数学分析华东师大版上
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时)一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算sin、实数定义等问题引入.322.极限( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
《数学分析》概述授课章节：《数学分析》概述教学目的：１．通过教学使学生对《数学分析》这门课有总体的了解，明确研究对象及主要内容； ２．通过教学使学生明确《数学分析》课在所学专业中的地位和主要作用，以引起重视； ３．通过教学使学生明确《数学分析》的课程安排、考核及成绩的评定标准；４．通过教学使学生懂得参考书的使用及作业的要求．教学重点：数学分析的研究对象、主要内容．教学难点：主要内容的介绍．教学方法：讲座形式．教学程序：讲座提纲１．《数学分析》这门课到底要研究什么（即研究对象）？２．《数学分析》的主要内容；３．《数学分析》与后继课程的关系；４．《数学分析》课程安排及考核；５．《数学分析》学习中应该注意的一些问题；６．《数学分析》的参考书目；７．作业要求．一、研究对象变量间的关系及变化过程，具体表现为函数及其性质.函数及其性质：单调性、有界性、奇偶性、最大（小）值、极大（小）值、周期性、图象、……需要指明的是：中学也研究函数的这些性质，但主要采用“静止”、“孤立”的方法去研究函数．而在《数学分析》中主要采用“运动”、“联系”、“变化”的过程把握变化的结果．因而《数学分析》中的方法具“运动性”、“变化性”．如何研究函数？通过什么方式、角度去研究呢？或用什么样的工具去研究函数呢？这些构成《数学分析》的主要内容．二、主要内容1.极限的方法（极限论）．（２、３、４、１６章） 例如，从极限的观点看函数1y x=． 一般函数的极限如何定义？其性质如何？—----极限论．2.微分（学）．（５、６、１７、１８章）研究函数的增量相对于自变量的增量的变化率问题．例如：设()y f x =是一函数，令0,x x x =- 0()().y f x x f x ∆=+- 要问y ∆随x ∆的变化趋势如何？特别地，y x∆∆的变化趋势如何？ 3.积分学：（８、９、１０、１１、１９、２０、２１、２２章）4.级数论：（１２、１３、１４、１５章） 研究无穷多个函数的可和性问题．例如211(||1)1n x x x x x-+++++=<- ．综上，《数学分析》这门课主要由四大块内容组成：极限论、微分论、积分学和级数论．这四大块不是孤立的，而是存在着密切的联系．其中“极限论”是“基础”，其它是“上层建筑”．但这里需要提出的是，作为“基础”的“极限理论”的完善远远晚于其它几个方面的应用，因而引起许多争议．对此感兴趣的同学可读一读教材的附录中281-288页的“微积简史”部分，会对此有所了解．三、与后继课程的关系《数学分析》课程是数学系数学教育专业的专业基础核心课程，它的学习时间长（三个学期，234学时），学习内容多，学分最多（13学分），是从初等数学到高等数学过渡的桥梁，是学生学习数学教育专业其它后继课程（如：大学物理、微分方程、概率论与数理统计、微分几何、复变函数、计算机数值方法、实变函数与泛函分析等）的重要基础.这些课都以《数学分析》为先修课程，如果不开《数学分析》或晚开《数学分析》，将直接影响到这些课程的开设.同时还为培养学生分析问题和解决问题的能力提供必要的训练，从而提高学生的实践能力和创新能力.掌握这门课程的基本理论和基本方法，对于学习本专业基础课和专业课以及进一步学习、研究和应用都是至关重要.四、课程安排、考核及成绩评定方法1、学时分配：三个学期，总学时234，总学分13第一学期：每周5学时（上课内容从“第一章实数集与函数”到“第八章不定积分”，上课时间18周，学时90，学分5）；第二学期：每周４学时（上课内容从“第九章定积分”到“第十五章傅里叶级数”，上课时间18周，学时72，学分4）；第三学期：每周４学时（上课内容从“第十六章多元函数的极限与连续”到“第二十二章曲面积分”，上课时间18周，学时72，学分4）.2、考核方式：闭卷考试（期中测验，期未期终考试）.3、成绩评定：采用百分制平时成绩：30分（其中：1）作业占10%；2）听课率、课堂提问回答等占10%；3）期中测验占10%）；期未考试：70分.五、学习体会从高中到大学，显然是衔接的，但毕竟是不同的阶段．主要表现在；中学数学 大学数学在教材方面 内容少，较直观、具体、理论性不强，研究的常量数学、固定的图形 内容多、较抽象、理论性强，研究的变量、图形的变化在听课方面 听 课前预习；课中认真听课和记笔记；课后及时复习在复习方面 整理笔记，及时复习在习题方面 主要是计算，验证少、理论性弱 概念、论证多、理论性强、数学语言表达准确，通过作业巩固学习内容六、参考书1．吴良森、毛羽辉等编《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社，2004.8.2．刘玉琏、傅沛仁编《数学分析讲义》第三版（上、下册），高等教育出版社，1992.7.3．吉米多维奇著《数学分析习题集》，李荣冻译，人民教育出版社，1958.6.4．菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（修订本），叶彦谦等译，人民教育出版社，1959.8.七、作业要求作业整洁；字迹工整，书写清晰；解题格式要完整；勿抄作业，习题答案只能作为参考.。
数学分析华东师大第一章第一节
( 2) x1 x2 , y1 y2 , 则 x1 y1 x2 y2 .
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四、实数的阿基米德性
实数具有阿基米德性:
a, b R + , n N+ , 使得 nb a.
k 1 π a 与 b 之间的有理数, 而 是 a 与 b 之间 n 4n 的无理数.
例2 若a , b R, 对 0，a b ，则 a b. 证 倘若a b，设 a b 0, 则 a b ,
与 a b 矛盾.
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k 1 k 2 k 1 k 2 于是, a b, 则 , 是 n n n n
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若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的. 即: 若 x a0 .a1a2 an ,
y b0 .b1b2 bn ,
则 x y an bn , n 0, 1, 2, . 用无限小数表示实数，称为正规表示. m 3. Q { x | x , 其中 m , n Z, n 0} 表示有理数集. n x Q, x 可用循环十进制小数表示， 1 42857 . 如 0 .1 7
4. 无理数为无限不循环小数.
