高中数学裂项技巧
裂项法的常见技巧
…
ｎ 【 ｎ ＋ ｋ Ｊ
一一 ｔ ｆ
： （ 一 ） ， 其中
ｋ ｎ ｎ ＋ ｋ
一
ｃ ｃ 专 ＝
一
‘ 吉 ＜ ＜ ＝
ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ ｎ ＋ ２ ） ２ ｎ ｎ ＋ １ ） （ ｎ ＋ １ ） ） （ ｎ ＋ ２ ）
技 法点拨
④
裂项法是高 考数列题 的一 种常见 的解题方 法 ， 学生往往把握不好裂项 的本质 ，在本文 中笔者拟从 裂项的本质入手探讨裂项法 的常见技巧 。 裂项法是将 数列中的每一项 （ 通项） 分解 ， 然 后 重新组合 ，使之能消去一些项 ，最终达 到求 和的 目 的。裂项的实质是将数列 中的每一项裂成一个 函数 的两个 函数值 之差 即％ ｎ ） ｎ ＋ ６ ） ， 从 而达 到
、
分 式 型 裂 项
分式型裂项法 的实质是通分 的逆运算 。分式 型 的裂项 主要 是发 现规律进行构造 的过程 ，很多 时候 裂项 的方式不容易找到 ， 需要 进行适 当的变形 ， 或将 部分进行运算 ， 使其更 容易发现规质是三角 函数公 式 的变形用法 ， 要注意弄清公式的各种 变形 ， 找出能 够达 到裂项相 消的变形 。 常 见类 型 ： （ １ ） 数列｝ ａ ｎ ｝ 是 等差 数列 ， 且 公差 为
２ １ ｍ ３ １ ｍ ｍ ｍ
÷ ［ （ １ ｘ ２ ｘ ３ 一 Ｏ ｘ ｌ ｘ ２ ） ＋ （ ２ ｘ ３ ｘ ４ 一 ｌ ｘ ２ ｘ ３ ） ＋
＋ — （ １ 一 ） （ １ － ） …（ １ 一 一 ｍ）
ｍ！ ， ｎ ｍ ｍ
…＋ｎ （ ｎ ＋ １ ） （ 肼２ ） 一 （ ｎ 一 １ ） ｎ （ ｎ 十 １ ） ） ］ 一 旦 ： ＿ ＝ １［ ＿ｎ
高中数学数列求和中的一些裂项技巧
高中数学数列求和中的一些裂项技巧
在数列求和中，裂项求和是一种重要的方法，实质是利用转化与化归思想，将数列终达到求和的目的.收集整理了一些数列通项裂项规律如下：
以上裂项中一些经典的裂项方式大家都比较熟悉，但对一些较为高级的裂项方式则需要拼凑或是用待定系数法确定裂项结果。
裂项法讲解
裂项法讲解裂项法是一种数学方法，用于将一个复杂的数学式子分解成一些简单的项之和。
在求解一些数学问题时，使用裂项法可以更加便捷地得到答案。
本文将介绍裂项法的基本原理和应用方法。
下面是本店铺为大家精心编写的4篇《裂项法讲解》，供大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助。
《裂项法讲解》篇1裂项法是一种将一个复杂的数学式子分解成一些简单的项之和的方法。
通常情况下，我们将一个式子拆分成多个项，然后再进行求和。
这样做的好处在于，我们可以将一个复杂的问题分解成一些简单的子问题，从而更容易地解决。
下面，我们将介绍裂项法的基本原理和应用方法。
1. 基本原理裂项法的基本原理是将一个式子拆分成多个项，然后将这些项相加得到原式。
每个项通常都是一个常数与一些变量的乘积。
我们可以将这些项按照变量的次数排列，然后进行求和。
例如，我们将式子 $1/x$ 拆分成多个项，可以得到:$$frac{1}{x} = frac{1}{1times x} = frac{1}{x} - frac{1}{x+1} + frac{1}{x+1} - frac{1}{x+2} + frac{1}{x+2} - frac{1}{x+3} + cdots$$2. 应用方法裂项法通常应用于求解一些数学问题，例如求和、积分等。
下面，我们将介绍一些常见的应用方法。
(1) 求和裂项法最常见的应用就是求和。
例如，我们可以使用裂项法求解以下问题:$$1 +2 +3 + cdots + n = frac{n(n+1)}{2}$$我们可以将式子拆分成多个项，然后进行求和，得到:$$1 +2 +3 + cdots + n = 1 + (1+1) + (1+2) + cdots + (1+n-1) = n - 1 + n = frac{n(n+1)}{2}$$(2) 积分裂项法还可以用于积分。
《裂项法讲解》篇2裂项法是数学中一种常用的求和方法，主要用于求解一些可以拆分成多项式的和式。
常见的数列裂项技巧
常见的数列裂项技巧数列是数学中常见的一种数学对象，它按照一定的规律排列，每个数和前一个数之间有一定的关系。
数列裂项技巧是指通过找到数列中的其中一项或几项，通过一定的方式划分数列，使得数列中的每一部分都符合特定的规律，从而更方便地进行运算或推导。
以下是常见的数列裂项技巧：1.等差数列的裂项技巧：(1)等差数列的和差技巧：将等差数列裂为两个等差数列的和或差，通过将数列中的项两两配对求和或相减来实现。
例如，将等差数列1,3,5,7,9,11裂为1+11、3+9、5+7，即可得到新的等差数列。
(2)等差数列的逆序技巧：将等差数列裂为两个逆序的等差数列，通过将数列中的项与它们的逆序对应项求和相消来实现。
例如，将等差数列1,3,5,7,9,11裂为1+11、3+9、5+72.等比数列的裂项技巧：(1)等比数列的乘积技巧：将等比数列裂为两个等差数列的乘积，通过将数列中的项两两配对求积或相除来实现。
例如，将等比数列1,2,4,8,16,32裂为1*32、2*16、4*8，即可得到新的等比数列。
(2)等比数列的倒数技巧：将等比数列裂为两个等差数列的倒数，通过将数列中的项的倒数两两配对求和或相消来实现。
例如，将等比数列1,2,4,8,16,32裂为1/32+32、1/16+16、1/8+83.斐波那契数列的裂项技巧：(1)斐波那契数列的加减技巧：将斐波那契数列裂为两个斐波那契数列的和或差，通过将数列中的项两两配对求和或相减来实现。
例如，将斐波那契数列1,1,2,3,5,8裂为1+8、1+5、2+3，即可得到新的斐波那契数列。
(2)斐波那契数列的乘除技巧：将斐波那契数列裂为两个等比数列的乘积或商，通过将数列中的项两两配对求积或相除来实现。
例如，将斐波那契数列1,1,2,3,5,8裂为1*8、1*5、2*34.其他常见数列的裂项技巧：(1)平方数列的裂项技巧：将平方数列裂为两个等差数列的和或差，通过将数列中的项两两配对求和或相减来实现。
裂项求和法的知识点总结
裂项求和法的知识点总结一、裂项求和法的基本思想裂项求和法的基本思想是将原来的级数拆分成若干个部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
这种方法在求解级数时非常有效，可以将复杂的级数变成简单的级数来求解。
二、裂项求和法的常用技巧裂项求和法的常用技巧包括：拆项、分组求和、 Telescoping 等。
1. 拆项：拆项是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中的每一项拆分成两个或多个部分，然后再进行求和。
拆项的目的是为了将原级数转化为一个更易求解的级数。
拆项的具体操作可以根据级数的特点来灵活运用。
2. 分组求和：分组求和是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数分成若干个相互独立的部分，然后分别求解这些部分的和。
最后将这些部分的和相加得到原级数的和。
分组求和的具体操作可以根据级数的特点和要求来选择合适的分组方法。
3. Telescoping：Telescoping 是裂项求和法中常用的一种技巧。
它可以将原级数中相邻的两项进行变形，从而使得这些项之间的差分项能够互相抵消，最终得到一个简单的级数。
Telescoping 的具体操作包括变形、抵消、整理等。
三、裂项求和法的应用范围裂项求和法在数学中有着广泛的应用范围，包括但不限于如下几个方面：1. 求解收敛级数：裂项求和法可以帮助我们求解各种类型的收敛级数，包括数值级数、幂级数、级数和等。
通过拆项、分组求和、 Telescoping 等技巧，可以将复杂的级数转化为简单的级数来求解。
2. 求解发散级数：裂项求和法也可以帮助我们对发散级数进行求解。
虽然发散级数本身没有定义和，但是通过一些技巧，可以使其在某种意义下有意义，从而得到发散级数的和。
3. 实际应用：裂项求和法在实际应用中也有着广泛的应用。
例如在物理、工程、经济等领域，经常需要求解各种级数，裂项求和法可以帮助我们快速、准确地求解这些级数，为实际问题的解决提供有力的支持。
四、裂项求和法的注意事项在使用裂项求和法时需要注意以下几个方面：1. 根据级数的特点选择合适的技巧：在使用裂项求和法时，需要根据级数的特点和要求来选择合适的技巧。
万能裂项公式
万能裂项公式
含指数的裂项，是裂项当中最难的情形，今天介绍万能的裂项公式。
分母分作母，分子指固定。
什么叫分母分作母？顾名思义，原分母分下来作为新分母，
其中三项积时，前中与中后作分母，
什么叫分子指固定？
下面给出万能裂项公式：
最后记得要将差的形式通分，与原式比较，多退少补。
对于含指问题，指数统一到分子上，利用万能裂项公式，试着感受万能裂项的巧妙。
类型一：指数在分子
类型二：指数在分母
类型三：指数在分子与分母
训练题组：
有疑问的，可以在下面评论区提出来，请继续关注明天的内容。
数学歌
三角函数东升西落照苍穹,影短影长角不同。
昼夜循环潮起伏,冬春更替草枯荣。
立体几何锥顶柱身立海天,高低大小也浑然。
