应用随机过程学习总结
随机过程第四版参考答案
随机过程第四版参考答案随机过程第四版参考答案随机过程是概率论中的一个重要概念，研究的是随机事件在时间上的演化过程。
它在现代科学和工程领域中有着广泛的应用，例如通信系统、金融市场和生物学等。
随机过程第四版是一本经典的教材，为学习者提供了理论和实践的结合，帮助读者更好地理解和应用随机过程。
在随机过程第四版中，作者首先介绍了随机过程的基本概念和性质。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型，而在每个时间点上的随机变量可以是离散型或连续型的。
通过对这些基本概念的介绍，读者可以建立起对随机过程的初步认识，并为后续的学习打下坚实的基础。
接下来，随机过程第四版详细讨论了不同类型的随机过程。
其中，最常见的两种类型是马尔可夫过程和泊松过程。
马尔可夫过程是一种具有马尔可夫性质的随机过程，即未来状态的概率只依赖于当前状态，而与过去的状态无关。
泊松过程则是一种连续时间的随机过程，其具有独立增量和平稳增量的特点。
通过对这些经典模型的介绍，读者可以更深入地了解随机过程的特性和应用。
随机过程第四版还涉及了随机过程的数学建模和分析方法。
在实际问题中，我们常常需要通过建立数学模型来描述随机过程的行为。
这些模型可以是基于统计数据的参数估计，也可以是基于物理规律的微分方程。
通过对这些数学方法的学习，读者可以了解如何将实际问题转化为数学模型，并通过数学分析来解决问题。
除了理论部分，随机过程第四版还包含了大量的例题和习题。
这些例题和习题涵盖了不同类型的随机过程和应用场景，帮助读者巩固所学知识，并提供了实践的机会。
通过解答这些例题和习题，读者可以更深入地理解随机过程的概念和性质，并培养解决实际问题的能力。
总的来说，随机过程第四版是一本权威且实用的教材，为学习者提供了理论和实践相结合的学习方式。
通过对随机过程的介绍、不同类型的讨论、数学建模和分析方法的学习，以及大量的例题和习题的解答，读者可以全面地了解和掌握随机过程的基本概念、性质和应用。
随机过程学习知识重点汇总
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量 X ， 分布函数 F(x) P(X x)离散型随机变量 X 的概率分布用分布列 p k P(X x k ) 分布函数 F(x) p k方差： DX E(X EX)2EX 2(EX)2反映随机变量取值的离散程度５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差 ０－１分布 P(X 1) p,P(X0) qEXpDX pq二项分布P(X k k nk) C n p qkEX npDX npq泊松分布P(Xkk) ek! EXDX均匀分布略正态分布 N(a, 2) f (x) 1e (x a)222EX aDX相关系数(两个随机变量X,Y )：B XY若 0 ，则称 X,Y 不相关。
XYDX DY独立 不相关４．特征函数 g(t) E ( eitX)离散 g(t)e itx kp k连续 g(t)e itxf (x)dx重要性质： g(0) 1 ，g(t)1 ， g( t) g(t) ， g k(0)i k EXk协方差(两个随机变量 X,Y )： B XY E[(X EX)(Y EY)] E(XY) EX EY2．n 维随机变量 X (X 1,X 2,,X n )其联合分布函数 F(x) F (x 1,x 2 , ,x n ) P(X 1离散型 联合分布列连续型 联合概率密度３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X EX x k p kx分布函数 F(x)f (t)dtx 1,X 2 x 2 , ,X nx n ,)连续型随机变量 XEXxf (x)dx连续型随机变量 X 的概率分布用概率密度 f(x)a (a 1,a 2, ,a n )， x (x 1,x 2, ,x n )，B (b ij )n n 正定协方差阵 二．随机过程的基本概念１．随机过程的一般定义设 ( , P) 是概率空间， T 是给定的参数集， 若对每个 t T ，都有一个随机变量 X 与之对应， 则称随机变量族 X(t,e),t T 是( , P) 上的随机过程。
随机过程课程总结范文
随着科技的飞速发展，随机过程作为一门重要的数学工具，在现代科技诸多领域，如物理、化学、生物、通信、机电、自动化、地震、海洋及经济等学科中均有广泛应用。
本学期，我有幸参加了随机过程这门课程的学习，通过这段时间的学习，我对随机过程有了更为深入的理解和认识，以下是我对这门课程的总结。