如:π 3.1415926 ;
x 0.1010010001 .
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二、实数的大小
定义1 x , y R + , 若
x a0 .a1a2 an , y b0 .b1b2 bn
是正规的十进制小数表示, 规定
a b a0 b0 或 n N+ , 使
【精品】数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章
数学分析教案_(华东师大版)上册全集_1-10章第一章实数集与函数导言数学分析课程简介( 2 学时 )一、数学分析(mathematical analysis)简介:1.背景: 从切线、面积、计算 32sin、实数定义等问题引入.2.极限 ( limit ) ——变量数学的基本运算：3.数学分析的基本内容：数学分析以极限为基本思想和基本运算研究变实值函数.主要研究微分(differential)和积分(integration)两种特殊的极限运算,利用这两种运算从微观和宏观两个方面研究函数, 并依据这些运算引进并研究一些非初等函数. 数学分析基本上是连续函数的微积分理论.微积运算是高等数学的基本运算.数学分析与微积分(calculus)的区别.二、数学分析的形成过程：1.孕育于古希腊时期：在我国，很早就有极限思想. 纪元前三世纪, Archimedes就有了积分思想.2.十七世纪以前是一个漫长的酝酿时期,是微积分思想的发展、成果的积累时期.3.十七世纪下半叶到十九世纪上半叶——微积分的创建时期.4.十九世纪上半叶到二十世纪上半叶——分析学理论的完善和重建时期：三、数学分析课的特点:逻辑性很强, 很细致, 很深刻; 先难后易, 是说开头四章有一定的难度, 倘能努力学懂前四章(或前四章的), 后面的学习就会容易一些; 只要在课堂上专心听讲, 一般是可以听得懂的, 但即便能听懂, 习题还是难以顺利完成. 这是因为数学分析技巧性很强, 只了解基本的理论和方法, 不辅以相应的技巧, 是很难顺利应用理论和方法的. 论证训练是数学分析课基本的,也是重要的内容之一, 也是最难的内容之一. 一般懂得了证明后, 能把证明准确、严密、简练地用数学的语言和符号书写出来，似乎是更难的一件事. 因此, 理解证明的思维方式, 学习基本的证明方法, 掌握叙述和书写证明的一般语言和格式, 是数学分析教学贯穿始终的一项任务.有鉴于此, 建议的学习方法是: 预习, 课堂上认真听讲, 必须记笔记, 但要注意以听为主, 力争在课堂上能听懂七、八成. 课后不要急于完成作业, 先认真整理笔记, 补充课堂讲授中太简或跳过的推导, 阅读教科书, 学习证明或推导的叙述和书写. 基本掌握了课堂教学内容后, 再去做作业. 在学习中, 要养成多想问题的习惯.四、课堂讲授方法:1.关于教材及参考书:这是大学与中学教学不同的地方, 本课程主要从以下教科书中取材:[1]华东师范大学数学系编，数学分析，高等教育出版社，2001；[2]刘玉琏傅沛仁编，数学分析讲义，高等教育出版社，1992；[3]谢惠民，恽自求等数学分析习题课讲义，高等教育出版社，2003；[4]马振民，数学分析的方法与技巧选讲，兰州大学出版社，1999；[5]林源渠，方企勤数学分析解题指南，北京大学出版社，2003.2.本课程按[1]的逻辑顺序并在其中取材.本课程为适应教学改革的要求，只介绍数学分析最基本的内容，并加强实践环节，注重学生的创新能力的培养。
数学分析上册-华东师范大学数学系
数学分析上册(第三版)华东师范大学数学系 编高等教育出版社内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.内容包括实数集和函数,数列极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实数完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录为微积分学简史,实数理论,积分表.本书可作为高等师范院校或其他类型学校数学专业的教材使用. 图书在版编目(CIP)数据 数学分析.上册华东师范大学数学系编.—3版.北京:高等教育出版社,2000 ISBN7-04-009137-2 Ⅰ.数… Ⅱ.华… Ⅲ.数学分析—高等学校—教材 Ⅳ.017 中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第75486号数学分析 上册 第三版华东师范大学数学系 编出版发行 高等教育出版社社 址 北京市东城区沙滩后街55号 邮政编码 100009电 话 010-********传 真 010-********网 址 http: http:经 销 新华书店北京发行所印 刷 开 本 787×960 116版 次 1981年4月第1版印 张 22 年 月第 版字 数 400000印 次 年 月第 次印刷定 价 18.70元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。
版权所有 侵权必究责任编辑 高尚华封面设计 张 楠责任绘图 郝 林版式设计 马静如责任校对 马桂兰责任印制 第三版前言华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第二版使用基础上进行修订.此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见,召开了使用教材情况的座谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情况,以适应对21世纪新教材的需求.关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原理.在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密.积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿—莱布尼茨公式,这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要选用.根据使用院校意见,反常积分和含参量积分各自独立成章.二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节.在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用.对于加“＊”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求.2第三版前言附录Ⅰ 微积分学简史.由张奠宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积分学发展的线索.附录Ⅱ 实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近,在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应.附录Ⅲ 积分表.在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好符合教学的需要.这次修订由吴良森任主编.上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改.下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强负责编写组织.最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件.程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿,并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢.郑英元教授对修订提了许多积极的建议.高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教授对本书修改提供了宝贵的意见.陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致以深切的谢意.华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表示感谢.第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正.编者1999年9月再版的话本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择性,以期适应各类学校师生的需要.修改的主要内容有:在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些内容,如有界集,确界和确界原理等.在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来采用柯西列定义实数,虽有不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整.对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章.在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理(小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体.在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印).压缩了反常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中.为便于重积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节.2再版的话关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论.张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录Ⅰ).我们认为,知道一点微积分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的.