华东师大数学分析试题

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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案20+22

习题二十、二十二1．计算下列第一型曲线积分．(1) ，其中L 是的上半圆周． ()x y ds L +∫x y R 22+=2 (2) x y d L 22+∫s 2，其中L 是的右半圆周． x y R 22+= (3) e d x y L 22+∫s 2，其中L 是圆，直线x y a 22+=y x =以及x 轴在第一象限中所围成图形的边界． (4) xyds L ∫，其中L 是由所构成的矩形回路．x y x y ====004，，，2(5) ，其中： xds L∫ (a) L 是上从原点O 到点y x =2(,)00B (,)11间的一段弧．(b) L 是折线OAB 组成，A 的坐标为(,，B 的坐标为．)10(,)11(6)，其中∫L ds y 2L 为曲线)cos 1()sin (t a y t t a x −=−=，,其中,0>a π20≤≤t .(7) ，其中L 是螺旋线弧段(x y z d L 222++∫)s cos sin ，，x a t y a t z bt ===）（π20,0≤≤>t a ．(8) ,其中∫L yzds x 2L 为折线,这里依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)ABCD D C B A ,,,2．计算下列第二型曲线积分．(1),其中∫−L ds y x )(22L 为在抛物线上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧.2x y =(2) ，其中L 为xdy ydx L −∫① 沿直线从点(,到点(,；)00)12② 沿抛物线x y =24从点到点； (,)00(,)12③ 沿折线从点(,经点(,到点(,．)00)02)12(3) xydx L ∫，其中L 是由所构成的沿逆时针方向的矩形回路．x y x y ====004，，，2(4) x dy y dxx y L 225353−+∫，其中L 是沿星形线在第一象限中从点(,x R t y R t ==cos sin 33，)R 0到(,)0R 的弧段（R >0）．(5) ，其中L 是从点到xdx ydy zdz L ++∫A (,,)111B (,,)234的直线段． (6) ,其中L 为曲线∫−+Lydz zdy dx x 2θθκθsin cos ,a z a y x ===，上对应θ从0到π的一段弧.3．设质点受力F 作用，力的方向指向原点，大小等于质点到原点的距离．(1) 计算当质点沿椭圆在第一象限中的弧段从(,到(,时，F 所作的功；x a t y b t ==cos sin ，)a 0)0b (2) 计算当质点沿椭圆逆时针方向运动一圈时，力F 所作的功．4．利用格林公式计算下列积分．(1) ()()x y dx x y dy L +++∫222，L 是沿逆时针方向，以为顶点的三角形． A B C (,)(,)(,)113125，， (2)()()x y dx x y dy L ++−∫，L 是方程x y +=1所围成的顺时针方向的闭路．(3) []e ydx y y x L (cos (sin )1−−−∫dy x ，L 是沿y =sin 上从点(,)π0到点的一段弧．(,)00(4) dy ye x x dx e y x xy x y x x x L )2sin ()sin 2cos (222−+−+∫,其中L 为正向星形线)0(323232>=+a a yx . (5) dy y x x y dx x y xy x L )3sin 21()cos 2(223+−+−∫,其中L 为在抛物线上由点(0,0)到22y x π=)1,2(π的一段弧. (6) ,其中dy y x dx y x L ∫+−−)sin ()(22L 为在圆周22x x y −=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧.5．验证下列曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ，L 是从点经圆周上半部到点的弧段．()()12222++−∫xe dx x e y dy y y L O (,)00+−2)2(x 42=y A (,)40 (2)，L 是从点到点的任意弧段． e ydx ydy x L (cos sin )−∫(,)00(,)a b (3) ydx xdy x −∫22112(,)(,)沿右半平面的任意路线．(4) ，L 是从点经抛物线到点的弧段．()(x y xdx ydy L22++∫)(,)00y x =2(,)11 (5) ∫++L y x xcdxydy 322)(，L 是从点到点的不经过原点的弧段．(,)11(,)22 6．求椭圆所围图形的面积．x a t y b t ==cos sin ， 7．求下列微分方程的通解．(1) ．()()x xy y dx x xy y dy 222222+−+−−=0 (2) [][]e e x y y dx e e x y dy x y x y ()()−+++−+=1100=．(3) ．()()x xy dx x y y dy 43224465++− 8．下列各式是否为某函数的全微分，若是，求出原函数．(1) ; (2)x dx y dy 22+xdx ydy x y ++22. 9．求下列第一型曲面积分．(1)，其中S 是球面:． zds S ∫∫x y z R 222++=2 (2)(243x y z d S ++∫∫)s ，其中S 是平面x y z 2341++=在第一卦限的部分． (3) ，其中S 是锥面(xy z d S 222++∫∫)s z x y =+22）介于之间的部分．z z ==01、 (4) ，其中S 是由曲面和平面所围立体的表面．∫∫+Sds y x )(22x y z 2220+−=z h h =>（0(5) ，其中S 是锥面(xy yz zx dsS ++∫∫)z x y =+22x 被柱面所截得的部分．x y a 222+=(6) ∫∫SxyzdS ,其中S 是由平面0,0,0===z y x 及1=++z y x 所围成的四面体的整个边界曲面.(7) ,其中S 为锥面∫∫++S ds zx yz xy )(z x y =+22x ）0被柱面所截得的有限限部分.x y a 222+= 10．计算下列第二型曲面积分．(1) ，其中S 是三个坐标平面与平面所围成的正方体的表面的外侧．()()()x yz dydz y zx dzdx z xy dxdy S222−+−+−∫∫x a y a z a a ===>，，（0(2) ，其中S 是由平面 xydydz yzdzdx xzdxdy S++∫∫x y z ===00，，与平面x y z ++=1所围成的四面体表面的外侧．(3)，其中S 是上半球面yzdzdx S ∫∫z a x y =−−222的下侧． (4) e x y dxdy z S 22+∫∫，其中S 是锥面z x y =+22与平面所围成立体边界曲面的外侧．z z ==12， 11．利用奥－高公式计算下列第二型曲面积分． (1) x dydz y dzdx z dxdy S333++∫∫，其中S 是球面：的外侧．x y z a a 22220++=>（） (2) xdydz y dzdx z dxdy S 222++∫∫，其中S 是锥面与平面所围成的立体表面的外侧．x y z 22+=2)z h =(h >0 (3) ()()x y dxdy x y z dydz S−+−∫∫，其中S 为柱面及平面所围立体的表面外侧．x y 221+=z z ==0，1(4) ，其中S 为三个坐标平()()()x y z dxdy y z z dzdx S+++++−∫∫23212面与平面x y z ++=1所围成的四面体的外侧．（5）∫∫++S yzdxdy dzdx yxzdydz 24，其中为平面S 0,0,0===z y x ，所围成的立方体的表面外侧.1,1,1===z y x 12．利用斯托克斯公式计算下列第二型曲线积分． (1) x y dx dy dz L 23++∫，其中L 为坐标平面上圆周，并取逆时针方向． Oxy x y a 22+=2 (2) ()()()y z dx x z dy x y d L 222222+++++∫z ，其中L 是x y z ++=1与三个坐标平面的交线． (3) x yzdx x y dy x y d L 2221+++++∫()(z )，其中L 为曲面与曲面的交线，且从面对z 轴正向看去取顺时针方向．x y z 2225++=z x y =++221 13．验证下列的空间曲线积分与路径无关，并求它们的值．(1) ． 22000xe dx z x e dy y zdz y y x y z −−+−−∫(cos )sin (,,)(,,) (2) ． xdx y dy z dz +−∫23111234(,,,)(,,) 14．求下列各式的原函数．(1) yzdx xzdy xydz ++．(2) ． ()()(x yz dx y xz dy z xy dz 222222−+−+−)15.计算,其中为圆周 ∫L ds x 2S ⎩⎨⎧=++>=++.0),0(2222z y x a a z y x 16. 若dy cx Y dy ax X +=+=,，且L 为包围坐标原点的简单的封闭曲线，计算∫+−=L YX YdX XdY I 2221π. 17.证明:若L 为封闭的曲线且l 为任意的方向,有∫=Lds l 0),cos(. 18．若半径为的球面上每点的密度等于该点到球的某一直径上距离的平方，求球面的质量．a 19．为了使线积分()F x y ydx xdy L (,)+∫与积分路径无关，可微函数F x y (,)应满足怎样的条件？20．设磁场强度为E x y z (,,)，求从球内出发通过上半球面的磁通量．x y z a z 22220++=≥，。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案16+17