平行垂直皆风景,有角有棱足壮观。
解析几何代数几何熔一炉,乾坤变幻坐标书。
图形百态方程绘,曲线千姿运算求。
三等分角与数域扩张一角三分本等闲,尺规限制设难关。
几何顽石横千载,代数神威越九天。
步步登攀皆是二 ,层层寻觅杳无三。
六种裂项基本公式
六种裂项基本公式(1) 二次方程的裂项公式：设ax²+bx+c=0，则有x= [-b±√(b²-4ac)]/2a(2) 三次方程的裂项公式：设ax³+bx²+cx+d=0，则有x=-[(b+√(b^2-4ac))/2a] [+(b-√(b^2-4ac))/2a](3) 四次方程的裂项公式：设ax⁴+bx³+cx²+dx+e=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a](4) 五次方程的裂项公式：设ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+ 2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b^2-4ac-2√(10b^3-27a²d+9abc))/ (5a)](5) 六次方程的裂项公式：设ax⁶+bx⁵+cx⁴+dx³+ex²+fx+g=0，则有x=[-(b+√(b²-4ac))/2a]+[(b+√(b²-4ac))/2a], [-(b-√(b²-4ac))/2a]+(b-√(b²-4ac))/2a], [-(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+[(b+2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)]+(b-2√(5b²-4ac-2√(10b³ -27a²d+9abc))/ (5a)], [-(b+ 3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+[(b+3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)], [-(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]+(b-3√(b³ -8ac+4b√(b²-4ac))/ (8a)]裂项是在多项式函数中，根据特定的基本公式将方程拆解之后得到的解。
高考数学数列求和错位相减裂项相消(解析版)全
数列求和-错位相减、裂项相消◆错位相减法错位相减法是求解由等差数列a n 和等比数列b n 对应项之积组成的数列c n (即c n =a n b n )的前n 项和的方法.这种方法运算量较大,要重视解题过程的训练.在讲等比数列的时候, 我们推导过等比数列的求和公式,其过程正是利用错位相减的原理, 等比数列的通项b n 其实可以看成等差数列通项a n a n =1 与等比数列通项b n 的积.公式秒杀:S n =(A ⋅n +B )q n -B (错位相减都可化简为这种形式,对于求解参数A 与B ,可以采用将前1项和与前2项和代入式中,建立二元一次方程求解.此方法可以快速求解出结果或者作为检验对错的依据.)【经典例题1】设数列a n 的前n 项和为S n ，若a 1=1,S n =a n +1-1．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =na n +1，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1n ∈N ∗ ； (2)T n =2-n +22n.【解析】(1)因为a 1=1,S n =a n +1-1．所以S 1=a 2-1，解得a 2=2．当n ≥2时，S n -1=a n -1，所以a n =S n -S n -1=a n +1-a n ，所以2a n =a n +1，即a n +1a n=2．因为a 2a 1=2也满足上式，所以a n 是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n =2n -1n ∈N ∗ ．(2)由(1)知a n +1=2n ，所以b n =n2n ，所以T n =1×12+2×12 2+3×12 3+⋯+n ×12 n⋯①12T n =1×12 2+2×12 3+⋯+(n -1)×12 n +n ×12n +1⋯②①-②得12T n =12+12 2+12 3+⋯+12 n -n ×12 n +1=121-12 n1-12-n ×12 n +1=1-1+n 2 12 n ，所以T n =2-n +22n．【经典例题2】已知等差数列a n 的前n 项和为S n ，数列b n 为等比数列，且a 1=b 1=1，S 3=3b 2=12．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)若c n =a n b n +1，求数列c n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n -2，b n =4n -1(2)T n =4+n -1 4n +1【解析】(1)设等差数列a n 的公差为d ，等比数列b n 的公比为q ，由题意得：3a 1+3d =12，解得：d =3，所以a n =1+3n -1 =3n -2，由3b 2=12得：b 2=4，所以q =a2a 1=4，所以b n =4n -1(2)c n =a n b n +1=3n -2 ⋅4n ，则T n =4+4×42+7×43+⋯+3n -2 4n ①，4T n =42+4×43+7×44+⋯+3n -2 4n +1②，两式相减得：-3T n =4+3×42+3×43+3×44+⋯+3×4n -3n -2 4n +1=4+3×16-4n +11-4-3n -2 4n +1=-12+3-3n 4n +1，所以T n =4+n -1 4n +1【经典例题3】已知各项均为正数的等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 3=14．(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =2n -1a n，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n n ∈N * (2)T n =3-2n +32n 【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，当q =1时，S n =na 1，所以S 2=2a 1=6，S 3=3a 1=14，无解．当q ≠1时，S n =a 11-q n 1-q ，所以S 2=a 11-q 21-q =6,S 3=a 11-q 31-q=14.解得a 1=2，q =2或a 1=18，q =-23(舍)．所以a n =2×2n -1=2n n ∈N * ．(2)b n =2n -1a n =2n -12n ．所以T n =12+322+523+⋯+2n -32n -1+2n -12n ①，则12T n=122+323+524+⋯+2n -32n+2n -12n +1②，①-②得，12T n =12+222+223+224+⋯+22n -2n -12n +1=12+2122+123+124+⋯+12n -2n -12n +1=12+2×141-12n -1 1-12-2n -12n +1=32-2n +32n +1．所以T n =3-2n +32n．【练习1】已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2a n +1n ∈N ∗ .(1)求数列a n 的通项公式；(2)求数列n a n +1 的前n 项和S n .【答案】(1)a n =2n -1(2)S n =n -1 ⋅2n +1+2【解析】(1)由a n +1=2a n +1得：a n +1+1=2a n +1 ，又a 1+1=2，∴数列a n +1 是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n +1=2n ，∴a n =2n -1.(2)由(1)得：n a n +1 =n ⋅2n ；∴S n =1×21+2×22+3×23+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n -1+n ⋅2n ，2S n =1×22+2×23+3×24+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n +n ⋅2n +1，∴-S n =2+22+23++2n-n ⋅2n +1=21-2n1-2-n ⋅2n +1=1-n ⋅2n +1-2，∴S n =n -1 ⋅2n +1+2.【练习2】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且S n =2a n -1．