高等数学 全微分
高等数学-函数全微分
d z e2 d x 2e2 d y
(2,1)
9
例3. 设
解: f (x,0,0) x 3 cos x
注意: x , y , z 具有 轮换对称性
f
x
(0,0,0)
3
x cos
x
x
0
1 4
利用轮换对称性 , 可得
f y (0,0,0)
f z (0,0,0)
1 4
d f (0,0,0) f y (0,0,0) d x f y (0,0,0) d y f z (0,0,0) d z
z x
z u z v u x v x
f11
f21
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2
x yx y
3、 中间变量只有一个的情形
例如: z f u u x, y
z dz u x du x
z dz u y du y
z u xy
注: 由于 z f u 是一元函数,则它对u 的导数应该
fv
f2
2z u 2
fuu (u, v)
fuu
f11
2z v2
fvv (u, v)
fvv
f22
2z uv 2z vu
fuv (u, v) fvu (u, v)
f
fuv f12 vu f21
称为混合偏导数
当 f12 和 f21 均连续时有 f12 f21
在计算时注意合并同类项!
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
求
解
2z x y
2z yx
2y x2
f2
2y( x
y2 x2
f22 )
全微分公式的证明
全微分公式的证明摘要：1.引言2.全微分公式的定义3.证明全微分公式的方法4.举例说明全微分公式的应用5.结论正文：1.引言在微积分学中，全微分公式是一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算函数的微分。
全微分公式的含义是：如果函数f(x) 可以表示为两个函数的乘积，那么它的全微分就是这两个函数的微分之和。
本文将介绍如何证明全微分公式，并通过举例来说明它的应用。
2.全微分公式的定义我们先来回顾一下微分公式：如果函数f(x) 在点a 可导，那么f(x) 在点a 的微分等于f"(a)。
也就是说，如果函数在某一点的变化率等于该点的导数，那么我们可以通过求导来计算函数的微分。
全微分公式是微分公式的推广。
假设我们有两个函数u(x) 和v(x)，它们的乘积为f(x)=u(x)v(x)，那么全微分公式的含义是：f(x) 的全微分等于u"(x)v(x)+u(x)v"(x)。
3.证明全微分公式的方法为了证明全微分公式，我们可以使用积分的方法。
具体来说，我们可以将函数f(x) 分成无数个小的矩形，每个矩形的宽度为Δx。
然后，我们将每个矩形的高度乘以矩形的宽度，然后将所有矩形的面积加起来。
这样，我们就可以得到函数f(x) 在区间[a, b] 上的积分。
通过这种方法，我们可以发现：f(x) 的全微分等于u"(x)v(x)+u(x)v"(x)。
这个证明过程涉及到一些高等数学的知识，这里不再详细展开。
4.举例说明全微分公式的应用假设我们有两个函数u(x)=x^2 和v(x)=e^x，它们的乘积为f(x)=u(x)v(x)=x^2e^x。
我们可以通过全微分公式来计算f(x) 的微分。
根据全微分公式，f(x) 的微分等于u"(x)v(x)+u(x)v"(x)=2x*e^x+x^2*e^x。
5.结论全微分公式是微积分学中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算函数的微分。
高等数学 第三节 全微分
∂u = y e yz , ∂z
所求全微分
y 1 yz d u = d x + cos + z e d y + y e yz d z . 2 2
9
多元函数连续、可导、 多元函数连续、可导、可微的关系
函数连续
函数可偏导
函数可微 偏导数连续
10
*全微分在近似计算中的 应用
当二元函数 z = f ( x , y ) 在点 P ( x , y ) 的两个
π ,π 4
∂z = ∂x
π
4
,π
∂z dx + ∂y
,π 4
π
dy
2 = π ( 4 − 7π ) . 8
8
y 例 3 . 计算函数 u = x + sin + e yz 的全微分 . 2 ∂u 解. =1, ∂x
∂u 1 y = cos + z e yz , 2 ∂y 2
偏导数 f x ( x , y ) , f y ( x , y ) 连续 , 且 ∆ x , ∆y 都
较小时 , 有近似等式
∆z ≈ d z = f x ( x , y ) ∆ x + f y ( x , y ) ∆ y .