在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计算题答案.在新版中,用记号表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ“积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索.这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持.在此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正.编 者上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿.下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿.编者的话(初版)本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分析》大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及其他高等院校有关专业的教学参考书.关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用ε-δ定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用.本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进行练习.书末并附有计算题的答案.本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有:陈昌平、陈美廉、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等同志也参加过一些工作.北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大学、贵阳师范学院、徐州师范学院、新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等.甘肃师范大学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见.在审查过程中,大家对原稿提出了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示衷心的感谢.由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正.编者1979.11又及,本书最后定稿时,曾照一九八年五月在上海举行的高等学校理科数学教材编审委员会审订的《数学分析》大纲作了修订.编者1980.9目 录第一章 实数集与函数§1 实数1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 实数及其性质1………………………………………………………………… 二 绝对值与不等式3§2 数集·确界原理4………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 区间与邻域5………………………………………………………………… 二 有界集·确界原理5§3 函数概念10………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 函数的定义10 二 函数的表示法11……………………………………………………………………………………………………………………………………… 三 函数的四则运算11………………………………………………………………………… 四 复合函数12…………………………………………………………………………… 五 反函数13………………………………………………………………………… 六 初等函数14§4 具有某些特性的函数16…………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 有界函数16………………………………………………………………………… 二 单调函数17………………………………………………………………… 三 奇函数和偶函数19………………………………………………………………………… 四 周期函数19第二章 数列极限§1 数列极限概念23…………………………………………………………………§2 收敛数列的性质28………………………………………………………………§3 数列极限存在的条件35…………………………………………………………第三章 函数极限§1 函数极限概念42………………………………………………………………… 一 x趋于∞时函数的极限42………………………………………………………… 二 x趋于x0时函数的极限43………………………………………………………§2 函数极限的性质48………………………………………………………………§3 函数极限存在的条件52…………………………………………………………§4 两个重要的极限56……………………………………………………………… 一 证明limx→0sin xx=156……………………………………………………………… 二 证明limx→∞1+1xx=e56…………………………………………………………§5 无穷小量与无穷大量59………………………………………………………… 一 无穷小量59………………………………………………………………………… 二 无穷小量阶的比较60……………………………………………………………… 三 无穷大量62………………………………………………………………………… 四 曲线的渐近线64……………………………………………………………………第四章 函数的连续性§1 连续性概念69…………………………………………………………………… 一 函数在一点的连续性69…………………………………………………………… 二 间断点及其分类71………………………………………………………………… 三 区间上的连续函数72………………………………………………………………§2 连续函数的性质74……………………………………………………………… 一 连续函数的局部性质74…………………………………………………………… 二 闭区间上连续函数的基本性质75………………………………………………… 三 反函数的连续性78………………………………………………………………… 四 一致连续性79………………………………………………………………………§3 初等函数的连续性82…………………………………………………………… 一 指数函数的连续性82……………………………………………………………… 二 初等函数的连续性83………………………………………………………………第五章 导数和微分§1 导数的概念87…………………………………………………………………… 一 导数的定义87……………………………………………………………………… 二 导函数90…………………………………………………………………………… 三 导数的几何意义91…………………………………………………………………§2 求导法则95………………………………………………………………………… 一 导数的四则运算95…………………………………………………………………2目 录 二 反函数的导数97…………………………………………………………………… 三 复合函数的导数98………………………………………………………………… 四 基本求导法则与公式101…………………………………………………………§3 参变量函数的导数103…………………………………………………………§4 高阶导数106………………………………………………………………………§5 微分110…………………………………………………………………………… 一 微分的概念110…………………………………………………………………… 二 微分的运算法则112……………………………………………………………… 三 高阶微分113……………………………………………………………………… 四 微分在近似计算中的应用114……………………………………………………第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性119…………………………………………… 一 罗尔定理与拉格朗日定理119…………………………………………………… 二 单调函数123………………………………………………………………………§2 柯西中值定理和不定式极限125……………………………………………… 一 柯西中值定理125………………………………………………………………… 二 不定式极限127……………………………………………………………………§3 泰勒公式134……………………………………………………………………… 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式134……………………………………………… 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式138…………………………………………… 三 在近似计算上的应用140…………………………………………………………§4 函数的极值与最大(小)值142………………………………………………… 一 极值判别142……………………………………………………………………… 二 最大值与最小值144………………………………………………………………§5 函数的凸性与拐点148…………………………………………………………§6 函数图象的讨论154……………………………………………………………… ＊§7 方程的近似解155…………………………………………………………………第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理161…………………………………………… 一 区间套定理与柯西收敛准则161………………………………………………… 二 聚点定理与有限覆盖定理163…………………………………………………… ＊三 实数完备性基本定理的等价性166……………………………………………§2 