首先，随机过程课程为我们系统地介绍了随机过程的基本理论及其应用。
课程内容丰富，涵盖了概率论、数理统计、信号与系统、复变函数、常微分方程等多个领域的知识。
在学习过程中，我们学习了概率论与数理统计的基础知识，了解了随机过程的基本概念、研究方法和应用技巧。
课程中，我们重点学习了泊松过程、高斯过程、马尔可夫过程、平稳过程、正态过程和布朗运动等基本随机过程。
通过对这些典型随机过程的学习，我们掌握了它们的特性、性质以及在实际应用中的体现。
例如，泊松过程在通信、排队论等领域有着广泛的应用；马尔可夫过程在经济学、生物学、社会学等领域有着重要的应用。
其次，随机过程课程强调应用性，着重于揭示随机过程基本概念的来源及背景，典型随机模型的提炼方法、特性刻画、应用背景及发展踪迹。
在课程中，我们学习了随机信号的功率谱分析、以随机信号作为输入的线性系统分析、以及窄带随机信号等应用问题。
这些知识为我们今后在相关领域的工作奠定了基础。
在学习过程中，我深刻体会到随机过程课程具有很强的实践性。
教师通过丰富的实例，引导我们分析实际问题，让我们在实际应用中体会随机过程的价值。
此外，课程还安排了大量的习题和实验，让我们在实践中巩固所学知识，提高解题能力。
最后，随机过程课程的教学方法值得我们借鉴。
教师注重启发式教学，鼓励我们积极思考、勇于探索。
在教学过程中，教师善于将抽象的理论与实际问题相结合，使我们在理解理论的同时，也能将所学知识应用到实际中。
总之，通过学习随机过程课程，我对随机过程有了更为全面的认识。
这门课程不仅提高了我的数学素养，还让我了解了随机过程在各个领域的应用。
随机过程学习总结
随机过程学习报告通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。
在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。
一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目：设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。
若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。
分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。
解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。
则Y(t)=∑=)(0)n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程，)()(υϕn X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6)()t (υϕY =)1)((t )1(-γϕλX e由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。
研究生学习个人总结报告范本8篇
研究生学习个人总结报告范本8篇研究生学习个人总结报告范本精选篇1又过去一年时间，这是我读研的第二年，想要成为一个合格的研究生，在学习中取得成绩，需要的是时间，也需要花费精力，回想这一学年，我积极提升不断研究课题并考取了不错的成绩。
我从不会因为自己的成绩好，就满足，我更想自己变得更优秀，然而这是一个任重道远的过程，我需要努力的地方很多，每天除了要听教授讲课，做自己的研究课题，还要钻研学术问题，从各方面提升自己，这样才能够让我有更高的提升，我每次都会反思自己学习的怎么样，需要从那些方面突破，从不认为我已经学好，相对其他的同学我的差距还是挺大的。
我奉行实践行动检验真理，很多知识我都会认真分析和考虑并去实践，有时候为了证明自己所研究的理论可行，经常需要做实验，需要检验，不能光从书本上探索知识，而需要从多方面思考探索，这样我们才有可能取得不错的成绩。
在读研过程中，我也遇到过很多困难，有些学术问题，不是只靠询问老师就能解决，而需要我们自己研究思考。
这一学年虽然大部分都在学习，但也有一段时间我到社会中工作，因为我不想一直依赖家里供我读研，所以我也经常利用时间去社会上做一些工作兼职，赚取学费，成为一个研究生，虽然能够学到很多知识，同样也需要花费很多学费，所以找一些工作能够锻炼自身，也能够让我学到东西。
学习和工作并不会耽误，因为只要把时间都用在恰当的地方就不会因为时间不够，影响学习。
在学校我与导师经常交流心得，并听从导师的指导，从中找到一些自己不足的地方，在请教的过程中检验自己所学。
进入图书馆学习是我经常做的事情，因为在图书馆有很多资料可以供我查询。
