随机过程(十四)-布朗运动共45页文档
《随机过程》第5章-布朗运动
随机过程
第五章 布朗运动
1 布朗运动的基本概念 2 布朗运动的首中时及最大值 3 布朗运动的应用
1 基本概念
• 最初由英国生物学家布朗(Brown)于1827年提出这种物理现 背 象； 景
• 1905年爱因斯坦首次对这一现象的物理规律给出数学描述；
定 • 1918年维纳(Wiener)运用数学理论严格描述这种无规则运 义 动，并用随机过程理论和概率理论建立了数学模型。因此
中南民族大学经济学院
3
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
例：设布朗运动������ ������ ~������(0, ������2������)，求其均值、方差、协方差及相关函数。
背 解： 景 由布朗运动定义可得：
������������(������) = ������ ������ ������ = 0, ������������(������)2 = ������������������ ������ ������ = ������2������
性 质
= ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������2(������1) = ������ ������ ������1 − ������(0) ������ ������ ������2 − ������ ������1 + ������ ������ ������1 − ������������(������1) 2 = ������2������1
定
������
义
������������ ������1, ⋯ , ������������; ������1, ⋯ , ������������ = ������ ������������ − ������������−1; ������������ − ������������−1
布朗运动
t 0
lim P{
X
i 1
i
c 2t
x}
x
1 2
e
x2 2
dx ( x )
即t0 时，X(t)~N(0，c2t)。 Brown 运动的定义是上述物理过程的数学描述。 在通常情况下， 可以仿照上述随机移动 模型对 Brown 运动进行计算机仿真。
第六章 Brown 运动、Wiener 过程、时间序列分析简介
Brown 运动、Wiener 过程简介
Brown 运动最初是由英国生物学家 Brown 于 1827 年根据观察花粉颗粒在液面上做“无 规则运动” 现象而提出的。 Brown 于 1905 年首次对这一现象的物理规律给出一种数学描述， 使这一课题有了长足的发展。在数学上的精确描述直到 1918 年才由 Wiener 给出。 Brown 运动作为具有连续参数和连续状态空间的一个随机过程，是一个最基本、最简单 同时又是最重要的随机过程，许多其他的随机过程可以看作是它的推广。
2 , 3 , )不存在直接的依存关系。显然，只要把 X t 对 X t 1 的直接依赖性，而 X t 与 X t j (j
X )自然就是独立的了。 X t 中依赖于 X t 1 的部分消除后，剩下的把部分 (X t 1 t 1
1.5 一阶自回归模型平稳性 首先, 为方便起见, 引进延迟算子的概念. 令
关性。 (5)普通回归模型，实质上是一种条件回归，而 AR(1)是无条件回归。 主要联系表现为： 固定时刻 t 1 ，且观察值 X t 1 已知时，AR(1)就是一个普通的一元线性回归模型了。
1.4 相关序列的独立化过程
这里 X t 是相关的，而我们所用的许多统计方法却都是以资料独立为基础的。如果我们直接 用以资料独立为基础的统计方法来处理相关的序列是不合理的。怎么办？我们来看式 (4.1.2)的另一种形式：
布朗运动课件课件
三、分子的热运动 由扩散现象、布朗运动
温度越高，分子运动越剧烈
热运动：分子的运动与温度有关，分子运动叫做热运动。
热运动 = 分子运动
布朗运动不 是一种热运动，它可以反映热运动。 四、分子的动能 所有运动的物体都具有 能不同
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9-2.分子的热运动
一、物体内的分子总是做永不停息的无规则运动。 例证一：扩散现象 例证二：布朗运动
二、布朗运动 现象：用显微镜观察到微粒（由大量分子组成） 在液体中做永不停息无规则运动。 成因：微粒在液体中受到分子对它不平衡的撞击力。 在这一无规则的作用力下，微粒作无规则运动。 特点：1、布朗运动本质上是一种微粒（不是分子）运动 它生动地反映了液体分子是运动的。 2、布朗运动是一种永不停息的无规运动。
平均动能
温度 决定 平均动能 温度是分子平均动能的标志
五、热力学第三定律： 在宇宙中温度的下限：—273.15℃
热力学温标: T= 273.15 + t (K)
热力学零度不可达到(热力学第三定律)
