数学分析华东师大反常积分
华东师范大学数学系数学分析第4版下册知识点总结笔记课后答案
第12章数项级数12.1复习笔记一、级数的收敛性II级数的走义若S=f如存在极限值s r即HmS r = .S r则级数收敛，S为级数的和。
若｛S“｝发散,则级数发散。
创重要走理(1)级数收敛的柯西准则工叫收敛mN(NWN+ ),当m>N时以及又寸0p(pWN+ )，都有(2 )如果级数Zu n^£v n都收敛r则对任意常数c , d r级数工(cu n + dv n )也收敛r且》(* +叽)=c》冷加工耳(3)改变级数的有限个项不改变级数的敛散性。
(4 )在收敛级数的项中任意加括号r不改变其收敛性与和。
二、正项级数Q正项级数收敛性的一般判别原则(1)正项级数工％收敛O冥部分和数列｛S,J有界。
(2)比较原则设工*和工□是两个正项级数r 3N (NGN* ) r使得对％> N都有u n<v n r则①若8n收敛，则工g也收敛。
②若»1…发散,则工口也发散。
(3 )设& =工*和S"=工V"是两个正项级数.如果则①若0 v 1 v +1级数si S"同敛散。
②若1 = 0且级数S"收敛,级数S，也收敛。
③若1 = + 0C且级数S"发散，级数S也发散。
Q比式判别法和根式判别法(1)比式判别法设工*为正项级数，且存在正整数N()及常数q (0<q<l )，则①若对任意n > N o , SPWu n+1/u n<q ,则工％收敛。
②若对任意n > N o ,都有5+ ]/11診1 ,则》i.发散。
(2 )比式判别法的极限形式若Xw为正项级数,且,则①若q V 1 ,则工Un收敛。
②若q > 1或q =+oo,则工片发散。
③若q = 1 ,则无法判断工叫的发散性。
(3)根式判别法设工g为正项级数,且存在正整数N()及正常数1 ,①若对任意n > N(”都有阪5*1 ,则工％收敛。
数学分析报告第七讲反常积分
数学分析报告第七讲反常积分反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
在数学分析中，我们经常会遇到这样的函数，它们在其中一区间上无界或者在其中一点不连续。
这时，我们需要对这些函数进行反常积分的处理，以得到一个有意义的结果。
反常积分可以分为无界函数的反常积分和破碎点的反常积分两种情况。
无界函数的反常积分是指函数在其中一区间上无界，即函数的极限值为无穷大或无穷小。
破碎点的反常积分是指函数在其中一点上不连续，即函数在该点的极限不存在。
对于无界函数的反常积分，我们需要将积分区间分割成两个部分，使得原函数在每个部分上都是有界的。
然后对每个部分进行积分，再将结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在区间[a,b]上无界的情况，我们可以将区间分割成[a,c]和[c,b]，其中c是一个介于a和b之间的值。
然后分别计算函数f(x)在区间[a,c]和[c,b]上的积分，再将这两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
对于破碎点的反常积分，我们需要分别计算函数左极限和右极限的积分，再将这两个积分的结果相加。
具体来说，对于函数f(x)在点c处不连续的情况，我们可以计算函数f(x)在区间[a,c)和(c,b]上的积分，然后将两个积分的结果相加，就得到了原函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分。
通过对无界函数和破碎点的反常积分的处理，我们可以得到一个有意义的积分结果。
这样的处理方法可以避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法对于数学分析的研究和应用具有非常重要的意义。
总结起来，反常积分是对具有无界函数或破碎点的函数进行积分时所遇到的问题。
我们可以通过将积分区间分割成有界的部分，或者分别计算函数左极限和右极限的积分，来处理这些反常积分。
这样的处理方法可以得到一个有意义的积分结果，避免由于函数的无界或破碎点而导致积分的发散或无意义的问题。
反常积分的处理方法在数学分析中具有非常重要的应用价值。
11-2——华东师范大学数学分析课件PPT
f ( x) dx 收敛，则 f ( x) dx 也收敛，并 有
a
a
a f ( x) dx a f ( x) dx.
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
非负函数无穷积分的收敛判别法
u1
u1
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
又因为 f ( x) 2 f ( x)dx u2 h( x)dx u2 g( x)dx ,
u1
证 设F(u)
u
f ( x)dx,
u [a, ),
则
f ( x)dx
a
a
收敛的充要条件是存在极限 lim F(u). 由函数
u
极限的柯西准则,此等价于
0, G a, u1, u2 G,
数学分析 第十一章 反常积分
高等教育出版社
F (u1) F (u2 ) ,
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无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
一般函数无穷积分的 收敛判别法
定理11.1（无穷积分收敛的柯西准则）
无穷积分
f ( x)dx
收敛的充要条件是:
a
0, G a, 当 u1, u2 G 时,
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
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§2 无穷积分的性质与收敛判别
无穷积分的性质
非负函数无穷积分 的收敛判别法
数学分析华东师大第十一章反常积分
第十一章反常积分§1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v 0 至少要多大?设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为mg R2F = .x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为rmg R ∫∫2∫d x = mg R21 - 1 .Rx2Rr当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = limrmgR2Rx2r → + ∞ Rd x = mg R . x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使1 22mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 =2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?2∫· R u∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v =2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =R d x , x ∈ [0 , h] . r 22g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:ht f =R 2d x .r 22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u2t f = lim∫2d xu → h-r 2 g( h - x)= lim-22g r 2h - h - uu → h=2 h R .g r相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) , 记作+ ∞J =f ( x ) d x ,( 1′)a∫ ∫ + ∞ + ∞并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f ( x) d xaa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫u266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x =lim∫f ( x ) d x .( 2)- ∞u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x = - ∞- ∞+ ∞ f ( x) d x + af ( x) d x ,( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 . 注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 , f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3af ( x ) d x 收 敛 的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x1xp( 4)ud x 1x p=1 1 - p ( u1 - p - 1 ) , p ≠ 1 ,ln u ,p = 1 ,1lim∫d x=u → + ∞ 1xpp - 1 ,p > 1 + ∞p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性:∫1∫)+ ∞d x2x( ln x)p ; 2) + ∞d x- ∞ 1 + x2 .解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 4a b∫ ∫∫ §1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫+ ∞d x+ ∞d t 2x ( l n x )p=∫ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫d x+ ∞d x- ∞1 + x2和∫a由于a1 + x2.lim∫d x =lim ( arctan a - arctan u )u → - ∞u 1 + x 2vu → - ∞= arctan a + π,2lim∫d x =lim ( arctan v - arctan a)v → + ∞a1 + x 2v → + ∞π2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫+ ∞d x ad x+ ∞d x- ∞1 + x2=∫- ∞1 + x2+∫a1 + x2= π .注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ =f ( x ) d x ,( 5′)ab并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 .a=∫在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu∫f ( x) d x =lim∫f ( x )d x . au → b-a其中 f 在 [ a , b) 有定义 , 在点 b 的任一左邻域内无 界 , 但在任何 [ a , u] ì [ a , b)1 268第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacub= lim∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c - av → c+v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì[ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 .又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分bcb∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaaccv= lim∫f ( x) d x + lim ∫f ( x) d x , ( 7)u → a+uv → b-c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都 收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x 2解 被积函数 f ( x) =1 在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u] ì [ 0 , 1)1 - x2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u∫d x = lim∫d x 01 - x 2-u → 11 - x2例 6 讨论瑕积分= limu → 1 -1arcsin u = π.2∫d x 的收敛性 .xq( q > 0 ) ( 8)∫1 1 x解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d x uxq=1 1 - q( 1 - u1 - q) ,q ≠ 1 ,( 0 < u < 1) ,- ln u ,q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且∫d x ∫ d x 1 q=limu → 0 +uxq= 1 - q;∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫§1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ ∞我们定义d x 0xp ( p > 0 ) .( 9)∫+ ∞d x 1d x + ∞d x 0xp=∫xp+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 . 习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 ? 若收敛 , 则求其值 :( 1∫)+ ∞x e- x2+ ∞d x ; (2)- ∞2x e - xd x ;( 3∫)+ ∞1+ ∞d x ; (4)d x20 e x+ ∞1 x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x; (6)∫ e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 50 + ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ; (8)- ∞d x .1 + x 22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 ?若收敛 , 则求其值 :( 1∫)bd x 1d x;(2);a( x - a) p2 0 1 - x 21( 3∫)d x ;(4)∫xd x ;| x - 1| 01 - x 2( 5∫)11ln x d x ;(6)xd x; 1 - x( 7∫)1d x1d x;(8)p.x - x 2x( ln x);a∫ b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x 收敛时∫, bf 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫:+ ∞f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 limax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞ 5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 lim x → +∞f ( x) = A , 则 A = 0 .∫ ∫∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫270 第十一章 反 常 积 分+ ∞ 6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数 F( u ) =f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G , 便有f ( x ) d x 收敛 的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x= ∫ f ( x )d x< ε .a au此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ ∞ 性质 1 若a+ ∞+ ∞f 1 ( x) d x 与 af 2 ( x ) d x 都 收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k1 f 1( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞+ ∞[ k 1 f 1 ( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1aaf 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x) d x .( 1)+ ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则af ( x ) d x 与+ ∞f ( x) d x 同敛态 ( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有b+ ∞b+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x ,( 2)aab21∫ ∫ 其中右边第一项是定积分 .+ ∞性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ 2=§2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u+ ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 , 且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ + ∞f ( x) d x ≤ aa+ ∞f ( x ) d x . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 >G 时 , 总有uuf ( x )d x 2uf ( x )d x < ε .1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有uu2f ( x ) d x ≤ 2uu11+ ∞f ( x )d x < ε .再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .uu又因∫ f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞ 取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出 : 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .∫ ∫ ∫我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 . 二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x 收敛的u充要条件是a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理 11 .2 ( 比较法则 ) 设定义在 [ a , + ∞ ) 上的 两个 函数 f 和 g 都 在任 何∫ ∫ ∫∫ 0∫∫ ∫∫ ∫∫∫272 第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞ + ∞ 则当g( x ) d x 收敛时 a a+ ∞+ ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论sin xd x 的收敛性 .1 + x2+ ∞解 由于1d x π1 + x2≤ 1 + x2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x 2=为收敛2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫,sin xd x 为绝对收敛 . 01 + x2上述比较法则的极限形式如下 : 推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f ( x) | g( x )= c,则有 :( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫,+ ∞+ ∞+ ∞| f ( x ) | d x 与aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由ag( x ) d x 收敛可推知 a+ ∞f ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(i ) ) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x ) d x 也发散 .当选用∫d x 作为比较对 象g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成1x pa为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 :( i ) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时+ ∞+ ∞∫∫∫∫f ( x) d x 收敛 ;xpa+ ∞( i i) 当 f ( x) ≥ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p ≤ 1 时f ( x) d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 :lim x → + ∞x p f ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当 p ≤ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时 ,af ( x) d x 发散 .∫∫ ∫ ∫∫§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫)+ ∞x αe - x d x; 2 )1+ ∞x 2d x .x 5+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有limx → + ∞x 2 · x αe- x= lim x → + ∞xα+ 2ex= 0 ,因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12limx → + ∞x 2 · x x 5+ 1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) =f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,a+ ∞ g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limx → + ∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >G 时 , 有g( x ) < ε.4 M又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何 u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得u∫ ∫ 21∫ f ( x ) g( x ) d x = g ( u 1∫) ξf ( x ) d x +g ( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有uξuf ( x ) g( x ) d x ≤g( u 1 ) ·uuf ( x ) d x+ g( u 2 ) ·∫ f ( x ) d x11ξξu= g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaa22u ∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫∫274 第十一章 反 常 积 分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M·2 M ++ ∞aaε4 M·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞ 定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 ) 若af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在[ a , + ∞ )+ ∞ 上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞例 3 讨论∫sin x d x 与+ ∞cos x1xp1xpd x ( p > 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞( i) 当 p > 1 时1sin xd x 绝对收敛 .