随机过程布朗运动
《随机过程》第5章-布朗运动
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
布朗运动和随机过程
布朗运动和随机过程引言布朗运动（Brownian motion）是指微小的、随机的、无规则的运动。
它最早由英国生物学家罗伯特·布朗发现并研究，后来被应用到许多领域中，包括金融、物理学和生物学等。
随机过程（Random Process）是指一系列随机变量的集合，它们的取值取决于随机事件的发生。
本文将深入探讨布朗运动和随机过程的相关概念、性质以及在不同领域中的应用。
布朗运动的定义和性质定义布朗运动是一种连续时间、连续状态的随机过程，具有以下几个基本性质： 1. 布朗运动的路径是连续的。
2. 布朗运动在任意给定的时间段内，无论多短，都具有无记忆性质，即其未来变化不依赖于过去的变化。
3. 布朗运动的路径上的增量是独立的。
性质布朗运动具有以下重要性质： 1. 随机性：布朗运动的路径是随机的，无法准确预测。
2. 高度不规则性：布朗运动的路径是连续且不光滑的，具有很高的不规则性。
3. 均值增长：布朗运动的均值增长速度是线性的，即随着时间的增长，其期望值也会增加。
4. 方差增长：布朗运动的方差增长速度是线性的，即随着时间的增长，方差也会增加。
布朗运动的数学模型布朗运动可以用数学模型来描述，最常用的模型是随机微分方程。
在一维情况下，布朗运动的微分方程可以表示为：dX t=μdt+σdW t其中，X t表示布朗运动在时间t的位置，μ表示漂移率，σ表示波动率，W t表示标准布朗运动。
随机过程的分类随机过程可以按照状态空间和时间变量的类型进行分类。
其中，常见的分类包括：### 马尔可夫过程马尔可夫过程是一个基于概率的随机过程，它具有“无记忆性”的性质，即过程在任意给定时间的状态只依赖于它的前一状态，而不依赖于它的历史状态。
### 马尔科夫链马尔科夫链是一个马尔可夫过程的特例，它具有离散的状态空间。
### 泊松过程泊松过程是一类具有离散状态和不连续增量的随机过程，它的增量满足泊松分布。
### 平稳过程平稳过程是指随机过程的统计性质在时间平移下不变。
概率论中的马尔可夫过程和布朗运动
概率论中的马尔可夫过程和布朗运动在概率论中，马尔可夫过程和布朗运动是两个重要的概念，它们在数学、物理、统计学等领域都有着广泛的应用。
本文将介绍这两个概念的基本原理和应用。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是一种随机过程，它是指一个随机变量在某个时刻的取值仅与前一时刻的取值有关，而与更早的时刻的取值无关。
这种随机变量的演化过程具有无记忆性，也就是说，未来的变化仅与当前状态有关，而与过去历史无关。
这种过程通常用马尔可夫链来描述，它极具应用价值，可用于物理、生物、社会、经济等众多领域的研究中。
马尔可夫过程的基本定义如下：设$t$为时间，$S_t$为状态空间，$P_t(x,y)$表示在$t$时刻状态从$x$转移到$y$的概率，那么有：$$ P_t(x,y) = P(X_t = y | X_0, X_1, \dots, X_{t-1} = x) $$ 这个概率仅与$x$和$y$有关，而与$t$无关。
这就是马尔可夫过程的“无记忆性”特征。
马尔可夫过程具有很多重要的性质，其中最基本的是其可逆性，即其转移矩阵中所有状态的转移概率均存在倒数，并且倒数的乘积等于$1$。
此外，还有稳态分布、周期性、瞬态分布等概念。
二、布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，它是蒲丰所研究的“颗粒运动”问题的最简单模型。
在数学上，布朗运动被定义为碎形过程中最简单的一种，它的性质非常重要，已经被广泛用于金融工程、物理学、统计学等领域的研究。
布朗运动的定义比较复杂，但其基本特点可以概括为：具有无记忆性、独立增量、多次可微、伊藤公式和连续性等特征。
在实际应用中，布朗运动可以用几何布朗运动或算术布朗运动来表示，其中几何布朗运动又称为对数布朗运动，其路径是连续的，因此在金融市场中被广泛使用，而算术布朗运动路径不连续，因此常用于物理学或数学中。
