华东师大数学分析习题解答1
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《数学分析选论》习题解答
第 一 章 实 数 理 论
1.把§1.3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明. 证 设数集S 有下确界,且S S ∉=ξinf ,试证: (1)存在数列ξ=⊂∞
→n n n a S a lim ,}{使;
(2)存在严格递减数列ξ=⊂∞
→n n n a S a lim ,}{使.
证明如下:
(1) 据假设,ξ>∈∀a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'∃>ε∀a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1
Λ==
εn n n 相应地S a n ∈∃,使得
Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n .
因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞
→n n a lim .
(2) 为使上面得到的}{n a 是严格递减的,只要从2=n 起,改取
Λ,3,2,,1min 1=⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+ξ=ε-n a n n n ,
就能保证
Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □
2.证明§1.3例6的(ⅱ).
证 设B A ,为非空有界数集,B A S ⋃=,试证:
{}B A S inf ,inf m in inf =.
现证明如下.
由假设,B A S ⋃=显然也是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何
B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有
{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥⇒≥.
另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于是有
S A S x inf inf inf ≥⇒≥;
同理又有S B inf inf ≥.由此推得
{}B A S inf ,inf m in inf ≤.
综上,证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立. □
3.设B A ,为有界数集,且∅≠⋂B A .证明: (1){}B A B A sup ,sup m in )sup(≤⋂; (2){}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥⋂. 并举出等号不成立的例子.
证 这里只证(2),类似地可证(1).
设B A inf ,inf =β=α.则应满足:
β≥α≥∈∈∀y x B y A x ,,,有.
于是,B A z ⋂∈∀,必有
{}βα≥⇒⎭
⎬⎫
β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 是B A ⋂的一个下界.由于B A ⋂亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥⋂成立.
上式中等号不成立的例子确实是存在的.例如:设
)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=⋂⋃==B A B A 则,
这时3)(inf ,0inf ,2inf =⋂==B A B A 而,故得
{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >⋂. □ 4.设B A ,为非空有界数集.定义数集
{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,,
证明:
(1)B A B A sup sup )sup(+=+; (2)B A B A inf inf )(inf +=+.
证 这里只证(2),类似地可证(1).
由假设,B A inf ,inf =β=α都存在,现欲证β+α=+)(inf B A .依据下确界定义,分两步证明如下:
1)因为,,,,β≥α≥∈∈∀y x B y A x 有所以B A z +∈∀,必有
β+α≥+=y x z .
这说明B A +β+α是的一个下界.
2)B y A x ∈∈∃>ε∀00,,0,使得
2,2
00ε
+β>ε+
α>y x .
从而ε+β+α>+∈+=∃)(,0000z B A y x z 使得,故B A +β+α是的最大下界.于是
结
论
B
A B A inf inf )(inf +=+ 得
证. □
5.设B A ,为非空有界数集,且它们所含元素皆非负.定义数集
{}B b A a ab c AB ∈∈==,,
证明:
(1)B A AB sup sup )sup(⋅=; (2)B A AB inf inf )(inf ⋅=. 证 这里只证(1),类似地可证(2).
⎪⎩
⎪
⎨⎧
⋅≤≤≤=≥≥∈∈∃∈∀,sup sup ,
sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ⋅是AB 的一个上界.
另一方面,B b A a ∈∈∃>ε∀00,,0,满足
ε->ε->B b A a sup ,sup 00,
故)(000AB b a c ∈=∃,使得
εε-+-⋅>])sup sup ([sup sup 0B A B A c .
由条件,不妨设0sup sup >+B A ,故当ε足够小时,εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为
一任意小正数.这就证得B A sup sup ⋅是AB 的最小上界,即 B A AB inf inf )(inf ⋅= 得证. □
*
6.证明:一个有序域如果具有完备性,则必定具有阿基米德性.
证 用反证法.倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性,则必存在两个正元素F ∈βα,,使序列}{αn 中没有一项大于β.于是,}{αn 有上界(β就是一个),从而由完备性假设,存在上确界λ=α}sup{n .由上确界定义,对一切正整数n ,有α≥λn ;同时存在某个正整数0n ,使α-λ>α0n .由此得出
α+<λ≤α+)1()2(00n n ,
这导致与0>α相矛盾.所以,具有完备性的有序域必定具有阿基米德性. □
7.试用确界原理证明区间套定理. 证 设{}],[n n b a 为一区间套,即满足:
0)(lim ,
1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞
→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ.
由于{}n a 有上界k b ,{}n b 有下界k a (+∈N k ),因此根据确界原理,存在
{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a .
倘若β<α,则有
Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ,
而这与0)(lim =-∞
→n n n a b 相矛盾,故ξ=β=α.又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ,
所以ξ是一切],[n n b a 的公共点.
对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ,由于
∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ,
因此只能是η=ξ,这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点. □
8.试用区间套定理证明确界原理.
证 设S 为一非空有上界的数集,欲证S 存在上确界.为此构造区间套如下:令 ],[],[011M x b a =,其中M S S x ,)(0∅≠∈Θ为S 的上界.记2
1
11b a c +=
,