2013年中考数学全新模拟试题(三)

2013年中考数学全新模拟试题（三）
（120分钟）
一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分） 在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的． 1．－3
的相反数是 A ．3
B ．－3
C ．3±
D ．3
1
-
2．温家宝总理在2010年3月5日的十一届全国人大第三次会议的政府工作报告中指出，2010年，再解决60 000 000农村人口的安全饮水问题。

将60 000 000用科学记数法表示应为
A ．6
106⨯
B ．7
106⨯
C ．8
106⨯
D ．6
1060⨯
3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32o
， 那么∠2的度数是
A.32o
B.58o
C.68o
D.60o
4．一个几何体的三视图如右图所示，这个几何体是 A ．圆锥
B ．圆柱
C ．三棱锥
D ．三棱柱
5．小明要给刚结识的朋友小林打电话，他只记住了电话号码的前
5
位的顺序，后3位是3，6，8三个数字的某一种排列顺序，但具体顺序忘记了，那么小明第一次就拨通电话的概率是
A ．
12
1 B ．61
C ．
4
1
D ．
3
1 俯视图
左 视 图
主视图第4题图
6．2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31，35，31，34，
30，32，31，这组数据的中位数、众数分别是
A.32，31
B.31，32
C.31，31
D.32，35
7．若反比例函数k
y x
=
的图象经过点(3)m m ，，其中0m ≠，则此反比例函数的图象在 A ．第一、三象限
B ．第一、二象限
C ．第二、四象限
8．如图，已知⊙O 是以数轴的原点O 为圆心，半径为1的圆，
45AOB ∠=︒,点P 在数轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直
线与⊙O 有公共点, 设x OP =，则x 的取值范围是
A ．－1≤x ≤1
B ．x ≤2
C ．0≤x ≤2
D ．x ＞2 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．在函数2
3
-=
x y 中，自变量x 的取值范围是 ． 10．如图，CD AB ⊥于E ，若60B ∠=
，则A ∠= 度．
11．分解因式：=+-a 8a 8a 22
3 ．
12．如图，45AOB ∠=
，过OA 上到点O 的距离分别为1357911 ，
，，，，，的点作OA 的垂线与OB 相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234S S S S ，，，，． 则第一个黑色梯形的面积=1S ；观察图中的规律， 第n(n 为正整数)个黑色梯形的面积=n S ．
三、解答题（本题共25分，每小题5分） 13．计算：︒+⎪⎭
⎫
⎝⎛--+--30tan 3312010231
．
第8题
第12题
14. 解分式方程：221
25=---x
x
15. 已知：如图，点E 、F 分别为□ABCD 的BC 、AD 边上的点，且∠1=∠2. 求证：AE=FC.
16．已知0342=+-x x ，求)x 1(21x 2
+--）（的值.
17．如图，直线1l ：1y x =+与直线2l ：y mx n =+相交于点), 1(b P ． （1）求b 的值；
（2）不解关于y x ,的方程组 请你直接写出它的解； （3）直线3l ：y nx m =+是否也经过点P ？请说明理由．
O
x
y
P
第17题
1l
2l
四、解答题（本题共10分，每小题 5分）
18．如图，有一块半圆形钢板，直径AB =20cm ，计划将此钢板切割成下底为AB 的等腰梯形，上底CD 的端点在圆周上，且CD =10cm ．求图中阴影部分的面积.
19. 已知，如图，直线MN 交⊙O 于A,B 两点，AC 是直径，
AD 平分∠CAM 交⊙O 于D ，过D 作DE⊥MN 于E ．
（1）求证：DE 是⊙O 的切线；
（2）若6DE =cm ，3AE =cm ，求⊙O 的半径.