这是因为 xp + ∞d x而sin x xp≤ 1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) ,+ ∞sin x1xp当 p > 1 时收敛 , 故由比较法则推知∫1+ ∞xpd x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1 时1usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 xp∫sin x d x =cos 1 - cos u ≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1xp+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于sin xxp≥+∞sin 2xx=+ ∞<∫∫∫12 x -cos 2 x2 x ,x ∈ [ 1 , +∞ ) ,cos 2 x 1其中12 xd x =22cos t td t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 , 而+ ∞d x 12 x是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条件收敛的 .例 4 证明下列无穷积分都是条件收敛的 :∫ ∫ ∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫+ ∞3§2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞ sin x 2d x ,1+ ∞ cos x 2d x ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x 2得到+ ∞+ ∞sin x 2d x = 1 1+ ∞+ ∞cos x 2d x = 11sin td t ,2 tcos t d t .2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得∫x sin x 4 d x = 1 + ∞sin t 2d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 . 习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上 都可积 .证明 :+ ∞ 若a收敛 .+ ∞f2( x) d x 与a+ ∞ g 2 ( x) d x 收 敛 , 则a+ ∞f ( x) g( x) d x 与 a[ f ( x) + g( x ) ]2 d x 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x ) ≤ f ( x ) ≤ g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(2) 又若a+ ∞h( x )d x =a+ ∞g( x) d x = A , 则af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫)d x; (2)xd x ;x 4+ 1+ ∞∫11 - ex+ ∞( 3∫)( 5∫) d x ; (4)0 1 +x ln ( 1 + x)d x ;(6)x arctan x 11 + x 3 d x;+ ∞ xmd x( n 、m ≥ 0 ) .1x n1 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :( 1∫)sin xd x ; (2 )1x+ ∞sgn( sin x)d x ;1 + x2+ ∞ + ∞∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a ∫bbu∫276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos xd x;(4 )100 + xln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞ + ∞f ( x) d x 收 敛 时aaf 2( x ) d x 不 一 定 收敛∫;+ ∞f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af2( x) d x 也不一定收敛 .a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若af ( x )d x 绝对收敛 , 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞f 2( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o1 x , x →+ ∞ .+ ∞9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函bb数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab 定 理 11 .5 瑕积分 f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫ f ( x) d x2=f ( x )d x < ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 , 则 当瑕 积 分bb b∫ f 1( x ) d x 与∫ f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有+ ∞+ ∞a ∫∫b b b∫[ k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x ) ]d x =k∫1f1 ( x ) d x + k2af2 ( x ) d x . ( 1) a性质2 设函数 f 的瑕点为x = a, c ∈( a ,b ) 为任一常数. 则瑕积分b c∫f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态, 并有a ab c b∫f ( x ) d x =∫f ( x) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)a a cb其中 f ( x ) d x 为定积分.c∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫b∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可b积 .则当af ( x )d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x)d x . ( 3)aa bb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 :定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g , 瑕点 同为 x = a, 在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] .b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,ab bf ( x ) d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当aaf ( x) d x 发散 时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) .a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 limx → a +bf ( x ) g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态 ;ab( i i ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x )d x 也收敛 ;aabb( i ii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫d xb作为比 较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x - a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上可积 , 则有 :( x - a) p ( x - a) p∫∫( i) 当 f ( x) ≤1, 且0 < p < 1 时,abf ( x) d x 收敛;( i i) 当 f ( x) ≥1, 且p ≥1 时,af ( x) d x 发散.推论3 设 f 定义于( a , b] , a 为其瑕点, 且在任何[ u , b] ì( a , b] 上可积. 如果则有: limx →a +( x - a) p f ( x ) = λ,b∫∫∫ 278 第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x) d x 收敛 ;b( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x) d x 发散 .1∫)ln xd x ; 2∫) 0x2x 1ln xd x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x 在 ( 0 , 1] 上恒为负 , x在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积 分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时, 有λ= lim x → 0 +3x 4 ·1ln x x= - limx → 0 +ln x1x-4所以瑕积分 1) 收敛 .= lim x → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim +x → 1( x - 1 ) · x ln x= lim + x → 1x - 1 ln x = 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =xα- 11 + x d x解 把反常积分 Φ( α) 写成1α- 1+ ∞α- 1Φ(α) =∫x d x +∫x d x1 + x11 + x= I(α) + J(α) .1x ( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于limx → 0 +α- 1x1 - α·1 + x= 1 ,根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1limx → + ∞x2 - α·x1 + x= lim x → + ∞x 1 + x= 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 -α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .综上所述 , 把讨论结果列如下表 :习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫)( 3∫)d x ; (2 )( x - 1 )2d x;(4 ∫)x ln x sin x d x ;x362/ln x d x ;1 - x ( 5∫) ( 7∫)1arctan x 01 - x 3d x ; (6 )1 sin 1 d x; (8 )π62/ 0+ ∞1 - cos xx md x;e - x ln x d x .0xx0 4 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫)1( ln x ) nd x ; (2 )π62/1x nd x . 01 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = - πln 2 .( 提示 : 利用∫ln (sin x) d x =π62/ 02ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫)θln( sin θ)d θ = -πln 2;2 1π1 102( 2∫)θsin θdθ= 2πln 2 .0 1 - cos θπ1 ∫2∫ ∫∫ λ∫∫ ∫∫ ∫280 第十一章 反 常 积 分总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1p - 1+ ∞- p( 1∫)xd x =∫xd x , p > 0;x + 1 1x + 1+ ∞p - 1+ ∞- p( 2∫)xd x =∫xd x , 0 < p < 1 .x + 1 0x + 12 . 证明下列不等式 :( 1) π<∫d x<π ;2 2 ( 2) 12 01 -1e1 - x 4+ ∞<2e - x d x < 1 + 1 .2e3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1)e - axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)0 e- a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/ d x ; (4)ln( tan θ) d θ .01 + x 2+ ∞4 . 讨论反常积分sin bx d x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0x+ ∞d x = ( f (0) - k) ln b ;a(2) 若af( x) d x 收敛 , 则x6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0xd x = f (0) ln b .a+ ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 .∫ ∫ (2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞+ ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为aax f ′( x ) d x 收敛 .●。
数学分析(华东师大)第十一章反常积分,DOC
第十一章反常积分§1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制:积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制,考虑无穷区间上的“积分”,或是无界函数的“积分”,这便是本章的主题.例1(第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11-1),要使火箭克服地球引力无限远离地球,试问初速度v0至少要多大?设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为g.仅供个人学习参考r mgR ∫∫2∫d x= mgR21-1 .Rx2R r当r →+∞时,其极限mgR 就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为+∞的“积分”:图11-1+∞mgR2d x= limrmgR2Rx2r →+∞Rd x= mgR.x2最后,由机械能守恒定律可求得初速度v 0至少应使122mv 0= mgR.用g =9.81(m 6s /2),R =6.371×106(m )代入,便得例211-2).2∫ ∫ ∫ §1反常积分概念265从物理学知道,在不计摩擦力的情形下,当桶内水位高度为(h -x)时,水从孔中流出的流速(单位时间内流过单位截面积的流量)为 v=2g(h- x),其中g 为重力加速度. 设在很小一段时间d t 内,桶中液面降低的微小量为d x,它们之间应满足πR 2d x=v πr 2d t, 图11-2由此则有t=Rd 2.上可积.(1)+∞J=f(x )d x,(1′)a+∞ +∞ 并称 f(x)d x 收敛.如果极限(1)不存在,为方便起见,亦称f(x)d xaa发散.类似地,可定义f 在(-∞,b]上的无穷积分:bb∫∫ ∫ ∫∫266第十一章反常积分∫f(x)d x=lim∫f(x )d x.(2)-∞u →-∞u对于f 在(-∞,+∞)上的无穷积分,它用前面两种无穷积分来定义:+∞af(x)d x=-∞-∞+∞ f(x)d x+af(x)d x, (3)其中a 为任一实数,当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的.注1无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1)、(2)两类无穷积分来定义的,因此,f 在任何有限区间[v,u]ì(-∞,+∞)上,首先必须是可积的.+∞注3af(x)d x 收敛的几何意义是:若f 在[a,+线轴之间那一块向右无限延伸的 图11-31∫) +∞ d x 2 x(ln x)p ; 2) +∞d x-∞1+x 2.解1)由于无穷积分是通过变限定积分的极限来定义的,因此有关定积分的换元积分法和图11-4a∫∫§1反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来.对于本例来说,就有∫+∞d x+∞d t2x(ln x)p =∫ln2tp.从例3知道,该无穷积分当p >1时收敛,当p ≤1时发散.2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分:∫d x+∞d x -∞1+x2和∫a由于a1+x2.lim∫d x = lim (arctan a-arctan u)u →-∞ u1+x 2v u →-∞=arctan a+π,2注定义[u,b]ì(5)(5′)bf(x)a 而无 b界函数反常积分 f(x)d x 又称为瑕积分.a类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分:bu∫f(x)d x=lim∫f(x)d x.au →b-a其中f 在[a,b)有定义,在点b 的任一左邻域内无界,但在任何[a,u]ì[a,b)1 1 x 268 第十一章反常积分上可积.若f 的瑕点c ∈(a,b),则定义瑕积分b c b∫f(x )d x=∫f(x )d x+∫f(x)d xaacub=lim ∫f(x )d x+lim ∫f(x )d x.(6)u →c-av →c+v其中f 在[a,c)∪(c,b]上有定义,在点c 的任一领域内无界,但在任何[a,u]ì[a,c)和[v,b]ì(c,b]上都可积.当且仅当(6)式右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若a 、b 两点都是f 的瑕点,而f 在任何[u,v]ì(a,b)上可积,这时定义瑕积分b c b∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x )d x(7)其中c ,上可积例6(8)故当0<q <1时,瑕积分(8)收敛,且∫d x ∫d x 1q = lim 0 u →0+u x q=1- q ;∫∫§1反常积分概念269而当q ≥1时,瑕积分(8)发散于+∞.上述结论在图11-4中同样能获得直观的反映. 如果把例3与例6联系起来,考察反常积分 +∞我们定义d xx p (p>0). (9)∫+∞d x 1d x+∞d x 0xp=∫0x p+∫1xp,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果可知,这两个反常积分不能同时收敛,故反常积分(9)对任何实数p 都是发散的.习题1.讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:+∞2.3.4.举例说明: f(x)d x 收敛且f 在[a,+∞)上连续时,不一定有limax →+∞f(x)=0.+∞5.证明:若af(x)d x 收敛,且存在极限lim x →+∞f(x)=A,则A=0.∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫ 270第十一章反常积分+∞6.证明:若f 在[a,+∞)上可导,且a+∞f(x)d x 与 af ′(x )d x 都收敛,则lim x →+∞f(x)=0.§2无穷积分的性质与收敛判别一无穷积分的性质+∞由定义知道,无穷积分auf(x)d x 收敛与否,取决于函数F(u) =f(x)d x 在u →+∞时是否存在极限.因此可由函数极限的柯西准则导出无穷 a积分收敛的柯西准则.+∞定理11.1无穷积分af(x)d x 收敛的充要条件是:任给ε>0,存在G此外,+∞ [k a(1)性质d x 与+∞ b(2)另一充要条件:任给ε>0,存在G ≥a,当u> G 时,总有 +∞f(x)d x<ε.u∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ §2无穷积分的性质与收敛判别271事实上,这可由+∞u +∞∫f(x)d x=∫f(x)d x+∫f(x)d xaau结合无穷积分的收敛定义而得.+∞性质3若f 在任何有限区间[a,u ]上可积,且有a+∞f(x)d x 亦必收敛,并有a|f(x)|d x 收敛,则+∞+∞f(x)d x≤aa+∞f(x) d x. (3)证由≥a,当u等式(u +∞由于 |f(x)|d x 关于上限u 是单调递增的,因此aa|f(x)|d x 收敛的u 充要条件是 a| f(x)|d x 存在上界.根据这一分析,便立即导出下述比较判别法(请读者自己写出证明):定理11.2(比较法则)设定义在[a,+∞)上的两个函数f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫272 第十一章反常积分有限区间[a,u]上可积,且满足f(x)≤g(x),x ∈[a,+∞),+∞+∞ 则当 g(x )d x 收敛时aa+∞ +∞|f(x)|d x 必收敛(或者,当 a|f(x)|d x 发散时,ag(x)d x 必发散).+∞例1讨论sin xd x 的收敛性. 1+x 2+∞解由于sin x1d x π1+x2≤1+x 2,x ∈[0,+∞),以及∫1+x 2=为收敛2(§1sin xd x 为绝对收敛. =c,则有:(i i .则有:.xp a推论3设f 定义于[a,+∞),在任何有限区间[a,u]上可积,且则有: lim x →+∞x pf(x) =λ.+∞(i)当p >1,0≤λ<+∞时, f(x)d x 收敛;a+∞(ii)当p ≤1,0<λ≤+∞时,af(x)d x 发散.+∞∫∫∫1§2无穷积分的性质与收敛判别273例2讨论下列无穷限积分的收敛性:1∫)+∞x αe -xd x;2)1+∞x 2d x. 0x 5+1解本例中两个被积函数都是非负的,故收敛与绝对收敛是同一回事.1)由于对任何实数α都有limx →+∞x 2·x αe -x= lim x →+∞ x α+2ex=0,因此根据上述推论3(p =2,λ=0),推知1)对任何实数α都是收敛的.2)由于12limx →+∞x 2·x x 5+1=1,, g(x)limx →+∞又因u 2>u 1 11于是有uξuf(x)g(x)d x ≤g(u 1)·uuf(x)d x+ g(u 2)·∫ f(x)d x11ξξ u=g(u 1)·∫f(x )d x ∫-f(x)d xaa22u∫∫ ∫ ∫∫∫∫ ∫274第十一章反常积分2+ g(u 2)·ξf(x)d x-∫f(x)d xε4M ·2M+ +∞ aaε4M·2M=ε.根据柯西准则,证得af(x)g(x)d x 收敛.+∞定理11.4(阿贝尔(Abel)判别法)若 af(x)d x 收敛,g(x)在[a,+∞)+∞上单调有界,则a f(x)g(x)d x 收敛.这定理同样可用积分第二中值定理来证明,但又可利用狄利克雷判别法更方便地获得证明(留作习题).:+而1 u∫1cos2x 1 其中12xd x=2 2 cos ttd t 满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而+∞d x12x是发散的,因此当0<p ≤1时该无穷积分不是绝对收敛的.所以它是条 件收敛的.例4证明下列无穷积分都是条件收敛的:<∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫+∞ §2无穷积分的性质与收敛判别275+∞sin x 2d x,1+∞cos x 2d x,1+∞x sin x 4d x.1证前两个无穷积分经换元t =x 2得到+∞+∞sin x 2d x=1 1+∞ +∞ cos x 2d x= 11sin t d t, 2 tcos t d t.2 t由例3已知它们是条件收敛的.对于第三个无穷积分,经换元t =x 2而得∫x sin x 4d x=1+∞sin t 2d t,,甚至是无界的,1.2.+∞若a收敛.3.g(x).(1(4.(5∫)ln (1+x)d x;(6)11+x +∞x md x(n 、m ≥0).1xn0 1+xn5.讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛:(1∫)sin xd x;(2)1x+∞sgn(sin x)d x;1+x2+∞+∞∫ ∫∫∫∫∫276第十一章反常积分(3∫)x cos xd x; (4)100+xln(ln x)sin x d x.eln x6.举例说明∫:+∞+∞ +∞f(x)d x 收敛时aaf 2(x )d x 不一定收敛∫; +∞ f(x)d x 绝对收敛时,af 2(x)d x 也不一定收敛. a+∞ +∞7.证明:若af(x)d x 绝对收敛,且lim x →+∞f(x)=0,则a+∞f 2(x)d x 必定收敛.8.证明:若f 是[a,+∞)上的单调函数,且 af(x)d x 收敛,则lim x →+∞f(x)=0,且f(x)=o 1x,x →+∞.+∞9.10,存在δ>性质b∫f 1(x )a敛,(1)性质b c∫f(x)d x 与∫f(x)d x 同敛态,并有aab c b∫f(x)d x=∫f(x )d x+∫f(x)d x,(2)aacb其中 f(x)d x 为定积分.c+∞+∞∫∫∫∫(x- a)p ∫§3瑕积分的性质与收敛判别277性质3设函数f的瑕点为x=a,f在(a,b]的任一内闭区间[u,b]上可b积.则当af(x) d x收敛时∫,b bf(x)d x也必定收敛,并有ab∫f(x)d x ≤∫f(x) d x. (3)a ab b同样地,当a f(x) d x收敛时,称f(x)d x为绝对收敛.又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下:定理11.6(比较法则)设定义在(a,b]上的两个函数f与g,瑕点同为x=a,在任何[u,b]ì(a,b]上都可积,且满足则当, bg(x)a((成为则有:(ii)当f(x) ≥1,且p≥1时,af(x) d x发散.推论3设f定义于(a,b],a为其瑕点,且在任何[u,b]ì(a,b]上可积. 如果则有: limx→a +(x- a)p f(x) =λ,∫ ∫x278第十一章反常积分b(i )当0<p <1,0≤λ<+∞时af(x)d x 收敛;b(ii)当p ≥1,0<λ≤+∞时a例1判别下列瑕积分的收敛性:f(x)d x 发散.1∫) ln x d x ;2∫)0 x2x1ln xd x.解本例两个瑕积分的被积函数在各自的积分区间上分别保持同号———ln x在(0,1]上恒为负, x 在(1,2]上恒为正———所以它们的瑕积分收敛与绝xln x2(i)x →0+x1-α· 1+x =1,根据定理11.6推论3,当0<p =1-α<1,即α>0且λ=1时,瑕积分I(α)收1∫ §3瑕积分的性质与收敛判别279敛;当p =1-α≥1,即α≤0且λ=1时,I(α)发散.(ii)再讨论J(α),它是无穷积分.由于α-1lim x →+∞ x 2-α·x1+x= lim x →+∞ x 1+x =1,根据定理11.2推论3,当p =2-α>1,即α<1且λ=1时,J(α)收敛;而当p =2-α≤1,即α≥1且λ=1时,J(α)发散.1.2.3.4.5.x)d x=π62/6.(1∫) =-πln20 2(2∫)θsin θd θ=2πln2. 01-cos θπ1∫2∫ 280 第十一章反常积分总练习题1.证明下列等式:1 p-1 +∞-p (1∫) x d x=∫x d x,p>0;0x+1 1 x+1+∞ p-1 +∞-p (2∫) x d x=∫xd x,0<p<1.0 x+1 0 x+12.证明下列不等式:(1)π<∫d x <π;22 (2)1 20 1-1 e 1-x 4 +∞ < 0 2 e -x d x<1+1. 2e3.计算下列反常积分的值:4.5.(2)若6.(也收敛.(2+∞ a●。