46．讨论函数
1 ⎧ 2 2 ( x , y ) ≠ 0,0) ⎪( x + y ) sin 2 f ( x, y) = ⎨ x + y2 ⎪ 0 ( x , y ) = (0,0) ⎩
在 ( 0,0) 处的可微性与偏导数的连续性． 47．设函数 u = f ( x , y ) 满足拉普拉斯方程
12．求下列函数的全微分． (1) z = x y
2 3
(2) z =
xy x−y ⎛ x+ y⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 1 − xy ⎠
(3) z = arcsin 13．求 z = xy sin 14．求 z =
y x 1 x + y2
2
(4) z = arctan⎜ ⎜ 在点 (0,1) 的全微分．
y ，当 x = 2 ，y = 1，Δx = 01 . ，Δy = −0.2 时的全增量 Δz 与全 x du ； dt
2 2 2
(3) u = ln( x +
y 2 + z 2 ) 从点 A ( 1 , 0 , 1 ) 到点 B ( 3 , − 2 , 2 ) 的方向.
2 2
27. 求函数 z = x + y 在点 p ( 1 , 2 ) 处的最大方向导数. 28. 求下列函数的梯度 (1) z =
4 + x 2 + y 2 在点 ( 2 , 1 ) ;
(2) z = x y − xy ，其中 x = u cos v，y = u sin v ，求
3
∂ 2z 17．设 z = yf ( x − y ) ，求 2 ． ∂y
2 2
18．求由下列方程确定的函数 y ( x ) 的导数． (1) x + 2 xy − y = a (3) xy − ln y = a

华东师大数学分析试卷

华东师大数学分析试卷一、（24分）运算题：求011lim()ln(1)x x x →-+；求32cos sin 1cos x x dx x+⎰ 设(,)z z x y =是由方程222(,)0F xyz x y z ++=所确定的可微隐函数，试求gra d z 。

二、（14分）证明：（1）11(1)n n +⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为递减数列：（2） 111ln(1),1,21n n n n <+<=+⋅⋅⋅⋅ 一样说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。

杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。

这儿的“师资”，事实上确实是先秦而后历代对教师的别称之一。

《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”因此也指教师。

这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副事实上的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。

三、（12分）设f(x)在[],a b 中任意两点之间都具有介质性，而且f 在（a ，b ）内可导，'()f x K ≤ （K 为正常数），(,)x a b ∈ 证明：f 在点a 右连续，在点b 左连续。

四、（14分）设120(1)n n I x dx =-⎰，证明：五、（12分）设S 为一旋转曲面，它由光滑曲线段绕x 轴曲线旋转而成，试用二重积分运算曲面面积的方法，导出S 的面积公式为：2(b a A f x π=⎰六、（24分）级数问题：事实上,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是经历有技巧,“死记”之后会“活用”。

不记住那些基础知识,如何会向高层次进军?专门是语文学科涉猎的范畴专门广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时刻让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。

如此,就会在有限的时刻、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十章第十章定积分的应用一、填空题 1．求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A =2．曲线xxe y e y -==,及1=x 所围面积A =3．曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4．曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S =5．曲线⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6．均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t t y tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是 7．曲线0,0),0(==≤=y x x ey x所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8．抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9．在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是 10．设有一内壁形状为抛物面22y xz +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h =11．由曲线,2,1=+=x x x y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线xx xy 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A =二、选择填空题1．曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（）（A ）⎰baxdxln ln ln （B ）⎰bae ex dxe （C）⎰b ay dye ln ln（D ）⎰b a e e xdxln2．曲线x y x y ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（）（A ）dx x x)1(21-⎰（B ）dx x x )1(21-⎰ （C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dyy dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dxx dx x3．曲线xe y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（）（A ）dxex ex)(10-⎰（B ）dy y y y e )ln (ln 1-⎰（C ）dxxe e ex x )(1⎰-（D ）dy y y y )ln (ln 10-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（）（A）()θθπd a 220cos 221⎰（B ）θθππd a ⎰-2cos 221（C）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（）（A）⎰πθθ02221d e a（B ）⎰πθθ20222d e a （C）⎰-ππθθd e a 22（D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+46262cos sin 2πππθθθθd d （C ）()()⎰⎰+462602cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln x y -=上210≤≤x 一段弧长S =（）（A）dx x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-+2102111（B ）⎰-+212211dx x x（C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dxx ⎰-+21022])1[ln(18．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a（B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a（D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y t a x 33sin cos 的全长S =（）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdtt t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos3sec 4πdtt t a t （C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dtt t a t （D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdtt t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积 =V （）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V=（）（A ）⎰-adxx a 022)(4 （B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-a dxx a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（）（A ）⎰h ahdh 0（B ）⎰a ahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （）（A ）⎰-+h dy y h H S 0)( （B ）⎰-+H dy y h H S 0)(（C ）⎰-h dy y H S 0)( （D ）⎰+-+H h dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（）（A ）⎰hdy y dh d2π （B ）⎰--h dy a y a dhd 022])([π（C ）⎰h dy y dh d b2π （D ）⎰-h dy y ay dhd b02)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（）（A ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---b adx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='?dx x f x )(_____________ 3．若xe-是)(x f 的一个原函数，则?=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．?=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数x x ln ，则?=''dx x f x )(_______________ 7．? =dx xx 2sin)ln(sin ________________8．若?+++=+xdx B xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=?arcsin )(，则?=)(x f dx _________10．?=-)4(x x dx _________________11．?=-dx xx 21ln _________________12．[]=-?dx xx x a n)cos(ln )sin(ln ________________ 13．[]?='+dxx f x x f )()(________________14．?=+xedx 1_____________15．?=+dx x xex 2)1(_____________________16．=++?dx xx x x cos 2sin cos 3sin 4______________ 17．已知x x x f 22tansin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________ 18．[]=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若?+=C x F dx x f )()(,而),(x u ?=则?=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么?=''__________)(dx x f x . 21设)(x f 的原函数是xx sin ,则?='__________)(dx x f x .22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x ,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则?=__________)(dx x f . 26 若?='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=. 27 已知2xe -是)(xf 的一个原函数,则?=__________sec )(tan 2xdx x f .28='__________)2(1dx x f x. 29 设C xxdx x f ++-=?11)(,则)(x f __________=.30 在积分曲线族?dx xx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx+-=11，则=I ( )A.C e x++)1ln( B.C x e x+-+)1ln(2 C.C e x x++-)1ln(2 D.C e x+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( ) A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数3．设?+=++=)1(,)1(121u u du I dx xe x x I x，则存在函数)(x u u =，使( )A.x I I +=21B.x I I -=21C.12I I -=D.12I I = 4．当1-≠n 时，?=xdx x n ln ( ) A.C nx nxn+-)1(ln B.C n x n xn +----)11(ln 11C.C n x xn n ++-++)11(ln 111D.C x n xn +++ln 117．?=+dx x x )2sin2(cos ( )A.C x x +-)2cos2(sin 2 B.C x x +-)2sin2(cos2C.C xx +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos8．?=++dx xxx cos 1sin ( )A.C x x +2cotB.C x x +2tanC.C x x+cot 2 D.C x x +2tan 29．若)(x f 的导函数是x e xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( )A.x excos -- B.x exsin +-- C.x e xcos --- D.x exsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章

第十七章多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有xy1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1x Z ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x xF x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =(x,y,z)(t>0)证明: (1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x xf x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x mzf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n kn k21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某 (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:t u ∂∂=222xu a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数: (1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=z x y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求x dZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,yZ ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+-求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求: (1)grad r; (2)grad r1.23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤；(2) Z=22y xy x +-,(){}1y x y ,x ≤+;(3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n1k k 0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f (a y k x h dt g(t)d nn n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求x k z h y g y f x e z d zc y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 my y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。

