高中数学放缩法

高考专题 放缩法

缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，并且还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

数列及不等式的综合问题常常出现在高考的压轴题中，是历年高考命题的热点，这类问题能有效地考查学生综合运用数列及不等式知识解决问题的能力．本文介绍一类及数列和有关的不等式问题，解决这类问题常常用到放缩法，而求解途径一般有两条：一是先求和再放缩，二是先放缩再求和． 一．先求和后放缩

例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设1

1

+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2

1

<

n B 解：（1）由已知得2)1(4+=n n a S ，2≥n 时，211)1(4+=--n n a S ，作差得：

1212224----+=n n n n n a a a a a ，所以0)2)((11=--+--n n n n a a a a ，又因为{}n a 为正数数列，

所以21=--n n a a ，即{}n a 是公差为2的等差数列，由1211+=a S ，得11=a ，所以

12-=n a n

（2）)1

21

121(21)12)(12(111+--=+-==

+n n n n a a b n n n ，所以

2

1)12(2121)1211215131311(21<+-=+---+-=

n n n B n 注：一般先分析数列的通项公式．如果此数列的前n 项和能直接求和或者通过变形后求和，则采用先求和再放缩的方法来证明不等式．求和的方式一般要用到等差、等比、差比数列（这里所谓的差比数列，即指数列{}n a 满足条件

()n f a a n n =-+1）求和或者利用分组、裂项、倒序相加等方法来求和．

二．先放缩再求和

1．放缩后成等差数列，再求和

例2．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,且22n n n a a S +=.

(1) 求证：22

14

n n n a a S ++<；

(2)

<⋅⋅⋅+< 解：（1）在条件中，令1=n ，得1112122a S a a ==+，1011=∴>a a ，又由条件

n n n S a a 22=+有112

12+++=+n n n S a a ，上述两式相减，注意到n n n S S a -=++11得

0)1)((11=--+++n n n n a a a a 001>+∴>+n n n a a a ∴11n n a a +-=

所以， n n a n =-⨯+=)1(11，(1)

2

n n n S +=

所以4

2)1(212)1(2

1

2

22++=++•<+=n n n a a n n n n S （2）因为1)1(+<+

2

1

2)1(2

+<

+<

n n n n ，所以 2)1(23222121+++⨯+⨯=++n n S S S n 2

1

2322++++

12

2312-=

+=+n S n n ；2

2

2)1(2222121n n S n n n S S S =+=+

++>

++

2．放缩后成等比数列，再求和

例3．（1）设a ，n ∈N *，a ≥2，证明：n n n a a a a ⋅+≥--)1()(2；

（2）等比数列{a n }中，112

a =-，前n 项的和为A n ，且A 7，A 9，A 8成等差数列．设

n

n n a a b -=12

，数列{b n }前n 项的和为B n ，证明：B n ＜1

3．

解：（1）当n 为奇数时，a n ≥a ，于是，n n n n n a a a a a a ⋅+≥+=--)1()1()(2． 当n 为偶数时，a －1≥1，且a n ≥a 2，于是

n n n n n n n a a a a a a a a a a a ⋅+≥⋅-+=⋅-≥-=--)1()1)(1()1()1()(22．

（2）∵9789A A a a -=+，899A A a -=-，899a a a +=-，∴公比9

8

1

2

a q a ==-

．

∴n n a )2

1(-=． n

n n n

n n b 2

31

)2(41)2

1(141⋅≤--=

--=

． ∴n n b b b B ++=2131)211(312

11)

21

1(213123123123122<-=--⋅

=⋅++⋅+⋅≤n n ． 3．放缩后为差比数列，再求和

例4．已知数列{}n a 满足：11=a ，)3,2,1()21(1 =+

=+n a n

a n n

n ．求证： 1

12

1

3-++-

≥>n n n n a a 证明：因为n n n a n

a )2

1(1+=+，所以1+n a 及n a 同号，又因为011>=a ，所以0>n a ， 即021>=

-+n n n n a n

a a ，即n n a a >+1．所以数列{}n a 为递增数列，所以11=≥a a n ， 即n n n n n n a n a a 221≥=-+，累加得：1212

1

2221--+++≥-n n n a a ．

令12212221--+++=n n n S ，所以n n n S 2

1

22212132-+++= ，两式相减得：

n n n n S 212121212121132--++++=- ，所以1212-+-=n n n S ，所以12

13-+-≥n n n a ， 故得112

1

3-++-≥>n n n n a a ．

4．放缩后为裂项相消，再求和

例5．在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前