数学分析上册-华东师范大学数学系
数学分析上册(第三版)华东师范大学数学系 编高等教育出版社内容简介本书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材,普通高等教育“九五”国家教委重点教材.内容包括实数集和函数,数列极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实数完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录为微积分学简史,实数理论,积分表.本书可作为高等师范院校或其他类型学校数学专业的教材使用. 图书在版编目(CIP)数据 数学分析.上册华东师范大学数学系编.—3版.北京:高等教育出版社,2000 ISBN7-04-009137-2 Ⅰ.数… Ⅱ.华… Ⅲ.数学分析—高等学校—教材 Ⅳ.017 中国版本图书馆CIP数据核字(2000)第75486号数学分析 上册 第三版华东师范大学数学系 编出版发行 高等教育出版社社 址 北京市东城区沙滩后街55号 邮政编码 100009电 话 010-********传 真 010-********网 址 http: http:经 销 新华书店北京发行所印 刷 开 本 787×960 116版 次 1981年4月第1版印 张 22 年 月第 版字 数 400000印 次 年 月第 次印刷定 价 18.70元本书如有缺页、倒页、脱页等质量问题,请到所购图书销售部门联系调换。
版权所有 侵权必究责任编辑 高尚华封面设计 张 楠责任绘图 郝 林版式设计 马静如责任校对 马桂兰责任印制 第三版前言华东师范大学数学系编写的《数学分析》上、下册经过国家教委组织的专家评审,列入“九五”教委级重点教材;并承高等学校数学和力学指导委员会基础数学教学指导组对教材修订提出具体指导意见,我系数学分析编写组对本书在第二版使用基础上进行修订.此次修订前我们广泛征求了各使用院校的意见,召开了使用教材情况的座谈会,许多具有丰富教学经验的教师对本教材修改提供了许多积极、中肯的意见.在此基础上,我们在现行数学分析教学大纲的范围内对一些内容进行适当调整和增删;同时考虑到近代数学分析教材发展潮流,适度地反映这方面的进展情况,以适应对21世纪新教材的需求.关于实数理论,不少同类教材由小数出发叙述实数理论,这种方式比较容易理解,并且与中学数学教学衔接得比较紧密.我们在第一章中采用由小数引进实数的方法,并由此证明确界原理,希望这样处理有利于读者掌握这一实数基本原理.在单变量微分学中,除按传统方式由速度和曲线的切线引入导数概念外,同时也由极值问题引入稳定点概念,并使微分中值定理与其应用结合得更为紧密.积分理论方面,在引入定积分基本概念后,提前出现牛顿—莱布尼茨公式,这样能较早接触定积分计算.对于可积分条件先作直观描述,并用来证明某些函数类的可积性,难度较大的可积性三个充要条件放到该章最后一节,可根据需要选用.根据使用院校意见,反常积分和含参量积分各自独立成章.二重积分的变量变换公式在较强的条件下,利用格林公式进行证明;一般条件下的重积分变换公式采用连续模一致逼近的方法导出,对希望了解一般条件下严格证明的读者可能有益,这个证明放在重积分最后一节.在欧美、俄罗斯数学分析教材中对向量值函数微分学和外微分形式相当重视,在应用数学中也日见其重要性.在前二版有关内容的基础上,我们使用迭代法证明反函数定理,并由此证明隐函数定理及求导法,使得相应内容比较容易接受;外积运用了浅近的解释,使其与重积分变量变换公式相联系.上述两部分内容以“流形上微积分学初阶”为题构成第二十三章内容,供选学用.对于加“＊”的章节,教学中可灵活选用,也可作为读者进一步阅读的内容或作为选修课的内容,以使本书适合多种层次的需求.2第三版前言附录Ⅰ 微积分学简史.由张奠宙教授作了修订,读者可从此附录了解微积分学发展的线索.附录Ⅱ 实数理论.采用戴德金分划由有理数集的分划叙述实数完备性比较直观、优美,仍是附录的重要组成部分.但用小数讲述实数理论与实用更靠近,在附录最后添加“无限小数四则运算的定义”与正文相呼应.附录Ⅲ 积分表.在这次修订中,我们审查了全部习题,适当进行了调整和补充,希望能更好符合教学的需要.这次修订由吴良森任主编.上册第一、二、三、四、七章由宋国栋编写;第五、六章由庞学诚编写;第八、九、十、十一章由毛羽辉编写,上册由毛羽辉负责编写组织及修改.下册第十二、十三、十四、十五章由胡善文编写;第十六、十七、十八、二十三章由吴良森编写;第十九、二十、二十一、二十二章由魏国强编写,下册由魏国强负责编写组织.最后由吴良森统一整理.庞学诚、魏国强分别审阅了上、下册的稿件.程其襄教授、陈昌平教授、张奠宙教授阅读了第二十三章主要内容的初稿,并提出了宝贵的意见,对他们的鼓励和支持深表感谢.郑英元教授对修订提了许多积极的建议.高等学校数学和力学指导委员会成员,吉林大学孙善利教授对本书修改提供了宝贵的意见.陕西师范大学、华南师范大学、南京师范大学、江西师范大学、广西师范大学、常熟高等专科学校等院校数学系对教材修改也都提出过仔细的意见,在此致以深切的谢意.华东理工大学谢国瑞教授和交通大学孙薇荣教授仔细审阅了本书上册的稿件,高等教育出版社高尚华编审审阅了下册的稿件,提出许多宝贵意见,在此表示感谢.第三版中还会有许多不足之处,恳切希望读者批评指正.编者1999年9月再版的话本书自1980年出版发行以来,由于它在取材、体系、可读性诸方面较为切合我国教学实际,而被许多兄弟院校所采用,并于1987年国家教育委员会举办的全国优秀教材评选中获全国优秀奖.近几年,许多学校在数学教学改革中,更新了一些课程,对数学分析提出了许多新的要求.基于这些情况,我们在这次再版中,除订正初版中的某些疏漏外,在不影响本书原有体系、格局的前提下,对某些内容作了适当的增删和调整,使全书内容更充实,结构更合理,且有更大的选择性,以期适应各类学校师生的需要.修改的主要内容有:在第一章精简某些与中学数学相重复的函数概念,增加实数集有关的一些内容,如有界集,确界和确界原理等.在极限理论方面,把出发点改为“确界原理”(原来是“单调有界原理”),并在第二章用它证明单调有界定理,第四章用它证明实指数幂的性质,最后在第八章完成对实数完备性的几个等价命题的证明,相应地,在附录Ⅱ实数理论中,也改用戴德金分划说定义实数,并证明了确界原理(原来采用柯西列定义实数,虽有不少优点,但不够直观,不易理解).此外,子列概念提前到第二章,第八章“极限与连续性(续)”(原为第七章)在内容和次序上也稍作调整.对于微分学,在单元部分,把原来的第六章中值定理与导数应用分为两章.在新的第六章“微分学基本定理与不定式极限”增加了导数极限定理与达布定理(小字排印),用以揭示导函数的性质;在新的第七章“运用导数研究函数性态”加强了日益显得重要的凸函数概念.在多元部分,除对原有内容作不同程度精简外,主要增加了第十九章“向量函数微分学”,以便在更一般形式上讨论多元函数理论,使读者对经典导数概念的认识得以深化.这一章目前暂作选学材料,期望今后能逐步用向量函数的方式取代传统内容成为多元函数微分学的主体.在积分学方面,于定积分中补充了第二积分中值定理(小字排印).压缩了反常积分与含参量积分的内容,并把它分别并入定积分与重积分各章中.为便于重积分部分的教学,在内容与结构上也稍作调整,其中第二十章主要讲述二、三重积分的概念、计算与应用,在第二十一章除对二重积分中某些问题作进一步讨论外,还介绍了n重积分(小字排印)和含参量非正常积分.此外,我们删去了“反常重积分”与“外微分与一般斯托克斯公式”两节.2再版的话关于级数部分,在新版中删去了对傅里叶级数一致收敛性的进一步讨论.张奠宙教授为本书写了“微积分学简史”(附录Ⅰ).我们认为,知道一点微积分的来龙去脉,对每一位数学教育工作者来说是必要和有益的.在这次修订中,我们重新审查了本书的全部习题,并进行了调整与补充,以便更加符合教学的需要.各节横线以上的习题仍然是必做题,每册书末都附有计算题答案.在新版中,用记号表示命题证明或例题求解的结束.上册增加了附录Ⅲ“积分表”,每册末尾增设了名词和人名索引,以供读者检索.这次修订工作由程其襄、郑英元、毛羽辉和宋国栋等四人完成,程其襄教授任主编,郑英元负责全书的统一整理工作.高等教育出版社郑洪深同志为本书的初版和再版做了许多深入细致的工作.我系数学分析教学组成员对本书的修订工作提出过许多积极的建议.本书自出版以来深得广大读者的关心与支持.在此,我们一并致以深切的谢意,并希望读者对本书给予批评与指正.编 者上册:1987年12月完成初稿,1990年2月完成修改稿.下册:1988年6月完成初稿,1990年6月完成修改稿.编者的话(初版)本书是根据1977年高等学校理科数学教材大纲讨论会所制定的《数学分析》大纲编写的.全书分上、下两册,可作为高等师范院校数学系教学用书,以及其他高等院校有关专业的教学参考书.关于本书的使用兹作以下一些说明:在极限问题的处理上,虽一开始就采用ε-δ定义,但若干较难的理论证明则放到微分学之后.实数理论作为附录放在上册的末尾.有关集合的基本概念,目前尚未在中学里全面普及,仍在附录Ⅰ中作了简要的介绍.本书有部分内容用小号字排印,在实际教学中可视情况选用.本书各节都附有适量的习题,并把它们分为基本题与选作题两类,中间用一道横线分开,横线之后的习题和各章的总练习题,读者可在教师指导下挑选一部分进行练习.书末并附有计算题的答案.本书由程其襄教授主编,编写组写出初稿后,经程其襄、周彭年、郑英元修改定稿(郑英元执笔整理).先后参加本书编写工作的有:陈昌平、陈美廉、徐钧涛、曹伟杰、杨庆中、黄丽萍、张奠宙、宋国栋等同志.此外,林克伦、华煜铣、顾鹤荣等同志也参加过一些工作.北京师范大学、武汉大学担任本书主审,先后参加审稿的单位有:上海师范学院、安徽师范大学、吉林师范大学、曲阜师范学院、西藏师范学院、陕西师范大学、贵阳师范学院、徐州师范学院、新乡师范学院以及四川师范学院、华中师范学院、华南师范学院、江西师范学院、昆明师范学院、南京师范学院等.甘肃师范大学的同志也对本书上册提出过仔细的修改意见.在审查过程中,大家对原稿提出了许多宝贵的意见和建议,我们曾根据这些意见作过许多重大的修改,特此表示衷心的感谢.由于我们水平有限,恳切希望读者对本书的缺点错误给予批评指正.编者1979.11又及,本书最后定稿时,曾照一九八年五月在上海举行的高等学校理科数学教材编审委员会审订的《数学分析》大纲作了修订.编者1980.9目 录第一章 实数集与函数§1 实数1…………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 实数及其性质1………………………………………………………………… 二 绝对值与不等式3§2 数集·确界原理4………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 区间与邻域5………………………………………………………………… 二 有界集·确界原理5§3 函数概念10………………………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 函数的定义10 二 函数的表示法11……………………………………………………………………………………………………………………………………… 三 函数的四则运算11………………………………………………………………………… 四 复合函数12…………………………………………………………………………… 五 反函数13………………………………………………………………………… 六 初等函数14§4 具有某些特性的函数16…………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 有界函数16………………………………………………………………………… 二 单调函数17………………………………………………………………… 三 奇函数和偶函数19………………………………………………………………………… 四 周期函数19第二章 数列极限§1 数列极限概念23…………………………………………………………………§2 收敛数列的性质28………………………………………………………………§3 数列极限存在的条件35…………………………………………………………第三章 函数极限§1 函数极限概念42………………………………………………………………… 一 x趋于∞时函数的极限42………………………………………………………… 二 x趋于x0时函数的极限43………………………………………………………§2 函数极限的性质48………………………………………………………………§3 函数极限存在的条件52…………………………………………………………§4 两个重要的极限56……………………………………………………………… 一 证明limx→0sin xx=156……………………………………………………………… 二 证明limx→∞1+1xx=e56…………………………………………………………§5 无穷小量与无穷大量59………………………………………………………… 一 无穷小量59………………………………………………………………………… 二 无穷小量阶的比较60……………………………………………………………… 三 无穷大量62………………………………………………………………………… 四 曲线的渐近线64……………………………………………………………………第四章 函数的连续性§1 连续性概念69…………………………………………………………………… 一 函数在一点的连续性69…………………………………………………………… 二 间断点及其分类71………………………………………………………………… 三 区间上的连续函数72………………………………………………………………§2 连续函数的性质74……………………………………………………………… 一 连续函数的局部性质74…………………………………………………………… 二 闭区间上连续函数的基本性质75………………………………………………… 三 反函数的连续性78………………………………………………………………… 四 一致连续性79………………………………………………………………………§3 初等函数的连续性82…………………………………………………………… 一 指数函数的连续性82……………………………………………………………… 二 初等函数的连续性83………………………………………………………………第五章 导数和微分§1 导数的概念87…………………………………………………………………… 一 导数的定义87……………………………………………………………………… 二 导函数90…………………………………………………………………………… 三 导数的几何意义91…………………………………………………………………§2 求导法则95………………………………………………………………………… 一 导数的四则运算95…………………………………………………………………2目 录 二 反函数的导数97…………………………………………………………………… 三 复合函数的导数98………………………………………………………………… 四 基本求导法则与公式101…………………………………………………………§3 参变量函数的导数103…………………………………………………………§4 高阶导数106………………………………………………………………………§5 微分110…………………………………………………………………………… 一 微分的概念110…………………………………………………………………… 二 微分的运算法则112……………………………………………………………… 三 高阶微分113……………………………………………………………………… 四 微分在近似计算中的应用114……………………………………………………第六章 微分中值定理及其应用§1 拉格朗日定理和函数的单调性119…………………………………………… 一 罗尔定理与拉格朗日定理119…………………………………………………… 二 单调函数123………………………………………………………………………§2 柯西中值定理和不定式极限125……………………………………………… 一 柯西中值定理125………………………………………………………………… 二 不定式极限127……………………………………………………………………§3 泰勒公式134……………………………………………………………………… 一 带有佩亚诺型余项的泰勒公式134……………………………………………… 二 带有拉格朗日型余项的泰勒公式138…………………………………………… 三 在近似计算上的应用140…………………………………………………………§4 函数的极值与最大(小)值142………………………………………………… 一 极值判别142……………………………………………………………………… 二 最大值与最小值144………………………………………………………………§5 函数的凸性与拐点148…………………………………………………………§6 函数图象的讨论154……………………………………………………………… ＊§7 方程的近似解155…………………………………………………………………第七章 实数的完备性§1 关于实数集完备性的基本定理161…………………………………………… 一 区间套定理与柯西收敛准则161………………………………………………… 二 聚点定理与有限覆盖定理163…………………………………………………… ＊三 实数完备性基本定理的等价性166……………………………………………§2 闭区间上连续函数性质的证明168……………………………………………3目 录 ＊§3 上极限和下极限172………………………………………………………………第八章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式176…………………………………………… 一 原函数与不定积分176…………………………………………………………… 二 基本积分表179……………………………………………………………………§2 换元积分法与分部积分法182………………………………………………… 一 换元积分法182…………………………………………………………………… 二 分部积分法187……………………………………………………………………§3 有理函数和可化为有理函数的不定积分190……………………………… 一 有理函数的不定积分190………………………………………………………… 二 三角函数有理式的不定积分194………………………………………………… 三 某些无理根式的不定积分195……………………………………………………第九章 定 积 分§1 定积分概念200…………………………………………………………………… 一 问题提出200……………………………………………………………………… 二 定积分的定义201…………………………………………………………………§2 牛顿—莱布尼茨公式204………………………………………………………§3 可积条件207……………………………………………………………………… 一 可积的必要条件207……………………………………………………………… 二 可积的充要条件208……………………………………………………………… 三 可积函数类209……………………………………………………………………§4 定积分的性质213………………………………………………………………… 一 定积分的基本性质213…………………………………………………………… 二 积分中值定理217…………………………………………………………………§5 微积分学基本定理·定积分计算(续)220…………………………………… 一 变限积分与原函数的存在性220………………………………………………… 二 换元积分法与分部积分法224…………………………………………………… 三 泰勒公式的积分型余项227……………………………………………………… ＊§6 可积性理论补叙231……………………………………………………………… 一 上和与下和的性质231…………………………………………………………… 二 可积的充要条件233………………………………………………………………4目 录第十章 定积分的应用§1 平面图形的面积239………………………………………………………………§2 由平行截面面积求体积243……………………………………………………§3 平面曲线的弧长与曲率247…………………………………………………… 一 平面曲线的弧长247……………………………………………………………… 二 曲率250……………………………………………………………………………§4 旋转曲面的面积253……………………………………………………………… 一 微元法253………………………………………………………………………… 二 旋转曲面的面积254………………………………………………………………§5 定积分在物理中的某些应用255……………………………………………… 一 液体静压力255…………………………………………………………………… 二 引力256…………………………………………………………………………… 三 功与平均功率257………………………………………………………………… ＊§6 定积分的近似计算259………………………………………………………… 一 梯形法260………………………………………………………………………… 二 抛物线法260………………………………………………………………………第十一章 反常积分§1 反常积分概念264………………………………………………………………… 一 问题提出264……………………………………………………………………… 二 两类反常积分的定义265…………………………………………………………§2 无穷积分的性质与收敛判别270……………………………………………… 一 无穷积分的性质270……………………………………………………………… 二 比较判别法271…………………………………………………………………… 三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法273……………………………………………§3 瑕积分的性质与收敛判别276…………………………………………………附录Ⅰ 微积分学简史281……………………………………………………………附录Ⅱ 实数理论289………………………………………………………………… 一 建立实数的原则289……………………………………………………………… 二 分析290…………………………………………………………………………… 三 分划全体所成的有序集292……………………………………………………… 四 R中的加法294…………………………………………………………………… 五 R中的乘法295…………………………………………………………………… 六 R作为Q的扩充297………………………………………………………………5目 录6目 录 七 实数的无限小数表示299………………………………………………………… 八 无限小数四则运算的定义300……………………………………………………附录Ⅲ 积分表303……………………………………………………………………………………………………………………………………… 一 含有x n的形式303…………………………………………………………… 二 含有a+bx的形式303 三 含有a2±x2,a>0的形式304…………………………………………………… 四 含有a+bx+cx2,b2≠4ac的形式304………………………………………… 五 含有a+bx的形式304………………………………………………………… 六 含有x2±a2,a>0的形式305………………………………………………… 七 含有a2-x2,a>0的形式306………………………………………………… 八 含有sin x或cos x的形式306…………………………………………………… 九 含有tan x,cot x,sec x,csc x的形式307……………………………………… 十 含有反三角函数的形式308……………………………………………………………………………………………………………………… 十一 含有e x的形式308 十二 含有ln x的形式309……………………………………………………………习题答案310………………………………………………………………………………索引330……………………………………………………………………………………人名索引334……………………………………………………………………第一章 实数集与函数§1 实 数数学分析研究的基本对象是定义在实数集上的函数.