布朗运动的最重要的性质是其波动性，它具有路径不可导、瞬时方差无限制的特征。
因此，布朗运动被广泛应用于金融工程中，例如期权定价、股票价格模拟等。
布朗运动
t 0
lim P{
X
i 1
i
c 2t
x}
x
1 2
e
x2 2
dx ( x )
即t0 时，X(t)~N(0，c2t)。 Brown 运动的定义是上述物理过程的数学描述。 在通常情况下， 可以仿照上述随机移动 模型对 Brown 运动进行计算机仿真。
第六章 Brown 运动、Wiener 过程、时间序列分析简介
Brown 运动、Wiener 过程简介
Brown 运动最初是由英国生物学家 Brown 于 1827 年根据观察花粉颗粒在液面上做“无 规则运动” 现象而提出的。 Brown 于 1905 年首次对这一现象的物理规律给出一种数学描述， 使这一课题有了长足的发展。在数学上的精确描述直到 1918 年才由 Wiener 给出。 Brown 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单 同时又是最重要的随机过程，许多其他的随机过程可以看作是它的推广。
2 , 3 , )不存在直接的依存关系。显然，只要把 X t 对 X t 1 的直接依赖性，而 X t 与 X t j (j
X )自然就是独立的了。 X t 中依赖于 X t 1 的部分消除后，剩下的把部分 (X t 1 t 1
1.5 一阶自回归模型平稳性 首先, 为方便起见, 引进延迟算子的概念. 令
关性。 (5)普通回归模型，实质上是一种条件回归，而 AR(1)是无条件回归。 主要联系表现为： 固定时刻 t 1 ，且观察值 X t 1 已知时，AR(1)就是一个普通的一元线性回归模型了。
1.4 相关序列的独立化过程
这里 X t 是相关的，而我们所用的许多统计方法却都是以资料独立为基础的。如果我们直接 用以资料独立为基础的统计方法来处理相关的序列是不合理的。怎么办？我们来看式 (4.1.2)的另一种形式：
对布朗运动的微分
对布朗运动的微分1. 什么是布朗运动？布朗运动是指微小颗粒在液体或气体中随机运动的现象，这种运动是由于液体或气体中的分子不断碰撞而产生的。
布朗运动最初由英国植物学家罗伯特·布朗发现，后来被爱因斯坦用统计物理学的方法进行了解释。
2. 布朗运动的微分方程布朗运动的微分方程可以用随机过程和随机微积分来描述。
假设一个粒子在时间t时刻位于位置x处，其速度为v，则其位置和速度变化可以表示为：dx = v dtdv = F(x) dt + σ dW其中F(x)是作用在粒子上的力，σ是噪声强度，dW是Wiener过程（一种连续时间、连续状态的随机过程），满足以下性质：dW(0) = 0E[dW(t)] = 0E[dW(t)dW(s)] = δ(t-s)dt其中δ(t-s)表示Kronecker delta函数。
3. 布朗运动方程的解析解由于布朗运动包含了噪声项，因此其解析解通常很难求得。
但是对于某些简单情况，可以得到布朗运动的解析解。
例如，在一维情况下，如果粒子受到的力是恒定的，则其位置可以表示为：x(t) = x(0) + vt + ξ(t)其中ξ(t)是一个随机变量，满足以下性质：E[ξ(t)] = 0E[ξ(t)ξ(s)] = 2Dδ(t-s)其中D是扩散系数。
4. 布朗运动的统计性质由于布朗运动是一种随机过程，因此其具有一些统计性质。
例如，对于一维情况下的布朗运动，其平均位移和方均根位移分别为：<x> = 0<x^2> = 2Dt其中<t>表示时间平均。
此外，布朗运动还具有自相关函数和功率谱密度等统计量。
5. 应用领域布朗运动在物理学、化学、生物学、金融学等领域都有广泛应用。
例如，在物理学中，布朗运动被用来研究分子扩散、热力学等问题；在生物学中，布朗运动被用来模拟细胞内分子的扩散行为；在金融学中，布朗运动被用来建立股票价格模型等。
6. 总结布朗运动是一种随机过程，其微分方程可以用随机微积分来描述。
随机过程中的布朗运动
随机过程中的布朗运动随机过程是数学中研究随机变量随时间演化的数学对象。
