研究性学习课题报告[高中函数解题]

研究性学习报告
课题：高中函数解题技巧
摘要：本文是我们小组11位同学综合实践活动的成果，阐述了高中函数的知识点、基本题型和部分结题技巧。

关键词：数学 函数 解题技巧 知识点梳理 正文：
1. 对于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“确定性、互异性、无序性”。

2．进行集合的交、并、补运算时，不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

3. 用补集思想解决问题（排除法、间接法）
4. 映射f ：A →B ， A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性。

（一对一，多对一，允许B 中有元素无原象。

）
注意映射个数的求法。

如集合A 中有m 个元素，集合B 中有n 个元素，则从A 到
B 的映射个数有n m
个。

5. 函数的三要素（定义域、对应法则、值域）
6. 相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 7．函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一；对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。

●
正切函数x y tan = ⎪⎭
⎫ ⎝
⎛∈+
≠∈Z π
πk k x R x ,2,且 8．求复合函数的定义域
已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为[])(x g f y =的定义域。

9．函数值域的求法
【1】直接观察法
对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例 求函数y=
x
1
的值域 【2】配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。

例、求函数y=2x -2x+5，x ∈[-1，2]的值域。

【3】判别式法
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简，不必拘泥在判别式上面 【4】反函数法
直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。

【5】函数有界性法
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。

【6】函数单调性法
通常和导数结合，是最近高考考的较多的一个内容 【7】换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含根式或三角函数公式模型。

换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。

【8】数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等。

【9】不等式法
利用基本不等式a+b ≥2ab ，a+b+c ≥3abc 3（a ，b ，c ∈
R
+
），求函数的
最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不
过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

【10】倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
10. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时，注明函数的定义域。

切记：做题，特别是做大题时， 一定要注意附加条件，如定义域、单位等. 11 . 如何用定义证明函数的单调性？ （取值、作差、判正负）
12判断函数单调性的方法有三种：
(1)定义法： (2)参照图象：(3)利用单调函数的性质： 13函数f(x)具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？ （f(x)定义域关于原点对称）
若总成立为奇函数函数图象关于原点对称f x f x f x ()()()-=-⇔⇔ 若总成立为偶函数函数图象关于轴对称f x f x f x y ()()()-=⇔⇔ 注意如下结论：
（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。

（）若是奇函数且定义域中有原点，则。

2f(x)f(0)0= 14判断函数奇偶性的方法
一、 定义域法
一个函数是奇（偶）函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇（偶）函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数. 二、 奇偶函数定义法
在给定函数的定义域关于原点对称的前提下，计算)(x f -，然后根据函数的奇偶性的定义判断其奇偶性.
这种方法可以做如下变形f(x)+f(-x) =0 奇函数f(x)-f(-x)=0 偶函数f(x)
1 偶函数 f(-x)f(x)
1 奇函数f(-x)
==- 三、 复合函数奇偶性
15. 周期函数的定义
()（若存在实数（），在定义域内总有，则为周期
T T f x T f x f x ≠+=0()()
函数，T 是一个周期。

）
()如：若，则
f x a f x +=-()
（答：是周期函数，为的一个周期）f x T a f x ()()=2
16. 常用的图象变换
f x f x y ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(-x,y) f x f x x ()()与的图象关于轴对称- 联想点（x,y ）,(x,-y) f x f x ()()与的图象关于原点对称-- 联想点（x,y ）,(-x,-y) f x f x y x ()()与的图象关于直线对称-=1 联想点（x,y ）,(y,x) f x f a x x a ()()与的图象关于直线对称2-= 联想点（x,y ）,(2a-x,y) f x f a x a ()()()与的图象关于点，对称--20 联想点（x,y ）,(2a-x,0)
将图象左移个单位右移个单位y f x a a a a y f x a y f x a =>−→
−−−−−−−−>=+=-()()()()
()00上移个单位下移个单位b b b b y f x a b y f x a b
()()()()>−→
−−−−−−−−>=++=+-00
17 如何解抽象函数问题？ （赋值法、结构变换法） 1、 代y=x ，
2、 令x=0或1来求出f(0)或f(1)
3、 求奇偶性，令y=—x ；求单调性：令x+y=x 1
18.几类常见的抽象函数 1. 正比例函数型的抽象函数
f （x ）＝kx （k ≠0）---------------f （x ±y ）＝f （x ）±f （y ） 2. 幂函数型的抽象函数
f （x ）＝x a
----------------f （xy ）＝ f （x ）f （y ）；f （y x ）＝)
()
(y f x f 3.
指数函数型的抽象函数
f （x ）＝a x ------------------- f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）；f （x －y ）＝)
()
(y f x f 4.
对数函数型的抽象函数
f （x ）＝lo
g a x （a >0且a ≠1）-----f （x ·y ）＝f （x ）＋f （y ）；f （
y
x
）＝ f （x ）－f （y ） 5. 三角函数型的抽象函数 f （x ）＝t gx-------------------------- f （x ＋y ）＝)
()(1)
()(y f x f y f x f -+
f （x ）＝cot x------------------------ f （x ＋y ）＝
)
()(1
)()(y f x f y f x f +-
以上调查研究报告，只是我们11位同学在课余时间内所做的一点粗浅的研究，这是我们进入高中阶段在综合实践活动课上的第一次尝试，其中有很多不足之处，希望老师和同学们给予指正。

在此要感谢老师对我们精心指导和大力帮助，也对曾经帮助过我们的同学、老师和家长表示由衷的感谢。

参考资料：百度文档《高中函数解题方法高考专版》。

《五年高考三年模拟》《高中数学解题题典》《高中数学解题技巧》。