第18题
五、解答题（本题共6分）
20．初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之
一．
为此，某区教委对该区部分学校的八年级学生对待学习的态度
进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学
习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴
趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了名学生；
（2）将图①补充完整；
（3）求出图②中C级所占的圆心角的度数；
（4）根据抽样调查结果，请你估计该区近20000名初中生中大
约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？
六、解答题（本题共9分，21小题 5分，22小题4分）
21．解应用题：
某商场用2500元购进A、B两种新型节能台灯共50盏，这两种台灯的进价、标价如下表所示．
(1)这两种台灯各购进多少盏？
(2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若该商场计划销售这批台灯的总利润不少于
1400元，问至少需购进B种台灯多少盏？
22．如图（1），凸四边形ABCD，如果点P满足
∠=∠=，
APD APBα
∠=∠=，且BPC CPDβ
则称点P为四边形ABCD的一个半等角点．
（1）在图（2）正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足αβ
≠；
（2）在图（3）四边形ABCD中画出一个半等角点P，
保留画图痕迹（不需写出画法）．
七、解答题(共22分,其中23题7分、24题8分，25题7分)
23．已知：关于x 的一元二次方程01)2()1(2=--+-x m x m （m 为实数） （1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；
（2）在（1）的条件下，求证：无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过x 轴上的一个固定点；
（3）若m 是整数，且关于x 的一元二次方程01)2()1(2
=--+-x m x m 有两个不相等的整数根，把抛物线1)2()1(2
--+-=x m x m y 向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．
24．如图，已知抛物线C 1：5)2(2
--=x a y 的顶点为P ，与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），点A 的横坐标是1-． （1）求p 点坐标及a 的值；
（2）如图（1），抛物线C 2与抛物线C 1关于x 轴对称，将抛物线C 2向左平移，平移后的抛物线记为C 3，C 3的顶点为M ，当点P 、M 关于点A 成中心对称时，求C 3的解析式
k h x a y +-=2)(；
（3）如图（2），点Q 是x 轴负半轴上一动点，将抛物线C 1绕点Q 旋转180°后得到抛物线
C 4．抛物线C 4的顶点为N ，与x 轴相交于E 、F 两点（点E 在点F 的左边），当以点P 、N 、E
为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N 的坐标．
25．已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°, ∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H．
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数
量关系：；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．
（可利用（2）得到的结论）
答案一、选择题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）
⎪⎩
⎪
⎨⎧∠=∠=∠=∠D B CD AB 21 ∴△ABE≌△CDF.……………………………………………………………………………4分 ∴AE=CF .………………………………………………………………………………………5分
16．已知0342=+-x x ，求)x 1(21x 2
+--）（的值.
解： )x 1(21x 2
+--）（
x 221x 2x 2
--+-= …………………………………………………………2分 1x 4x 2
--= ………………………………………………………………3分
由,03x 4x 2
=+-得3x 4x 2-=-……………………………………………………4分
所以，原式413-=--= …………………………………………………………5分 17．解：（1）∵),1(b 在直线1+=x y 上， ∴当1=x 时，211=+=b ．…1分
O
x y O
P
1l
（2）解是⎩⎨
⎧==.2,
1y x
…………………3分
（3）直线m nx y +=也经过点P
∵点P )2,1(在直线n mx y +=上， ∴2=+n m .……………………4分 把,1x =代入m nx y +=，得2m =+n .
∴直线m nx y +=也经过点P ．…………………………………………………5分
四、解答题（本题共10分，每小题 5分）
18．解：连结OC ，OD ，过点O 作OE⊥CD 于点E.……………………………………1分 ∵OE⊥CD，∴CE=DE=5,
=53, ……………………………………………………2分 ∵∠OED=90°,DE=
OD 2
1
,∴∠DOE=30°, ∠DOC=60°. ∴3
503601060S 2∏=⨯∏=扇形
(cm 2) …………3分
S △OCD =12·OE·CD = 25 3 (cm 2
) ……………………………………………………4分
∴S 阴影= S 扇形－S △OCD = (503π－253) cm 2
∴阴影部分的面积为(503
π－253) cm 2
. ……………………………………………………5分
说明：不答不扣分． 19．（1）证明：连接OD ． ∵OA=OD ，
OAD ODA ∴∠=∠． ∵AD 平分∠CAM ，
OAD DAE ∠=∠ ， ODA DAE ∴∠=∠． ∴DO∥MN． DE MN ⊥ ，
∴DE⊥OD．………………………………………………………………………………1分
A
∵D 在⊙O 上，
DC ∴是⊙O 的切线．……………………………………………………………………2分 （2）解：90AED ∠= ，6DE =，3AE =，
AD ∴=3分
连接CD ．AC 是⊙O 的直径，
90ADC AED ∴∠=∠= ．
CAD DAE ∠=∠ ，
ACD ADE ∴△∽△．………………………………………………………………………4分 AD AC AE AD
∴
=．
=
∴15AC =（cm ）．
∴⊙O 的半径是7.5cm ． ……………………………………………………………………5分
（说明：用三角函数求AC 长时，得出tan ∠DAC ＝2时，可给4分.） 五、解答题（本题共6分）
20．（1）200；…………………………………………………………………………………1分
（2）2001205030--=（人）．
画图正确． ································ 3分
（3）C 所占圆心角度数360(125%60%)54=⨯--=°°． ············ 4分 （4）20000(25%60%)17000⨯+=（名） ·················· 5分 ∴估计该区初中生中大约有17000名学生学习态度达标． ············ 6分
六、解答题（本题共9分，21小题 5分，22小题4分）
21．解：（1）设A 型台灯购进x 盏，B 型台灯购进y 盏．…………………….……1分 根据题意，得50
40652500
x y x y +=⎧⎨
+=⎩ ···················· 2分
解得：3020x y =⎧⎨=⎩
···························· 3分
（2）设购进B 种台灯m 盏.