也可写成
f ( x + ∆x, y + ∆y)
≈ f ( x, y ) + fx( x, y ) ∆x + f y( x, y ) ∆y .
(1) 4 (2)
du = f x ∆ x + f y ∆ y = fx d x + f y d y
类似地 , 若三元函数 u = f ( x , y , z ) 在点 ( x , y , z )
高等数学 第八章 第3节 全微分及其应用(中央财经大学)
第三节 全微分及其应用一、全微分二、全微分在近似计算中的应用d d tan xy=α沿此曲线计算的函数在点P 处的增量为偏增量z x∆多元函数的全增量运用多元函数的全增量概念,将一元函数的微分概念推广到多元函数中.应用的某一个线性函数表示二元函数的全增量y x ∆∆ ,:z ∆α+∆+∆=−∆+∆+=∆y b x a y x f y y x x f z ),() ,(, ,无关的常数和是与y x b a ∆∆.应该是一个无穷小量α二元函数全微分的定义全微分概念的极限形式函数在区域上的可微性如果函数)f在区域Ω中的(X每一点均可微, 则称函数在区域Ω上可微 .可微连续可导连续：0lim 00=∆→∆→∆z y x 可微：+∆=∆x a z +∆y b )o(22y x ∆+∆什么?可微连续可导可微连续可导可微连续可导逆命题?可 微连续可导连 续可 导连续可导Okf,0(),(≠y xf二、全微分在近似计算中的应用例5 计算的近似值. 解.),(y x y x f =设函数.02.0,04.0,2,1=∆=∆==y x y x 取,1)2,1(=f ∵,),(1−=y x yx y x f ,ln ),(x x y x f yy =,2)2,1(=x f ,0)2,1(=y f 由公式得02.0004.021)04.1(02.2×+×+≈.08.1=谢谢大家！。
高等数学第9章偏导数全微分
x0
x
则称此极限为函数 z f ( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处对 x 的偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 或
y y0
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
例如，极限(1)可以表示为
fx (x0 ,
y0 )
lim
x0
f (x0
x, y0 ) x
解
f ( x,1) x 2 ,
df ( x,1) f x ( x,1) dx 2x;
f x (2,1) 4
(3)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；
例5
xy
设
f
( x,
y)
x2
y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
解 当( x, y) (0,0)时,
A ( x x )( y y ) xy
y x x y x y
ΔA称为面积函数A=xy的全增量， 由两局部组成：
y x xy Δx，Δy的线性局部
x y 当(Δx,Δy) →(0,0)时，是一个比
( x )2 ( y )2 高阶无穷小。
一、全微分
定义 设函数z f ( x, y )在点(x，y)的某个邻域内 有定义，点（x+Δx，y+Δy）在该邻域内， 如果函 数 z f ( x, y )在点（x，y）的全增量
3 )( x 2 2
y2
5
z2 )2
2x
1 r3
3x2 r5
.
由于函数关于自变量的对称性，所以
高等数学 全微分PPT课件
由微分定义 : lim z lim ( A x B y ) o ( ) 0
x 0 y 0
0
得
x 0 y 0
lim f ( x x, y y ) f ( x, y )
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
z f x ( x, y ) x f y ( x, y ) y x y
lim 0 , lim 0 x 0 x 0 y 0 y 0
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导
偏导数连续
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思考与练习 1. P72 题 1 (总习题八)
2. 选择题 函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 ) 可微的充分条件是( D )
将 x , z 看成常数: u x w , w y z .
u y
( 2 , 2 ,1)
yz yz x ln x z y z 1 ( 2, 2,1) ( x ) ( 2, 2,1) y 4 ln 2
将 x , y 看成常数:u x w , w y z .