为此,我们先简要叙述实数的有关概念.一 实数及其性质在中学数学课程中,我们知道实数由有理数与无理数两部分组成.有理数可用分数形式pq(p、q为整数,q≠0)表示,也可用有限十进小数或无限十进循环小数来表示;而无限十进不循环小数则称为无理数.有理数和无理数统称为实数.为了以下讨论的需要,我们把有限小数(包括整数)也表示为无限小数.对此我们作如下规定:对于正有限小数(包括正整数)x,当x=a0.a1a2…a n时,其中0≤a i≤9,i=1,2,…,n,a n≠0,a0为非负整数,记x=a0.a1a2…(a n-1)9999…,而当x=a0为正整数时,则记x=(a0-1).9999…,例如2.001记为2．0009999…;对于负有限小数(包括负整数)y,则先将-y表示为无限小数,再在所得无限小数之前加负号,例如-8记为-7．9999…;又规定数0表示为0．0000….于是,任何实数都可用一个确定的无限小数来表示.我们已经熟知比较两个有理数大小的方法.现定义两个实数的大小关系.定义1 给定两个非负实数x=a0.a1a2…a n…, y=b0.b1b2…b n…,其中a0,b0为非负整数,a k,b k(k=1,2,…)为整数,0≤a k≤9,0≤b k≤9.若有a k=b k,k=0,1,2,…,则称x与y相等,记为x=y;若a0>b0或存在非负整数l,使得a k=b k(k=0,1,2,…,l)而a l+1>b l+1,则称x大于y或y小于x,分别记为x>y或y<x.对于负实数x,y,若按上述规定分别有-x=-y与-x>-y,则分别称x =y与x<y(或y>x).另外,自然规定任何非负实数大于任何负实数.以下给出通过有限小数来比较两个实数大小的等价条件.为此,先给出如下定义.定义2 设x=a0.a1a2…a n…为非负实数.称有理数x n=a0.a1a2…a n为实数x的n位不足近似,而有理数x n=x n+1 10n称为x的n位过剩近似,n=0,1,2,….对于负实数x=-a0.a1a2…a n…,其n位不足近似与过剩近似分别规定为x n=-a0.a1a2…a n-110n与x n=-a0.a1a2…a n. 注 不难看出,实数x的不足近似x n当n增大时不减,即有x0≤x1≤x2≤…,而过剩近似x n当n增大时不增,即有x0≥x1≥x2≥….我们有以下的命题 设x=a0.a1a2…与y=b0.b1b2…为两个实数,则x>y的等价条件是:存在非负整数n,使得x n>y n,其中x n表示x的n位不足近似,y n表示y的n位过剩近似.关于这个命题的证明,以及关于实数的四则运算法则的定义,可参阅本书附录Ⅱ第八节.例1 设x、y为实数,x<y.证明:存在有理数r满足x<r<y. 证 由于x<y,故存在非负整数n,使得x n<y n.令r=12(x n+y n),则r为有理数,且有x≤x n<r<y n≤y,即得x<r<y.为方便起见,通常将全体实数构成的集合记为R,即R={x x为实数}. 实数有如下一些主要性质:1.实数集R对加、减、乘、除(除数不为0)四则运算是封闭的,即任意两个2第一章 实数集与函数实数的和、差、积、商(除数不为0)仍然是实数.2.实数集是有序的,即任意两实数a、b必满足下述三个关系之一:a<b, a=b,a>b.3.实数的大小关系具有传递性,即若a>b,b>c,则有a>c.4.实数具有阿基米德(Archimedes)性,即对任何a、b∈R,若b>a>0,则存在正整数n,使得na>b.5.实数集R具有稠密性,即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数,且既有有理数(见例1),也有无理数.6.如果在一直线(通常画成水平直线)上确定一点O作为原点,指定一个方向为正向(通常把指向右方的方向规定为正向),并规定一个单位长度,则称此直线为数轴.任一实数都对应数轴上唯一的一点;反之,数轴上的每一点也都唯一地代表一个实数.于是,实数集R与数轴上的点有着一一对应关系.在本书以后的叙述中,常把“实数a”与“数轴上的点a”这两种说法看作具有相同的含义.例2 设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有a<b+ε,则a≤b.证 用反证法.倘若结论不成立,则根据实数集的有序性,有a>b.令ε=a -b,则ε为正数且a=b+ε,但这与假设a<b+ε相矛盾.从而必有a≤b.关于实数的定义与性质的详细论述,有兴趣的读者可参阅本书附录Ⅱ.二 绝对值与不等式实数a的绝对值定义为a=a,a≥0,-a,a<0.从数轴上看,数a的绝对值|a|就是点a到原点的距离.实数的绝对值有如下一些性质:1.|a|=|-a|≥0;当且仅当a=0时有|a|=0.2.-|a|≤a≤|a|.3.|a|<h-h<a<h;|a|≤h-h≤a≤h(h>0).4.对于任何a、b∈R有如下的三角形不等式:a-b≤a±b≤a+b. 5.|ab|=|a||b|.6.ab=|a||b|(b≠0).下面只证明性质4,其余性质由读者自行证明.由性质2有3§1 实 数-a≤a≤a,-b≤b≤b.两式相加后得到-(a+b)≤a+b≤a+b.根据性质3,上式等价于a+b≤a+b.(1)将(1)式中b换成-b,(1)式右边不变,即得|a-b|≤|a|+|b|,这就证明了性质4不等式的右半部分.又由|a|=|a-b+b|,据(1)式有a≤a-b+b.从而得a-b≤a-b.(2)将(2)式中b换成-b,即得|a|-|b|≤|a+b|.性质4得证.习 题1.设a为有理数,x为无理数.证明: (1)a+x是无理数; (2)当a≠0时,ax是无理数.2.试在数轴上表示出下列不等式的解: (1)x(x2-1)>0; (2)|x-1|<|x-3|; (3)x-1-2x-1≥3x-2.3.设a、b∈R.证明:若对任何正数ε有|a-b|<ε,则a=b.4.设x≠0,证明x+1x≥2,并说明其中等号何时成立.5.证明:对任何x∈R有 (1)|x-1|+|x-2|≥1; (2)|x-1|+|x-2|+|x-3|≥2.6.设a、b、c∈R+(R+表示全体正实数的集合).证明a2+b2-a2+c2≤b-c.你能说明此不等式的几何意义吗?7.设x>0,b>0,a≠b.证明a+xb+x介于1与ab之间.8.设p为正整数.证明:若p不是完全平方数,则p是无理数.9.设a、b为给定实数.试用不等式符号(不用绝对值符号)表示下列不等式的解: (1)|x-a|<|x-b|; (2)|x-a|<x-b; (3)|x2-a|<b.§2 数集·确界原理本节中我们先定义R中两类重要的数集———区间与邻域,然后讨论有界集4第一章 实数集与函数并给出确界定义和确界原理.一 区间与邻域设a 、b ∈R ,且a <b .我们称数集{x |a <x <b}为开区间,记作(a ,b);数集{x |a ≤x ≤b}称为闭区间,记作[a ,b];数集{x |a ≤x <b}和{x |a <x ≤b}都称为半开半闭区间,分别记作[a ,b)和(a ,b].以上这几类区间统称为有限区间.从数轴上来看,开区间(a ,b)表示a 、b 两点间所有点的集合,闭区间[a,b]比开区间(a ,b)多两个端点,半开半闭区间[a,b)比开区间(a,b)多一个端点a 等.满足关系式x ≥a 的全体实数x 的集合记作[a ,+∞),这里符号∞读作“无穷大”,+∞读作“正无穷大”.类似地,我们记(-∞,a]={x x ≤a},(a ,+∞)={x x >a},(-∞,a)={x x <a},(-∞,+∞)={x-∞<x <+∞}=R ,其中-∞读作“负无穷大”.以上这几类数集都称为无限区间.有限区间和无限区间统称为区间.设a ∈R ,δ>0.满足绝对值不等式|x -a |<δ的全体实数x 的集合称为点a 的δ邻域,记作U (a;δ),或简单地写作U(a ),即有U(a;δ)={xx -a <δ}=(a -δ,a +δ).点a 的空心δ邻域定义为U °(a;δ)={x 0<x -a <δ},它也可简单地记作U °(a).注意,U °(a;δ)与U(a;δ)的差别在于:U °(a;δ)不包含点a .此外,我们还常用到以下几种邻域:点a 的δ右邻域U +(a;δ)=[a ,a +δ),简记为U +(a);点a 的δ左邻域U -(a;δ)=(a -δ,a],简记为U -(a);(U -(a )与U +(a )去除点a 后,分别为点a 的空心δ左、右邻域,简记为U °-(a)与U °+(a).)∞邻域U(∞)={x |x |>M},其中M 为充分大的正数(下同);+∞邻域U(+∞)={x |x >M};-∞邻域U(-∞)={x |x <-M}.二 有界集·确界原理定义1 设S 为R 中的一个数集.若存在数M (L ),使得对一切x ∈S ,都有x ≤M (x ≥L ),则称S 为有上界(下界)的数集,数M (L )称为S 的一个上界(下界).5§2 数集·确界原理6第一章 实数集与函数若数集S既有上界又有下界,则称S为有界集.若S不是有界集,则称S 为无界集.例1 证明数集N+={n|n为正整数}有下界而无上界.证 显然,任何一个不大于1的实数都是N+的下界,故N+为有下界的数集.为证N+无上界,按照定义只须证明:对于无论多么大的数M,总存在某个正整数n0(∈N+),使得n0>M.事实上,对任何正数M(无论多么大),取n0= [M]+1①,则n0∈N+,且n0>M.这就证明了N+无上界.读者还可自行证明:任何有限区间都是有界集,无限区间都是无界集;由有限个数组成的数集是有界集.若数集S有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界.同样,有下界数集的最大下界,称为该数集的下确界.下面给出数集的上确界和下确界的精确定义.定义2 设S是R中的一个数集.若数η满足:(i)对一切x∈S,有x≤η,即η是S的上界;(ii)对任何α<η,存在x0∈S,使得x0>α,即η又是S的最小上界,则称数η为数集S的上确界,记作η=sup S②. 定义3 设S是R中的一个数集.若数ξ满足:(i)对一切x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;(ii)对任何β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,即ξ又是S的最大下界,则称数ξ为数集S的下确界,记作ξ=inf S. 上确界与下确界统称为确界.例2 设S={x|x为区间(0,1)中的有理数}.试按上、下确界的定义验证: sup S=1,inf S=0.解 先验证sup S=1:(i)对一切x∈S,显然有x≤1,即1是S的上界.(ii)对任何α<1,若α≤0,则任取x0∈S都有x0>α;若α>0,则由有理数集在实数集中的稠密性,在(α,1)中必有有理数x0,即存在x0∈S,使得x0>α.类似地可验证inf S=0.读者还可自行验证:闭区间[0,1]的上、下确界分别为1和0;对于数集[x]表示不超过数x的最大整数,例如[2.9]=2,[-4.1]=-5.①②sup是拉丁文supremum(上确界)一词的简写;下面的inf是拉丁文infimum(下确界)一词的简写.。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章
第十一章 反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（ ）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。
B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。
C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。
D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。
3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx； （3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x； （3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ； （7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ； （8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++； （3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ； （2）⎰-1dx x1x； （3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ； （5）⎰-103dx x 1arctgx； （6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）： （1）()⎰10ndx x ln ； （2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。
21.8 反常二重积分 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
*点击以上标题可直接前往对应内容定义1设(,)f x y 为定义在无界区域D 上的二元函数. 若对于平面上任一包围原点的光滑封闭曲线,γ(,)f x y γE γ在曲线所围的有界区域与D 的交集E D D γγ= (图21-42)上二重可积.{}22min(,).d x yx y γγ=+∈若存在有限极限:xy2142-图γOE γDDγ令定义1lim (,)d ,d D f x y γγσ→∞⎰⎰γ且与的取法无关, 重积分收敛, (,)d lim (,)d ;(1)d DD f x y f x y γγσσ→∞=⎰⎰⎰⎰否则称(,)f x y 在D 上的反常二重积分发散, 或简(,)d Df x y σ⎰⎰发散.称(,)f x y 在D 上的反常二则称并记定理21.17为一列包围原点的光滑封闭曲线序列,{}22(i)inf(,)();n n d x yx y n γ=+∈→+∞→∞(ii)sup (,)d ,nnD I f x y σ=<+∞⎰⎰,n n DE D = n γn E 其中为所围的有界区域.常二重积分(1) 必定收敛, (,)d .Df x y I σ=⎰⎰设在无界区域D 上(,)0,f x y ≥12,,,γγ ,n γ 满足这时反并且,E '的区域记为.D E D ''= 并记→∞=+∞lim ,n x d 因为.n D D D '⊂⊂因此存在n , 使得≥(,)0,f x y 由于所以有(,)d (,)d .nD D f x y f x y I σσ'≤≤⎰⎰⎰⎰另一方面，因为sup (,)d ,nnD I f x y σ=⎰⎰0,ε>0,n 故对任给的总有证设'γ为任何包围原点的光滑封闭曲线,它所围成使得(,)d .nD f x y I σε>-⎰⎰(,)d .D f x y I σε'>-⎰⎰再由(,)d ,D I f x y I εσ'-<≤⎰⎰由定理21.17 的证明容易看到有以下定理:0,n D D '⊃因而对于充分大的有可知反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰存在, 且等于I .定理21.18若在无界区域D 上(,)0,f x y ≥则反常二重积分(1) 收敛的充要条件是：上(,)f x y 可积，且积分值有上界.例1证明反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛,=+∞⨯+∞[0,)[0,).D 部分. 证设是以原点为圆心R 为半径的圆在第一象限R D 在D 的任何有界子区域其中D 为第一象限部分, 即22()e0,x y -+>所以二重积分因为22()e d Rx y D σ-+⎰⎰的值随着R 的增大而增大.22()ed Rx y D σ-+⎰⎰所以22()lim ed Rx y R D σ-+→∞⎰⎰显然对D 的任何有界子区域,D '总存在足够大的R , 使得,R D D '⊂于是22()ed x y D σ-+'⎰⎰又因2220πd e d (1e ),4Rr R r r θπ--==-⎰⎰2lim (1e ).44R R ππ-→∞=-=22()ed Rx y D σ-+≤⎰⎰π.2≤2ed .x σ+∞-⎰的值为此, 考察=⨯[0,][0,]a S a a 上的积分22()ed .a x y S σ-+⎰⎰因为-+⎰⎰22()e d ax y S σ--=⎰⎰22ed ed aax y x y ()22e d ,axx -=⎰因此由定理21.17, 反常二重积分22()e d x y Dσ-+⎰⎰收敛，并且由定理21.16有22()πe d .(2)4x y Dσ-+=⎰⎰由(2) 式还可推出在概率论中经常用到的反常积分故得2ed .2x x π+∞-=⎰下面的例子是应用反常二重积分补证第十九章中有例2 证明: 若0,0,p q >>则()()(,).()p q p q p q ΓΓB Γ=+Γ=2,x u d 2d ,x u u =证对于函数, 令则于是21210()e d 2e d .p xp u p xx uu Γ+∞+∞----==⎰⎰从而2221210()()4ed ed p xq y p q xx yyΓΓ+∞+∞----=⋅⎰⎰关函数与Γ函数的联系公式.B 2221210lim4ed e d .RR p x q y R xx yy ----→∞=⋅⎰⎰令=⨯[0,][0,],R D R R 由二重积分化为累次积分的计算公式, 222121()ed Rp q x y D xyσ---+⎰⎰所以222121()()()lim 4ed Rp q x y R D p q xyσΓΓ---+→∞=⎰⎰222121()4ed ,(4)p q x y Dxyσ---+=⎰⎰式右边的反常二重积分,记这里为平面上第一象限.D {}222(,)|,0,0.r D x y x y r x y =+≤≥≥有2221210ed e d .RRp x q y xx yy ----=⋅⎰⎰和例1 一样,下面讨论(4)于是有222121()()()4ed ,p q x y Dp q xyσΓΓ---+=⎰⎰222121()lim4ed .rp q x y r D xyσ---+→∞=⎰⎰对上式积分应用极坐标变换，+----→∞=⎰⎰22()22121200()()lim4d (cos )(sin )e d .rp q p q r r p q rr r πθθθΓΓ221212()120lim 2(cos )(sin )d 2e d rp q p q r r rrπθθθ--+--→∞=⋅⎰⎰2121202(cos )(sin )d ().p q p q πθθθΓ--=⋅+⎰再由第十九章§3 的(10) 式就得到()()(,)().p q p q p q ΓΓB Γ=+则得定理21.19(,)f x y D 设在无界区域的任何有界子区域上证(只证充分性) 设⎰⎰|(,)|d Df x y σ收敛于M .作辅|(,)|(,)(,),2f x y f x y f x y ++=|(,)|(,)(,).2f x y f x y f x y --=可积. 要条件是:助函数:|(,)|d D f x y σ⎰⎰收敛.反常二重积分收敛的充则反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰显然有0(,)|(,)|,0(,)|(,)|,f x y f x y f x y f x y +-≤≤≤≤因而任给有界区域,D σ⊂恒有(,)d |(,)|d ,f x y f x y M σσσσ+≤=⎰⎰⎰⎰(,)d |(,)|d .f x y f x y M σσσσ-≤=⎰⎰⎰⎰+(,)f x y -(,)f x y 所以与在D 上的反常二重积分都收敛.+-=-(,)(,)(,),f x y f x y f x y 所以(,)f x y 在D 上的反常二重积分也收敛.又因关于必要性的证明, 有兴趣的读者可参阅菲赫金哥尔茨著的微积分学教程第三卷第一分册.注对于反常定积分, 绝对收敛的反常积分一定收敛,反之不然.分一定收敛, 反之亦然.为直线上的点是有序的, 而在平面上的点是无序的.而在反常二重积分中, 绝对收敛的反常积出现这种区别的原因, 是因定理21.20 (柯西判别法)=+22.r x y (i)若当r 足够大时, |(,)|(),p cf x y c r≤为正常数2p >⎰⎰(,)d Df x y σ则当时, 反常二重积分收敛；(,)f x y |(,)|,p cf x y r≥(ii) 若在D 上满足其中D 包含有以原点为顶点的无限扇形区域,反常二重积分⎰⎰(,)d Df x y σ发散.(,)f x y 设在无界区域D 的任何有界子区域上可积,D 中的点(,)x y 到原点的距离为2p ≤则当时定义2设P 为有界区域D 的一个聚点，(,)f x y 在D 上除(,)f x y D -∆在上可积, →-⎰⎰0lim (,)d d D f x y σ∆若极限∆存在且有限, 并与的取法无关, 无界函数的二重积分点外皆有定义, 且在的任何空心邻域内无界,P P 为D 中任何含有P 的小区域，∆∆的直径. 又设d 表示上的反常二重积分收敛,0(,)d lim(,)d ;d DD f x y f x y σσ∆→-=⎰⎰⎰⎰(,)f x y 在D 则称记作(,)d Df x y σ⎰⎰否则称反常积分发散.与无界区域上的反常重积分一样，常重积分也可建立相应的收敛性定理.也与定理21.20类同, 请读者自证.对无界函数的反其证明方法定理21.21 (柯西判别法)定义, 则下面两个结论成立:(i) 若在点P 的附近有(,),cf x y r α≤其中c 为常数，2200()(),r x x y y =-+-则当<2α(,)d D f x y σ⎰⎰时, 反常二重积分收敛;设在有界区域D 上除点00(,)P x y 外处处有(,)f x y P 是它的瑕点, 点(,),cf x y rα≥且D 含有以点P 为顶点的角形区域, 反常二重积分(,)d Df x y σ⎰⎰发散.(ii)若在点P 的附近有≥2α时, 则当复习思考题总结反常定积分与反常二重积分有哪些相同与不同之处.数学分析第二十一章重积分高等教育出版社。
§19.2 含参量反常积分 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件
