模糊逻辑入门经典
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3-3 模糊逻辑及不精确推理方法
3-3 模糊逻辑及不精确推理方法3-3-1 模糊逻辑3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系传统逻辑：强调精确性、严格性。
概率事件的结局是：非此即彼。
模糊事件的结局是：亦此亦彼。
另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。
3-3-1-2 模糊逻辑的历史100多年前，Peirce 指出了模糊性在思维中的重要作用； 1923年Russel 再次指出这一点；1937年美国哲学家Black 首先对“模糊符号”进行了研究； 1940年德国数学家Weyl 开始研究模糊谓词；1951年法国数学家Menger 第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；1965年Zadeh 发表了著名的“模糊集”论文。
模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。
3-3-1-3 模糊集合论一. 引入传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。
可以用其特征函数⎩⎨⎧∉∈=A x Ax x C A ,0,1)(表示。
)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B 的一个分明子集。
在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。
此时，A 是模糊子集。
B 的元素x 可以： 属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）；或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。
一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。
B 的模糊子集A 可表示为：}|))(,{(B x x x A A ∈=μ。
注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。
而空集只有一个模糊子集。
例子：各年龄阶段的人的集合。
则如果用B ：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。
则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。
模糊逻辑入门经典共34页
模糊逻辑入门经典
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
பைடு நூலகம்
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
6
、
露
凝
无
游
氛
，
天
高
风
景
澈
。
7、翩翩新 来燕，双双入我庐 ，先巢故尚在，相 将还旧居。
8
、
吁
嗟
身
后
名
，
于
我
若
浮
烟
。
9、 陶渊 明（ 约 365年 —427年 ），字 元亮， （又 一说名 潜，字 渊明 ）号五 柳先生 ，私 谥“靖 节”， 东晋 末期南 朝宋初 期诗 人、文 学家、 辞赋 家、散
1
0
、
倚
南
窗
以
寄
傲
，
பைடு நூலகம்
审
容
膝
之
易
安
。
谢谢！
51、 天 下 之 事 常成 于困约 ，而败 于奢靡 。——陆 游 52、 生 命 不 等 于是呼 吸，生 命是活 动。——卢 梭
53、 伟 大 的 事 业，需 要决心 ，能力 ，组织 和责任 感。 ——易 卜 生 54、 唯 书 籍 不 朽。——乔 特
55、 为 中 华 之 崛起而 读书。 ——周 恩来
文 家 。汉 族 ，东 晋 浔阳 柴桑 人 （今 江西 九江 ） 。曾 做过 几 年小 官， 后辞 官 回家 ，从 此 隐居 ，田 园生 活 是陶 渊明 诗 的主 要题 材， 相 关作 品有 《饮 酒 》 、 《 归 园 田 居 》 、 《 桃花 源 记 》 、 《 五 柳先 生 传 》 、 《 归 去来 兮 辞 》 等 。
第3章 模糊逻辑
第3章 模糊逻辑
为什么需要模糊逻辑
著名的沙堆问题： “从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”
常识告诉我们应该回答“是”。然而，如果回答 “是”，这样顺推下去就会掉入陷阱：从上次剩下的 沙堆里再拿走一粒沙子，剩下的还是一个沙堆，那么， 如此反复，直到只剩下两三粒沙子甚至没有一粒沙子 时，这也还是一个沙堆了。
or
An inexact ellipse
模糊集合与隶属度函数 古典集合：对于任意一个集合A，论域中的任何 一个元素x，或者属于A，或者不属于A。集合A 也可以由其特征函数定义：
1 , x A f A ( x) 0 , x A
模糊集合：论域上的元素可以“部分地属于”集 合A 。一个元素属于集合A的程度称为隶属度， 模糊集合可用隶属度函数定义。
美国加州大学伯克 莱分校的L. Zadeh 教授于1965年提出 了模糊集合（fuzzy sets）[1]。 1973年又提出了模 糊逻辑（fuzzy logic）[2]。
1974年，第一个模糊控制 蒸汽引擎系统和第一个模 糊交通指挥系统诞生。 1980年，丹麦的史密斯公 司开始使用模糊控制操作 水泥旋转窑。 1987年，模糊控制应用于 仙台市地铁的自动驾驶。
1965年发表关于模糊集合理论的论文。 1966年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。 扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起。
History
4
为什么需要模糊逻辑 在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学 语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。