根据题意，得 1400)m 50(20m 35≥-+ 解得， 3
80
m ≥
···························· 4分 答：A 型台灯购进30盏，B 型台灯购进20盏；要使销售这批台灯的总利润不少于 1400元，至少需购进B 种台灯27盏 .……………………………………………………5分 22．解 ：
（1）所画的点P 在AC 上且不是AC 的中点和AC 的端点．（如图（2））……………2分 （2）画点B 关于AC 的对称点B '，延长DB '交AC 于点P ，点P 为所求（不写文字说明不扣分）．………………………………………………………………………………………….4分
（说明：画出的点P 大约是四边形ABCD 的半等角点，而无对称的画图痕迹，给1分）
图（2）
A
C
七、解答题(共22分,其中23题7分、24题8分，25题7分) 23．解：（1）△=22)1(4)2(m m m =-+- ∵方程有两个不相等的实数根,
∴0≠m .………………………………………………………………………………………1分 ∵01≠-m ,
∴m 的取值范围是1,0≠≠m m 且.…………………………………………………………2分 （2）证明：令0=y 得，01)2()1(2=--+-x m x m .
∴)
1(2)2()1(2)2(2-±--=
-±--=m m m m m m x . ∴1)1(221-=--+-=
m m m x ，1
1)1(222-=
-++-=m m m m x . …………………………………4分
∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0,1-），（0,1
1-m ）,
∴无论m 取何值，抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y 总过定点（0,1-）.…………5分 （3）∵1-=x 是整数 ∴只需
1
1
-m 是整数. ∵m 是整数，且1,0≠≠m m ,
∴2=m .……………………………………………………………………………………6分 当2=m 时，抛物线为12
-=x y ．
把它的图象向右平移3个单位长度，得到的抛物线解析式为
861)3(22+-=--=x x x y .……………………………………………………………7分
24．解：（1）由抛物线C 1：5)2(2
--=x a y 得顶点P 的坐标为（2，5）………….1分 ∵点A （－1，0）在抛物线C 1上∴9
5
a =
.………………2分
（2）连接PM ，作PH⊥x 轴于H ，作MG⊥x 轴于G.. ∵点P 、M 关于点A 成中心对称, ∴PM 过点A ，且PA ＝MA.. ∴△P A H≌△M AG..
∴MG＝PH ＝5，AG ＝AH ＝3.
∴顶点M 的坐标为（4-，5）.………………………3分 ∵抛物线C 2与C 1关于x 轴对称，抛物线C 3由C 2平移得到 ∴抛物线C 3的表达式5)4(9
5
2++-
=x y . …………4分 （3）∵抛物线C 4由C 1绕x 轴上的点Q 旋转180°得到 ∴顶点N 、P 关于点Q 成中心对称. 由（2）得点N 的纵坐标为5.
设点N 坐标为（m ，5），作PH⊥x 轴于H ，作NG⊥x 轴于G ，作PR ⊥NG 于R. ∵旋转中心Q 在x 轴上, ∴EF＝AB ＝2AH ＝6.
∴EG ＝3，点E 坐标为（3m -，0），H 坐标为（2，0），R 坐标为（m ，－5）. 根据勾股定理，得
,104m 4m PR NR PN 2
2
2
2+-=+= 50m 10m HE PH PE 2222+-=+=
3435NE 2
22=+=
①当∠PN E ＝90º时，PN 2+ NE 2
＝PE 2
，
解得m ＝344-，∴N 点坐标为（3
44
-，5）
②当∠P EN ＝90º时，PE 2
+ NE 2
＝PN 2
， 解得m ＝310-
，∴N 点坐标为（3
10-，5）. ③∵PN＞NR ＝10＞NE ，∴∠NP E ≠90º ………7分 综上所得，当N 点坐标为（344-
，5）或（3
10
-，5）时，以点P 、N 、E 为顶点的三角形是直角三角形．…………………………………………………………………………………8分 说明：点N 的坐标都求正确给8分，不讨论③不扣分．
25．解：（1）如图①AH=AB………………………..1分 （2）数量关系成立.如图②，延长CB 至E ，使BE=DN ∵ABCD 是正方形
∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°
∴Rt△AEB≌Rt△AND………………………………3分
∴AE=AN，∠EAB=∠NAD
∴∠EAM=∠NAM=45°
∵AM=AM
∴△AEM≌△ANM………………………………….4分∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高，
∴AB=AH…………………………………………….. .5。