第三章 时域分析法

R(s)
100/s
C(s)
kt
解：系统的闭环传递函数
(s) 100 / s 1/ kt
1
100 s
kt
0.01s 1 kt
当kt
0.1时, (s)
10 0.1s 1
显然时间常数T 0.1秒.
因此调节时间为ts 3T 0.3秒，
如果要求ts
0.1秒, ts
3T
3 0.01 kt
0.1,
Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振 荡频率。
当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输 出量为
C(s)
s2
wn2
2wn s
wn2
1 s
1 s
(s
s wn wn )2
wd2
(s
wn wn )2
wd2
拉氏反变换
h(t) 1 ewnt (coswd t
1 2 sin wd t)
1
e wnt
T2 /T1 1
T1 /T2 1
响应曲线如图：
h(t) 1
0
t
起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到
达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶 系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主 要是调节时间ts，根据公式求ts的表达式很 困难，一般用计算机计算出的曲线确定ts。
过阻尼二阶系统调节时间特性
从曲线可以看出，当 T1 T2 , 1 (临界阻尼）
1 s
1 s
s
n
n 2
s
1
n
则临界阻尼二
阶系统的单位阶跃响应为 h(t) 1 (1nt)ent
过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系
统一般不采用过阻尼系统。
2.欠阻尼情况 当0< ξ <1,二阶系统的闭环特征根为
s w jw 1 2 jw
1, 2
n
n
d
w 衰减系数 n
wd wn 1 2 为阻尼振荡频率
% 0没有超调，非周期响应，
惯性环节亦称非周期环节。
曲线
C(t)
1 1/T斜率
0.632
h(t) 1 et/T
0
T
t
t 3T (5%误差带) s
t 4T (2%误差带) s
T越小，系统的快速性越好。
例1.一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试 求系统的调节时间ts，如果要求ts 0.1秒。 试求反馈系数应取多大？
3-3 二阶系统分析
一. 二阶系统的数学模型
以前我们讲过的位置随动系统，就是一个 典型的二阶系统。
结构图可以简化为
r (s)
-
G(s) c(s)
开环传递函数G(s)
k /J 0
s(s F / J )
闭环传递函数 (s) k0 / J
s2
F
s
k 0
JJ
令w2 k / J ,2 w F / J
故kt 0.3
三.一阶系统的单位斜坡响应 R(t) t, R(s) 1
s2
C(s) (s) R(s) 1 1 1 T T 2
Ts 1 s2 s2 s Ts 1 拉氏反变换，单位斜坡响应为
Ct (t) (t T ) Tet/T (t 0) 其中t T为稳态分量，Tet/T为暂态分量。
当ξ<=0.8时,常把sin( 1 2 wnts ) 这一项
t
r
w d
w 1 2 n
当wn一定时，ξ越小，tr越小；
当ξ一定时，wn越大，tr越小。
2.峰值时间tp
h(t) 1 ewnt[coswdt
1 2 sin wdt] ①
h(t) 1 ewnt sin(w t ) ②
1 2
d
对①式两边求导，并令其=0，得：
h' (t) wnewnt (coswdt
时，ts 4.75T1 ,当T1 4T2 ， 1.25 时， ts 3.3T1
当 T1 4T2 ， 1.25 时，ts 3T1 由此可见，当 T1 4T2 ， 二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1
来估算。
当
1
时，临界阻尼二阶系统
1 T1
1 T2
n ，则
c(s)
s
n2
n 2
-1/T 0
T表征系统惯性大小的重要参数。
二.一阶系统的单位阶跃响应 当r(t) 1(t)时，R(s) 1 ,
s
则C(s) (s) R(s) 1 1 1 T
Ts 1 s s Ts 1
对C(s)进行拉氏反变换 h(t) 1 et /T t T , h(T ) 0.632 t 2T , h(2T ) 0.865 t 3T , h(3T ) 0.950 t 4T , h(4T ) 0.982
e wn t sin(
1 2
1 2 wnts ) 0.05或0.02
不易求出ts，但可得出wnts与ξ的关系曲线：
调节时间不连续的示意图
ξ值的微小变化可引起调节时间ts显著的变化。
当ξ=0.68（5%误差带）或ξ=0.76（2%误差 带），调节时间ts最短。所以通常的控制系统 都设计成欠阻尼的。 曲线的不连续性，是由于ξ值的微小变化可引 起调节时间显著变化而造成的。 近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减 到误差带之内所需时间来确定ts。
4.当ξ=0时，系统有一对共轭纯虚根，系统 单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或 零阻尼状态。（如图d）
下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻 尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶 系统的单位阶跃响应。
二.二阶系统的单位阶跃响应
1.过阻尼情况。
当ξ>1时，二阶系统的闭环特征方程有两
个不相等的负实根，这时闭环传递函数可
h(t) 1 sin(wnt 900 ) 1 cos wnt, (t 0)
等幅振荡曲线，振荡频率为wn wn称为无阻尼振荡频率。
另外，若ξ过大，如 1 ，系统响应迟缓，
调节时间ts长，快速性差；若ξ过小，虽然 响应的起始速度较快，tr和tp小，但振荡强 烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间ts亦长。
负实部的共轭复根 s w jw 1 2
1, 2
n
n
系统的单位阶跃响应具有衰减振荡特性，称
为欠阻尼状态。(如图a)
s1
wn
s2
0
(a)
s2 s1 0
(c)
s1,2
0
(b)
s1
0
s2
(d )
2.当ξ=1时，特征方程具有两个相等的负实 根，称为临界阻尼状态。（如图b）
3.当ξ>1时，特征方程具有两个不相等的负 实根，称为过阻尼状态。（如图c）
下面具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。
1.上升时间tr
h(t ) 1,则1 ewntr sin(w t ) 1
r
1 2
dr
e wntr
sin(w t ) 0
1 2
dr
1
0, e wntr 0,
1 2
w t n (n 0,1,2, ) dr
由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态值所 需时间，所以应取n=1。
