第三章时域分析法

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自控第三章 时域分析法

自控第三章 时域分析法
wdtp = nЛ
欠阻尼二阶系统的性能指标
第一次峰值 : n=1 所以: tp=Л / wd 峰值时间定性分析 wn↗→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘ ζ ↘→wd= wn(1-ζ 2)1/2 ↗→tp ↘
峰值时间越小, 快速性越好.
欠阻尼二阶系统的性能指标
3. 超调量σ % h(tp)- h(∞) σ % = ————————— *100% h(∞) 由h(t)求出h(tp)和h(∞), 代入定义式即得.
三、一阶系统的单位脉冲响应
K(S)= G(S)R(S) = 1 /(TS+1) k(t)= L
-1
[ K(S)]
= e-t/T/T
T越小 → 响应的持续时间越短 → 快速性越好。
四、三种响应之间的关系
δ (t) = d/dt [u(t)] = d2/dt2 [r(t)] k(t) = d/dt [h(t)] = d2/dt2 [Ct(t)]
欠阻尼二阶系统的性能指标
h(tp)=1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1-(1-ζ 2)-1/2e–ζ =1+(1-ζ =1+(1-ζ =1+ h(∞) = 1 σ% = e
2 1/2
Wntp Wntp
sin(wdtp+θ ) sin(Л +θ )
2
)-1/2e–ζ Wntp sinθ 2 )-1/2e–ζ Wntp w (1-ζ 2)1/2/w n n
eSS= 1 - h(∞)= 0
一阶系统在单位阶跃输入下的稳态误差为0。
二、一阶系统的单位斜坡响应
Ct(S)= G(S)R(S)
= 1/[(TS+1)S2] Ct(t)= L-1[Ct(S)] = t - T + e-t/T 稳态误差 : eSS= T 一阶系统在单位斜坡输入下的稳态误差为T。它只能通过 减小时间常数T来减小,而不能最终消除。

时域分析法

时域分析法

§ 3.2 一阶系统的时间响应
一、一阶系统的数学模型 数学模型
其中时间常数T=1 / K
二、一阶系统的单位阶跃响应
对于单位阶跃输入
xi
(t )
1(t ),
Xi
(s)
1 s
故系统单位阶跃响应象函数为
1
1 s
s
T
1
A s
s
B 1
1 s
s
1
1
T
T
T
取拉氏反变换得系统单位阶跃响应为
1t
xo (t) 1 e T
,为闭环极点的实部; ,为闭环极点的虚部;
欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应的象函数为

将上式进行拉氏反变换,单位阶跃响应为
(3.33)
x0 (t) 1
e n t
1 2
(n
1 2 n
cosdt sin dt)
1
ent
1 2
(sin
c osd t
cos
sin d t )
1
e nt
1
2
sin(

Xo
s
Xo Xi
s s
X
i
s
1 1 Ts 1
1
T
s
1 T
进行拉氏反变换
x0
(t
)
1 T
t
eT
四、响应之间的关系 对线性定常系统,输入之间存在微积分关系,其响
应间也存在相应微积分关系。
作用:在测试系统时,可由一种信号推断几种信号的相应响应。
§ 3.3 二阶系统的时间响应
一、典型二阶系统的数学模型
决定。
在稳态下,输出 x0 (t) 和输入 xi (t) 之间不存在误差,即系统

第三章_时域分析方法

第三章_时域分析方法

第3章时域分析法基本要求3-1 时域分析基础3-2 一、二阶系统分析与计算3-3 系统稳定性分析3-4 稳态误差分析计算返回主目录基本要求1熟练掌握一、二阶系统的数学模型和阶跃响应的特点。