虽然学习压力大，而且每天还要为自己的学术论文奔波，但我从不会粗糙完成。
既然已经投入了时间精力，至少要保证我在学习中一定要有所收获。
读研比在大学学习更加累，大学只需要完成当前的一些学习课程就行，而一名研究生，需要研究的知识更加深奥，付出的时间也更多。
我坚持每天都积极学习，合理利用时间，也让我在这一学年中取得了一些成绩，得到了进步。
概率论与数理统计学习心得
概率论与数理统计学习心得学习概率论与数理统计是我大学期间的一门重要课程。
通过学习这门课程，我深刻理解到概率论和数理统计在实际生活中的广泛应用，并且掌握了一些基本的概率论和数理统计的方法和技巧。
下面是我学习概率论与数理统计的心得体会：概率论是一门研究随机现象和随机过程的数学理论，它在现实生活中有着广泛的应用。
比如，在生活中，我们经常会遇到各种各样的风险和不确定性，概率论可以帮助我们计算和评估这些风险和不确定性的大小。
通过概率论的学习，我了解到了一些重要的概念和定理，比如概率、随机变量、概率分布、条件概率等等。
这些概念和定理在实际应用中非常有用，它们可以帮助我们分析和预测各种概率事件的发生。
概率论的学习过程中，我掌握了一些重要的方法和技巧。
比如，计算复合事件的概率时，可以使用加法原理和乘法原理；计算随机变量的期望值和方差时，可以使用定义公式或者特征函数的方法；根据大数定律和中心极限定理，可以用频率来近似计算概率。
这些方法和技巧在实际应用中非常实用，可以帮助我们快速准确地计算概率。
数理统计是一门研究如何从样本中去推断总体特征的学科，它在现实生活中也有着广泛的应用。
比如，在市场调研中，我们需要通过对少数样本的调查，来推断整个市场的情况；在医学研究中，我们需要通过对少数病例的观察，来推断整个人群的病情。
通过数理统计的学习，我了解到了一些重要的概念和定理，比如样本、总体、参数、统计量、抽样分布等等。
这些概念和定理在实际应用中非常有用，它们可以帮助我们分析和推断各种统计问题。
数理统计的学习过程中，我掌握了一些重要的方法和技巧。
比如，构造适当的统计量来推断总体参数；根据大样本的性质来做假设检验和置信区间估计；构造适当的统计模型来分析实际问题。
这些方法和技巧在实际应用中非常实用，可以帮助我们进行统计推断和统计分析。
概率论与数理统计的学习过程中，我发现了一些重要的思想和原则。
比如，随机性是自然界的一种基本规律，我们必须要适应和接受这种随机性；在实际问题中，要善于抽象和建模，将实际问题转化为数学问题；要善于利用数据和信息来进行决策和判断；要注重方法的合理性和可靠性，不要盲目追求结果。
期末学习反思总结6篇
期末学习反思总结6篇期末学习反思总结 (1) 时光飞逝，一个学期匆匆过去了!在这初中的第一个学期，我获得了很多。
记得刚刚转来这所学校时，我不是很喜欢。
不喜欢陌生的同学，不喜欢严格的老师，不喜欢枯燥的课程。
一切在我的眼里都是那么陌生，那么无趣。
渐渐地，我尝试着去适应这个新环境。
我记得，我开始喜欢这所学校时，是校运会举办的时候。
校运会的前一天，是我们班何昊峰同学的生日。
那天，我们全班人都想为他举办一个特别的生日会。
我们分工合作，布置黑板的布置黑板，放哨的放哨做那么多就是为了能给他一份惊喜。
最后，不但他被感动了，连我也开始渐渐地喜欢这个班级。
第二天便是校运会了，我们团结一致，首先布置好我们的大本营，然后又一起为运动员们加油呐喊。
校运会挥洒的不只是汗水，更是我们爱这个集体的心。
通过这个校运会，使我彻底的爱上这个班级。
渐渐的，我发现这个班级很团结，体现在我们都很乐意为这个班级做出贡献。
每一次有什么班级活动，我们都会齐心一起策划怎样能做更好。
当然，我认为这也有一些是我的功劳吧!呵呵，我认为每一次班级有什么活动，我都是很主动的，因为我的集体主义精神很很强。
我们班争做活得起来，静的下去我把他们带活了吧!而我最印象深刻的是哪一天呢?我想应该是1月1日元旦汇演吧!那天，我真的很开心。
我要同时表演两个节目。
一个是大合奏，另一个是我们要唱班歌。
想到我们挥洒了那么久的汗水就要在几千人面前表演，我的心是多么激动啊!我怀揣着自信心成功地表演完节目。
要散场时，我又是多么不舍得啊!我舍不得那个舞台，我舍不得我们排练的时光，我舍不得大合奏的同学和老师我们含辛茹苦的努力就在台上几分钟就没了!这个学期总算过去了，时间过得真是匆忙。
虽然在这个学期我的成绩不怎么样，但是我收获了最重要的东西，友谊和团结。
我建立好了很好的人缘，懂得了团结协作的重要性。
有这些我很足够，到下学期，我要向好成绩更迈进一步。
我还要让A11活起来!期末学习反思总结 (2) 转眼间研究生的生活已经有一学期了，感觉才参加复试没多久，回头想想，这一年过的真快，因为生病，耽误了很多时间，收获太少，遗憾太多。
应用随机过程学习心得