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =na n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1(2)T n =(n -1)⋅2n +1【解析】(1)令n =1得S 1=a 1=2a 1-1，∴a 1=1，当n ≥2时，S n -1=2a n -1-1，则a n =S n -S n -1=2a n -2a n -1，整理得a n =2a n -1，∴an a n -1=2，∴数列a n 是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n =2n -1；(2)由(1)得b n =na n =n ⋅2n -1，则T n =1⋅20+2⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅+n ⋅2n -1，2T n =1⋅21+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n ⋅2n ，两式相减得-T n =20+21+22+23+⋅⋅⋅+2n -1-n ⋅2n =1-2n1-2-n ⋅2n ，化简得T n =1-2n +n ⋅2n =(n -1)⋅2n +1．【练习3】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且3S n =4a n -2．(1)求a n 的通项公式；(2)设b n =a n +1⋅log 2a n ，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =22n -1(2)T n =409+6n -59×22n +3【解析】(1)当n =1时，3S 1=4a 1-2=3a 1，解得a 1=2．当n ≥2时，3a n =3S n -3S n -1=4a n -2-4a n -1-2 ，整理得a n =4a n -1，所以a n 是以2为首项，4为公比的等比数列，故a n =2×4n -1=22n -1．(2)由(1)可知，b n =a n +1⋅log 2a n =2n -1 ×22n +1，则T n =1×23+3×25+⋯+2n -1 ×22n +1，4T n =1×25+3×27+⋯+2n -1 ×22n +3，则-3T n =23+26+28+⋯+22n +2-2n -1 ×22n +3=23+26-22n +41-4-2n -1 ×22n +3=-403-6n -53×22n +3．故T n =409+6n -59×22n +3．【练习4】已知数列a n 满足a 1=1，a n +1=2n +1a na n +2n(n ∈N +).(1)求证数列2n a n 为等差数列；(2)设b n =n n +1 a n ，求数列b n 的前n 项和S n .【答案】(1)证明见解析 (2)S n =n -1 ⋅2n +1+2【解析】(1)由已知可得a n +12n +1=a n a n +2n ，即2n +1a n +1=2n a n +1，即2n +1a n +1-2n a n =1，∴2n a n 是等差数列.(2)由(1)知，2n a n =2a 1+n -1 ×1=n +1，∴a n =2nn +1，∴b n =n ⋅2nS n =1⋅2+2⋅22+3⋅23+⋅⋅⋅+n ⋅2n2S n =1⋅22+2⋅23+⋅⋅⋅+n -1 ⋅2n +n ⋅2n +1相减得，-S n=2+22+23+⋅⋅⋅+2n-n⋅2n+1=21-2n1-2-n⋅2n+1=2n+1-2-n⋅2n+1∴S n=n-1⋅2n+1+2◆裂项相消法把数列的通项拆成相邻两项之差,在求和时中间的一些项可以相互抵消,从而求得其和.在消项时要注意前面保留第几项,最后也要保留相对应的倒数几项.例如消项时保留第一项和第3项,相应的也要保留最后一项和倒数第三项.常见的裂项形式:(1)1n(n+k)=1k1n-1n+k;(2)1(2n-1)(2n+1)=1212n-1-12n+1;(3)1n+k+n=1k(n+k-n);(4)2n+1n2(n+1)2=1n2-1(n+1)2;(5)2n2n-12n+1-1=12n-1-12n+1-1;(6)2n(4n-1)n(n+1)=2n+1n+1-2nn;(7)n+1(2n-1)(2n+1)2n =1(2n-1)2n+1-1(2n+1)2n+2;(8)(-1)n(n+1)(2n+1)(2n+3)=14(-1)n2n+1-(-1)n+12n+3(9)(-1)nn-n-1=(-1)n(n+n-1)=(-1)n n-(-1)n-1n-1(10)1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2).(11)n⋅n!=n+1!-n!(12)kk+1!=1k!-1k+1!【经典例题1】已知正项数列a n中，a1=1，a2n+1-a2n=1，则数列1a n+1+a n的前99项和为( )A.4950B.10C.9D.14950【答案】C【解析】因为a2n+1-a2n=1且a21=1，所以，数列a2n是以1为首项，1为公差的等差数列，所以，a2n=1+n-1=n，因为数列a n为正项数列，则a n=n，则1a n+1+a n=1n+1+n=n+1-nn+1+nn+1-n=-n+n+1，所以，数列1a n+1+a n的前99项和为-1+2-2+3-⋯-99+100=10-1=9.故选：C.【经典例题2】数列a n 的通项公式为a n =2n +1n 2n +12n ∈N *，该数列的前8项和为__________．【答案】8081【解析】因为a n =2n +1n 2n +12=1n 2-1(n +1)2，所以S 8=1-122+122-132 +⋯+182-192 =1-181=8081．故答案为：8081．【经典例题3】已知数列a n 的前n 项和为S n =n 2，若b n =1a n a n +1，则数列{b n }的前n 项和为________．【答案】n 2n +1【解析】当n =1时，a 1=S 1=12=1，当n ≥2时，a n =S n -S n -1=n 2-n -1 2=2n -1，且当n =1时，2n -1=1=a 1，故数列a n 的通项公式为a n =2n -1，b n =1a n a n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 ，则数列{b n }的前n 项和为：121-13 +13-15 +15-17 +⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 =n 2n +1.故答案为：n2n +1【练习1】数列12n +1+2n -1的前2022项和为( )A.4043-12B.4045-12C.4043-1D.4045-1【答案】B 【解析】解：12n +1+2n -1=2n +1-2n -12n +1+2n -1 2n +1-2n -1=2n +1-2n -12记12n +1+2n -1 的前n 项和为T n ，则T 2022=123-1+5-3+7-5+⋯+4045-4043=124045-1 ；故选：B 【练习2】数列a n 的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列，又记b n =1a 2n +1⋅a 2n +3，数列b n 的前n 项和T n =______．【答案】n6n +9【解析】由对于任意的n ∈N *，总有a n ，S n ，a 2n 成等差数列可得：2S n =a 2n +a n ，当n ≥2时可得2S n -1=a 2n -1+a n -1，所以2a n =2S n -2S n -1=a 2n +a n -a 2n -1-a n -1，所以a 2n -a n -a 2n -1-a n -1=0，所以(a n +a n -1)(a n -a n -1-1)=0，由数列a n 的各项均为正数，所以a n -a n -1=1，又n =1时a 2n -a n =0，所以a 1=1，所以a n =n ，b n =1a 2n +1⋅a 2n +3=1(2n +1)(2n +3)=1212n +1-12n +3 ，T n =1213-15+15-17+⋯12n +1-12n +3 =1213-12n +3 =n 6n +9.故答案为：n6n +9.【练习3】12!+23!+34!+⋅⋅⋅+nn +1 !=_______.【答案】1-1n +1 !【解析】∵k k +1 !=k +1-1k +1 !=1k !-1k +1 !，∴12!+23!+34!+⋅⋅⋅+n n +1 !=1-12!+12!-13!+13!-14!+⋅⋅⋅+1n -1 !-1n !+1n !-1n +1 !=1-1n +1 !.故答案为：1-1n +1 !.【练习4】设数列a n 满足a 1+4a 2+⋯+(3n -2)a n =3n .(1)求a n 的通项公式；(2)求数列a n3n +1 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =33n -2(2)T n =3n3n +1【解析】(1)解：数列a n 满足a 1+4a 2+⋯+(3n -2)a n =3n ，当n =1时，得a 1=3，n ≥2时，a 1+4a 2+⋯+(3n -5)a n -1=3(n -1)，两式相减得：(3n -2)a n =3，∴a n =33n -2，当n =1时，a 1=3，上式也成立.