第三章时域分析法

c(t ) = t −
2ζ
ωn
+ e −ζωnt (
2ζ
ωn
cos ω d t +
ωn 1 − ζ 2
sin ω d t )
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=t−
2ζ
ωn
+
e −ζω nt
ωn 1− ζ 2
sin(ω d t + tg −1
2ζ 1 − ζ 2 2ζ 2 − 1
)
(t ≥ 0)
2．临界阻尼（ ζ ＝1）时的过渡过程
3－2 一阶系统的时域分析
控制系统的输出信号与输入信号之间的关系， 凡可以用一阶常微分方程表示的， 叫做一
第三章 时域分析法
阶系统。一阶系统的闭环传递函数为
φ ( s) =
式中 T ——系统时间常数。
C ( s) 1 = R( s ) Ts + 1
一、一阶系统的单位阶跃响应
c (t ) = 1 − e − t / T = css + ctt
Td =
2．无阻尼状态（ ζ = 0 ）
2π
ωd
=
2π
ωn 1 − ζ 2
c(t ) = 1 − cos ω n t (t ≥ 0)
二阶系统的阶跃响应是等幅正弦振荡，振荡频率为 ω n 。 3．临界阻尼状态（ ζ = 1 ）
c (t ) = 1 − (ω n t + 1)e −ωnt
(t ≥ 0)
在单位阶跃函数作用下的过渡过程是一条单调上升的曲线。 二阶系统当阻尼比 ζ = 1 时， 4．过阻尼状态（ ζ > 1 ）
[ e − (ζ −
ζ 2 −1)ω n t
− e − (ζ +
ζ 2 −1)ω n t
] (t ≥ 0)
四、二阶系统的单位斜坡响应
C ( s) = φ ( s) R(s) =
1．欠阻尼（0＜ ζ ＜1）时的过渡过程
ω n2 1 ⋅ 2 2 2 s + 2ζω n s + ω n s
2ζ 2 − 1
2
2．临界阻尼（ ζ = 1 ） 这时， s1,2 = −ω n ，是两个相同的负实根。 3．过阻尼（ ζ > 1 ） 这时 s1,2 = −ζω n ± ω n
ζ 2 − 1 ，是两个不同的负实根。
4．无阻尼——特殊情况（ ζ = 0 ） 这时， s1,2 = ± jω n ，是一对共轭虚根。 下面分别研究在输入信号为单位阶跃函数、 速度函数及加速度函数时， 二阶系统的过渡 过程。
上面我们对一阶系统在不同的输入信号作用下的输出动态响应进行了分析， 现在比较一 阶系统对阶跃、斜坡、脉冲输入信号的响应，发现输入信号之间有如下关系。
d d2 r脉冲 (t ) = r阶跃 (t ) = 2 r斜坡 (t ) dt dt
当然，也一定有如下时间响应之间的关系与之对应：
c脉冲 (t ) =
ζ
1−ζ 2
sin ω d t )
= 1−
e −ζωnt 1−ζ 2
sin(ω d t + ϕ ) (t ≥ 0)
式中 ϕ = tg
−1
1−ζ 2
ζ
从上式可以看出，对应 0 < ζ < 1 时的过渡过程 c (t ) 为一条衰减的正弦振荡曲线。其衰 减速度取决于 ζω n 值的大小，其衰减振荡的频率，便是有阻尼自然频率 ω d ，亦即衰减振荡 的周期为
ts ≈
ζω n
N=
2 1−ζ 2
πζ
1.5 1 − ζ 2
当 Δ = 5% ，
N=
πζ
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第三章 时域分析法
3－4 高阶系统的时域分析
三阶以上的系统称为高阶系统，高阶系统的分析较复杂。 这里， 我们的目的是引出闭环主导极点这一概念， 以便使高阶系统在一定的条件下简化 为有一对闭环主导极点的二阶系统或一个主导极点的一阶系统进行分析研究。 三阶系统的闭环传递函数如下：
第三章 时域分析法
3－1 概述
所谓系统的时域响应分析，就是在时间域内，研究在各种形式的输入信号作用下，系统 输出响应的时间特征， 也就是对系统施加一定形式的输入信号， 然后研究系统的输出量随时 间的变化规律。
一、典型输入信号
由系统的数学模型可知， 为了求解控制系统的输出时间响应， 必须已知输人信号的解析 表达式。事实上，控制系统的输入信号是很难预先准确知道。在很多情况下，控制系统的输 入信号对于时间以随机方式变化。 为了对各种控制系统的性能进行比较， 我们必须事先假定 一些基本的输入信号和扰动信号 （合称外作用） 形式。 一般说来， 经常采用的典型外作用有： 阶跃函数、速度函数、加速度函数、脉冲函数和正弦函数，这些函数是简单的时间函数。所 以，控制系统的数学分析和实验工作都比较容易进行。 1．阶跃函数 2．速度函数（或称斜坡函数） 3．加速度函数（或称抛物线函数） 4．脉冲函数 5．正弦函数