竭诚为您提供优质文档/双击可除应用随机过程学习心得篇一：随机过程知识点总结第一章：考试范围1.3,1.41、计算指数分布的矩母函数.2、计算标准正态分布x~n(0,1)的矩母函数.3、计算标准正态分布x~n(0,1)的特征函数.第二章：1.随机过程的均值函数、协方差函数与自相关函数2.宽平稳过程、均值遍历性的定义及定理3.独立增量过程、平稳增量过程，独立增量是平稳增量的充要条件1、设随机过程Z(t)?x?Yt，t??.若已知二维随机变量(x,Y)的协方差矩阵为??12??，求Z(t)的协方差函数.?22?2、设有随机过程{x(t),t?T}和常数a，Y(t)?x(t?a)?x(t)，t?T，计算Y(t)的自相关函数（用Rx(s,t)表示）.3、设x(t)?Z1cos?t?Z2sin?t，其中Z1,Z2~n(0,?2)是独立同分布的随机变量，?为实数，证明x(t)是宽平稳过程.4、设有随机过程Z(t)?xsint?Ycost，其中x和Y是相互独立的随机变量，它们都分别以0.5和0.5的概率取值-1和1，证明Z(t)是宽平稳过程.第三章：1.泊松过程的定义（定义3.1.2）及相关概率计算2.与泊松过程相联系的若干分布及其概率计算3.复合泊松过程和条件泊松过程的定义1、设{n(t),t?0}是参数??3的poisson过程，计算：(1).p{n(1)?3}；(2).p{n(1)?1,n(3)?3}；(3).p{n(1)?2n(1)?1}.2、某商场为调查顾客到来的客源情况，考察了男女顾客来商场的人数.假设男女顾客来商场的人数分别独立地服从每分钟2人与每分钟3人的泊松过程.(1)．试求到某时刻t时到达商场的总人数的分布；(2).在已知t时刻有50人到达的条件下，试求其中恰有30位女性的概率，平均有多少个女性顾客？3、某商店顾客的到来服从强度为4人/小时的poisson过程，已知商店9：00开门，试求：(1).在开门半小时中，无顾客到来的概率；(2).若已知开门半小时中无顾客到来，那么在未来半小时中，仍无顾客到来的概率。
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应用随机过程学习总结一、预备知识：概率论随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。
1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。
符号解释： sup表示上确界， inf表示下确界。
本帖隐藏的内容2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。
其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。
3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。
条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X) = E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。
二、随机过程基本概念和类型随机过程是概率空间上的一族随机变量。
因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。
同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。
1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t) = r(-t)记为宽平稳随机过程。
因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。
2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。
若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。
兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。
3、随机过程的分类不是绝对的。
例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。
参数为lambda 的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。
三、泊松过程计数过程｛N(t), t>=0｝是参数为λ的泊松过程（λ> 0），具有平稳独立增量性。