∴a n =33n -2；(2)因为a n 3n +1=3(3n -2)(3n +1)，=13n -2-13n +1，∴T n =11-14+14-17+⋯+13n -2-13n +1，=1-13n +1=3n3n +1.【练习5】已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n =1-a n n ∈N ∗ .(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =log 13a n ，C n =n +1-nb n b n +1，求数列C n 的前n 项和T n【答案】(1)a n =13n (2)T n =1-1n +1【解析】(1)当n =1时，2a 1=2S 1=1-a 1，解得：a 1=13；当n ≥2时，2a n =2S n -2S n -1=1-a n -1+a n -1，即a n =13a n -1，∴数列a n 是以13为首项，13为公比的等比数列，∴a n =13 n =13n .(2)由(1)得：b n =log 1313 n =n ，∴C n =n +1-n n n +1=1n -1n +1，∴T n =1-12+12-13+13-14+⋅⋅⋅+1n -1-1n +1n -1n +1=1-1n +1.【练习6】已知数列a n 中，2n a 1+2n -1a 2+⋯+2a n =n ⋅2n ．(1)证明：a n 为等比数列，并求a n 的通项公式；(2)设b n =(n -1)a nn (n +1)，求数列b n 的前n 项和S n ．【答案】(1)证明见解析；a n =2n -1n ∈N *(2)2n n +1-1【解析】(1)解：2n a 1+2n -1a 2+⋯+2a n =n ⋅2n ，即为a 1+a 22+⋯+a n2n -1=n ·······①，又a 1+a 22+⋯+a n -12n -2=n -1，········②，①-②得a n2n -1=1，即a n =2n -1(n ≥2)，又当n =1时，a 1=1=21-1，故a n =2n -1n ∈N * ；从而a n +1a n =2n2n -1=2n ∈N * ，所以a n 是首项为1，公比为2的等比数列；(2)由(1)得b n =(n -1)2n -1n (n +1)=2n n +1-2n -1n ，所以S n =212-201 +223-212 +⋯+2n n +1-2n -1n =2nn +1-1.【练习7】记S n 是公差不为零的等差数列a n 的前n 项和，若S 3=6，a 3是a 1和a 9的等比中项.(1)求数列a n 的通项公式；(2)记b n =1a n ⋅a n +1⋅a n +2，求数列b n 的前20项和.【答案】(1)a n =n ，n ∈N *(2)115462【解析】(1)由题意知a 23=a 1⋅a 9，设等差数列a n 的公差为d ，则a 1a 1+8d =a 1+2d 2，因为d ≠0，解得a 1=d又S 3=3a 1+3d =6，可得a 1=d =1，所以数列a n 是以1为首项和公差为1的等差数列，所以a n =a 1+n -1 d =n ，n ∈N *(2)由(1)可知b n =1n n +1 n +2 =121n n +1 -1n +1 n +2，设数列b n 的前n 和为T n ，则T n =1211×2-12×3+12×3-13×4+⋅⋅⋅+1n n +1 -1n +1 n +2=1212-1n +1 n +2，所以T 20=12×12-121×22 =115462所以数列b n 的前20和为115462【练习8】已知等差数列a n 满足a 3=7，a 5+a 7=26，b n =1a 2n -1(n ∈N +)．(1)求数列a n ，b n 的通项公式；(2)数列b n 的前n 项和为S n ，求S n ．【答案】(1)a n =2n +1，b n =14n n +1(2)S n =n 4n +1【解析】(1)由题意，可设等差数列a n 的公差为d ，则a 1+2d =72a 1+10d =26，解得a 1=3，d =2，∴a n =3+2n -1 =2n +1；∴b n =1a 2n -1=12n +1 2-1=14n 2+4n =14n n +1 ；(2)∵b n =14n n +1=141n -1n +1 ，S n =141-12+12-13+⋯+1n -1n +1 =141-1n +1 =n 4n +1．【练习9】已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，且4、a n +1、S n 成等比数列，其中n ∈N ∗．(1)求数列a n 的通项公式；(2)设b n =4S na n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =2n -1(2)T n =n +n2n +1【解析】(1)解：对任意的n ∈N ∗，a n >0，由题意可得4S n =a n +1 2=a 2n +2a n +1.当n =1时，则4a 1=4S 1=a 21+2a 1+1，解得a 1=1，当n ≥2时，由4S n =a 2n +2a n +1可得4S n -1=a 2n -1+2a n -1+1，上述两个等式作差得4a n =a 2n -a 2n -1+2a n -2a n -1，即a n +a n -1 a n -a n -1-2 =0，因为a n +a n -1>0，所以，a n -a n -1=2，所以，数列a n 为等差数列，且首项为1，公差为2，则a n =1+2n -1 =2n -1.(2)解：S n =n 1+2n -12=n 2，则b n =4S n a n a n +1=4n 22n -1 2n +1 =4n 2-1+12n -1 2n +1 =1+12n -1 2n +1=1+1212n -1-12n +1，因此，T n =n +121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =n +n2n +1.【练习10】已知S n 是数列a n 的前n 项和，a 1=1，___________.①∀n ∈N ∗，a n +a n +1=4n ；②数列S n n 为等差数列，且S nn 的前3项和为6.从以上两个条件中任选一个补充在横线处，并求解：(1)求a n ；(2)设b n =a n +a n +1a n ⋅a n +1 2，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)条件选择见解析，a n =2n -1(2)T n =2n n +12n +12【解析】(1)解：选条件①：∀n ∈N ∗，a n +a n +1=4n ，得a n +1+a n +2=4n +1 ，所以，a n +2-a n =4n +1 -4n =4，即数列a 2k -1 、a 2k k ∈N ∗ 均为公差为4的等差数列，于是a 2k -1=a 1+4k -1 =4k -3=22k -1 -1，又a 1+a 2=4，a 2=3，a 2k =a 2+4k -1 =4k -1=2⋅2k -1，所以a n =2n -1；选条件②：因为数列S n n 为等差数列，且S nn 的前3项和为6，得S 11+S 22+S 33=3×S 22=6，所以S 22=2，所以S n n 的公差为d=S 22-S 11=2-1=1，得到Sn n =1+n -1 =n ，则S n =n 2，当n ≥2，a n =S n -S n -1=n 2-n -1 2=2n -1.又a 1=1满足a n =2n -1，所以，对任意的n ∈N ∗，a n =2n -1.(2)解：因为b n =a n +a n +1a n ⋅a n +1 2=4n 2n -1 22n +1 2=1212n -1 2-12n +1 2，所以T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =12112-132+132-152+⋅⋅⋅+12n -1 2-12n +1 2 =121-12n +1 2 =2n n +1 2n +12.【过关检测】一、单选题1.S n=12+24+38+⋯+n2n=( )A.2n-n2n B.2n+1-n-22nC.2n-n+12n+1D.2n+1-n+22n【答案】B 【解析】由S n=12+24+38+⋯+n2n，得12S n=1×122+2×123+3×124+⋯+n⋅12n+1，两式相减得12S n=12+122+123+124+⋯+12n-n⋅12n+1=121-12n1-12-n12 n+1=1-12n-n⋅12 n+1=2n+1-n-22n+1.所以S n=2n+1-n-22n.故选：B.2.数列n⋅2n的前n项和等于( )．A.n⋅2n-2n+2B.n⋅2n+1-2n+1+2C.n⋅2n+1-2nD.n⋅2n+1-2n+1【答案】B【解析】解：设n⋅2n的前n项和为S n，则S n=1×21+2×22+3×23+⋯+n⋅2n， ①所以2S n=1×22+2×23+⋯+n-1⋅2n+n⋅2n+1， ②①-②，得-S n=2+22+23+⋯+2n-n⋅2n+1=21-2n1-2-n⋅2n+1，所以S n=n⋅2n+1-2n+1+2．