第三章时域分析法下
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精品文档-自动控制原理(第二版)(千博)-第3章
第三章 时 域 分 析 法
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
典型输入信号 系统的时域性能指标 控制系统的稳定性 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统分析 控制系统的稳态误差分析 改善系统性能的措施 利用MATLAB进行时域分析
1
怎样分析系统：首先建模，二是规定典型信号，三是求出 系统输出，对系统进行研究分析。分析一个控制系统的运动, 必须先判定该系统是否稳定。即使负反馈控制系统是稳定的， 它的运动质量也有优劣之分。图3-1表示三个系统输出变化过 程。
58
例3-7 设系统特征方程为 试用霍尔维茨判据判断该系统的稳定性。
59
解 观察特征方程，可知满足系统稳定的必要条件。所以， 列出的4阶霍尔维茨行列式如下：
不难求出：D1=1>0, D2=－7<0, D3=－45<0,D4=－450<0。 所以系统是不稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ60
第四节 一阶系统时域分析 由一阶微分方程描述的系统, 称为一阶系统。图3-9所示 的自动控制系统就是一阶控制系统。它的传递函数为
(3-20)
73
由于单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数有以下 关系
(3-21) 因此单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应, 单位阶跃响应的导 数为单位脉冲响应。
单位脉冲响应曲线如图3-12所示。
74
图 3-12 一阶系统单位脉冲响应
75
第五节 二阶系统时域分析 一、典型二阶系统
典型的二阶系统结构图如图3-13所示。系统开环传递函数 为
50
相应的劳斯表为
令劳斯表中第一列各元素为正，得使全部闭环极点位于 s=－1垂线之左的K1取值范围:
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节 第八节 第九节
典型输入信号 系统的时域性能指标 控制系统的稳定性 一阶系统时域分析 二阶系统时域分析 高阶系统分析 控制系统的稳态误差分析 改善系统性能的措施 利用MATLAB进行时域分析
1
怎样分析系统：首先建模，二是规定典型信号，三是求出 系统输出，对系统进行研究分析。分析一个控制系统的运动, 必须先判定该系统是否稳定。即使负反馈控制系统是稳定的， 它的运动质量也有优劣之分。图3-1表示三个系统输出变化过 程。
58
例3-7 设系统特征方程为 试用霍尔维茨判据判断该系统的稳定性。
59
解 观察特征方程，可知满足系统稳定的必要条件。所以， 列出的4阶霍尔维茨行列式如下：
不难求出：D1=1>0, D2=－7<0, D3=－45<0,D4=－450<0。 所以系统是不稳定的。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ60
第四节 一阶系统时域分析 由一阶微分方程描述的系统, 称为一阶系统。图3-9所示 的自动控制系统就是一阶控制系统。它的传递函数为
(3-20)
73
由于单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数有以下 关系
(3-21) 因此单位斜坡响应的导数是单位阶跃响应, 单位阶跃响应的导 数为单位脉冲响应。
单位脉冲响应曲线如图3-12所示。
74
图 3-12 一阶系统单位脉冲响应
75
第五节 二阶系统时域分析 一、典型二阶系统
典型的二阶系统结构图如图3-13所示。系统开环传递函数 为
50
相应的劳斯表为
令劳斯表中第一列各元素为正，得使全部闭环极点位于 s=－1垂线之左的K1取值范围:
时域分析法
§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T＝1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
，为闭环极点的实部； ，为闭环极点的虚部；