华东师范大学《数学分析》与《高等代数》考研真题(1997年-2013年)

x →+∞
续.
19
五、设 f ( x) 在 [a, b] 上二阶可导，且 f ( x) ≥ 0 ， f ′′( x) < 0 . 证明： f ( x) ≤
2 b f (t )dt ， x ∈ [ a, b] . b − a ∫a
六、设 f ( x , y ) 在 D = [ a, b] × [ c, d ] 上有二阶连续偏导数.
15
六、（ 15 分）假设 σ 是 n 维欧氏空间 V 的线性变换， τ 是同一空间 V 的变换 . 且对
∀α , β ∈ V , 有 (σα , β ) = (α ,τβ ).
证明： 1) τ 是线性变换, 2) σ 的核等于 τ 的值域的正交补.
七、（15 分）证明：任意方阵可表为两个对称方阵之积，其中一个是非奇异的。
n →∞ a≤ x≤ b a≤ x≤ b a≤ x≤ b n →∞
八、设 S ⊂ R 2 , P0 ( x0 , y0 ) 为 S 的内点， P 1 ( x1 , y1 ) 为 S 的外点. 证明：直线段 P0 P 1 至少与 S 的边界 ∂S 有一个交点.
华东师范大学 1997 年攻读硕士学位研究生入学试题
考试科目：数学分析
一、（12 分）设 f ( x) 是区间 I 上的连续函数. 证明：若 f ( x) 为一一映射，则 f ( x) 在区间 I 上严格单调.
二、（12 分）设
⎧1, x为有理数 D ( x) = ⎨ ⎩0， x为无理数
证明：若 f ( x) ， D ( x) f ( x) 在点 x = 0 处都可导，且 f (0) = 0 ，则 f '(0) = 0.
二、(10 分)证明：方程组
⎧ a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = 0 ⎪a x + a x + ... + a x = 0 ⎪ 21 1 22 2 2n n ⋯ (1) ⎨ ............ ⎪ ⎪ ⎩ as1 x1 + as 2 x2 + ... + asn xn = 0

数学分析课本(华师大三版) 习题及答案第四章

数学分析课本（华师大三版）习题及答案第四章数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第四章第四章函数的连续性一、填空题1x0xsinx1．设f(x)??kx?0，若函数f(x)在定义域内连续，则xsin11x0xk；2．函数f(x)??x?0?x?1的间断点是；x?0?sinx3．函数f(x)?x的已连续区间就是；4．函数f(x)?1的已连续区间就是；x2?2x?3x2?95．函数f(x)?的间断点是；x(x?3)6．函数f(x)?x?2的间断点就是；(x?1)(x?4)1的连续区间是；(x?1)(x?2)7．函数f(x)??ex?e?x?x?0在x?0点已连续，则k?；8．设f(x)??x?x?0?k?1?x?0?x?1?0?x?1的间断点是；9．函数f(x)x?1??x?31?x?3?10．函数f(x)??x?0?ax?ba?b?0.则f(x)处处连续的充要条件是2x?0?(a?b)x?xb?；12?x11．函数f(x)??ex?0，则limf(x)?，若f(x)无间断点，则a?；x?0?x?0?a?1?x2?x??1，当12．如果f(x)??1?xa?时，函数f(x)已连续x1a二、选择填空1．设f(x)和?(x)在,内有定义，f(x)为连续函数，且f(x)?0，?(x)存有间断点，则()a.??f(x)?必有间断点。

b.??(x)?2必有间断点c.f??(x)?必存有间断点d.(x)f(x)必有间断点2．设函数f(x)?xa?ebx，在,??内连续，且xlimf(x)?0，则常数a,b满足(a.a?0,b?0b.a?0,b?0c.a?0,b?0d.a?0,b?013．设f(x)?1?ex1，当x?0;f(x)??1,当x?0，则1?exa有可去间断点。

b。

有跳跃间断点。

c有无穷间断点d连续4．函数f(x)?nlim1?x??1?x2na不存有间断点。

b存有间断点x??1c存有间断点x?0d存有间断点x?15．设f(x)1x?0??xsin1x?0?0x?0;g(x)??，则在点x?0处有间断点的函数是?x?1x?0amax{f(x),g(x)}bmin{f(x),g(x)}cf(x)?g(x)df(x)?g(x)6．下述命题正确的是a设f(x)与g(x)均在x0处不已连续，则f(x)g(x)在x0处必不已连续。

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案01

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案01第一章实数集与函数习题§1实数1、设a 为有理数，x 为无理数。

证明：（1）a+ x 是无理数；（2）当a ≠0时，ax 是无理数。

2、试在数轴上表示出下列不等式的解：（1）x （2x -1）>0；（2）|x-1|<|x-3|；（3）1-x -12-x ≥23-x 。

3、设a 、b ∈R 。

证明：若对任何正数ε有|a-b|<ε，则a = b 。

4、设x ≠0，证明|x+x1|≥2，并说明其中等号何时成立。

5、证明：对任何x ∈R 有（1）|x-1|+|x-2|≥1；（2）|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2。

6、设a 、b 、c ∈+R （+R 表示全体正实数的集合）。

证明|22b a +-22c a +|≤|b-c|。

你能说明此不等式的几何意义吗7、设x>0，b>0，a ≠b 。

证明x b x a ++介于1与ba 之间。

8、设p 为正整数。

证明：若p 不是完全平方数，则p 是无理数。

9、设a 、b 为给定实数。

试用不等式符号（不用绝对值符号）表示下列不等式的解：（1）|x-a|<|x-b|；（2）|x-a|< x-b ；（3）|2x -a|§2数集、确界原理1、用区间表示下列不等式的解：（1）|1-x|-x ≥0；（2）| x+x1|≤6；（3）（x-a ）（x-b ）（x-c ）>0（a ，b ，c 为常数，且a<b<=""></b（4）sinx ≥22。

2、设S 为非空数集。

试对下列概念给出定义：（1）S 无上界；（2）S 无界。

3、试证明由（3）式所确定的数集S 有上界而无下界。

4、求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）S={x|2x <2}；（2）S={x|x=n ！，n ∈+N }；（3）S={x|x 为（0，1）内的无理数}；（4）S={x|x=1-n 21，n ∈+N }。

华东师大数学分析答案完整版

华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。

2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。

3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。

4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。

6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。

7. 变限积分的导数是原函数的导数。

8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。

9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。

10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。

二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。

A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。

A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。

A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。

A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。

A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。

解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。

2. 求不定积分∫(e^x) dx。

解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。

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y2 x
xydx xydx xydx
L
AO
OB
0
1
A(1,1)
1 x( x)dx 0 x xdx
2
13
x 2dx
4.
0
5
(2) 化为对y的定积分，
x y2,
y从 1到1.
xydx xydx
L
AB
1 y2 y( y2 )dy 1
2 1 y4dy 4 .
1
5
B(1,1) y2 x
解由P207公式 (7),
I π (a3 cos t sin2 t a2 cos2 t a2 sin t cos t a2bcos2 t )dt 0
1 3
a3
sin3
t
1 2
a3
sin2
t
1 2
a
2
(1
b)(t
1 2
sin
2t
)
π 0
1 a2 (1 b)π. 2
A(1,1)
例2 计算 y2dx, 其中L为 L
(1) 半径为 a、圆心为原点、按逆时针方向绕行的上半圆周; (2) 从点 A(a,0) 沿 x 轴到点 B(a,0) 的直线段.
解
(1)
L
:
x
y
a cos a sin
,
从 0 变到，
原式 a2 sin2 (asin )d 0
B(a,0)
则
b
Pdx Qdy {P[x,(x)] Q[x,(x)](x)}dx.
L
a
(2) L : x ( y) y起点为c，终点为d.
则
d
Pdx Qdy {P[ ( y), y] ( y) Q[ ( y), y]}dy.