故选:B．3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3=7，S6=63，则数列{nan}的前n项和为( )A.-3+(n+1)×2nB.3+(n+1)×2nC.1+(n+1)×2nD.1+(n-1)×2n【答案】D【解析】设等比数列{an}的公比为q，易知q≠1，所以由题设得S3=a11-q31-q=7S6=a11-q61-q=63 ，两式相除得1+q3=9，解得q=2，进而可得a1=1，所以an=a1qn-1=2n-1，所以nan=n×2n-1.设数列{nan }的前n 项和为Tn ，则Tn =1×20+2×21+3×22+⋯+n ×2n -1，2Tn =1×21+2×22+3×23+⋯+n ×2n ，两式作差得-Tn =1+2+22+⋯+2n -1-n ×2n =1-2n1-2-n ×2n =-1+(1-n )×2n ，故Tn =1+(n -1)×2n .故选：D .4.已知等差数列a n ，a 2=3，a 5=6，则数列1a n a n +1的前8项和为( )．A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】由a 2=3，a 5=6可得公差d =a 5-a 23=1 ，所以a n =a 2+n -2 d =n +1，因此1a n a n +1=1n +1 n +2 =1n +1-1n +2 ，所以前8项和为12-13 +13-14 +⋯+19-110 =12-110=25故选：B 5.已知数列a n 的前n 项和为S n ，S n +4=a n +n +1 2．记b n =8a n +1a n +2，数列的前n 项和为T n ，则T n 的取值范围为( )A.863,47 B.19,17C.47,+∞D.19,17【答案】A 【解析】因为数列a n 中，S n +4=a n +(n +1)2，所以S n +1+4=a n +1+n +2 2，所以S n +1+4-S n +4 =a n +1-a n +2n +3，所以a n =2n +3．因为b n =8a n +1a n +2，所以b n =82n +5 2n +7=412n +5-12n +7 ，所以T n =417-19+19-111+⋅⋅⋅+12n +5-12n +7=417-12n +7 ．因为数列T n 是递增数列，当n =1时，T n =863，当n →+∞时，12n +7→0，T n →47，所以863≤T n <47，所以T n 的取值范围为863,47 ．故选：A ．6.已知数列满足a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2，设b n =na n ，则数列1b n b n +1的前2022项和为( )A.40424043B.20214043C.40444045D.20224045【答案】D【解析】因为a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =n 2①，当n =1时，a 1=1；当n ≥2时，a 1+2a 2+3a 3+⋯+n -1 a n -1=(n -1)2②，①-②化简得a n =2n -1n ，当n =1时：a 1=2×1-11=1=1，也满足a n =2n -1n，所以a n =2n -1n ，b n =na n =2n -1，1b n b n +1=1(2n -1)(2n +1)=1212n -1-12n +1 所以1b n b n +1的前2022项和121-13+13-15+⋯+12×2022-1-12×2022+1 =121-12×2022+1 =20224045.故选:D .7.已知数列a n 满足a 1=1，且a n =1+a n a n +1，n ∈N *，则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯⋯+a 2020a 2021=( )A.2021 B.20202021C.122021D.22021【答案】B 【解析】∵a n =1+a n a n +1，即a n +1=a n 1+a n ，则1a n +1=1+a n a n =1a n +1∴数列1a n是以首项1a 1=1，公差d =1的等差数列则1a n =1+n -1=n ，即a n =1n∴a n a n +1=1n n +1=1n -1n +1则a 1a 2+a 2a 3+a 3a 4+⋯⋯+a 2020a 2021=1-12+12-13+...+12020-12021=20202021故选：B ．8.等差数列a n 中，a 3=5,a 7=9，设b n =1a n +1+a n，则数列b n 的前61项和为( )A.7-3B.7C.8-3D.8【答案】C 【解析】解：因为等差数列满足a 3=5,a 7=9，所以d =a 7-a 37-3=1，所以a n =a 3+n -3 d =n +2，所以b n =1n +3+n +2=n +3-n +2，令数列b n 的前n 项和为S n ，所以数列b n 的前n 项和S n =4-3+5-4+⋯+n +3-n +2=n +3-3，所以S 61=8-3．故选：C ．9.设数列n 22n -1 2n +1的前n 项和为S n ，则( )A.25<S 100<25.5B.25.5<S 100<26C.26<S 100<27D.27<S 100<27.5【答案】A 【解析】由n 2(2n -1)(2n +1)=14⋅4n 24n 2-1=141+14n 2-1 =141+121(2n -1)(2n +1)=14+1812n -1-12n +1，∴S n =n 4+181-13+13-15+⋅⋅⋅+12n -1-12n +1 =n 4+181-12n +1 =n (n +1)2(2n +1)，∴S 100=100×1012(2×100+1)≈25.12，故选：A ．10.已知数列a n 满足a n =1+2+4+⋯+2n -1，则数列2n a n a n +1 的前5项和为( )A.131B.163C.3031D.6263【答案】D 【解析】因为a n =1+2+4+⋯+2n -1=2n -1,a n +1=2n +1-1，所以2n a n a n +1=2n 2n -1 2n +1-1 =2n +1-1 -2n-1 2n -1 2n +1-1=12n -1-12n +1-1.所以2n a n a n +1 前5项和为121-1-122-1 +122-1-123-1 +⋯+125-1-126-1 =121-1-126-1=1-163=6263故选：D 11.已知数列a n 的首项a 1=1，且满足a n +1-a n =2n n ∈N * ，记数列a n +1a n +2 a n +1+2的前n 项和为T n ，若对于任意n ∈N *，不等式λ>T n 恒成立，则实数λ的取值范围为( )A.12,+∞ B.12,+∞C.13,+∞D.13,+∞【答案】C 【解析】解：因为a n +1-a n =2n n ∈N * ，所以a 2-a 1=21，a 3-a 2=22，a 4-a 3=23，⋯⋯，a n -a n -1=2n -1，所以a n -a 1=21+22+⋯+2n -1=21-2n -1 1-2=2n -2，n ≥2 ，又a 1=1，即a n =2n -1，所以a n +1=2n ，所以a n +1a n +2 a n +1+2 =2n 2n +1 2n +1+1=12n +1-12n +1+1，所以T n =121+1-122+1+122+1-123+1+⋯+12n +1-12n +1+1=13-12n +1+1<13所以λ的取值范围是13,+∞ .故选：C 12.在数列a n 中，a 2=3，其前n 项和S n 满足S n =n a n +12 ，若对任意n ∈N +总有14S 1-1+14S 2-1+⋯+14S n -1≤λ恒成立，则实数λ的最小值为( )A.1B.23C.12D.13【答案】C 【解析】当n ≥2时，2S n =na n +n ，2S n -1=n -1 a n -1+n -1 ，两式相减，整理得n -2 a n =(n -1)a n -1-1①，又当n ≥3时，n -3 a n -1=n -2 a n -2-1②，①-②，整理得n -2 a n +a n -2 =2n -4 a n -1，又因n -2≠0，得a n +a n -2=2a n -1，从而数列a n 为等差数列，当n =1时，S 1=a 1+12即a 1=a 1+12，解得a 1=1，所以公差d =a 2-a 1=2，则a n =2n -1，S n =na 1+n (n -1)2d =n 2，故当n ≥2时，14S 1-1+14S 2-1+⋯+14S n -1=122-1+142-1+⋯+12n 2-1=11×3+13×5+⋯+12n -1 2n +1=121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =121-12n +1 ，易见121-12n +1 随n 的增大而增大，从而121-12n +1 <12恒成立，所以λ≥12，故λ的最小值为12，故选：C ．