总结
铅
铅
几年后
金
金
固体的扩散
分子是运动的
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布朗运动的计算详细版.ppt
1 n
E
Nn
s
Nn
t
ntE
Fn
s
nsE
Fn
t
nst
1 E[E n
Nn
s
Nn
t
Nn
t
]
nst
1 n
E[Nn
t E
Nn s Nn t ] nst
1 n
E[ N n
t
s t
Nn
t
]
nst
1 n
s t
nt n(n 1)t 2
nst
s 1 t
优选
8
所以当n→∞时，
n(s),0 s 1
显然Nn(s)~B(n,s)，由强优大选 数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n
2
D(
的极限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
n
Nn s IF Xi s i 1
类似可讨论 n sup Fn X F X 的极限分
布。
x
优选
9
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
Btge =exp(Bt,2 ) t 0, R, 2 >0
)=t
R, >0
相关函数
随机过程(十四)-布朗运动
如果＝1，则称为标准布朗运动。
注：第(1)条并不是必须的。如果B(0)＝x，则称{B(t),t≥0}为 始于x的布朗运动，记为Bx(t) 。
Brown运动的另一种定义
Brown运动是具有如下性质的随机过程 {B(t), t≥0}： （1）正态增量性：B(t ) B(s) ~ N (0, t s), t s （2）独立增量性：B(t)-B(s)独立于过程的 过去状态B(u), 0≤u≤s。 （3）路径的连续性: B(t)是t的连续函数。
( y x )2 2t
ft ( y x)
P{B(t1 ) x1 , , B(tn ) xn } P{B(tn ) xn | B(ti ) xi ,1 i n 1}P{B(ti ) xi ,1 i n 1} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(ti ) xi ,1 i n 2} P{B(tn ) xn | B(tn 1 ) xn 1 ) P{B(tn 1 ) xn 1 | B(tn 2 ) xn 2 ) P{B(t2 ) x2 | B(t1 ) x1}P( B(t1 ) x1 ) pt1 (0, y1 )dy1 pt2 t1 ( x1 , y2 )dy2 ptn tn1 ( xn 1 , yn )dyn
Brown运动
随机游动
设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内 等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t) 记时刻t粒子的位置，则
X (t ) Dx( X1 X[t / Dt ] )
其中
1 如果第i步向右 Xi ， X i 相互独立 1 如果第i步向左 1 P( X i 1) P( X i 1) , E ( X i ) 0, var( X i ) 1 2
布朗运动理论简介
f (x1 , x2," , xn ) = ⎧ 1 ⎡x 2 (x − x )2 ⎫ (x − xn−1)2 ⎤ 1 ⎪ ⎪ ⎥ exp ⎨ − ⎢ 1+ 2 +" + n ⎬ (7) ⎢ ⎥ t t t t t 2 − − ⎭ n n−1 2 1 ⎩ ⎣ 1 ⎦ ⎪ ⎪ (2π)n / 2[t1(t2 − t1)"(tn − tn−1)]1/ 2
连续,在 t > 0 连续,
3 布朗运动的变形形式
O
X(t) 的任一样本函数 x(t) 在 t > 0 连续,但
却处处不可导(图 2).
t
布朗运动的变形可以导出其他的随机过程,他们 有各自特定的性质,在数学建模中也有广泛的应用,设
图 2 X(t) 的一个样本函数
X(t) 是标准的布朗运动,下面是布朗运动常用的一些
t > 0 时刻开始,每隔 ∆t 时间,粒子等概率的向左或者
向右移动大小为 ∆ x 距离 , 设 t 时 刻粒子的位置为 X(t) , 则 X(t) 可 以表示为
←⎯⎯⎯ → O
p = 1/ 2
x
图1
随机游走
X(t) =∆ x(X 1 + X 2 + " + X[t /∆ t ])
(1)
f (x, t) =
中,并且令 ∆t → 0 ,得到
∂f (x, t) ∂2 f (x, t) =D ∂t ∂x 2
(2)
(6)
上式中 , D 为扩散系数 , D = 2 RT / Nf , R, N 均为常 数, f 是反映液体性质的常量, T 是温度. 可以验证式
(5) 是方程 (6) 的解 , 已经证明 , 若 X(t) 在 t = 0 连续 (依概率连续)的条件下式(6)的解是唯一的.