传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物 的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。在处理一些问题时， 精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效， 而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。例如人脸识别a 20% chance to rain. ( probability & objectiveness ，客观) It’s a light rain. ( fuzziness & subjectiveness，主观)
为什么需要模糊逻辑
著名的沙堆问题： “从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”
常识告诉我们应该回答“是”。然而，如果回答 “是”，这样顺推下去就会掉入陷阱：从上次剩下的 沙堆里再拿走一粒沙子，剩下的还是一个沙堆，那么， 如此反复，直到只剩下两三粒沙子甚至没有一粒沙子 时，这也还是一个沙堆了。
or
An inexact ellipse
模糊集合与隶属度函数 古典集合：对于任意一个集合A，论域中的任何 一个元素x，或者属于A，或者不属于A。集合A 也可以由其特征函数定义：
1 , x A f A ( x) 0 , x A
模糊集合：论域上的元素可以“部分地属于”集 合A 。一个元素属于集合A的程度称为隶属度， 模糊集合可用隶属度函数定义。
美国加州大学伯克 莱分校的L. Zadeh 教授于1965年提出 了模糊集合（fuzzy sets）[1]。 1973年又提出了模 糊逻辑（fuzzy logic）[2]。
1974年，第一个模糊控制 蒸汽引擎系统和第一个模 糊交通指挥系统诞生。 1980年，丹麦的史密斯公 司开始使用模糊控制操作 水泥旋转窑。 1987年，模糊控制应用于 仙台市地铁的自动驾驶。
1965年发表关于模糊集合理论的论文。 1966年马里诺斯（Marinos）发表关于模糊逻辑的研究报告。 以后，扎德（L.A.Zadeh）又提出关于模糊语言变量的概念。 1974年扎德（L.A.Zadeh）进行有关模糊逻辑推理的研究。 扎德的重要贡献在于将模糊和数学统一在一起。
History
4
为什么需要模糊逻辑 在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学 语言和模糊的思维习惯产生了矛盾。
传统的数学方法常常试图进行精确定义，而人关于真实世界中事物 的概念往往是模糊的，没有精确的界限和定义。在处理一些问题时， 精确性和有效性形成了矛盾，诉诸精确性的传统数学方法变得无效， 而具有模糊性的人类思维却能轻易解决。例如人脸识别a 20% chance to rain. ( probability & objectiveness ，客观) It’s a light rain. ( fuzziness & subjectiveness，主观)
模糊推理以及逻辑运算(重点参考第5页后的内容)
对数据要求高
模糊推理需要大量的数据和样本 进行训练和优化，对于数据量较 小的情况可能无法得到理想的结 果。
如何克服模糊推理的局限性
引入人工智能技术
利用人工智能技术如深度学习、强化学习等，可以进一步提高模 糊推理的精度和效果。
结合其他方法
可以将模糊推理与其他方法如概率论、统计方法等相结合，形成混 合模型以提高精度和可靠性。
灵活性高
模糊推理不要求精确的数学模型，可以根据实际需求灵活地调整模 糊集合和隶属度函数。
适用范围广
模糊推理适用于许多领域，如控制、决策、模式识别等，能够解决许 多实际问题。
模糊推理的局限性
主观性较强
模糊推理中的模糊集合和隶属度 函数的定义往往基于专家经验或 主观判断，具有较强的主观性。
精度有限
由于模糊推理的原理，其结果的 精度往往受到一定限制，难以达 到与精确数学模型相当的水平。
根据模糊规则库中的模糊条件 语句和结论语句进行推理，得 出模糊结论。
去模糊化模块
将模糊结论转换为精确值，以 便于输出和决策。
模糊推理系统的设计流程
确定输入输出变量
首先需要确定系统的输入和输出变量， 并了解它们的变化范围和特性。
02
选择隶属度函数
根据输入输出变量的特性，选择合适 的隶属度函数，将输入的精确值转换 为模糊集合中的隶属度值。
01
03
建立模糊规则库
根据实际问题的需求，建立合适的模 糊规则库，包括条件语句和结论语句。
去模糊化处理
将推理得到的模糊结论转换为精确值， 以便于输出和决策。
05
04
设计推理算法
根据模糊规则库，设计合适的推理算 法，实现从输入到输出的映射。
模糊推理系统的应用实例
人工智能2006(6模糊逻辑及ES)
11
关系的矩阵表示 是两个普通集合， 的笛卡儿乘积是由V 设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡儿乘积是由V与W 上所有可能的序偶（ 构成的一个集合， 上所有可能的序偶（v，w）构成的一个集合，即： W={(v,w)|任意 任意v∈V, 任意w∈W} V×W={(v,w)|任意v∈V, 任意w∈W} 的关系R 是指V 上的一个子集， V× 从V到W的关系R，是指V×W上的一个子集，即R V×W R 记为： 记为： V→ W R,则 有关系； 若（v，w）∈R,则v与w有关系； R,则 无关系； 若（v，w） R,则v与w无关系； V={1班 例：设V={1班，2班，3班} W={男队 女队} 男队， W={男队，女队} 则 V×W={(1班，男队）,(2班，男队）,(3班，男队）, W={(1班 男队）,(2班 男队）,(3班 男队） (1班 女队）,(2班 女队）,(3班 女队） (1班，女队）,(2班，女队）,(3班，女队）}
模糊逻辑
从集合角度：模糊集合 从逻辑角度：模糊逻辑 从推理角度：模糊推理 从技术、方法：模糊技术、模糊方法 从应用角度：模糊系统
1.模糊逻辑基础 1.模糊逻辑基础