二、填空题13.已知正项数列{an }满足a 1=2且an +12-2an 2-anan +1=0，令bn =(n +2)an ，则数列{bn }的前8项的和等于__．【答案】4094【解析】由a 2n +1-2a 2n -a n a n +1=0，得(an +1+an )(an +1-2an )=0，又an >0，所以an +1+an >0，所以an +1-2an =0，所以an +1a n=2，所以数列{an }是以2为首项，2为公比的等比数列，所以a n =2×2n -1=2n ，所以b n =n +2 a n =n +2 ⋅2n ，令数列{bn }的前n 项的和为Tn ，T 8=3×21+4×22+⋯+9×28，则2T 8=3×22+4×23+⋯+9×29，-T 8=6+22+23+⋯+28 -9×29=6+221-271-2-9×29=2-8×29=-4094，则T 8=4094，故答案为：4094．14.已知数列{an }的前n 项和为Sn ，且Sn =2an -2，则数列n a n的前n 项和Tn =__．【答案】2-n +22n.【解析】解：∵Sn =2an -2，∴Sn -1=2an -1-2(n ≥2)，设公比为q ，两式相减得：an =2an -2an -1，即an =2an -1，n ≥2，又当n =1时，有S 1=2a 1-2，解得：a 1=2，∴数列{an }是首项、公比均为2的等比数列，∴an =2n ，n a n =n2n ，又Tn =121+222+323+⋯+n2n ，12Tn =122+223+⋯+n -12n +n 2n +1，两式相减得：12Tn =12+122+123+⋯+12n -n 2n +1=121-12n1-12-n2n +1，整理得：Tn =2-n +22n．故答案为：Tn =2-n +22n ．15.将1+x n (n ∈Ν+)的展开式中x 2的系数记为a n ，则1a 2+1a 3+⋅⋅⋅+1a 2015=__________．【答案】40282015【解析】1+xn的展开式的通项公式为T k +1=C k n x k ，令k =2可得a n =C 2n =n n -12；1a n =2n n -1=21n -1-1n ；所以1a 2+1a 3+⋅⋅⋅+1a 2015=21-12 +212-13 +⋯+212014-12015=21-12015 =40282015.故答案为：40282015.16.数列a n 的前项n 和为S n ，满足a 1=-12，且a n +a n +1=2n 2+2nn ∈N * ，则S 2n =______．【答案】2n 2n +1【解析】由题意，数列{a n }满足a n +a n +1=2n 2+2n，可得a 2n -1+a 2n =2(2n -1)2+2(2n -1)=2(2n -1)(2n +1)=12n -1-12n +1，所以S 2n =11-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1=1-12n +1=2n2n +1，故答案为：2n2n +1三、解答题17.已知数列a n 满足a 1=1，2a n +1a n +a n +1-a n =0.(1)求证：数列1a n 为等差数列；(2)求数列a n a n +1 的前n 项和S n .【答案】(1)证明见解析；(2)S n =n2n +1.【解析】(1)令b n =1a n ，因为b n +1-b n =1a n +1-1a n =a n -a n +1a n ⋅a n +1=2，所以数列b n 为等差数列，首项为1，公差为2；(2)由(1)知：b n =2n -1；故a n =12n -1；所以a n a n +1=12n -1 2n +1=1212n -1-12n +1 ；所以S n =a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n +1=11×3+13×5+⋯+12n -1 2n +1=121-13+13-15+⋯+12n -1-12n +1 =n 2n +1；18.已知正项数列a n 的前n 项和为S n ，a n +1-a n =3n ∈N * ，且S 3=18.(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =1a n a n +1，求数列b n 的前n 项和T n .【答案】(1)a n =3n (2)T n =n9n +9【解析】(1)∵a n +1-a n =3，∴数列a n 是以公差为3的等差数列.又S 3=18，∴3a 1+9=18，a 1=3，∴a n =3n .(2)由(1)知b n =13n ×3n +1=19×1n -1n +1 ，于是T n =b 1+b 2+b 3+⋅⋅⋅+b n =191-12 +12-13 +13-14 +⋅⋅⋅+1n -1n +1 =191-1n +1 =n 9n +919.已知数列a n 的首项为3，且a n -a n +1=a n +1-2 a n -2 ．(1)证明数列1a n -2 是等差数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n an n +1，求数列b n 的前n 项和S n ．【答案】(1)证明见解析；a n =1n+2(2)-1+-1 n1n +1【解析】(1)因为a n -a n +1=a n +1-2 a n -2 ，所a n -2 -a n +1-2 =a n +1-2 a n -2 ，则1a n +1-2-1a n -2=1，所以数列1a n -2 是以13-2=1 为首项，公差等于1的等差数列，∴1a n -2=1+n -1 =n ，即a n =1n+2；(2)b n =-1 n a n n +1=-1 n 1n n +1+2n +1 =-1 n 1n +1n +1 ，则S n =-1+12 +12+13 -13+14 +⋅⋅⋅+-1 n 1n +1n +1 =-1+-1 n 1n +1；综上，a n =1n +2，S n =-1+-1 n 1n +1 .20.已知数列a n 中，a 1=-1，且满足a n +1=2a n -1.(1)求证：数列a n -1 是等比数列，并求a n 的通项公式；(2)若b n =n +11-a n +1，求数列b n 的前n 项和为T n .【答案】(1)证明见解析，a n=-2n+1(2)T n=32-n+32n+1【解析】(1)解：对任意的n∈N∗，a n+1=2a n-1，所以a n+1-1=2a n-1，且a1-1=-2，所以数列a n-1是以-2为首项，2为公比的等比数列．所以a n-1=-2n，所以a n=-2n+1．(2)解：由已知可得b n=n+11-a n+1=n+12n+1，则T n=222+323+424+⋯+n+12n+1，所以，12T n=223+324+⋯+n 2n+1+n+12n+2，两式相减得12T n=222+123+⋯+12n+1-n+12n+2=12+181-12n-11-12-n+12n+2=34-1 2n+1-n+12n+2=34-n+32n+2，因此，T n=32-n+32n+1.21.已知等比数列a n，a1=2，a5=32.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列a n为正项数列(各项均为正)，求数列(2n+1)⋅a n的前n项和T n.【答案】(1)a n=2n或a n=2·-2n-1；(2)T n=2+(2n-1)⋅2n+1.【解析】(1)等比数列a n的公比为q，a1=2，a5=32，则q4=a5a1=16，解得q=±2，所以当q=2时，a n=2n，当q=-2时，a n=2⋅(-2)n-1.(2)由(1)知，a n=2n，则有(2n+1)⋅a n=(2n+1)⋅2n，则T n=3×21+5×22+7×23+⋯+(2n+1)⋅2n，于是得2T n=3×22+5×23+⋯+(2n-1)⋅2n+(2n+1)⋅2n+1，两式相减，得-T n=6+2×(22+23+⋯+2n)-(2n+1)⋅2n+1=6+2×22×(1-2n-1)1-2-(2n+1)⋅2n+1=-2-(2n-1)⋅2n+1，所以T n=2+(2n-1)⋅2n+1.22.已知等差数列a n满足a1=1，a2⋅a3=a1⋅a8，数列b n的前n项和为S n，且S n=32b n.(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)求数列a n b n的前n项和T n.【答案】(1)a n=1或a n=2n-1；b n=3n；(2)若a n=1，则T n=33n-13；若a n=2n-1，则T n=n-13n+1+3.【解析】(1)设等差数列a n的公差为d，∵a1=1，a2⋅a3=a1⋅a8，∴1+d1+2d=1+7d，化简得2d2-4d=0，解得：d=0或d=2，若d=0，则a n=1；若d=2，则a n=2n-1；由数列b n的前n项和为S n=32b n-32①，当n=1时，得b1=3，当n≥2时，有S n-1=32b n-1-32②；①-②有b n=32b n-32b n-1，即b nb n-1=3，n≥2，所以数列b n是首项为3，公比为3的等比数列，所以b n=3n，综上所述：a n=1或a n=2n-1；b n=3n；(2)若a n=1，则a n b n=b n=3n，则T n=3+32+⋯+3n=31-3n1-3=33n-12，若a n=2n-1，则a n b n=2n-13n，则T n=1×3+3×32+⋯+2n-1×3n③；③×3得3T n=1×32+3×33+⋯+2n-1×3n+1④；③-④得：-2T n=3+2×32+2×33+⋯+2×3n-2n-1×3n+1=3+2×32(1-3n-1)1-3-(2n-1)×3n+1整理化简得：T n=n-13n+1+3，综上所述：若a n=1，则T n=33n-13；若a n=2n-1，则T n=n-13n+1+3.。