一、含参量反常积分二、含参量反常积分三、含参量反常积分的性质*点击以上标题可直接前往对应内容含参量反常积分一致收敛性(,)f x y [,)R I c =⨯+∞设函数定义在无界区域上,其中I 是任意区间. ()(,)d (1)cx f x y y Φ+∞=⎰都收敛，称(1)为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分,或称含参量反常积分.后退前进目录退出,x I ∀∈反常积分若()x I Φ是区间上的函数.则定义1若含参量反常积分(1)与函数Φ(x )对0,ε∀>,N c ∃>M N >,x I ∈使得当时, 对一切都有(,)d (),Mcf x y y x εΦ-<⎰即(,)d ,Mf x y y ε+∞<⎰或简单地说含参量积分(1)在I 上一致收敛.则称含参量反常积分(1)在I 上一致收敛于(),x Φ()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注1由定义, 在I 上一致收敛于充要条件是{}()sup(,)d 0().Ax JA f x y y A η+∞∈=→→+∞⎰的充要条件是000,,,M c A M x J ε'∃>∀>∃>∈及00(,)d .A f x y y ε+∞'≥⎰()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰注2由定义, 在I 上不一致收敛使得例1讨论含参量反常积分ed ,(0,)xyx y x +∞-∈+∞⎰的一致收敛性.解若0,,x u xy 令>=则e d e d e ,xy u xA AxAx y u +∞+∞---==⎰⎰于是(){}0()suped 1,xyAx A x y η+∞-∈+∞==⎰，因此, 含参量积分在(0,)+∞上非一致收敛.{}[,)()suped xyAx A x yδη+∞-∈+∞=⎰因此, 该含参量积分在[,)δ+∞上一致收敛.而对于任何正数, 有δe0(),AA δ-=→→+∞定理19.7（一致收敛的柯西准则）含参量反常积分一致收敛性的判别含参量反常积分(1)在[,]a b 上一致收敛的充要[,],x a b ∈对一切的都有21(,)d .(3)A A f x y y ε<⎰条件是:0,,N c ε∀>∃>12,A A N >使得当时,定理19.8+()=sup (,)d Ax IF A f x y y其中∞∈⎰充要条件是含参量反常积分在I 上一致收敛的(,)d cf x y y +∞⎰→∞lim ()=0,A F A证作变量代换,u xy =得sin sin d d , (5)A Ax xy uy u y u +∞+∞=⎰⎰0,A >其中0sin d uu u+∞⎰由于收敛, ,εA M '>总存在某一实数M , 当时就有sin d .A uu uε+∞'<⎰但在内[,)(0),δδ上一致收敛其中+∞>在+∞(0,)不一致收敛.例2证明含参量反常积分0sin d (4)xyy y+∞⎰故对任给的正数,MA M A δδ则当时,>>0,x δ对∀≥>取由(5) 式sin d ,A xyy yε+∞'<⎰所以(4)在0x δ≥>上一致收敛.又因为+0)sin sin lim d d A A u uu u u u+∞+∞→=⎰⎰++(0,+)(0,+)sin sin ()=sup d =sup d A Axx x xy uF A y uy u ∞∞∈∞∈∞⎰⎰+∞≥⎰0sin d =.2u u u π(在本节例6 中证明.)所以根据定理19.8，(4)在(0,)+∞上不一致收敛.若对任意[,],a b I ∈含参量积分(1) 在[a, b ]上一致收敛,则称(1)在I 上内闭一致收敛.所以，积分4在(0,+)∞上内闭一致收敛.定理19.9111(,)d ()(7)n nA n A n n f x y y u x +∞∞===∑∑⎰函数项级数+∞1{}(n A A 其中=对任一趋于的递增数列),c 在I 上一致收敛, 其中1()(,)d .n n A n A u x f x y y +=⎰收敛之间的联系有下述定理.关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致含参量反常积分(1)在I 上一致收敛的充要条件是:0,ε∀>,M c ∃>上一致收敛, 故由(1)在I 又由(),n A n →+∞→∞所以对正数M , 存在正整数N ,m n N >>.m n A A M >>只要当时, 就有由(8)对一切,x I ∈就有11()()(,)d (,)d m n m nA A n m A A u x u x f x y y f x y y++++=++⎰⎰ 1(,)d .m nA A f x y y ε+=<⎰这就证明了级数(7)在I 上一致收敛.证必要性A A M '''>>时，,x J ∈使得当对一切总有(,)d .(8)A A f x y y ε'''<⎰0(,)d .A A f x y y ε''''≥⎰1211max{1,},M c A A M 则存在=>>1,x I 及∈现取使得2110(,)d .A A f x y y ε≥⎰一般地, 取-=≥2(1)max{,}(2),n n M n A n 则有221,n n n n A A M x I 及->>∈使得2210(,)d .(9)n n A n A f x y y ε-≥⎰*充分性00,ε∃>,M c ∀>A A M x I 和，''''∃>>∈对使得用反证法. 假若(1)在I 上不一致收敛,则{}n A lim n n A →∞=由上述所得到的数列是递增数列, 且+∞∞===∑∑⎰111()(,)d .n nA n A n n u x f x y y 0,ε,n N >由(9)式知存在正数对任何正整数N , 只要就有某个0,x I ∈使得+=≥⎰21220()(,)d .n nA n n n A u x f x y y ε这与级数(7)在I 上一致收敛的假设矛盾.现在考察级数.+∞反常积分在I 上一致收敛.故含参量注由定理19.9, 含参量反常积分可看作连续型的函函数项级数.魏尔斯特拉斯M 判别法设有函数g (y ), 使得(,)(),(,)[c,).f x y g y x y I ≤∈⨯+∞若()d (,)d ccg y y f x y y I 收敛,则在+∞+∞⎰⎰上一致收敛.()d c g y y 收敛,+∞⎰12,,,N c A A N ∃>∀>证由于21()d .A A g y y ε<⎰因此12,[,],A A N x c d 及∀>∈2211(,)d ()d .A A A A f x y x g y y ε≤<⎰⎰从而(,)d c f x y y I 在+∞⎰上一致收敛.狄利克雷判别法设(i) 对一切实数,N c >含参量正常积分(,)d N cf x y y ⎰对参量x 在I 上一致有界, ,N c >,x I ∈及一切都有(,)d ;N cf x y y M ≤⎰,x I ∈(,)g x y (ii)对每一个函数关于y 单调且当则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y+∞⎰在I 上一致收敛.时, 对参量x , (,)g x y 一致收敛于0,y →+∞即存在正数M , 对一切阿贝尔判别法设(i)(,)d cf x y y I 在上一致收敛；+∞⎰,x I ∈(,)g x y (ii) 对每一个函数为y 的单调函数, 且(,)g x y I 对参量x ,在上一致有界,则含参量反常积分(,)(,)d cf x yg x y y +∞⎰在I 上一致收敛.例3 证明含参量反常积分20cos d (10)1xyx x +∞+⎰在(,)-∞+∞上一致收敛.证由于对任何实数y 有2cos 1xy x +及反常积分20d 1xx+∞+⎰收敛, 别法, 故由魏尔斯特拉斯M 判21,1x≤+(,)-∞+∞上一致收敛.含参量反常积分(10)在证由于反常积分0sin d xx x+∞⎰收敛(当然, 对于参量y ,[0,]d 它在上一致收敛), 0sin e d (11)xy x x x+∞-⎰在[0,]d 上一致收敛.例4 证明含参量反常积分[0,]x d ∈个单调, (,)e1.xyg x y -=≤故由阿贝尔判别法即得含参量反常积分(11)在[0,]d 上一致收敛.(,)e xyg x y -=对每一函数0,0y d x ≤≤≥都有且对任何例5 证明: 若(,)[,][,)f x y a b c ⨯+∞在上连续, 又(,)d c f x y y +∞⎰(,)d cf x y y+∞⎰在[,)a b 上收敛, 但在处发散, 则x b =在[,)a b 上不一致收敛.0,ε>,M c >任给总存在,A A M '>当时对一切[,)x a b ∈恒有(,)d .A Af x y y ε'<⎰证用反证法. [,)a b 上一致收敛, 假若积分在则对于(,)[,][,]f x y a b A A '⨯在(,)d A Af x y y'⎰因上连续, 所以x 是的连续函数. A A M '>>时,,x b -→得到当在上面不等式中令(,)d .A Af b y y ε'≤⎰ε(,)d cf x y y +∞⎰x b =而是任给的, 因此在处收敛,这与假设矛盾. 不一致收敛.(,)d c f x y y +∞⎰[,)a b 在上所以积分证若[,](0,+),a b ⊂∞21sin d (12)1y xy yy +∞+⎰在[0,+)∞上内闭一致收敛.例6 证明含参量积分则对任意[,]x a b ∈，cos sin d =NNaa xy y xy y x -⎰2a≤而21y y+关于y 单调递减,且2lim 0(,1y y x y 对一致）→∞=+因此, 根据狄利克雷判别法，含参量积分(12)在[,]a b 上一致收敛.[0,+)∞也即在上内闭一致收敛.定理19.10（含参量反常积分的连续性）含参量反常积分的性质设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 在I 上一致收敛.+∞{}n A 证由定理19.9, 对任一递增且趋于的数列1(),A c =函数项级数111()(,)d ()(14)n nA n A n n x f x y y u x Φ+∞∞====∑∑⎰若含参量反常积分则在I 上连续.()x Φ()n u x I 都在上连续. 定理, (,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, 又由于根据函数项级数的连续性故每个知在I 上连续.()x Φ设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d (13)cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上一致收敛, 若含参量反常积分则在I 上连续. ()x Φ推论这个定理也证明了在一致收敛的条件下, 极限运算与积分运算可以交换:0lim (,)d (,)d cc x x f x y y f x y y+∞+∞→=⎰⎰lim (,)d .(15)cx x f x y y +∞→=⎰设(,)[,)f x y I c ⨯+∞在上连续, ()(,)d cx f x y yΦ+∞=⎰在I 上内闭一致收敛, 若则在I 上连续. ()x Φ定理19.10（含参量反常积分的可微性）(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上一致收敛, ()(,)d (16)x cI x f x y y+∞'=⎰若+∞1{}(),n A A c =证对任一递增且趋于的数列令1()(,)d .n nA n A u x f x y y +=⎰则在I 上可微，且()x Φ由定理19.3推得1()(,)d .n nA nx Au x f x y y +'=⎰+∞⎰(,)d cf x y y 由在I 上一致收敛及定理19.9, 项级数111()(,)d n nA n x A n n u x f x y y +∞∞=='=∑∑⎰在J 上一致收敛,可得函数()x Φ'于是d (,)d (,)d ,d cc f x y y f x y y x x +∞+∞∂=∂⎰⎰111()(,)d n nA nx A n n u x f x y y +∞∞=='==∑∑⎰(,)d ,x cf x y y +∞=⎰或写成推论(,)(,)x f x y f x y 与[,)I c ⨯+∞设在区域上连续.()(,)d cx f x y y Φ+∞=⎰在I 上收敛,(,)d x c f x y y +∞⎰在I上内闭一致收敛, +∞'=⎰()(,)d .x cI x f x y y 若则在I 上可微，且()x Φ最后结果表明在定理条件下, 求导运算和积分运算可以交换.定理19.12（含参量反常积分的可积性）()(,)d cx f x y y +∞=⎰Φ[,]a b 在上一致收敛,+∞+∞=⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d .(17)bbaccax f x y y y f x y x [,]a b 在上可积.又由定理19.10 的证明中可以看到, 函数项级数(14)在[,]a b ()[,]n u x a b 在上一致收敛, 且各项上连续,证由定理19.10知道在[,]a b 上连续, ()x Φ[,][,)a b c ⨯+∞上连续, 若设在(,)f x y [,]a b 上可积, 且则在()x Φ()x Φ从而1()d ()d bbn a an x x u x x Φ∞==∑⎰⎰+∞==∑⎰⎰11d (,)d .(18)n nA bA an y f x y x 这里最后一步是根据定理19.6关于积分顺序的可交换性. ()d d (,)d .b bacax x y f x y x Φ+∞=⎰⎰⎰这就是(17)式.因此根据函数项级数逐项求积定理, 有(18)式又可写作11d (,)d n nbA aA n x f x y y+∞==∑⎰⎰定理19.13(,)d a f x y x y +∞⎰关于[,)c +∞(i) 在内闭上一致收敛,(,)d cf x y y +∞⎰[,)a +∞关于x 在内闭上一致收敛;(ii)积分d (,)d d (,)d (19)acc ax f x y y y f x y x 与+∞+∞+∞+∞⎰⎰⎰⎰中有一个收敛.d (,)d d (,)d (20)accax f x y y y f x y x .+∞+∞+∞+∞=⎰⎰⎰⎰(,)f x y [,)[,)a c +∞⨯+∞设在上连续, 且则必有d (,)d acx f x y y +∞+∞⎰⎰也收敛. d c >当时,d (,)d d (,)d dd c a a cI y f x y x x f x y y+∞+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d d (,)d ddcaacy f x y x x f x y y+∞+∞=-⎰⎰⎰⎰d (,)d adx f x y y+∞+∞-⎰⎰证不妨设(19) 中第一个积分收敛,由此推得根据条件(i)及定理19.12,有d (,)d d a dI x f x y y+∞+∞=⎰⎰d (,)d d (,)d .(21)AadAdx f x y y x f x y y +∞+∞+∞≤+⎰⎰⎰⎰由条件(ii), 对于任给的0,,G a A G ε>>>有使当时,+∞+∞<⎰⎰d (,)d .2A d x f x y y ε有(,)d .2()df x y y A a ε+∞<-⎰把这两个结果应用到(21)式, 得到,22d I εεε<+=使得当时有d M >选定A 后, 由(,)d cf x y y +∞⎰的一致收敛性, 存在M >c ,即lim 0,d d I →∞=这就证明了(20)式.例6计算0sin sin e d (0,).pxbx axI x p b a x+∞--=>>⎰解因为sin sin cos d ,b a bx axxy y x-=⎰所以sin sin ed pxbx axI xx+∞--=⎰()0ecos d d b pxaxy y x+∞-=⎰⎰0d ecos d .(22)bpxax xy y +∞-=⎰⎰ecos epxpxxy --≤0ed pxx +∞-⎰由于及反常积分收敛, 据M 判定法, 含参量反常积分ecos d pxxy x+∞-⎰[,]a b 在区间上一致收敛.[0,)[,]a b +∞⨯上连续, 的顺序, 积分I 的值不变. ecos pxxy -在由于于是d e cos d b pxaI y xy x +∞-=⎰⎰arctan arctan .b ap p=-根根据定理19.12交换积分(22)22d b apy p y=+⎰例7 计算0sin d .axx x+∞⎰解在上例中, 令b = 0, 0sin ()e d arctan (0).(23)px ax a F p x p x p+∞-==>⎰由阿贝尔判别法可得上述含参量反常积分在0p ≥上一致收敛. 0sin (0)d .axF x x+∞=⎰又由(23)式00(0)lim ()lim arctan sgn .2p p a F F p a p ++→→π===则有()0F p p ≥在上连续, 且于是由定理19.10,例8 计算20()e cos d .(24)x r rx x ϕ+∞-=⎰()22e cos d e sin d .(25)x x rrx x x rx x +∞+∞--'=-⎰⎰由于---≤≥-∞<<+∞22esin e0,x x x rx x x r 对一切参量反常积分(25)在-∞+∞(,)上一致收敛.解考察含参量反常积分成立2ed x x x +∞-⎰收敛, 及反常积分根据M 判定法, 含综合上述结果由定理19.11即得2()esin d xr x rx x ϕ+∞-'=-⎰--→+∞⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰220011lim e sin e cos d 22A Ax x A rx r rx x +∞-=-=-⎰20e cos d ().22x r rrx x r ϕ于是有2ln ()ln ,4r r c ϕ=-+-=24()e .r r c ϕ20π(0)e d ,2x x ϕ+∞-==⎰(0),c ϕ=从而又由(25)式,24π()e .2r r ϕ-=π,2c =因此得到所以20limesin d Ax A x rx x-→+∞=-⎰含参量无界函数的反常积分设(,)[,][,)f x y R a b c d 在区域=⨯上有定义. 某些值, y = d 为函数(,)f x y 的瑕点, (,)d (26)dcf x y y ⎰为含参量x 的无界函数反常积分, 常积分. [,]x a b 在上取值的函数. 积分值是若对x 的则称[,],x a b ∈积分(25)都收敛, 则其若对每一个含参量反常积分或简称为含参量反(25)在上一致收敛的定义是:[,]a b定义2,ε,d c δ<-对任给正数总存在某正数使得(,)d ,dd f x y y ηε-<⎰则称含参量反常积分(25)在[,]a b 上一致收敛．参量无界函数反常积分的一致收敛性判别法, 并讨读者可以参照无穷限反常积分的办法建立相应的含论它们的性质.都有0ηδ<<[,],x a b ∈时, 对一切当*例9讨论含参量无界函数反常积分1011sin d xx x α⎰的一致收敛区间.解作变换1,t x =得1201111sin d =sin d .x t t x x t αα+∞-⎰⎰2110,sin dt t t αδ+∞-∀>⎰(,2]δ-∞-(1)在上一致收敛.(i)1(,2]1,sin dt 2;N N t αδ∀∈-∞->≤⎰及有(ii) 211(,2],0,.t t tαδαδ-∀∈-∞-≤→→+∞21t α-0,单调一致趋于由狄利克雷判别法,1201111sin d =sin d x t t x x tαα+∞-⎰⎰(,2]δ-∞-在上一致收敛.因此(2)F 因为不存在,所211()sin dt ,F t t αα+∞-=⎰为此设+∞-<⎰2112,sin dt b t tα[,2)b (2)任取在上不一致收敛.211sin dt t t α+∞-⎰[,2)b 在上不一致收敛.以复习思考题(,)()g x y g y =x +c (,)d g x y y ∞⎰1. 若与无关, 在区间I 上收敛, 则+c (,)d g x y y ∞⎰在任何区间上一致收敛,对吗?()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰(,)a b 2. 若在上一致收敛, 且(,)f x y [,][,)a b c ⨯+∞在上连续, 是否一定有()(,)d c x f x y y ϕ+∞=⎰[,]a b 在上一致收敛.。
反常积分地几种计算方法
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract …………………………………………………………………………………1 Keywords (1)0 前言…………………………………………………………………………………11反常积分的定义 (1)1.1无穷积分的定义……………………………………………………………………11.2 瑕积分的定义……………………………………………………………………..22 反常积分的计算方法……………………………………………………………32.1利用Newton—Leibniz公式计算反常积分…………………………………………32.2利用变量替换法计算反常积分……………………………………………………32.3利用分部积分法计算反常积分 (5)2.4利用分段积分自我消去法计算反常积分 (7)2.5利用方程法计算反常积分…………………………………………………………72.6利用级数法计算反常积分 (9)2.7利用待定系数法计算反常积分……………………………………………………10结束语 (11)参考文献 (11)反常积分的几种计算方法摘要:该文主要对反常积分的计算方法进行归纳、总结.重点描述了在进行计算时各种方法的灵活使用.关键词:反常积分;变量替换;分部积分;级数法;待定系数法Several calculation methods of abnormal integral Abstract:This paper mainly sums up the calculation methods of abnormal integral. This paper emphasizes on describing the flexible use of various methods in the calculation.Keywords: Abnormal integral; Variable substitution; subsection integral; Series method; the method of undetermined coefficient0前言反常积分是微积分学中一类重要的积分，反常积分的计算是学习积分计算中的重难点。
《数学分析》第十一章反常积分
《数学分析》第十一章反常积分首先，我们来讨论无界函数的积分。
对于一个在区间[a,b)上定义的无界函数f(x)，其积分可以表示为：∫f(x)dx = lim(ξ→b-)∫f(x)dx，其中ξ是趋于b的数列。
这种积分的定义方式是将区间[a,b)划分为有限多个子区间并对每个子区间的积分进行求和，然后再取极限。
如果极限存在且有限，则称该反常积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则称该反常积分发散。
接下来，我们来讨论无界区间上的积分。
对于一个定义在区间(-∞,a)或(a,∞)上的无界函数f(x)，其积分可以表示为：∫f(x)dx = lim(ξ→±∞)∫f(x)dx，其中ξ是趋于±∞的数列。
这种积分的定义方式与上述无界函数的积分类似，即将区间划分为有限多个子区间并对每个子区间的积分进行求和，然后取极限。
同样地，如果极限存在且有限，则该反常积分收敛；若极限不存在或为无穷大，则该反常积分发散。
在讨论反常积分时，还需考虑奇点的分类。
奇点是指函数在一些点上不满足积分条件的情况。
常见的奇点包括无界点、端点以及间断点。
对于无界点，通常情况下我们可以通过取极限的方式来处理；而对于端点，需要分别对两个方向上的积分进行讨论，并判断两个反常积分是否收敛；对于间断点，要分别对间断点左、右两侧的积分进行求和，并判断两个反常积分是否收敛。
在实际应用中，我们常常需要计算一些函数的反常积分，比如Gaussian函数的积分、Beta函数的积分等。
这些积分在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
在计算这些积分时，我们可以利用换元法、分部积分法等积分技巧来简化计算过程，并帮助判断反常积分的收敛性。
总之，反常积分是对于不满足黎曼积分条件的函数取极限得到的积分。
本章介绍了无界函数的积分、无界区间上的积分以及奇点的分类等内容。
通过学习本章的内容，我们能够更好地理解和应用反常积分的概念和方法。
《数学分析》第十一章反常积分1
《数学分析》第十一章反常积分1《数学分析》第十一章反常积分1第十一章反常积分在数学分析中，我们经常研究的是定义在有界闭区间上的函数的积分，这些函数在有界闭区间上的积分被称为定积分。
但是，在实际应用中，有时会遇到一些函数在一些点上的值没有定义，或者函数在一些有界闭区间上的积分不存在，这就引出了反常积分的概念。
反常积分是对于在有界闭区间上不满足定积分条件的函数进行积分，也可以看作是对定积分的扩充。
反常积分分为无穷积分和广义积分两种类型。
一、无穷积分如果函数f(x)在区间[a,+∞)上定义，而对于任意的x∈[a,+∞)，f(x)都是有定义的，那么这样的函数f(x)在[a,+∞)上的积分称为无穷积分。
记作∫[a,+∞) f(x)dx如果函数f(x)在区间(-∞,a]上定义，而对于任意的x∈(-∞,a]，f(x)都是有定义的，那么这样的函数f(x)在(-∞,a]上的积分称为无穷积分。
记作∫(-∞,a] f(x)dx在计算无穷积分时，常常使用变量替换或者部分积分等方法。
二、广义积分如果函数f(x)在区间[a,b]上除了其中一点x=c外都是有定义的，而在x=c处f(x)的定义和c的极限存在，那么这样的函数f(x)在[a,b]上的积分称为广义积分。
记作∫[a,b] f(x)dx如果函数f(x)在区间[a,b)上除了其中一点x=b外都是有定义的，而在x=b处f(x)的定义和b的极限存在，那么这样的函数f(x)在[a,b)上的积分称为广义积分。
记作∫[a,b) f(x)dx如果函数f(x)在区间(a,b]上除了其中一点x=a外都是有定义的，而在x=a处f(x)的定义和a的极限存在，那么这样的函数f(x)在(a,b]上的积分称为广义积分。
记作∫(a,b] f(x)dx如果函数f(x)在区间(a,b)上除了其中一点x=a和x=b外都是有定义的，而在x=a和x=b处f(x)的定义和a、b的极限存在，那么这样的函数f(x)在(a,b)上的积分称为广义积分。
数学分析第七讲反常积分
