第3章 线性系统的时域分析法(1)
线性系统的时域 分析法
证明：对负反馈控制，根据特征方程1+G(s)H(s)=0
m
Kr (s zi )
G(s)H (s)
i 1 n
1
(s pj)
j 1
n
m
(s p j ) Kr (s zi ) 0
4.1.1 根轨迹的定义
所谓根轨迹就是当开环系统的某个参数从0→+∞变化时，闭环系
统特征根（闭环极点）在s复平面上移动所形成的轨迹。
例4-1 控制系统结构如图所示，其开环传递函数为
试绘出当Kr 从0→+∞变化时的根轨迹。
G(s)H (s)
Kr
(s 1)(s 2)
R(s)
-
Kr
C(s)
(s 1)(s 2)
▪ 1948年，伊万斯（Evans）根据反馈控制系统中开、闭环传递 函数之间的关系，首先提出了一种根据开环传递函数的零、极 点分布，用图解方法来确定闭环传递函数极点随参数变化的运 动轨迹，这种方法被称为根轨迹法。
▪ 轨迹法是一种图解的方法，具有直观、形象的特点，且可以避 免繁琐的计算，故在控制工程领域中获得了广泛地应用。
jω
Kr=4.25
2
Kr=0.25 Kr=0
-2
Kr=1.25 Kr=0 -1
Kr=1.25
1
0
σ
-1
Kr=4.25
-2
4.1.2 根轨迹与系统性能
1. 稳定性
当Kr 从0→+∞变化时，显然，由上图可知，闭环系统的根轨迹均在s平 面的左半平面，故系统对所有大于0的Kr 值都是稳定的。如果系统根 轨迹越过了虚轴而进入右半s平面，则在相应Kr 值下系统是不稳定的， 其中根轨迹与虚轴交点处的Kr 值，一般称为临界根增益。
自动控制原理(3-1)
动态性能指标定义1
hh((tt))
AA
超超调调量量σσ%% ==
AA BB
110000%%
峰峰值值时时间间ttpp BB
上上 升升 时时间间ttrr
调调节节时时间间ttss
tt
动态性能指标定义2 h(t)
调节时间 ts
上升时间tr
t
动态性能指标定义3
h(t)
A
σ%=
A B
100%
B tr tp
一阶系统对典型输入的输出响应
输入信号
输出响应
1(t) 1－e－t/T t≥0
δ(t)
1 et T t 0
T
t
t－T(1－e－t/T) t≥0
1 t2
1 t 2 Tt T 2 (1 et T ) t 0
2
2
由表可见，单位脉冲 响应与单位阶跃响应 的一阶导数、单位斜 坡响应的二阶导数、 单位加速度响应的三 阶导数相等。
自动控制原理
朱亚萍 zhuyp@ 杭州电子科技大学自动化学院
第三章 线性系统的时域分析法
3.1 系统时间响应的性能指标 3.2 一阶系统的暂态响应 3.3 二阶系统的暂态响应 3.4 高阶系统的暂态响应 3.5 线性系统的稳定性分析 3.6 控制系统的稳态误差 3.7 利用MATLAB对控制系统进行时域分析
超调量σ%：指响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)的差与终值h(∞)比的百分数，即
% h(tp ) h() 100%
h()
在实际应用中，常用的动态性能指标多为上升 时间tr、调整时间ts和超调量σ％。 用上升时间tr或峰值时间tp评价系统的响应速度； 用超调量σ％评价系统的阻尼程度；
信号与线性系统第3章
由于激励加入系统前，系统未储能，所以有y(j)(0-)=0。
但是由于在t=0时刻激励的加入，可能使得yf(j)(0+)不为 零。 因此需要根据激励来确定yf(j)(0+)，从而确定零状态响应中 齐次解系数的值。
用δ(t)函数匹配法求0+初始值
若激励f(t)在t=0时刻接入系统，则确定待定系数Ci时用 t=0+ 时刻的值，y(j)(0+)(j=0,1,2,……n-1).