模糊性是指客观事物在形态和属性方面的不确定 模糊性与随机性 –随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的 可以明确地判定该事件在某特定的时刻发生了还 是没有发生。随机性用概率来度量， 是没有发生。随机性用概率来度量，并要求所有 可能事件的概率总和为1 可能事件的概率总和为1。 –模糊性所描述的现象或概念本身的“边界”是 模糊性所描述的现象或概念本身的“边界” 模糊性所描述的现象或概念本身的 不清楚的。模糊性是用“可能性” 介于0 不清楚的。模糊性是用“可能性”（介于0和1之 来度量的，并且不要求可能性总和为1 间）来度量的，并且不要求可能性总和为1。
关系的矩阵表示 是两个普通集合， 的笛卡儿乘积是由V 设V与W是两个普通集合，V与W的笛卡儿乘积是由V与W 上所有可能的序偶（ 构成的一个集合， 上所有可能的序偶（v，w）构成的一个集合，即： W={(v,w)|任意 任意v∈V, 任意w∈W} V×W={(v,w)|任意v∈V, 任意w∈W} 的关系R 是指V 上的一个子集， V× 从V到W的关系R，是指V×W上的一个子集，即R V×W R 记为： 记为： V→ W R,则 有关系； 若（v，w）∈R,则v与w有关系； R,则 无关系； 若（v，w） R,则v与w无关系； V={1班 例：设V={1班，2班，3班} W={男队 女队} 男队， W={男队，女队} 则 V×W={(1班，男队）,(2班，男队）,(3班，男队）, W={(1班 男队）,(2班 男队）,(3班 男队） (1班 女队）,(2班 女队）,(3班 女队） (1班，女队）,(2班，女队）,(3班，女队）}
模糊逻辑
从集合角度：模糊集合 从逻辑角度：模糊逻辑 从推理角度：模糊推理 从技术、方法：模糊技术、模糊方法 从应用角度：模糊系统
1.模糊逻辑基础 1.模糊逻辑基础
模糊性是指客观事物在形态和属性方面的不确定 模糊性与随机性 –随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的， 随机性所描述的事件或现象本身含义是清楚的 可以明确地判定该事件在某特定的时刻发生了还 是没有发生。随机性用概率来度量， 是没有发生。随机性用概率来度量，并要求所有 可能事件的概率总和为1 可能事件的概率总和为1。 –模糊性所描述的现象或概念本身的“边界”是 模糊性所描述的现象或概念本身的“边界” 模糊性所描述的现象或概念本身的 不清楚的。模糊性是用“可能性” 介于0 不清楚的。模糊性是用“可能性”（介于0和1之 来度量的，并且不要求可能性总和为1 间）来度量的，并且不要求可能性总和为1。
6-模糊逻辑方法
间 一 室 么 ？ 它诘问 天，泪 光栖宿 于苍白 的脸， 这是审 视夜的 唯一白 光啊。 唉 ， 你 这 人 ，你这 不应该 的人。 为何不 销魂享 受蒙目 的清闲 ？为何 去撞黑 色墙壁
反 扑 的 势 力 呢？ 问 声 串 串 ， 我又如 残骨， 架在电 锯，卸 成八大 尸体。
不 ， 总 得 有 点遗言 吧。 抬 着 我 的 夜 ，去鼓 掌吧。 你的黑 色十二 只口袋 ，放点
25
保沸过程的模糊推理
沸腾时间 升温时间
模 糊 断电温度 推 论
图5 断电温度的模糊推论
26
6 模糊逻辑方法
6.1 引言 6.2 模糊理论简介 6.3 基于模糊逻辑数据融合的一般过程 6.4 模糊融合应用
6.1 引言—模糊概念的引出
数据融合系统是一个庞大的信息处理系统，它汇集了各种 信息，以取得对观察对象更加精确的估计和更加确定的推理。 其中的各类信息除具有较强的实时性、多源性和分布性外， 另一个显著的特性就是不确定性或称为模糊性。
表示。
A(x为i ) 模糊集合的隶属函数(Membership Function)。
A:U 表[0示,1]模糊集合 中xi 的A隶属程度(Degree of
Membership)。
6
模糊集合表示法
论域U为有限集合：
A A(xi)/xi
论域U为无限集合或有限连续：
A
A(xi
)/
x i
xU
一般的表示方法：
在很多问题中，如人的经验和知识的表述，人的思维和控 制作用具有不同于随机性的不确定性，即模糊性。为了寻找 一种处理模糊信息的工具，一种描述和加工模糊信息的数学 方法－模糊数学应运而生。
2
引入模糊概念的作用
反 扑 的 势 力 呢？ 问 声 串 串 ， 我又如 残骨， 架在电 锯，卸 成八大 尸体。
不 ， 总 得 有 点遗言 吧。 抬 着 我 的 夜 ，去鼓 掌吧。 你的黑 色十二 只口袋 ，放点
25
保沸过程的模糊推理
沸腾时间 升温时间
模 糊 断电温度 推 论
图5 断电温度的模糊推论
26
6 模糊逻辑方法
6.1 引言 6.2 模糊理论简介 6.3 基于模糊逻辑数据融合的一般过程 6.4 模糊融合应用
6.1 引言—模糊概念的引出
数据融合系统是一个庞大的信息处理系统，它汇集了各种 信息，以取得对观察对象更加精确的估计和更加确定的推理。 其中的各类信息除具有较强的实时性、多源性和分布性外， 另一个显著的特性就是不确定性或称为模糊性。
表示。
A(x为i ) 模糊集合的隶属函数(Membership Function)。
A:U 表[0示,1]模糊集合 中xi 的A隶属程度(Degree of
Membership)。
6
模糊集合表示法
论域U为有限集合：
A A(xi)/xi
论域U为无限集合或有限连续：
A
A(xi
)/
x i
xU
一般的表示方法：
在很多问题中，如人的经验和知识的表述，人的思维和控 制作用具有不同于随机性的不确定性，即模糊性。为了寻找 一种处理模糊信息的工具，一种描述和加工模糊信息的数学 方法－模糊数学应运而生。
2
引入模糊概念的作用
第三章 模糊逻辑
第三章 模糊逻辑3.1 模糊逻辑代数的基本知识一、布尔代数和德·摩尔根代数逻辑代数是布尔（G .Boole ）为把逻辑思维数学化而创立的一门学科，因此逻辑代数也叫布尔代数。
定义3.1.1 一个集合L ，如果在其中定义了两种运算∨和∧，具有下列性质： （P1）幂等律 对任意α∈L ，有α∨α=α α∧α=α （P2）交换律对任意α，β∈L 有α∨β=β∨α α∧β=β∧α（P3）结合律对任意α，β，γ∈L 有()=()αβγαβγ∨∨∨∨ ()=()αβγαβγ∧∧∧∧（P4）吸收律()αβββ∨∧= ()αβββ∧∨=则称L 是一个格，记作L = (,,)L ∨∧。