闭区间上连续函数性质的证明168……………………………………………3目 录 ＊§3 上极限和下极限172………………………………………………………………第八章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式176…………………………………………… 一 原函数与不定积分176…………………………………………………………… 二 基本积分表179……………………………………………………………………§2 换元积分法与分部积分法182………………………………………………… 一 换元积分法182…………………………………………………………………… 二 分部积分法187……………………………………………………………………§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分190……………………………… 一 有理函数的不定积分190………………………………………………………… 二 三角函数有理式的不定积分194………………………………………………… 三 某些无理根式的不定积分195……………………………………………………第九章 定 积 分§1 定积分概念200…………………………………………………………………… 一 问题提出200……………………………………………………………………… 二 定积分的定义201…………………………………………………………………§2 牛顿—莱布尼茨公式204………………………………………………………§3 可积条件207……………………………………………………………………… 一 可积的必要条件207……………………………………………………………… 二 可积的充要条件208……………………………………………………………… 三 可积函数类209……………………………………………………………………§4 定积分的性质213………………………………………………………………… 一 定积分的基本性质213…………………………………………………………… 二 积分中值定理217…………………………………………………………………§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)220…………………………………… 一 变限积分与原函数的存在性220………………………………………………… 二 换元积分法与分部积分法224…………………………………………………… 三 泰勒公式的积分型余项227……………………………………………………… ＊§6 可积性理论补叙231……………………………………………………………… 一 上和与下和的性质231…………………………………………………………… 二 可积的充要条件233………………………………………………………………4目 录第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积239………………………………………………………………§2 由平行截面面积求体积243……………………………………………………§3 平面曲线的弧长与曲率247…………………………………………………… 一 平面曲线的弧长247……………………………………………………………… 二 曲率250……………………………………………………………………………§4 旋转曲面的面积253……………………………………………………………… 一 微元法253………………………………………………………………………… 二 旋转曲面的面积254………………………………………………………………§5 定积分在物理中的某些应用255……………………………………………… 一 液体静压力255…………………………………………………………………… 二 引力256…………………………………………………………………………… 三 功与平均功率257………………………………………………………………… ＊§6 定积分的近似计算259………………………………………………………… 一 梯形法260………………………………………………………………………… 二 抛物线法260………………………………………………………………………第十一章 反常积分§1 反常积分概念264………………………………………………………………… 一 问题提出264……………………………………………………………………… 二 两类反常积分的定义265…………………………………………………………§2 无穷积分的性质与收敛判别270……………………………………………… 一 无穷积分的性质270……………………………………………………………… 二 比较判别法271…………………………………………………………………… 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273……………………………………………§3 瑕积分的性质与收敛判别276…………………………………………………附录Ⅰ 微积分学简史281……………………………………………………………附录Ⅱ 实数理论289………………………………………………………………… 一 建立实数的原则289……………………………………………………………… 二 分析290…………………………………………………………………………… 三 分划全体所成的有序集292……………………………………………………… 四 R中的加法294…………………………………………………………………… 五 R中的乘法295…………………………………………………………………… 六 R作为Q的扩充297………………………………………………………………5目 录6目 录 七 实数的无限小数表示299………………………………………………………… 八 无限小数四则运算的定义300……………………………………………………附录Ⅲ 积分表303……………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 含有x n的形式303…………………………………………………………… 二 含有a+bx的形式303 三 含有a2±x2,a>0的形式304…………………………………………………… 四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304………………………………………… 五 含有a+bx的形式304………………………………………………………… 六 含有x2±a2,a>0的形式305………………………………………………… 七 含有a2-x2,a>0的形式306………………………………………………… 八 含有sin x或cos x的形式306…………………………………………………… 九 含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式307……………………………………… 十 含有反三角函数的形式308……………………………………………………………………………………………………………………… 十一 含有e x的形式308 十二 含有ln x的形式309……………………………………………………………习题答案310………………………………………………………………………………索引330……………………………………………………………………………………人名索引334……………………………………………………………………第一章 实数集与函数§1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述实数的有关概念.一 实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式pq(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…a n时,其中0≤a i≤9,i=1,2,…,n,a n≠0,a0为非负整数,记x=a0.a1a2…(a n-1)9999…,而当x=a0为正整数时,则记x=(a0-1).9999…,例如2.001记为2．0009999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7．9999…;又规定数0表示为0．0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…, y=b0.b1b2…b n…,其中a0,b0为非负整数,a k,b k(k=1,2,…)为整数,0≤a k≤9,0≤b k≤9.若有a k=b k,k=0,1,2,…,则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得a k=b k(k=0,1,2,…,l)而a l+1>b l+1,则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下定义.定义2 设x=a0.a1a2…a n…为非负实数.称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似,而有理数x n=x n+1 10n称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….对于负实数x=-a0.a1a2…a n…,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n=-a0.a1a2…a n-110n与x n=-a0.a1a2…a n. 注 不难看出,实数x的不足近似x n当n增大时不减,即有x0≤x1≤x2≤…,而过剩近似x n当n增大时不增,即有x0≥x1≥x2≥….我们有以下的命题 设x=a0.a1a2…与y=b0.b1b2…为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得x n>y n,其中x n表示x的n位不足近似,y n表示y的n位过剩近似.关于这个命题的证明,以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足x<r<y. 证 由于x<y,故存在非负整数n,使得x n<y n.令r=12(x n+y n),则r为有理数,且有x≤x n<r<y n≤y,即得x<r<y.