山东理工大学《离散数学》答案及评分细则

计算机科学与技术 一 二 三
考核性质 四 五
考试 六
闭 卷 七
命题教师 八
张艳华 石少俭 九 十
考试时间
100 分钟 总分
十一
P F F T T
（3 分）
四、 （10 分）. 设正整数的序偶集合 A，在 A 上定义二元关系 R 如下: <<x,y>,<u,v>>∈R,当且仅当 xv=yu, 证明：R 是 A 上的等价关系。 证明：1）自反：因为 <x,y>∈A,xy=yx 2）对称：因为 <<x,y>,<u,v>>∈R 所以<<x,y>,<x,y>>∈R （3 分） （3 分）
g 对应的前缀码为：1101
(4 分) 评分细则：每写错两个字母前缀码扣 1 分。
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xv=yu, uy=vx, 所以<<u,v>,<x,y>>∈R
）传递：因为如果<<x,y>,<u,v>>∈R , <<u,v>,<s,t>>∈R ,xv=yu,ut=vs,xvut=yuvs,xt=ys, 所以<<x,y>,<s,t>>∈R （4 分）
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山东理工大学《离散数学》试卷纸
（A ）卷 第 2007-2008 学年第 二 学期 班级： 姓名： 学号： …………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
八、 （10 分）
1、 （5 分）试画出一个无向图，它是欧拉图，但不是哈密尔顿图。
P ((P Q) (Q P)) 的主合取范式为 P Q （3 分） 方法二：真值表法 Q P ((P Q) (Q P)) F T T T F F T T （4 分） P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式为 m00 m01 m11 (P Q) (P Q) ( P Q) （3 分） P ((P Q) (Q P)) 的主合取范式为 M10 P Q
六、证明题：(10 分) 设<G，*>是群，对任一 a G，令 H={y|y*a=a*y，y G},试证明<H，*>是<G，*>的子群。 证明：显然 H G,运算*在 H 中满足结合性。 对于任意的 x,y H,以及任意的 a G,因为 (x*y)*a=x*y*a=x*a*y=a*x*y=a*(x*y) 所以 x*y H,运算*关于 H 是封闭的。 （5 分） 记 e 为 G 的幺元，因为 e*a=a*e,所以 e H 对于任意的 x H，由于 x*a=a*x,所以 x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1 即得 a*x-1=x-1*a 有 x－1 H 综上所述<H，*>是<G，*>的子群。 （5 分）
七、 （10 分）Q 为有理数集，设*为定义在 Q 上的运算 a*b=a+b-4 1）.*在 Q 上可结合吗？*在 Q 上可交换吗？ 2）.求 Q 中关于运算*的幺元。 3）.集合 Q 上所有的元素都有逆元吗？若有逆元，请求出。 解： 1).对于 Q 中的任意元素 a,b,c ,(a*b)*c=(a+b-4)*c= a+b-4+c-4=a+b+c-8=a*(b*c) ,所以*在 Q 上可结合。 （2 分） 因为 a*b=a+b-4＝b*a 所以*在 Q 上可交换。 （2 分） 2）设 e 为所求的幺元，则对于任意的 a∈Q 有 a*e=e*a=a =a+e-4 解得 e=4 ,所以 Q 中关于运算*的幺元为 4。(3 分) 3）任取 a∈Q，有 8-a∈Q, 而 a*(8-a)=a+(8-a)-4=4 (8-a)*a=(8-a)+a-4=4 所以 Q 上任一的元素 a 都有逆元 8-a. .（3 分）
（A）卷 第 2007-2008 学年第 二 学期 班级： 姓名： 学号： …………………………………装……………………………订…………………………线………….………………………………
五、简答题（10 分） 设集合 A={1，3，4，5，6，12，24}，D 为 A 上的整除关系，则 （1）.〈A ，D 〉是偏序集吗？ （2）.写出集合{3，4，6，12}的上确界、下确界、极大元、极小元、最大元、最小元。 答： （1）.〈A ，D 〉是偏序集。 （4 分） （2）集合{3，4，6，12}的上确界为 12、下确界为 1、极大元为 12、极小元为 3，4、最大元为 12、最小元无 （每个 1 分，共 6 分）
（5 分） （答案不唯一） 2、 （5 分）求下图的最小生成树。 （不写步骤）
4 2 12 11 8 9 10
（5 分） 评分细则：每画错一条边扣 1 分，直到扣为 0 分止。
1
3 5 7 6
2
1 5 8
3 6
9
九、 （10 分）设在通信中 a，b，c，d，e，f，g 这 7 个字母，传输时出现的频率分别为 35%，20%，15%，9%，11%，5%，5%， 画出相应的最优二叉树，并写出每个字母对应的前缀码。
a b c e f g d
（答案不唯一） （6 分）评分细则：每画错一个结点扣 1 分，直到扣为 0 分止。若树高度画错此题记为 0 分。 a 对应的前缀码为：00 b 对应的前缀码为：10
c 对应的前缀码为：010 e 对应的前缀码为：011
d 对应的前缀码为：111 f 对应的前缀码为：1100
山东理工大学《离散数学》答案及评分细则
（ A）卷 第 2007-2008 学年第二 学期 班级： 姓名： 学号： …………………………………装……………………………订…………………………线………….……………………………… 适用专业 题号 得分 评阅人 复核人 一、判断题：(对者划√, 错者划× 10 分) 1．如果 A B ，则有 A B 。(√ ) 2．设 R 与 S 是集合 A 上的任意两个关系。若 R 与 S 是反对称的，则 RoS 也是反对称的。 （× ） 3． （0，1，3，3，3）可以构成简单图的度数序列。 （ × ） 4．如一个有向图是欧拉图，则此图一定是强连通图。此命题真值为真。 （ √ ） 5．若〈S，*〉是一个阿贝尔群，则在关于运算*的运算表中任意两行或两列都是不相同的。 （ √ ） 二、填空题： （每空 2 分 共 20 分） 1．将命题符号化。 “凡偶数均能被 2 整除” 。其中 F(x)：x 是偶数。G(x)：x 能被 2 整除。 （ x( F ( x) G( x)) ） 。 2．已知集合 A={1,2}，则 A 上可以定义（ 16 ）个不同的二元关系， A 的幂集为（{{1},{2},{1,2}, } ） 。 3．设 M(x)：x 是人，G(x)：x 犯错误。则命题“没有不犯错误的人”形式化为（ x( M ( x) G( x)) ） 。 4．已知集合 A 和 B，|A|=3， |B|=4 则 A,B 间有（ 64 ）个函数； 5．若 G=<V, E>为 n 阶无向完全图，则每个结点的度数为（n-1 ） 。 6．若某连通平面图有 10 个结点，12 条边，r 个面，则 r=（ 4 ） 。 3 7．在代数系统<I,+>中，－5 的逆元为（ 5 ）,3 =（ 9 ） 。 8．10 阶群的子群的阶数可能为（1，2，5，10 ） 三、 （10 分）试求 P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式与主合取范式。 P ((P Q) (Q P)) P ((P Q) ( P Q)) P ((P ( P Q)) (Q ( P Q))) 解：方法一： P ( P Q) (P P) (P Q) P Q M10 (4 分) P ((P Q) (Q P)) 的主析取范式为 m00 m01 m11 (P Q) (P Q) ( P Q) （3 分）