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为
。
将上式进行拉氏反变换，单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(
则
Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统，输入之间存在微积分关系，其响
应间也存在相应微积分关系。
作用：在测试系统时，可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下，输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差，即系统
第三章-线性系统的时域分析法(简)剖析
的时间。
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12
2）峰值时间tp: 响应从零上升到第一个峰值所需时间。
3）调节时间ts: 响应到达并保持在允许误差范围（终值的
±2%或±5%）内所需的时间。
4）最大超调量σ%： 响应的最大峰值与终值之差，并除以终值，
通常用百分数表示：
% c(t p ) c() 100%
c()
动态性能指标定义1
超调量 % h(tp ) - h() 100%
2、稳态性能指标 通常用系统在阶跃、斜坡、加速度函数作用
下的稳态误差来描述稳态性能；
稳态误差用来衡量系统的控制精度或抗扰动 能力；
稳态误差反映系统复现输入信号的最终精度。
ess
lim e(t)
t
3.2 一阶系统的时域分析
可用一阶微分方程描述其动态过程的系统，称为一阶系统
一、一阶系统的数学模型
R
+
例2：
可见： 1）右半平面无根； 2）虚根： 5s2 25 0, s1.2 j 5 3）其余根：
s4,5 1 j2
s3 1
注意：此时系统不为稳定系统，而是临界稳定系统
例 系统结构图如右， (1)确定使系统稳定的参数(K,x) 的范围; (2)当x2时，确定使全部极点均位于s=-1之左的K值范围。
3.5 线性系统的稳定性分析
要点介绍
1、熟悉系统稳定性的定义； 2、熟练掌握判断系统稳定性的方法； 3、熟练掌握根据稳定性要求确定系统参数的方法。
3.5 线性系统的稳定性分析
一、 稳定性的基本概念
1、稳定性的定义
控制系统在外部扰动作用下偏离其原来的 平衡状态，当扰动消失后，系统仍能自动恢复到 原来的初始平衡状态的性能。 注意：
0
K 9.12
瞬态响应及误差分析(时域分析法)
10K O 10K O K OG ( S ) 10K O 1 10K H ( s) 0.2s 1 0.2 1 K H G ( s) 1 10K H 0.2s 1 10K H s 1 0.2s 1 1 10K H 10K O 1 10K K * 10 K O 10 0.2 H T * 0.02 K H 0.9 1 10K H
12
3. 选取试验输入信号的原则：
选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况； 形式简单，便于用数学式表达及分析处理，实际中可 以实现或近似实现； 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入 信号作为典型试验信号；
•如控制系统的输入量是突变的，采用阶跃信号。如室温 调节系统 。 •如控制系统的输入量是随时间等速变化，采用斜坡信号 作为实验信号 •如控制系统的输入量是随时间等加速变化，采用抛物线 信号； 宇宙飞船控制系统 •如控制系统为冲击输入量，则采用脉冲信号
特征点： 1 A点 : xo (T ) 0.368 xo (0) ） 2）零时刻点： xo (t )
1 T
2e
t T t 0
1 2 ; x o ( 0) T T
24
1
一阶系统单位脉冲响应的特点： 1. 瞬态响应：(1/T )e –t/T；稳态响应0； 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性，时间常数大的 系统，其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性，系统特性只取 决于组成系统的参数，不取决于外作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移，xo(t)指数衰减。 5.