记普通关系≤为L 中的偏序，它定义为αβαββ≤⇔∨=(3.1)设A L ⊂，对任意A α∈，若存在L β∈，使αβ≤，则称β为A 的上界。
如果0β是A 的上界中最小的一个上界，则称0β为A 的上确界，记为}{0sup |A βαα=∈ 或 0Aαβα∈=∨ (3.2)若存在L γ∈，使γα≤，则称γ为A 的下界。
如果0γ是A 的下界中最大的一个下界，则称0γ为A 的下确界，记为{}0inf |A γαα=∈ 或0Aαγα∈=∧ (3.3)关于两个元素α和β的上确界记为α∨β，下确界记为α∧β。
定义3.1.2设(,,)L ∨∧是一个格，如果它还满足如下性质：(P5)分配律()()()αβγαγβγ∨∧=∧∨∧()()()αβγαγβγ∧∨=∨∧∨则称(,,)L ∨∧是一个分配格。
定义3.1.3设(,,)L ∨∧是分配格，在L 中存在两个元素，记为0和1，以及存在运算c，对L α∀∈，满足：(P1) 么元律11α∨= 1αα∧= 0αα∨= 00α∧=分别称0、1为最小、最大元。
(P2) 复原律()c c αα=(P3) 补余律1c αα∨=0c αα∧=则称(,,,)cL ∨∧是一个布尔代数。
({0,1},,,)c ∨∧是一个布尔代数。
ch3模糊逻辑理论基本概念m
0 xa ba f ( x, a, b, c, d ) 1 d x d c 0
1 x c 2 ( ) 2
xa a xb bxc cx
xa a xb bxc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数 f ( x; c, ) e c代表MF的中心； 通常为正决定 的宽度 MF
.
模 糊 统 计 法
根据所提出的模糊概念进行调查 统计，提出与之对应的模糊集A， 通过统计实验，确定不同元素属 于A的程度
u0 A的次数 u0对模糊集A的隶属度＝ 试验总次数
33
离散论域，直接给出隶属度
主 观 经 验 法
34
神 经 网 络 法
利用神经网络学习功能，由神 经网络自动生成隶属函数，并 通过网络学习自动调整
35
2个概念之间相互对比，依次 调整而得
二 元 对 比 法
36
3.4
模糊关系及其运算
世界万物之间都存在着某种联系, 其实， 这种关系是很清楚的，只是我们人的智 慧有限，没有办法搞清楚，只能用“模 糊关系”来描述。比方说，”象”“不 象”。
37
同 一 空 间
精确关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。
举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。
模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
1 x c 2 ( ) 2
xa a xb bxc cx
xa a xb bxc cxd dx
梯形隶属函数
高斯形隶属函数 f ( x; c, ) e c代表MF的中心； 通常为正决定 的宽度 MF
.
模 糊 统 计 法
根据所提出的模糊概念进行调查 统计，提出与之对应的模糊集A， 通过统计实验，确定不同元素属 于A的程度
u0 A的次数 u0对模糊集A的隶属度＝ 试验总次数
33
离散论域，直接给出隶属度
主 观 经 验 法
34
神 经 网 络 法
利用神经网络学习功能，由神 经网络自动生成隶属函数，并 通过网络学习自动调整
35
2个概念之间相互对比，依次 调整而得
二 元 对 比 法
36
3.4
模糊关系及其运算
世界万物之间都存在着某种联系, 其实， 这种关系是很清楚的，只是我们人的智 慧有限，没有办法搞清楚，只能用“模 糊关系”来描述。比方说，”象”“不 象”。
37
同 一 空 间
精确关系 表示二个或二个以上集合 元素之间关联、交互、互 连是否存在。
举例：X={上海 北京 天津 西安}为城市的集合。
模糊集合 C = “对城市的爱好”可以表示为： C = {(上海,0.8),(北京,0.9), (天津,0.7),(西安,0.6)}
精确集合
X 6
1
X 6
A 0
A 1
X 6
模糊集合
13
A ( x) 1
A ( x) [0 1]
智能控制简明教程 第二章 模糊逻辑理论基础
u1 u2 u3 u4 u5 u6
A0.1 u1, u2 , u3, u4 , u5, u6
0.1A0.1
0.1 u1
0.1 u2
0.1 u3
0.1 u4
0.1 u5
0.1 u6
A0.2 u2 , u3, u4 , u5, u6
0.2 A0.2
0.2 u2
0.2 u3
0.2 u4
0.2 u5
其中：（ui ),i 1, 2, , n 隶属度
2021/4/7
例：设U={1,2,3,…8,9,10} Zadeh表示法：
A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
向量表示法：
A (1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0)
F. 并集 A与B的并集： C A B
AB (u) C (u) max(A (u), B (u)) AB A (u) B (u)
设U u1,u2 ,u3,u4
0.9 0.2 0.8 0.5 A
u1 u2 u3 u4 B 0.3 0.1 0.4 0.6
u1 u2 u3 u4
A B (u) (u)
A
B
A (u) 1 (u)
A
A
u 如某人 i 成绩好 A(ui ) 0.9
则成绩差 A (ui ) 0.1
2021/4/7
E. 子集 A B A(u) B (u)
如 A: “少年”，B: “年轻”
某人 ui : A (ui ) 0.8
则：B (ui ) 0.8
普通集合:A= { X|1<x<∞ } 所有大于1的实数
模糊集合:A= { X|1<x<∞ } 所有比1大得多的实数
A0.1 u1, u2 , u3, u4 , u5, u6
0.1A0.1
0.1 u1
0.1 u2
0.1 u3
0.1 u4
0.1 u5
0.1 u6
A0.2 u2 , u3, u4 , u5, u6
0.2 A0.2
0.2 u2
0.2 u3
0.2 u4
0.2 u5