为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即R={x x为实数}. 实数有如下一些主要性质:1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个2第一章 实数集与函数实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, a=b,a>b.3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a<b+ε,则a≤b.证 用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b.令ε=a -b,则ε为正数且a=b+ε,但这与假设a<b+ε相矛盾.从而必有a≤b.关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ.二 绝对值与不等式实数a的绝对值定义为a=a,a≥0,-a,a<0.从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.2.-|a|≤a≤|a|.3.|a|<h-h<a<h;|a|≤h-h≤a≤h(h>0).4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式:a-b≤a±b≤a+b. 5.|ab|=|a||b|.6.ab=|a||b|(b≠0).下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明.由性质2有3§1 实 数-a≤a≤a,-b≤b≤b.两式相加后得到-(a+b)≤a+b≤a+b.根据性质3,上式等价于a+b≤a+b.(1)将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得|a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b|,据(1)式有a≤a-b+b.从而得a-b≤a-b.(2)将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b|≤|a+b|.性质4得证.习 题1.设a为有理数,x为无理数.证明: (1)a+x是无理数; (2)当a≠0时,ax是无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)|x-1|<|x-3|; (3)x-1-2x-1≥3x-2.3.设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b.4.设x≠0,证明x+1x≥2,并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合).证明a2+b2-a2+c2≤b-c.你能说明此不等式的几何意义吗?7.设x>0,b>0,a≠b.证明a+xb+x介于1与ab之间.8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则p是无理数.9.设a、b为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|x-b|; (2)|x-a|<x-b; (3)|x2-a|<b.§2 数集·确界原理本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集4第一章 实数集与函数并给出确界定义和确界原理.一 区间与邻域设a 、b ∈R ,且a <b .我们称数集{x |a <x <b}为开区间,记作(a ,b);数集{x |a ≤x ≤b}称为闭区间,记作[a ,b];数集{x |a ≤x <b}和{x |a <x ≤b}都称为半开半闭区间,分别记作[a ,b)和(a ,b].以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看,开区间(a ,b)表示a 、b 两点间所有点的集合,闭区间[a,b]比开区间(a ,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[a ,+∞),这里符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.类似地,我们记(-∞,a]={x x ≤a},(a ,+∞)={x x >a},(-∞,a)={x x <a},(-∞,+∞)={x-∞<x <+∞}=R ,其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a ∈R ,δ>0.满足绝对值不等式|x -a |<δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域,记作U (a;δ),或简单地写作U(a ),即有U(a;δ)={xx -a <δ}=(a -δ,a +δ).点a 的空心δ邻域定义为U °(a;δ)={x 0<x -a <δ},它也可简单地记作U °(a).注意,U °(a;δ)与U(a;δ)的差别在于:U °(a;δ)不包含点a .此外,我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U +(a;δ)=[a ,a +δ),简记为U +(a);点a 的δ左邻域U -(a;δ)=(a -δ,a],简记为U -(a);(U -(a )与U +(a )去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为U °-(a)与U °+(a).)∞邻域U(∞)={x |x |>M},其中M 为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x |x >M};-∞邻域U(-∞)={x |x <-M}.二 有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ),使得对一切x ∈S ,都有x ≤M (x ≥L ),则称S 为有上界(下界)的数集,数M (L )称为S 的一个上界(下界).5§2 数集·确界原理6第一章 实数集与函数若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S 为无界集.例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.证 显然,任何一个不大于1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0(∈N+),使得n0>M.事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+1①,则n0∈N+,且n0>M.这就证明了N+无上界.读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S是R中的一个数集.若数η满足:(i)对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;(ii)对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即η又是S的最小上界,则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S②. 定义3 设S是R中的一个数集.若数ξ满足:(i)对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;(ii)对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界,则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S. 上确界与下确界统称为确界.例2 设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证: sup S=1,inf S=0.解 先验证sup S=1:(i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(ii)对任何α<1,若α≤0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0>α.类似地可验证inf S=0.读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.①②sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.。
华东师大第四版数学分析上册课件
数学分析的发展历程
总结词
数学分析的发展经历了初创期、经典时期和现代发展阶段。
详细描述
数学分析的初创期可以追溯到17世纪，当时的数学家开始系统地研究微积分。经典时期则是在18世纪 和19世纪，数学分析得到了全面的发展和完善，产生了许多重要的定理和公式。进入20世纪后，数学 分析继续发展并逐渐与其他数学分支相互融合，形成了现代数学分析的体系。
换元积分法的应用
主要用于处理被积函数为复合函数或具有特定形式的情况，通过换元将问题转化为更易 于处理的形式。
06
定积分
Chapter
定积分的定义与性质
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在某个区间上的积分和的 极限。
定积分的性质
定积分具有线性性质、可加性、区间可加性、积分中值 定理等性质。
定积分的计算方法
华东师大第四版数学分析上册课件
目录
• 绪论 • 极限论 • 连续性 • 导数与微分 • 不定积分 • 定积分
01
绪论
Chapter
数学分析的起源和定义
总结词
数学分析起源于古希腊，是研究实数、极限、连续性和可微 性的科学。
详细描述
数学分析的起源可以追溯到公元前7世纪古希腊的数学家，他 们开始研究连续性和无穷小的问题。经过几个世纪的探索和 发展，数学分析逐渐形成了以实数、极限、连续性和可微性 为核心的理论体系。
数学分析的特性与重要性
总结词
数学分析具有严密性、连续性和广泛应用性的特点，是数学和自然科学的重要基础。
详细描述