u y
第三节
2. 可微的条件
全微分
1. 全微分的定义
3. 连续、可导与可微的关系
4. 小结、作业
一元函数 y = f (x) 的微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
近似计算 估计误差
机动
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结束
一、全微分的定义
高等数学第九章9-3
湘潭大学数学与计算科学学院 王文强
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1
一、全微分的定义 由一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ≈ f x ( x , y )∆x
f ( x , y + ∆y ) − f ( x , y ) ≈ f y ( x , y )∆y
∆ z = f x ( x , y )∆x + ε 1 ∆x + f y ( x , y ) ∆y + ε 2 ∆y
ε 1 ∆x + ε 2 ∆y →0 ∵ ≤ ε 1 + ε 2 ρ → 0, ρ
处可微. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处可微
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总成立, 总成立
当 ∆y = 0 时，上式仍成立，此时 ρ =| ∆x |, 上式仍成立，
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) = A ⋅ ∆x + o(| ∆x |),
f ( x + ∆x , y ) − f ( x , y ) ∂z lim =A= , ∆x → 0 ∂x ∆x
ρ →0
∆x → 0 ∆y → 0
lim f ( x + ∆x , y + ∆y ) = lim[ f ( x , y ) + ∆z ]
ρ →0
= f ( x, y)
5
处连续. 故函数 z = f ( x , y ) 在点( x , y ) 处连续
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二、可微的条件
高等数学下册-全微分课件
全微分的应用实例
01
近似计算
全微分可用于近似计算函数在某 一点的增量。
导数应用
02
03
物理应用
全微分与偏导数的关系可用于解 决实际问题中的优化问题，如最 值问题、极值问题等。
全微分在物理中有广泛的应用， 如速度、加速度、电磁场等物理 量的计算。
05
CATALOGUE
习题与解答
习题部分
题目1
计算函数$f(x, y) = x^2 + y^2$在点$(2, -3)$的全 微分。
率。
全微分与偏导数的关系式
全微分等于所有偏导数与自变量增量乘 积的和。
全微分公式：(dz = frac{partial f}{partial x} dx + frac{partial f}{partial y} dy + frac{partial f}{partial z} dz)
全微分公式适用于多元函数的可微 性，是微积分中的基本概念。
02
全微分具有连续性，即当函数在某点处可微时，其全
微分在该点连续。
03
全微分具有局部性，即全微分只在函数可微的点处有
意义，且与自变量的具体取值无关。
02
CATALOGUE
全微分的计算
函数的全微分
定义
函数在某点的全微分是该函数在该点的微分的 线性主部。
计算方法
根据定义，全微分等于所有偏导数与相应变量 的乘积之和。
题目2
已知函数$f(x, y) = sin(x + y)$，求在点$(1, frac{pi}{2})$的全微分。
题目3
设函数$f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2$，求在点$(1, 1)$的全微分。
《高等数学》第三节 全微分
当 0 时,即 x 0 ,且
y 0
xy 是比 时，
高阶的无穷小. 则 z yx xy
z z z z ,y 其中 x ，从而有 z x y x y x y
第三节
全微分
一、全微分的定义 二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
1、引例 一矩形金属片,长为 x ,宽为 y ,则面积 z xy 当边长 x, y 分别有增量 x, y 时,面积的增量为
z ( x x)( y y) xy yx xy xy
dz = 34dx + 12dy
极限, 连续, 偏导存在, 可微的关系:
极限
连续
+
偏导存在
连续
+
可微
二、全微分在近似计算中的应用 设函数
z f ( x, y) 在点 ( x, y )处可微，当 x, y
分别取得增量 x, y 时，
z f ( x x, y y) f ( x, y) dz f x( x, y)x f y ( x, y)y
yx y 1 d x x y ln x d y
注：关于二元函数全微分的定义及可微分的充 分条件可以完全类似地推广到三元和三元以上 的多元函数. y yz 例２：计算 u x sin 2 e 的全微分． 解
u 1, x u ye yz z
y u 1 yz cos ze y 2 2
15.47
y 1 dz dx ( cos ze yz ) dy ye yz dz 2 2
例３: 求 z = x4 y3 +2x 在点 (1, 2)的全微分.
高等数学第八章第三讲 多元函数的全微分
作业： 28; 29; 30.
Yu lin Polytechnic（Shen Mu Campus）
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第八章
证 如果函数 z f ( x , y ) 在点P ( x , y ) 可微分,
P ( x x , y y ) P 的某个邻域
z Ax By o( )
总成立,
当y 0 时，上式仍成立，此时 | x | ,
z z 2 x 1, 2 y y ( 1,2 )
所求全微分
dz 5dx 2dy.