熟练计算性能指标和结构参数,特别是一阶系统和典型欠阻尼二阶系统动态性能的计算方法。

2了解一阶系统的脉冲响应和斜坡响应的特点。

3正确理解系统稳定性的概念,能熟练运用稳定性判据判定系统的稳定性并进行有关的参数计算、分析。

4正确理解稳态误差的概念,明确终值定理的应用条件。

5熟练掌握计算稳态误差的方法。

6掌握系统的型次和静态误差系数的概念。

控制系统的数学模型是分析、研究和设计控制系统的基础,经典控制论中三种分析(时域,根轨迹,频域)、研究和设计控制系统的方法,都是建立在这个基础上的。

3-1 时域分析基础一、时域分析法的特点它根据系统微分方程,通过拉氏变换,直接求出系统的时间响应。

依据响应的表达式及时间响应曲线来分析系统控制性能,并找出系统结构、参数与这些性能之间的关系。

这是一种直接方法,而且比较准确,可以提供系统时间响应的全部信息。

二、典型初始状态,典型外作用1. 典型初始状态通常规定控制系统的初始状态为零状态。

即在外作用加于系统之前,被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为零,系统处于相对平衡状态。

2. 典型外作用①单位阶跃函数1(t)tf(t)⎩⎨⎧<≥==0t 00t 1)t (1)t (f 其拉氏变换为:s 1dt e 1)s (F )]t (f [L 0st===⎰∞-其数学表达式为:t②单位斜坡函数0t 0t 0t)t (1t )t (f <≥⎩⎨⎧=.=其拉氏变换为:2sts 1dt e t )s (F )]t (f [L ===⎰∞-f(t)其数学表达式为:③单位脉冲函数000)()(=≠⎩⎨⎧∞==t t t t f d 其数学表达式为:其拉氏变换为:1)()]([==s F t f L ⎰+∞∞-=1)(dt t d 定义:图中1代表了脉冲强度。

瞬态响应及误差分析(时域分析法)

瞬态响应及误差分析(时域分析法)

10K O 10K O K OG ( S ) 10K O 1 10K H ( s) 0.2s 1 0.2 1 K H G ( s) 1 10K H 0.2s 1 10K H s 1 0.2s 1 1 10K H 10K O 1 10K K * 10 K O 10 0.2 H T * 0.02 K H 0.9 1 10K H
12
3. 选取试验输入信号的原则:



选取的输入信号应反映系统工作的大部分实际情况; 形式简单,便于用数学式表达及分析处理,实际中可 以实现或近似实现; 应选取那些能够使系统工作在最不利的情形下的输入 信号作为典型试验信号;
•如控制系统的输入量是突变的,采用阶跃信号。如室温 调节系统 。 •如控制系统的输入量是随时间等速变化,采用斜坡信号 作为实验信号 •如控制系统的输入量是随时间等加速变化,采用抛物线 信号; 宇宙飞船控制系统 •如控制系统为冲击输入量,则采用脉冲信号
特征点: 1 A点 : xo (T ) 0.368 xo (0) ) 2)零时刻点: xo (t )

1 T
2e

t T t 0
1 2 ; x o ( 0) T T
24
1
一阶系统单位脉冲响应的特点: 1. 瞬态响应:(1/T )e –t/T;稳态响应0; 2. 瞬态响应的特性反映系统本身的特性,时间常数大的 系统,其响应速度慢于时间常数小的系统。 3. 输入试验信号仅是为了识别系统特性,系统特性只取 决于组成系统的参数,不取决于外作用的形式。 4. xo(0)=1/T,随时间的推移,xo(t)指数衰减。 5.
量从初始状态到稳定状态的响应过程。
稳态响应:当某一输入信号的作用下,系统的响应