数学分析的特性表现在其严密的逻辑推理和证明上，它强调对概念和定理的精确表述。此外，数学分析还具有连 续性的特点，它研究的是实数域上的连续函数。最后，由于数学分析是许多学科的基础，如物理、工程、经济等 ，它具有广泛的应用价值。
华东师范大学数学系编数学分析第三版上册教案
§3 几类可积的初等函数教学目的：会计算有理函数和可化为有理函数的不定积分．教学内容：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(1) 基本要求：有理函数的不定积分；三角函数有理式的不定积分；某些无理根式的不定积分．(2) 较高要求：利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分．教学建议：(1) 适当布置有理函数的不定积分，三角函数有理式的不定积分，某些无理根式的不定积分的习题．(2) 本节的难点是利用欧拉代换求某些无理根式的不定积分，可要求较好学生掌握． 教学程序：1.有理函数的积分法称形如（3.1）101()n n n P x a x a x a -=+++ n 的函数为多项式函数.其中，用表示多项式的关于变量,0,1,,k a R k ∈= deg ()P x ()P x x 的次数.设与是任意两个互质的多项式函数，称形如()P x ()Q x ()()P x Q x (（3.2） )()()0Q x ≠x =()()P x Q x ，当R deg ()deg ()P x Q x R ()<时，称的函数为有理函数，记作x 为有理真分式，当时，称deg ()deg ()P x Q x ≥()R x 为有理假分式.显然任何一个有理假分式()x =()()P x Q x ，用多项式函数除以多项式函数，总能将R ()P x ()Q x ()R x 表示成为一个多项式函数与一个有理真分式之和.即()()()()()P x S x P x Q x Q x =+ R ()x =其中与均为多项式函数，且()Px ()S x deg ()deg ()S x Q x <.例如 3221111x x x x x +-=-++ 所以讨论有理函数的积分，由于多项式函数是可积的，故只须讨论有理真分式是否可积.我们首先考虑如下最简分式 ⑴A x a-；⑵,2,3,()n A n x a =- ；⑶2Ax B x px q +++；⑷2,2,3,()n Ax B n x px q +=++ . 的积分方法.其中,,,A B p q 皆为实常数，二次三项式2x px q ++不能分解为实一次多项式之积，即.240p q -<显然⑴ln dx A x a C A x a =-+-⎰ ⑵11()1()n n A A dx C x a n x a -=+---⎰ 而 ⑶222()()22()()24p Ap A x B Ax B dx dx p p x px q x q ++-+=+++++⎰⎰ 设2p u x =+，a =，有 2Ax B dx x px q +=++⎰2222(2udu Ap du A B u a u a +-++⎰⎰= 221ln()(arctan 22A Ap u a B C a a++-+u =2ln()2A x px q C ++ 又2()n Ax B dx x px q +=++⎰222()1(2()2()n A x px q Ap B dx x px q x px q '⎡⎤+++-=⎢⎥''++++⎣⎦⎰ 21221()(212()()24n n A Ap x px q B n p p x q -+++--⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰dx （3.3） 在式（3.3）右端积分中，令2p u x =+，a = 22()()24n dx p p x q =⎡⎤++-⎢⎥⎣⎦⎰22()n n du I u a =+⎰根据式（2.7），积分n I 有如下递推公式n I =122212122(1)()2(1)n n u n 3I a n u a a n ---+-+-，2,3,n = （3.4） 且1221arctan du u I C u a a a ==+⎰+ 从1I 出发，重复应用n I 的递推公式（3.4），再代回原变量2p u x =+及a =，即可求出类型（4）的最简分式的不定积分.关于有理真分式的分解，我们有如下定理.【定理3.1】设()=()()P x Q x 是一个有理真分式，且分母多项式函数 R x 1122111()()()()()s t r l r l s t Q x x a x a x p x q x p x q =--++++ t t R其中，，111,,;,,,,s t a a p q p q ∈ 240k k p q -<1,2,,k t = ，则()R x 有下列最简分式分解式()=11111111()()s s s s r r r r s s A A A A x a x a x a x +++++++--- R x a - 111111111221111()l l l B x C B x C x p x q x p x q ++++++++++ 1122()t tt t t t t l l l t t t tB xC B x C x p x q x p x q ++++++++ 其中11111111111111,,;;,,;,,;,;;,,,,s t t s s t t t t r r l l l l 1A A A A B C B C B C B C R ∈ . 定理3.1说明任何有理真分式一定可以分解为若干个最简分式之和，而上面的讨论展示了⑴～⑷种类型的最简分式的可积性.从而可知有理函数一定是可积的.【例3.1】把函数()()()21322xx x x x -+++分解为最简分式之和，并求其不定积分.【解】由定理3.1知，给定函数的最简分式分解式应为()()()21322x x x x x -+++=21322A B Cx D x x x x +++-+++消去分母，有22(3)(22)(1)(22)()(1)(3)x A x x x B x x x Cx D x x =++++-++++-+比较上式两端同次幂系数，有586A A AA ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩2B B B ++-23C C C ++-23D D D ++-0010==== 解此代数方程，有131,,,20205A B C D 0===-= 于是 ()()()21322xx x x x -+++=211311*********x x x x x +--+++ 从而()()()21322xdx x x x x =-+++⎰2131201203522dx dx xdx x x x x +--++⎰⎰⎰+=22131(2ln 1ln 320201022d x x x x x x ++-++-+++⎰2) 21(1)5(1)1d x x +++⎰=3221(1)(3)ln 20(22)x x x x -++++ 1arctan(1)5x C ++ 【例3.2】计算()()22211xdx x x++⎰. 【解】设()()()22222211111x A Bx C Dx E x x x x x ++=+++++++消去分母，有()()()()()(2222111x A x Bx C x x Dx E x =++++++++)11x =-24（3.6） 在式（3.6）中令，有A -=，即12A =-；令x i =，有2()(1)i Di E i =++)= ()(D E i E D ++-，于是1D E ==20D E D E +=⎧⎨-+=⎩将1,2A D E =-==10x 代入式（3.6），并令=，有 1101,22C C =-++=- 再令1x =，有1124()44,22B B =-⋅+-⋅+=12于是()()22211xdx x x ++⎰=2222121(1)dx dx x x x 1111dx x x -+=-+++++⎰⎰⎰ 221121ln 12412x d x dx 1x x x -++-+++⎰⎰ 22122(1)x dx x +⎰+22(1)dx x +⎰= 22211111ln arctan 4(1)221x x x x +--+++ 11arctan 212x x C x +++（利用公式3.4）= 222111ln 4(1)2(1)x x C x x +-++++ 从例3.1和例3.2可见，用求有理真分式的最简分式分解式的方法求其积分往往很麻烦，况且有些有理函数的分母多项式根本就无法分解因式，所以，当我们求有理函数的积分时，应尽可能地考虑是否有其它更简便的解法.【例3.3】计算()101dx x x +⎰. 【解】在实数域内，要将分解因式，是相当困难的，故此题不宜用求最简分式分解式的方法来计算，然而101x +()101dx x x +⎰=()91010101010111(1011x dx dx x x x x =-++⎰⎰=10101ln 101x C x ++ 2.三角有理函数的积分法称由函数sin ,cos x x 与常数经过有限次四则运算而成的代数有理式为三角有理函数，记作(sin ,cos )R x x .由于tan ,cot ,sec x x x 与csc x 都是由sin ,cos x x 与常数所构成，所以六个三角函数有理式都可化为(sin ,cos )R x x 的形式.关于三角有理函数的积分，我们在前面已进行了一些讨论，现总结一下，得到以下规律： （I ）()sin cos R x xd ⎰x =，令；sin u x ()cos sin R x xd ⎰x cos =，令u x ；()2tan sec R x x ⎰dx tan =，令u x .