第七讲 非黎曼积分（反常积分）一、知识结构我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区间是闭区间（闭区域）. 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.1、 一元函数的反常积分(1) 一元函数反常积分的概念和定义我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ，如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点）或()+∞,a ，由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a （a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点x 处无界）.定义 1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续，则定义⎰⎰+∞→+∞=AaA adx x f dx x f )(lim)(，如果极限⎰+∞→AaA dx x f )(lim存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续，而在点a 右邻域内无界（a 是被积函数)(x f 的瑕点）即函数在点a 无界，则定义⎰⎰⎰++→+→==b kak ba badx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0εε,如果极限⎰+→+ba dxx f εε)(lim 0存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是：∞=+→)(lim x f ax .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f ax +→可以存在,这时a 不是被积函数)(x f 的瑕点.例如,函数x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→xxx ,所以0=x 不是积分⎰10sin dx x x 的瑕点. ⎰10sin dx x x 不是反常积分. 将积分⎰10sin dx xx 看作推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分⎰badx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续，b a ,都是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰-→+→-++=+=δδεεb cca b cc abadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0,如果极限⎰+→+ca dx x f εε)(lim 0和⎰-→-δδb cdx x f )(lim 0均存在，我们称反常积分⎰badx x f )(收敛.定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续，a 是函数)(x f 的瑕点，则定义⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+→+∞+∞+=+=+AbA ba bb aadx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim)(lim )()()(0εε,如果极限⎰+→+ba dx x f εε)(lim 0和⎰+∞→AbA dx x f )(lim均存在，我们称反常积分⎰+∞adx x f )(收敛.②积分区域无限且被积函数),(y x f 有瑕点（了解）. 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.例 讨论积分dx x p ⎰101和dx x p ⎰+∞11的敛散性.解 显然dx x ⎰101和dx x⎰+∞11均发散.在区间]1,0(上, 当1<p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11>, 即前者的图像在后者的图像上方,这时dx xp ⎰101发散(请同学给出证明).在区间),1[+∞上, 当1<p 时, 函数xx p 11>, 即前者的图像在后者的图像上方,这时dx x p ⎰+∞11发散(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数xx p 11<, 即前者的图像在后者的图像下方,这时dx xp ⎰101收敛(请同学给出证明).结论:⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p和⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+.1,11111时当时，当，p p p dx x p(1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞收敛, 则dx x f k x f k a)]()([2211±⎰+∞也收敛, 且dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa)()()]()([22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞±=±.(b)若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积,b a <, 则dx x f a)(⎰+∞与dx x f b )(⎰+∞同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bba a)()()(⎰⎰⎰+∞+∞+=.(c) 若)(x f 在任何有限闭区间],[u a 上可积, 且有dx x f a⎰+∞)(收敛，则dx x f a)(⎰+∞收敛，且dx x f dx x f aa⎰⎰+∞+∞≤)()(.当dx x f a⎰+∞)(收敛时, 称dx x f a)(⎰+∞绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.②无穷积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对无穷积分dx x f dx x f uau a)(lim)(⎰⎰+∞→+∞=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 无穷积分dx x f a)(⎰+∞收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃U ,)(εU U =, 当Uu u >21,时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u u au a)()()(2121.无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,且满足)()(x g x f ≤,),[+∞∈a x ,则当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛; 当dx x f a⎰+∞)(发散时dxx g a)(⎰+∞必发散.考虑当dx x g a)(⎰+∞收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛是否正确 当dxx f a⎰+∞)(发散时dx x g a)(⎰+∞必发散是否正确推论1设定义在),[+∞a 上的两个函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积,0)(>x g , 且c x g x f x =+∞→)()(lim, 则有①当+∞<<c 0时, dx x f a⎰+∞)(与dx x g a)(⎰+∞同敛态;②当0=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞收敛可推知dx x f a⎰+∞)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g a)(⎰+∞发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,且在任何有限区间],[u a 上可积,则有:①当p x x f 1)(≤,),[+∞∈a x ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; ②当p xx f 1)(≥,),[+∞∈a x ,且1≤p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.利用结论⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰∞+时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在),[+∞a (0>a )的函数,在任何有限区间],[u a 上可积,且()c x f x p x =+∞→)(lim , 则有:①当+∞<≤>c p 0,1时,dx x f a⎰+∞)(收敛;②当+∞≤<≤c p 0,1时,dx x f a⎰+∞)(发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.(c) 狄利克雷判别法定理3(狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在),[+∞a 上有界,)(x g 在),[+∞a 上当+∞→x 时单调趋于0,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(d) 阿贝尔(Abel)判别法 定理4(阿贝尔(Abel)判别法) 若dx x f a⎰+∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 上单调有界,则dx x g x f a)()(⎰+∞收敛(了解).(2) 瑕积分的性质与收敛判别 ① 瑕积分的性质(a) 若)(1x f 与)(2x f 都以a x =为瑕点，21,k k 为常数，则当瑕积分dx x f ba)(1⎰与dx x f b a)(2⎰收敛时, 瑕积分dx x f k x f k ba)]()([2211±⎰必定收敛,且dx x f k dx x f k dx x f k x f k bababa )()()]()([22112211⎰⎰⎰±=±.(b) 设函数)(x f 以a x =为瑕点，),(b a c ∈为任一常数，则瑕积分dx x f ba )(⎰与dx x f ca)(⎰同敛态(同时收敛或同时发散),并且dx x f dx x f dx x f bcc aba)()()(⎰⎰⎰+=，其中)(x f bc⎰为定积分.(c) 设函数)(x f 以a x =为瑕点， 若)(x f 在],(b a 的任一内闭区间],[b u 上可积,则当dx x f ba⎰)(收敛时，dx x f ba)(⎰也必收敛，且dx x f dx x f baba⎰⎰≤)()(.当dx x f ba⎰)(收敛时, 称dx x f ba)(⎰绝对收敛. 我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.② 瑕积分的收敛判别 (a) 柯西收敛准则 对瑕积分dx x f dx x f buau ba)(lim )(⎰⎰+→=的敛散性用以下准则可以作出判断.定理1(柯西收敛准则) 瑕积分dx x f ba)(⎰（瑕点为a ）收敛的充要条件是: 对0>∀ε, 0>∃δ, )(εδδ=, 当δδ<-<<-<a u a u 210,0时, 有ε<=-⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f u u bu bu )()()(2121.瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则得到. (b) 比较法则定理2(比较法则) 设定义在],(b a 上的两个函数)(x f 和)(x g ，瑕点同为a x =，)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积,且满足)()(x g x f ≤,],(b a x ∈,则当dx x g ba )(⎰收敛时dx x f ba⎰)(必收敛; 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散.考虑当dx x g ba)(⎰收敛时dx x f b a⎰)(必收敛是否正确 当dx x f ba⎰)(发散时dx x g ba)(⎰必发散是否正确推论1又若 0)(>x g , 且c x g x f ax =+→)()(lim , 则有①当+∞<<c 0时,dx x f ba⎰)(与dx x g b a)(⎰同敛态;②当0=c 时, 由dx x g b a)(⎰收敛可推知dx x f ba⎰)(也收敛;③当+∞=c 时, 由dx x g b a)(⎰发散可推知dx x f b a⎰)(也发散.利用不等式εε+<<-c x g x f c )()(，即()())()()(x g c x f x g c εε+<<-可证上述结论.推论2 设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，则有:①当()pa x x f -≤1)(,且10<<p 时, dx x f ba⎰)(收敛;②当()pa x x f -≥1)(,且1≥p 时,dx x f ba⎰)(发散.利用结论⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰时当时，当，1,11111p p p dx x p 可证上述结论. 推论3设)(x f 是定义在],(b a 的函数,瑕点为a x =， 且在任何有限区间],(],[b a b u ⊂上可积，且()[]λ=-+→)(lim x f a x pax , 则有:①当+∞<≤<<λ0,10p 时, dx x f ba⎰)(收敛;②当+∞≤<≥λ0,1p 时, dx x f ba⎰)(发散.2、多元函数的反常积分(1)积分区域无限且被积函数),(y x f 没有瑕点①函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分 定义5 函数),(y x f z =在无限区域:D ),[),[+∞⨯+∞c a 连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∞→+∞→+∞+∞==Aa BcB A acDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰+∞+∞acdy y x f dx ),(收敛.② 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞上的反常积分 定义6 函数),(y x f z =在无限区域:D ],(],(y x -∞⨯-∞连续，则定义⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞→-∞→∞-∞-==x A yBB A xyDdy y x f dx dy y x f dx dxdy y x f ),(lim),(),(,如果极限存在， 我们称反常积分⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(收敛.由于式中⎰⎰∞-∞-xydy y x f dx ),(的积分上限中的y x ,与被积函数中的yx ,不同,所以⎰⎰∞-∞-xy dy y x f dx ),(经常表示为⎰⎰∞-∞-xydt t u f du ),(. 这种积分是概率论与数理统计中常用求概率分布函数),(y x F 的积分, 即⎰⎰∞-∞-=x ydy y x f dx y x F ),(),(,其中),(y x f .③ 函数),(y x f z =在无限区域),(),(+∞-∞⨯+∞-∞上的反常积分 (请同学给出其定义).④ 函数),(y x f z =在无限区域),(),[+∞-∞⨯+∞a 上的反常积分(请同学给出其定义).⑤ 函数),(y x f z =在无限区域),[),[+∞⨯+∞c a 上的反常积分(请同学给出其定义).上述积分在概率中经常用到.已知随机变量Y X ,,函数),(y x f 是随机变量Y X ,的概率密度函数,),(y x F 表示随机变量Y X ,的分布函数,则概率⎰⎰∞-∞-==≤≤x ydy y x f dx y x F y Y x X P ),(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=+∞<≤x X x X dxy x f dy y x f dx x F x F Y x X P ),(),()(),(),(,⎰⎰⎰∞-∞-+∞∞-===+∞=≤+∞<yY y Y dyy x f dx y x f dy y F y F y Y X P ),(),()(),(),(,其中),(y x f X ,),(y x f Y 分别称为Y X ,边缘概率密度函数,),(y x F X ,),(y x F Y 分别称为Y X ,边缘分布函数.例如(考研2010年数学一)设二维随机变量),(Y X 的概率密度函数为2222),(y xy xAe y x f -+-=,+∞<<∞-x ,+∞<<∞-y ,求常数A 及条件概率密度)(x y f X Y .解: 因为1),(=+∞+∞F ,所以⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞----∞+∞-+∞∞-++-+∞∞-+∞∞-+∞∞-====dyAe dx dyAedx dy y x f dx y x F yy x y xy x 2222)(22),(),(1作变量替换⎩⎨⎧==-θθsin cos r y r y x ，+∞<<r 0，πθ20≤≤，即⎩⎨⎧=+=θθθsin sin cos r y r r x . 则()r r r y ry xrx r J -=-+=∂∂∂∂∂∂∂∂=θθθθθθθθθcos sin sin cos sin cos ),(.所以πθπA dr r Aed dy Ae dx r y y x =-=⎰⎰⎰⎰+∞-+∞∞----+∞∞-020)()(222, 进而π1=A .22222222222211(,)()1()(,)xxy y xxy y Y X xxy yX e e f x y f y x f x f x y dye dyπππ-+--+-+∞+∞-+--∞-∞===⎰⎰222222222222222222()20111(,)1112xxy y xxy y xxy y x y x x t x t e e e y x t dy dt e e dye e dte e dtππππππ-+--+--+-+∞+∞+∞--------∞-∞===-==⋅⋅⋅⎰⎰⎰222222222222222211122111(,)11112xxy y xxy y x xy y xxuxu e e e t u dt e e u e due u e duππππππ-+--+--+-+∞+∞-------=====⎛⎫⋅Γ ⎪⎝⎭⎰⎰222222221,.1x xy y xxy y xe y π-+--+--==-∞<<+∞注: 由余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs ss s ππ得: π=⎪⎭⎫⎝⎛Γ21. 还可以用以下方法计算π=⎪⎭⎫⎝⎛Γ21.余元公式)10(sin )1()(<<=-ΓΓs ss s ππ的证明过程很繁杂,在此证明略. 先计算dxdy e Dy x ⎰⎰+-)(22, 其中区域D : a y a x ≤≤≤≤0,0.因为222:a y x D a ≤+, 22222:a y x Da≤+. 则 dxdy edxdy edxdy eaaDy x Dy x D y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+-+-≤≤2222222)()()(,即dxdy e dx e dy edx edxdy eaaDy x ax aay x D y x ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+----+-≤⎪⎭⎫ ⎝⎛=≤22222222)(200)(. 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,0πθ≤≤≤≤a r . 则()22214)(a D y x e dxdy e a-+--=⎰⎰π. 令⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ,20,20πθ≤≤≤≤a r . 则()22222)(14a Dy x e dxdy e a-+--=⎰⎰π.所以()()2222201414a a x a e dx e e ----≤⎪⎭⎫ ⎝⎛≤-⎰ππ. 因为()414lim2ππ=--+∞→a a e , ()414lim22ππ=--+∞→a a e , 所以22π=⎰∞+-dx e x , 进而π==⎪⎭⎫⎝⎛Γ⎰∞+-dx e x 02221.上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法: 夹逼方法.同学们应切记这种方法.(2) 多元函数反常积分性质与收敛性判别3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握） (1) 含参量反常积分的概念和定义 (2) 含参量反常积分性质与收敛性判别 二、解证题方法 1、反常积分的计算反常积分的计算题在考研中很少出现, 如果出现, 一般用变量替换法求解.例1(南京农业大学2004年)求dx xx ⎰-1ln 1. 解 令te x =,则dt e dx t=. 进而021211ln 1000000202010=-=-=-=-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-∞-dt t e du u e dt t e du u e dtt e dt t e dt t e e dt e t e dx x x t u t u t t t t tt . 例2(南京大学2000年)求dt ttx x ⎰→1120cos lim. 解 令x t 1=,则dx xdt 21-=,所以 1sin 1sin 1sin lim 11sin lim 11cos lim cos lim 121120=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎪⎭⎫⎝⎛=∞→∞→∞→→⎰⎰t t x dt x x dt t tt t t t xx . 例3(南京农业大学2004年)求dx x⎰+∞+0411. 解 作变量替换xt 1=,则 dt t tdx x dx x dx x dx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++=+++=+⎰⎰⎰⎰⎰∞+∞+20141041410404111111111111 ()()dx x x x x x dx x x dx x x dx x ⎰⎰⎰⎰-++++=++=+++=102221042104210421******** dx xx dx x x ⎰⎰-++++=1021022112121121()()dxx dx x ⎰⎰-++++=121212111211()()π420112arctan 210112arctan 21=-++=x x .例4(上海理工大学2003年)已知积分2sin 0π=⎰+∞dx x x ,计算dx x x ⎰∞+⎪⎭⎫⎝⎛02sin . 解dx x x x x x x d x dx x x ⎰⎰⎰∞+-∞+∞++∞+-=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛0210202cos sin 20sin )(sin sin 2sin sin lim )2(22sin sin lim 220020π+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∞→→∞++∞→→++⎰a a b b x d x x a b x x b a b a 22sin sin lim 2220ππ=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+∞→→+a a a b b b a . 例5(兰州大学2005年)求⎰1ln xdx .解 首先判断积分⎰1ln xdx 反常性。
《数学分析》第十一章 反常积分
1
1 x2
dx
(2)
1
x
2dx
二、无界函数的广义积分
定义2: 设函数 f (x)在区间(a, b]上连续, 而在点 a 的 右邻域内无界, 取 > 0.如果极限
b
lim f (x)dx
0 a
存在,
则称此极限为函数 f (x)在(a, b]上的广义积分.
仍然记作 b f (x)dx,即 a
1 a
o
a a x
图5-7-1
lim
0
arcsin
a
a
a
0c
arcsin
1
2
例5 :
讨论广义积分
1 1
dx x2
的收敛性.
解
:
被积函数f
(x)
1 x2
在积分区间[1,1]上除x
0外连续,
且
lim
x0
1 x2
由于
0 1
1 x2
b
b
f (x)dx lim f (x)dx
a
0 a
(4)
这 极时 限也 不称 存广 在义, 就积称分广ab义f 积(x)分dxab收f (敛x).d如x 发果散上.述
类似地, 设函数 f (x)在区间[a, b)上连续, 而在 点 b 的左邻域内无界, 取 > 0.
如果极限 lim b f (x)dx 存在,则定义 0 a
证: 当q = 1时
b dx
a (x a)q
b dx a xa
lim 0
b dx a x a
数学分析PPT课件第四版华东师大研制 第11章 反常积分
例1(第二宇宙速度问题）在地球表面垂直发射火
箭, 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初
速度 v0 至少要多大？
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解 设地球半径为 R,火箭质量为 m,地面上的重
力加速度为 g, 按万有引力定理, 在距地心 x R
处火箭所受的引力为
F
mgR 2 x2
,
于是火箭从地面上升到距地心为 r R 处需作功
F(x)
b a
F (b)
F(a )
F(b) lim F(u). ua 1
例4 计算瑕积分0 ln x dx.
解
1
ln
xdx
的瑕点为
0.
因此,
0
1
ln xdx limx l x 1 1dx
0
0
lim
0
0
ln
1
1.
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复习思考题
1. f ( x) 在 [a, )上非负连续, 且 f ( x)dx 收敛, a 是否必有lim f ( x) 0? x
0, G a, u1 ,u2 G, F (u1) F (u2 ) ,
即
u1 f ( x)dx u2 f ( x)dx u2 f ( x)dx .
a
a
u1
根据反常积分定义,容易导出以下性质1 和性质2.
性质1 若
a
f1
(
x
)
dx
与
a f2( x)dx
都收敛 ,
k1 ,
§1 反常积分概念
反常积分讨论的是无穷区间上的积 分和无界函数的积分，是定积分概念 的推广.