量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应：当某一输入信号的作用下，系统的响应
线性系统的时域分析法
三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能：通常在阶跃函数作用下，测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下，动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括：
延迟时间 td ：指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr ：指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE，Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE，Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE，Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考：为何 k1，k2 必为共轭复数？
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t
自动控制原理第3章
间常数“T”。
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
12
一阶系统分析
3、单位抛物线响应
y(t)的特点：
y(t)1t2T tT2(1eT t) t0 2
输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系
统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。
4、单位脉冲响应
t
y(t)TeT t0
当 t时， y()0
13
一阶系统分析
对一阶系统典型输入响应的两点说明： 1、输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入 2、三种响应之间的关系：
38
稳定性分析及代数判据
劳斯判据：
系统稳定的必要条件：特征方程所有系数均为正。
系统稳定的充分条件：特征方程所有系数组成劳斯表，其第 一列元素必须为正。
具体步骤：
1、先求出系统的特征方程
a n S n a n 1 S n 1 a 1 S a n0
注意：
(1) s要降阶排列 (2) 所有系数必须大于0
阶跃响应：
p 2 j1 2 n
Y sss22 n2 n s n2A s1s2 A 2 2 s n s A 3 n
yt 11 12e n t sin 1 2n t
y(t)
ξ=0.3
1
ξ=0.5
20
0
t
二阶系统分析
3、临界阻尼( =1 )
特征根
p1,2 n
阶跃响应：
yt 1 e n t1 n t
42
稳定性分析及代数判据
解：系统闭环特征方程为 s36s25sK0
列劳斯表
s3
1
5
s2
6
K
s 30 K 0
6
s0
K
稳定必须满足
30 K 0 6
《自动控制原理》第三章自动控制系统的时域分析和性能指标
i1 n
]
epjt
j
(spj)
j1
j1
limc(t) 0的充要条件是 p j具有负实部
t
二.劳斯(Routh)稳定判据
闭环特征方程
a nsn a n 1 sn 1 a 1 s a 0 0
必要条件
ai0. ai0
劳斯表
sn s n1 s n2
| | |
a a n
n2
a a n 1
n3
b1 b2
或：系统的全部闭环极点都在复数平面的虚轴上左半部。
m
设闭环的传递函数：
(s)
c(s) R(s)
k (s zi )
i 1 n
(s p j )
P j 称为闭环特征方程的根或极点 j1
n
(s pj ) 0 称为闭环特征方程
j1
若R(s)=1,则C(s)= s m
k (szi)
n
c(t)L1[c(s)]L1[
t 3、峰值时间 p
误差带
4 、最大超调量
%
C C ( )
% max
100 %
C ( )
ts
5 、调节时间
ts
(
0 . 05
0
.
02
)
6、振荡次N数
e e 7、稳态误差 ss
1C()(对单位阶跃) 输入
ss
第三节 一阶系统的动态性能指标
一.一阶系统的瞬态响应
R(s) -
K0 T 0S 1
s5 | 1 3 2
s4 | 1 3 2
s3 | 4 6
s2
|
3 2
2
s1
|
2 3
s0 | 2
自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
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17
s1,2 n n 2 1
ζ >1 称过阻尼状态，s1,2为两个不 等的负实根； ζ =1 称临界阻尼状态，s1,2为一对 相等的负实根 –ωn ; 0 < ζ < 1 称欠阻尼状态，s1,2为一对实 部为负的共轭复根，即
左 半 平 面 ξ >0
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ <0
1 t T
1 T
(t0)
曲线单作是一种扰动，那么扰动消失后系统又恢复到 原来状态，所以系统是稳定的，稳态值和稳态误差都是零。
14
3.3.5一阶系统响应小结
闭环传 输入信 递函数 号时域
G ( s)
输出响应
1 T e T
t
ess
Y ( s) G( s)
t=T y(t)=63.2% 实验法求 T