我们比较二阶和三阶系统的输出信号，可以看出； （1）两者的稳态分量是一样的，都等于 1，这是因为两个系统的输入信号相同。 （2）两者都有正弦（余弦）衰减项。这是因为三阶系统与二阶系统都有一对共轭复数 闭环极点； （3）三阶系统的输出响应比二阶系统的输出响应多一项指数衰减项（ − a3e − Pt ） 。 可见，三阶系统与二阶系统不同，仅仅是因为它增加了一个闭环负数极点，即三阶系统 有三个闭环极点：
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控制工程基础（第二版）
3－3 二阶系统的时域分析
一、二阶系统传递函数的标准形式
二阶系统的闭环传递函数标准形式为：
φ ( s) =
式中
2 ωn 2 s 2 + 2ζωn s + ωn
ωn ——系统无阻尼自然频率；
ζ ——系统的阻尼比。
二阶系统的过渡过程就可以用 ζ 和ω n 这两个参数加以描述。 二阶系统的特征方程为
调曲线。
三、二阶系统的单位脉冲响应
2 ωn 2 s 2 + 2ζω n s + ω n
C ( s) = φ (s) R(s) =
l．欠阻尼（ 0 < ζ < 1 ）时的脉冲过渡函数
g (t ) = c(t ) =
ωn
1−ζ
2
e −ζω nt sin(ω n 1 − ζ 2 )t
(t ≥ 0)
2．无阻尼（ ζ = 0 ）时的脉冲过渡函数
σ% =
c (t p ) −c ( ∞ ) × 100% c (∞ )
式中 c (t p ) ——响应曲线 c (t ) 第一次达到的最大输出值； c (∞ ) ——响应曲线的稳态值。 4．调整时间 t s 在响应曲线的稳态线上，用稳态值的百分数△（通常取△＝5％或△＝2％，见图）作一 个允许误差范围， 响应曲线达到并永远保持在这一允许范围内所需的最小时间， 叫做调整时
φ ( s) =
令输入信号 r (t ) = 1(t ) ,则
2 ωn P C ( s) = 2 2 R( s ) ( s + P)( s + 2ζω n s + ω n )
c(t ) = 1 − a1e−ζωnt cos ω nt − a2 e−ζωnt sin ω nt − a3e− Pt
(t ≥ 0)
g (t ) = c(t ) = ω n sin ω nt (t ≥ 0)
3．临界阻尼（ ζ = 1 ）时的脉冲过渡函数为
2 g (t ) = c (t ) = ω n t e −ω n t
(t ≥ 0)
4．过阻尼（ ζ > 1 ）时的脉冲过渡函数
g (t ) = c(t ) =
ωn
2 ζ 2 −1
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第三章 时域分析法
c(t ) = t −
2
ωn
2ζ
+
2
ωn
⋅ e −ωnt (1 +
ω nt
2
)
(t ≥ 0)
3．过阻尼（ ζ > 1 ）时的过渡过程
c(t ) = t − +
ωn
−
2ζ 2 − 1 − 2ζ ζ 2 − 1 2ω n ζ 2 − 1 e − (ζ −
ζ 2 −1)ωnt
e − (ζ +
ζ 2 −1)ωn t
2ζ 2 − 1 + 2ζ ζ 2 − 1 2ω n ζ − 1
2
(t ≥ 0)
五、二阶系统的性能指标
1．上升时间 t r 响应曲线从稳态值的 10％上升到 90％，或从 5％上升到 95％，或从零上升到 100％所 需要的时间，都叫做上升时间。对于欠阻尼系统通常采用 0～100％的上升时间；对于过阻 尼系统，通常采用 10～90％的上升时间。 2．峰值时间 t p 响应曲线达到第一个峰值所需的时间，叫做峰值时间。 3．最大超调量 σ p 或 σ % 响应曲线 c (t ) 与 c (∞ ) = 1 之间的最大超调量值 σ p ，叫做最大超调量，若用百分比表示 最大超调量，它的定义是
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控制工程基础（第二版）
间。调整时间的大小，直接表征了系统对输入信号响应的快速性。 5．振荡次数 N 在 0 ≤ t ≤ t s 时间内，响应曲线 c (t ) 穿越其稳态值 c (∞ ) 次数的一半，叫振荡次数。振荡 次数也直接说明了系统的阻尼特性。 下面，我们推导 tr , t p , σ %, t s , N 的计算公式，并分析它们与系统参数 ω n 和ζ 之间的关 系。 （1）上升时间 tr
tr =
（2）峰值时间 t p
π −ϕ π −ϕ = ωd ωn 1 − ζ 2
tp =
（3）最大超调量
π π = ωd ωn 1 − ζ 2