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第八章
y yz À2 Æ ¼ ã Ë ¯ º ý Ê u x sin e Ä µ « È ¢ Î · Ö . 2
[ f ( x , y y ) f ( x , y )],
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第八章
在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理
f ( x x , y y ) f ( x , y y )
f x ( x 1x, y y )x
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第八章
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
高等数学教案ch 8.3 全微分及其应用
§8.3 全微分及其应用一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系, 有偏增量与偏微分:f (x +∆x , y )-f (x , y )≈f x (x , y )∆x ,f (x +∆x , y )-f (x , y )为函数对x 的偏增量, f x (x , y )∆x 为函数对x 的偏微分; f (x , y +∆y )-f (x , y )≈f y (x , y )∆y ,f (x , y +∆y )-f (x , y )为函数)对y 的偏增量, f y (x , y )∆y 为函数对y 的偏微分. 全增量: ∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y ).计算全增量比较复杂, 我们希望用∆x 、∆y 的线性函数来近似代替之. 定义 如果函数z =f (x , y )在点(x , y )的全增量∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ,其中A 、B 不依赖于∆x 、∆y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ∆x +B ∆y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A ∆x +B ∆y .如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 可微与连续: 可微必连续, 但偏导数存在不一定连续.这是因为, 如果z =f (x , y )在点(x , y )可微, 则∆z = f (x +∆x , y +∆y )-f (x , y )=A ∆x +B ∆y +o (ρ),于是 0lim 0=∆→z ρ, 从而 ),(]),([lim ),(lim0)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ.因此函数z =f (x , y )在点(x , y )处连续.可微条件:定理1(必要条件)如果函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 则函数在该点的偏导数xz ∂∂、y z ∂∂必定存在,且函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y z x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 证 设函数z =f (x , y )在点P (x , y )可微分. 于是, 对于点P 的某个邻域内的任意一点P '(x +∆x , y +∆y ), 有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A xy x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim0, 从而偏导数x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理可证偏导数y z ∂∂存在, 且B yz =∂∂. 所以 y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 简要证明: 设函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分. 于是有∆z =A ∆x +B ∆y +o (ρ). 特别当∆y =0时有f (x +∆x , y )-f (x , y )=A ∆x +o (|∆x |).上式两边各除以∆x , 再令∆x →0而取极限, 就得A x x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00, 从而x z ∂∂存在, 且A x z =∂∂. 同理y z ∂∂存在, 且B y z =∂∂. 所以y yz x x z dz ∆∂∂+∆∂∂=. 偏导数x z ∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件, 但不是充分条件.例如,函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有f x (0, 0)=0及f y (0, 0)=0,但函数在(0, 0)不可微分, 即∆z -[f x (0, 0)∆x +f y (0, 0)∆y ]不是较ρ高阶的无穷小. 这是因为当(∆x , ∆y )沿直线y =x 趋于(0, 0)时,ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x yx .定理2(充分条件)如果函数z =f (x , y )的偏导数x z ∂∂、y z ∂∂在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分. 定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数.按着习惯, ∆x 、∆y 分别记作dx 、dy , 并分别称为自变量的微分, 则函数z =f (x , y )的全微分可写作dy yz dx x z dz ∂∂+∂∂=.二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理. 叠加原理也适用于二元以上的函数, 例如函数u =f (x , y , z ) 的全微分为 dz zu dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂=. 例1 计算函数z =x 2y +y 2的全微分.解 因为xy x z 2=∂∂, y x yz 22+=∂∂, 所以dz =2xydx +(x 2+2y )dy .例2 计算函数z =e xy 在点(2, 1)处的全微分.解 因为xy ye x z =∂∂, xy xe yz =∂∂, 212e x zy x =∂∂==, 2122e y z y x =∂∂==,所以 dz =e 2dx +2e 2dy .