《数学分析》（华师大版）课本上习题

《数学分析》（华师大版）课本上习题第二十二章曲线积分与曲面积分P.361 第一型曲线积分与第一型曲面积分1. 计算下列第一型曲线积分：（1）)1,0(),0,1(),0,0(,)(B A O L ds y x L是以其中?+为顶点的三角形；（2）+Lds y x2122)(，其中L 是以原点为中心，R 为半径的右半圆周；（3）?L xyds ，其中L 为椭圆12222=+by a x 在第一象限中的部分；（4）Lds y ，其中L 为单位圆122=+y x ；（5）ds z y x L)(222++，其中L 为螺旋线)20(,sin ,cos π≤≤===t bt z t a y t a x 的一段；（6）?Lxyzds ，其中L 为曲线)10(21,232,22≤≤===t t z t y t x 的一段；（7）+Lds z y 222,其中L 是2222a z y x =++与y x =相交的圆周．2. 求曲线)0,10(21,,2>≤≤===a t at z at y a x 的质量．设其线密度为.2az =ρ 3. 求摆线??≤≤-=-=)0()cos 1()sin (πt t a y t t a x 的重心，设其质量分布是均匀的．4. 计算下列第一类型曲面积分：（１）++SdS z y x )(,其中S 是上半圆面0,2222≥=++z a z y x ；（２）+SdS y x )(22，其中S 为立体122≤≤+z y x 的边界曲面；（３），??+S yx dS 22其中S 为柱面222R y x =+被平面H z z ==,0所截取的部分；（４）SxyzdS ，其中S 为平面1=++z y x 在第一卦限中的部分；5. 若曲线以极坐标))((21θθθθρρ≤≤=表示，试给出计算Lds y x f ),(的公式，并用此公式计算下列曲线积分：（１）?+Ly x ds e22，其中L 为曲线)4(πθρ≤≤=a 的一段；（２）?Lxds ，其中L 为对数螺线)0(>=k ae k θρ在圆a r =内的部分．6. 设有一质量分布不均匀的半圆弧)0(sin ,cos πθθθ≤≤==r y r x ，其线密度θρa =（a 为常数），求它对原点)0,0(处质量为m 的质点的引力．7. 证明：若函数f 在光滑曲线],[),(),(:βα∈==t t y y t x x L 上连续，则存在点L y x ∈),(00，使得L y x f dS y x f L=?),(),(00，其中L ?为L 的长．8. 计算dS z S2，其中S 为圆锥表面的一部分：≤≤≤≤??===,20,0:;cos sin sin sin cos :π?θθ?θa r D r z r y r x S这里θ为常数).20(πθ≤≤P.371 第二型曲线积分1. 计算第二型曲线积分：（１）-L ydx xdy ，其中L 为本节例２中的三种情形．（２）?+-Ldy dx y a )2(，其中L 为摆线)20)(cos 1(),sin (π≤≤-=-=t t a y t t a x 沿t 增加方向的一段；（３）++-L y x ydy xdx 22，其中L 为圆周222a y x =+，依逆时针方向；（４）?+Lxdy ydx sin ，其中L 为)0(sin π≤≤=x x y 与x 轴所围的闭曲线，依顺时针方向；（５）++Lzdz ydy xdx ，其中L ：从（１，１，１）到（２，３，４）的直线段．2. 设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比．若质点由)0,(a 沿椭圆移动到),0(b ，求力所作的功。

华东师范大学大一数学分析期末考试题

xx0 g(x)
xx0 g (x)
xx0 g(x)
A、必要条件 B、充分条件 C、充分必要条件
三、计算题（每小题 6 分，共 30 分）
D、既非充分也非必要条件
14、 lim (1 a)(1 a2 )(1 a2n ),(| a | 1) n
15、求函数 y 2x 的单调区间 1 x2
16、 lim xln(1 x) ln x x
学院：数学与计算机科学学院适用班级：
题号一二三四五六七八九
分数
总分
评卷人
一、填空题（每空 2 分，共 20 分）
1、函数 f (x) ln 1 x 的定义域是 1 x
2、 lim sin 5x x0 3x
第
1
3、 lim
n
1n
4、若 f 可导，且 y f (2x), 则 dy =
17、已知 y ln(arccos 1 ) 求 y x
18、求 d
x 1
x2
四、证明题（每小题 10 分，共 20 分）
19、已知数列xn ，它由递推公式
xn1
1 2
(xn
a xn
) 确定， a
0 ，且 x1 可取任意正实数，
证明：数列
x
n
收敛，并求
lim
n
xn
20、 ex 1 x ， (x 0)
五、综合题（15 分）
21、并作图
学号
班级
专业
C、 f (x) 在 x 0的左右极限存在但不相等 D、 f (x) 在 x 0的左右极限不存在
页
n n 1
5、设 f (x) 在 x0 点可导，且在 x0 点取极大值，则 f (x0 ) =

数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第十章

第十章定积分的应用一、填空题1．求曲线8,2222=+=y x x y 所围成图形面积A （上半平面部分），则A = 2．曲线x x e y e y -==,及1=x 所围面积A = 3．曲线θθcos 1,cos 3+==r r 所围面积A = 4．曲线)0(>=λλθae r 从0=θ到αθ=一段弧长S = 5．曲线 ⎩⎨⎧-=+=)cos (sin )sin (cos t t t a y t t t a x 从0=t 到π=t 一段弧长S =6．均匀摆线)0(cos 1sin π≤≤⎩⎨⎧-=-=t ty tt x ，弧长4=S ，则其重心坐标是7．曲线0,0),0(==≤=y x x e y x 所围图形绕Ox 轴旋转所得旋转体的体积为；而绕Oy 轴旋转所得旋转体的体积为 8．抛物线)(a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为9．在抛物线24x y =上有一点P ，已知该点的法线与抛物线所围成的弓形面积为最小，则P 点的坐标是10．设有一内壁形状为抛物面22y x z +=的容器，原来盛有)(83cm π的水，后来又入注)(643cm π的水，设此时水面比原来提高了hcm ，则h = 11．由曲线,2,1=+=x xx y 及2=y 所围图形的面积S = 曲线x x x y 223++-=与x 轴所围成的图形的面积A = 二、选择填空题1．曲线)0(ln ,ln b a a y x y <<==与y 轴所围成图形的面积为A ，则A =（）（A ）⎰ba xdx ln ln ln （B ）⎰ba e ex dx e（C ）⎰baydy e ln ln （D ）⎰ba e exdx ln2．曲线x y xy ==,1，2=x 所围成的图形面积为A ，则A =（）（A ）dx x x )1(21-⎰（B ）dx xx )1(21-⎰（C ）⎰⎰-+-2121)2()12(dy y dy y（D ）⎰⎰-+-2121)2()12(dx x dx x3．曲线x e y =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A =（）（A ）dx ex e x )(10-⎰ （B ）dy y y y e)ln (ln 1-⎰（C ）dx xe e exx )(1⎰- （D ）dy y y y )ln (ln 1-⎰4．曲线)0(cos 2>=a a r θ所围图形面积A =（）（A ）()θθπd a 220cos 221⎰ （B ）θθππd a ⎰-2cos 221 （C ）()θθπd a 220cos 221⎰（D ）()θθπd a 220cos 2212⎰ 5．曲线πθπθθ=-==,,ae r 所围图形面积A =（）（A ）⎰πθθ02221d e a （B ）⎰πθθ20222d e a （C ）⎰-ππθθd ea 22 （D ）⎰-ππθθd e a 2226．曲线θθ2cos ,sin 22==r r 所围图形面积A =（）（A ）()()⎰⎰+-222121212cos 2sin 2θθθθd d（B ）()()⎰⎰+462602cos sin 2πππθθθθd d（C ）()()⎰⎰+46262cos 21sin 221πππθθθθd d（D ）()()⎰⎰+462602cos sin 22πππθθθθd d7．曲线()21ln xy -=上210≤≤x 一段弧长S =（）（A ）dx x ⎰⎪⎭⎫⎝⎛-+212111 （B ）⎰-+2102211dx x x （C ）dx x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2102121 （D ）dx x ⎰-+21022])1[ln(1 8．摆线)0()cos 1()sin (>⎩⎨⎧-=-=a t a y t t a x 一拱与x 轴所围图形绕x 轴旋转，所得旋转体的体积=V （）（A ）()⎰-ππ2022cos 1dt t a （B ）())]sin ([cos 12202t t a d t a a--⎰ππ（C ）()⎰--ππ2022)]sin ([cos 1t t a d t a （D ）()⎰-adt t a ππ2022cos 19．星形线⎪⎩⎪⎨⎧==ta y ta x 33sin cos 的全长S =（）（A ）⎰-⋅202)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（B ）⎰-⋅022)sin (cos 3sec 4πdt t t a t（C ）⎰-⋅π02)sin (cos 3sec 2dt t t a t（D ）⎰-⋅02)sin (cos 3sec 2πdt t t a t10．心形线)cos 1(4θ+=r 与直线2,0πθθ==围成图形绕极轴旋转的旋转体体积=V （）（A ）⎰+202)cos 1(16πθθπd（B ）⎰+2022sin )cos 1(16πθθθπd（C ）⎰++2022]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd（D ）⎰++0222]cos )cos 1(4[sin )cos 1(16πθθθθπd11．两个半径为a 的直交圆柱体所围的体积为V =（）（A ）⎰-adx x a 022)(4（B ）⎰-adx x a 022)(8（C ）⎰-adx x a 022)(16 （D ）⎰-adx x a 022)(212．矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力p =（）（A ）⎰hahdh 0 （B ）⎰aahdh 0（C ）⎰hahdh 021（D ）⎰h ahdh 0213．横截面为S ，深为h 的水池装满水，把水全部抽到高为H 的水塔上，所作功=W （）（A ）⎰-+hdy y h H S 0)( （B ）⎰-+Hdy y h H S 0)(（C ）⎰-hdy y H S 0)( （D ）⎰+-+Hh dy y h H S 0)(14．半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深)0(a h h <<，则水面上升速度是（）（A ）⎰h dy y dh d 02π （B ）⎰--h dy a y a dh d 022])([π （C ）⎰hdy y dh db2π （D ）⎰-hdy y ay dh d b2)2(15．设)(),(x g x f 在区间[]b a ,上连续，且m x g x f <<)()(（m 为常数），则曲线b x a x x f y x g y ====,),(),(所围平面图形绕直线m y =旋转而成的旋转体体积为（）（A ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（B ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()(2[π（C ）⎰-+-badx x g x f x g x f m )]()()][()([π（D ）⎰---badx x g x f x g x f m )]()()][()([π三、计算题1．求抛物线2x y =与2x 2y -=所围图形的面积。