其中：（ui ),i 1, 2, , n 隶属度
2021/4/7
例：设U={1,2,3,…8,9,10} Zadeh表示法：
A 1 0.9 0.7 0.5 0.3 0.1 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
向量表示法：
A (1,0.9,0.7,0.5,0.3,0.1,0,0,0,0)
F. 并集 A与B的并集： C A B
AB (u) C (u) max(A (u), B (u)) AB A (u) B (u)
设U u1,u2 ,u3,u4
0.9 0.2 0.8 0.5 A
u1 u2 u3 u4 B 0.3 0.1 0.4 0.6
u1 u2 u3 u4
A B (u) (u)
A
B
A (u) 1 (u)
A
A
u 如某人 i 成绩好 A(ui ) 0.9
则成绩差 A (ui ) 0.1
2021/4/7
E. 子集 A B A(u) B (u)
如 A: “少年”，B: “年轻”
某人 ui : A (ui ) 0.8
则：B (ui ) 0.8
普通集合:A= { X|1<x<∞ } 所有大于1的实数
模糊集合:A= { X|1<x<∞ } 所有比1大得多的实数
第三章-模糊逻辑和模糊逻辑推理
显然，模糊语言主要是指自然语言。
广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语 言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用 模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语 言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要 指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模 糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把 大约在1.75 —1.85 m之间的人归结于“高个子”模糊概念 里，而在欧洲，大约在1.80一1.90 m之间的人才能算作 “高个子”。
如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数. 例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作 用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊 化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一 个模在糊模数糊。控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确 量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先 把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使 用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。
四、语言变量
所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不 是以数值作为变量。
语言变量是用一个五元素的集合来表征的：
其中：
(X , T (X ), U, G, M )
X —— 语言变量名（如速度、年龄、颜色）； T（X） —— 语言变量名的集合；
U —— 语言变量 x 的论域； G —— 语法规则（用于产生语言变量 x的值）； M —— 算法规则（与每个语言变量含义相联系）。
辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若、、 {0，1}，
则布尔代数具有如下的运算性质：
1) 幂等律 α
α V
2) 交换律 α
α V V
3) 结合律 (α ) α ( )
广义角度来讲，一切具有模糊性的语言都称为模糊语 言。我们知道，人们在日常生活中交流信息时，常常使用 模糊语言来表达具有模糊性的现象和事物。可见，模糊语 言可以对自然语言的模糊性进行分析和处理。另外，需要 指出的是模糊语言又具有灵活性，在不同的场合，某一模 糊概念可以代表不同的含义。如“高个子”，在中国，把 大约在1.75 —1.85 m之间的人归结于“高个子”模糊概念 里，而在欧洲，大约在1.80一1.90 m之间的人才能算作 “高个子”。
如果对数字进行作用就意味着把精确数转化为模糊数. 例如数字“5”是一个精确数，而如果将模糊化算子“F”作 用于“5”这个精确数就变成“F(5)”这一模糊数。若模糊 化算子“F”是“大约”，则“F(5)”就是“大约5”这样一 个模在糊模数糊。控制中，实际系统的输入采样值一般总是精确 量，要采用模糊逻辑推理方法进行模糊控制，就必须首先 把精确量进行模糊化处理，而模糊化的过程实质上就是使 用模糊化算子来实现的。可见模糊化算子的重要性。
四、语言变量
所谓语言变量是以自然语言中的字或句作为变量，而不 是以数值作为变量。
语言变量是用一个五元素的集合来表征的：
其中：
(X , T (X ), U, G, M )
X —— 语言变量名（如速度、年龄、颜色）； T（X） —— 语言变量名的集合；
U —— 语言变量 x 的论域； G —— 语法规则（用于产生语言变量 x的值）； M —— 算法规则（与每个语言变量含义相联系）。
辑运算规律的数学，又称逻辑代数。若、、 {0，1}，
则布尔代数具有如下的运算性质：
1) 幂等律 α
α V
2) 交换律 α
α V V
3) 结合律 (α ) α ( )
模糊逻辑的数学基础
第２章 模糊逻辑的数学基础
由此可见，普通集合在表达概念方面有它的局限性。普 通集合只能表达“非此即彼”的概念，而不能表达“亦此亦 彼”的现象。为此，美国加州大学控制专家扎德 （L.A.Zadeh）教授创立了模糊集合论，提出用模糊集合来 刻画模糊概念。