高数裂项技巧
高数裂项技巧高数裂项技巧是在解决高等数学中的一些特殊问题时常用的重要工具。
裂项是将一个项或者多个项分解成若干个不等式或等式的和的过程，通过裂项可以简化问题的计算过程，提高解题的效率。
本文将介绍一些常见的高数裂项技巧，以帮助读者更好地理解和运用裂项技巧。
第一种裂项技巧是分子分解。
当遇到一个复杂的式子，其中含有多个分子项时，我们可以将其分解成若干项的和，然后利用裂项的性质化简。
例如，对于一个分子项为a+b的式子，我们可以将其分解成a和b两个项的和，然后分别处理，最后再将结果相加。
这样做可以避免在计算过程中出现复杂的符号运算，提高计算的准确性和速度。
第二种裂项技巧是分数分解。
当遇到一个分数项时，我们可以将其分解成若干个项的和或差。
例如，对于一个分数项a/b，我们可以将其分解成a和b两个项的和或差，然后根据具体情况来选择运算。
这种裂项技巧在处理分式方程和分式不等式时尤为有效，可以将问题转化为更简单的整式方程或整式不等式的解题过程。
第三种裂项技巧是换元法。
当遇到一个复杂的式子，其中含有多个变量时，我们可以通过引入新的变量来简化问题的计算过程。
例如，对于一个含有两个变量x和y的式子，我们可以引入新的变量u=x+y和v=x-y，然后将原式子转化为只含有u和v的式子。
这样做可以有效地减少计算量，提高解题的效率。
第四种裂项技巧是配方法。
当遇到一个复杂的代数式，其中含有多项的乘积或者幂的和时，配方法可以帮助我们将其分解成更简单的因式乘积或幂的和。
例如，对于一个含有三个因式的乘积(a+b)(c+d)(e+f)，我们可以通过对其中的两个因式进行展开和化简，然后再对第三个因式进行展开和化简，最后将结果相加。
这样做可以将原式子分解成乘积的和，从而简化计算过程。
第五种裂项技巧是三角函数的裂项。
当遇到一个复杂的三角函数表达式时，我们可以通过裂项技巧将其分解成若干个简单的三角函数的和或差。
例如，对于一个包含三角函数的乘积sin(x)cos(y)，我们可以将其展开成sin(x)cos(y)=0.5[sin(x+y)+sin(x-y)]的形式，从而简化计算的过程。
高中数学裂项相消法
高中数学裂项相消法
【高中数学裂项相消法】
一、什么是裂项相消法
裂项相消法（polynomial long division）是一种方法，用于计算多项式的商和余数。
它要解决的问题是将一个多项式除以另一个多项式，试图计算出商和余数。
二、裂项相消法的步骤
1. 首先，为多项式的除数挑选一个最高次项系数，另外在除数
的多项式中挑选出一项，注意它要与被除数的第一项拥有相同的次数，把它放在商（quotient）的顶部。
2. 把除数乘以第一项后的结果，从被除数的第一项开始减去，
然后运用带分数线的除法，把结果放在被除数的下面，作为新的被除数。
3. 继续按照第一步和第二步的步骤，把每一步的结果放在被除
数的下面，直到最后一项取完，下面空白处放置余数，这样就解出商和余数。
三、裂项相消法的示例
例题：计算 (2x3 - 5x + 2) ÷ (x - 2)
2x3 - 5x +2
÷ x -2
2x2 + 7x + 4
- 2x2 + 4x
----------------
2x + 4
这样，(2x3 - 5x + 2) ÷ (x - 2)得出的商是 2x + 4 ，余数是 4 。
高中数学裂项公式大全
高中数学裂项公式大全
高中数学是学习中非常重要的部分，数学裂项公式是学习数学的重要组成部分。
裂项公式指的是用于完成某种数学运算的一组数学公式，它们是数学技术的基础。
它们十分重要，因为它们可以让我们快速、有效地解决数学问题。
以下是高中数学裂项公式的主要公式：
1、二次方程的裂项公式：
二次方程的裂项公式是最常见的数学公式之一，它可以帮助我们解决二次方程。
它的定义如下：
ax2 + bx + c = 0
解决这个方程的标准方法是使用裂项公式，它的公式如下：
x1,2 = (-bb2 - 4ac) / 2a
2、幂的裂项公式:
幂的裂项公式是用来解决指数方程的公式，它的定义如下：
axm + bxn = c
解决这个方程的标准方法是使用裂项公式，它的公式如下：
x1,2 = c1/m + c2/n
其中c1和c2分别是：
c1 = b -b2 - 4ac
c2 = b +b2 - 4ac
3、立方方程的裂项公式：
立方方程的裂项公式是用来解决立方方程的公式，它的定义如下： ax3 + bx2 + cx + d = 0
解决这个方程的标准方法是使用裂项公式，它的公式如下： x1,2,3 = -b / 3a + n
其中n表示下面的公式的返回值：
n = (q / 2 +q3 + w2)1/3 + (q / 2 -q3 + w2)1/3 其中q和w是：
q = 2b3 - 9abc
w = 27a2d - bc2
4、二次多项式的求根公式：
如果我们要求解二次多项式，我们可以使用求根公式。
高中常见裂项公式归纳
高中常见裂项公式归纳高中数学课程中，裂项公式是重要的数学工具，它可以帮助学生求解复杂的数学问题，推导出非常有用的结果。
裂项公式的应用比较广泛，在本文中，我们将介绍高中常见的裂项公式。
首先，二次裂项公式：a2+b2=c2(a,b,c≥0)。
这是定义“勾股定理”的公式，它的意思是给定两个正整数，可以求出它们之间最小正整数的平方和。
通过解这个公式，可以得出结论：所求的数等于两个正整数之间最小正整数的平方根。
例如：a=3，b=4，则c=5。
其次是三次裂项公式：a3+b3+c3=d3 (a,b,c,d≥0)。
这是定义“三次裂项”的公式，它的意思是给定3个正整数，可以求出它们之间最小正整数的立方和。
通过解这个公式，可以得出结论：所求的数等于两个正整数之间最小正整数的立方根。
例如：a=3，b=4，c=5，则d=6。
第三，四次裂项公式：a4+b4=c4 (a,b,c≥0)。
这是定义“四次裂项”的公式，它的意思是给定2个正整数，可以求出它们之间最小正整数的四次方和。
通过解这个公式，可以得出结论：所求的数等于两个正整数之间最小正整数的四次方根。
例如：a=3，b=4，则c=5。
此外，还有高斯这一切公式：1^2+2^2+3^2+…n^2=n(n+1)(2n+1)/6。
这个公式是用来计算1到n的数的平方和的，它的意思是给定任意的正整数n，可以求出从1到n的数的平方和。
通过解这个公式，可以得出结论：所求的数等于n(n+1)(2n+1)的除以6的值。
例如：n=10，则所求的值为385。
最后，泰勒级数公式：Sn=a1+a2+a3+…+an。
这个公式可以用来计算指定正整数范围内的等差数列的和，它的意思是给定任意的正整数n，可以求出从a1到an的数的和。
通过解这个公式，可以得出结论：所求的和等于(a1+an)乘以n的一半，再除以2。
例如：a1=1，an=100，n=100，则所求的值为5050。
总而言之，上述就是高中常见裂项公式的归纳。
裂项相消法的原理及技巧
裂项相消法的原理及技巧
嘿，你问裂项相消法的原理及技巧呀？这事儿可得好好说说。
先说原理哈。
裂项相消法呢，就是把一个式子拆成两个或者几个式子的差，然后呢，这些式子在求和的时候，很多项就可以相互抵消掉啦。
就好像玩拼图游戏，把一个大拼图拆成小块，然后再把有用的小块拼起来，没用的就扔掉。
比如说，有个式子是1/2+1/6+1/12+1/20，咱可以把1/2 拆成1-1/2，1/6 拆成1/2-1/3，1/12 拆成1/3-1/4，1/20 拆成
1/4-1/5，这样一拆，再一加，很多项就抵消了，最后就好算了。
再说说技巧。
一个呢，得会观察式子的特点。
看看能不能找到规律，把它拆成可以相消的形式。
就像找宝藏一样，得仔细观察哪里有线索。
比如说，如果式子是分数的形式，分母是两个连续整数的乘积，那就有可能用裂项相消法。
另一个呢，拆的时候要拆得准确。
不能瞎拆，不然越拆越乱。
就像拆玩具，得知道怎么拆才能装回去。
还有啊，在相消的时候要仔细，别消错了项。
我跟你讲个事儿哈。
我有个同学，他做数学题的时候遇
到一个求和的式子，怎么都算不出来。
后来老师告诉他用裂项相消法。
他就按照老师说的，观察式子的特点，把它拆成可以相消的形式。
一开始他拆得不太对，怎么都消不了。
后来他又仔细看了看，终于拆对了。
一相消，嘿，答案就出来了。
从那以后，他就知道了裂项相消法的厉害。
所以啊，裂项相消法有它的原理和技巧。
只要掌握好了，很多难题都能迎刃而解。
加油吧！。
裂项法解题技巧和方法
