山东省滨州市博兴县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷 (含答案解析)

山东省滨州市博兴县2019-2020学年九年级上学期期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.方程(m−2)x2+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则()A. m≠±2B. m=2C. m=−2D. m≠22.下列图形中，属于中心对称图形，但不属于轴对称图形的是()A. B.C. D.3.已知扇形半径为3，弧长为π，则它所对的圆心角的度数为()A. 120°B. 60°C. 40°D. 20°4.一元二次方程a2x2+2(a+1)x+1=0有实数根，则a的取值范围是()A. a≤−12B. a≥−12，且a≠0C. a≥−12D. a≤12且a≠05.在一幅长60dm宽40dm的庆祝建国70周年宣传海报四周镶上相同宽度的金色纸片制成一幅矩形挂图．要使整个挂图的面积为2800dm2，设纸边的宽为xdm，则可列出方程为()A. (60+x)(40+x)=2800B. (60−x)(40−x)=2800C. (60+2x)(40+2x)=2800D. (60−2x)(40−2x)=28006.如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为4，AB=4，则∠C为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x2,0)，且1<x2<2，与y轴正半轴的交点在(0,2)下方，在下列结论中：①b<0，②4a−2b+c=0，③2a−b+1<0，④b< a<c.其中正确结论是()A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②④8.已知二次函数y=x2−6x+m的图象过A(−3,a)，B(0,b)，C(5,c)三点，则a，b，c的大小关系是()A. c>b>aB. a>b>cC. a>c>bD. c>a>b9.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF、GH过点O，且点E、H在边AB上，点G、F在边CD上，向▱ABCD内部投掷飞镖(每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等)恰好落在阴影区域的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 1810.已知关于x的二次函数y=kx2−bx+1的图像如图所示，则关于x的一次函数y=kx+b的图像不经过哪个象限()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限11.Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为()A. 95B. 125C. 185D. 36512.如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点E在AB⏜上，过点E作⊙O的切线，分别与PA，PB相交于点C，D.若PA=3cm，则△PCD的周长等于()A. 3cmB. 6cmC. 9cmD. 12cm二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）13.将抛物线y=2x2−12x−23先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度得到的抛物线的解析式为______．14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)，B(3,2)，将线段AB绕点A旋转90°，得到线段AB′，则点B′的坐标是______ ．,1)，15.平行四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，且点A、B的坐标分别为(2,−1)、(12则点D的坐标是___________．16.已知关于x的方程x2−3x+2k=0的一个根是1，则k=______ ．17.合肥大建设再创新高潮，继“高架时代”后合肥即将迈入“地铁时代”.2015年合肥市投入200亿元用于地下轨道交通建设，并计划2016年、2017年两年累计再投入528亿元用于地下轨道交通建设.若这两年中投入资金的年平均增长率为x，则可列方程为．18.若一个正六边形的面积为27√3，则该正六边形的周长为______________．219.如图，ΔABC是⊙O的内接三角形，∠C=50∘，则∠OAB=_______°．20.如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽AB=1.6m，涵洞顶点O到水面的距离CO为2.4m，在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是____________．