布朗运动的计算ppt课件
均值函数
mBge
(t)=E[exp(Bt, 2
)]=exp{( +
2
2
)t},
t 0
相关函数
RBge
(s,t
)=e
(tΒιβλιοθήκη +s)e22
s
2
e2
(t
-s
)
,
s,t 0
股票价格服从几何布朗运动的证明 谢惠扬
10
m B
ge
(t
)=E[exp(Bt
,
2
)]
= e + t+ x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
6
P
lim
n
Fn
s
s
1
由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果，
P
lim
n
sup
0s1
Fn
s s
0 1
即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
令n s n Fn s s, 则
E n s n EFn s s 0
Dn s
n 2 D( Nn s) s(1 s)
, t 0
13
mBre (t)=E[ W(t) ]
+
=x -
1
- x2
e 2t dx
2 t
=
2t
- x2 +
( -e 2t )
2 t
0
= 2t , t 0
14
过程6：奥恩斯坦-乌伦贝克过程
Btou =e -t W ( (t)） t 0， >0
其中 (t)= t e2sds= 1 (e2t -1)
分数布朗运动
分数布朗运动分数布朗运动，又称分数阶布朗运动，是一种具有分数阶微积分的随机过程。
它与经典的布朗运动相比，具有更多的自由度和能够刻画更加复杂的现象。
在实际中，分数布朗运动被广泛应用于金融、物理、生物等领域，成为研究非平稳性现象的重要工具。
首先，我们来介绍一下经典的布朗运动。
布朗运动是一种随机过程，其特点在于其轨迹是随机的、连续的，但具有不可导的性质。
根据中心极限定理，对于布朗运动的任何时刻$t$，其增量 $\Delta B_t$ 满足正态分布，即 $\Delta B_t \sim N(0, \sqrt{t})$。
其中，$N$ 表示正态分布，$\sqrt{t}$ 表示时间步长。
布朗运动在物理、化学、金融等领域广泛应用，例如股票价格波动、大气颗粒的扩散以及分子的随机运动。
然而，经典的布朗运动假设了时间序列的增量是具有零均值和方差的正态分布，这远远不足以刻画很多实际现象的复杂性。
例如，金融市场中的波动往往包含许多长尾，这远远不符合正态分布的假设。
另一方面，物理、生物领域中，很多过程都表现出非稳定性的特点，例如非马尔可夫性和长记忆性，传统的布朗运动无法很好地刻画这些复杂特性。
分数布朗运动的出现，解决了以上问题。
其轨迹可以看作具有随机长程依赖的平稳过程，其增量可以写成如下形式：$\Delta B_t =\frac{1}{\Gamma(\alpha +\frac{1}{2})}\int_{-\infty}^{\infty}(B_{t+x}-B_t)\frac{dx}{|x|^{\alpha + \frac{3}{2}}}$。
其中，$\Gamma$ 表示欧拉-伽马函数，$\alpha$ 表示分数阶参数，$B_t$ 表示分数布朗运动的轨迹。
这个式子中的积分，描述了长时刻间的记忆和信号的依赖性。
分数布朗运动的一个重要特点，就是具有长记忆性和非马尔可夫性。
长记忆性表示，过去的状态会对当前的状态产生影响，这是由分数阶微积分导致的。
《随机过程》课件
泊松过程
定义
泊松过程是一种计数随机过程，其事件的发生是 相互独立的，且具有恒定的平均发生率。
例子
放射性衰变、电话呼叫次数、交通事故等。
应用领域
物理学、工程学、保险学等。
03
随机过程的变换与函数
随机过程的线性变换
线性变换的定义
线性变换是指对随机过程中的每个时间点，将该点的随机变量或随机向量乘以一个常数 或矩阵，并加上另一个常数或矩阵。
应用
微分在随机过程的理论和应用中非常重要，例如在金融 领域中，可以通过计算股票价格的导数来预测股票价格 的变动趋势。
积分的定义
随机过程的积分是指对随机过程中的每个时间点，将该 点的随机变量进行积分。
积分的性质
积分运算可以改变随机过程的统计特性，例如期望、方 差和协方差等。
应用
积分在随机过程的理论和应用中也有重要应用，例如在 信号处理中，可以通过对信号进行积分来提取信号的特 征或进行信号的合成。
连续随机过程
01
定义
连续随机过程是在时间或空间上 连续取值的随机现象的数学模型 。
02
03
例子
应用领域
电子信号、温度波动、随机漫步 等。
物理、工程、金融等。
马尔可夫过程
定义
