第三章时域分析法下

c(t ) t T Te
1 t T
(t0)
性质： 1）经过足够长的时间(≥4T)，输出增长速率近似与输入相同； 2）输出相对于输入滞后时间T； 3）稳态误差=T，故时间常数越小越好。
13
3.3.4.一阶系统的单位 脉冲响应
R( s ) 1
1 c(t ) e T
1 C (s) 1 1 Ts 1 s T
0< ξ<1
ξ =1 两个相等根
β
0
σ
ξ =0
s1, 2 n j n 1 2
ζ =0 称无阻尼状态，s1,2为一对共轭 纯虚根 ±jωn ； ζ <0 称负阻尼状态，系统将出现正 实部的特征根，系统发散
ξ >1 两个不等根
jωn
18
3.4.2 二阶系统时间响应的拉氏变换
2 n Y ( s) 2 X ( s) 2 s 2n s n ζ >1
t
%
y (t p ) y () y ( )
100%
7
tr 或 t p
ts
%
反应了系统初始阶段的快慢程度， 评价系统的响应速度； 又称过渡过程时间，表示系统过渡过程持续 的时间，从总体上反映了系统的快速性。
反应了系统响应过程的平稳性， 评价系统的阻尼程度。 反应了系统复现和跟踪输入信号的精度。 越小，系统准确性越高。
4
h(t)
时间响应的性能指标
σ
超调量
允 许 误 差± Δ
1 h( ) ) 0.9 h( ) 0 .5 h(
td
0.02 或 0.05
延迟时间td (Delay Time):响应曲线第一次达 到稳态值的一半所需的时间。
) 0.1 h(
0
tr
tp
t
ts
上升时间tr (Rising Time ):震荡系统：定义 为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。 单调变化系统：响应从稳态值的10%上升到 90%所需的时间。 tr 越短，响应速度越快 。
1 e
由y(t)的数学表达式可以看出：单位阶跃响应中的 第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单位阶跃 信号的幅值；第二项是暂态分量，当t→∞时，暂态分 量趋于零，衰减速度决定于时间常数T。
10
如下图，单位阶跃响应曲线：由零开始，按指数规律上升并 趋于1。即一阶系统对突变输入不能立即复现，而呈惯性。 响应具有非振荡特性，一阶系统也称惯性环节或非周期环节。 响应的初始速度： t ＝0点的切线斜率 1 t dy (t ) 1 T 1 e t 0 t 0 dt T T T大小反映了一阶系统惯 性的大小；时间常数T越 小，响应就越快。
2）t p (峰值时间 )
1 峰值时，响应速度为零，对上式求导，令导数等于零，得：
2
y(t ) 1
1
ent sin(d t )
nt
,t 0
n e
nt
sin( d t ) d e
1 2
cos( d t ) 0
tg
回顾
1

1.时间响应的概念
系统在输入信号的作用下，其输出随时间的变化过 程，即为系统的时间响应。 系统的阶跃响应: 1)强烈振荡过程 2)振荡过程 3)单调过程 4)微振荡过程
2
时间响应
Time Response
以阶跃 输入为 例：
动（瞬）态响应(transient response)； 稳态响应(steady-state response). 稳态响应:当时 间 t 趋于无穷 大时，系统输 出的稳定状态。 t
n 2
( S n jn 1 )( S n jn 1 )
2 2
X (S )
ζ =0
无阻尼情况
n 2 Y (S ) 2 X (S ) 2 S n
ζ <0
负阻尼情况
19
3.4.3. 二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应（0 < ζ < 1）
s1, 2 n j n 1 2
17
s1,2 n n 2 1
ζ >1 称过阻尼状态，s1,2为两个不 等的负实根； ζ =1 称临界阻尼状态，s1,2为一对 相等的负实根 –ωn ; 0 < ζ < 1 称欠阻尼状态，s1,2为一对实 部为负的共轭复根，即
左 半 平 面 ξ >0
ξ=0 jω jωn
右 半 平 面 ξ <0
5
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 峰值时间t p(Peak Time):响应曲线达到 第一个峰值所需要的时间。
tr
tp
ts
调节时间 ts(Settling Time): 响应与稳态值的偏差达到并永远保持在一个 允许误差范围内，所需的最短时间。（通常 取稳态值的正负5%或 2%）。
y(t ) 1
Where,
1 1
2
e
nt
sin(d t )
t>=0
P41：3-12
d 1 2 n
cos1
二阶系统欠阻尼时单位阶跃响应曲线是衰减振荡型的，其有阻 尼振荡频率为ωd ，β为特征根矢量与负实轴的夹角。 稳态分量值等于1（故ess=0），暂态分量是一个随时间增长而 衰减的振荡过程，其衰减的快慢取决于指数ξωn（衰减系数或阻 尼常数）。
ess
8
3.3 一阶系统的动态分析
Performance of a First-Order System
3.3.1. 数学模型
G( s) X 0 ( s) 1 X i ( s) Ts 1
（用一阶微分方程描述的系统） Xi(s) 1/Ts X0(s)
G( s)
X 0 ( s) 1 / Ts 1 X i ( s) 1 1 / Ts Ts 1
1 1 0 (3) 系统的稳态误差： ess 1 y()＝－＝
(4) 一阶系统，以初始速度不变时的直线和稳态值交点 处的时间为T。 (5) 若由实验测得响应曲线，符合以上特点，可确定为 一阶系统，并可确定时间常数T。
12
3.3.3.一阶系统的单位斜坡响应
1 s2 1 1 C ( s) 2 Ts 1 s 1 T T 2 s s s 1 T R( s)
20
二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应特性如图
性能指标
1）上升时间（Rise time ) tr :
y(tr ) 1
，求得
1
1
2
e
nt
sin(d tr ) 0

tr d
一定，即β 一定，
d tr
n t r ,响应速度越快
21
2 n G(s) s( s 2 n )
Y(s)
K n － 自然频率（或无阻尼振荡频率） Tm
2 Tm K 特征方程： The characteristic equation
2 s 2 2n s n 0