《数学分析》(华师大二版)课本上的习题4

P.73 习题1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1）xx f 1)(=（2）||)(x x f = 证明（1）f 的定义域为),0()0,(∞+-∞ ，对其定义域上任一点00≠x ，有)(11lim)(lim 0000x f x x x f x x x x ===→→，故f 在0x 连续，由0x 的任意性知，f 在其定义域内连续.（2）f 的定义域为),(∞+-∞. 对其定义域上任一点0x ，0>∀ε，取εδ=，当δ<-||0x x 时，有εδ=<-≤-||||||||00x x x x ，故||||lim 00x x x x =→，从而f 在0x 连续，由0x 的任意性知，f 在其定义域内连续.2．指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）xx x f 1)(+=；解 f 在0=x 间断，因为)1(lim 0xx x ++→不存在，所以0=x 是第二类间断点. （2）||sin )(x xx f =解 f 在0=x 间断，因为1sin lim ||sin lim 00==++→→xx x x x x ，1sin lim ||sin lim 00-=-=--→→x xx x x x ，故0=x 是f 的跳跃间断点.（3）|]cos [|)(x x f =解因为⎩⎨⎧=≠==ππn x n x x x f 10|]cos [|)(，所以f 在),2,1,0( ±±==n n x π间断.由于0|]cos [|lim 0=→x x ，从而),2,1,0( ±±==n n x π是f 的可去间断点.（4）||sgn )(x x f =解因为⎩⎨⎧=≠==0001||sgn )(x x x x f ，所以f 在0=x 间断. 由于1||sgn lim 0=→x x ，从而0=x 是f 的可去间断点.（5）)sgn(cos )(x x f =解因为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+<<+-+=+<<-==2322212022221)s g n (c o s )(ππππππππππn x n n x n x n x x f ，所以f 在)2,1,0(22 ±±=±=n n x ππ间断. 由于1)s g n (c o sl i m 22-=++→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22=-+→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22=+-→x n x ππ，1)sgn(cos lim 22-=--→x n x ππ，故)2,1,0(22 ±±=±=n n x ππ是f 的跳跃间断点.（6）⎩⎨⎧-=为无理数为有理数x x x x x f )(解 f 在0≠x 间断. 当00≠x 时，极限)(lim 0x f x x +→不存在，故0≠x 是f 的第二类间断点.（7）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∞<<--≤≤--<<∞-+=x x x x x x x x f 111sin )1(17771)( 解因为71lim )(lim 77+=---→-→x x f x x ，不存在，故7-=x 是f 的第二类间断点.1lim )(lim 11==--→→x x f x x ，011sin )1(lim )(lim 11=--=++→→x x x f x x ，故1=x 是f 的跳跃间断点.3．延拓下列函数，使其在 R 上连续：（1）28)(3--=x x x f解因为f 在2=x 无定义，且12)42(lim 28lim2232=++=--→→x x x x x x ，于是延拓f 为函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠--=212228)(3x x x x x F ，F 在 R 上连续.（2）2cos 1)(x xx f -= 解f 在0=x 无定义，21cos 1lim20=-→x x x ，于是延拓f 为函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0210c o s1)(2x x x x x F ，F 在 R 上连续. （3）xx x f 1cos )(=解f 在0=x 无定义，01coslim 0=→xx x ，于是延拓f 为函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001cos )(x x x x x F ，F 在 R 上连续.4．证明：若f 在0x 点连续，则||f 与2f 也在点0x 连续. 又问：若||f 与2f 在点0x 连续，那么f 在0x 点是否必连续？证明设f 在0x 点连续，即0>∀ε，0>∃δ，使得当δ<-||0x x 时，有ε<-|)()(|0x f x f . 这时有ε<-≤-|)()(|||)(|)(||00x f x f x f x f ，故||f 也在点0x 连续.下面证明：2f 也在点0x 连续. 因为f 在0x 点连续，于是f 在0x 极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在0>M 及01>δ，使得当10||δ<-x x 时，有M x f ≤|)(|. 现在取},min{12δδδ=，当20||δ<-x x 时，有εM x f x f x f x f x f x f x f x f x f x f 2|)()(||))(||)((||)()(||)()(||)()(|0000022<-⋅+≤-⋅+=-所以2f 在点0x 连续.若||f 与2f 在点0x 连续，f 在0x 点不一定连续. 例如，⎩⎨⎧≥<-=0101)(x x x f . 则1||2≡=f f 在点0=x 连续，但f 在0=x 不连续5．设当0≠x 时)()(x g x f ≡，而)0()0(g f ≠. 证明：f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.证明因为)()(x g x f ≡，所以)(lim )(lim 0x g x f x x →→=，假设f 与g 两个都在0=x 连续，则)0()(lim )(lim )0(0g x g x f f x x ===→→. 与题设)0()0(g f ≠矛盾，所以f 与g 两者中至多有一个在0=x 连续.6．设f 为区间I 上的单调函数. 证明：若I x ∈0为f 的间断点，则0x 必是f 的第一类间断点.证明由教材P.54定理3.10及P.55习题5，知)0(0-x f 和)0(0+x f 都存在，所以0x 是f 的第一类间断点.9．举出定义在 [0, 1] 上分别符合下述要求的函数： ⑴ 只在21，31和41三点不连续的函数函数)41)(31)(21(1)(---=x x x x f 只在21，31和41三点不连续 ⑵ 只在21，31和41三点连续的函数设Dirichlet 函数⎩⎨⎧=为无理数为有理数x x x D 01)(，则)()41)(31)(21()(x D x x x x f ---=只在21，31和41三点连续 ⑶ 只在n1（ ,2,1=n ）上间断的函数函数⎪⎩⎪⎨⎧≤>⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=0101)(x x x x x f ，只在n1（ ,2,1=n ）上间断 ⑷ 只在0=x 右连续，而在其他点都不连续的函数设)(x D 为Dirichlet 函数，则函数)()(x D x x f =只在0=x 右连续P.81 习题1．讨论复合函数g f 与f g 的连续性，设（1）21)(,sgn )(x x g x x f +==解 1)1s g n ()(2=+=x x g f ，处处连续.⎩⎨⎧=≠=0102)(x x x f g ，除0=x 外，处处连续，0=x 是跳跃间断点. （2）x x x g x x f )1()(,sgn )(2-==解 ⎪⎩⎪⎨⎧∞+-∈-±=∞∈=-=),1(U )0,1(11,001)-,U(-)1,0(1)1sgn()(2x x x x x x g f ，故1,0,1-=x 是gf 的跳跃间断点.0)(≡x f g ，处处连续.2．设f ，g 在点0x 连续，证明：（1）若)()(00x g x f >，则存在);(0δx U ，使在其内有)()(x g x f >；（2）若在某)(0x U 内有)()(x g x f >，则)()(00x g x f ≥证明因为f ，g 在点0x 连续，故)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→.（1）由于)()(00x g x f >，故由教材P.52习题7（2），知存在);(00δx U ，使在其内有)()(x g x f >. 从而在);(0δx U 内，有)()(x g x f >.（2）证明的方法与教材P.49定理3.5类似：设在),(0δ'x U 内，有)()(x g x f >. 因为)()(lim 00x f x f x x =→，)()(lim 00x g x g x x =→，所以0>∀ε，分别存在0,021>>δδ，使得当10||δ<-x x 时有)()(0x g x g <-ε，当20||δ<-x x 时有ε+<)()(0x f x f . 令},,min{21δδδδ'=，则当δ<-||0x x 时，有εε+<<<-)()()()(00x f x f x g x g ，从而ε2)()(00+<x f x g . 由ε的任意性，可得)()(00x f x g ≤.3．设f ，g 在区间I 上连续，记)}(),(max{)(x g x f x F =，)}(),(min{)(x g x f x G =证明F 和G 也都在I 上连续.证明由教材P.21总练习题1，有|))()(|)()((21)}(),(max{)(x g x f x g x f x g x f x F -++== |))()(|)()((21)}(),(min{)(x g x f x g x f x g x f x G --+==因为f ，g 在区间I 上连续，所以)()(x g x f -在I 上连续，再由P.73习题4，知|)()(|x g x f -在I 上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，F 和G 都在I 上连续.4．