定义2.1 模糊集合（Fuzzy Sets）：论域U上的模糊集合 F是指，对于论域（Universe of Discuss）U中的任意元素 u∈U，都指定了［0，1］闭区间中的某个数μF(u)∈［0，1］ 与之对应，称为 u 对 FF~的隶属度（Degree of Membership）， 通常将模糊集合表μF示∶为U→［。0这，就1］定义了一个映射μ（F：2.2）
第２章 模糊逻辑的数学基础
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法 2.2 模糊语言逻辑及其算子 2.3 模糊关系与模糊逻辑推理 2.4 解模糊判决方法
第２章 模糊逻辑的数学基础
2.1 模糊集合及其表示方法
2.1.1 经典集合 集合可以表达概念。符合某概念的对象的全体就构成此
概念的外延，一个概念所包含的那些区别于其他概念的全体 本质属性就是这概念的内涵。用集合论的观点来看，内涵是 集合的定义，外延就是组成集合的所有元素。一个概念的外 延就是一个集合。
i→μF(u)
第２章 模糊逻辑的数学基础
这个映射称为模糊集合 F~ 的隶属函数（Membership Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合 F~ 简记为F。
上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u 从属于F的程度很高；μF(u)的值接近于0，表示u从属于F的程 度很低。可见，模糊集合完全由隶属函数所描述。
模糊逻辑入门经典
模糊计算流程示例
计算输出过程如下： (1) 输入变量模糊化并激活相应规则 输入变量模糊化，得到隶属度如表：
模糊标记 低 中 高 隶属度 0 0.53 0.1
模糊标记 小 中 大
隶属度 0.075 0.467 0
模糊计算流程示例
由于温度对“低”的隶属度为0，而湿度对“大”的隶属度为0，故 控制规则表内条件包含低温度和大湿度的规则不被激活。而有如下4 条规则被激活： a. 若温度为高且湿度为小，则运转时间为长。 b. 若温度为中且湿度为中，则运转时间为中。 c. 若温度为中且湿度为小，则运转时间为长。 d. 若温度为高且湿度为中，则运转时间为中。
( A B) C A (B C ) ( A B) C A (B C )
A (B C ) ( A B) ( A C ) A (B C ) ( A B) ( A C )
A ( A B ) A, A ( A B ) A
推理方法
输入
输出
模糊化
去模糊化
模糊规则库
模糊计算流程示例
例 某自动控制系统需要根据设备内温度、设备内湿度 决定设备的运转时间。在这里，输入变量是温度和湿度， 输出为运转时间。 温度的论域是[0, 100]，有三个模糊标记：低、中、 高。湿度的论域是[0%,60%]，有三个模糊标记：小、 中、大。运转时间的论域是[0, 1000s]，有三个模糊 标记：短、中、长。这些模糊标记在模糊规则中被使用。 输入变量和输出变量对各模糊标记的隶属度函数如图
P (Q R ) ( P Q ) ( P R )
P P
PQ P Q P Q P Q
常数法则
1 P 1 1 P P
模糊控制技术第２章模糊逻辑的数学基础
客观的存在是有一定联系的，是受到客观制约的。因此，隶
属函数的确定应遵守一些基本原则。
第２章 模糊逻辑的数学基础
定义2.4 凸模糊集合：设实数论域中模糊集合A在任意
区间[x1，x2]上，对所有的实数x∈[x1，x2]都满足
μA(x)≥min{μA(x1)，μA(x2)}
(2.13)
则称A为凸模糊集合，否则即为非凸模糊集合，参看图2.4。 由此可见，凸模糊集合的隶属函数是一个单峰凸函数。 (1) 隶属函数所表示的模糊集合必须是凸模糊集合。下 面以主观性最强的专家经验法为例来确定“舒适”温度的隶 属函数。
ui
1
（2.8）
第２章 模糊逻辑的数学基础
这里的∑、∫仅仅是符号，不是表示求“和”或“积分”记
号，而是表示论域U上的元素u与隶属度μF(u)之间的对应关 系的总括； μF(ui)/ui也不表示“分数”，而表示论域U上u与 隶属度μF(u)之间的对应关系。 ② 不可数情况：扎德表示法
F
F ( ui )
~ 模糊集合表示为 。这就定义了一个映射 μF： F
μF∶U→［0，1］ i→μF(u)
（2.2）
第２章 模糊逻辑的数学基础
~ 的隶属函数（Membership 这个映射称为模糊集合 F ~ 简记为F。 Function）。本书在不混淆的情况下，将模糊集合 F
上述定义表明，论域U上的模糊集合F由隶属函数μF(u)来 表征，μF(u)的取值范围为闭区间［0，1］，μF(u)的大小反映 了u对于集合F的从属程度。μF(u)的值接近于1，表示u
u 50 2 1＋ 5 50u 200 u
1
2
1
第２章 模糊逻辑的数学基础
模糊逻辑推理
模糊推理
举例：若人工调节炉温，有如下经验规则：“如果炉温低， 则应施加高电压”。试问当炉温为“低”、“非常低”， “略低”，“不低”时，应施加怎样的电压？ 设x和y分别表示模糊语言变量“炉温”和“电压”，并设x 和y的论域为： X=Y={1,2,3,4,5} 设A为表示炉温低的模糊集合 A=1/1+0.8/2+0.6/3+0.4/4+0.2/5 设B为表示电压高的模糊集合 B=0.2/1+0.4/2+0.6/3+0.8/4+1/5
Mamdani方法（最小运算）
B' A' R A' ( x) / x
X XY
A
A
( x) B ( y) /( x, y)
Larsen方法（乘积运算）
B' A' R A' ( x) / x
X XY
( x) B ( y) /( x, y)
对所有规则,
B AX [ R , R , R ] AX R
i 1
1
2
m
m
i
模糊预滤波
自适应滤波
A R ( y)
1 x
B ( y)
1
1
2
A ( x)
x
A R ( y)
2 x
B ( y)
2
B ( y)
A R ( y)
m x
• 特点：知识满足规则与否是确定的，因此 结论也是确定的
模糊知识的演绎推理
例：
– 规则：胖人得心脑血管疾病的可能性大 – 知识：某某人很胖（较胖、不胖） – 结论：某某人得心脑血管疾病的可能性？
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沙堆 拿走一粒沙 拿走一粒沙 沙堆?