其中，布朗运动是一种常见的随机过程，它在多个领域中有着广泛的应用，如金融学、物理学和生物学等。
本文将对布朗运动的定义、性质以及应用进行介绍。
一、布朗运动的定义布朗运动又被称为维纳过程，它是一种连续时间的马尔可夫过程。
在数学上，布朗运动被定义为满足以下三个条件的随机过程：1. 初始条件：布朗运动在t=0时刻的取值为0，即B(0) = 0；2. 独立增量：对于任意时刻s < t < u < v，布朗运动的增量B(t)－B(s)和B(u)－B(v)是独立的；3. 正态分布增量：布朗运动的增量B(t)－B(s)服从均值为0、方差为t-s的正态分布。
根据这些性质，我们可以看出布朗运动是一种具有连续性、不可预测性和自相似性的随机过程。
二、布朗运动的性质1. 连续性：布朗运动在任意时刻的取值都是连续的。
这意味着在任意时间间隔内，布朗运动的取值可以变化无穷多次。
2. 独立增量：布朗运动的增量在不同的时间间隔内是独立的。
这意味着过去的演化轨迹对未来的演化轨迹没有影响。
3. 高斯分布：布朗运动的增量服从高斯分布，即正态分布。
这意味着在短时间内，布朗运动的变化趋势可以视为近似线性。
4. 无趋势：布朗运动的期望增量为0，即E[B(t)－B(s)] = 0。
这意味着在长时间尺度内，布朗运动没有明显的趋势。
三、布朗运动的应用1. 金融学：布朗运动在金融学中有广泛应用，特别是在期权定价和风险管理领域。
布朗运动模型可以描述股票价格的随机变动，并为衍生品定价提供基础。
2. 物理学：布朗运动的概念最早是用来解释在液体中浮游微粒的无规运动。
它在研究扩散过程、热力学平衡和粒子统计等问题中起到重要作用。
3. 生物学：布朗运动在生物学中被用来描述微生物和生化分子在胞浆中的运动。
通过对布朗运动的观察和分析，科学家可以了解细胞内生物分子的行为和相互作用。
总结：布朗运动作为一种随机过程，具有连续性、不可预测性和自相似性等特点。
应用随机过程7-布朗运动
a P{布朗运动在下降 b之前上升a} ab
作业：1. P142 1,2,4 2. 写本章小结
2010-7-30
理学院 施三支
例7.2.1 B (t ) 是布朗运动，求：(1) B (1) B ( 2) B (3) B ( 4) 的
分 布 ； (2)
1
1 1 3 B ( ) B ( ) B ( ) B (1) 的 分 布 ； (3) 4 2 4
理学院 施三支
2 P{ B (t ) dt }。 0 3 2010-7-30
2
2010-7-30
理学院 施三支
7.6
一、布朗桥
布朗运动的几种变化
定义7.6.1 设 B (t ), t 0 是一个布朗运动，令
B * (t ) B (t ) tB (1) ， 0 t 1 * * 则称随机过程 B {B (t ),0 t 1} 为布朗桥(Brown Bridge)
2010-7-30 理学院 施三支
五、有漂移的布朗运动
设 {B (t ), t 0} 是一个标准布朗运动， X (t ) B (t ) t ， 我 们称 { X (t ), t 0} 为有漂移的布朗运动。常数 称为漂移系数。
注： 利用有漂移的布朗运动 X (t ), t 0 可以算出
2010-7-30
理学院 施三支
7.5
可以计算出
布朗运动的最大值变量及反正弦律
记 Tx 为布朗运动首次击中 x 的时刻，即 Tx inf{t 0 : B (t ) x} ，我们
x 0 时 P{Tx t} 2 P{B (t ) x}
从而 P{Tx } lim P{Tx t} 1 ，但是
概率论中的随机过程分类
概率论中的随机过程分类概率论中，随机过程是一个随机变量的统一序列，代表了某个随机现象的演化情况。
随机过程在许多实际问题中具有广泛的应用，并且根据不同的性质和特点可以分为几个不同的分类。
本文将介绍概率论中随机过程的常见分类，包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动和排队论。
一、马尔可夫过程马尔可夫过程是随机过程中最常见和重要的一类。
在马尔可夫过程中，将来的发展只取决于当前状态，而与过去的发展无关。