激励为0，因此令方程右端为0：
y(n) (t) + an−1y(n−1) (t) +L+ a1y′(t) + a0 y(t) = 0
可知，零输入响应与经典解法中的齐次解形式相 同。 由于对yx(t)而言，t ≥0时，f(t)=0
所以： { yx(k)(0+) }= { yx(k)(0-) } 因此：零输入响应的系数Ci（i=1,2,…,n)可以由系统的起
y(t) = yx (t) + yf (t)
其中： yx (t) = T[x1(0− ), x2 (0− ),L xn (0− ),0] = T[{x(0− )},0] yf (t) = T[0, f1(t), f2 (t),L, fn (t)] = T[0,{ f (t)}]
求解零输入响应yx(t)
¾ 在每次平衡低阶冲激函数项时，若方程左端所有同阶次δ(t) 函数项不能和右端平衡，则应返回到y(t)的最高阶次项进行补 偿，但已平衡好的高阶次δ(t)函数项系数不变。
系统全响应 y(t) = yx (t) + yf (t)
yf’(0+) = 2+ yf’(0-) = 2 代入初始值求得： yf(t) = -7e-t+4e-2t+3, t>0
第3章 线性系统的时域分析与校正
第3章线性系统的时域分析与校正3.1 概述系统的数学模型建立后，便可对系统进行分析和校正。
分析和校正是自动控制原理课程的两大任务。
系统分析是由已知的系统模型确定系统的性能指标；校正是根据需要在系统中加入一些机构和装置并确定相应的参数，用以改善系统性能，使其满足所要求的性能指标。
系统分析的目的在于“认识”系统，系统校正的目的在于“改造”系统。
系统的分析校正方法一般有时域法、根轨迹法和频域法，本章介绍时域法。
3.1.1 时域法的作用和特点时域法是一种直接在时间域中对系统进行分析校正的方法，具有直观，准确的优点，它可以提供系统时间响应的全部信息，但在研究系统参数改变引起系统性能指标变化的趋势这一类问题，以及对系统进行校正设计时，时域法不是非常方便。
时域法是最基本的分析方法，该方法引出的概念、方法和结论是以后学习复域法、频域法等其他方法的基础。
3．1．2 时域法常用的典型输入信号要确定系统性能的优劣，就要在同样的输入条件激励下比较系统的行为。
为了在符合实际情况的基础上便于实现和分析计算，时域分析法中一般采用如表3-1中的典型输入信号。
3．1．3 系统的时域性能指标如第一章所述，对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。
工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。
稳定是控制系统正常运行的基本条件。
系统稳定，其响应过程才能收敛，研究系统的性能（包括动态性能和稳态性能）才有意义。
实际物理系统都存在惯性，输出量的改变是与系统所储有的能量有关的。
系统所储有的能量的改变需要有一个过程。
在外作用激励下系统从一种稳定状态转换到另一种稳定状态需要一定的时间。
一个稳定系统的典型阶跃响应如图3-1所示。
响应过程分为动态过程（也称为过渡过程）和稳态过程，系统的动态性能指标和稳态性能指标就是分别针对这两个阶段定义的。
表3-1 时域分析法中的典型输入信号名称)(tr时域关系时域图形)(sR复域关系例单位脉冲函数⎩⎨⎧≠=∞=)(tttδ⎰=1)(dttδdtd1s⨯撞击作用后坐力电脉冲单位阶跃函数⎩⎨⎧<≥=1)(1ttts1开关输入单位斜坡函数⎩⎨⎧<≤=)(ttttf21s等速跟踪信号单位加速度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≥=21)(2ttttf31s1 动态性能系统动态性能是以系统阶跃响应为基础来衡量的。
自动控制原理-第3章-时域分析法
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率，反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应，反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应，用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入，代入一阶系统的传递
函数中，求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的，其最大值为1，