例3 计算函数yz e y x u ++=2sin的全微分. 解 因为1=∂∂x u , yz ze y y u +=∂∂2cos 21, yz ye zu =∂∂, 所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2cos 21(. *二、全微分在近似计算中的应用当二元函数z =f (x , y )在点P (x , y )的两个偏导数f x (x , y ) , f y (x , y )连续, 并且|∆x |, |∆y |都较小时, 有近似等式∆z ≈dz = f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y ,即 f (x +∆x , y +∆y ) ≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y .我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算.例4 有一圆柱体, 受压后发生形变, 它的半径由20cm 增大到20. 05cm , 高度由100cu 减少到99cm . 求此圆柱体体积变化的近似值.解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V , 则有V =π r 2h .已知r =20, h =100, ∆r =0. 05, ∆h =-1. 根据近似公式, 有∆V ≈dV =V r ∆r +V h ∆h =2πrh ∆r +πr 2∆h=2π⨯20⨯100⨯0. 05+π⨯202⨯(-1)=-200π (cm 3).即此圆柱体在受压后体积约减少了200π cm 3.例5 计算(1. 04)2. 02的近似值.解 设函数f (x , y )=x y . 显然, 要计算的值就是函数在x =1.04, y =2.02时的函数值f (1.04, 2.02).取x =1, y =2, ∆x =0.04, ∆y =0.02. 由于f (x +∆x , y +∆y )≈ f (x , y )+f x (x , y )∆x +f y (x , y )∆y=x y +yx y -1∆x +x y ln x ∆y ,所以(1.04)2. 02≈12+2⨯12-1⨯0.04+12⨯ln1⨯0.02=1.08.例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T l g π=. 现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±0.1cm 、T =2±0.004s. 问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少？解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |, 则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T l g π=的全增量的绝对值|Δg |. 由于|Δl |, |ΔT |都很小, 因此我们可以用dg 来近似地代替Δg . 这样就得到g 的误差为 ||||||T Tg l l gdg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ T l T g l gδδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322T l TlT δδπ+=, 其中δl 与δT 为l 与T 的绝对误差. 把l =100, T =2, δl =0.1, δT =0.004代入上式, 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg )/(93.45.022s cm ==π.002225.0210045.0=⨯=ππδg g. 从上面的例子可以看到, 对于一般的二元函数z =f (x, y ), 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为δx 、δy , 即|Δx |≤δx , |Δy |≤δy ,则z 的误差 ||||||y yz x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||; 从而得到z 的绝对误差约为 y x z y z x z δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||; z 的相对误差约为y x z z y z z x z z δδδ∂∂+∂∂=||.。
高等数学基础概念解读及例题演练-全微分及全微分形式不变性
例2 计算函数 Z=e巧’ 在点（2,1）处的全微分． ［答案］ e2dx+2e2今
例3 计算函数 u＝川inf ＋俨的全微分
［答案］ dx+飞l .2!.cos ’v+ze.>'% jld” v＋ 阳”dz
；：：↑ .J 例4
设连续函数
z
=
f(x,y）
满足
lim
记作出，即
dz=AAt + Blly.
【全微分的必要条件】
ax 如果函数
z=f(x,y）
在点。，
y）
的可微分，那么该函数在点。，
y）
δzδz
的偏导数一，一必
句F
定存在，且函数 z= f(x,y） 点。， y） 的全微分为
dz=- aazxdx+- 句azy d.v,
例 l 计算函数 z=x2y＋沪的全微分．
。。χ dz=-z dx+- aayz d.v,
。1Z 【解析】根据链式法则一＝ aJ θx θu
一 aaux ＋＋ 一 与r 一 av ， 则刷
钞 θu句＇ av句y …
UJ Z
ω ω 句一’矿
矿 一伽 ＋ －h
b ＆一
a，x ＋
句一dM
矿
一 叫
高等数学习题演练
全微分及全微分形式不变性
设函数Z = f(x,y） 在点。，y） 的某邻域内有定义，如果函数在点（x,y） 的全增量
&=f(x＋缸， y+6y)-f(x,y)
可以表示为 ＆＝AAt+B6y+o(p),
其中 A,B 不依赖于 llx和6y ，而仅与 x和y 有关， p=o（」（At)2+(6y）勺，那么称函数 z=f(x,y） 在点 （x,y） 可微分，而AAt+Blly称为函数 z= f(x,y） 在点。， y） 的全微分，
高等数学下9.3全微分
x y 0
2 2
在点( 0,0)处有
.
f x (0,0) f y (0,0) 0
lim
0
x y 0
2 2
可微
z z z x y x y
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
( x ) 2 ( y ) 2
增量 x , y 的 全增量， 记为 z ， 即
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
一、全微分的定义
由一元函数可微的定义 如果函数
y Ax o( x ), 可微：
微分：dy Ax f ( x)dx.