裂项法解题技巧和方法
嘿，朋友们！今天咱要来聊聊超厉害的裂项法解题技巧和方法，这可真是解题的一把利器啊！
比如说，计算 1/2 + 1/6 + 1/12 + 1/20 ，咱就可以用裂项法。
1/2 可以变成1/1×2 = 1 - 1/2 ，1/6 呢可以变成1/2×3 = 1/2 - 1/3 ，以此类推，然后原式就可以转化为（1 - 1/2 ）+（1/2 - 1/3 ）+（1/3 - 1/4 ）+
（1/4 - 1/5 ），这样一化简，好多项就相互抵消啦，最后答案一下子就出
来啦，是不是很神奇？
裂项法就像是一把神奇的钥匙，能打开很多难题的大门！再比如计算
1/3 + 1/15 + 1/35 + 1/63 ，咱也用裂项法呀！1/3 可以写成1/1×3 =
1/2×（1 - 1/3 ），1/15 能变成1/3×5 = 1/2×（1/3 - 1/5 ），你们看，
这样原题就变得简单多啦！
“哎呀，这裂项法也太好用了吧！”我惊叹道。
“可不是嘛！”朋友小李也附和着，“以前觉得那么难的题，现在用裂项法轻松就搞定了！”
想想以前遇到这类题，那可真是让人头疼啊，毫无头绪，像只无头苍蝇一样乱撞。
但现在有了裂项法，就好像在黑暗中找到了一盏明灯，指引着我们前进的方向。
所以啊，大家一定要好好掌握裂项法解题技巧和方法，它真的能让我们在解题的道路上如鱼得水，畅通无阻！别再犹豫啦，赶紧用起来，去攻克那些曾经让你头疼的难题吧！相信我，你会感受到它的强大魅力的！。
高中数学裂项公式大全
高中数学裂项公式大全在学习高中数学时，裂项公式是学生必须掌握的重要知识点，熟练地运用它化繁为简、解决实际问题。
以下就是高中数学裂项公式大全。
1、阶乘公式阶乘（Factorial）是指一个非负整数的函数：f(n)=n(n-1)(n-2)...3*2*1，泛指所有正整数，若n=0，则阶乘（factorial）的值定义为1。
阶乘的计算公式：f(n)=n!=n*(n-1)!2、平方根公式平方根（Square Root）是指一个自然数的函数：f(n)=a，使得a^2=n，即自然数n的平方根为a。
平方根的计算公式：f(n)=a=√n3、立方根公式立方根（Cube Root）是指一个自然数的函数：f(n)=a，使得a^3=n，即自然数n的立方根为a。
立方根的计算公式：f(n)=a=n4、绝对值公式绝对值（Absolute Value）是指一个实数的函数：f(x)=a，使得|x|=a，即实数x的绝对值为a。
绝对值的计算公式：f(x)=a=|x|5、平方公式平方（Square）是指一个自然数的函数：f(n)=a，使得a^2=n，即自然数n的平方为a。
平方的计算公式：f(n)=a=n^26、立方公式立方（Cube）是指一个自然数的函数：f(n)=a，使得a^3=n，即自然数n的立方为a。
立方的计算公式：f(n)=a=n^37、一元二次方程的解的公式一元二次方程是指有一个未知数的二次方程，一般格式如：ax2+bx+c=0，其中a、b和c为实数。
一元二次方程的解的计算公式： x1= [-b +(b2-4ac)] / 2ax2= [-b -(b2-4ac)] / 2a8、平方差公式平方差（Square Difference）是指一个数列的函数：f(x1,x2,x3...xn)，使得f(x1,x2,x3...xn)=(x1-xn)^2+(x2-xn)^2+......+ (xn-xn)^2=a，即数列x1,x2,x3…xn的平方差为a。
裂项的计算方法
裂项的计算方法一、裂项是啥。
1.1裂项啊，就像是把一个复杂的式子拆成好几个简单的部分。
这就好比把一个大蛋糕切成好几块小蛋糕，每一块都好处理多了。
比如说分数的裂项，就是把一个分数拆成两个或者几个分数相加减的形式。
这可不是什么故弄玄虚的东西，而是实实在在能简化计算的妙招。
1.2咱们举个简单的例子，像1/(n(n + 1))这样的式子，就可以裂项成1/n 1/(n + 1)。
这就像把一个整体的任务分解成两个小任务，每个小任务都清晰明了。
这时候你可能会想，这有啥用呢？等你看到在计算一些求和式子的时候，就知道它的厉害了。
二、裂项在计算中的应用。
2.1求和计算。
比如说计算1/(1×2)+1/(2×3)+1/(3×4)+…+1/(99×100)。
要是直接计算，那可费劲了，就像摸着石头过河，一步一个坎。
但是用裂项的方法呢，就变成了(1 1/2)+(1/2 1/3)+(1/3 1/4)+…+(1/99 1/100)。
你看，这中间很多项都可以互相抵消，最后就只剩下1 1/100，简单得很，就像顺水推舟一样轻松。
2.2再比如说，对于式子1/(n(n + 2))，它可以裂项成1/2×(1/n 1/(n + 2))。
当我们计算1/(1×3)+1/(3×5)+1/(5×7)+…+1/(99×101)的时候，利用这个裂项公式，就可以把式子转化为1/2×((1 1/3)+(1/3 1/5)+(1/5 1/7)+…+(1/99 1/101))。
这里面很多项相互抵消后，计算起来就不费吹灰之力了。
2.3还有更复杂一点的，像分母是三个连续自然数相乘的情况，比如1/(n(n + 1)(n + 2))，它可以裂项成1/2×[1/(n(n + 1))-1/((n + 1)(n + 2))]。
这就好比是把一个乱成一团麻的式子，梳理得井井有条。
高数裂项技巧
高数裂项技巧高数中的裂项技巧是一种常用的数学技巧，用于简化复杂的数学表达式和求解问题。
它基于裂项的概念，通过将一个或多个项分解成更简单的形式，从而简化计算过程和提高求解的效率。
在高数学习过程中，掌握裂项技巧对于解题和理解数学概念都具有重要意义。
本文将介绍裂项技巧的定义、常用的裂项公式和技巧的应用示例。
首先，裂项是指将一个数学表达式的一个或多个项分解成更简单的形式。
裂项技巧是在求解数学问题时，通过裂项的方式将复杂的表达式简化成容易处理的形式。
裂项技巧的关键在于选择适当的分解方式和利用代数运算的性质来简化表达式。
常用的裂项公式包括差的平方公式、和的平方公式、差的立方公式和和的立方公式等。
这些公式的应用可以极大地简化数学表达式的计算和求解过程。
下面将分别介绍这些裂项公式的定义和应用。
1. 差的平方公式差的平方公式是指将一个差的平方表达式分解成两个平方的差。
其表达式为：(a - b)² = a² - 2ab + b²这个公式的应用可以在解决平方差问题时起到简化计算的作用。
例如，我们可以将一个式子 (3x - 2y)²分解成两个平方的差，即：(3x - 2y)² = (3x)² - 2(3x)(2y) + (2y)²= 9x² - 12xy + 4y²2. 和的平方公式和的平方公式是指将一个和的平方表达式分解成两个平方的和。
其表达式为：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式的应用可以在解决平方和问题时起到简化计算的作用。
例如，我们可以将一个式子 (2x + 3y)²分解成两个平方的和，即：(2x + 3y)² = (2x)² + 2(2x)(3y) + (3y)²= 4x² + 12xy + 9y²3. 差的立方公式差的立方公式是指将一个差的立方表达式分解成两个立方的差。
裂项十个基本公式
裂项十个基本公式1. 分数裂项基本公式一：(1)/(n(n + 1))=(1)/(n)-(1)/(n + 1)- 例如：计算∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))，根据这个公式可以将每一项裂项为(1)/(n)-(1)/(n + 1)，则∑_n = 1^100(1)/(n(n + 1))=(1-(1)/(2))+((1)/(2)-(1)/(3))+·s+((1)/(100)-(1)/(101)) = 1-(1)/(101)=(100)/(101)。
2. 分数裂项基本公式二：(1)/(n(n + k))=(1)/(k)((1)/(n)-(1)/(n + k))- 例如：对于∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))，这里k = 3，根据公式裂项为(1)/(3)((1)/(n)-(1)/(n + 3))。
- 那么∑_n = 1^50(1)/(n(n+3))=(1)/(3)[(1-(1)/(4))+((1)/(2)-(1)/(5))+·s+((1)/(50)-(1)/(53))]。
3. 分数裂项基本公式三：(1)/((2n - 1)(2n+1))=(1)/(2)((1)/(2n - 1)-(1)/(2n+1))- 例如：计算∑_n = 1^20(1)/((2n - 1)(2n+1))，利用这个公式裂项后得到(1)/(2)[(1-(1)/(3))+((1)/(3)-(1)/(5))+·s+((1)/(39)-(1)/(41))]=(1)/(2)(1-(1)/(41))=(20)/(41)。
4. 分数裂项基本公式四：(n)/(n(n + 1)) = 1-(1)/(n + 1)- 例如：求∑_n = 1^30(n)/(n(n + 1))，根据公式可得∑_n = 1^30(1-(1)/(n +1))=(1-(1)/(2))+(1-(1)/(3))+·s+(1-(1)/(31)) = 30-( (1)/(2)+(1)/(3)+·s+(1)/(31))。