它具有无记忆性，即给定当前的状态，过去的状态不会影响未来的演化。
马尔可夫过程分为离散和连续两种类型。
离散型马尔可夫过程使用离散的时间和状态，例如随机游走问题。
连续型马尔可夫过程则是使用连续的时间和状态，如布朗运动。
二、泊松过程泊松过程是一类用来描述随机事件发生的模型。
泊松过程适用于连续时间发生独立事件的情况，比如电话交换机接到电话的情况、交通流量和排队系统中的顾客到达等。
泊松过程是满足无记忆性和稀疏性的随机过程。
泊松过程的主要特点是事件的到达是随机的，各个事件之间的发生时间是相互独立的，并且事件的到达速率是固定的。
三、布朗运动布朗运动是一种连续时间随机过程，也被称为维纳过程。
布朗运动在金融学、物理学和工程学等领域中有重要应用。
布朗运动的主要特点是连续性和无限可分性。
它是由连续时间和连续状态的随机演变构成。
布朗运动的一个重要特征是它的路径是连续、逐步变化的。
四、排队论排队论是研究随机过程在服务系统中的应用的一门学科，其目标是理解和优化排队系统中的效率和性能。
排队论广泛应用于交通、通讯、生产和运输等领域。
排队论主要关注随机过程中到达和服务的模型。
常见的排队模型包括M/M/1模型、M/M/c模型、M/G/1模型等，其中M表示到达和服务时间服从指数分布，G表示到达和服务时间服从一般分布，1和c表示服务窗口数量。
五、其他分类除了以上介绍的主要分类，概率论中还有许多其他类型的随机过程，如马尔科夫跳过程、随机游走、卡尔曼滤波器等。
随机过程与布朗运动
随机过程与布朗运动随机过程（Random Process）是指在一定的时间范围内，随机变量的序列或者随机向量的序列，这个序列称为随机过程。
而布朗运动（Brownian Motion）是一种连续时间的随机过程，具有连续样本路径且具有马尔可夫性质。
本文将从数学的角度对随机过程和布朗运动进行介绍和论述。
一、随机过程的定义及基本性质随机过程可以用数学公式表示为{X(t), t ≥ 0}，其中X(t)是定义在事件空间上的随机变量。
随机过程的基本性质包括：1. 随机过程的状态空间：随机变量的取值范围称为随机过程的状态空间。
2. 随机过程的参数空间：随机过程的参数（如时间t）取值范围称为随机过程的参数空间。
3. 随机过程的样本函数：随机过程的一个具体的样本称为样本函数，样本函数是参数t的函数。
4. 随机过程的族：所有可能的样本函数的集合称为随机过程的族。
5. 随机过程的分布：随机过程在任意时刻t的值的分布称为随机过程的分布。
二、布朗运动的定义与性质布朗运动是指随机过程X(t)具有以下性质：1. 马尔可夫性：布朗运动的下一时刻的取值只与当前时刻的取值有关，与之前的取值无关。
2. 高斯性：在任意时刻t，布朗运动的取值满足高斯分布。
3. 完备性：布朗运动的样本函数几乎必然连续，即样本函数几乎处处连续。
4. 零均值性：布朗运动的均值函数为零。
5. 独立增量：布朗运动在不重叠的时间段上的增量是相互独立的。
三、布朗运动的应用布朗运动在金融学、物理学、生物学和工程学等领域有着广泛的应用。
1. 金融学：布朗运动被广泛应用于金融领域的期权定价模型中，如布莱克-斯科尔斯模型就是基于布朗运动的。
2. 物理学：布朗运动被用来描述微粒在液体中的扩散现象，从而研究物质的热运动。
3. 生物学：布朗运动被应用于描述微生物在浸润地质介质中的扩散过程，从而研究生物的迁移与扩散等现象。
4. 工程学：布朗运动在控制系统、通信系统和信号处理等工程学领域中有着重要的应用，如在无线信道建模中常用布朗运动模型描述信号的传播过程。
随机过程(十四)-布朗运动
如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2
布朗运动
由于分子运动的独立性和无规则性，认为质点 在不同时间内受到的碰撞是独立的，故所产生的 位移也是独立的
二. 布朗运动的定义
（Brown motion）ＢＭ
称实S.P.{W(t),t≥0}是Wiener过程,如果 (1) W (0) x R
W t1,L ,W tn 的联合密度函数为
f x1, x2,L , xn ft1 (x1) ft2t1 (x2 x1)L ftn tn1 (xn xn1)
