)()()(222φ对上式求拉氏反变换，得：t Tt TTeT t eT t t c 11)1()(--+-=--= （3-6）因为)1()()()(1t TeT t c t r t e --=-= （3-7）r(t)c(t)t图3-5 一阶系统的斜坡响应所以一阶系统跟踪单位斜坡信号的稳态误差为T t e e t ss ==∞→)(lim上式表明：①一阶系统能跟踪斜坡输入信号。
稳态时，输入和输出信号的变化率完全相同 1)(,1)(==⋅∞→⋅t t c t r②由于系统存在惯性，⋅)(t c 从0上升到1时，对应的输出信号在数值上要滞后于输入信号一个常量T ，这就是稳态误差产生的原因。
③减少时间常数T 不仅可以加快瞬态响应的速度，还可减少系统跟踪斜坡信号的稳态误差。
3.2.4 一阶系统的单位加速度响应221)(t t r =31)(Ss R = TS T 11+T S T S T S T S T S DS CSB S A S TS s R s sC 1111)11()()()(2223233+-+-=++++=+==φ)83()0()1(21)(122-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥-+-=-t e T Tt t t c t T)83()1()()()(12-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅--=-=-t TeT Tt t c t r t e上式表明，跟踪误差随时间推移而增大，直至无限大。
因此，一阶系统不能实现对加速度输入函数的跟踪。
表3-1 一阶系统对典型输入信号的响应式等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分；积分常数由零初始条件确定。
线性定常系统的一个重要特性，适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。
因此，研究线性定常系统的时间响应，不必对每种输入信号形式进行测定和计算，往往只取其中一种典型形式进行研究。
3.3 二阶系统的时域分析二阶系统：凡以二阶系统微分方程作为运动方程的控制系统，称为二阶系统。
3.3.1 二阶系统的数学模型随动系统（位置控制系统）如图3-6所示。
图3-6 随动系统原理图输入电位计输出电位计输入装置i放大器 电动机齿轮传动负载误差测量装置⑴该系统的任务：控制机械负载的位置。