马尔可夫过程是一种特殊的随机过程，其未来状态只依赖于当前 状态，与过去状态无关。
例子
赌徒输赢的过程、天气变化等。
应用领域
统计学、计算机科学、人工智能等。
将随机信号视为随时间变化的随机变量序列，具有时间和概率的统 计特性。
随机模型
根据实际需求建立信号的随机模型，如高斯过程、马尔可夫过程等 。
信号的滤波与预测
滤波器设计
根据随机模型设计滤波 器，用于提取有用信号 或抑制噪声。
应用随机过程 全书
一、 随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener ，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（K olmogorov ）和杜布(Doob)奠定的。
第一章随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。
为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
布朗运动函数
布朗运动函数
布朗运动函数是一种随机过程，描述了微小颗粒在液体或气体中的运动轨迹。
它是一个连续的随机函数，其取值在每个时间点都是不确定的。
布朗运动函数是在数学、物理、化学等领域中广泛应用的重要工具，可以用来描述粒子在溶液中的扩散行为、股票价格的波动等各种现象。
布朗运动函数最初由英国植物学家罗伯特·布朗于1827年发现。
他观察到花粉在水中的运动轨迹是不规则的，呈现出随机性，这启发他研究颗粒在液体中的扩散行为。
布朗运动函数的数学描述是一个随机过程，它满足下列条件：
1. 在任意时刻，它的取值是一个随机变量，且取值范围为实数集。
2. 它是一个连续的函数，在任意时间点都是定义良好的。
3. 它的取值在任意时间段内是无限可分的，即可以看成是独立随机变量的和。
4. 它的取值在任意时间段内的平均值为0，方差为时间间隔的函数。
布朗运动函数的数学模型是随机微分方程。
此方程描述了颗粒在液体中的运动轨迹，其中的随机项表示了分子的碰撞和其他随机因素的影响。
布朗运动函数在物理化学、金融等领域中有广泛的应用，如扩散方程、随机微积分和随机微分方程等。
- 1 -。
布朗运动及随机分析
显然 P(B(t) ≥ a|Ta > t) = 0, 由 BM 的对称性可得
P(B(t) ≥ a|Ta ≤ t) = P(B(t) < a|Ta ≤ t) = 1/2
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定理：设 B(t) 是标准 BM，任给定 n 个时刻 0 < t1 < t2 · · · tn,，若用
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) 记 (B(t1), B(t2), · · · , B(tn)) 的联合分布密度，则
ft1t2···tn(x1, x2 · · · xn) = pt1(x1)pt2−t1(x2 − x1) · · · ptn−tn−1(xn − xn−1)
因为 Bx(t) = B(t) + x, 有
P{max Bx(s) ≥ 0} = P(max{B(s) + x ≥ 0}) = P(max{B(s)} ≥ −x)
0≤s≤t
0≤s≤t
0≤s≤t
= 2P(B(t) ≥ −x)
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仍然是标准 BM.
定义：(B1(t), · · · , Bn(t)) 被称作标准的 n 维 BM，如果 B1(t), · · · , Bn(t)
都是独立的标准一维 BM(σ2 = 1).
BM 的性质
性质 1：BM 的几乎每条样本轨道是连续的，对几乎每条样本轨道上的 任意一点，其导数都不存在；而且在任何区间上 都不是单调的，但是
随机游走与布朗运动
可以证明，式 证明：
n1
FVT
f
lim f
n 0
j0
t j1 f
tj
和式 是一致的。
由于
f
t
处处有定义，根据微分中值定理，在每个子区间
t j , t j1
内存在一点
t
* j
，使
得
因此式 可以写为
f
t j1 f t j t j1 t j
f
t
* j
n1
FVT
T 。换言之：布朗运动在单位时间内累积二次变分的速率为 。因此有
dW t dW t dt
二次变分是布朗运动的波动的来源。
W t 与 t 的交互变分为
t 的二次变分
n1
lim W
n 0
j0
t j1
W
tj
t j1 t j 0
#;
.