一、反常积分的背景 二、两类反常积分的定义
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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第三学期试题
（三十二）数学分析试题（二年级第一学期）一 叙述题（每小题10分，共30分）1 叙述含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(一致收敛的Cauchy 收敛原理。
2 叙述Green 公式的内容及意义。
3 叙述n 重积分的概念。
二 计算题（每小题10分，共50分）1．计算积分⎰+-=C yx ydx xdy I 2243，其中C 为椭圆13222=+y x ，沿逆时针方向。
2．已知 ),,(y z xz f z -= 其中),(v u f 存在着关于两个变元的二阶连续偏导数，求z 关于y x ,的二阶偏导数。
3．求椭球体1222222=++cz b y a x 的体积。
4．若l 为右半单位圆周，求⎰lds y ||。
5．计算含参变量积分⎰+-=π2)cos 21ln( )(dx a x a a I (1<a )的值。
三 讨论题（每小题10分，共20分）1 若积分在参数的已知值的某邻域内一致收敛，则称此积分对参数的已知值一致收敛。
试讨论积分⎰∞++=0221xa adxI 在每一个固定的a 处的一致收敛性。
2 讨论函数dx yx x yf y F ⎰+=122)()(的连续性，其中)(x f 在]1,0[上是正的连续函数。
数学分析试题（二年级第一学期）答案1一 叙述题（每小题10分，共30分）1 含参变量反常积分⎰+∞adx y x f ),(关于y 在],[d c 上一致收敛的充要条件为：对于任意给定的0>ε， 存在与y 无关的正数0A ， 使得对于任意的0,A A A >'，],[ ,),(d c y dx y x f A A∈<⎰'ε成立。
2 Green 公式：设D 为平面上由光滑或分段光滑的简单闭曲线所围的单连通区域。
如果函数),(),,(y x Q y x P 在D 上具有连续偏导数，那么⎰⎰∂∂∂-∂∂=+DDdxdy xPx Q Qdy Pdx )(，其中D ∂取正向，即诱导正向。
数学分析(华东师大版)上第八章
05
不定积分
不定积分的定义
总结词
不定积分是微分的逆运算，其定义基于原函数的概念。
详细描述
不定积分是求一个函数的原函数或反导数的过程。给定一个函数f(x)，其不定积分是所有原函数F(x)的集合，即 ∫f(x)dx=F(x)+C，其中C是积分常数。
不定积分的性质
总结词
不定积分具有线性性质、可加性、可乘性等基本性质。
微积分基本定理
定积分的值可以通过被积 函数在积分上下限处的值 与积分区间的长度乘积的 差值来计算。
分部积分法
对于某些难以直接计算的 定积分，可以通过分部积 分法将其转化为易于计算 的定积分。
换元法
通过适当的变量替换，将 复杂的定积分转化为易于 计算的定积分。
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详细描述
不定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的不定积分，可以分别对每个函数进行不定积分后再求 和或求差；不定积分也具有可加性，即对于函数f(x)在两个区间上的不定积分，其和等于函数在整体区间 上的不定积分；此外，不定积分还具有可乘性，即对于任意常数k，有∫kf(x)dx=k∫f(x)dx。
积分的方法
总结词
不定积分的计算方法包括直接积分法、换元 积分法、分部积分法等。
详细描述
直接积分法是最基本的积分方法，它基于不 定积分的定义和性质，通过简单的代数运算 求得积分结果；换元积分法是通过引入新的 变量替换原变量，将复杂函数的不定积分转 化为简单函数的不定积分；分部积分法是通 过将两个函数的乘积进行不定积分，将问题
柯西中值定理
如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，且g'(x)≠0，那么 在开区间(a, b)内至少存在一点ξ，使得(f'(ξ)/g'(ξ))=(f(g(b)-f(g(a))/(g(b)-g(a))。
数学分析教案(华东师大版)第十一章反常积分
第十一章反常积分教学目的：1.深刻理解反常积分的概念及其敛散性的含义；2.熟练掌握无穷积分和瑕积分的性质与敛散性的判别。
教学重点难点：本章的重点是反常积分的含义与性质；难点是反常积分敛散性的判别。
教学时数：8学时§ 1 反常积分概念（2学时）教学目的：深刻理解反常积分的概念。
教学重点难点：反常积分的含义与性质一问题的提出:例（P264）.二两类反常积分的定义定义1. 设函数定义在无穷区间上，且在任何有限区间上可积，如果存在极限（1）则称此极限J为函数在上的无穷限反常积分（简称无穷积分），记作,并称收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称发散.定义2. 设函数定义在上，在点的任一右邻域内无界，但在任何内闭区间上有界且可积，如果存在极则称此极限为无界函数在上的反常积分，记作并称反常积分收敛，如果极限不存在，这时也说反常积分发散.例1 ⑴讨论积分 , , 的敛散性 .⑵计算积分.例 2 讨论以下积分的敛散性 :⑴; ⑵.例3 讨论积分的敛散性 .例4判断积分的敛散性 .例5 讨论瑕积分的敛散性 ,并讨论积分的敛散性 .三瑕积分与无穷积分的关系: 设函数连续 , 为瑕点. 有, 把瑕积分化成了无穷积分;设, 有，把无穷积分化成了瑕积分.可见 , 瑕积分与无穷积分可以互化. 因此 ,它们有平行的理论和结果 .§2. 无穷积分的性质与收敛判定（2学时）教学目的：深刻理解反常积分敛散性的含义。
教学重点难点：反常积分敛散性的判别。
一无穷积分的性质⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则:Th 积分收敛 .⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 )但反之不确.绝对型积分与非绝对型积分 .二比较判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则 < , < ；, .例6判断积分的敛散性.推论1 （比较原则的极限形式） : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 : ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时, . ( 证 )推论2 （Cauchy判敛法）: (以为比较对象, 即取.以下> 0 )设对任何>, , 且, < ；若且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间可积的正值函数. 且. 则ⅰ> < ；ⅱ> . ( 证 )例7讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ>三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法:1.Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.2.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，.则积分收敛.例8 讨论无穷积分与的敛散性.例9 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, , .例10 ( 乘积不可积的例 ) 设, 。
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数学分析华东师大反常积分SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#第十一章反常积分§1 反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限制: 积分区间的有穷性和被积函数的有界性.但在很多实际问题中往往需要突破这些限制, 考虑无穷区间上的“积分”, 或是无界函数的“积分”, 这便是本章的主题.例1 ( 第二宇宙速度问题) 在地球表面垂直发射火箭( 图 11 - 1 ) , 要使火箭克服地球引力无限远离地球, 试问初速度v0 至少要多大设地球半径为R, 火箭质量为m, 地面上的重力加速度为g .按万有引力定律,在距地心x( ≥R) 处火箭所受的引力为mg R2F = .x2于是火箭从地面上升到距离地心为r ( > R) 处需作的功为rmg R ∫∫2∫d x = m g R 2 1 - 1.R x2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”:图 11 - 1+ ∞mg R 2d x = limrmgR 2Rx2r → + ∞Rd x = m g R .x2最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使122mv 0 = mg R .用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106( m ) 代入 , 便得v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) .例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间2∫· R u∫ ∫ ∫ R2§1 反常积分概念265从物理学知道 , 在 不计 摩 擦力 的情 形下 , 当桶 内水 位 高度为 ( h - x ) 时 , 水从孔中流出的流速 ( 单位 时间内 流过 单位截面积的流量 ) 为v = 2 g( h - x) ,其中 g 为重力加速度 .设在很小一段时 间 d t 内 , 桶 中液 面降 低 的微 小量 为d x , 它们之间应满足πR 2 d x = v πr 2 d t ,图 11 - 2由此则有d t =Rd x , x ∈ [0 ,h] . r22 g( h - x )所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成“积分”:ht f =R 2dx .r22 g( h - x)但是在这里因为被积函数是 [0 , h) 上的无界函数 , 所以它的确切含义应该是u2t f = lim∫ 2d xu → h- 0r 2 g( h -x)= lim -2 2g r2 h - h - uu → h=2 h R.g r 相对于以前所讲的定积分 ( 不妨 称之 为正常 积分 ) 而 言 , 例 1 和例 2 分别 提 出了两类反常积分 .二 两类反常积分的定义定义 1 设函数 f 定义在无穷区间 [ a, + ∞ ) 上 , 且在任 何有 限区间 [ a , u]上可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J, ( 1)u → + ∞ a则称此极限 J 为函数 f 在 [ a, + ∞ ) 上的无穷限反常积分 ( 简称无穷积分 ) ,记作+ ∞J =f ( x ) d x ,( 1′)a+ ∞+ ∞ 并称f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 1) 不 存 在 , 为 方 便 起 见 , 亦 称 f( x) d xaa发散 .类似地 , 可定义 f 在 ( - ∞ , b] 上的无穷积分 :bb∫∫ ∫ ∫ ∫∫ u∫266第十一章 反 常 积 分∫ f ( x )d x = lim ∫f ( x ) d x .( 2)- ∞u → - ∞ u对于 f 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的无穷积分 , 它用前面两种无穷积分来定义 :+ ∞af ( x ) d x =- ∞-∞+ ∞ f ( x) dx + af ( x) d x , ( 3)其中 a 为任一实数 , 当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的 .注 1 无穷积分 ( 3) 的收敛性与收敛时的值 , 都和实数 a 的选取无关 .注 2 由于无穷积分 ( 3) 是由 (1 ) 、( 2) 两类无 穷积分来 定义 的 , 因此 ,f 在 任 何有限区间 [ v , u] ì ( - ∞ , + ∞ ) 上 , 首先必须是可积的 .+ ∞注 3a f ( x ) d x 收 敛的 几 何 意 义 是 : 若 f 在[ a , + ∞ ) 上为非负连续函数 , 则图 11 - 3 中介于曲线 y = f ( x) , 直线 x = a 以及 x 轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积 J .例 3 讨论无穷积分+ ∞图 11 - 3的收敛性 .解 由于d x 1 xp( 4)ud x1xp = 1 1 - p ( u1 -p - 1 ) , p ≠1 ,ln u , p = 1 ,1lim∫d x=u → + ∞ 1xpp - 1 , p > 1+ ∞ p ≤ 1 ,因此无穷积分 (4 ) 当 p > 1 时收敛 , 其值为 1; 而当 p ≤1 时发散于 + ∞ .p - 1从图 11 - 4 看到 , 例 3 的结论是 很直观 的 : p的值越大 , 曲线 y = 1当 x > 1 时越靠近 x 轴 , 从xp而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 就越大 .例 4 讨论下列无穷积分的收敛性 :1∫) + ∞ d x 2 x( ln x) p ; 2) + ∞d x- ∞ 1 + x 2.解 1 ) 由 于无 穷 积分 是 通 过变 限 定积 分 的 极限来 定义 的 , 因此 有关定 积分 的换元 积分 法和图 11 - 4ab∫∫∫∫§1 反常积分概念267分部积分法一般都可引用到无穷积分中来 .对于本例来说 , 就有∫+ ∞d x+ ∞d t2x ( ln x )p=∫ln 2tp.从例 3 知道 , 该无穷积分当 p > 1 时收敛 , 当 p ≤1 时发散 .2) 任取实数 a, 讨论如下两个无穷积分 :∫d x + ∞d x - ∞1 + x2和∫a由于a1 + x2.lim∫d x =lim( arctan a - arctan u )u → - ∞ u1 +x 2vu → - ∞= arctan a + π,2lim ∫d x= lim( arctan v - arctan a)v → + ∞ a 1 + x 2v → + ∞π 2- arctan a ,因此这两个无穷积分都收敛 .由定义 1 ,∫+ ∞ dxad x+ ∞d x- ∞1 + x2=∫- ∞1 + x 2+∫a1 + x2= π .注 由于上述结果与 a 无关 , 因此若取 a = 0 , 则可使计算过程更简洁些 .定义 2 设函数 f 定义在区间 ( a , b] 上 , 在点 a 的 任一右 邻域内无 界 , 但 在 任何内闭区间 [ u , b] ì ( a , b] 上有界且可积 .如果存在极限lim∫f ( x ) d x = J ,( 5)u → a+u则称此极限为无界函数 f 在 ( a , b] 上的反常积分 , 记作bJ = f ( x ) d x ,( 5′)ab并称 反 常 积 分 f ( x) d x 收 敛 . 如 果 极 限 ( 5) 不 存 在 , 这 时 也 说 反 常 积 分abf ( x ) d x 发散 . a在定义 2 中 , 被积函数 f 在点 a 近旁是无界的 , 这时点 a 称为 f 的瑕点 , 而无 b界函数反常积分 f ( x ) d x 又称为瑕积分 .a类似地 , 可定义瑕点为 b 时的瑕积分 :bu=∫f ( x) d x = lim∫f ( x )d x .a u →b - a其中 f 在[ a , b) 有定义, 在点 b 的任一左邻域内无界, 但在任何[ a , u] ì[ a , b)1 ∫1 1 x 268 第十一章 反 常 积 分上可积 .若 f 的瑕点 c ∈ ( a , b) , 则定义瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x )d x aacub= lim ∫ f ( x ) d x + lim ∫f ( x ) d x .( 6)u → c - a v → c +v其中 f 在 [ a , c) ∪ ( c, b] 上有定义 , 在点 c 的 任一领 域内 无界 , 但 在任何 [ a , u] ì [ a , c) 和 [ v , b] ì ( c, b] 上都可积 .当且仅当 ( 6 ) 式右 边两个 瑕积分都 收敛时 , 左边的瑕积分才是收敛的 . 又若 a 、b 两点都是 f 的瑕点 , 而 f 在任何 [ u , v ] ì ( a, b) 上可积 , 这时定义 瑕积分b c b∫f ( x ) d x =∫f ( x ) d x +∫f ( x ) d xaaccv= lim ∫f ( x) d x + lim ∫ f ( x) d x , ( 7)u → a+uv → b- c其中 c 为 ( a , b) 内任一实数 .同样地 , 当且仅当 ( 7) 式右边两个 瑕积分都收敛时 ,左边的瑕积分才是收敛的 .例 5 计算瑕积分∫d x的值 .1 - x2 解 被积函数 f ( x) = 1在 [ 0 , 1 ) 上 连续 , 从 而在 任何 [ 0 , u]ì [ 0 , 1)1 - x 2上可积 , x = 1 为其瑕点 .依定义 2 求得1u∫d x=lim ∫d x 01 - x 2- u → 11 - x2例 6 讨论瑕积分=limu → 1 -1arcsin u = π.2∫d x的收敛性 .xq( q > 0 ) ( 8)解 被积函数在 (0 , 1 ] 上连续 , x = 0 为其瑕点 .由于1d x u x q = 1 1 - q ( 1 - u1 -q) , q ≠ 1 ,( 0 < u < 1) ,- ln u , q = 1故当 0 < q < 1 时 , 瑕积分 (8 ) 收敛 , 且∫ d x ∫d x 1q = lim 0 u → 0 +u x q = 1 - q ;0∫∫∫ ∫ ∫ ∫ ∫ a ∫§1 反常积分概念269而当 q ≥1 时 , 瑕积分 ( 8) 发散于 + ∞ .上述结论在图 11 - 4 中同样能获得直观的反映 . 如果把例 3 与例 6 联系起来 , 考察反常积分+ ∞我们定义d xx p ( p > 0 ) .( 9)∫+ ∞ d x 1d x + ∞ d x 0 x p =∫0 xp +∫1x p ,它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分 都收 敛时 才收敛 .但 由例 3 与 例 6 的结 果 可知 , 这 两 个 反 常 积 分 不 能 同 时 收 敛 , 故 反 常 积 分 ( 9 ) 对 任 何 实 数 p 都 是 发散的 .习 题1 . 讨论下列无穷积分是否收敛 若收敛 , 则求其值 :( 1∫) + ∞ x e - x2+ ∞d x ; (2) - ∞2 x e - x d x ;( 3∫)+ ∞1 +∞d x ; (4)d x 2ex+ ∞1x ( 1 + x)+ ∞( 5∫)d x;(6)∫e- xsin x d x;- ∞ 4 x 2+ 4 x + 5+ ∞+ ∞( 7∫)e xsin x d x ;(8)- ∞d x .1 + x22 . 讨论下列瑕积分是否收敛 若收敛 , 则求其值 :( 1∫)bd x 1d x ;(2);a( x - a) p20 1 - x21( 3∫)d x; (4)∫xd x ;0 | x - 1 |1 - x 2( 5∫)1 1ln x d x ; (6)0 0 xd x;1 - x( 7∫) 1d x1d x; (8)p.x -x 2x( ln x)b3 . 举例说明 : 瑕积分∫f ( x ) d x收敛时∫,bf 2 ( x) d x 不一定收敛 .a4 . 举例说明∫:+ ∞f ( x) d x 收敛且 f 在 [ a , + ∞ ) 上连续时 , 不一定有 limax → +∞f ( x) = 0 .+ ∞ 5 . 证明: 若af ( x )d x 收敛 , 且存在极限 limx → +∞;f ( x) = A , 则A = 0 .∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ∫∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫∫270 第十一章 反 常 积 分+ ∞6 . 证明: 若 f 在[ a, + ∞) 上可导 , 且a+ ∞ f ( x)d x 与 af ′( x )d x 都收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) =0 .§2 无穷积分的性质与收敛判别一 无穷积分的性质+ ∞由定 义 知 道 , 无 穷 积 分auf ( x) d x 收 敛 与 否 , 取 决 于 函 数F( u ) =f ( x ) d x 在 u → + ∞ 时是否存在极限 .因此可由函数极限的柯西准则导出无穷a积分收敛的柯西准则 .+ ∞定理 11 .1 无穷积分a≥ a, 只要 u 1 、u 2 > G ,便有f ( x ) d x 收敛的充要条件是 : 任给 ε > 0 , 存在 Guuu∫2f ( x ) d x -∫1f ( x )d x=∫f ( x )d x< ε .aau此外 , 还可根据函数极限的性质与定积分的性质 , 导出无穷积分的一些相应 性质 .+ ∞性质 1 若a + ∞+ ∞f1( x) d x 与 af 2 ( x ) d x 都收 敛 , k 1 、k 2 为 任 意 常 数 , 则[ k 1 f 1 ( x) + k 2 f 2 ( x) ] d x 也收敛 , 且a+ ∞+ ∞+ ∞[ k 1 f 1( x ) + k 2 f 2 ( x ) ] d x = k 1 aa f 1 ( x ) d x + k 2a f 2 ( x) d x .( 1) + ∞性 质 2 若 f 在 任 何 有 限 区 间 [ a , u] 上 可 积 , a < b, 则af ( x ) dx 与+ ∞f ( x) d x 同敛态( 即同时收敛或同时发散 ) , 且有 b+ ∞ b + ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x )d x +∫ f ( x )d x , ( 2)aab其中右边第一项是定积分 .