而其任意时间长度t发生的次数服从均值为λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。
1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定义Tn表示第n次事件发生的时刻，规定T0= 0。
其中，Xn服从参数为λ的指数分布，且相互独立。
泊松过程在任何时候都是重新开始。
Tn服从参数为n和λ的Γ分布四、更新过程更新过程{N(t),t>=0}中Xn仍保持独立同分布性，但分布任意，不再局限于指数分布。
更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时Xn就是第n-1次和第n次更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。
由强大数定理可知，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。
因此，有限长时间内最多只能发生有限次更新。
1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关E[N(t)]的性质。
以M(t)记为E[N(t)]，称为更新函数。
此时，M(t)是关于t的函数而不是随机变量。
2、更新方程：若H(t)，F(t)为已知，且当t<0时，H(t)与F(t)均为0，同时当H(t)在任何区间上有界时，称具有如下形式的方程K(t) = H(t) + intergral(K(t-s)*dF(s))的方程称为更新方程。
当H(t)为有界函数时，更新方程存在唯一的有限区间内的有界的解K(t) = H(t) + intergral(H(t-s)*dM(s))。
3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、关键更新定理。
其中Blackwell定理指出，在远离原点的某长度为a的区间内，更新次数的期望是a/u，u = E(Xn)。
同时，Smith关键更新定理与Blackwell定理等价。
五、马尔科夫链马尔科夫链中的转移概率为条件概率，同时给定过去的状态X0，…，Xn-1和现在的状态Xn，将来的状态Xn+1的条件分布与过去的状态独立，只依赖于现在的状态。
其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}为马尔科夫链的一步转移概率，它代表处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。
当转移概率Pij只与状态i，j有关而与n无关时，称为时齐马尔科夫链，同时当状态有限时，称为有限链。
转移概率矩阵中概率非负，同时随机矩阵中每一行的元素和为1。
记Pij(n)为n步转移概率，它指系统从状态i经过n步后转移到状态j的概率，而对中间n-1步转移经过的状态无要求。
对n步转移概率和转移矩阵，有C-K方程公式。
1. 状态的分类和性质：如果状态i经过n步转移后到达j的概率大于0，称状态i可达状态j。
若同时状态j可达状态i，则称i与j互通，两两互通的状态有传递性。
我们将互通的各个状态归为一类，自己和自己互通，当一个马尔科夫链中只有一类时称为不可约类，否则则是可约类。
如果状态i可以经过n步回到i状态，则将所有n的最大公约数记为状态i的周期，即d(i)，如果d>1，则称i是周期的，如果d=1则为非周期，空集时为无穷大。
同属于一类的两状态周期相同。
记状态i出发经n步后首次到达j的概率为Fij(n)，则所有可能n的概率Fij(n)加起来的和记为Fij。
若Fij=1，i为常返状态，Fij< 1，i为非常返状态或瞬时状态。
对于常返状态i，记Ui为从i第一次回到i的期望步长，若Ui有限，称i为正常返状态，若趋于无穷大，则为零常返状态。
若正常返状态i同时还是非周期的，则称之为遍历状态。
若遍历状态且Fii(1)=1，则称为吸收状态，此时Ui=1。
对于同属于一类的状态i，j，他们同为常返状态或非常返状态，并且当他们是常返状态时，又同为正常返状态或零常返状态。
状态i至j的n步转移概率与首达概率间存在一定关系。
同时若i与j互通且i为常返状态，则Fji = 1。
2. 极限定理及平稳分布：马尔科夫链的极限情况即状态i经过无穷多步转移后到达i的概率是多少。
有结论，若状态i是周期为d的常返状态，则Pii(nd) = d/Ui，即经过无穷多步后回到i的概率为常数，上述定理对Pij也有效。
同时，不可约的有限马尔科夫链是正常返的。
若对于马尔科夫链Pj = P(Xn = j) = sum(Pi*Pij)，则概率分布Pj为平稳分布。
因为此时，对于任意Xn均有相同的分布。