达到最大值的时间为T，且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应，难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感，初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算，计算过程相对简单，易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统，时域分析法可能存在数值稳定性问题，例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统，时域分析法需要进行大量的数值积分计算， 计算量较大，效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点
胡寿松《自动控制原理》(第7版)笔记和课后习题(含考研真题)详解(第3~4章)【圣才出品】
第3章线性系统的时域分析法3.1复习笔记本章考点：二阶欠阻尼系统动态性能指标，系统稳定性分析（劳斯判据、赫尔维茨判据），稳态误差计算。
一、系统时间响应的性能指标1．典型输入信号控制系统中常用的一些基本输入信号如表3-1-1所示。
表3-1-1控制系统典型输入信号2．动态性能与稳态性能（1）动态性能指标t r——上升时间，h（t）从终值10%上升到终值90%所用的时间，有时也取t＝0第一次上升到终值的时间（对有振荡的系统）；t p——峰值时间，响应超过中值到达第一个峰值的时间；t s——调节时间，进入误差带且不超出误差带的最短时间；σ%——超调量，()()%100%()p c t c c σ-∞=⨯∞（2）稳态性能稳态误差e ss 是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量，是指t→∞时，输出量与期望输出的偏差。
二、一阶系统的时域分析1．一阶系统的数学模型一阶系统的传递函数为：()1()1C s R s Ts +＝2．一阶系统的时间响应一阶系统对典型输入信号的时间响应如表3-1-2所示。
表3-1-2一阶系统对典型输入信号的时间响应由表可知，线性定常系统的一个重要特性：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分，而积分常数由零输出初始条件确定。
三、二阶系统的时域分析1．二阶系统的数学模型二阶系统的传递函数的标准形式为：222()()()2n n n C s s R s s s ωζωωΦ++＝＝其中，ωn 称为自然频率；ζ称为阻尼比。
2．欠阻尼二阶系统（重点）（1）当0＜ζ＜1时，为欠阻尼二阶系统，此时有一对共轭复根：21,2j 1n n s ζωωζ=-±-（2）单位阶跃响应()()d 211e sin 01n t c t t t ζωωβζ-=-+≥-式中，21arctanζβζ-=，或者β＝arccosζ，21dn ωωζ=-各性能指标如下：t r ＝（π－β）/ωd2ππ1p d n t ωωζ==-2π1%e100%ζζσ--=⨯3.5(0.05)s nt ζω=∆=4.4(0.02)s nt ζω=∆=3．临界阻尼二阶系统（1）当ζ＝1时，为临界阻尼二阶系统，此时s 1＝s 2＝－ωn 。
自动控制原理-第3章
响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4＜ζ＜0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
第3章线性系统的时域分析习题答案
第3章线性系统的时域分析学习要点1控制系统时域响应的基本概念，典型输入信号及意义；2控制系统稳定性的概念、代数稳定判据及应用；3控制系统的时域指标，一阶二阶系统的阶跃响应特性与时域指标计算；4高阶系统时域分析中主导极点和主导极点法；5 控制系统稳态误差概念、计算方法与误差系数，减小稳态误差的方法。
思考与习题祥解题思考与总结下述问题。
（1）画出二阶系统特征根在复平面上分布的几种情况，归纳ξ值对二阶系统特征根的影响规律。
ω对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（2）总结ξ和n（3）总结增加一个零点对二阶系统阶跃响应特性的影响规律。
（4）分析增加一个极点可能对二阶系统阶跃响应特性有何影响（5）系统误差与哪些因素有关试归纳减小或消除系统稳态误差的措施与方法。
（6）为减小或消除系统扰动误差，可采取在系统开环传递函数中增加积分环节的措施。
请问，该积分环节应在系统结构图中如何配置，抗扰效果是否与扰动点相关答：（1）二阶系统特征根在复平面上分布情况如图所示。