+ ∞性质 2 相当于定积分的积分区间可加性 , 由它又可导出af ( x ) d x 收敛的另一充要条件 : 任给 ε > 0 , 存在 G ≥ a , 当 u > G 时 , 总有+ ∞f ( x ) d x< ε .u21∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫∫ ∫ 2= §2 无穷积分的性质与收敛判别271事实上 , 这可由+ ∞u + ∞∫ f ( x ) d x =∫ f ( x ) d x +∫ f ( x ) d xaau结合无穷积分的收敛定义而得 .+ ∞性质 3 若 f 在任何有限区间 [ a , u ] 上可积 ,且有a+ ∞f ( x) d x 亦必收敛 , 并有a| f ( x ) | d x 收敛 , 则+ ∞ +∞f ( x) d x ≤a a+ ∞f ( x )dx . ( 3)证 由af ( x) d x 收敛 , 根据柯西准则 ( 必要性 ) , 任给 ε > 0 , 存在 G ≥a , 当 u 2 > u 1 > G 时 , 总有uuf ( x ) d x2uf ( x ) d x < ε.1u 1利用定积分的绝对值不等式 , 又有uu2f ( x ) d x≤2uu11+ ∞ f ( x ) d x < ε.再由柯西准则 ( 充分性 ) , 证得af ( x ) d x 收敛 .u u又因∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x )d x ( u > a) , 令 u → + ∞取极限 , 立刻得到不aa等式 (3 ) .+ ∞+ ∞当 f ( x ) d x 收敛时 , 称aaf ( x )d x 为绝对收敛 .性质 3 指出: 绝对收敛的无穷积分 , 它自身也一定收敛 .但是它 的逆命 题一 般不成 立 , 今 后将举 例说 明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛 .我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛 . 二 比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法 .u+ ∞由于 | f ( x ) | d x 关于上限 u 是单调递增的 , 因此aa| f ( x ) | d x收敛的u充要条件是a| f ( x) | d x 存在上界 .根据这一分析 , 便立 即导出下 述比较判 别法 ( 请读者自己写出证明 ) :定理11 .2 ( 比较法则) 设定义在[ a , + ∞) 上的两个函数 f 和g 都在任何∫ ∫ ∫ ∫0 ∫∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫272 第十一章 反 常 积 分有限区间 [ a , u] 上可积 , 且满足f ( x) ≤g ( x ) , x ∈ [ a, + ∞ ) ,+ ∞ + ∞则当 g( x ) d x 收敛时a a+ ∞+ ∞| f ( x) | d x 必收敛 ( 或者 , 当 a| f ( x) | d x 发散时 ,ag ( x ) d x 必发散 ) .+ ∞例 1 讨论 0 sin xd x 的收敛性 . 1 + x 2+ ∞解 由于sin x 1d x π1 + x 2≤ 1 + x 2 , x ∈ [0 , + ∞ ) , 以及∫1 + x2 =为收敛2(§1 例 4 ) , 根据比较法则∫,sin x d x 为绝对收敛 .0 1 + x 2上述比较法则的极限形式如下 :推论 1 若 f 和 g 都在任何 [ a , u] 上可积 , g( x ) > 0 , 且 lim x → + ∞| f( x) | g( x )= c,则有 : ( i ) 当 0 < c < + ∞ 时∫,+ ∞+ ∞ + ∞| f ( x ) | d x 与 aa+ ∞g( x ) d x 同敛态 ;( ii) 当 c = 0 时 , 由 ag( x ) d x 收敛可推知 a+ ∞f ( x) d x 也收敛; + ∞(i i) ) 当 c = + ∞ 时 , 由a+ ∞g( x ) d x 发散可推知 a+ ∞f ( x )d x 也发散 .当选用∫d x作为比较对象g( x ) d x 时 , 比较 判别 法及 其 极限 形式 成1x pa 为如下两个推论 ( 称为柯西判别法 ) .推论 2 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) ( a > 0 ) , 且在 任何 有限区 间 [ a , u] 上 可积 , 则有 :( i) 当 f ( x) ≤ 1, x ∈ [ a , + ∞ ) , 且 p > 1 时 + ∞ f ( x) d x 收敛 ;x pa+ ∞( ii) 当 f ( x) ≥ 1 , x ∈ [ a , + ∞ ) , 且p ≤ 1 时f ( x)d x 发散 .xpa推论 3 设 f 定义于 [ a , + ∞ ) , 在任何有限区间 [ a , u] 上可积 , 且则有 : lim x → +∞x p f ( x ) = λ .+ ∞( i) 当 p > 1 , 0 ≤λ< + ∞时 ,f ( x ) d x 收敛 ;a+ ∞( ii) 当p ≤1 , 0 < λ≤+∞时,a f ( x) d x 发散.∫+ ∞∫∫∫∫u∫ ∫∫2§2 无穷积分的性质与收敛判别273例 2 讨论下列无穷限积分的收敛性 :1∫)+ ∞x αe- xd x;2 )1+ ∞x 2d x .x 5+ 1解 本例中两个被积函数都是非负的 , 故收敛与绝对收敛是同一回事 . 1) 由于对任何实数 α都有limx → + ∞x 2 · x αe- x=lim x → + ∞x α+ 2e x= 0 ,因此根据上述推论 3( p = 2 , λ= 0) , 推知 1 ) 对任何实数 α都是收敛的 .2) 由于12lim x → + ∞x 2 · x x 5+1= 1 ,因此根据上述推论 3( p = 1, λ= 1 ) , 推知 2) 是发散的 .2b对于f ( x ) d x 的比较判别亦可类似地进行 .- ∞三 狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法 .u定理 11 .3 ( 狄利克雷判别法 ) 若 F( u ) = f ( x ) d x 在 [ a , + ∞ ) 上有界 ,a+ ∞g( x) 在 [ a , + ∞ ) 上当 x → + ∞ 时单调趋于 0 , 则 af ( x ) g( x ) d x 收敛 .limx → +∞u证 由 条 件 设f ( x) d x ≤ M , u ∈ [ a , + ∞ ) . 任 给 ε > 0 , 由 于ag ( x ) = 0 , 因此存在 G ≥ a , 当 x >G 时 , 有g( x ) <ε.4 M 又因 g 为单调函数 , 利用积分第二中值 定理 ( 定理 9 .10 的推论 ) , 对 于任 何u 2 > u 1 > G , 存在 ξ∈ [ u 1 , u 2 ] , 使得∫f ( x ) g( x ) d x =g ( u 1∫)ξf ( x ) d x +g( u 2∫)u2f ( x) d x .uuξ11于是有u ξuf ( x ) g( x ) d x ≤ g( u 1)·uuf ( x ) d x + g( u 2) ·∫f ( x ) d x11ξ221ξ u= g( u 1 ) ·∫f ( x ) d x ∫-f ( x ) d xaau∫∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ 274第十一章 反 常 积分2+ g( u 2 ) ·ξf ( x ) d x -∫f ( x ) d xε4 M ·2 M + + ∞a aε4 M·2 M = ε .根据柯西准则 , 证得af ( x ) g( x ) d x 收敛 .+ ∞定理 11 .4 ( 阿贝尔 ( Abel) 判别法 )若 af ( x) d x 收敛 , g( x ) 在 [ a , + ∞ )+ ∞上单调有界 , 则af ( x )g ( x ) d x 收敛 .这定理同样可用积分第二中值定理 来证 明 , 但又 可利用 狄利 克雷判 别法 更 方便地获得证明 ( 留作习题 ) .+ ∞ 例 3 讨论∫ sin x dx 与 + ∞cos x1xp1xpd x ( p > 0 ) 的收敛性 .解 这里只讨论前一个无穷积分 , 后者有 完全 相同的 结论 .下面分 两种 情 形来讨论 :+ ∞( i) 当 p > 1 时 1sin x d x 绝对收敛 .这是因为 xp+ ∞dx 而1x p , x ∈ [1 , + ∞ ) , + ∞1xp 当 p > 1 时收敛, 故由比较法则推知∫1+ ∞x 收敛 .( ii) 当 0 < p ≤ 1时1usin xd x 条 件 收 敛 .这 是 因为 对 任 意 u ≥ 1 , 有 x p∫sin x d x =cos 1 - cos u≤ 2 , 而 1当 p > 0 时单调趋于 0 ( x → + ∞ ) , 故1xp+ ∞由狄利克雷判别法推知1sin x d x 当 p > 0 时总是收敛的 . xp另一方面 , 由于≥+ ∞sin2x x = + ∞1 2 x -cos 2 x2 x, x ∈ [ 1 , + ∞ ) ,cos 2 x 1 其中 1 2 x d x = 2 2 cos ttd t 满 足 狄 利 克 雷 判 别 条 件 , 是 收 敛 的 ,而+ ∞d x12 x 是发散的 , 因此当 0 < p ≤ 1 时该无穷积分不是绝对收敛的 .所以它是条件收敛的 .<例4 证明下列无穷积分都是条件收敛的:∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ∫∫∫∫+ ∞ 3§2 无穷积分的性质与收敛判别275+ ∞sin x 2d x ,1+ ∞cos x 2dx ,1+ ∞x sin x 4d x .1证 前两个无穷积分经换元 t = x2得到+ ∞ +∞sin x 2d x =11+ ∞ +∞cos x 2d x =11sin t d t , 2 tcos t d t .2 t由例 3 已知它们是条件收敛的 .对于第三个无穷积分 , 经换元 t = x 2而得∫x sin x 4 d x = 1+ ∞sin t 2 d t ,1它也是条件收敛的 .2∫1从例 4 中三个无穷积分的收敛性可 以看到 , 当 x → + ∞ 时被 积函数 即使 不 趋于零 , 甚至是无界的 , 无穷积分仍有可能收敛 .习 题1 . 证明定理 11 .2 及其推论 1 .2 . 设 f 与 g 是定义在 [ a , + ∞ )上的函数 , 对任何 u > a , 它 们在 [ a , u] 上都可积 .证明 :+ ∞若a收敛 .+ ∞f 2( x) d x 与 a+ ∞g 2( x) d x 收 敛 , 则 a+ ∞f ( x) g( x) d x 与 a[ f ( x) + g( x ) ]2 dx 也 都3 . 设 f 、g 、h 是定义 在 [ a , + ∞ ) 上 的 三 个 连 续 函数 , 且 成 立 不等 式 h ( x )≤ f ( x ) ≤g( x) .证明 :+ ∞ (1) 若a+ ∞ h( x )d x 与 a+ ∞g( x) d x 都收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 ;+ ∞(2) 又若 a+ ∞ h( x )d x = a+ ∞g( x) d x = A , 则af ( x) d x = A .4 . 讨论下列无穷积分的收敛性 :+ ∞+ ∞( 1∫) d x;(2)xd x ;x4+1+ ∞11 - ex+ ∞( 3∫)( 5∫) d x;(4)1 + x ln ( 1 + x)d x ; (6)xarctan x11 + x 3d x;+ ∞ xmd x( n 、m ≥ 0 ) .1xn1 + xn5 . 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 :+ ∞( 1∫)sin xd x ; (2 ) 1 x+ ∞sgn( sin x)d x ; 0 1 + x2+ ∞∫ ∫∫∫∫ ∫a ∫bbua∫∫276第十一章 反 常 积 分( 3∫)x cos x d x;(4) 0100 + xln( ln x) sin x d x .eln x6 . 举 例 说 明∫:+ ∞+ ∞+∞f ( x) d x 收 敛 时aaf 2( x ) d x 不 一 定收敛∫;+ ∞f ( x )d x 绝 对 收 敛时 ,af 2 ( x) d x 也不一定收敛 .a+ ∞+ ∞7 . 证明: 若 af ( x )d x 绝对收敛, 且 lim x →+ ∞f ( x) = 0 , 则a+ ∞f 2 ( x) d x 必定收敛 .8 . 证明: 若 f 是 [ a , + ∞) 上的单调函数 , 且 af ( x)d x 收敛 , 则 lim x → +∞f ( x) = 0 , 且 f ( x)= o 1x, x →+ ∞ .+ ∞9 . 证明: 若 f 在 [ a , + ∞ ) 上一致连续 , 且a10 . 利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法 .f ( x) d x 收敛, 则 lim x → +∞f ( x) = 0 .§3 瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后 的三个性 质 , 瑕积分 同样可由 函b b数极限 lim∫f ( x) d x =∫f ( x ) d x 的原意写出相应的命题 . u →+ uab定 理 11 .5 瑕积分f ( x ) d x( 瑕点为 a) 收敛的充要条件是 : 任给ε> 0 , 存a在 δ > 0 , 只要 u 1 、u 2 ∈ ( a , a + δ) , 总有∫f ( x ) d x -∫f ( x) d x2=f ( x )d x< ε .uuu121性质 1 设 函数 f 1 与 f 2 的 瑕 点 同为 x = a , k 1 、k 2 为 常 数 ,则 当瑕 积 分b b b∫ f 1( x ) d x 与∫f 2( x ) d x 都 收敛 时 , 瑕积 分∫[ k1 f 1( x ) + k 2f 2 ( x ) ] d x 必 定 收aaa敛 , 并有bbb∫[ k1 f 1( x ) + k 2 f 2( x ) ] d x =k∫1f 1 ( x ) d x + k 2af 2 ( x ) d x .( 1)a性质 2 设 函 数 f 的 瑕 点 为 x = a, c ∈ ( a , b ) 为 任 一 常数 . 则 瑕 积 分bc+ ∞+ ∞∫f ( x ) d x 与∫f ( x ) d x 同敛态, 并有a ab c b∫f ( x ) d x =∫f ( x) d x +∫f ( x ) d x , ( 2)a a cb∫其中 f ( x ) d x 为定积分.c∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫b ∫( x - a)∫∫§3 瑕积分的性质与收敛判别277性质 3 设函数 f 的瑕点为 x = a , f 在 ( a , b] 的任一内闭区间 [ u , b] 上可b积 .则当 a f ( x ) d x 收敛时∫,bbf ( x) d x 也必定收敛 , 并有ab ∫f ( x ) d x ≤∫ f ( x)dx . ( 3)aabb同样地 , 当af ( x )d x 收敛时 , 称 f ( x) d x 为绝对收敛 .又称收敛而不绝a对收敛的瑕积分是条件收敛的 .判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下 :定理 11 .6 ( 比较法则 ) 设定义在 ( a , b] 上的两个函数 f 与 g ,瑕点 同为 x= a, 在任何 [ u , b] ì ( a , b] 上都可积 , 且满足f ( x ) ≤ g( x) , x ∈ ( a , b] .b则当 g( x ) d x 收 敛时 ,abbf ( x )d x 必定 收 敛 ( 或者 , 当 aaf ( x) d x 发散时 ,bg ( x ) d x 亦必发散 ) . a推论 1 又若 g( x) > 0 , 且 limx → a +bf ( x ) g( x)= c, 则有 :b( i) 当 0 < c < + ∞ 时 ,abf ( x )d x 与 g( x ) d x同敛态 ;ab( ii ) 当 c = 0 时 , 由∫g( x ) d x 收敛可推知∫ f ( x ) d x 也收敛 ;aabb( iii ) 当 c = + ∞ 时 , 由∫g( x ) d x 发散可推知∫f ( x ) d x 也发散 .aa当选用∫d xb作为比较对象 g( x) d x 时 , 比较法则及其 推论 1 成 为a如下的推论 :( x -a)pa推论 2 设 f 定义于 ( a , b] , a 为其瑕点 , 且在任何 [ u , b] ì ( a ,b] 上可积 , 则有 :( i) 当 f ( x) ≤1, 且 0 < p < 1 时 ,abf ( x) d x 收敛 ;b( x -a) ∫( ii) 当 f ( x) ≥1, 且p ≥ 1时,af ( x) d x 发散.推论3 设f 定义于( a , b] , a 为其瑕点, 且在任何[ u , b] ì( a , b] 上可积.如果则有:limx →a +( x - a) p f ( x ) = λ,∫ ∫ ∫x278 第十一章 反 常 积 分b( i ) 当 0 < p < 1 , 0≤λ< + ∞时af ( x)d x 收敛 ;b( ii) 当 p ≥ 1 , 0 < λ≤ + ∞ 时a例 1 判别下列瑕积分的收敛性 :f ( x)d x 发散 .1∫) ln x d x ; 2∫)0 x2x 1 ln x d x .解 本例两个瑕 积 分 的被 积 函数 在 各自 的 积分 区 间 上分 别 保持 同 号———ln x 在 ( 0 , 1] 上恒为负 ,x在 ( 1 , 2 ] 上 恒为 正———所以 它们 的瑕 积分收 敛与 绝x对收敛是同一回事 .ln x 1) 此瑕积分的瑕点为 x = 0 .由上述推论 3 , 当取 p = 34< 1 时 , 有λ= lim x → 0 +3x 4·1lnx x= - limx → 0+ln x 1x-4所以瑕积分 1) 收敛 .=limx → 0 +( 4 x 4 ) = 0 ,2) 此瑕积分的瑕点为 x = 1 .当取 p = 1 时 , 由λ = lim+x → 1( x - 1 ) ·xln x= lim + x → 1 x - 1 lnx= 1 ,推知该瑕积分发散 . 最后举一个既是无穷积分又是瑕积分的例子 . 例 2 讨论反常积分的收敛性 .+ ∞Φ(α) =x α- 11 + xd x 解 把反常积分 Φ( α) 写成1α- 1+ ∞α- 1Φ(α) =∫xd x+∫xd x1 + x 11 + x= I(α) + J(α) .( i) 先讨论 I(α) .当 α- 1≥ 0 , 即 α≥1 时它 是定积 分 ; 当 α< 1 时它是瑕 积 分 , 瑕点为 x = 0 .由于lim x → 0 +α- 1 x1 - α·1 + x= 1 ,根据定理 11 .6 推论 3 , 当 0 < p = 1 - α< 1 , 即 α> 0 且 λ= 1 时 , 瑕 积分 I (α) 收1α∫∫ §3 瑕积分的性质与收敛判别279敛 ; 当 p = 1 - α≥1 , 即 α≤0 且 λ= 1 时 , I (α) 发散 .( ii) 再讨论 J(α) , 它是无穷积分 .由于α- 1lim x → + ∞ x 2 - α· x 1 +x= lim x → + ∞ x 1 + x= 1 ,根据定理 11 .2 推论 3 , 当 p = 2 - α> 1 , 即 α< 1 且 λ= 1 时 , J(α) 收敛 ; 而当 p = 2 - α≤1 , 即 α≥1 且 λ= 1 时 , J(α) 发散 .由此可见 反常积分 Φα只有当 0 < α< 1 时才是收敛的习 题1 . 写出性质 3 的证明 .2 . 写出定理 11 .6 及其推论 1 的证明 .3 . 讨论下列瑕积分的收敛性 :( 1∫) ( 3∫)d x; (2 ) 0 ( x - 1 )2d x ;(4 ∫)0 x ln x sin x d x ; 0 x 362/ln x d x ; 0 1 - x( 5∫)( 7∫) 1arctan x1 - x 3 d x ;(6 ) 1 sin 1d x;(8)π62/ 0+ ∞1 - cos xxm d x; e - x ln x d x .x x4 . 计算下列瑕积分的值 (其中 n 为正整数 ) :( 1∫)1( ln x ) nd x ;(2 )π62/1 x nd x . 0 1 - xπ62/5 . 证明瑕积分 J =∫ ln( s in x )d x 收敛 , 且 J = -πln2 .( 提示 : 利用∫ln (sin x) dx =π62/ 02ln( cos x )d x , 并将它们相加 .)6 . 利用上题结果 , 证明 :π2( 1∫) θln( sin θ)dθ = - πln 2;0 2( 2∫)θsin θdθ = 2πln 2 . 0 1 - cos θ21 π 1 1π1 ∫2 ∫∫∫ λ∫∫∫∫ ∫ ∫ ∫280 第十一章 反 常 积 分总 练 习 题1 . 证明下列等式 :1p - 1 + ∞- p ( 1∫) xd x =∫ xd x , p > 0;0 x + 11x + 1+ ∞p - 1 + ∞- p ( 2∫)xd x =∫ xd x , 0 < p < 1 .0x + 1x + 12 . 证明下列不等式 :( 1)π<∫d x <π ;2 2 ( 2) 121 - 1 e 1 - x 4+ ∞ <2e - x d x < 1 + 1 . 2e3 . 计算下列反常积分的值 :+ ∞+ ∞( 1)e - axcos bx d x( a > 0 ) ; (2)e - a xsin bx d x( a > 0 ) ;( 3∫)+ ∞ln x π62/ d x ;(4)ln( tan θ) dθ .01 + x 2+ ∞4 . 讨论反常积分sinbxd x ( b ≠ 0 ) , λ取何值时绝对收敛或条件收敛 . x5 . 证明: 设 f 在 [0 , + ∞ ) 上连续 , 0 < a < b . (1) 若 lim x → +∞f ( x) = k , 则+ ∞f ( ax) - f ( bx) 0x+ ∞d x = ( f (0) - k) ln b ;a(2) 若af( x)d x 收敛 , 则x6 . 证明下述命题 :+ ∞f ( ax) - f( bx)xd x = f (0) lnb.a+ ∞(1) 设 f 为[ a , + ∞) 上的非负连续函数 .若a+ ∞x f ( x )d x 收敛 , 则 af ( x) d x 也收敛 .(2) 设 f 为 [ a , + ∞ ) 上的连续可微函数 , 且当 x → + ∞ 时 , f ( x) 递减地 趋于 0 , 则+ ∞ + ∞f ( x ) d x 收敛的充要条件为 aax f ′( x ) d x 收敛 .●。