其中
ft x
1
x2
e 2t
2 t
由此可以看出 W t1 , ,W tn 服 从n维正态分布。
这是因为在W(t1)=x1的条件下，W(t2)的条件密度
(2) 由(1)易知有
mW (t) 0, DW (t) 2t, t 0
对s≥0, t ≥0,不妨设 s≤t,则
RW (s,t) E[W (s)W (t)] E[(W (s) W (0))(W (t) W (s) W (s))]
独立性 E[(W (s) W (0))(W (t) W (s))] E[W (s)]2 0 E[W (s)]2 D[W (s)] (E[W (s)])2
其中
X (t) x( X1 L X[t t] )
1, 如果步长为△x的第i步向右 Xi 1, 如果步长为△x的第i步向左
且Xi相互独立。
P{ X i
1}
P{X i
1}
1 2
因为
EXi 0,Var( Xi ) 1
所以 E[ X (t)] 0,Var( X (t)) (x)2[t t]
三 Brown运动的数字特征
布朗运动和几何布朗运动
布朗运动和几何布朗运动
布朗运动是指在液体或气体中，微小颗粒因分子碰撞而发生的无规
则运动。
这种运动是由英国植物学家罗伯特·布朗在1827年首次观察到的，因此得名。
布朗运动是一种随机过程，其运动轨迹是不可预测的，但可以通过统计学方法来描述其运动规律。
几何布朗运动是布朗运动的一种特殊形式，它是在连续时间和连续空
间中进行的。
几何布朗运动的运动轨迹是连续的，而且是无限可分的。
几何布朗运动的数学模型是随机微分方程，它可以用来描述金融市场、物理学、生物学等领域中的随机过程。
布朗运动和几何布朗运动在物理学、金融学和生物学中都有广泛的应用。
在物理学中，布朗运动可以用来研究分子扩散、热力学等问题。
在金融学中，几何布朗运动可以用来描述股票价格、汇率等金融市场
的波动。
在生物学中，布朗运动可以用来研究细胞内分子的扩散、细
胞运动等问题。
布朗运动和几何布朗运动的数学模型都是随机过程，它们的运动轨迹
是不可预测的。
但是，通过统计学方法可以描述它们的运动规律。
在
物理学、金融学和生物学中，研究者们可以利用这些模型来预测未来
的趋势和变化，从而做出更加准确的决策。
总之，布朗运动和几何布朗运动是随机过程的重要形式，它们在物理学、金融学和生物学中都有广泛的应用。
通过研究它们的运动规律，
我们可以更好地理解自然界和人类社会的运动规律，从而做出更加准确的预测和决策。
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
布朗运动
对颗粒撞击力越大，小颗粒的运动状态改变越快，故温度越 高，布朗运动越明显。 5. 肉眼看不见 然而，布朗运动是个新奇的发现，在最初人们并不知道布朗运动 的原理， 布朗运动具有开创性的发展是在爱因斯坦发表了一篇文章【2】 ， 建立了布朗运动的扩散理论。他考虑一个布朗粒子的一维无规运动， 粒子每隔 r 时间被撞击一次而移动距离 l，每次撞击时向左和向右移 动的可能性各占一半。假设粒子从原点出发，在时刻 t，粒子已受到 了 n=t／τ 次撞击。 爱因斯坦证得： 粒子的平均位移为零， <x(t)>=0； 方均位移写作<������ 2 (t)>=2Dt，这里 D=������ 2 ／(2τ )。其实这M](1900,．-1909)：181—206； 【 3 】 ： 包 景 东 . 分 数 布 朗 运 动 和 反 常 扩 散 [J]. 物 理 学 进 展,2005,25(4):359-367.DOI:10.3321/j.issn:1000-0542.2005.04.002； 【 4 】 ： 包 景 东 . 分 数 布 朗 运 动 和 反 常 扩 散 [J]. 物 理 学 进 展,2005,25(4):366.DOI:10.3321/j.issn:1000-0542.2005.04.002. 【5】 ：李纪军.论真空系中的布朗运动导致一个孤立热力学系统熵的减少[J].潍坊学院 学报,2014,14(2):18-24.DOI:10.3969/j.issn.1671-4288.2014.02.005.