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）21.解方程：(用指定方法解下列一元二次方程)(1)2x2+4x−1=0(公式法)(2)x2+6x+5=0(配方法)四、解答题（本大题共5小题，共40.0分）22.五⋅一期间，某商场开展购物抽奖活动，在不透明的抽奖箱中有4个分别标有数字1、2、3、4的小球，每个小球除数字外其余都相同．顾客随机抽取一个小球，不放回，再随机摸取一个小球，若两次摸出球的数字之和为“7”，则抽中一等奖，请用画树状图(或列表)的方法，求顾客抽中一等奖的概率．23.如图，以AB为直径的⊙O经过AC的中点D，DE⊥BC于点E．(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)当AB=4√3，∠C=30°时，求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)24.商场里某产品每月销售量y(只)与销售单价x(元)满足一次函数关系，经调查部分数据如表：(已知每只进价为10元，每只利润=销售单价−进价)销售单价x(元)212325…月销售额y(只)292725…(1)求出y与x之间的函数表达式；(2)这产品每月的总利润为w元，求w关于x的函数表达式，并指出销售单价为多少元时利润最大，最大利润是多少元？(3)由于该产品市场需求量较大，进价在原有基础上提高了a元(a<10)，但每月销售量与销售价仍满足上述一次函数关系，此时，随着销售量的增大，所得的最大利润比(2)中的最大利润减少了144元，求a的值．25.如图，用30m长的篱笆沿墙建造一边靠墙的矩形菜园，已知墙长18m，设矩形的宽AB为xm．(1)用含x的代数式表示矩形的长BC；(2)设矩形的面积为y，用含x的代数式表示矩形的面积y，并求出自变量的取值范围；(3)这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积y最大？最大面积是多少？26.如图，已知抛物线y=x2−(2m+1)x+m2+m−2与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，P(s,t)为抛物线上A、B之间一点(不包括A、B)，连接AP、BP分别交y轴于点E、D(1)若m=−1，求A、B两点的坐标；(2)若s=1，求ED的长度；(3)若∠BAP=∠ODP，求t的值．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是注意二次项的系数不等于0.属于基础题．根据一元二次方程的定义可得m−2≠0，再解即可．解：由题意得：m−2≠0，解得：m≠2，故选：D．2.答案：A解析：本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，关键是熟练掌握它们的定义.根据它们的定义可得结论．解：A.是中心对称图形，不是轴对称图形，故正确；B、既是轴对称图形和中心对称图形．C、D是轴对称图形，但不是中心对称图形．故选A．3.答案：B解析：解：根据l=nπr180=nπ×3180=π，解得：n=60，故选：B．直接利用弧长公式l=nπr180即可求出n的值，计算即可．本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．4.答案：B解析：本题主要考查了一元二次方程根的判别式的应用，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系是解题的关键，即①△<0⇔一元二次方程无实数根，②△=0⇔一元二次方程有两个相等的实数根，③△>0⇔一元二次方程有两个不相等的实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式可得到关于a 的不等式，可求出其范围． 解：因为一元二次方程a 2x 2+2(a +1)x +1=0有实数根，所以有{△≥0a 2≠0，即{4(a +1)2−4a 2≥0a 2≠0，解得a ≥−12，且a ≠0，故选B ．5.答案：C解析：考查了一元二次方程的运用，此类题是看准题型列面积方程，题目不难，重在看准题．如果设纸边的宽为xdm ，那么挂图的长和宽应该为(40+2x)和(60+2x)，根据总面积即可列出方程． 解：设纸边的宽为xdm ，那么挂图的长和宽应该为(60+2x)和(40+2x)， 根据题意可得出方程为：(60+2x)(40+2x)=2800， 故选C ．6.答案：A解析：本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理，等边三角形的判定和性质是解题的关键．连接OA ，OB ，根据等边三角形的性质得到∠AOB =60°，根据圆周角定理解答．解：连接OA 、OB ，∵OA =OB =AB =4， ∴△OAB 为等边三角形， ∴∠AOB =60°，由圆周角定理得，∠C =12∠AOB =30∘．