设f 为R 上连续函数，常数0>c ，记⎪⎩⎪⎨⎧>≤-<-=c x f c c x f x f c x f c x F )(|)(|)()()(若若若，证明 F 在 R 上连续.证明因为)}}(,min{,max{)(x f c c x F -=，于是由第3题，知F 在 R 上连续. 另解 |})(||)({|21)(x f c x f c x F --+=，而)(x f c +，)(x f c -，|)(|x f c +，|)(|x f c -都是连续函数.5．设x x f sin )(=，⎩⎨⎧>+≤-=0)(x x x x x g ππ，证明：复合函数g f 在0=x 连续，但g 在0=x 不连续.证明 x x x x x x g x g f s i n 0)s i n (0)s i n ())(sin())((-=⎩⎨⎧>+≤-==ππ ，处处连续.因为ππ-=-=--→→)(lim )(lim 0x x g x x ，ππ=+=++→→)(lim )(lim 0x x g x x ，g 在0=x 的左、右极限不相等，故g 在0=x 的极限不存在，从而g 在0=x 不连续.6．设f 在),[∞+a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，证明：f 在),[∞+a 上有界. 又问f在),[∞+a 上必有最大值或最小值吗？证明因为)(lim x f x +∞→存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在a N >，使得f在),[∞+N 上有界. 又因为f 在],[N a 上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，f 在],[N a 上有界，从而f 在),[∞+a 上有界.f 在),[∞+a 上不一定有最大值或最小值. 例如函数xx f 1)(=在),1[∞+上连续，但没有最小值；函数xx f 11)(-=在),1[∞+上连续，但没有最大值. 7．若对任何充分小的0>ε，f 在],[εε-+b a 上连续，能否由此推出f 在),(b a 内连续.证明能推出f 在),(b a 内连续. 证明如下：),(0b a x ∈∀，取},m i n {2100x b a x --=ε，于是],[0εε-+∈b a x ，由题设，f 在],[εε-+b a 上连续，从而在0x 连续. 由0x 的任意性知，f 在),(b a 内连续.8．求极限：（1）434tan)4(tan )(lim 4ππππππ=-=-→x x x （2）23111112111121lim 221=+--⋅+⋅=+--++→x x x x x 9．证明：若f 在],[b a 上连续，且对任何],[b a x ∈，0)(≠x f ，则f 在],[b a 上恒正或恒负.证明（反证法）假设f 在],[b a 上不是恒正或恒负. 则存在],[,21b a x x ∈，使得0)(1>x f ，0)(2<x f . 不妨设21x x <，则f 在],[21x x 上连续，且)(1x f 与)(2x f 异号，由根的存在定理知，存在),(210x x x ∈，使得0)(0=x f ，这与题设“对任何],[b a x ∈，0)(≠x f ”矛盾.10．证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根.证明设实系数奇次方程为0)(01221212=++++=++a x a x a x a x f n n n n ，012>+n a . 因为+∞=+∞→)(lim x f x ，-∞=-∞→)(lim x f x ，故存在b a <，使得0)(<a f ，0)(>b f . f 在],[b a 上连续，于是由根的存在定理，存在),(0b a x ∈，使得0)(0=x f ，即0x 是方程的实根.11．试用一致连续的定义证明：若f ，g 都在区间I 上一致连续，则g f +也在I 上一致连续.证明因为f ，g 都在区间I 上一致连续，所以0>∀ε，分别存在0,021>>δδ，使得I x x ∈'''∀,，当1||δ<''-'x x 时有ε<''-'|)()(|x f x f ，当2||δ<''-'x x 时有ε<''-'|)()(|x g x g . 取},min{21δδδ=，则I x x ∈'''∀,，当δ<''-'||x x 时有， εεε2|)()(||)()(||))()(())()((|=+<''-'+''-'≤''+''-'+'x g x g x f x f x g x f x g x f所以g f +也在I 上一致连续. 12．证明x x f =)(在),0[∞+上一致连续.证明 ),1[]1,0[),0[∞+=∞+ ，由P.78例6知x x f =)(在]1,0[上连续，从而在]1,0[上一致连续. 下面证明：x x f =)(在),1[∞+上一致连续. 0>∀ε，取εδ2=，),1[,∞+∈'''∀x x ，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'≤''+'''-'=''-'22||||||x x xx x x x x ，所以x x f =)(在),1[∞+上一致连续. 再由P.80例10知，x x f =)(在),0[∞+上一致连续.13．证明2)(x x f =在],[b a 上一致连续，但在),(∞+-∞上不一致连续. 证明（1）设|}||,max{|b a M =，0>∀ε，取M2εδ=，],[,21b a x x ∈∀，当δ<-||21x x 时有，εδ=<-≤-⋅+≤-⋅+=-M x x M x x x x x x x x x x 2||2|||)||(|||||||21212121212221所以2)(x x f =在],[b a 上一致连续.（2）在),(∞+-∞上，取10=ε，0>∀δ，取δ11=x ，212δδ+=x ，这时有δδ<=-2||21x x ，但114211||2222221>+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-δδδδx x . 故2)(x x f =在),(∞+-∞上不一致连续.14．设函数f 在区间I 上满足 Lipschitz 条件，即存在常数L >0，使得对I 上任意两点x x ''',都有|||)()(|x x L x f x f ''-'≤''-'，证明f 在I 上一致连续.证明 0>∀ε，取Lεδ=，I x x ∈'''∀,，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'≤''-'L x x L x f x f |||)()(|，所以f 在I 上一致连续.15．证明x sin 在),(∞+-∞上一致连续.证明 0>∀ε，取εδ=，),(,∞+-∞∈'''∀x x ，当δ<''-'||x x 时有，εδ=<''-'=''-'≤''-'≤''-'''+'=''-'||222sin 22sin 2cos2|sin sin |x x x x x x x x x x x x 所以f 在),(∞+-∞上一致连续.16．设f 在),[∞+a 上连续，且)(lim x f x +∞→存在，证明：f 在),[∞+a 上一致连续.证明设A x f x =+∞→)(lim . 于是对任给的0>ε，存在a N >，当N x >时，有2|)(|ε<-A x f ⑴因f 在]1,[+N a 上连续，故f 在]1,[+N a 上一致连续. 从而存在10<<δ，使得当]1,[,+∈'''N a x x 且δ<''-'||x x 时，有ε<''-'|)()(|x f x f ⑵下面说明，当),[,∞+∈'''a x x 且δ<''-'||x x 时，必有ε<''-'|)()(|x f x f . 事实上，若]1,[,+∈'''N a x x ，则由 ⑵式知有ε<''-'|)()(|x f x f 成立；若N x x >''',，则由⑴式, 可得 εεε=+<''-+-'≤''-'22|)(||)(||)()(|x f A A x f x f x f所以f 在),[∞+a 上一致连续.17．设f 在]2,0[a 上连续，且)2()0(a f f =. 证明：存在点],0[0a x ∈，使得)()(00a x f x f +=.证明令)()()(a x f x f x F +-=，则F 在],0[a 上连续. 又由)2()0(a f f =知)()0()0(a f f F -=与)2()()(a f a f a F -=符号相反，所以由根的存在定理知，存在点],0[0a x ∈，使得0)()()(000=+-=a x f x f x F .18．设f 为],[b a 上的增函数，其值域为)](),([b f a f . 证明f 在],[b a 上连续. 证明用反证法. 若f 有间断点0x ，则由教材P.55习题5，知)0(0-x f 与)0(0+x f 都存在，且)0()0(00+<-x f x f . 又因f 为],[b a 上的增函数，所以有)()0()()0()(000b f x f x f x f a f ≤+≤≤-≤于是)](),([))0(),0((00b f a f x f x f ⊂+-且区间))0(),0((00+-x f x f 只含f 的值域中的一个点)(0x f ，这与f 的值域为)](),([b f a f 矛盾.19．设f 在],[b a 上连续，],[,,,21b a x x x n ∈ ，证明：存在],[b a ∈ξ，使得)]()()([1)(21n x f x f x f nf +++= ξ证明若)()()(21n x f x f x f === ，则取1x =ξ；否则，设})(,),(),(min{)(21n i x f x f x f x f =，})(,),(),(max{)(21n j x f x f x f x f =则)()]()()([1)(21j n i x f x f x f x f nx f ≤+++≤由介值定理，知存在],[b a ∈ξ，使得)]()()([1)(21n x f x f x f nf +++= ξ20．证明x x f cos )(=在),0[∞+上一致连续.证明因为),1[]1,0[),0[∞+⋃=∞+. 当),1[,∞+∈'''x x ，有|2sin ||2sin|2|cos cos |x x x x x x ''+'⋅''-'=''-' |||2|2|2sin|2x x x x x x ''-'=''-'≤''-'≤ 即x x f cos )(=在),1[∞+满足Lipschitz 条件，由P.81习题14，知xx f cos )(=在),1[∞+上一致连续.又因为x x f cos )(=在]1,0[上连续，从而在]1,0[上一致连续. 所以由教材P.80例10，可知x x f cos )(=在),0[∞+上一致连续.84习题1．