图 二阶系统特征根在复平面上的分布当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，如图中情况①。
当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，变化轨迹是以n ω为半径的圆弧，如图中情况②。
当1ξ=，二阶系统特征根是一对相同的负实根，如图中情况③。
当1ξ>，二阶系统特征根是一对不等的负实根，如图中情况④。
（2）ξ和n ω是二阶系统的两个特征参量。
ξ是系统阻尼比，描述了系统的平稳性。
当0ξ=，二阶系统特征根是一对共轭纯虚根，二阶系统阶跃响应为等幅振荡特性，系统临界稳定。
当01ξ<<，二阶系统特征根是一对具有负实部的共轭复数根，二阶系统阶跃响应为衰减振荡特性，系统稳定。
ξ越小，二阶系统振荡性越强，平稳性越差；ξ越大，二阶系统振荡性越弱，平稳性越好。
因此，二阶系统的时域性能指标超调量由ξ值唯一确定，即001_100%2⨯=-πξξσe。
自控(第六版 胡寿松)第三章
3.1
时间响应性能指标
3.2
3.3
一阶系统的时域响应
二阶系统的时域响应
3.4
3.5
系统的稳定性分析
系统稳态性能分析
2
3.1
时间响应性能指标
工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系 统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输 入量是如何变化的（如随动系统）。
因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一 个进行比较的统一的基础，需要选择一些典型试验信号作 为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。
11
y(t) p
1 0.5 0
稳态误差
td tr t p
ts
t
峰值时间tp：响应超过其稳态值到达第一个峰值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在稳态值内所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与稳态值h(∞)之差的百 分比，即 h( t p ) h() % 100% h() 稳态性能：由稳态误差ess描述。
17
3.2.2 单位斜坡响应
设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t，其拉氏变换为 R( s ) 1 / s 2 则输出的拉氏变换为
C ( s) 1 1 1 T T 2 2 Ts 1 s s s s 1
t T
T
t T
r(t)=t
C ( t ) t T Te
R( s ) L[ r ( t )] A ( t )e st dt
0
A ( t )e dt A ( t )e st dt A
st 0 0
0
单位脉冲函数的拉氏变换为R(s)=1。
自动控制原理胡寿松 第3章
r(t)
c(t)
实际
1
2 1
理想的
1
调节过程
0
t
0
t
整个调节过程分为两个阶段: 动态过程 输出量激烈变化，用动态性能描述 稳态过程 输出量稳定在新的平衡状态，用稳态性能描述
c(t ) c()
0
动态过程
稳态过程
t
三、动态性能指标 注意tr的另一种定义。
• 描述稳定的系统在单位阶跃函数作用下，动态过程 随时间的变化状况的指标。
2、斜坡函数Ramp
At t 0
r(t)
0
t0
当A=1时,称为单位斜坡函数,其拉氏 变换为：
R(s)
L(t)
1 s2
如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡 时间函数是比较合适的，它等于单位阶跃函数对时间的积分。
3、抛物线函数
r(t)
1 2
At2
t0
0 t 0
当A=1时，称为单位抛物线函数， 其拉氏变换为：
R(s)＝1 c(s) (s) 1 Ts 1
c(t ) 1 T
0.368 1 T
0
g (t )
c(t)
L1[(s)]
1
t
eT
(t
0)
T
1 斜率T 2
c(t)
1
t
eT
T
T 2T 3T
t
T越小， 惯性越小， 响应越快
单位脉冲响应
• 在零初始条件下，当系统的输入信号是单位冲激函数（t）时， 系统的输出信号称为系统的单位脉冲响应（单位冲激响应）。
输出起点 的斜率为
1/T
T : 惯性时间常数
令期望输出等于输入 量，则误差为：
自动控制原理(第3章new)讲解
h(t) 11.25e3t sin(4t 53.1o )
