演示版中级微观经济学-范里安版本.ppt

1）净产出：y j
y
o j
y
i j
生产计划：各种物品的净产出写成一个向量
生产可能性集：所有技术上可行的生产计划
的集合
受限制的或短期生产可能性集：由 来表
示；这由所有与约束水平 相一致的可行的净产
出束组成
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• 短期生产可能性集 生产计划 y, l, k 资本在短期内固定 k=k 则短期可能性集写为
x2 (x1) f / x1 a x2
x1
f / x2 1 a x1
技术替代率测量等产量线的斜率
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• 替代弹性：测量等产量线的曲率。替代弹性度量 当产出保持不变时，要素比率的百分比变动除以 技术替代率的百分比变动。
x2 / x1
x2 / x1 TRS
TRS
• 取极限形式后，写成
• V (y) x : f(x) y 是凸集正是构建这样一个上等值集。
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• 正则技术： 对所有y≥0而言，V（y）是一
个非空的闭集 V（y）是非空的假定要求，总存在某种可 想到的方法来生产出任意给定水平的产出。 • 技术替代率（TRS）
思想：假定正在某一个点上进行生产， 如果要增加一种要素而减少另一种要素的 用量，并且保持产出不变。如何决定两种 要素间的替代率？
x1
a
ln x2 ln 1 a ln | TRS |
x1
a
dln x2 / x1
dln | TRS |
1
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• 规模报酬 前面“复制”生产过程的例子实际上是“按
比例增加”投入，那么规模报酬不变意味着：
下列任何一个条件被满足，即称为规模报酬
不变
1．对所有非负t；y在Y 中意味着ty 在Y 中 2．x在V（y）中意味着tx在V（y）中，对所 有t≥0 ？ 3． f (tx) tf(x) ，对于所有t≥0。即生产函 数f(x)是一次齐次的。
TRS x2 / x1
d x2 / x1
dTRS
经济含义：可以通过厂商追求成本最小化的一阶
条件来重新审视替代弹性的含义。
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• 使用对数微商，可以重新写为
dln x2 / x1
dln | TRS |
例：柯布道格拉斯生产函数的替代弹性
TRS a x2 1 a x1
x2 1 a TRS
中。那就是，V（y）是一个凸集。
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• 性质1 凸生产集意味着凸投入要求集。如果生产
集Y 是一个凸集，那么相联的投入要求集也是一
个凸集。 证明留作练习。
• 性质2 凸投入要求集等价于拟凹生产函数。 V（y）是凸集，当且仅当生产函数f（x）是一个 拟凹函数。 证明要点：拟凹函数等价定义：上等值集是凸集。
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• 隐函数法推导
f (x1, x2 (x1)) y
f (x*) f (x*) x2 (x1*) 0
x1
x2 x1
x2 (x1*) f (x*) / x1
x1
f (x*) / x2
全微分法得出同样的结果
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• 练习：柯布-道格拉斯技术的技术替代率 (TRS)使用隐函数法，求得
范里安：《微观经济学》
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本章内容
一、生产技术的数学刻画 二、单调性 三、凸技术 四、技术替代率与替代弹性 五、规模报酬 六、齐次与位似生产函数 七、CES生产函数
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一、生产技术的数学刻画
1、几个相关概念
投入和产出的度量，注意投入和产出都是流
量的概念。
与生产技术相关的几个概念
Y (k) (y, l, k)在Y中：k=k
产出只有一种时，定义生产函数
f（x）=y在R中：y是在Y中与-x相关联的最大产出
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• 例子：净产出束为（y，-x），其中x是可 以生产y 单位产出的一个投入向量。
相关概念：
投入要求集：至少可以生产y 单位产出的
所有投入束的集合
V（y）= x在Rn+中：（y，-x）在Y中
等产量线：等产量线给出所有刚好生产y
单位产出的投入束。
Q（y）= x在Rn+中：x在V(y)中并且x不在V（y，）中，y，>y
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• 技术有效：
Y 中的生产计划y 是（技术上）有效的：要
求没有用同样的投入生产出更多的产出或用更少 的投入生产出相同产出的方法，生产计划就是有 效的。
表述方式： 变换函数：描述技术上有效的生产计划的集 合 T : Rn R
T ( y, x1, x2 ) y min(ax1,bx2 ) f (x1, x2 ) min(ax1,bx2 )
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• 生产技术的组合 技术A：一个单位的要素1和两个单位
的要素2，可以生产一个单位的产出。 技术B：两个单位的要素1和一个单位
的要素2，可以生产一个单位的产出。 写成投入集的形式
T ( y, x1,
x2 )
y
x1a
x1a 2
f
( x1 ,
x2
)
x1a
x1a 2
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例子：里昂惕夫技术的特点
Y {( y, x1, x2 )在R3中: y min(ax1,bx2 )} V ( y) {(x1, x2 )在R2中: y min(ax1, bx2 )} Q( y) {(x1, x2 )在R2中: y min(ax1, bx2 )}
当且仅当y 有效时，T (y) 0
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例子：柯布-道格拉斯技术的特点
Y={(y,-x1,-x2 )在R3中:y≤x1ax12-a } V(y)={(x1,x2 )在R2+中:y≤x1ax12-a } Q(y)={(x1,x2 )在R2+中:y=x1ax12-a } Y(z)={(y,-x1,-x2 )在R3中:y≤x1ax12-a,x2 =z}
调性：
单调性：如果x 在 V（y）中，并且 x' x
则 x' 也在 V（y）中。 思 施行。
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• 凸技术 思想：我们想要生产“大”量的产出，
并且可以复制“小”的生产过程
定义：凸性
如果x 和 x' 都在V（y）中，那么，对 所有0≤t≤1的t 而言，tx (1 t)x' 在V（y）
V (1) 1, 2,2,1
若要生产两单位产出，应使用多少投 入要素？
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• 生产方法： 重复两次技术Ａ，或重复两次技术Ｂ，
或使用ＡＢ各生产一次。
则投入要求集为 V (2) 2, 4,3,3,4, 2
如果更大的产出ｙ，要素组合的选择性更多
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如果允许自由处置，则称生产技术具有单