求下列极限（1）6)01ln(0150cos )1ln(15cos lim 020=-+++=-+++→e x x x e x x（2）xx x x x x x x x x x x ++++=-+++∞→+∞→lim)(lim21111111lim2=++++=+∞→xxx x （3）xx x x x x xx x x x x x x x x 111111112lim 111111lim 00+-++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++++→→10010*********lim 0=+-++++=+-++++=+→xx x x x x xx（4）111111lim1lim3=+++=++++∞→+∞→xx x x xx x x x（5）⋅+⋅→⋅→→=+=+xx x x x x x x x ex x sin 1)sin 1ln(cos 0cos sin 1cot 0lim )sin 1(lim )sin 1(lime e eeee x x x x x xx xx x xx =====⋅→⋅→→⋅→+⋅+⋅+⋅ln )sin 1(lim ln 1)sin 1ln(limcos lim )sin 1ln(cos limsin 10sin 10sin 102．设0lim >=∞→a a n n ，0lim >=∞→b b n n ，证明bbn n a a n =∞→lim证明 b a b a b a b n b nn a e eeann n n nn n ====∞→∞→⋅∞→∞→ln lim ln lim ln lim limP.84 总练习题1．设函数f 在),(b a 连续，且)0(+a f 与)0(-b f 为有限值. 证明：（1）f 在),(b a 内有界；（2）若存在),(b a ∈ξ，使得)}0(),0(max{)(-+≥b f a f f ξ，则f 在),(b a 内能取到最大值.证明（1）定义⎪⎩⎪⎨⎧=-=+∈=bx b f a x a f b a x x f x F )0()0(),()()(，则)(x F 在],[b a 内连续，从而)(x F 在],[b a 内有界，当然也在),(b a 内有界. 而在),(b a 内)()(x f x F =，于是f 在),(b a 内有界.（2）因为)(x F 在],[b a 内连续，从而)(x F 在],[b a 内有最大值. 又由题设，存在),(b a ∈ξ，使得)}0(),0(max{)(-+≥b f a f f ξ，即)}(),(max{)(b F a F F ≥ξ，因此F 的最大值在),(b a 内达到. 所以f 在),(b a 内能取到最大值.2．设函数f 在),(b a 连续，且+∞=-=+)0()0(b f a f . 证明f 在),(b a 内能取到最小值.证明因为+∞=-=+)0()0(b f a f ，所以对⎪⎭⎫⎝⎛+=2b a f G ，分别存在201a b -<<δ，202a b -<<δ，使得当10δ<-<a x 时，有⎪⎭⎫⎝⎛+>2)(b a f x f ；当20δ<-<x b 时，有⎪⎭⎫⎝⎛+>2)(b a f x f . 因为f 在闭区间),(],[21b a b a ⊂-+δδ连续，于是在],[21δδ-+b a 上有最小值m ，由于],[221δδ-+∈+b a ba ，故⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤2b a f m ，从而m 也是f 在),(b a 内的最小值.类似地可证：设函数f 在),(b a 连续，且-∞=-=+)0()0(b f a f . 则f 在),(b a 内能取到最大值.3．设函数f 在区间I 上连续，证明：⑴ 若对任何有理数I r ∈有0)(=r f ，则在I 上0)(≡x f ；⑵ 若对任意两个有理数2121,,r r r r <，有)()(21r f r f <，则f 在I 上严格增. 证明 ⑴ 对任何无理数I x ∈0，取有理点列I r n ⊂}{，使0x r n →（∞→n ），则由f 的连续性以及0)(=n r f 得0)(lim )(0==∞→n n r f x f . 所以在I 上0)(≡x f .⑵ I x x ∈∀21,，21x x <，要证)()(21x f x f <. 取有理数),(,2121x x r r ∈，21r r <. 由f在点21,x x 的连续性，对0))()((2112>-=r f r f ε，存在正数},m i n (2211r x x r --<δ，使得当有理数),(111δ+∈'x x r ，有ε+'<)()(11r f x f ；当有理数),(222x x r δ-∈'，有ε-'>)()(22r f x f . 注意到2211r r r r '<<<'以及f 在有理点集上的严格递增性，可得)()()()()()(222111x f r f r f r f r f x f <-'<-=+<+'<εεεε所以f 在I 上严格增5．设f 在],[b a 上连续，且对任何],[b a x ∈, 存在],[b a y ∈, 使得|)(|21|)(|x f y f ≤证明: 存在],[b a ∈ξ, 使得0)(=ξf证由f 在],[b a 上连续，有||f 在],[b a 上连续，于是||f 在],[b a 有最小值m , 设||f 在],[b a ∈ξ取得最小值, 即|)(|ξf m =. 若0=m , 则已得证.假设0>m , 则由题设，存在],[1b a y ∈, 使得|)(|21|)(|1ξf y f ≤; 因|)(|ξf m =是||f 在],[b a 的最小值, 所以 |)(|21|)(||)(|1ξξf y f f ≤≤. 矛盾. 结论得证. 另解反证法. 假设对任何],[b a x ∈，都有0)(≠x f ，于是)(x f 恒正或恒负，否则由介值定理，必有零点. 不妨设],[b a x ∈∀，0)(>x f . 因为f 在],[b a 上连续，所以有最小值，设0)(0min >=x f f ，],[0b a x ∈.由题设，存在],[0b a y ∈, 使得)()(21)(0000x f x f y f <≤<，这与)(0x f 是f 在],[b a 上的最小值矛盾. 结论得证.6．设f 在],[b a 上连续，],[,,,21b a x x x n ∈ ，另有一组正数n λλλ,,,21 满足121=+++n λλλ . 证明：存在一点],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++=证明若)()()(21n x f x f x f === ，则取1x =ξ；否则，设f 在],[b a 上的最大值、最小值分别为M ，m ，则)()()()(221121n n n x f x f x f m m λλλλλλ+++≤+++=M M n =+++≤)(21λλλ由介值定理，知存在],[b a ∈ξ，使得)()()()(2211n n x f x f x f f λλλξ+++=7．设f 在),0[∞+上连续，满足x x f ≤≤)(0，),0[∞+∈x . 设01≥a ，)(1n n a f a =+， ,2,1=n . 证明：⑴ }{n a 为收敛数列； ⑵ 设t a n n =∞→lim ，则有t t f =)(.⑶ 若条件改为x x f <≤)(0，),0(∞+∈x ，则0=t证 ⑴ 因为x x f ≤≤)(0，所以n n n a a f a ≤=+)(1，即}{n a 递减有下界0，故收敛. ⑵ 设0lim ≥=∞→t a n n ，由f 在),0[∞+上连续，则f 在t 上连续，从而)()(lim )(lim lim 1t f x f a f a t tx n n n n ====→∞→+∞→⑶ 因为0≥n a ，所以0lim ≥=∞→t a n n . 若0>t ，则由题设：x x f <≤)(0，),0(∞+∈x ，必有t t f <)(. 这与⑵中的结论t t f =)(矛盾. 故0=t .8．设f 在]1,0[上连续，)1()0(f f =. 证明：对任何正整数 n , 存在]1,0[∈ξ, 使得)()1(ξξf nf =+证明当1=n 时, 取0=ξ.当1>n 时, 令)()1()(x f n x f x F -+=, ]1,0[nn x -∈, 则有 0)1()1()0(=-+++nn F n F F由第6题知, 存在]1,0[∈ξ, 使得0)]1()1()0([1)(=-+++=nn F n F F n F ξ, 从而 )()1(ξξf nf =+9．设f 在0=x 连续，且对任何x , y ∈R 有)()()(y f x f y x f +=+. 证明： ⑴ f 在R 上连续； ⑵ x f x f )1()(=.证明 ⑴ 以0==y x 代入)()()(y f x f y x f +=+，可得0)0(=f . 由f 在0=x 连续，得0)0()(lim 0==→f x f x .R x ∈∀0，由)()()()(0000x f x x f x x x f x f +-=+-=，有)()()0()]()([lim )(lim 00000x f x f f x f x x f x f x x x x =+=+-=→→所以f 在0x 连续.⑵ 对正整数p ，有)1()1()1()11()(pf f p f p f p f ==+-=+-= 对正整数q ，有)1()1()1)1(()11)1(()1()1(qqf q f q q f q q q f q q f f ==+⋅-=+⋅-=⋅=于是 )1(1)1(f qq f =. 以x y -=代入)()()(y f x f y x f +=+, 可知f 为奇函数. 因此知道对一切整数都有等式)1()(pf p f =，)1(1)1(f qq f =成立. 从而对任何有理数qp r =，有)1()1()1()()(rf f q p q pf q p f r f ====.对任何实数x , 取有理数列}{n r ，使得x r n →（∞→n ），则由f 的连续性得)1()1(lim )(lim )(xf f r r f x f n n n n ===∞→∞→10．设定义在R 上的函数f 在0，1两点连续，且对任何x , y ∈R 有)()(2x f x f =. 证明f 为常量函数.证由)()())(()(22x f x f x f x f ==-=-，知f 为偶函数.对任何0>x ，有)()()()(214121x f x f x f x f ==== . 因f 在1=x 连续，故)1()(lim )(21f x f x f nn ==∞→，从而得对任何0≠x ，有)1()(f x f =. 再由f 在0=x 连续，得)1()(lim )0(0f x f f x ==→。