【例3.4】（1）334sin cos5sin cos sin x xdx x xd x ==⎰⎰322357sin (1sin )sin (sin 2sin sin )x x d x x x x dx -=-+⎰⎰=448sin sin sin 438111x x x C -++ （2）()()4222sec sec 1tan 1tan tan xdx x x dx x d x =+=+⎰⎰⎰=3tan tan 31x x C ++ （Ⅱ）(sin ,cos )(sin ,cos )R x x R x x =--由于(sin ,cos )(tan cos ,cos )R x x R x x x ==1(tan ,cos )R x x ，且1(tan ,cos )R x x -=(tan (cos ),cos )R x x --x (sin ,cos )=R x x --=(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x知，1R 必为tan x 与2cos x 的有理函数，即可设(sin ,cos )R x x =1(tan ,cos )R x x =22(tan ,cos )R x x于是，令u x ，则tan =arctan x u =，21du dx u =+，从而积分 222(sin ,cos )(,)11R x x dx R u u u =++⎰⎰1du 转化为有理函数的积分，根据上一小节的讨论，它是可积的.【例3.5】计算22cos 2sin x dx x-⎰. 【解】令2222222211tan tan ,cos ,sin 1tan 11tan 1x u u x x x x u x u =====++++，21du dx u =+，于是 ()()222222221cos 12sin 11221x du du u dx u x u u u u +==-+++-=+⎰⎰⎰2211(arctan 12du u C u u -=++⎰=x C + （Ⅲ）对任意的三角有理函数(sin ,cos )R x x ，可作万能代换tan2x u =，将其变为有理函数，事实上令tan 2x u =，2arctan u =，21dx u =2+，而 x 2222sin cos 222sin 1sin cos 22x x u x x x u =22tan 21tan 2x x == +++22222222cos sin 1tan 1222cos 1sin cos 1tan 222x x x u x x x x u ---===+++ 于是2222212(sin ,cos )(,111u u u R x x dx R d u u u-=+++⎰⎰u 【例3.6】⑴12sin dx x +⎰tan2x u ==22121121du u u +++⎰= ()()2222(22412du d u u u u +==+++-⎰⎰)C +=C + ⑵tan 2sin 22sin 2sin (cos 1)xu dx dx x x x x ===++⎰⎰ 22221211()21142(1)11du u du u u u u u u =+-++++⎰⎰= 22111(ln )[ln tan (tan ]424222u x u C ++=++x C3.某些无理函数的积分法一些无理函数的不定积分，通过适当的变量代换，可以化为有理函数的不定积分.（Ⅰ）(R x d ⎰x . 其中,,,,0R αβγδαδβγ∈-≠，.,m n N ∈p 是的最小公倍数，设u ,m n=，则 设1,(p pp x u u x x u αβδβγδγα+-+===+-)R u于是(R x dx ⎰=11[(),,]()m n p p R R u u u R u du '⎰ 由于1()R t 1()，t '均为有理函数，,N m n p p ∈，所以上式右端为有理函数的不定积分. R 【例3.7】（1）114112772131151********u xx xu u dx u du u u x x =++==++⎰⎰ 543211414(1)1u du u u u u du u +=-+-++⎰⎰= 543214()5432u u u u u C -+-++= 21517714141471414523x x x x u -+++C （2）=令u =3311u x u +=-，2326(1)u dx du u -=-，代入原式，有⎰2332331631(1)111u d u du u u u u -u =-=+--+-⎰⎰ 2212121()ln 1112u u du u du u u u u u +=-+-++++⎰⎰1+++21221311ln 212(1)2u du u u C u u u +++=++-⎰+= 31311ln 2(1)u C u -+-=3111ln (1)1)21x C x +--+-=3ln 2C -+ 其中1ln 22C C =+. （Ⅱ）某些最简无理函数的不定积分可直接利用基本积分表求.【例3.8】⑴===C C +=+⑵11()u x d ===-⎰=-=-⎰=11arcsin arcsin 22u x C C x+++-+=-⑶134=-=12212(245)4x x ⋅++=1221(245)1)2x x x ++++C。
数学分析华东师大版上21
数列极限是整个数学分析最重要的基础
之一, 它不仅与函数极限密切相关，而且
为今后学习级数理论提供了极为丰富的准 备知识.
一、数列的定义
二、一个经典的例子
三、收敛数列的定义
四、按定义验证极限
五、再论 “ - N ”说
法六、一些例子
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一、数列的定义
若函数 f 的定义域为全体正整数的集合 N+ , 则称 f : N+ R 或 f (n), n N+
{ an } 不以 a 为极限的定义也可陈述为:存在 0 0, 使得在 (a 0，a 0 ) 之外含有 { an } 中的无限多
项. 注 { an }无极限（即发散）的等价定义为: { an } 不以任何实数 a 为极限.
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4.无穷小数列和无穷大数列
定义2
若
lim
n
an
0,则称 {an} 为无穷小数列.
五、再论 “ - N ”说法
从定义及上面的例题我们可以看出:
1. 的任意性: 定义中的 用来刻画数列 {an} 的通 项与定数 a 的接近程度. 显然正数 愈小,表示 a n 与 a 接近的程度愈高； 是任意的, 这就表示 an 与 a 可以任意接近.要注意， 一旦给出，在接下
来计算 N 的过程中，它暂时看作是确定不变的.
例4 用定义验证 lim n a 1, 其中 a 0. n
证 这里只验证 a 1的情形（0 a 1 时自证）.
设
n
1
an
1
.
因为
a
1 n n
1 nn ,
所以
0
n
n
a
1
数学分析(华东师大版)上10-1名师公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
•(4, 2)
A
x y2
O
4x
• (1, 1)
若把 A 看作 x 型区域, 则
f1( x)
x
x 2
,0 ,1
x x
1, 4
f2x x ,0 x 4.
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由于 f1 分段定义, A 分为二图形 A1 和 A2 ,
1
S( A1 ) 0
x ( x ) dx 4 x3 2 1 4 . 3 03
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x 型区域 A
y
y f2(x)
A
O a y f1( x)
bx
经过上移
y
y f2(x) M
A
y f1( x) M 0
Oa
bx
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由定积分旳几何意义，可知 A 旳面积为
b
b
S( A) a ( f2( x) M )dx a ( f1( x) M )dx
b
S( A) a y dx y(t) x(t)dt
y(t)x(t)dt.
所以,不论 x(t)递增或递减,
S( A)
yt xt dt.
若上述曲线C 是封闭旳，即
x( ) x( ), y( ) y( ),
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则由C 所围旳平面图形 A 旳面积一样是
S( A)
yt xt dt.
sin 2
2
4 0
1 4
sin 2
2
2 π
4
1 4
π 4
1 2
1 4
π 4
1 2
π 8
1. 4
注 也可利用对称性.
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又是 y型区域.
数学分析-上册--第三版-华东师范大学数学系-编
数学分析 上册 第三版 华东师范大学数学系 编部分习题参考解答P.4 习题1．设a 为有理数，x 为无理数，证明：（1）a + x 是无理数； （2）当0≠a 时，ax 是无理数。
证明 （1）（反证）假设a + x 是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x – a 是有理数。
这与题设“x 为无理数”矛盾，故a + x 是无理数。
（2）假设ax 是有理数，于是a ax x =是有理数，这与题设“x 为无理数”矛盾，故ax 是无理数。
3．设R b a ∈,，证明：若对任何正数ε有ε<-||b a ，则 a = b 。
证明 由题设，对任何正数ε有0||+<-εb a ，再由教材P.3 例2，可得0||≤-b a ，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
另证 （反证）假设0||>-b a ，由实数的稠密性，存在 r 使得0||>>-r b a 。
这与题设“对任何正数ε有ε<-||b a ”矛盾，于是0||=-b a ，从而 a = b 。
5．证明：对任何R x ∈有（1）1|2||1|≥-+-x x ； （2）2|3||2||1|≥-+-+-x x x证明 （1）|2||1||)2()1(|1-+-≤-+-=x x x x（2）因为|2||1||1||)3(2||3|2-+-≤-=--≤--x x x x x ，所以2|3||2||1|≥-+-+-x x x6．设+∈R c b a ,,证明||||2222c b c a b a -≤+-+证明 建立坐标系如图，在三角形OAC 中，OA 的长度是22b a +，OC 的长度是22c a +，AC 的长度为||c b -。
因为三角形两边的差大于第三边，所以有||||2222c b c a b a -≤+-+7．设 b a b x ≠>>,0,0，证明x b x a ++介于1与ba 之间。
数学分析华东师大版上第一章ppt课件
是奇函数
y1 =
1 (ex -e- x ) 的反 2
函数,从而由奇函数的图象性质可知它也是奇函
数.