Fra Baidu bibliotek
1
－ 阻尼比（阻尼系数）
2 s 1 特征根： The characteristic roots 1, 2 n n
t=T y(t)=63.2% 实验法求 T
t=3T y(t)=95%允许误差 5% 调整时间ts=3T t=4T y(t)=98.2%允许误差 2% 调整时间ts=4T
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3.3.2. 性能指标
(1) 一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条按指数规律单 调上升的曲线，有惯性，不具有周期性，没有振荡， 也不存在超调问题。其性能指标由T来决定。 (2) 调节时间ts T 越小，调节时间ts 越 取误差范围5％时： ts＝3T 短，快速性越好。 取误差范围2％时： ts＝4T

d t p 0, ,2 ,
1 2 tg ( d t )
tp是响应的第一个峰值，应取
1 2 1 tp Td d 2 1 2 n 2 d
d t p
一定时，n t p
22
3）超调量（overshoot )σ％:
T：时间常数，具有时间量纲[秒] 。
9
3.3.2. 单位阶跃响应 y(t)
1 1 X 0 ( s) G( s) X i ( s) Ts 1 s 1 1 T 1 1 1 y (t ) L [ ] L [ ] Ts 1 s s Ts 1 1 t 1 1 1 T L [ ] s s 1 T
xo t xi t
动态响应：系统在某 一输入信号作用下， 系统的输出量从初始 状态到稳定状态的响 应过程 。
动态响应
稳态响应
3
究竟采用哪种典型信号？
取决于系统在正常工作情况下最常见的输入信 号形式。
斜坡信号 随时间逐渐变化的输入，等速变化，可 以测试系统对恒速作用的跟踪能力。 阶跃信号 突然的扰动量、突变的输入，测试系统 的转换能力，或者说瞬态性能 加速度信号 等加速变化信号，测试系统对恒加速作 用的跟踪能力 脉冲信号 冲击输入，时间短，强度大，在采样系 统和模型辩识方面广泛应用 正弦信号 随时间往复变化的输入，特点是周期性 和单一频率，是测定系统频率特性的指定 输入信号。
1 Y (s) G (s) s Y (s) 1 G( s) 2 s
(t )
1(t) t
(t 0)
t T
0 0 T
1 TS 1
1 e
t 0
t T
t T Te
t 0
等价关系： 系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数； 系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。
令 dy/dt = 0 求出 tP:
代入
tp
d n 1 2
y(t p ) 1
1 1
2
ent sin(d t )
,t 0
1
sin( ) sin 1 2
M pt y (t p ) 1 e /
1 t T
1 T
(t0)
曲线单调下降，只包含暂态分量。
如果把脉冲看作是一种扰动，那么扰动消失后系统又恢复到 原来状态，所以系统是稳定的，稳态值和稳态误差都是零。
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3.3.5一阶系统响应小结
闭环传 输入信 递函数 号时域
G ( s)
输出响应
1 T e T
t
ess
Y ( s) G( s)
s1,2 n n 2 1
n 2
2 2
过阻尼情况
Y (S )
ζ =1
临界阻尼情况
( S n n 1)( S n n 1)
X (S )
0<ζ<1
欠阻尼情况
n 2 Y (S ) X (S ) 2 ( S n )
Y (S )
% e
阻尼比ζ越小，超调量越大。

1 2
100%
可见:超调量仅是阻尼比ζ的函数，与ωn无关。
2）一价系统对于单位斜波信号的稳态误差是T， 故当水温以10度/分作等速变换，稳态指示误差为 10T=2.5度。
16
3.4 二阶系统的动态分析
Performance of a Second-Order System
3.4.1. 数学模型
( s )
2 n
X(s) -
Y ( s) G( s) 2 2 X (s) 1 G(s) s 2 n s n
6
t
时间响应的性能指标
h(t)
σ
1 h( ) ) 0.9 h(
) 0.5 h( ) 0.1 h( 0
超调量 允 许 误 差± Δ
td
0.02 或 0.05 ⑥ 稳态误差e ss ：t趋于无穷大时，系统响 应的期望值与实际值之差。
tr
tp
ts
超调量(Maximum Overshoot)：指响应 的最大值h ( tp )超过稳态值的百分比，即
15
例：水银温度计近似可以认为一阶惯性环节，用其测量加 热器内的水温，当插入水中一分钟时才指示出该水温 的98%的数值（设插入前温度计指示0度）。如果给加 热器加热，使水温以10度/分的速度均匀上升，问温度 计的温态指示误差是多少？
解：1）一阶系统，对于阶跃输入， 当y(t)=0.982时，ts＝4T 测温输出响应达98%，费时4T=1分，则T=0.25分。