故选A．7.答案：A解析：本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，二次函数与系数的关系等知识点的理解和掌握，能根据图象确定与系数有关的式子得符号是解此题的关键．根据已知画出图象，根据对称轴和开口方向可判断①；把x=−2代入得：4a−2b+c=0，可判断②；由②的结论，可得2a−b=−c2，根据c的取值范围可得2a−b的取值范围，可判断③；根据图象与x轴的交点可用x2表示对称轴，易确定a，b的取值范围，可判断④．解：画出图象如图，∵开口向下，∴a<0，∵x=−b2a<0，∴b<0，∴①正确；根据二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(−2,0)、(x2,0)，且1<x2<2，与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，把x=−2代入得：4a−2b+c=0，∴②正确；由4a−2b+c=0得2a−b=−c2，而0<c<2，∴−1<−c2<0，∴−1<2a−b<0，∴2a−b+1>0，∴③错误；∵图象与x轴两交点为(−2,0)，(x2,0)，且1<x2<2，对称轴x=−2+x22=−b2a，则对称轴−12<−b2a<0，且a<0，∴−a>−b∴a<b<0，由抛物线与y轴的正半轴的交点在(0,2)的下方，得c>0，即a<b<c，∴④错误；所以正确的选项为①②．故选A．8.答案：B解析：解：抛物线的对称轴为直线x=3，又因为抛物线开口向上，而点A离对称轴最远，点C离对称轴最近，所以a>b>c．故选B．先确定抛物线的对称轴，然后根据抛物线的性质判断a、b、c的大小．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．9.答案：C解析：解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴△OEH和△OFG关于点O中心对称，∴S△OEH=S△OFG，∴S阴影部分=S△AOB=14S平行四边形ABCD，∴飞镖(每次均落在▱ABCD内，且落在▱ABCD内任何一点的机会均等)恰好落在阴影区域的概率．故选C．根据平行四边形的性质易得S△OEH=S△OFG，则S阴影部分=S△AOB=14S平行四边形ABCD，然后根据几何概率的意义求解．本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．也考查了平行四边形的性质．10.答案：B解析：本题考查二次函数图像与一次函数图像，二次函数与一次函数性质．根据抛物线开口向上得到k大于0，再利用二次函数图像的对称轴在y轴左侧，得到b小于0，利用一次函数的性质即可判断出一次函数y=kx+b不经过的象限．解：根据二次函数开口向上和对称轴在y轴左侧，可知k大于0，b小于0，则依据一次函数图像及性质，可知y=kx+b图像经过一、三、四象限，故选B．11.答案：C解析：解：在Rt△ABC中，∵AC=3，BC=4，∴AB=√32+42=5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CM，且AC=3，BC=4，AB=5，∴CM=125，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+(125)2，解得：AM=95，∴AE=2AM=185．故选C．在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点；在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．12.答案：B解析：解：∵PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，∴PB=PA=3cm，CA=CE，DB=DE，∴△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PC=PC+CA+DB+PD=PA+PB=6cm；故△PCD的周长是6cm．故选：B．由PA，PB切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，根据切线长定理可得：PB=PA，CA=CE，DB=DE，继而可得△PCD的周长=PA+PB．此题主要考查了切线长定理的应用，能够将△PCD的周长转换为切线PA、PB的长，是解答此题的关键．13.答案：y=2(x+1)2−47解析：解：y=2x2−12x−23=2(x−3)2−41，抛物线的顶点坐标为(3,−41)，把点(3,−41)先向左平移4个单位长度，再向下平移6个单位长度所得对应点的坐标为(−1,−47)，所以平移后的抛物线解析式为y=2(x+1)2−47．故答案为y=2(x+1)2−47．