% 9.48%
t p 0.785(s) ts 1.167(s)
四.二阶系统性能的改善
1. 比例—微分控制（PD）
R(s) E(s)
1
+
-
+
Td s
2 n
C(s)
s(s 2n )
h(t) 1
ent
1 2
sin(n
1 2t ),
其中： arctg(
1 2
)
或
1 0, t 0
h(t) 1
e( 2 1)nt
e( 2 1)nt
, 1, t 0
2 2 1( 2 1) 2 2 1( 2 1)
te
nt
当t=0时，响应过程的变化率为零；当t>0时，响
应过程的变化率为正，响应过程单调上升；当 t
时，响应过程的变化率趋于零，响应过程趋于常值1。
单位阶跃响应是非周期地趋于稳态输出，此时，系统处于 临界阻尼情况。
5.当 1时，则特征方程 有两个不相等的负实根 ， 对应于s平面上的两个不 相等的实极点。
Td ——微分器时间常数
系统的开环传递函数为：
G(s)
2 n
(1
Td
s)
K (1 Td s)
s(s 2n ) s( s 1)
2n
其中： K n 2
——开环增益
令 z 1
Td
G(s) K(s z) zs( s 1)
自控原理(3)
§3.线性系统时域分析
3）欠阻尼即0＜ζ＜1时二阶系统的单位阶跃响应动态性能分析
设r(t)=1，即 R(s) 1 s
则二阶系统在时的单位阶跃响应式为：
C(s)
C(s()s) R(s)
R(sn2)2s2n2n s2n2nn2
s
1 s
n2
1 s
(sC(s1s)sn)2s22(ss)n22n(1R2(nss) 2n)
j
s1
，s2
为一对不等的负实数根。
j
s1、s2
0
0
t
② ζ = 1时，（临界阻尼） s1 ，s2 为一对相等的负实数根。
③ 0＜ ζ ＜1时，（欠阻尼） s1 ，s2 为一对具有负实部的共轭复根。
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
④ 当ζ =0时，（无阻尼，零阻尼） s1 ，s2 为一对幅值相等的虚根。
即
e tr
1
2
sin
d
tr
0
由于
e tr
1
2
0，
故只有
故只有 sin dtr 0
所以 t
r
d
1 2 n
sin t d
峰值时间 tp ：指响应从0到达第一次峰值（最大值）时 所 需要的时 间； 由求c (t)极值的方法，即由 c’(t)=0 求得：
t
p
d
1 2 n
Automatic Control Theory
§3.线性系统时域分析
一般式拉氏变换 (S)
1
T s2 2 2Ts 1
二阶系统标准式
2
(s)
n
s2 2 s 2
自动控制原理-03-01
td
稳态误差(t→∞)
tr tp
t ts
6
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标 延迟时间td：响应曲线第一次达到其 终值一半所需时间。 上升时间tr：响应从终值10%上升到 终值90%所需时间； 对有振荡系统亦可定义为响应从零 第一次上升到终值所需时间。上升时间 是响应速度的度量。
3-2 一阶系统的时域分析
小结
一阶系统的典型响应与时间常数T密 切相关。只要时间常数T小，单位阶跃响 应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后 时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函 数。 线性系统对输入信号导数的响应，等 于系统对输入信号响应的导数。
17
例： 某一阶系统如图,（1） Kh=0.1, 求调节时间ts, （2）若要求ts=0.1s,求反馈系数 Kh . R(s) E(s) (- )
ur (t )
C
uc (t )
结构图 ：
R(s)
E(s) (- )
1/Ts
C(s)
10
3-2 一阶系统的时域分析
2. 一阶系统的单位阶跃响应
设一阶系统的输入信号为单位阶跃函数 r(t)=1(t) ，可得一阶系统的单位阶跃响应为
h(t ) 1 e
S平面 j
1 t T
(t 0)
P=-1/T
7
第三章 线性系统的时域分析法
3-1 系统时间响应的性能指标
峰值时间tp：响应超过其终值到达第一个峰 值所需时间。 调节时间ts：响应到达并保持在终值 ±5% 内 所需时间。 超调量%：响应的最大偏离量h(tp)与终值 h(∞)之差的百分比，即
%
h( t p ) h() h()
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
K Ts 1
r(t)
c(t)