单位斜坡响应曲线如图所示：
c(t)
r(t)=t
T T
引入误差的概念：0
twk.baidu.com
当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实
际稳态值与给定值之差。即：
e h h()
ss
0
一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差
ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到 稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间 上滞后T,这就存在着ess=T的稳态误差。
n TT
1
2
12
2 1)
过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同
的一阶系统的串联。
当系统的输入信号为单位阶跃函数时，
R(s) 1 s
则系统的输出量为
C(s)
1/TT 12
1
R(s) (s 1/T )(s 1/T ) s
1
2
拉氏反变换得：
h(t) L1[C(s)] 1 1 et/T1 1 et/T2
h' (t)
2wn 1 2
e wn t
sin wdt
wn
1 2 ewnt sin wdt
∴ h' (t) (
2wn 1 2
wn
1 2 )ewnt sin wdt
wn
1 2
e wn t
sin wdt
0
sin wdt p 0
wdt p n (n 0,1,2, )
tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间
写为
C(s)
w2 n
1/TT 12
R(s) s2 2 w s w2 (s 1/ T )(s 1/ T )
n
n
1
2
1
(T s 1)(T s 1)
1
2
1
T1 1
T2
wn wn
wn wn
2 1) 2 1)
式中：
1 w ( 2 1); 1 w (
T
n
T
n
1
2
w2 1 且设T T
n
0
n
得到二阶系统传递函数的标准形式
即：
(s)
w2 n
s 2 2w s w2
n
n
式中，ξ为系统的阻尼比
wn为无阻尼振荡频率，简称固有频率
（也称自然振荡频率）
闭环特征方程为：
s 2 2w s w2 0
n
n
其特征根即为闭环传递函数的极点为
s w w 2 1
1, 2
n
n
1.当0< ξ <1时，此时系统特征方程具有一对
第三章 时域分析法
3-1 控制系统的时域指标 3-2 一阶系统的时间响应 3-3 二阶系统分析 3-4 控制系统的稳定性和代数判据 3-5 稳态误差的分析和计算
3-1 控制系统的时域指标
所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能 的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程， 得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲 线分析系统的动态性能和稳态性能。
1 2
sin(wd t )
arctg
h(t)
曲线：
1 2 或 arccos
1
0
t
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指 数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特 征值实部-ξwn的大小，而衰减振荡的频率， 取决于特征根虚部wd的大小。
角的定义
上图绘出了不同ξ值下，二阶系统的单位阶 跃响应曲线。直观地看，ξ越大，超调量 σ%越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好； 反之，ξ越小，振荡性越强，平稳性越差。 当ξ＝0时，系统的零阻尼响应为：
延迟时间td:响应曲线第一次到达终值一半 所需的时间。
二.峰值时间tp
响应曲线超过稳态值h(∞)达到第一个峰值 所需的时间。
三.调节时间ts
在稳态值h(∞)附近取一误差带，通常取
5%h(), 2%h()
响应曲线开始进入并保持在误差带内所需 的最小时间，称为调节时间。
ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到 另一个平衡状态所需的时间越短。
四.超调量σ%
响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值 之比。即
% h(t p ) h() 100%
h()
超调量表示系统响应过冲的程度，超调量 大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的 工作条件下，而且使调节时间加长。 五.振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值 次数的一半。
tr,tp和ts表示控制系统反映输入信号的快速 性，而σ%和N反映系统动态过程的平稳性。 即系统的阻尼程度。其中ts和σ%是最重要 的两个动态性能的指标。
所以应取n=1。
于是w t ,t
dp
p
w d
w n
当wn一定时，ξ越小，tp越小；
1 2
当ξ一定时，wn越大，tp越小。
3.超调量σ%
h(t ) 1 ewntp sin( )
p
1 2
sin( ) sin 1 2
tp wn
1 2
h(t p ) 1 e / 1 2 设h() 1
控制系统的时域性能指标，是根据系统在 单位阶跃函数作用下的时间响应——单位 阶跃响应确定的，通常以h（t）表示。 实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡 的阶跃响应，如图3-1所示：
h(t)
1.0 0.5 td
0 tr tp ts
误差带5%或2%
h()
一.上升时间tr
响应曲线从零首次上升到稳态值h(∞)所需 的时间，称为上升时间。对于响应曲线无 振荡的系统，tr是响应曲线从稳态值的10% 上升到90 %所需的时间。
则 % h(t p ) h() 100% e / 1 2 100%
h()
所以超调量是阻尼比ξ的函数，与无阻尼振 荡频率wn的大小无关。
σ%与ξ的关系曲线
ξ增大，σ%减小，通常为了获得良好的平 稳性和快速性，阻尼比ξ取在0.4-0.8之间, 相应的超调量25%-2.5%。
4.调节时间ts
根据定义：
1 2
sin wdt)
wd ewnt ( sin wdt
1 2
c os wd t )
代入 wd wn 1 2 得：
h' (t)
w e wn t n
c os wd t
2wn 1 2
e wn t
sin wdt
wn
1 2 ewn t
s
in
wd
t
wn
1
1 2
2
e wn t
c os wd t
3-2 一阶系统的时间响应
一.一阶系统的数学模型
微分方程为：T dc(t) c(t) r(t),T为时间常数。 dt
开环传递函数：G(s) 1 k , k 1 为开环增益 Ts s T
闭环传递函数：（s） C(s) 1
R(s) Ts 1
结构图和闭环极点分布图为：
j
R(s)
-
k/s
C(s)