先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为(3,−41)，再利用点平移的规律得到点(3,−41)平移后所得对应点的坐标为(−1,−47)，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．14.答案：(−3,4)或(1,−4)解析：解：当AB绕点A逆时针旋转90°，此时过点B′作B′D⊥x轴于点D，∵∠BAC+∠B′AD=90°，∠DB′A+∠B′AD=90°，在△B′DA与△ACB中，{∠B′DA=∠ACB ∠DB′A=∠BAC AB′=AB∴△B′DA≌△ACB(AAS)，∴AD=BC，B′D=AC∵A(−1,0)，B(3,2)，∴BC=2，AC=4，∴B′(−3,4)，当AB绕点A顺时针旋转90°时，过点B′作B′E⊥x轴于点E，同理可求得：B′(1,−4)故答案为：(−3,4)或(1,−4)由于题目没有说明顺时针旋转还是逆时针旋转，故需要分情况讨论．本题考查了旋转的性质，涉及旋转的三要素，全等三角形的性质与判定．15.答案：(−12,−1)解析：此题主要考查坐标与图形的结合问题，即对称问题，熟练掌握平行四边形的性质及对称的而性质，能够求解一些简单的问题．由平行四边形ABCD对角线的交点与直角坐标系的原点重合，即可得出A、C与B、D分别关于原点对称，进而可求解．解：∵A、C与B、D分别关于原点对称，点B的坐标是(12,1)，∴可得点D的坐标为(−12,−1)，故答案为(−12,−1)．16.答案：1解析：解：设方程的另一根为x1，又∵x2=1，根据根与系数的关系可得x1+x2=x1+1=3，∴x1=2x1⋅x2=2×1=2k，解得k=1．欲求k，可将该方程的已知根1代入两根之积公式和两根之和公式列出方程组，解方程组即可求出k 值．此题也可把x=1代入方程x2−3x+2k=0可解得k=1．17.答案：200(1+x)+200(1+x)2=528解析：【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，能根据题意找出等量关系是解题的关键．【解答】解：2016年投入资金为200(1+x)亿元，2017年投入资金为200(1+x)2亿元，则可列方程为200(1+x)+200(1+x)2=528．18.答案：18解析：本题主要考查了正多边形和圆，中档题首先根据正六边形的性质建立正六边形和圆之间的关系，连接OA，OB，作OM⊥AB，从而得到∠AOM=30°，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系和三角形的面积构建等式进行计算即可求出．解：连接OA，OB，作OM⊥AB，得到∠AOM=30°，容易得到△AOB为等边三角形，，∵圆内接正六边形ABCDEF的面积为272√3，∴12×AB×OM×6=272√3，∴12×AB×√32AB×6=272√3，AB=3，∴正六边形的周长为3×6=18．故答案为18．19.答案：40解析：此题考查圆周角定理及推论，等腰三角形的判定及性质，由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠AOB的度数，又由OA=OB，根据等边对等角的知识，即可求得答案．解：连接OB，∵△ABC是⊙O的内接三角形，∠C=50°，∴∠AOB=2∠C=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=180°−100°2=40°.故答案为40．20.答案：y=−154x2解析：本题主要考查的二次函数在实际问题中的应用，根据题中的信息得出函数图象经过的点的坐标是解题的关键.首先根据题中所给坐标系可知此抛物线经过原点，可设抛物线的表达式为y =ax 2(a ≠0)，根据AB =1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，可知B 点坐标；然后利用待定系数法将点B 的坐标代入所设函数表达式中求出a 的值即可得出答案．解：.设抛物线的表达式为y =ax 2(a ≠0)，∵水面宽AB =1.6，涵洞顶点O 到水面的距离为2.4m ，∴B 点坐标为(0.8,−2.4)，∴−2.4=a ×0.82．解得a =−154．涵洞截面所在抛物线的解析式是y =−154x 2． 故答案为y =−154x 221.答案：解：(1)∵a =2，b =4，c =−1，∴△=16−4×2×(−1)=24>0，∴x =−4±2√64=−2±√62． ∴x 1=−2+√62，x 2=−2−√62；(2)∵x 2+6x =−5，∴x 2+6x +9=−5+9，即(x +3)2=4，则x +3=2或x +3=−2，解得：x 1=−1，x 2=−5．解析：本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．(1)公式法求解可得；(2)配方法求解可得．22.答案：解：列表得：第一次结果第二次12341−34523−56345−74567−∵共有12种等可能的结果，顾客抽中一等奖的有2种情况，∴P(顾客抽中一等奖)=16．