同时，对于遍历的马尔科夫链，极限分布就是平稳分布并且还是唯一的平稳分布。
极限分布即为很长时间后，无论最开始状态如何，最终达到某一状态的概率。
若对于遍历的马尔科夫链，该概率是稳定的趋于常数。
3. 连续时间马尔科夫链、Kolmogorov微分方程六、鞅鞅的定义是从条件期望出发，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略依赖于前面的赌博结果，赌博是“公平的”。
因此，任何赌博者都不可能通过改变赌博策略将公平的赌博变成有利于的赌博。
如果将“鞅”描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了“有利”赌博与“不利”赌博。
随机过程｛Sn, n>=0｝称为Fn=sigma{X0,X1,…,Xn}适应的，如果对任意n>=0，Sn是Fn可测的，即Sn可以表示为X0,X1,X2,…,Xn的函数1. 鞅的停时定理：任意随机函数T是关于{Xn，n>=0}的停时，即{T=n}应由n时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，同时T必须是一个停时。
同时，{T<=n}和{T>=n}也由n时刻及其之前的信息完全确定。
若T和S是两个停时，则 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停时。
则在一直Fn完全信息的前提下，有界停时的期望赌本与初始赌本相同。
特别的，当完全信息未知时，有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。
2. 鞅的一致可积性：如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意A，当P(A)<δ时，有E(|Xn|Ia) <ε对任意n成立。
一致可积条件一般较难验证，因此存在两个一致可积的充分条件。
3. 鞅的收敛定理：在很一般的情况下，鞅｛Mn｝会收敛到一个随机变量。
即对于｛Mn, n>=0｝是关于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常数C有限，使得E(|Mn|)<C对任意n成立，则当n趋近于无穷大时，｛Mn｝收敛到一个随机变量Mx。
只有当 Mn一致可积时，才有E(Mx)=E(M0)。
4. 连续鞅：停时定理，收敛定理。
七、布朗运动若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平稳独立增量，对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0, t)称之为标准布朗运动。
布朗运动的二次变差[B,B](t) = t。
布朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于B(t)-B(s) ~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布。
当s=0时，B(t)-B(0)~N(0,t)。
并且，对任意0& lt;=s<t，B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u)，0<=u<=s。
同时，B(t)(t>=0)是t的连续函数。
由于布朗运动在有限维分布是空间平移不变的空间齐次性，只需研究始于0的布朗运动即可。
1. 高斯过程：有限维分布是多元正态分布的随机过程。
布朗运动是一种特殊的高斯过程，即B(t)的任何有限维分布都是正态的。
2. ｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2 - t｝是鞅：即如果连续鞅｛X(t)｝使得｛X(t)^2 - t｝也是鞅，则｛X(t)｝是布朗运动。
3. 布朗运动｛B(t)｝具有马尔科夫性，容易得到B(t+s)在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),…,B(t))下的分布与在给定条件 B(t)下的分布是一致的。
同时由布朗运动具有时齐性，即分布不随时间的平移而变化可知，布朗运动的所有有限维分布都是时齐的。
4. 布朗运动的最大值变量及反正弦率：即求始于y点的布朗运动在区间(a,b)中至少有一个零点的概率为布朗运动的反正弦率。
5. 几何布朗运动X(t) = exp｛B(t)｝为几何布朗运动。
在金融市场中，人们经常假定股票价格是按照几何布朗运动而发生变化。
八、随机积分1. 布朗运动的积分，Ito积分过程，Ito公式，随机微分方程2. Black-Scholes模型。