因此我们有
n1
2
lim
n 0
j0
t j1 t j
t2 t1
f ' t dt
T f ' t dt 0
T f ' t dt tT 1
从离散的角度来看，对于0,T 上的连续过程，我们在时间上取划分（不一定等分）
其中最大的步幅记为
t0,t1, tn,0 t0 t1 tn T
max j0,...,n1
t j1 t j
相应的一阶变分 FVT f 为
其中，式 是关键。它表明，在给定 Xs 为 xs 的情况下， g 是对 Xt 的积分，因此是
xs 的函数，而不是 Xt 的函数。在式 中，我们将哑变量 xs 用 Xs 再代回。
二次变分性质（
）
截至时刻 k ，对称随机游走的二次变分定义为
布朗运动PPT
与摄氏温度t的关系： T=t+273.15;
ΔT= Δ t
2、热力学第三定律：热力学零度不可达到。
第八页，编辑于星期五：十五点 九分。
谢谢观看
第九页，编辑于星期五：十五点 九分。
（这就是温度的微观意义）而 2、影响扩散现象的快慢
第第四二页 页，，编编辑辑颗于于星星粒期期五五：：大十十五五了点点 九九，分分。。布朗运动不明显，甚至观察不到运动。
第六页，编辑于星期五：十五点 九分。
（2）布朗运动随着温度的升高而愈加激烈。 密切关系，温度越高，分子的无规则运动越激烈。
2、热力学第三定律：热力学零度不可达到。 颗粒大了，布朗运动不明显，甚至观察不到运动。 单位：K（开尔文）——是一个基本单位。 第七页，编辑于星期五：十五点 九分。
分子的热运动
一、扩散现象
气体的扩散
1、意义：它直接说明分 子在做永不停息的无规则 运动。
2、影响扩散现象的快慢 因数：
温度高，扩散现象越快。
第一页，编辑于星期五：十五点 九分。
提问：还有没有其它的方法证实分子在做永不停息的无 规则运动呢？
布朗是英国的一位植物学家。1827年布朗用显微镜观察植物的 花粉微粒悬浮在静止水面上的形态时，却惊奇地发现这些花粉 微粒在不停地做无规则运动。
温度在宏观上的意义是表示物体冷热程度。
“标志”的含义： ①是指物体温度升高或降低，表示了物体内部大量分子
热运动的平均动能增大或减小。
②温度相同的任何物质，分子热运动的平均动能都相同。
注意：物体分子热运动的平均动能与物体做机械运动的动能无关。
第七页，编辑于星期五：十五点 九分。
四、热力学第三定律：
布朗运动推导
布朗运动是悬浮在液体（如液体或气体）中的颗粒的随机运动，是由颗粒与液体分子的碰撞造成的。
它是由植物学家罗伯特-布朗于1827年首次描述的。
布朗运动的数学描述是基于随机过程的概念，其中粒子的位置被建模为一个随时间变化的随机变量。
该运动可以用一个偏微分方程（称为朗文方程）来描述粒子的速度和位置随时间的演变。
一般来说，朗格文方程的精确解不能用分析法确定。
然而，它可以使用数值方法或蒙特卡洛模拟进行近似计算。
这些模拟可以用来计算运动的统计属性，如平均位移和位置随时间变化的方差。
总的来说，布朗运动的数学描述为理解粒子在流体中的扩散提供了基础，并在金融、物理、化学和生物等广泛领域有重要应用。
随机过程布朗运动共71页文档
44、卓越的人一大优点Байду номын сангаас：在不利与艰 难的遭遇里百折不饶。——贝多芬
45、自己的饭量自己知道。——苏联
随机过程布朗运动
36、如果我们国家的法律中只有某种 神灵， 而不是 殚精竭 虑将神 灵揉进 宪法， 总体上 来说， 法律就 会更好 。—— 马克·吐 温 37、纲纪废弃之日，便是暴政兴起之 时。— —威·皮 物特
38、若是没有公众舆论的支持，法律 是丝毫 没有力 量的。 ——菲 力普斯 39、一个判例造出另一个判例，它们 迅速累 聚，进 而变成 法律。 ——朱 尼厄斯
40、人类法律，事物有规律，这是不 容忽视 的。— —爱献 生
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国