解析：首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与顾客抽中一等奖的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23.答案：解：(1)连接OD，∵AB是⊙O的直径，D是AC的中点，∴OD是△ABC的中位线，∴OD//BC，∵DE⊥BC，∴OD⊥DE，∵点D在圆上，∴DE为⊙O的切线；(2)过点O作OF⊥AD，垂足为F，∵OD//BC，∠C=∠ODF=30°，∴∠ADO=30°，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=30°∴∠A=∠C，∴AB=BC=4√3∴OD=2√3∠AOD=120°OF=√3，∴AF=3，AD=6∴sΔAOD=1⋅AD⋅OF=1×6×√3=3√3∴S阴影部分面积=120π⋅(2√3)2360−3√3=4π−3√3解析：本题目考查了切线的判定，等腰三角形的判定及性质、圆周角定理及切线的性质，涉及的知识点比较多且碎，解题时候应该注意．(1)连接OD，利用平行线的判定定理可以得到∠ODE=∠DEC=90°，从而判断DE是圆的切线；(2)由∠C=30°，∠DEC=90°，由于OD//BC，于是得到∠ODA=30°，根据等腰三角形的性质得到∠AOD=120°，AB=4√3于是得到OA=2√3，阴影部分面积即可求得．24.答案：解：(1)设y=kx+b(k≠0)，根据题意代入点(21,29)，(25,25)，∴{21k+b=2925k+b=25解得{k =−1b =50， ∴y =−x +50．(2)依题意得，w =(x −10)(−x +50)=−x 2+60x −500=−(x −30)2+400，∵a =−1<0，∴当x =30时，w 有最大值400，即当销售单价定为30元时，每月可获得最大利润400元．(3)最新利润可表示为−x 2+60x −500−a(−x +50)=−x 2+(60+a)x −500−50a ，∴此时最大利润为4(500+50a)−(60+a)2−4=400−144，解得a 1=8，a 2=72，∵当a =72时，销量为负数舍去．∴a =8．解析：(1)待定系数法求函数解析式．(2)总利润=单件利润×总销售量，先表示出w ，再根据二次函数求最值问题进行配方即可．(3)含参的二次函数问题，先表示出w ，根据最大利润列式即可求出a ．此题考查了一次函数的实际应用，以及二次函数的实际应用，利用最大利润列式求解为解题关键． 25.答案：解：(1)∵AB =CD =xm ，∴BC =(30−2x)m ，(2)由题意得y =x(30−2x)=−2x 2+30x(6≤x <15)；(3)∵S =−2x 2+30x =−2(x −7.5)2+112.5，∴当x =7.5时，S 有最大值，S 最大=112.5，此时这个矩形的长为15m 、宽为7.5m ．答：这个矩形的长、宽各为15m 、7.5m 时，菜园的面积最大，最大面积是112.5m 2．解析：(1)设菜园的宽AB 为xm ，于是得到BC 为(30−2x)m ；(2)由面积公式写出S 与x 的函数关系式，进而求出x 的取值范围；(3)利用二次函数求最值的知识可得出菜园的最大面积．此题主要考查了二次函数的应用，难度一般，应注意配方法求最大值在实际中的应用．26.答案：解：(1)当m=−1时，抛物线的解析式为y=x2+x−2，令y=0，可得x2+x−2=0，解得x=−2或1∴A(−2,0)、B(1,0)．(2)∵y=[x−(m+2)][x−(m−1)]∴A(m−1,0)、B(m+2,0)∵s=1∴P(1,m2−m−2)∴直线AP的解析式为y=−(m+1)x+m2−1，直线BP的解析式为y=−(m−2)x+m2−4，∴E(0,m2−1)，D(0,m2−4)，∴DE=m2−1−(m2−4)=3．(3)过点P作PQ⊥x轴于Q∵∠BAP=∠ODP∴∠DPE=∠AOE=90°，∴∠APB=∠AQP=∠PQB=90°，∵∠PAB+∠APQ=90°，∠PAB+∠PBQ=90°，∴∠APQ=∠PBQ，∴△PAQ∽△BPQ，∴PQBQ =AQPQ，∴PQ2=AQ⋅BQ，∴t2=(s−x A)(x B−s)∴s(x A+x B)−s2−x A x B=t2∴s⋅(2m+1)−s2−(m−1)(m+2)=t2∵t=s2−(2m+1)s+(m−1)(m+2)∴t2=−t，解得t=−1或0(舍弃)，∴t=−1时，∠BAP=∠ODP．解析：(1)把m=−1代入抛物线的解析式，令y=0解方程即可解决问题；(2)利用待定系数法求出直线PA、PB的解析式，求出点E、D的坐标即可解决问题；(3)由△PAQ∽△BPQ，可得PQBQ =AQPQ，推出PQ2=AQ⋅BQ，即t2=(s−x A)(x B−s)，推出s⋅(2m+1)−s2−(m−1)(m+2)=t2，又t=s2−(2m+1)s+(m−1)(m+2)，推出t2=−t，解得t=−1或0(舍弃)，由此即可解决问题；本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．。