t=3T y(t)=95%允许误差 5% 调整时间ts=3T t=4T y(t)=98.2%允许误差 2% 调整时间ts=4T
11
3.3.2. 性能指标
(1) 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条按指数规律单 调上升的曲线，有惯性，不具有周期性，没有振荡， 也不存在超调问题。其性能指标由T来决定。 (2) 调节时间ts T 越小，调节时间ts 越 取误差范围5％时： ts＝3T 短，快速性越好。 取误差范围2％时： ts＝4T
c(t ) t T Te
1 t T
(t0)
性质： 1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T，故时间常数越小越好。
13
3.3.4.一阶系统的单位 脉冲响应
R( s ) 1
1 c(t ) e T
1 C (s) 1 1 Ts 1 s T
6
t
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 ⑥ 稳态误差e ss ：t趋于无穷大时，系统响 应的期望值与实际值之差。
tr
tp
ts
超调量(Maximum Overshoot)：指响应 的最大值h ( tp )超过稳态值的百分比，即
回顾
1
1.时间响应的概念
系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即为系统的时间响应。 系统的阶跃响应: 1)强烈振荡过程 2)振荡过程 3)单调过程 4)微振荡过程
2
时间响应
Time Response
以阶跃 输入为 例：
动（瞬）态响应(transient response)； 稳态响应(steady-state response). 稳态响应:当时 间 t 趋于无穷 大时，系统输 出的稳定状态。 t
s1,2 n n 2 1
n 2
2 2
过阻尼情况
Y (S )
ζ =1
临界阻尼情况
( S n n 1)( S n n 1)
X (S )
0<ζ<1
欠阻尼情况
n 2 Y (S ) X (S ) 2 ( S n )
Y (S )
1 Y (s) G (s) s Y (s) 1 G( s) 2 s
(t )
1(t) t
(t 0)
t T
0 0 T
1 TS 1
1 e
t 0
t T
t T Te
t 0
等价关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
2）t p (峰值时间 )
1 峰值时，响应速度为零，对上式求导，令导数等于零，得：
2
y(t ) 1
1
ent sin(d t )
nt
,t 0
n e
nt
sin( d t ) d e
1 2
cos( d t ) 0
tg
2 n G(s) s( s 2 n )
Y(s)
K n － 自然频率（或无阻尼振荡频率） Tm
2 Tm K 特征方程： The characteristic equation
2 s 2 2n s n 0
1
－ 阻尼比（阻尼系数）
2 s 1 特征根： The characteristic roots 1, 2 n n
d t p 0, ,2 ,
1 2 tg ( d t )
tp是响应的第一个峰值，应取
1 2 1 tp Td d 2 1 2 n 2 d
d t p
一定时，n t p
22
3）超调量（overshoot )σ％:
令 dy/dt = 0 求出 tP:
代入
tp
d n 1 2
y(t p ) 1
1 1
2
ent sin(d t )
,t 0
1
sin( ) sin 1 2
M pt y (t p ) 1 e /
1 1 0 (3) 系统的稳态误差： ess 1 y()＝－＝
(4) 一阶系统，以初始速度不变时的直线和稳态值交点 处的时间为T。 (5) 若由实验测得响应曲线，符合以上特点，可确定为 一阶系统，并可确定时间常数T。
12
3.3.3.一阶系统的单位斜坡响应
1 s2 1 1 C ( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T R( s)
5
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 峰值时间t p(Peak Time):响应曲线达到 第一个峰值所需要的时间。
tr
tp
ts
调节时间 ts(Settling Time): 响应与稳态值的偏差达到并永远保持在一个 允许误差范围内，所需的最短时间。（通常 取稳态值的正负5%或 2%）。
ess
8
3.3 一阶系统的动态分析
Performance of a First-Order System
3.3.1. 数学模型
G( s) X 0 ( s) 1 X i ( s) Ts 1
（用一阶微分方程描述的系统） Xi(s) 1/Ts X0(s)
G( s)
X 0 ( s) 1 / Ts 1 X i ( s) 1 1 / Ts Ts 1
n 2
( S n jn 1 )( S n jn 1 )
2 2
X (S )
ζ =0
无阻尼情况
n 2 Y (S ) 2 X (S ) 2 S n
ζ <0
负阻尼情况
19
3.4.3. 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应（0 < ζ < 1）
s1, 2 n j n 1 2
20
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应特性如图
性能指标
1）上升时间（Rise time ) tr :
y(tr ) 1
，求得
1
1
2
e
nt
sin(d tr ) 0
tr d
一定，即β 一定，