与“沙堆”相似的模糊概念还有“年轻人”、“小个子”、“大房子”等。 这种在生活中常见的模糊概念，在用传统数学方法处理时， 往往会出现问题。
为什么需要模糊计算
那么，如果尝试消除这些概念的模糊性，会怎样呢？
沙堆 拿走一粒沙 沙堆
拿
然而，仅仅取走微不足道的一粒沙子， 就将“沙堆”变为“非沙堆”， 这又不符合我们日常生活中的思维习惯
0.0 -10 -5 0 5 10
输入 (a)
输入 (b)
输入 (c)
三角形函数
梯形函数
sigmoid函数
模糊集合上的运算 模糊集合的子集
定义 当且仅当对论域U上任意元素u，都有 f A是模糊集合B的子集
A
(u ) f B (u )
，则称模糊集合
模糊集合的交、并、补运算
交 并
A B ( u ) m in A ( u ), B ( u )
模糊关系也是一种模糊集合，若R(x,y)取值为0 或1，这种模糊集合就等同于经典集合，模糊关 系也退化为经典关系的形式。
模糊规则、语言变量和语言算子 模糊推理是将输入的模糊集通过一定运算对应到 特定输出模糊集的计算过程。 模糊规则是在进行模糊推理时依赖的规则，通常 可以用自然语言表述。
模糊规则举例：“如果张三比较胖，则张三需要进行较多锻炼”
模糊逻辑取消二值之间非此即彼的对立，用隶属 度表示二值间的过度状态
例如，“室温在27º C是高温度”，这个命题真值如何呢？
模糊集合与隶属度函数 古典集合：对于任意一个集合A，论域中的任何 一个元素x，或者属于A，或者不属于A。集合A 也可以由其特征函数定义：
1 , f A (x) 0 , x A x A
模糊集合：论域上的元素可以“部分地属于”集 合A 。一个元素属于集合A的程度称为隶属度， 模糊集合可用隶属度函数定义。
定义 设存在一个普通集合U，U到[0,1]区间的任一映射f都可以确定U的 一个模糊子集，称为U上的模糊集合A。其中映射f叫做模糊集的隶属度函 数，对于U上一个元素u， f(u)叫做u对于模糊集的隶属度，也可写作A(u)
模糊计算的过程可以分为四个模块 模糊规则库、模糊化、推理方法和去模糊化
模糊计算的流程 模糊规则库是专家提供的模糊规则。模糊化是根 据隶属度函数从具体的输入得到对模糊集隶属度 的过程。推理方法是从模糊规则和输入对相关模 糊集的隶属度得到模糊结论的方法。去模糊化就 是将模糊结论转化为具体的、精确的输出的过程。
A
u U
f A (u ) u
（离散）
A
u
f A (u ) u
（连续）
(2)序对表示法
A {( u , f A ( u )) | u U }
模糊集合表示法示例
例 在考核中，学生的绩点为[0,5]区间上的实数。按 照常识，绩点在3以下显然不属于“优秀”，绩点在4.5 以上则显然属于“优秀”，这是没有问题的。然而，绩 点为4.4时该怎么算呢？
模糊计算流程示例
计算输出过程如下： (1) 输入变量模糊化并激活相应规则 输入变量模糊化，得到隶属度如表：
模糊标记 低 中 高 隶属度 0 0.53 0.1
模糊标记 小 中 大
隶属度 0.075 0.467 0
模糊计算流程示例
由于温度对“低”的隶属度为0，而湿度对“大”的隶属度为0，故 控制规则表内条件包含低温度和大湿度的规则不被激活。而有如下4 条规则被激活： a. 若温度为高且湿度为小，则运转时间为长。 b. 若温度为中且湿度为中，则运转时间为中。 c. 若温度为中且湿度为小，则运转时间为长。 d. 若温度为高且湿度为中，则运转时间为中。
为什么需要模糊计算
在企图用数学处理生活中的问题时，精确的数学语言 和模糊的思维习惯产生了矛盾。
模糊计算就是用来解决这一矛盾的工具之一 模糊计算
计算机能理解的数学语言
自然语言
模糊逻辑简介
做好心理准备，能榨取真知但 却枯燥乏味的时刻开始了…
模糊逻辑简介
经典二值逻辑中，通常以0表示“假”以1表示 “真”，一个命题非真即假 在模糊逻辑中，一个命题不再非真即假，它可以 被认为是“部分的真”
此处的论域是连续的，模糊集合用Zadeh表示 2 u 2 法可以表示为 0 1 3
A u 0u 3
3 u 4 .5
u
4 .5 u 5
u
用序对表示法可以表示为
2 A ( u , 0 ) | 0 u 3 u , u 2 | 3 u 4 .5 ( u ,1) | 4 .5 u 5 3
语言变量 ：对应于自然语言中的一个词或者一个 短语、句子。它的取值就是模糊集合。 语言算子 ：用于对模糊集进行修饰。作用类似于 在自然语言常常的“可能”、“大约”、“比 较”、“很”等，表示可能性、近似性和程度。