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四、周期函数
定义4 设 f 为 D 上定义的函数. 若 0, 使 x D 必有x D,且 f ( x ) f ( x), 则称 f 为周期函数, 为 f 的一个周期.
一、有界函数
定义1 设 f 定义在D上. 若M R, x D, f ( x) M ,则称 f 在 D上有上界；
若L R,x D, f ( x) L, 则称 f 在D上有下界； 若M R,x D, f ( x) M , 则称 f 在 D上有界. 易证 f 在D上有界 f 在D上既有上界又有下界. 若M R, x0D, f ( x0) M, 则称 f 在 D 上无上 界；
x2n1 1
0
x2n1 2
或
x2n1 1
0
x22n1，
这证明了 y2n1 在 R 上严格增.
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例5 易证函数 y [ x]在 R上是增函数, 但非严格 增.
y
3 2 1
2 1 O 1 2 3 4 x
1 2
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定理1.2 设 y f ( x), x D为严格增函数,则 f 必 有反函数 f 1,且 f 1在其定义域 f (D)上也是严格 增函数. 类似地, 严格减函数 f 必有反函数 f 1, 且 f 1在其 定义域上也是严格减函数. 证 设 f 在 D 上严格增, 则 y f (D)只有一个 x D, 使 f (x) y. 事实上,若 x1 x2, 使 f ( x1) y f ( x2 ), 则与 f
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若L R,x0D, f ( x0) L, 则称 f 在D上无下界； 若MR, x0D, f ( x0) M , 则称 f 在 D上无界.
数学分析(华东师大版)上第十一章11-2
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法设) 定义在 上的非负函数 f 在任何 收敛的充要条件是:
证设
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从而 F (u) 是单调递增的 增函数的收敛判别准则,
由单调递
定理11.3 ( 比较判别法) 设定义在
上的两个
非负函数 f , g在任何有限区间[a, u]上可积, 且
的收敛性( k > 0 ).
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三、一般函数无穷积分的判别法
若无穷积分 以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性. 定理11.4 ( 绝对收敛的无穷积分必收敛若) f 在任何有限区间[a, u]上可积,
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证因
由柯西准则的必要性, 对
因此 再由柯西准则的充分性, 又对任意
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证 即
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推论2 设 f 是定义在
上的非负函数, 在任何
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推论3设 f 是定义在
上的非负函数,在任何有
限 区 间 [ a , u] 上可积.
说明: 推论3是推论2的极限形式，读者应不难写 出它的证明.
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例4 讨论 解(i)
§2 无穷积分的性质及收敛判别
本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法.
一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法
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一、无穷积分的性质
定理11.1 ( 无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分 收敛的充要条件是:
证 极限的柯西准则,此等价于
由 g的单调性,用积分第二中值定理，对于任意的 使得
(完整版)数学分析全套课件(华东师大)
证明
由于x
<
y, 故存在非负整数n，使得x n
< yn.令r
1 2
(xn
yn
)
则r为有理数，且有x xn < r < yn y,即得x < r < y.
例2 设a,b R,证明: 若对任何正数e有a < b e ,则a b.
证明 用反证法.假若结论不成立 ，则根据实数的有序性
有a > b.令e a - b,则e为正数且a b e , 这与假设 a < b e矛盾.从而必有a b.
§3 函数概念
1.函数概念
❖定义
设数集DR, 则称映射f : D R为定义在D上的函数, 通常简记为
yf(x), xD, 其中x称为自变量, y称为因变量, D称为定义域, 记作Df, 即DfD.
说明:
记为函号了数f叙的和述记f(x方号)的便是区可, 常别以用:任前记意者号选表“取示f(的x自), 变除x量了Dx用”和或f因“外变y, 还量f(可xy)之,用x间“D的g””对来 应表、法示“则 定F”义,、而在“后D者”上表等的示,函此与数时自, 函这变数时量就应x对记理应作解的y为函g由(数x它)、值所.y确F定(x的)、函y数f(x.)
的集合, RR常记作R2.
3.实数集 ❖两个实数的大小关系
• 定义1
给定两个非负实数
x a0.a1a2 Lan L, y b0 .b1b2 Lbn L,其中a0 ,b0为非负整数， ak ,bk (k 1,2,L)为整数，0 ak 9,0 bk 9. 若有ak bk , k 1,2,L,则称x与y相等，记为x y；
称有理数xn a0.a1a2 Lan为实数x的n 位不足近似，
数学分析(华东师大版)上第八章
05
不定积分
不定积分的定义
总结词
不定积分是微分的逆运算，其定义基于原函数的概念。
详细描述
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。给定一个函数f(x)，其不定积分是所有原函数F(x)的集合，即 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是积分常数。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有线性性质、可加性、可乘性等基本性质。
微积分基本定理
定积分的值可以通过被积 函数在积分上下限处的值 与积分区间的长度乘积的 差值来计算。
分部积分法
对于某些难以直接计算的 定积分，可以通过分部积 分法将其转化为易于计算 的定积分。
换元法
通过适当的变量替换，将 复杂的定积分转化为易于 计算的定积分。
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THANKS
详细描述
不定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的不定积分，可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差；不定积分也具有可加性，即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分，其和等于函数在整体区间 上的不定积分；此外，不定积分还具有可乘性，即对于任意常数k，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
总结词
不定积分的计算方法包括直接积分法、换元 积分法、分部积分法等。
详细描述
直接积分法是最基本的积分方法，它基于不 定积分的定义和性质，通过简单的代数运算 求得积分结果；换元积分法是通过引入新的 变量替换原变量，将复杂函数的不定积分转 化为简单函数的不定积分；分部积分法是通 过将两个函数的乘积进行不定积分，将问题
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)≠0，那么 在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ)/g'(ξ))=(f(g(b)-f(g(a))/(g(b)-g(a))。
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