d tr
n t r ,响应速度越快
21
0< ξ<1
ξ =1 两个相等根
β
0
σ
ξ =0
s1, 2 n j n 1 2
ζ =0 称无阻尼状态，s1,2为一对共轭 纯虚根 ±jωn ； ζ <0 称负阻尼状态，系统将出现正 实部的特征根，系统发散
ξ >1 两个不等根
jωn
18
3.4.2 二阶系统时间响应的拉氏变换
2 n Y ( s) 2 X ( s) 2 s 2n s n ζ >1
T：时间常数，具有时间量纲[秒] 。
9
3.3.2. 单位阶跃响应 y(t)
1 1 X 0 ( s) G( s) X i ( s) Ts 1 s 1 1 T 1 1 1 y (t ) L [ ] L [ ] Ts 1 s s Ts 1 1 t 1 1 1 T L [ ] s s 1 T
t
%
y (t p ) y () y ( )
100%
7
tr 或 t p
ts
%
反应了系统初始阶段的快慢程度， 评价系统的响应速度； 又称过渡过程时间，表示系统过渡过程持续 的时间，从总体上反映了系统的快速性。
反应了系统响应过程的平稳性， 评价系统的阻尼程度。 反应了系统复现和跟踪输入信号的精度。 越小，系统准确性越高。
15
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加 热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温 的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加 热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度 计的温态指示误差是多少？
解：1）一阶系统，对于阶跃输入， 当y(t)=0.982时，ts＝4T 测温输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。
4
h(t)
时间响应的性能指标
σ
超调量
允 许 误 差± Δ
1 h( ) ) 0.9 h( ) 0 .5 h(
td
0.02 或 0.05
s1,2 n n 2 1
ζ >1 称过阻尼状态，s1,2为两个不 等的负实根； ζ =1 称临界阻尼状态，s1,2为一对 相等的负实根 –ωn ; 0 < ζ < 1 称欠阻尼状态，s1,2为一对实 部为负的共轭复根，即
左 半 平 面 ξ >0
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ <0
1 t T
1 T
(t0)
曲线单作是一种扰动，那么扰动消失后系统又恢复到 原来状态，所以系统是稳定的，稳态值和稳态误差都是零。
14
3.3.5一阶系统响应小结
闭环传 输入信 递函数 号时域
G ( s)
输出响应
1 T e T
t
ess
Y ( s) G( s)
t=T y(t)=63.2% 实验法求 T
t=3T y(t)=95%允许误差 5% 调整时间ts=3T t=4T y(t)=98.2%允许误差 2% 调整时间ts=4T
11
3.3.2. 性能指标
(1) 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条按指数规律单 调上升的曲线，有惯性，不具有周期性，没有振荡， 也不存在超调问题。其性能指标由T来决定。 (2) 调节时间ts T 越小，调节时间ts 越 取误差范围5％时： ts＝3T 短，快速性越好。 取误差范围2％时： ts＝4T
c(t ) t T Te
1 t T
(t0)
性质： 1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T，故时间常数越小越好。
13
3.3.4.一阶系统的单位 脉冲响应
R( s ) 1
1 c(t ) e T
1 C (s) 1 1 Ts 1 s T
6
t
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 ⑥ 稳态误差e ss ：t趋于无穷大时，系统响 应的期望值与实际值之差。
tr
tp
ts
超调量(Maximum Overshoot)：指响应 的最大值h ( tp )超过稳态值的百分比，即
回顾
1
1.时间响应的概念
系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即为系统的时间响应。 系统的阶跃响应: 1)强烈振荡过程 2)振荡过程 3)单调过程 4)微振荡过程
2
时间响应
Time Response
以阶跃 输入为 例：
动（瞬）态响应(transient response)； 稳态响应(steady-state response). 稳态响应:当时 间 t 趋于无穷 大时，系统输 出的稳定状态。 t
s1,2 n n 2 1
n 2
2 2
过阻尼情况
Y (S )
ζ =1
临界阻尼情况
( S n n 1)( S n n 1)
X (S )
0<ζ<1
欠阻尼情况
n 2 Y (S ) X (S ) 2 ( S n )
Y (S )
1 Y (s) G (s) s Y (s) 1 G( s) 2 s
(t )
1(t) t
(t 0)
t T
0 0 T
1 TS 1
1 e
t 0
t T
t T Te
t 0
等价关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
2）t p (峰值时间 )
1 峰值时，响应速度为零，对上式求导，令导数等于零，得：
2
y(t ) 1
1
ent sin(d t )
nt
,t 0
n e
nt
sin( d t ) d e
1 2