卢正新《随机过程》第五章 布朗运动与鞅-全
解：B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5，则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
PB(1) 0, B(1) B(2) B(1) 0
PB(1) 0, B(2) B(1) B(1)
5
布朗运动定义2：随机过程{B(t)，t≥0}为布朗运动，如果满足： 1）（正态增量）B(t)-B(s)~N(0,t-s) ； 2）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v)，0≤v ≤ s； 3）（轨道连续） {B(t)，t≥0}的轨道是t的连续函数。
注：并未强调B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x进行变换。 定理：设{B(t)，t≥0}是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的s， t>0，有EB(t)=0，E[B(s)B(t)]=min(s,t)，则{B(t)，t≥0}为布朗运动， 反之亦然。
2）设Y0=0，{Yn， n≥0}是随机变量序列， E|Yn|<∞， EYn= μn≠0， n≥1， 定义X0=0，则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
n
解：1)E | X n | | Yk | ，n 1, 2 k 1
E X n+1 | Yn Y0 E X n Yn+1 | Yn Y0
6
证： 1）充分性 若B(t),t 0是布朗运动，则其为正态过程。
设0 s t，则：
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2）必要性，当B(t),t 0为正态过程，且 E B(s)B(t) min(s,t)，则多s,t 0，有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)
布朗运动
粒子的立体空间进行布朗运动的示意图。
花粉具备足够大小，几乎无法观测到布朗运动。
布朗运动维基百科，自由的百科全书布朗运动过程是一种正态分布的独立增量连续随机过程。
它是随机分析中基本概念之一。
其基本性质为：布朗运动W （t ）是期望为0、方差为t （时间）的正态随机变量。
对于任意的r小于等于s ，W （t ）-W （s ）独立于的W （r ），且是期望为0、方差为t-s 的正态随机变量。
可以证明布朗运动是马尔可夫过程、鞅过程和伊藤过程。
它是在西元1827年[1]英国植物学罗伯特·布朗利用一般的显微镜观察悬浮于水中由花粉所迸裂出之微粒时，发现微粒会呈现不规则状的运动，因而称它布朗运动。
布朗运动也能测量原子的大小，因为就是有水中的水分子对微粒的碰撞产生的，而不规则的碰撞越明显，就是原子越大，因此根据布朗运动，定义原子的直径为10-8厘米。
目录1 对于布朗运动之误解■2 参见■3 脚注■4 外部链接■对于布朗运动之误解值得注意的是，布朗运动指的是花粉迸出的微粒的随机运动，而不是分子的随机运动。
但是通过布朗运动的现象可以间接证明分子的无规则运动。
一般而言，花粉之直径分布于30～50μm 、最小亦有10μm 之谱，相较之下，水分子直径约0.3nm （非球形，故依部位而有些许差异。
），概略为花粉之万分之一，难以令花粉产生不规则振动。
因此，花粉事实上几乎不受布朗运动之影响。
在罗伯特·布朗的手稿中，“tiny particles from the pollen grains of flowers”意味着“自花粉粒中迸出之微粒子”，而非指花粉本身。
然而在翻译为诸国语言时，时常受到误解，以为是“水中的花粉受布朗运动而呈现不规则运动”。
积非成是之下，在大众一般观念中，此误会已然根深蒂固。
在日本，以鹤田宪次‘物理学丛话’为滥觞，岩波书店‘岩波理科辞典’[2]、花轮重雄‘物理学読本’、汤川秀树‘素粒子’、坂田昌二‘物理学原论（上）’、平凡社‘理科辞典’、福冈伸一著‘生物与无生物之间’，甚至日本的理科课本等等，皆呈现错误之叙述。