能跟踪 无稳态误差
K/T
C (t )
T 2T 3T 4T 5T t
(t )
1(t )
1 0
r(t) 1 0 t
K t / T e T
微分
t
微分
能跟踪 无稳态误差
c(t) K
C (t ) K (1 e t /T )
第三章 线性系统的时域分析法
建模 分析系统性能
时域分析法 （第三章）
根轨迹法 （第四章）
频域分析法 （第五章）
校正
时域分析法 一种直接在时间域中对系统进行分析的方法
典型输入信号
稳定性
Ф(s) c(t) 稳态性能 动态性能
r(t)
3-1 系统时间响应的性能指标
1 L[1(t )] s
L[1(t t0 )]
1
1 t t0 0 1(t t0 ) 0 t t0 0
2.单位斜坡函数
e
st0 0
t
s
t t 0 t 1(t ) 0 t 0 1 L[t 1(t )] 2 s
t 1(t )
0
t
4．动态性能
无振荡、非周期性
C (t ) 1 e t / T
t = T, c(T) = 0.632c(∞) t = 2T, c(2T) = 0.865c(∞) t = 3T, c(3T) = 0.95c(∞)
t = 4T, c(4T) = 0.982c(∞)
t = 5T, c(5T) = 0.993c(∞)
r(t) 1 0 t
2 wn (s) 2 2 s wn
C(t) t 平衡位置
衰减（稳定）
发散
等幅振荡
2．动态性能指标(Transient Performance Index) 系统稳定，动态性能才有意义 一般初始状态为零，在单位阶跃信号作用下，
动态过程随时间t的变化状况的指标
h(t )
tp
tr
h(t )
h( ) 0.5h()
h( ) 0.9h()
一.一阶系统的数学模型
1．定义
以一阶微分方程作为运动方程的控制系统
2．微分方程
T dc(t ) c(t ) Kr(t ) dt
3．传递函数
G( s) C ( s) K R( s) Ts 1
T K
系统时间常数，表征一阶系统的瞬态性能 系统稳态增益，表征一阶系统的稳态性能
1(t ) (t ) r (t ) t 1 2 t 2
1．输出
1 1 C ( s ) G ( s ) R( s ) Ts 1 s 3 1 2 C (t ) t Tt T 2 (1 e t / T ) 2 1 t , c() t 2 Tt T 2 2
2．稳态性能
3．稳态性能指标 跟踪误差 稳态误差
e(t ) r (t ) c(t ) Tt T 2 (1 e t / T )
t s 3T 0.3
(2) 假设反馈系数为K
( s )
C ( s) 100 / s 100 R( s) 1 100 / s K s 100 K
3 0.1 K 0.3 100 K
t s 3T
1/ K 1 s 1 100 K
已知某元部件的传递函数为：
T
2T
3T
4T
5T
t
T↓，系统快速性越好
T、K是系统本身的特性，与输入信号无关
四.一阶系统的单位斜坡响应
1 1 1 T T2 1．输出 C ( s) G( s) R( s) 2 2 Ts 1 s s Ts 1 s
C (t ) t T Te t / T c(t )
c(t)
1/T
1 86.5% 63.2%
T
98.2%
dc(t ) 1 dt t 0 T
95%
t 0
T 2T 3T 4T
时间常数T的物理意义: 一阶系统的阶跃响应如果按照其初始速度匀速 上升,经过T秒可达到响应的稳态值; 当时间 t T 时, 一阶系统的阶跃响应值为稳态 值 h() 的63.2%; 经过一阶系统阶跃响应曲线上任一点作切线， 与直线 h() 相交，切点与交点之间的时间间隔为T 。
5．动态性能指标 延迟时间td 上升时间tr 峰值时间 tp 超调量σ％
c(td ) 0.5c()
C (t ) 1 e t / T
td＝0.69T tr＝2.20T 无 无
c(t)
调节时间ts ts＝3T （5％误差带） 4T（2％误差带）
1 - etd / T 0.5
c(t1 ) 0.1c() t1 0.1T c(t2 ) 0.9c() t2 2.3T
例子
室温调节系统
扰动
单位斜坡信号
单位加速度信号
1/ s2
调速控制系统
宇宙飞船控制系统 海浪抑制
1/ s 3
Aw s 2 w2
正弦信号
典型输入信号
R(s)
C(s) Ф(s) r(t) c(t)
输出响应（时间域） = 稳态过程 ＋ 动态过程 Steady-state Transient response response 二. 稳态过程与稳态性能指标
通过反馈的使用能够明显的改变系统的动态特性 但可能会产生稳态误差
r (t ) (t )
1 Ts 1
c(t ) ?