cos( d t ) 0
tg
2 n G(s) s( s 2 n )
Y(s)
K n － 自然频率（或无阻尼振荡频率） Tm
2 Tm K 特征方程： The characteristic equation
2 s 2 2n s n 0
1
－ 阻尼比（阻尼系数）
2 s 1 特征根： The characteristic roots 1, 2 n n
d t p 0, ,2 ,
1 2 tg ( d t )
tp是响应的第一个峰值，应取
1 2 1 tp Td d 2 1 2 n 2 d
d t p
一定时，n t p
22
3）超调量（overshoot )σ％:
令 dy/dt = 0 求出 tP:
代入
tp
d n 1 2
y(t p ) 1
1 1
2
ent sin(d t )
,t 0
1
sin( ) sin 1 2
M pt y (t p ) 1 e /
1 1 0 (3) 系统的稳态误差： ess 1 y()＝－＝
(4) 一阶系统，以初始速度不变时的直线和稳态值交点 处的时间为T。 (5) 若由实验测得响应曲线，符合以上特点，可确定为 一阶系统，并可确定时间常数T。
12
3.3.3.一阶系统的单位斜坡响应
1 s2 1 1 C ( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T R( s)
5
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 峰值时间t p(Peak Time):响应曲线达到 第一个峰值所需要的时间。
tr
tp
ts
调节时间 ts(Settling Time): 响应与稳态值的偏差达到并永远保持在一个 允许误差范围内，所需的最短时间。（通常 取稳态值的正负5%或 2%）。
ess
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3.3 一阶系统的动态分析
Performance of a First-Order System
3.3.1. 数学模型
G( s) X 0 ( s) 1 X i ( s) Ts 1
（用一阶微分方程描述的系统） Xi(s) 1/Ts X0(s)
G( s)
X 0 ( s) 1 / Ts 1 X i ( s) 1 1 / Ts Ts 1
n 2
( S n jn 1 )( S n jn 1 )
2 2
X (S )
ζ =0
无阻尼情况
n 2 Y (S ) 2 X (S ) 2 S n
ζ <0
负阻尼情况
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3.4.3. 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应（0 < ζ < 1）
s1, 2 n j n 1 2
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二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应特性如图
性能指标
1）上升时间（Rise time ) tr :
y(tr ) 1
，求得
1
1
2
e
nt
sin(d tr ) 0
tr d
一定，即β 一定，
d tr
n t r ,响应速度越快
21
0< ξ<1
ξ =1 两个相等根
β
0
σ
ξ =0
s1, 2 n j n 1 2
ζ =0 称无阻尼状态，s1,2为一对共轭 纯虚根 ±jωn ； ζ <0 称负阻尼状态，系统将出现正 实部的特征根，系统发散
ξ >1 两个不等根
jωn
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3.4.2 二阶系统时间响应的拉氏变换
2 n Y ( s) 2 X ( s) 2 s 2n s n ζ >1
T：时间常数，具有时间量纲[秒] 。
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3.3.2. 单位阶跃响应 y(t)
1 1 X 0 ( s) G( s) X i ( s) Ts 1 s 1 1 T 1 1 1 y (t ) L [ ] L [ ] Ts 1 s s Ts 1 1 t 1 1 1 T L [ ] s s 1 T
t
%
y (t p ) y () y ( )
100%
7
tr 或 t p
ts
%
反应了系统初始阶段的快慢程度， 评价系统的响应速度； 又称过渡过程时间，表示系统过渡过程持续 的时间，从总体上反映了系统的快速性。
反应了系统响应过程的平稳性， 评价系统的阻尼程度。 反应了系统复现和跟踪输入信号的精度。 越小，系统准确性越高。
15
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加 热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温 的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加 热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度 计的温态指示误差是多少？
解：1）一阶系统，对于阶跃输入， 当y(t)=0.982时，ts＝4T 测温输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。
4
h(t)
时间响应的性能指标
σ
超调量
允 许 误 差± Δ
1 h( ) ) 0.9 h( ) 0 .5 h(
td
0.02 或 0.05