布朗运动应用随机过程
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随着对布朗运动研究的深入，人们发现其背后蕴含着丰富的随机过程理论。
本文将详细介绍布朗运动的基本概念，探讨其在随机过程领域的应用，并阐述其在实际问题中的重要意义。
布朗运动
数字特征 设 {Wt,t≥0}是标准布朗运动.则
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0, RW ( s, t ) = CW ( s, t ) = min( s, t ), s, t , ≥ 0
证明
由定义易知有
mW (t ) = 0, DW (t ) = t , t ≥ 0
令ξ = Wt1 , η = Wt 2 − Wt1 ,则ξ 服从N(0, t 1 )分布，η 服从N(0, t 2 − t 1 )分布 所以 F(t 1 ,t 2 ; x 1 , x 2 ) = P( ξ ≤ x 1 , ξ + η ≤ x 2 )
= ∫ P(η ≤x 2 -y )P(ξ ∈ dy )
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 自相似性 即对任意常数a>0固定的t>0， 有 a1/2Wt Wat
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
¾ 时间逆转性 即对固定的T>0，定义: Bt =WT –WT-t 0≤t ≤ T 则B ={Bt 0≤t ≤ T}也是标准布朗运动. (称为W的时间逆转过程).
¾ 布朗运动{W(t),t≥0} 的轨道是不可微的
事实上，有
∆W t P ( lim > x) = 1 ∆t → 0 ∆ t
随机过程——西安电子科技大学数学系 冯海林
与布朗运动的相关的随机过程 设W= {Wt,t≥0}是标准布朗运动， 1. d-维标准布朗运动 如果W1,…,Wd,是d个相互独立的标准布朗运动， 则称(W1,…,Wd)是d-维标准布朗运动.
例1 验证布朗运动是正态过程 证明 设 W={Wt,t≥0}是参数为σ2的布朗运动，则由 0 ≤ t1 < t 2 < L < t n 定义，对任意的n≥1,及任意的
随机过程十四布朗运动
E B(t s) B(t)2 2B(t)E(B(t s) B(t) | Ft ) B(t)2
s B(t)2
将上式两端同时减去t＋s,
E B2 (t s) (t s) | Ft s B(t)2 (t s) B(t)2 t
注：（2）是Brown运动的特征。若连续鞅 {X(t)，t>=0}使得
{X (t)2 t,t 0}
是连续鞅，则是brown运动。
eB(t)u
(3) 由于B(t)~N(0,t),由正态分布的矩母函数/ 2
这说明 eB(t)u 可积，并且
uB(t ) u2 t
E(e 2 ) 1
由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数 g(x)有，
若取Dx Dt ,令Dt 0, 则Var( X (t)) 2t
容易证明：
（1）X(t)服从均值为0，方差为2t的正态分布； （2）{X(t),t≥0}有独立增量 （3） {X(t),t≥0}有平稳增量
Brown运动的定义
随机过程{B(t),t≥0}如果满足 （1）B(0)＝0 ； （2）{B(t),t≥0}有平稳独立增量; （3） 对每个t>0，B(t) 服从正态分布N(0,2t). 则称{B(t),t≥0}为布朗运动，也称为wiener过程。 如果＝1，则称为标准布朗运动。
P( y,t, x, s) P( X (t) y | X (s) x)
Brown运动满足马氏性,采用条件期望证明如下
E (euB (t s )
|
Ft )
e E(e uB(t)
u ( B (t s )B (t )
|
Ft )
euB(t) E(eu(B(ts)B(t) )(独立增量性）)