定义
z f ( x x , y y ) f ( x , y )
z =AN ：
z
z= f (x ,y)
( )
M
z
B z z0
曲面立标的增量
dz
A
.
dz=AB : 切面立标的增量
x
0
x
P
y
y
Q
二、全微分存在的必要条件和充分条件 如果函数 z f ( x , y ) 在点 ( x , y )的全增量
f ( x x , y y ) f ( x , y )
x y x x 2 2 lim lim ( x ) ( y ) 2 2 0 ( x ) 2 ( x ) 2 0 ( x ) ( y ) lim 0
xy 2 2 x y f ( x, y) 0
可偏导 可微
z z dz x y 的全微分 x y z f ( x , y )在点 ( x , y ) 可微分 z z x z y o( ) x y
大一高等数学第八章第二节偏导数与全微分
f ( x x , y ) f ( x , y ) A x o(| x |),
f ( x x , y ) f ( x , y ) z lim A , x 0 x x
2 3
2
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形 偏 导 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
导二 函阶 数混 图合 形偏
例 6 设u e ax cos by ，求二阶偏导数.
解
u aeax cos by, x
u beax sinby; y
( y | y |)
2
| y| 2 . 2 x y
z y
1 x 1 2 x y2
2
x x2 y2 y
x2 y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x y )
( y 0)
x 1 2 sgn 2 x y y
函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分.
如果函数z f ( x , y ) 在点( x , y ) 可微分, 则 函数在该点连续.
事实上 z Ax By o( ), lim z 0,
0
x 0 y 0
lim f ( x x , y y ) lim[ f ( x , y ) z ]
p V T RT R V RT 1. 2 V T p pV p R V
有关偏导数的几点说明：
u １、 偏导数 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x , y ) xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
《高等数学之全微分》课件
全微分的定义
全微分是多元函数的微分算子在某一点上的线性逼近。
微分算子
微分算子描述函数变化的矩阵运算。
某一点上
我们关注函数在特定点上的性质。
全微分的性质
全微分具有一些重要的性质，帮助我们深入理解函数的变化。
线性性质
全微分是线性算子，满足加 法和数乘运算。
位置无关性
全微分与坐标系的选取无关， 只与函数的性质相关。
点到点性质
全微分仅仅描述函数在某一 点上的性质。
全微分的应用
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
全微分在实际问题中有广泛的应用，帮助我们进行函数的近似计算和优化。
1
近似计算
利用全微分可以进行函数值的近似计算，方便解决复杂问题。
2
优化问题
全微分可以帮助我们找到函数的极值点，解决优化问题。
3
微分学习
全微分是进一步学习微分学的基础，为后续的数学知识奠定重要基础。
《高等数学之全微分》 PPT课件
探索高等数学中的全微分的概念、定义、性质与应用，让你深入了解这一重 要的数学概念，并学会计算方法。让我们一起开始吧！
什么是全微分
全微分是微积分中一个重要的概念，用于描述函数在某一点上的线性逼近。
1 定义
全微分是函数在某一点上的一阶线性逼近。
2 性质
全微分是函数变化的最佳线性逼近。
全微分的计算方法
计算全微分是应用全微分的关键，我们需要学会相应的计算方法。
公式计算
利用相应的数学公式进行全微分的计算。
具体案例
通过具体的计算案例来加深理解和掌握全微分的计 算方法。
举例说明全微分
通过具体的例子来说明全微分的应用和计算方法。
1 函数示例
高等数学第九章第三节全微分课件.ppt
当 (x)2 (y)2 0 时是无穷小量 .
3. 已知 答案:
Ex:
证明函数
在点 (0,0) 连续且偏导数存在, 但偏导数在点 (0,0) 不连
续, 而 f (x, y) 在点 (0,0) 可微 .