线性系统的时域分析法

线性系统的时域分析法

三、动态性Leabharlann 和稳态性能动态性能:通常在阶跃函数作用下,测定或计算系统的动
态性能。一般认为阶跃输入对系统来说是最严峻的工作状态。
描述稳定的系统在阶跃函数作用下,动态过程随时间的
变化状况的指标称为动态性能指标。通常包括:
延迟时间 td :指响应曲线第一次到达稳态值一半所需的时间。
上升时间 tr :指响应第一次 h(t) % 误差带
洛比特法则
lim lim
(s pi )N (s)
(s pi )N (s) N (s) N ( pi )
s pi
D(s)
s pi
D(s)
D( pi )
f (t) L1
F (s)
L1
n i1
Ai s pi
n i 1
Aie pi t
② 具有多重极点的有理函数的反变换
F (s)
误差平方积分(ISE,Integral of Square Error)
ISE e2 (t)dt 0
( e(t)是输入输出之间存在的误差)
时间乘误差平方积分(ITSE,Integral of Timed Square Error)
ITSE te2 (t)dt 0
误差绝对值积分(IAE,Integral of Absoluted Error)
(s a
j)F (s) sa j
N (s) D(s)
sa j
k1
e j
思考:为何 k1,k2 必为共轭复数?
f
(t)
L1 F (s)
L1
s
A1 p1
k1 sa
j
k2 sa
j
A1e p1t
k1e(a j)t

自动控制原理-第3章-时域分析法

自动控制原理-第3章-时域分析法
系统响应达到峰值所需要的时间。
调节时间
系统响应从峰值回到稳态值所需的时间。
振荡频率
系统阻尼振荡的频率,反映系统的动态性能。
系统的阶跃响应与脉冲响应
阶跃响应
系统对阶跃输入信号的响应,反映系 统的动态性能和稳态性能。
脉冲响应
系统对脉冲输入信号的响应,用于衡 量系统的冲激响应能力和动态性能。
03
一阶系统时域分析
01
单位阶跃响应是指系统在单位阶跃函数作为输入时的
输出响应。
计算方法
02 通过将单位阶跃函数作为输入,代入一阶系统的传递
函数中,求出系统的输出。
特点
03
一阶系统的单位阶跃响应是等值振荡的,其最大值为1,
达到最大值的时间为T,且在时间T后逐渐趋于0。
一阶系统的单位脉冲响应
定义
单位脉冲响应是指系统在单 位脉冲函数作为输入时的输
无法揭示系统结构特性
时域分析法主要关注系统的动态行为和响应,难以揭示系统的结构特 性和稳定性。
对初值条件敏感
时域分析法的结果对系统的初值条件较为敏感,初值条件的微小变化 可能导致计算结果的较大偏差。
感谢您的观看
THANKS
计算简便
时域分析法通常采用数值积分方法进 行计算,计算过程相对简单,易于实 现。
时域分析法的缺点
数值稳定性问题
对于某些系统,时域分析法可能存在数值稳定性问题,例如数值积分 方法的误差累积可能导致计算结果失真。
计算量大
对于高阶系统和复杂系统,时域分析法需要进行大量的数值积分计算, 计算量较大,效率较低。
自动控制原理-第3章-时域 分析法
目录
• 时域分析法概述 • 时域分析的基本概念 • 一阶系统时域分析 • 二阶系统时域分析 • 高阶系统时域分析 • 时域分析法的优缺点

语音信号处理课件__第03章时域分析

语音信号处理课件__第03章时域分析
SNRdB 6.02B 4.77 20log10 (
x
xmax
)
(3-11)
3.1 语音信号的短时处理方法 脉冲编码调制
若是xmax取为4倍方差(δx)
SNRdB 6.02B 7.27
取样之位数 8 16 24
(3-12)
数字信号的信噪比 41 dB 89 dB 137 dB
3.1 语音信号的短时处理方法 脉冲编码调制
一个数字信号取样之后,变成离散时间信号,接下来就是要用数字 方式来表示这个离散时间信号上的每个取样值。 一个电位波形会有固定的电压范围,一个取样值可以是在此电压范 围内的任何电位。如果只能用固定数目的位来表示这些取样值,那 么这些二进数字就只能代表固定的几个电位值,这个转换就是量化 (quantization),而转换之后只允许存在的几个电位值就是量化阶 数(quantization level)。 执行量化转换的硬件电路,就是量化器(quantizer)。以二进数字 表示的信号就是数字信号(digital signal),而这种将信号波形转 变成二进数字的方法,就叫脉冲编码调制(pulse code modulation, PCM)。
3.1 语音信号的短时处理方法
预处理 平滑滤波器:D/A后面的低通滤波器是平滑滤 波器,对重构的语音波形的高次谐波起平滑 作用,以去除高次谐波失真。 预加重:




