华东师大数学分析试题

华东师大2019年数学分析试题

一、（24分）计算题：

（1） 求011lim()ln(1)x x x

→-+； （2） 求32cos sin 1cos x x dx x

+⎰g （3） 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，

试求grad z 。

二、（14分）证明：

（1）11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭

为递减数列： （2） 111ln(1),1,21n n n n

<+<=+⋅⋅⋅⋅ 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之

一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，

'()f x K ≤ （K 为正常数）

，(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。

四、（14分）设1

20(1)n n I x dx =-⎰，证明：

五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段

绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分计算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为：

2(b a A f x π=⎰ 六、（24分）级数问题：

（1） 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧，

“死记”之后会“活用”。不记住那些基础知识，怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广，要真正提高学生的写作水平，单靠分析文章的写作技巧是远远不够的，必须从基础知识抓起，每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句，以及丰富的词语、新颖的材料等。这样，就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累，积少成多，从而收到水滴石穿，绳锯木断的功效。设

sin

,01,0()x x x x f x ≠=⎧=⎨⎩{}[]() x a,b ()()11()()n n n f x f x f x f x f x ∈⇒

⇒，求

()(0),1,2,k f k =L

（2） 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教

谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的教育生员。而相应府和州掌管教育生员者则谓“教授”和“学正”。“教授”“学正”和“教谕”的副手一律称“训导”。于民间，特别是汉代以后，对于在“校”或“学”中传授经学者也称为“经师”。在一些特定的讲学场合，比如书院、皇室，也称教师

为“院长、西席、讲席”等。设1n n a ∞=∑收敛，lim 0n x na →∞

=，证明：

111()n n n n n n a

a a ∞∞

+==-=∑∑。 （3） 设{}()n f x 为[]a,b 上的连续函数序列，且()()n f x f x ⇒，[]x a,b ∈，

证明：若()f x 在[]a,b 上无零点，则当n 充分大时，()n f x 在[]a,b 上也无零点；并有11()()

n f x f x ⇒，[]x a,b ∈。