华东师范大学数学分析级数部分单元测试题

一、选择题（12分） 1．关于级数()111n pn n -∞=-∑收敛性的正确答案是（ C ）（A ）1p >时条件收敛；（B ）01p <≤时绝对收敛；（C ）01p <≤时条件收敛；（D ）01p <≤时发散。

2．关于幂级数21n n n a x ∞=∑，有1lim0n n na l a +→∞=>，它的收敛半径是（ D ）（A ）l ；（B ）1l；（C；（D3．下列级数中绝对收敛的是（ B ）（A ）111n n -∞=-∑；（B ）()31112n n n n ∞-=-∑；（C ）()111ln1n n nn ∞-=-+∑；（D ）3456146810-+-+-。

4．下列级数中发散的是（ A ）（A ）312nn n ∞=∑；（B ）1!n n n n ∞=∑；（C ）()11ln nn n ∞=∑；（D ）()()113134n n n ∞=++∑。

二、填空题（12分）1．数列{}n S 不满足柯西准则，则{}n S 发散，即为 00,N ε+∃>∀∈，存在+，虽然2．若10,nn a a∞=>∑收敛，那么21nn a∞=∑ 收敛。

3．级数()()23lg lg lg x x x +++的收敛区域是 ()110,10- 。

4．傅立叶级数逐项可积的条件及逐项微分的条件是（1） ()f x 在[],ππ-上按段光滑。

（2） ()f x 在[],ππ-上一致收敛。

三、（10分）求函数()cos f x x =在4x π=处的泰勒展开式。

四、（10分）证明函数项级数2111nn n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑在1x <连续。

五、（12分）在区间(),ππ-内将函数()2x f x e =展成傅立叶级数。

六、（8分）如果1n n a ∞=∑条件收敛，证明lim1nn nP Q →∞=，其中()()11,22n n n n n n P s Q s σσ=+=-，这里()11,1,2,nnn nn nk k as a n σ=====∑∑。

数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题

（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。

2 叙述Green 公式的内容及意义。

3 叙述n 重积分的概念。

二计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。

2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。

3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。

4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。

5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。

三讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。

试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。

2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。

数学分析试题（二年级第一学期）答案1一叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε，存在与y 无关的正数0A ，使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。

2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。

如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。

华东师范大学数学分析试题

华东师范大学2004数学分析一、〔30分〕计算题。

1、求2120)2(cos lim x x x x -→ 2、假设)),sin(arctan 2ln x x e y x +=-求'y .3、求⎰--dx x xe x 2)1(. 4、求幂级数∑∞=1n n nx 的和函数)(x f .5、L 为过)0,0(O 和)0,2(πA 的曲线)0(sin >=a x a y ,求⎰+++L dy y dx y x .)2()(3xdx a x da dy x a y cos sin ,sin ===6、求曲面积分⎰⎰++S zdxdy dydz z x )2(,其中)10(,22≤≤+=z y x z ,取上侧..二、〔30分〕判断题〔正确的证明，错误的举出反例〕1、假设},,2,1,{ =n x n 是互不相等的非无穷大数列，则}{n x 至少存在一个聚点).,(0+∞-∞∈x2、假设)(x f 在),(b a 上连续有界，则)(x f 在),(b a 上一致连续.3、假设)(x f ,)(x g 在]1,0[上可积，则∑⎰=∞→=-n i n dx x g x f n i g n i f n 110)()()1()(1lim . 4、假设∑∞=1n n a 收敛，则∑∞=12n n a 收敛.5、假设在2R 上定义的函数),(y x f 存在偏导数),(y x f x ,),(y x f y 且),(y x f x ,),(y x f y 在(0,0)上连续，则),(y x f 在(0,0)上可微.6、),(y x f 在2R 上连续,})()(|),{(),(2202000r y y x x y x y x D r ≤-+-= 假设⎰⎰=>∀∀r D dxdy y x f r y x ,0),(,0),,(00 则.),(,0),(2R y x y x f ∈= 三、〔15分〕函数)(x f 在).,(+∞-∞上连续，且,)(lim A x f x =∞→ 求证：)(x f 在).,(+∞-∞上有最大值或最小值。