现象:由于语音信号的平均功率谱受声门激励和口 鼻辐射的影响,高频端大约在800 Hz以上按6dB/ 倍频程跌落,为此要在预处理中进行预加重。 目的:提升高频部分,使信号的频谱变得平坦,以 便于进行频谱分析或声道参数分析。 位置:预加重可在A/D变换前的反混叠滤波之前进行, 这样不仅能够进行预加重,而且可以压缩信号的动 态范围,有效地提高信噪比。

自动控制原理-第3章

自动控制原理-第3章

响应曲线如图3-2所示。图中
为输出的稳态值。
第三章 线性系统的时域分析 法
图 3-2 动态性能指标
第三章 线性系统的时域分析 法
动态性能指标通常有以下几种:
延迟时间td: 指响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间
上升时间tr: 若阶跃响应不超过稳态值, 上升时间指响应曲线从 稳态值的10%上升到90%所需的时间; 对于有振荡的系统, 上升时 间定义为响应从零第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越 短, 响应速度越快。
可由下式确定: (3.8)
振荡次数N: 在0≤t≤ts内, 阶跃响应曲线穿越稳态值c(∞)次 一半称为振荡次数。
上述动态性能指标中, 常用的指标有tr、ts和σp。上升时间tr 价系统的响应速度; σp评价系统的运行平稳性或阻尼程度; ts是同
时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标。 应当指出, 除简单的一 、二阶系统外, 要精确给出这些指标的解析表达式是很困难的。
中可以看出, 随着阻尼比ζ的减小, 阶跃响应的振荡程度加剧。 ζ =0时是等幅振荡, ζ≥1时是无振荡的单调上升曲线, 其中临界阻尼 对应的过渡过程时间最短。 在欠阻尼的状态下, 当0.4<ζ<0.8时过
渡过程时间比临界阻尼时更短, 而且振荡也不严重。 因此在 控制工程中, 除了那些不允许产生超调和振荡的情况外, 通常都希
第三章 线性系统的时域分析法 4. 脉冲函数 脉冲函数(见图3-1(d))的时域表达式为
(3.4)
式中,h称为脉冲宽度, 脉冲的面积为1。若对脉冲的宽度取趋于 零的极限, 则有
(3.5) 及
(3.6)
称此函数为理想脉冲函数, 又称δ函数(见图3-1(e))。
第三章 线性系统的时域分析 法
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g (t ) = c(t ) = ω n sin ω nt (t ≥ 0)
3.临界阻尼( ζ = 1 )时的脉冲过渡函数为
2 g (t ) = c (t ) = ω n t e −ω n t
(t ≥ 0)
4.过阻尼( ζ > 1 )时的脉冲过渡函数
g (t ) = c(t ) =
ωn
2 ζ 2 −1
3-2 一阶系统的时域分析
控制系统的输出信号与输入信号之间的关系, 凡可以用一阶常微分方程表示的, 叫做一
第三章 时域分析法
阶系统。一阶系统的闭环传递函数为
φ ( s) =
式中 T ——系统时间常数。
C ( s) 1 = R( s ) Ts + 1
一、一阶系统的单位阶跃响应
c (t ) = 1 − e − t / T = css + ctt
- 49 -
控制工程基础(第二版)
间。调整时间的大小,直接表征了系统对输入信号响应的快速性。 5.振荡次数 N 在 0 ≤ t ≤ t s 时间内,响应曲线 c (t ) 穿越其稳态值 c (∞ ) 次数的一半,叫振荡次数。振荡 次数也直接说明了系统的阻尼特性。 下面,我们推导 tr , t p , σ %, t s , N 的计算公式,并分析它们与系统参数 ω n 和ζ 之间的关 系。 (1)上升时间 tr
s1,2 = −ζω n ± jωn 1 − ζ 2 是一对共轭复数极点;
s3 = − P 是一个负实数极点。
这三个极点的实部之比,即 β = P / ζω n 反映了它们距[ s ]平面上虚轴的远近程度。 控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的, 对于一个稳定的高阶系统, 如有 n 个闭环极点,则动态响应 c (t ) 中就有 n 项暂态分量。这 n 项暂态分量对动态响应 c (t ) 的影 响如何,主要看造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。 假若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于 5,且在距离虚轴最近的闭环极点附近不存在闭环零点。这时离虚轴最近的闭环极点将对系 统的动态特性起主导作用,称之为闭环主导极点,它常以一对共轭复数极点的形式出现。 应用闭环主导极点的概念, 常常可把高阶系统近似地看成具有一对共轭复数极点的二阶 系统来研究。 闭环零点只影响 c (t ) 中暂态分量的系数 ai' (i = 1, 2,3) ,即影响暂态分量衰减的初始值, −ζω t −ζω t 不影响暂态分量中的 e n cos ω d t值,e n sin ω d t值及e − Pt 值 (以三阶为例) 。 因此,可以得出如下结论:控制系统动态响应的类型取决于闭环极点,而过渡过程的具 体形状由闭环极点、闭环零点共同决定。 闭环零点的作用还表现在使过渡过程的峰值时间缩短,提高系统对控制信号的快速性, 且零点越靠近虚轴,上述作用便越大。但若零点离虚轴太近,将导致超调量 σ % 增大,使系
c(t ) = t −