证: 1) 因
xy sin
1 x2 y2
xy
x2 y2 2
所以
lim f (x, y) 0 f (0,0)
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系:
(1) 函数可微
偏导数存在
(2) 偏导数连续
函数可微
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证: 由全增量公式
得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点 (x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
推广: 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
x0 y0
故函数在点 (0, 0) 连续 ;
2) f (x,0) 0, fx (0,0) 0 ; 同理 f y (0,0) 0.
3) 当(x, y) (0,0)时,
fx (x, y)
sin
1 x2 y2
x2 y (x2 y2)3
lim
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可知当 及
dz 较小时, 有近似等式:
z d z fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于误差分析或近似计算)
f (x x, y y) f (x, y) fx (x, y)x f y (x, y)y
(可用于近似计算)
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
令 y 0, 得到对 x 的偏增量
x x
x
z lim x z A x x0 x
同样可证 z B , 因此有 y
高等数学（下）
Ax o ( x )
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
注意 定理1 的逆定理不成立 . 即:
偏导数存在函数 不一定可微 !
习惯上把自变量的增量用微分表示, 于是
du
u d z z
记作
dz u
d x u , d y u , d z u称为偏微分. 故有下述叠加原理
du dx udy udz u
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
例1 计算函数 解 z yx y1 ,
x z 1, x (1,1)
反例: 函数 f (x, y)
xy , x2 y2 0 x2 y2
0,
x2 y2 0
易知 fx (0, 0) f y (0, 0) 0 , 但
z [ fx ( 0, 0)x f y ( 0, 0)y]
x y (x)2 (y)2
x y (x)2 (
第三节 全微分
例3 有一圆柱体受压后发生形变,半径由 20cm 增大
到 20.05cm , 高度由100cm 减少到 99cm , 求此圆柱体
体积的近似改变量.
r
解 已知
则
h
V 2 π rh r π r 2h
r 20, h 100,
r 0.05, h 1
V 2 π 20100 0.05 π 202 (1) 200π (cm3)
在点 (1,1) 处的全微分. z x yln x y
z 0 y (1,1)
例2 计算函数
的全微分.
解 du
(
1 2
cos
y 2
ze yz
)d
y
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
二、全微分在近似计算中的应用
1 近似计算 由全微分定义
z fx (x, y)x f y (x, y)y o()
y 0
0
注意到
x y
, 故有
z f x (x, y)x f y (x, y)y o( )
所以函数
在点 可微.
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题.
例如, 三元函数 u f (x, y, z) 的全微分为 d u u x u y u z x y z
定义 如果函数 z = f ( x, y )在定义域 D 的内点( x , y )
处全增量
可表示成
z Ax B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关，则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y)可微，A Δx B Δ y 称为函数 f (x, y)
在点 (x, y) 的全微分, 记作 dz d f Ax By
若函数在域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
当函数可微时 :
lim z lim (Ax By ) o ( ) 0
x0
[ f (x x, y y) f (x, y y)]
[ f (x, y y) f (x, y)]
f x (x 1x, y y)x f y (x, y 2y)y ( 0 1 , 2 1 )
[ f x (x, y) ]x [ f y (x, y) ]y
y)
2
0
o( ) 因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数 z , z
在点(x, y) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
证 z f (x x, y y) f (x, y)
0
y0
得 lim f (x x, y y) f (x, y)
x0 y0
即 函数zz = ff(x(,xy) 在x点, y(x, y)y可) 微f (函x,数y)在该点连续
下面两个定理给出了可微与偏导数的关系: d(1z)函d数f 可 A微x By 偏导数存在
高等数学（下）
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
y 0
0
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
z
fx (x, y)x f y (x, y)y x y
lim
x0
y 0
0,
lim
x0
(2z)偏A导x数连B续y o( ) 函数可微
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
定理1(必要条件)若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
必存在,且有
d z z x z y x y
证 因函数在点(x, y) 可微, 故
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节
全微分
第三节 全微分
第八章
一元函数 y = f (x) 的微分 y Ax o(x)
dy f (x)x 应用
本节内容
一、全微分的定义
近似计算 估计误差
*二、全微分在近似计算中的应用
高等数学（下）
第八章 多元函数微分法及其应用
第三节 全微分
一、全微分的定义