三.一阶系统的单位脉冲响应
1．输出 C (s) G(s) R(s) 1
C (t ) 1 t / T e T
Ts 1
2．稳态性能 3．稳态性能指标 4．动态性能
线性定常系统零初始条件下的阶跃响应为
1 e t - e 2t
求脉冲响应为多少？
(t ) 2e 2t e t k (t ) c
3-3 二阶系统的时域分析
一.二阶系统的数学模型
1．定义 2．微分方程
d 2 c(t ) dc(t ) 2 2 2wn wn c(t ) Kwn r (t ) dt dt 2
R(s) +
100/s 0.1
C(s)
(1) 试求系统单位阶跃响应的调节时间 (2) 若要求ts=0.1 秒，试问系统的反馈系数应调整为何值？ 解: (1) ( s )
10 C (s) 100 / s 100 R( s) 1 100 / s 0.1 s 10 0.1s 1
A sin t A sin t 1(t ) 0
t0 t0
A sin t 1(t )
A
0
A
2
t
L[ A sin wt 1(t )]
Aw s 2 w2
总结
名称
单位阶跃信号
单位脉冲信号
时域
1(t)
δ(t) t 1 2 t 2
A sin(wt)
复域
1/ s
1
一. 典型输入信号 1、定义
根据系统常遇到的输入信号形式，在数学描述上 加以理想化的一些基本输入函数
2、原则
反映系统工作的实际情况 形式尽可能简单，以便于数学描述和分析处理
实验室易于实现
常用的典型输入信号有以下几种：
1.单位阶跃函数
1(t )
1 t 0 1(t ) 0 t 0
t
微分
c(t)
r(t)
微分
能跟踪 有稳态误差
T
t
1 2 t 2
1 0 t
C (t ) K (t T Te t /T )
t
微分
微分
无法跟踪
r(t) 1 0 t
1 2 C (t ) K [ t Tt T 2 (1 e t / T )] 2
注意
线性定常系统 零初始条件
tp
1.05 h() 0.95 h()
h(t )
h( )
h( )
1.05 h() 0.95 h()
ts
ts
t
ts
t
调节时间(settling time) 响应到达并保持在终值±5％内所需最短时间 ±2％
σ% 最大超调量(percent overshoot) %
h(t p ) h() h ( )
100 %
h(t )
tp
tr
h(t )
h( ) 0.5h()
h( ) 0.9h()
0.5h()
td
td
0.1h()
ts
t d , t r, t p σ% ts
t
tr
ts
t
评价系统初始阶段响应的快速性
反映系统过渡过程的平稳性
同时反映系统响应快速性和平稳性的综合性指标
3-2 一阶系统的时域分析
0.5h()
td
td
0.1h()
t
td 延迟时间
tr 上升时间(rise time) tp
tr
t
响应时间第一次达到其终值一半所需的时间 响应从终值10％上升到终值90％所需的时间（无超调） 0％ 100％ （有超调）
峰值时间(peak time) 响应超过其终值到达第一次峰值所需时间
h(t )
1 Ts 1
c(t ) ?
分析系统性能
二.一阶系统的单位阶跃响应
1. 输出
C (s) G(s) R(s)
1 1 1 T Ts 1 s s Ts 1
C (t ) 1 e t / T