ωn
+ e −ζωnt (

ωn
cos ω d t +
ωn 1 − ζ 2
sin ω d t )
=t−

ωn
+
e −ζω nt
ωn 1− ζ 2
sin(ω d t + tg −1
2ζ 1 − ζ 2 2ζ 2 − 1
)
(t ≥ 0)
2.临界阻尼( ζ =1)时的过渡过程
ζ
1−ζ 2
sin ω d t )
= 1−
e −ζωnt 1−ζ 2
sin(ω d t + ϕ ) (t ≥ 0)
式中 ϕ = tg
−1
1−ζ 2
ζ
从上式可以看出,对应 0 < ζ < 1 时的过渡过程 c (t ) 为一条衰减的正弦振荡曲线。其衰 减速度取决于 ζω n 值的大小,其衰减振荡的频率,便是有阻尼自然频率 ω d ,亦即衰减振荡 的周期为
2 s 2 + 2ζω n s + ω n =0
可以解得二阶系统的两个特征根(即闭环极点)为
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
随着阻尼比 ζ 取值的不同,二阶系统的特征根(闭环极点)也不相同。 1.欠阻尼( 0 < ζ < 1 ) 这时,两个特征根可以写成 s1,2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ .这是一对共轭复根。
φ ( s) =
令输入信号 r (t ) = 1(t ) ,则
2 ωn P C ( s) = 2 2 R( s ) ( s + P)( s + 2ζω n s + ω n )
c(t ) = 1 − a1e−ζωnt cos ω nt − a2 e−ζωnt sin ω nt − a3e− Pt
(t ≥ 0)
2
2.临界阻尼( ζ = 1 ) 这时, s1,2 = −ω n ,是两个相同的负实根。 3.过阻尼( ζ > 1 ) 这时 s1,2 = −ζω n ± ω n
ζ 2 − 1 ,是两个不同的负实根。
4.无阻尼——特殊情况( ζ = 0 ) 这时, s1,2 = ± jω n ,是一对共轭虚根。 下面分别研究在输入信号为单位阶跃函数、 速度函数及加速度函数时, 二阶系统的过渡 过程。
上面我们对一阶系统在不同的输入信号作用下的输出动态响应进行了分析, 现在比较一 阶系统对阶跃、斜坡、脉冲输入信号的响应,发现输入信号之间有如下关系。
d d2 r脉冲 (t ) = r阶跃 (t ) = 2 r斜坡 (t ) dt dt
当然,也一定有如下时间响应之间的关系与之对应:
c脉冲 (t ) =
式中 css = 1 为稳态分量; ctt = −e − t / T 为暂态分量。
二、一阶系统的单位斜坡响应 c(t ) = t − T + Te− t / T = (t − T ) + Te − t / T 三、一阶系统的单位脉冲响应
c(t ) = 1 −t / T e (t ≥ 0) T
(t ≥ 0)
- 48 -
第三章 时域分析法
c(t ) = t −
2
ωn

