高等数学 全微分

可知当 及
dz 较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于误差分析或近似计算)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算)
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
高等数学（下）
Ax o ( x )
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
注意 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u称为偏微分. 故有下述叠加原理
du dx udy udz u
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
例1 计算函数 解 z yx y1 ,
x z 1, x (1,1)
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2

x y (x)2 (
第三节 全微分

例3 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体
体积的近似改变量.
r
解 已知
则
h
V 2 π rh r π r 2h
r 20, h 100,
r 0.05, h 1
V 2 π 20100 0.05 π 202 (1) 200π (cm3)
在点 (1,1) 处的全微分. z x yln x y
z 0 y (1,1)
例2 计算函数
的全微分.
解 du
(
1 2
cos
y 2
ze yz
)d
y
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第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
二、全微分在近似计算中的应用
1 近似计算 由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
y 0
0
注意到
x y

, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点 可微.
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第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y)可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
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第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
当函数可微时 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
f x (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ f x (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
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第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证 z f (x x, y y) f (x, y)
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: d(1z)函d数f 可 A微x By 偏导数存在
高等数学（下）

lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y

lim
x0
y 0
0,
lim
x0
(2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
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第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证 因函数在点(x, y) 可微, 故
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节
全微分
第三节 全微分
第八章
一元函数 y = f (x) 的微分 y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
*二、全微分在近似计算中的应用
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
一、全微分的定义