σ%
σ % = e−ζπ /
1−ζ 2
×100%
（4）调整时间 ts 若取 Δ = 5% 时，
ts ≈
3
ζω n
4
若取 Δ = 2% 时， （5）振荡次数 N 当 Δ = 2% 时，
2 s 2 + 2ζω n s + ω n =0
可以解得二阶系统的两个特征根（即闭环极点）为
s1,2 = −ζω n ± ω n ζ 2 − 1
随着阻尼比 ζ 取值的不同，二阶系统的特征根（闭环极点）也不相同。 1．欠阻尼（ 0 < ζ < 1 ） 这时，两个特征根可以写成 s1,2 = −ζω n ± jω n 1 − ζ ．这是一对共轭复根。
式中 css = 1 为稳态分量； ctt = −e − t / T 为暂态分量。
二、一阶系统的单位斜坡响应 c(t ) = t − T + Te− t / T = (t − T ) + Te − t / T 三、一阶系统的单位脉冲响应
c(t ) = 1 −t / T e (t ≥ 0) T
(t ≥ 0)
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第三章 时域分析法
二、二阶系统的单位阶跃响应
2 ωn 1 ⋅ 2 2 s + 2ζω n s + ω n s
C ( s) = φ ( s) R( s) =
1．欠阻尼状态（ 0 < ζ < 1 ） 已知这时二阶系统有一对共轭复根：
c(t ) = 1 − e −ζωnt (cos ω d t +
c(t ) = 1 +
1 2(ζ 2 − ζ ζ 2 − 1 − 1) 1
e − (ζ −
ζ 2 −1)ω n t
+
2(ζ 2 + ζ ζ 2 − 1 − 1)
e − (ζ +
ζ 2 −1 )ω n t
二阶系统当阻尼比 ζ > 1 时，在单位阶跃函数作用下的过渡过程是一条更缓慢上升的单
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控制工程基础（第二版）
s1,2 = −ζω n ± jωn 1 − ζ 2 是一对共轭复数极点；
s3 = − P 是一个负实数极点。
这三个极点的实部之比，即 β = P / ζω n 反映了它们距[ s ]平面上虚轴的远近程度。 控制系统动态响应中的暂态分量是由闭环极点造成的， 对于一个稳定的高阶系统， 如有 n 个闭环极点，则动态响应 c (t ) 中就有 n 项暂态分量。这 n 项暂态分量对动态响应 c (t ) 的影 响如何，主要看造成该项暂态分量的闭环极点距离虚轴的远近程度。 假若距虚轴较远的闭环极点的实部与距虚轴最近的闭环极点的实部的比值大于或等于 5，且在距离虚轴最近的闭环极点附近不存在闭环零点。这时离虚轴最近的闭环极点将对系 统的动态特性起主导作用，称之为闭环主导极点，它常以一对共轭复数极点的形式出现。 应用闭环主导极点的概念， 常常可把高阶系统近似地看成具有一对共轭复数极点的二阶 系统来研究。 闭环零点只影响 c (t ) 中暂态分量的系数 ai' (i = 1, 2,3) ，即影响暂态分量衰减的初始值， −ζω t −ζω t 不影响暂态分量中的 e n cos ω d t值，e n sin ω d t值及e − Pt 值 （以三阶为例） 。 因此，可以得出如下结论：控制系统动态响应的类型取决于闭环极点，而过渡过程的具 体形状由闭环极点、闭环零点共同决定。 闭环零点的作用还表现在使过渡过程的峰值时间缩短，提高系统对控制信号的快速性， 且零点越靠近虚轴，上述作用便越大。但若零点离虚轴太近，将导致超调量 σ % 增大，使系
二、过渡过程与稳态过程
任何一个控制系统的时间响应都是由过渡过程和稳态过程两部分组成。 过渡过程又称动 态过程， 它是指系统在某一输入信号作用下， 系统的输出量从初始状态到稳定状态的响应过 程；稳态过程是指时间 t 趋近于无穷大时，系统的输出状态。 我们通过对系统过渡过程的分析讨论， 就可以提供有关控制系统的稳定性、 超调量以及 响应快速性等信息， 而系统的稳态输出量若不完全等于希望输出量， 则认为系统存在稳态误 差，稳态误差是衡量系统控制准确度（稳态精度）的标志。
d d2 c阶跃 (t ) = 2 c斜坡 (t ) dt dt
这个对应关系说明， 系统对输入信号导数的响应， 就等于系统对该输入信号响应的导数。 或者，系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。而积分常数由零 输出初始条件确定。这是线性定常系统的一个重要特性，不仅适用于一阶线性定常系统，而 且也适用于任何阶线性定常系统，但不适用于线性时变系统和非线性系统。