+
2
ωn
⋅ e −ωnt (1 +
ω nt
2
)
(t ≥ 0)
3.过阻尼( ζ > 1 )时的过渡过程
c(t ) = t − +
ωn

2ζ 2 − 1 − 2ζ ζ 2 − 1 2ω n ζ 2 − 1 e − (ζ −
ζ 2 −1)ωnt
调曲线。
三、二阶系统的单位脉冲响应
2 ωn 2 s 2 + 2ζω n s + ω n
C ( s) = φ (s) R(s) =
l.欠阻尼( 0 < ζ < 1 )时的脉冲过渡函数
g (t ) = c(t ) =
ωn
1−ζ
2
e −ζω nt sin(ω n 1 − ζ 2 )t
(t ≥ 0)
2.无阻尼( ζ = 0 )时的脉冲过渡函数
d d2 c阶跃 (t ) = 2 c斜坡 (t ) dt dt
这个对应关系说明, 系统对输入信号导数的响应, 就等于系统对该输入信号响应的导数。 或者,系统对输入信号积分的响应,就等于系统对该输入信号响应的积分。而积分常数由零 输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性,不仅适用于一阶线性定常系统,而 且也适用于任何阶线性定常系统,但不适用于线性时变系统和非线性系统。
二、过渡过程与稳态过程
任何一个控制系统的时间响应都是由过渡过程和稳态过程两部分组成。 过渡过程又称动 态过程, 它是指系统在某一输入信号作用下, 系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过 程;稳态过程是指时间 t 趋近于无穷大时,系统的输出状态。 我们通过对系统过渡过程的分析讨论, 就可以提供有关控制系统的稳定性、 超调量以及 响应快速性等信息, 而系统的稳态输出量若不完全等于希望输出量, 则认为系统存在稳态误 差,稳态误差是衡量系统控制准确度(稳态精度)的标志。
- 46 -
第三章 时域分析法
二、二阶系统的单位阶跃响应
2 ωn 1 ⋅ 2 2 s + 2ζω n s + ω n s
C ( s) = φ ( s) R( s) =
1.欠阻尼状态( 0 < ζ < 1 ) 已知这时二阶系统有一对共轭复根:
c(t ) = 1 − e −ζωnt (cos ω d t +
[ e − (ζ −
ζ 2 −1)ω n t
− e − (ζ +
ζ 2 −1)ω n t
] (t ≥ 0)
四、二阶系统的单位斜坡响应
C ( s) = φ ( s) R(s) =
1.欠阻尼(0< ζ <1)时的过渡过程
ω n2 1 ⋅ 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n s
2ζ 2 − 1
我们比较二阶和三阶系统的输出信号,可以看出; (1)两者的稳态分量是一样的,都等于 1,这是因为两个系统的输入信号相同。 (2)两者都有正弦(余弦)衰减项。这是因为三阶系统与二阶系统都有一对共轭复数 闭环极点; (3)三阶系统的输出响应比二阶系统的输出响应多一项指数衰减项( − a3e − Pt ) 。 可见,三阶系统与二阶系统不同,仅仅是因为它增加了一个闭环负数极点,即三阶系统 有三个闭环极点:
tr =
(2)峰值时间 t p
π −ϕ π −ϕ = ωd ωn 1 − ζ 2
tp =
(3)最大超调量
π π = ωd ωn 1 − ζ 2
σ%
σ % = e−ζπ /
1−ζ 2
×100%
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