“如果-则”规则 “如果-则”规则 ：模糊规则的一般形式。基础 的“如果-则”规则表述如下： If x is A then y is B（若x是A，那么y是B）
(2) 计算模糊控制规则的强度
这一步骤属于“推理方法”模块。采用不同的推理方法，（2）的具 体步骤也不相同。 由于规则条件中连接两个条件的是“且”，故在此选用取最小值法 确定四条规则的强度：
A ( u ) m ax A ( u ), B ( u )
补
A (u ) 1 A (u )
模糊集合上的运算定律 幂等律 交换律 结合律 分配律 吸收律 两极律 复原律 摩根律
A A A, A A A
A B B A, A B B A
D C oR
上式中的合成操作有不同的定义方法，最常用的就是式最大－最小合成
模糊计算的流程 生活中经常能遇到这样的情况：要根据几个变量 的输入，以及一组自然语言表述的经验规则，来 决定输出。 这就是一个模糊计算的过程。
如在灌溉问题中，要根据温度、湿度等变量决定灌溉时间的多 少。这个决定灌溉量的过程，需要依据一些从以往的灌溉中得 到的经验。这些经验往往来自领域内专家，并且以规则的形式 表述，例如：当温度高而且湿度小的时候，灌溉时间为长。
P P P P P P
PQ Q P P Q Q P
P (Q R ) ( P Q ) P P (Q R ) ( P Q ) P
P (P Q ) P P (P Q ) P P (Q R ) ( P Q ) ( P R )
P (Q R ) ( P Q ) ( P R )
P P
PQ P Q P Q P Q
常数法则
1 P 1 1 P P
0 P P 0 P 0
模糊关系
模糊关系可以看作经典关系的扩展。可以给出模 糊关系的定义如下：
定义 设X和Y是两个经典集合，X×Y是X与Y的笛卡尔乘积。若将 X×Y= {( x , y ) | x X , y Y } 看作退化的模糊集合，则X×Y上的模糊关系 是X×Y的一个模糊子集，记为R。一般来说，R的隶属度函数表征的是X 上元素x与Y上元素y关系的程度。
模糊计算
主要内容
为什么需要模糊计算
模糊集合与模糊逻辑 模糊逻辑推理 模糊计算
为什么需要模糊计算
著名的沙堆问题： “从一个沙堆里拿走一粒沙子，这还是一个沙堆吗？”
沙堆 拿走一粒沙
沙堆 拿走一粒沙 拿走一粒沙 沙堆?
一粒沙子都没有也被称为沙堆，这显然有问题
为什么需要模糊计算
沙堆 拿走一粒沙
1.0
0.8
隶属度
0.6
0.4
小
中
大
0.2
0.0 0 10 20 30 40 50 60
湿度
模糊计算流程示例
专家给出的模糊控制规则如表
温度 湿度 小 中 大 低 中 短 长 中 长 中 短 高 长 中 中
现在假设该系统已经探知相关输入变量的取值：设备内温 度= 64º C，设备内湿度=22% 。需要根据模糊控制规 则决定运转时间。
模糊推理 模糊推理是通过模糊规则将输入转化为输出的过 程。
大前提（规则）：若x是A，那么y是B 小前提（输入）：x是C 结论（输出）：y是 D
在模糊推理中，小前提没有必要与大前提的前件 一致（A与C不必完全一致），结论没有必要与 大前提的后件一致（B与D不必完全一致）。
模糊推理
关于模糊蕴含的推理方式有两种：肯定式的推理和否定 式的推理。下文将主要介绍肯定式推理。 肯定式利用输入中的模糊集合C与模糊蕴含关系R= A→ B 的合成，计算结论D
补 交 并 蕴含 等价
P 1 P
P Q m in( P , Q )
P Q m ax( P , Q )
P Q ((1 P ) Q )
P Q ( P Q ) (Q P )
模糊逻辑的基本运算定律
幂等律 交换律 结合律 吸收律 分配律 双重否定律 摩根律
其中，设A的论域是U，B的论域是V，A与B均是语言变量的具体取值， 即模糊集，x与y是变量名。规则中的“If x is A ”又称前件，“y is B” 又称后件。“如果张三比较胖则运动量比较大”中，x就是“张三”，y 为“运动量”，“比较胖”和“比较大”分别为x和y的取值之一。
模糊集A与B之间的关系是A×B上的模糊蕴含关 系 ，记作A→ B，其定义有多种，常见的两种是 最小运算(Mamdani)和积运算(Larsen)
A U A, A U A A , A
A A
A B A B, A B A B
模糊逻辑 经典逻辑是二值逻辑，其中一个变元只有“真” 和“假”（1和0）两种取值，其间不存在任何 第三值。 模糊逻辑也属于一种多值逻辑，在模糊逻辑中， 变元的值可以是[0,1]区间上的任意实数。 设P、Q为两个变元，模糊逻辑的基本运算定义 如下：